1.5.1-1.5.2曲边梯形的面积和汽车行驶的路程
【学习目标】
1、理解“以直代曲”的意义；
2、理解求曲边梯形面积的四个步骤；
3、了解“近似代替”时取点的任意性。
【重点、难点】
重难点：对以直代曲、无限逼近思想的理解。以及一般曲边梯形的面积的求法.
【使用说明、学法指导】
1、先通读教材勾画出本节内容的基本知识，再完成教材助读设置的问题，依据发现的问题，然后再读教材或查阅资料，解决问题。
2、独立完成，限时15分钟。
【课前预习案】
【复习回顾】 )12)(1(6
13212222++=++++n n n n , 2222)1(321-++++n =_____________
【教材助读】自主看书P38-42页，总结探讨：
1、连续函数的概念
一般地，如果函数()y f x =在某个区间I 上的图像是一条_________________，那么我们就把它称为区间I 上的连续函数。
2、曲边梯形的概念
我们把由直线_______________和曲线________所围成的图形称为曲边梯形
3、曲边梯形的面积和汽车行驶路程的求解步骤
________→_____________→__________→___________
【方法与技巧】
1、由极限求曲边梯形的面积的步骤：
(1)分割：在[a ，b]上插入 点，把[a ，b]分成n 个小区间，将其等分成n 个
小区间1[,](1,2,,)i i x x i n -=，区间长度为i x =
(2)近似代替：“以曲代直”，即用__________的面积近似代替小曲边梯形的面
积，得到每个小曲边梯形面积的近似值.
(3)求和：将n 个小矩形的面积进行求和得n S
(4)取极限：当n →∞时，n S S →, S 即为所求.
曲边形面积=S n
a b f x f n i i n n i i x -?=??∑∑=∞→=→?)ξ(lim )ξ(lim 110 2、求汽车行驶路程的基本方法
将运动时间进行分割，在无限小的时间上变速可看作匀速，然后求和取极限，从而求得变速直线运动的路程.
变速运动路程=S n
a b v t v n i i n n i i t -?=??∑∑=∞→=→?)ξ(lim )ξ(lim 110 【课堂探究案】
1.求抛物线2+1y x =与直线0,1,0x x y ===所围成的平面图形的面积（该图形为曲边三角形，是曲边梯形的特殊情况）
【当堂训练1】
已知由直线0,2,0x x y ===和曲线2()f x x =所围成的曲边梯形，求曲边梯形的面积S .
2、一辆汽车在笔直的公路上变速行使,设汽车在时刻t 的速度为2)(2+-=t t v (t 的单位：h ，v 的单位：)/h km ,求它在10≤≤t 这段时间内行使的路程S (单位:km )是多少？
【当堂训练2】
一辆汽车在笔直的公路上变速行使,设汽车在时刻t 的速度为2()3v t t =-+(t 的
单位：h ，v 的单位：
)/h km ,求它在02t ≤≤这段时间内行使的路程S (单位:km )是多少？
【课后巩固案】
1.下列函数在其定义域上不是连续函数的是( )
A.2x y =
B.||x y =
C.x y =
D.x
y 1=
2.把区间[1,3]n 等分,所得n 个小区间,每个小区间的长度为( ) A.n 1 B.n 2 C.n 3 D.n 21 22
233.lim =n n n n →∞-( ) A.1 B.2 C.3 D.1-
4.把区间],[b a )(b a n i n i - B. )](),(1[a b n i a b n i --- C.],1[n i a n i a +-+ D. )](),(1[a b n i a a b n i a -+--+ 5.在“近似替代”中，函数)(x f 在区间],[1+i i x x 上的近似值（ ） A.只能是左端点的函数值)(i x f B.只能是右端点的函数值)(1+i x f C.可以是该区间内的任一函数值()∈i i f ξξ(],[1+i i x x ） D.以上答案均正确 6.函数2()=f x x 在区间1[,]i i n n -上（ ） A.)(x f 的值变化很小 B.)(x f 的值变化很大 C.)(x f 的值不变化 D.当n 很大时，)(x f 的值变化很小 7.由直线0,3,0x x y ===和2y x =所围成的图形的面积为（ ） A.2111()n i i n n =-?∑ B.21 11lim ()n n i i n n →+∞=-?∑ C.2133()n i i n n =?∑ D.2133lim ()n n i i n n →+∞=?∑ 8. 求由直线0,3,1===y x x 和抛物线23x y =所围成的图形的面积. 1.5.1 曲边梯形的面积 一、教学目标 1、知识与技能目标： （1）通过问题情景，经历求曲边梯形面积的过程，初步了解、感受定积分概念的实际背景。（2）理解求曲边梯形面积的“四步曲”——分割、近似代替、求和、取极限。 2、过程与方法目标： （1）通过问题的探究体会“以直代曲、无限逼近”的思想。 （2）通过类比体会从具体到抽象、从特殊到一般的数学思想方法。 3、情感、态度与价值观目标： 在探究中进一步感受极限的思想，体会直与曲虽然是对立矛盾的，但它们可以相互转化，体现对立统一的辩证关系，在问题解决中体验成功的愉悦，感受数学的魅力。 二、学情分析 本节课的教学对象是民语班的学生。 学生在本节课之前已经具备的认知基础有： 一是学生已学习过如何通过割补的方法计算不规则直边图形的面积；学生在必修3的阅读与思考内容中对刘徽的“割圆术”求圆面积的方法已经有所了解。 二是学生虽然未学习过极限的有关知识，但通过导数的学习，对极限有了初步的认识。学生在本节课学习中将会面临的难点： 一是部分学生汉语程度相对较为薄弱，一些数学名词难以准确理解，因此需要借助民语教材对部分名词做民语标注，帮助学生准确掌握和学习；此外，学生的汉语表达能力较差，需要即时引导学生进行准确表述和学习。 二是本节课的学习过程中如何“以直代曲”，即学生如何将割圆术中“以直代曲，无限逼近”的思想灵活地迁移到一般的曲边梯形上．具体说来就是：如何选择适当的直边图形（矩形、三角形或梯形）代替曲边梯形，并使细分的过程程序化且便于操作和计算。 三、重点难点 教学重点： 探究求曲边梯形面积的方法。 教学难点： 把“以直代曲”的思想方法转化为具体可操作的步骤，理解“无限逼近”的思想方法。 四、教学过程 一、问题情境—生活中的数学原型 【教师提问】观察下面的图片，从图片中截取一个平面图形，观察图形，如何求图形的面积？图片一： 北师大版五年级上册数学《梯形的面积》教案范文 教学内容： 人教版中小学数学教材五年级上册第95页主习题图、96页例⑶第96页“做一做”， 教学目的： ⑴知识与技能：通过观察、猜想、操作等数学活动，推导出梯形的面积计算公式。开展空间观念和推理能力渗透转化的数学思想方法。并能进一步领会利用转化的方法解决问习题 ⑵过程与方法：能正确地应用公式计算梯形的面积，并能解决生活中一些简略的实际问习题。 ⑶情感态度与价值观：让学生自我展示、自我激励，体验成功，在不断尝试中激发求知欲，陶冶情操。培养学生探索精神和合作精神，取得数学学习的乐趣。 教学重点： 掌握梯形面积的计算公式，并会用公式解决实际问习题。 教学难点： 理解梯形面积公式推导方法的多样化，领会转化的思想。 考点剖析： 会用梯形面积公式解决实际问习题。 教学方法： 游戏引入——新知讲授——稳固总结归纳——练习提高 教学用具： 课件、多组两个完全雷同的梯形。 教学过程： 一、提出问习题（课件出示教材第95页的主习题图）。 老师：同学们在图中发现了什么？ 老师：车窗玻璃的形状是梯形。怎样求出它的面积呢？ 二、通过旧知迁移引出新课。 老师：同学们还记得平行四边形和三角形的面积怎么求吗？ ⑴指名能说出平行四边形面积公式及三角形面积公式。并能简要说出面积公式推导过程。 ⑵课件出示平行四边形面积、及三角形面积公式推导的过程，老师提醒转化方法：拼合法、割补法 ⑶老师：前面我们学习了平行四边形的面积，又学习了三角形的面积，请同学们想一想，我们能用学过的方法推导出梯形的面积计算公式吗？ 三、提醒课习题； 根据学生的答复，引出新课，梯形的面积。 板书课习题--梯形的面积。 四、新知探究 ⑴师：根据前面的学习，我们把要研究的图形转化成已学过的平面图形，就能找到求图形面积的计算方法，今天我们要研究的梯形面积，可以怎样转化呢？ 1.5.1曲边梯形的面积教案 一、学习目标 1.通过对曲边梯形面积的探求，掌握好求曲边梯形的面积的四个步骤—分割、近似代替、求和、求极限； 2通过求曲边梯形的面积、变速运动中的路程，初步了解定积分产生的背景． 二、重点、难点 重点：求曲边梯形的面积； 难点：深入理解“分割、近似代替、求和、求极限”的思想． 三、知识链接 1、直边图形的面积公式：三角形，矩形，梯形； 2、匀速直线运动的时间（t）、速度（v）与路程（S）的关系． 四、学法指导 探求、讨论、体会以直代曲数学思想． 五、自主探究 1、概念：如图，由直线x=a , x= b , x轴，曲线y=f (x)所围 成的图形称为． 2、思考：如何求上述图形的面积？它与直边图形的主要区 别是什么？能否将求这个图形的面积转化为求直边图形的 面积问题？ 例１、求由抛物线y=x2与x轴及x=1所围成的平面图形的面 积S． 分析：我们发现曲边图形与“直边图形”的主要区别是， 曲边图形有一边是线段，而“直边图形”的所有边都是线段。 我们可以采用“以直代曲，逼近”的思想得到解决问题的思路： 将求曲边梯形面积的问题转化为求“直边图形”面积的问题． 解：（1）分割 把区间[0，1]等分成n个小区间： 过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小曲边梯形，他 们的面积分别记作 （2）以直代曲 （3）作和 （4）逼近 分割以曲代直作和逼近 当分点非常多（n非常大）时，可以认为f(x)在小区间上几乎没有变化（或变化非常小），从而可以取小区间内任意一点xi对应的函数值f(xi)作为小矩形一边的长，于是f(xi) △x来近似表示小曲边梯形的面积 表示了曲边梯形面积的近似值。 变式拓展：求直线x=0,x=2,y=0与曲线y=x2所围成的曲边梯形的面积． 反思: 例2：一辆汽车在笔直的公路上变速行使,设汽车在时刻的速度为(单位，求它在(单位：)这段时间内行使的路程(单位:)． 梯形的面积教学设计与反思 高密市第二实验小学李慧 教学目标： 1、在平行四边形、三角形面积推导的基础上，引导学生采用合作探究的形式，概括出梯形面积计算公式。 2、会正确、较熟练的运用公式计算梯形面积，并能解决一些生活中的实际问题，提高学生发现问题、分析问题、解决问题的能力；。 3、通过自主探究，小组合作，在操作、观察、比较中，培养学生的想象力、思考力，发展学生的空间观念。 4、渗透数学迁移、转化思想，让学生感受数学与生活的紧密联系，提高学生学习数学的兴趣。 教学重点:理解并掌握梯形面积公式，会计算梯形的面积。 教学难点:自主探究梯形面积公式。 教具准备：CAI、完全一样的梯形若干个。 学具准备：每生准备两个完全一样的梯形。（有等腰、直角、一般） 课前预习：梯形各部分、直角梯形、等腰梯形、平行四边形面积、三角形面积、渗透梯形方法、（你能不能把梯形转化成前面学过的图形，需要用笔直尺、画一画。）小组合作大胆交流、每人都要说自己的想法。直到老师说做好为止。 教学过程： 课前准备：谁来介绍你们的姓名、年龄、学校、爱好等等，让大家都来了解你。我们先介绍这，我相信同学们在课堂上的表现一定会让所有的老师都记住你。 一、创设情境，激发兴趣。 （出示情境图）。 谈话：同学们，今天李老师和你们一起来参观王伯伯的甲鱼池，请仔细观察，你能发现哪些数学信息？ 生：1号甲鱼池的形状是梯形的，每平方米放养甲鱼苗200只。 师：根据发现，你能提出什么数学问题？ 学生观察情境图，提出问题。 生：1号甲鱼池的面积有多大？ 师：你提的问题很好，同学们想不想知道。谁还能提出什么问题？ 生：1号甲鱼池能放养多少甲鱼苗？ 二、自主探究梯形的面积计算方法。 1.教师：刚才同学们提的问题都很有价值。（课件）我们来看这两个问题。要求1号甲鱼池的面积，也就是求什么图形的面积？ 生：梯形。 师：你会求这个梯形的面积吗？那么怎样求梯形的面积呢？这节课我们就一起来探究梯形的面积。板书课题：梯形的面积。 教师：如果我用这个梯形纸片代表甲鱼池的面积，想一想，你能用什么办法求出这个梯形纸片的面积？请你先独立思考，然后在小组内交流一下你的方法。 2.小组讨论交流，教师巡视了解。 3.展示、汇报交流。 师：哪个小组先来说说你们的方法。拿着你的梯形到前面来说给同学听一听。 一、教学内容解析 微积分的创立是数学发展中的里程碑，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段．导数和定积分都是微积分的核心概念，它们有极其丰富的实际背景和广泛的应用． 二.学生学情分析： 本节课的教学对象是临漳一中美术班的学生，学生的数学基础较一般，理解能力、运算能力和学习交流能力较差．学生在本节课之前已经初步具备的认知基础有如下几个方面. （1）在过去的学习中，学生已经知道“直边图形”面积的求法。 （2）学生在学习本节前已经知道如何对数列进行求和. 学生在本节课学习中将会面临两个难点：一是如何“以直代曲”，即学生如何将割圆术中“以直代曲、无限逼近”的思想灵活地迁移到一般的曲边梯形上，二是对“极限”和“无限逼近”的理解，即理解为什么将直边图形面积和取极限正好是曲边梯形面积的精确值. 三、教学目标分析 依据教学大纲，结合教材内容和学生的认知水平，我将本节课的教学目标确定如下： （1）知识与技能:从问题情境中了解定积分的实际背景；掌握求曲边梯形面积的方法及步骤；（2）情感、态度与价值观:让学生亲身经历数学知识产生的过程，提升学生的交流合作意识，体验“有限与无限对应统一”的辩证观点. 四、教学重点、难点： 重点：探究求曲边梯形面积的方法. 难点：把“以直代曲”的思想方法转化为具体可操作的步骤，理解“无限逼近”思想方法. 五、教具分析 为更好的完成教学目标，利用实物投影展现学生研究成果；借助教学课件形象直观的展示问题；利用几何画板软件动态演示分割变细过程，感悟无限逼近的极限思想. 六、教学过程设计： 为实现本节课的教学目标，突出重点，突破难点，根据“启发性原则”和“循序渐进原则”，我把教学过程设计为“问题引入--寻找方案--实施方案--解觉问题--提炼本质”五个阶段． （-）问题引入，点出课题： 1.展示图片，抽象概念 《梯形的面积》教学设计 教材分析： 《梯形的面积》是《义务教育课程标准实验教科书?数学》（人教版）五年级上册第88~91页的内容。本节是在学生掌握梯形特征，学会平行四边形、三角形面积的计算，并形成一定空间观念的基础上进行教学的。因此，教材的编排不同于平行四边形和三角形，没有安排用数方格的方法求梯形的面积，而是直接给出一个梯形，引导学生想，怎样仿照求三角形面积的方法把梯形转化为已学过的图形来计算它的面积，使学生进一步学习用转化的方法思考问题。教材中的插图给出了转化的操作过程，同时继续渗透旋转和平移的思想，以便于学生理解。在动手操作的基础上，引导学生自己来总结梯形面积的计算公式，通过概括总结，提高学生的思维水平。进而再利用字母表述出新学的计算公式，以提高学生的抽象概括能力。最后通过例题进一步说明怎样应用梯形面积的计算公式来解决实际问题，并进行相应的练习。 教学目标： 1、在自主探索、合作交流中经历梯形面积公式的推导过程，掌握梯形面积的计算方法，并能灵活运用公式解决相关的数学问题。 2、通过观察、猜想、操作等数学活动，发展空间观念和推理能力获得解决问题的多种策略，感受数学方法的内在魅力。 3、体验数学“再创造”的乐趣，获得个性化的发展。 学情分析： 学生已经学习了平行四边形、三角形的面积计算方法，初步理解了平移、旋转的思想，具有了一定的探索图形的面积计算公式的经验，并初步领悟了“转化”的数学思想方法，具备了初步的归纳、对比和推理的数学活动经验，让学生用同样的推理方法推出梯形面积的公式是可能的。只是学生在推导计算公式时肯定有一定的难度，尤其是用割补法推导公式，因此我先让学生用拼摆两个相同的梯形的方法来推导公式，在此基础上再用割补法来推导公式，这样在掌握知识的同时，学生的思维也能得到充足的发展。使学生自己探索学习，最终获取知识和能力。 教学重点：探索并掌握梯形面积计算公式。 教学难点：理解梯形面积计算公式的推导过程。 教学准备：梯形学具、电子白板和多媒体课件。 教学过程： 一、铺垫孕伏，以旧引新 师：同学们，我们在学习平行四边形和三角形面积的计算时，学到一种非常重要的学习方法，还记得是什么方法吗？谁来说说平行四边形和三角形的面积是怎样推导出来的？ 《梯形的面积》教学设计 教学目标 1、在实际情境中，认识计算梯形面积的必要性。理解掌握梯形面积的计算公式。 ２、在自主探索的活动，运用知识迁移类比规律和“转化”的数学思想，引导学生通过小组合作探索推导出梯形的面积计算公式；并能正确地运用公式解答有关问题。 ３、培养学生操作、观察能力以及利用已有知识和经验解决新问题的能力，培养创新意识，渗透“变”与“不变”的辩证唯物主义观点教育。 教学重点: 理解梯形面积的计算方法，正确计算梯形的面积。 教学难点: 梯形面积计算方法的推导过程。 教具、学具准备： 多媒体课件。 教学过程 一、创设情境，导入新课 我们班男同学最近在课间活动时最喜欢做打篮球，你们知道篮球场地有一处３秒钟限制区吗？这个区域是什么形的，你知道吗？出示这一图形。现在要求这一图形的面积是多少，你会求吗？ （上底：３.６米，下底：６米，高：５.８米）这节课我们要研究的梯形面积的计算方法。（板书课题。） 二．新课传授。 1、那么梯形的面积应当如何来求呢？这节课我要做一名忠实的听众，由你们自己动手，找到梯形面积的计算方法，然后小组中推荐出代表，讲给全班同学听，怎么样？下面就利用你们手中的学具分小组研究。 2、老师巡视。 3、两个同学到展台前讲解。一人展示的是两个任意梯形的推导方法，另一人展示的是直角梯形的推导方法。（师板书结论） 4、师：这两名同学的讲解真精彩！你们是不是也推导出了梯形面积的计算方法。你们真了不起！下面我们再一同来看看梯形面积计算方法的推导过程。 5、师边操作边讲解。（课件） 师：（任意两个梯形）有两个完全一样的梯形，把其中的一个梯形沿一个顶点顺时针旋转180o，再沿腰平移上去，这样就拼成了一个平行四边形。平行四边形的底就是梯形的上底与下底之和，平行四边形的高就是梯形的高，用梯形的上底与下底之和乘高就得到我们所拼成的平行四边形的面积，一个梯形的面积就是它所拼成的图形面积的一半，因此我们再除以2就得到了梯形的面积。 三、合作探究，发散验证 1、刚才我们再一次用转化的方法把两个完全一样的梯形拼成了学过的图形，推导出了梯形面积的计算公式，可是如果我们手中只有一个梯形，你们能不能自己动脑想出别的计算方法验证我们刚才的发现呢？小组讨论。 分组汇报。学生可能讨论出的计算方法有：（师适时配合课件演示） （1）做对角线，把梯形分割成两个三角形。 （2）将梯形上底和下底对折，再沿折线剪开，将上面的梯形沿腰上的中点旋转180o，这样就拼成了一个平行四边形。1.5.1 曲边梯形的面积(优秀教案)
北师大版五年级上册数学《梯形的面积》教案范文
曲边梯形的面积教案
梯形的面积教案
《曲边梯形的面积》教学设计word版本
(完整word版)《梯形的面积》教学设计
梯形的面积教案
(完整版)曲边梯形的面积与定积分习题