函数的单调性
知识梳理
1. 单调性概念
一般地,设函数()f x 的定义域为I :
(1)如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ,当12x x <时,都有12()()f x f x <,那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数;
(2)如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ,当12x x <时,都有12()()f x f x >,那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数.
2. 单调性的判定方法
(1)图像法:从左往右,图像上升即为增函数,从左往右,图像下降即为减函数。
(2)定义法步骤;
①取值:设12,x x 是给定区间内的两个任意值,且12x x < (或12x x >);
②作差:作差12()()f x f x -,并将此差式变形(注意变形到能判断整个差式符号为止); ③定号:判断12()()f x f x -的正负(要注意说理的充分性),必要时要讨论; ④下结论:根据定义得出其单调性.
(3)复合函数的单调性:
当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数;当内外层函数的单调性相反时则复合函数为减函数。也就是说:同增异减(类似于“负负得正”)
3. 单调区间的定义
如果函数()y f x =,在区间D 上是增函数或减函数,那么就说函数在这个区间上具有单调性,区间D 叫做()y f x =的单调区间.
例题精讲
【例1】下图为某地区24小时内的气温变化图.
(1)从左向右看,图形是如何变化的?
(2)在哪些区间上升?哪些区间下降?
解:(1)从左向右看,图形先下降,后上升,再下降;
(2)在区间[0,4]和[14,24]下降,在区间[4,14]下降。
【例2】画出下列函数的图象,观察其变化规律:
(1)f (x )=x ;
①从左至右图象上升还是下降?
②在区间(-∞,+∞)上,随着x 的增大,f (x )的值随着怎么变化?
(2)f (x )=x 2.
①在区间(-∞,0)上,随着x 的增大,f (x )的值随着怎么变化?
②在区间[0 ,+∞)上,随着x 的增大,f (x )的值随着怎么变化?
解:(1)①从左至右图象是上升的;
②在区间(-∞,+∞)上,随着x 的增大,f (x )的值随着增大.
(2)①在区间(-∞,0)上,随着x 的增大,f (x )的值随着减小;
②在区间[0 ,+∞)上,随着x 的增大,f (x )的值随着增大.
【例3】函数()y f x =在定义域的某区间D 上存在12,x x ,满足12x x <且12()()f x f x <,那么函数()y f x =在该区间上一定是增函数吗?
解:不一定,例如下图:
【例4】下图是定义在闭区间[5,5]-上的函数()y f x =的图象,根据图象说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,它是增函数还是减函数.
解:函数()y f x =的单调区间有[5,2),[2,1),[1,3),[3,5)---;
其中在区间[5,2),[1,3)--上是减函数,在区间[2,1),[3,5)-上是增函数.
【例5】证明函数()32f x x =+在R 上是增函数.
证明:设12,x x 是R 上的任意两个实数,且12x x < (取值)
则1212()()(32)(32)f x f x x x -=+-+ (作差)
由12x x <,得 120x x -<
于是12()()0f x f x -< (定号)
所以12()()f x f x <
所以,函数()32f x x =+在R 上是增函数。 (下结论)
课堂练习
仔细读题,一定要选择最佳答案哟!
1. 若函数()f x 在区间(,)a b 上是增函数,在区间(,)c d 上也是增函数,则函数()f x 在区间
(,)(,)a b c d U 上 ( )
A.必是增函数
B.必是减函数
C.先增后减
D.无法确定单调性
2. 在区间(,0)-∞上为增函数的是( )
A .1=y
B .21+-=x x y
C .122---=x x y
D .21x y +=
3.函数,在上是( )
A.增函数
B.减函数
C.先增后减
D.无单调性
4.如果函数f (x )在[a ,b ]上是增函数,对于任意的x 1,x 2∈[a ,b ](x 1≠x 2),下列结论不正确的是( )
A.f ?x 1?-f ?x 2?x 1-x 2
>0 B .(x 1-x 2) [f (x 1)-f (x 2)]>0 C .f (a ) >0 5.函数11y x =-的减区间是 . 6.证明:函数1()f x x =在(0,)+∞上是减函数。 7.已知f (x )在(0,+∞)上是减函数,判断f (a 2-a +1)与f ? ?? ??34的大小关系. 8.若函数f (x )=4x 2-kx -8在[5,8]上是单调函数,求k 的取值范围. 9.已知函数()1ax f x x =-,若. (l)求的值. (2)利用单调性定义证明函数在区间的单调性. 高一数学函数单调性 一、函数单调性知识结构 【知识网络】 1.函数单调性的定义,2.证明函数单调性;3.求函数的单调区间 4.利用函数单调性解决一些问题;5.抽象函数与函数单调性结合运用 二、重点叙述 1. 函数单调性定义 (一)函数单调性概念 (1)增减函数定义 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2 : 如果当x1<x2时,都有f(x1 ) <f(x2 ),那么就说函数y=f(x)在区间D上是增函数; 如果当x1<x2时,都有f(x1 ) >f(x2 ),那么就说函数y=f(x)在区间D上是减函数。 如果函数在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做的单调区间。 (2)函数单调性的内涵与外延 ⑴函数的单调性也叫函数的增减性。函数的单调性是对某个区间而言的,是一个局部概念。 ⑵由函数增减性的定义可知:任意的x1、x2∈D, ① x1<x2 ,且f(x1 ) <f(x2 ),y=f(x)在区间D上是增函数;(可用于判断或证明函数的增减性) ② y=f(x)在区间D上是增函数,且x1<x2 , f(x1 ) <f(x2 ) ;(可用于比较函数值的大小) ③ y=f(x)在区间D上是增函数,且f(x1 ) <f(x2 ), x1<x2。(可用于比较自变量值的大小) 2. 函数单调性证明方法 证明函数单调性的方法有:定义法(即比较法);导数法。 实际上,用导数方法证明一般函数单调性是很便捷的方法,定义法是基本方法,常用来证明解决抽象函数或不易求导的函数的单调性。 (1)定义法:利用增减函数的定义证明。在证明过程中,把数式的大小比较转化为求差比较(或求商比 函数的单调性 知识梳理 1. 单调性概念 一般地,设函数()f x 的定义域为I : (1)如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ,当12x x <时,都有12()()f x f x <,那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数; (2)如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ,当12x x <时,都有12()()f x f x >,那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数. 2. 单调性的判定方法 (1)图像法:从左往右,图像上升即为增函数,从左往右,图像下降即为减函数。 (2)定义法步骤; ①取值:设12,x x 是给定区间内的两个任意值,且12x x < (或12x x >); ②作差:作差12()()f x f x -,并将此差式变形(注意变形到能判断整个差式符号为止); ③定号:判断12()()f x f x -的正负(要注意说理的充分性),必要时要讨论; ④下结论:根据定义得出其单调性. (3)复合函数的单调性: 当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数;当内外层函数的单调性相反时则复合函数为减函数。也就是说:同增异减(类似于“负负得正”) 3. 单调区间的定义 如果函数()y f x =,在区间D 上是增函数或减函数,那么就说函数在这个区间上具有单调性,区间D 叫做()y f x =的单调区间. 例题精讲 【例1】下图为某地区24小时内的气温变化图. (1)从左向右看,图形是如何变化的? (2)在哪些区间上升哪些区间下降? 解:(1)从左向右看,图形先下降,后上升,再下降; (2)在区间[0,4]和[14,24]下降,在区间[4,14]下降。 【例2】画出下列函数的图象,观察其变化规律: (1)f (x )=x ; ①从左至右图象上升还是下降 ②在区间(-∞,+∞)上,随着x 的增大,f (x )的值随着怎么变化? 指数函数与对数函数知识点总结 (一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念:一般地,如果a x n =,那么x 叫做a 的n 次 方根,其中n >1,且n ∈N * . 当n 是奇数时, a a n n =,当n 是偶数时, ?? ?<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义,规定: ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 3.实数指数幂的运算性质 (1)r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>; (2)rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>; (3)s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>. (二)指数函数及其性质 1、指数函数的概念:一般地,函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域为R . 二、对数函数 (一)对数 1.对数的概念:一般地,如果N a x =)1,0(≠>a a ,那么数x 叫做以.a 为底..N 的对数, 记作:N x a log =(a — 底数,N — 真数,N a log — 对数式) 两个重要对数: ○ 1 常用对数:以10为底的对数N lg ; ○ 2 自然对数:以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln . 指数式与对数式的互化 幂值 真数 (二)对数的运算性质 如果0>a ,且1≠a ,0>M ,0>N ,那么: ○ 1 M a (log ·=)N M a log +N a log ; ○ 2 =N M a log M a log -N a log ; ○ 3 n a M log n =M a log )(R n ∈. 注意:换底公式 a b b c c a log log log = (0>a ,且1≠a ;0>c ,且1≠c ; 0>b ). 利用换底公式推导下面的结论 (1)b m n b a n a m log log =; (2)a b b a log 1log =. (二)对数函数 单调性与最大(小)值 要点一、函数的单调性 1.增函数、减函数的概念 一般地,设函数f(x)的定义域为A ,区间D A ?: 如果对于D 内的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x 1 指数函数知识总结 (一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念: 一般地,如果a x n =,那么x 叫做a 的n 次方根,其中n >1,且n ∈N * . ①负数没有偶次方根;②0的任何次方根都是0,记作00=n 。 ③当n 是奇数时,a a n n =, 当n 是偶数时,???<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义,规定: ) 1,,,0()1(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1)2(*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m (3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 3.实数指数幂的运算性质 (1)r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>; (2)rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>; (3) s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>. 题型一、计算 1.44 等于( ) A 、16a B 、8a C 、4a D 、2 a 2.⑴ 33 )2(-= ⑵ 44 )2(-= ⑶ 66)3(π-= ⑷ 2 22y xy x ++= 3.① 625625++- ② 335252-++ 4.计算(1 + 2048 21)(1 + 1024 21)…(1 + 421)(1 + 2 21)(1 + 21 ). 5. 计算(0.0081)4 1-- [3×(87)0]1-·[8125 .0-+(38 3)31-]21 -. 题型二、化简 1. 3 2 13 2b a b a ?- ÷3 2 11- --??? ? ? ?a b b a 2. 322a a a ?(a >0). 3.化简: 3 32 b a a b b a (a >0,b >0). 题型三、带附加条件的求值问题 1. 已知a 2 1+ a 2 1-= 3,求下列各式的值: ⑴ a + a 1 - ⑵ a 2+ a 2 - ⑶ 2 12 1232 3- - --a a a a 2. 已知2a x x =+-2(常数),求8x x -+8的值。 3. 已知x + y = 12, xy = 9,且x <y ,求 2 12 1 212 1y x y x +-的值。 4.已知a 、b 是方程x 2 - 6x + 4 = 0的两根,且a >b >0,求b a b a +-的值。 1.函数的单调性:在某个区间( a,b )内,如果f (x) . 0 ,那么函数y = f (x)在这个区间内单调递增;如果f (x) :::0,那么函数y = f(x)在这个区间内单调递减?如果f(x)=0,那么函数y = f(x)在这个区间上是常数函数? 注:函数y = f (x)在(a,b )内单调递增,贝U f (x)亠0,f (x) . 0是y = f (x)在(a,b )内单调递增的充分不必要条件? 2.函数的极值:曲线在极值点处切线的斜率为0,并且,曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为 负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正. 一般地,当函数 y = f(x)在点沧处连续时,判断f(X。)是极大(小)值的方法是: (1)如果在X。附近的左侧f ' (x) 0 ,右侧f'(x)::: ,那么f(X0)是极大值. (2)如果在X o附近的左侧f '(X):::0 ,右侧f'(x) 0,那么f(X0)是极小值. 注:导数为0的点不一定是极值点 知识点一:导数与函数的单调性 方法归纳: 在某个区间(a,b )内,如果f (x) ?0,那么函数y = f (x)在这个区间内单调递增;如果「(x) :::0,那 么函数y二f(x)在这个区间内单调递减?如果f (x) =0,那么函数y二f(x)在这个区间上是常数函数?注:函数y = f (x)在(a,b )内单调递增,贝U f (x) _ 0 , f (x) 0是y = f (x)在(a,b )内单调递增的 充分不必要条件? 例1】(B类)已知函数f(x)=x3 bx2 cx d的图象过点P(0, 2),且在点M(-1, f(-1))处的切线方程为6x「y ?7 = 0 ? (I)求函数y = f(x)的解析式;(n)求函数y=f(x)的单调区间? 【解题思路】注意切点既在切线上,又原曲线上?函数f(x)在区间[a,b]上递增可得:f'(x)_0 ;函数 f (x)在区间[a,b]上递减可得:f'(x) E0. 3 【例2】(A类)若f(x)二ax x在区间[—1,1]上单调递增,求a的取值范围? 【解题思路】利用函数 f (x)在区间[a,b]上递增可得:f'(x)_0;函数f(x)在区间[a,b]上递减可得: f '(x)岂0.得出恒成立的条件,再利用处理不等式恒成立的方法获解 a 【例 3 】(B 类)已知函数f(x)=l nx,g(x) (a 0),设F(x^ f (x) - g(x). x (I)求函数F(x)的单调区间; 2.3 函数的单调性 学习目标: 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义. 2.会用定义判断函数的单调性,会求函数的单调区间及会用单调性求函数的最值. 重点难点:函数单调性的应用 一、知识点梳理 1.函数单调性定义:对于给定区间D 上的函数f(x),若对于任意x 1,x 2∈D, 当x 1 若内外两函数的单调性相反时,则()y f g x =????在x 的区间D 内单调递减. 3.常见结论 若f(x)为减函数,则-f(x)为增函数 ; 若f(x)>0(或<0)且为增函数,则函数) (1x f 在其定义域内为减函数. ( 二、例题精讲 题型1:单调性的判断 1.写出下列函数的单调区间 (1),b kx y += (2)x k y =, (3)c bx ax y ++=2. * 2.求函数22||3y x x =-++的单调区间. # 3.判断函数f (x )=1 x 2-4x 的增减情况. 1.3.1函数的单调性 题型一、利用函数的图象确定函数的单调区间 例1.作出下列函数的图象,并写出函数的单调区间 (1)12-=x y ; (2)322++-=x x y ; (3)2 )2(1-++=x x y ; (4)969622++++-=x x x x y 相应作业1:课本P32第3题. 题型二、用定义法证明函数的单调性 用定义法证明函数的单调性步骤:取值 作差变形 定号 下结论 ?取值,即_____________________________; ?作差变形,作差____________,变形手段有__________、_____、_____、_______等; ?定号,即____________________________________________________________; ④下结论,即______________________________________________________。 例2.用定义法证明下列函数的单调性 (1)证明:1)(3 +-=x x f 在()+∞∞-,上是减函数. ▲定义法证明单调性的等价形式: 设[]b a x x ,21∈、,21x x ≠,那么 [])(0) ()(0)()()(2 1212121x f x x x f x f x f x f x x ?>--? >--在[]b a ,上是增函数; [])(0) ()(0)()()(2 1212121x f x x x f x f x f x f x x ?<--? <--在[]b a ,上是减函数. (2)证明:x x x f -+=1)(2在其定义域内是减函数; (3)证明:21 )(x x f = 在()0,∞-上是增函数; 法一: 作差 法二:作商 指数函数与对数函数总结与练习 一、指数的性质 (一)整数指数幂 1.整数指数幂概念: a n n a a a a 个???= )(* ∈N n ()010a a =≠ ()1 0,n n a a n N a -*= ≠∈ 2.整数指数幂的运算性质:(1)(),m n m n a a a m n Z +?=∈ (2)() (),n m mn a a m n Z =∈ (3)()()n n n ab a b n Z =?∈ 其中m n m n m n a a a a a --÷=?=, ()1n n n n n n a a a b a b b b --??=?=?= ??? . 3.a 的n 次方根的概念 一般地,如果一个数的n 次方等于a ( )* ∈>N n n ,1,那么这个数叫做a 的n 次方根, 即: 若a x n =,则x 叫做a 的n 次方根, ()* ∈>N n n ,1 说明:①若n 是奇数,则a 的n 次方根记作n a ; 若0>a 则0>n a ,若o a <则0 函数的简单性质 一、函数的单调性 1、单增函数:在函数y=f(x)的定义域的一个区间M中,如果对于任意两个值x1,x2,当改变量x2>x1时,有Δy=f(x2)-f(x1)>0,即:f(x2)> f(x1)那就称函数y=f(x)在区间M上是增函数,. 2、单减函数:在函数y=f(x)的定义域的一个区间M中,如果对于任意两个值x1,x2,当改变量x2>x1时,有Δy=f(x2)-f(x1)<0,即:f(x2)< f(x1)就称函数y=f(x)在区间M上是减函数, 2.单调性与单调区间 如果一个函数在某个区间M上是单增函数或是单减函数,就说这个函数在这个区间M上具有单调性(区间M称为单调区间). 3、证明单调性: 用定义证明函数单调性的步骤 (1)设x1,x2是f(x)定义域内一个区间上的任意两个量,且x1 5、常用结论: (1)若f(x)是增函数,则-f(x)为减函数 (2)若f(x)是减函数,则-f(x)为增函数 (3)若f(x)和g(x)均为增(或减)函数,则在f(x)和g(x)的共定义域上f(x)+g(x)为增(或减)函数 (4)若f(x)>0,且为增函数,则函数为增函数,为减函数若f(x)>0,且为减函数,则函数为减函数,为增函数练习: 1、(函数单调性的判断) (1)证明函数x x f- = ) (在定义域上是减函数。(定义法) (2)证明函数3 ()2 f x x x =--在R上是单调递减函数;(定义法) (3)证明函数2 ()231 f x x x =-+-在区间 3 (,] 4 -∞上是单调递增函数;(图 像法) 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义. 2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质. ★备考知考情 1.函数的单调性是函数的一个重要性质,是高考的热点,常见问题有:求单调区间,判断函数的单调性,求参数的取值,利用函数单调性比较数的大小,以及解不等式等.客观题主要考查函数的单调性,最值的确定与简单应用. 2.题型多以选择题、填空题的形式出现,若与导数交汇命题,则以解答题的形式出现. 一、知识梳理《名师一号》P15 注意: 研究函数单调性必须先求函数的定义域, 函数的单调区间是定义域的子集 单调区间不能并! 知识点一函数的单调性 1.单调函数的定义 1 2 2.单调性、单调区间的定义 若函数f (x )在区间D 上是增函数或减函数,则称函数f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D 叫做f (x )的单调区间. 注意: 1、《名师一号》P16 问题探究 问题1 关于函数单调性的定义应注意哪些问题? (1)定义中x 1,x 2具有任意性,不能是规定的特定值. (2)函数的单调区间必须是定义域的子集; (3)定义的两种变式: 设任意x 1,x 2∈[a ,b ]且x 1 3 1212 ()() 0-<-f x f x x x ? f (x )在[a ,b ]上是减函数. ②(x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]>0?f (x )在[a ,b ]上是增函数; (x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]<0?f (x )在[a ,b ]上是减函数. 2、《名师一号》P16 问题探究 问题2 单调区间的表示注意哪些问题? 单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示; 如有多个单调区间应分别写,不能用并集符号“∪”联结,也不能用“或”联结. 知识点二 单调性的证明方法:定义法及导数法 《名师一号》P16 高频考点 例1 规律方法 (1) 定义法: 利用定义证明函数单调性的一般步骤是: ①任取x 1、x 2∈D ,且x 1 高考压轴题:导数题型及解题方法 (自己总结供参考) 一.切线问题 题型1 求曲线)(x f y =在0x x =处的切线方程。 方法:)(0x f '为在0x x =处的切线的斜率。 题型2 过点),(b a 的直线与曲线)(x f y =的相切问题。 方法:设曲线)(x f y =的切点))(,(00x f x ,由b x f x f a x -='-)()()(000求出0x ,进而解决相关问题。 注意:曲线在某点处的切线若有则只有一,曲线过某点的切线往往不止一条。 例 已知函数f (x )=x 3﹣3x . (1)求曲线y=f (x )在点x=2处的切线方程;(答案:0169=--y x ) (2)若过点A )2)(,1(-≠m m A 可作曲线)(x f y =的三条切线,求实数m 的取值范围、 (提示:设曲线)(x f y =上的切点()(,00x f x );建立)(,00x f x 的等式关系。将问题转化为关于m x ,0的方程有三个不同实数根问题。(答案:m 的范围是()2,3--) 练习 1. 已知曲线x x y 33 -= (1)求过点(1,-3)与曲线x x y 33-=相切的直线方程。答案:(03=+y x 或027415=--y x ) (2)证明:过点(-2,5)与曲线x x y 33-=相切的直线有三条。 2.若直线0122=--+e y x e 与曲线x ae y -=1相切,求a 的值. (答案:1) 题型3 求两个曲线)(x f y =、)(x g y =的公切线。 方法:设曲线)(x f y =、)(x g y =的切点分别为()(,11x f x )。()(,22x f x ); 指数函数知识点汇总 ————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期:高一数学函数的单调性知识点
函数的单调性知识点总结与题型归纳
指数函数与对数函数知识点总结
函数的单调性和奇偶性知识归纳和典型题型
指数函数知识点总结
知识点一-导数与函数的单调性
函数的单调性知识点总结及练习
1.3.1函数的单调性例题
指数函数及对数函数复习(有详细知识点及习题详细讲解)
高中函数单调性知识点及习题
函数的单调性 知识点与题型归纳
(完整word版)高考导数题型归纳
指数函数知识点汇总