数学文试题
一、选择题（每小题5分，共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上） 1. 已知直角ABC ?中，(1,1),
(2,)AB AC k ==，则实数k 的值为（ ）
A.2-
B. 2
C.0
D. 2-或0
2．（文科学生做）如果复数i m m m m )65()3(2
2
+-+-是纯虚数，则实数m 的值为（ ） A ．0
B ．2
C ．0或3
D ．2或3
3. 已知条件:p 关于x 的不等式210x mx ++>（m R ∈）的解集为R ；条件:q 指数函数
()f x (3)x m =+为增函数， 则p 是q 的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
4. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A. 2
B.1
C. 23
D. 13
5．函数11()ln
31x
f x x
+=
-的图像可能是（ ）
6、已知函数)2sin()(?+=x x f （其中?为常数）的图象关于直线6
π
=x 对称，
()(),()2f f f x π
π>则的增区间为（ ） A 、,()36k k k z ππππ??-+∈???? B 、,()
2k k k z πππ?
?+∈????
C 、2,()63k k k z ππππ?
?++∈????
D 、,()2k k k z πππ??
-∈????
7．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E ， F ，且2
2
EF =，则下列结论中错误．．
的是 （ ） A ．AC BE ⊥ B ．//EF ABCD 平面 C ．直线AB 与平面BEF 所成的角为定值 D ．异面直线,AE BF 所成的角为定值
8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若∠C ＝120°，c ＝2a ，则( )
A ．b a >
B ．b a <
C ．b a =
D ．a 与b 的大小关系不能确定
9. （文做）已知函数()()(1)(1),[1,1],()||y f x x f x f x x f x x =∈+=-∈-=R 满足且时，则函数5()log y f x y x ==与的图像的交点的个数为 （ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10. 如右图，正三角形PAD 所在平面与正方形ABCD 所在的平面互相垂直，O 为正方形ABCD 的中心，M 为正方形ABCD 内一点，且满足
MP MC =，则点M 的轨迹为（ ）
11．（文科学生做）若函数21()log ()2
a f x x ax =-+有最小值，则实数a 的取值范围是（ ）
A. (0,1)
B. (0,1)
(1,2) C. (1,2) D. [2,)+∞
12．在ABC ?中，D 是BC 边上任意一点（D 与B ，C 不重合），且||||||||2
2
DC BD AD AB ?+=，则ABC ?一定是 （ ） A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 13．设31
sin (), tan(),522
πααππβ=
<<-=则tan(2)αβ-的值等于__ 14．设O 是△ABC 内部一点，且AOC AOB OB OC OA ??-=+与则,2的面积之比为 . 15．△ABC 的周长是20，面积是103，A ＝60°，则BC 边的长等于________．
16. 已知球O 是棱长为12的正四面体S ABC -的外接球，,,D E F 分别是棱,,SA SB SC 的中点，则平面DEF 截球O 所得截面的面积是 。
三、解答题（本大题共6个小题，共70分. 各题解答必须答在答题卡上规定的矩形区域内。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）
在ABC △中，内角A B C ，，分别对应的边是a b c ，，，已知2c =，3
C π=． （Ⅰ）若ABC △3，求a b ，；
（Ⅱ）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC △的面积． 18．（本小题满分12分）
在直三棱柱111C B A ABC -中，,22,21===AA BC AC
∠ACB =90°,Ｍ是1AA 的中点，Ｎ是1BC 的中点 （１）求证：MN ∥平面111C B A ； （２）求点1C 到平面BMC 的距离；
19. （本小题满分12分）
已知角A 、B 、C 是ABC ?的三个内角，若向量
)2cos
),cos(1(B A B A -+-=，)2cos ,85(b A -=，且89
=?。
（1）求tan tan A B 的值； （2）求
222
sin ab C
a b c +-的最大值。
20．（本小题满分12分）
已知向量a →＝(cos 32x ，sin 32x)，b →＝(cos x 2，－sin x 2)，其中x ∈[0，π
2
]
(1)求a →·b →及|a →＋b →|； (2)若f(x)＝a →·b →－2λ|a →＋b →|的最小值为－32，求λ的值
21. （本小题满分12分）
（文科学生做）已知函数32ln )(+-=ax x a x f （0≠a ）. （1）求函数)(x f 的单调区间;
(2）函数)(x f y =的图像在2=x 处的切线的斜率为
,2
3
若函数])([3
1
)('23m x f x x x g ++=，在区间（1，3）上不是单调函数，求 m 的取值范围。
22. （文科学生做）已知函数()ln f x ax x =+()a ∈R .
(Ⅰ)若2a =，求曲线()y f x =在1x =处切线的斜率； (Ⅱ)求()f x 的单调区间；
（Ⅲ）设2
()22g x x x =-+，若对任意1(0,)x ∈+∞，均存在[]20,1x ∈，使得
12()()f x g x <，求a 的取值范围.
淮阳中学2012～2013学年上期高三富洲部第八次周考
数学试题参考答案
一、选择题
1. D. 2．文A 3. A. 4. C 5．C 6. 7．D 8． 9.文D 10. A 11．文C12．C 二、填空题 13．
247
14． 1 15． 7 16. 48π
三、解答题（本大题共6个小题，共75分. 各题解答必须答在答题卡上规定的矩形区域内。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）
在ABC △中，内角A B C ，，分别对应的边是a b c ，，，已知2c =，3
C π
=． （Ⅰ）若ABC △的面积等于3，求a b ，；
（Ⅱ）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC △的面积． 17． 解：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，2
2
4a b ab +-=，
又因为ABC △的面积等于3，所以
1
sin 32
ab C =，得4ab =． 2分
联立方程组2244a b ab ab ?+-=?=?，
，
解得2a =，2b =． 5分
所以ABC △的面积123sin 2S ab C =
= 10分
18．（本小题满分12分）
在直三棱柱111C B A ABC -中，,22,21===AA BC AC
∠ACB =90°,Ｍ是1AA 的中点，Ｎ是1BC 的中点 （１）求证：MN ∥平面111C B A ；
（２）求点1C 到平面BMC 的距离；
（３）（只有理科学生做）求二面角11A M C B --的平面角的余弦值大小。 18：（1）如图所示，取B 1C 1中点D ，连结ND 、A 1D ∴DN ∥BB 1∥AA 1 又DN ＝
M A AA BB 1112
1
21== ∴四边形A 1MND 为平行四边形。
∴MN ∥A 1 D 又 MN ?平面A 1B 1C 1 AD 1?平面A 1B 1C 1 ∴MN ∥平面111C B A --------------------------4分
(2)因三棱柱111C B A ABC -为直三棱柱， ∴C 1 C ⊥BC ，又∠ACB =90°∴BC ⊥平面A 1MC 1 在平面ACC 1 A 1中，过C 1作C 1H ⊥CM ，又BC ⊥C 1H ，故C 1H 为C 1点到平面BMC 的距离。 在等腰三角形CMC 1中，C 1 C =22,CM=C 1M=6
∴3
3411=?=CM
AC CC H C .--------------------------8分
(3)在平面ACC 1A 1上作CE ⊥C 1M 交C 1M 于点E ，A 1C 1于点F,
则CE 为BE 在平面ACC 1A 1上的射影， ∴BE ⊥C 1M, ∴∠BEF 为二面角B-C 1M-A 的平面角, 在等腰三角形CMC 1中，CE=C 1H=
334,∴tan ∠BEC=2
3
=CE BC
∴cos ∠BEC=
7
2
即二面角A M C B --1的余弦值为7
2
。-----------------------12分 19. （本小题满分12分）
已知角A 、B 、C 是ABC ?的三个内角，若向量)2
cos
),cos(1(B
A B A -+-=，)2cos ,85(b A n -=，且89=
?n m 。
（1）求tan tan A B 的值； （2）求
222
sin ab C
a b c +-的最大值。
19.解：（1）8
9
sin sin 89cos cos 81892cos )cos(85852=+-=-++-=?B A B A B A B A n m
9
1tan tan sin sin 9cos cos ==∴B A B A B A 得 （2）4
3
tan tan 289)tan (tan 89tan tan 1tan tan )tan(=?≥+=-+=
+B A B A B A B A B A
（∴>=09
1
tan tan B A A,B 均是锐角，即其正切均为正）
83)tan(21tan 2
1cos 2sin sin 222-
≤+-===-+B A C C C c b a C ab
所求最大值为8
3
-
。 20．（本小题满分12分）
已知向量a →＝(cos 32x ，sin 32x)，b →＝(cos x 2，－sin x 2)，其中x ∈[0，π
2
]
(1)求a →·b →及|a →＋b →|；
(2)若f(x)＝a →·b →－2λ|a →＋b →|的最小值为－32
，求λ的值
20、(1)a →·b →＝cos 32xcos x 2－sin 32xsin x
2
＝cos2x ，|a →＋b →|＝2＋2cos2x ＝2cosx
(2)f(x)＝a →·b →－2λ|a →＋b →|＝cos2x －4λcosx ＝2cos 2
x －1－4λcosx ＝2(cosx －λ)2
－2λ2
－1
∵x ∈[0，π
2
]，故cosx ∈[0，1]，
若λ＜0，当cosx ＝0时f(x)取最小值－1，不合条件，舍去.
若0≤λ≤1，当cosx ＝λ时，f(x)取最小值－2λ2－1，令－2λ2
－1＝－32
且0≤λ≤1，解
得λ＝1
2
，
若λ＞1，当cosx ＝1时，f(x)取最小值1－4λ， 令1－4λ＝－3
2
且λ＞1，无解
综上：λ＝1
2为所求.
21. （本小题满分12分） （理科学生做）已知函数x ax
x
x f ln 1)(+-=
. （Ⅰ）若函数()f x 在[)1,+∞上是增函数，求正实数a 的取值范围； （Ⅱ）当1a =时，对任意的正整数1>n ，
求证：(
)01n f n >-，且不等式>n ln 1111In 234n n
+++???+都成立. 21（理科学生做）解：（I ）由题设可得2
1
'()(0)ax f x a ax -=> 函数()f x 在[1,)+∞上是增函数，
∴当[1,)x ∈+∞时，不等式2
1'()0ax f x ax -=≥即1
a x
≥恒成立.
当[1,)x ∈+∞时，1
x
的最大值为1，则实数a 的取值范围是[1,)+∞；-----------6分
（Ⅱ）当1a =时，由（Ⅰ）知x x
x
x f ln 1)(+-=
在[1,)+∞上是增函数 ∴对于任意的正整数1n >，有11n n >-，则(1)01n f f n ??
>= ?-??
--------------8分
（文科学生做）已知函数32ln )(+-=ax x a x f （0≠a ）. （1）求函数)(x f 的单调区间;
(2）函数)(x f y =的图像在2=x 处的切线的斜率为
,2
3
若函数])([3
1
)('23m x f x x x g ++=，在区间（1，3）上不是单调函数，求 m 的取值范围。
21（文科学生做）解：（I ）)0()21()('
>-=x x x a x f ……2分
当时，
0>a 0)('>x f 即210< 0)(> ,)∞+ ………4分 当时，0>x x f 即‘ ，0)(' f(x)的单调递增区间为（21,)∞+,单调递减区间为（0，2 1 ） ……6分 （II ）2 323)2(' =- =a f 得 1-=a ……7分 x x x f 2ln )(+-=+3 23)21 (31)(x m x x x g ++-+= ……8分 1)24()(2'-++=∴x m x x g ………9分 1)0(31)('-=g x g ）上不是单调函数，且，在区间（ ……10分 ?????><∴0 )3(0 )1(''g g ……12分 ???>+<+∴0620024m m 即：2310-<<-m ……12分 22. （理科学生做）已知函数()(1)ln 15,a f x x a x a x =++-+其中a<0,且a ≠-1. （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性； （Ⅱ）设函数???>?≤--++-=) 1)(() 1(,)64632()(223x x f e x e a a ax ax x x g x （e 是自然对数的底数）， 是否存在a ，使()g x 在[a,-a]上为减函数？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由. 22 （文科学生做）已知函数()ln f x ax x =+()a ∈R . (Ⅰ)若2a =，求曲线()y f x =在1x =处切线的斜率； (Ⅱ)求()f x 的单调区间； （Ⅲ）设2 ()22g x x x =-+，若对任意1(0,)x ∈+∞，均存在[]20,1x ∈，使得 12()()f x g x <，求a 的取值范围. 22（文科学生做）解：(1)由已知1 ()2(0)f x x x '=+ >， ……2分 (1)213f '=+=. 故曲线()y f x =在1x =处切线的斜率为3. ……………4分 (2)11'()(0)ax f x a x x x +=+ =>. ………………5分 ①当0a ≥时，由于0x >，故10ax +>，'()0f x > 所以，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞. ………………6分 ②当0a <时，由'()0f x =，得1 x a =-. 在区间1(0,)a -上，()0f x '>，在区间1 (,)a -+∞上()0f x '<， 所以，函数()f x 的单调递增区间为1(0,)a -，单调递减区间为1 (,)a -+∞.………7分 （3）由已知，转化为max max ()()f x g x <. ………………8分 max ()2g x = ……………9分 由(Ⅱ)知，当0a ≥时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，值域为R ，故不符合题意. (或者举出反例：存在3 3 (e )e 32f a =+>，故不符合题意.) ……………10分 当0a <时，()f x 在1(0,)a -上单调递增，在1 (,)a -+∞上单调递减， 故()f x 的极大值即为最大值，1 1 ()1ln()1ln()f a a a -=-+=----，………11分 所以21ln()a >---， 解得3 1 e a <-. ………………12分
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