经典练习题相似三角形
一．解答题（共30小题）
1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．
2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．
（1）求证：△CDF∽△BGF；
（2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长．
3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC．
求证：△ABC∽△FDE．
4．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD．
5．已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点．
（1）求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形；
（2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；
（3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．
6．如图，E是?ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明．
7．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．
（1）填空：∠ABC=_________ °，BC= _________ ；
（2）判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论．
8．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s 的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：（1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？
（2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
9．如图，在梯形ABCD中，若AB∥DC，AD=BC，对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形．
（1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；（注意：全等看成相似的特例）
（2）请你任选一组相似三角形，并给出证明．
10．如图△ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD于E，连接AE．（1）写出图中所有相等的线段，并加以证明；
（2）图中有无相似三角形？若有，请写出一对；若没有，请说明理由；
（3）求△BEC与△BEA的面积之比．
11．如图，在△ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上的任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC 于P，交AB于Q．
（1）求四边形AQMP的周长；
（2）写出图中的两对相似三角形（不需证明）；
（3）M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形并证明你的结论．
12．已知：P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC，M是CD的中点，试说明：△ADM∽△MCP．
13．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=BC=8，CD=10．
（1）求梯形ABCD的面积S；
（2）动点P从点B出发，以1cm/s的速度，沿B?A?D?C方向，向点C运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度，沿C?D?A方向，向点A运动，过点Q作QE⊥BC于点E．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒．问：
①当点P在B?A上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；
②在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、A、D为顶点的三角形与△CQE相似？若存在，请求出所有
③在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．
14．已知矩形ABCD，长BC=12cm，宽AB=8cm，P、Q分别是AB、BC上运动的两点．若P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动，问经过几秒，以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似？
15．如图，在△ABC中，AB=10cm，BC=20cm，点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，问经过几秒钟，△PBQ与△ABC相似．
16．如图，∠ACB=∠ADC=90°，AC=，AD=2．问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似．
17．已知，如图，在边长为a的正方形ABCD中，M是AD的中点，能否在边AB上找一点N（不含A、B），使得△CDM与△MAN相似？若能，请给出证明，若不能，请说明理由．
18．如图在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点Q从B出发，沿BC方向以2cm/s的速度移动，点P从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动．若Q、P分别同时从B、C出发，试探究经过多少秒后，以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA相似？
19．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，试在腰AB上确定点P的位置，使得以P，A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形相似．
20．△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的顶点E位于边BC的中点上．
（2）如图2，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N，于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．
21．如图，在矩形ABCD中，AB=15cm，BC=10cm，点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间，那么当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．
22．如图，路灯（P点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？
23．阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不易到达），他们带了以下测量工具：皮尺，标杆，一副三角尺，小平面镜．请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，
（1）所需的测量工具是：_________ ；
（2）请在下图中画出测量示意图；
（3）设树高AB的长度为x，请用所测数据（用小写字母表示）求出x．
24．问题背景在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量．下面是他们通过测量得到的一些信息：
甲组：如图1，测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为60cm．
乙组：如图2，测得学校旗杆的影长为900cm．
丙组：如图3，测得校园景灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计）的高度为200cm，影长为156cm．任务要求：
（1）请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；
（2）如图3，设太阳光线NH与⊙O相切于点M．请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径．（友情提示：如图3，景灯的影长等于线段NG的影长；需要时可采用等式1562+2082=2602）
25．阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区（如图所示），已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC．
26．如图，李华晚上在路灯下散步．已知李华的身高AB=h，灯柱的高OP=O′P′=l，两灯柱之间的距离OO′=m．（1）若李华距灯柱OP的水平距离OA=a，求他影子AC的长；
（2）若李华在两路灯之间行走，则他前后的两个影子的长度之和（DA+AC）是否是定值请说明理由；（3）若李华在点A朝着影子（如图箭头）的方向以v1匀速行走，试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2．
27．如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，则不难证明S1=S2+S3．
（1）如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，那么
（2）如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1，S2，S3之间的关系并加以证明；
（3）若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示，为使S1，S2，S3之间仍具有与（2）相同的关系，所作三角形应满足什么条件证明你的结论；
（4）类比（1），（2），（3）的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论．
28．已知：如图，△ABC∽△ADE，AB=15，AC=9，BD=5．求AE．
29．已知：如图Rt△ABC∽Rt△BDC，若AB=3，AC=4．
（1）求BD、CD的长；
（2）过B作BE⊥DC于E，求BE的长．
30．（1）已知，且3x+4z﹣2y=40，求x，y，z的值；
（2）已知：两相似三角形对应高的比为3：10，且这两个三角形的周长差为560cm，求它们的周长．
参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）
1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．
2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．
（1）求证：△CDF∽△BGF；
（2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长．
3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC．求证：△ABC∽△FDE．
4．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD．
5．已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点．
（1）求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形；
（2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；
（3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．
6．如图，E是?ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明．
解答：解：相似三角形有△AEF∽△BEC；△AEF∽△DCF；△BEC∽△DCF．（3分）如：△AEF∽△BEC．
在?ABCD中，AD∥BC，
∴∠1=∠B，∠2=∠3．（6分）
∴△AEF∽△BEC．（7分）
7．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC=135°°，BC= ；
（2）判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论．
分析：（1）观察可得：BF=FC=2，故∠FBC=45°；则∠ABC=135°，BC==2；
（2）观察可得：BC、EC的长为2、，可得，再根据其夹角相等；故△ABC∽△DEC．解答：解：（1）∠ABC=135°，BC=；
（2）相似；
∵BC=，EC==；
∴，；
∴；
又∠ABC=∠CED=135°，
∴△ABC∽△DEC．
8．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s 的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：（1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？
（2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
分析：（1）关于动点问题，可设时间为x，根据速度表示出所涉及到的线段的长度，找到相等关系，列方程求解即可，如本题中利用，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的作为相等关系；
（2）先假设相似，利用相似中的比例线段列出方程，有解的且符合题意的t值即可说明存在，反之则不存在．
解答：解：（1）设经过x秒后，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的，
则有：（6﹣2x）x=×3×6，即x2﹣3x+2=0，（2分）
解方程，得x1=1，x2=2，（3分）
经检验，可知x1=1，x2=2符合题意，
所以经过1秒或2秒后，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的．（4分）
（2）假设经过t秒时，以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似，
由矩形ABCD，可得∠CDA=∠MAN=90°，
因此有或（5分）
即①，或②（6分）
解①，得t=；解②，得t=（7分）
经检验，t=或t=都符合题意，
所以动点M，N同时出发后，经过秒或秒时，以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似．（8分）
相似三角形经典大题解析 1.如图，已知一个三角形纸片ABC ，B C 边的长为8，B C 边上的高为6，B ∠和C ∠都为锐角，M 为A B 一动点（点M 与点A B 、不重合），过点M 作M N B C ∥，交A C 于点N ，在A M N △中，设M N 的长为x ，M N 上的高为h ． （1）请你用含x 的代数式表示h ． （2）将AMN △沿M N 折叠，使A M N △落在四边形B C N M 所在平面，设点A 落在平面的点为1A ，1A M N △与四边形B C N M 重叠部分的面积为y ，当x 为何值时，y 最大，最大值为多少？ 【答案】解：（1）M N B C ∥ A M N A B C ∴△∽△ 68 h x ∴= 34 x h ∴= （2）1AM N A M N △≌△ 1A M N ∴△的边M N 上的高为h ， ①当点1A 落在四边形B C N M 内或B C 边上时， 1A M N y S =△= 2 11332 2 4 8 M N h x x x = = ·· （04x <≤） ②当1A 落在四边形B C N M 外时，如下图(48)x <<， 设1A EF △的边E F 上的高为1h ， 则132662h h x =-= - 11EF M N A EF A M N ∴ ∥△∽△ 11A M N ABC A EF ABC ∴ △∽△△∽△
12 16A EF S h S ??= ??? △△ABC 168242 A B C S = ??= △ 2 2 3632241224 62EF x S x x ?? - ?∴==?=-+ ? ??? 1△A 112 223 3912241224828A M N A EF y S S x x x x x ??=-= --+=-+- ??? △△ 所以 2 91224 (48)8 y x x x =- +-<< 综上所述：当04x <≤时，2 38 y x =，取4x =，6y =最大 当48x <<时，2 912248 y x x =-+-， 取163 x = ，8y =最大 86> ∴当163 x = 时，y 最大，8y =最大 M N C B E F A A 1
初三数学相似三角形 （一）相似三角形是初中几何的一个重点，同时也是一个难点，本节复习的目标是： 1. 理解线段的比、成比例线段的概念，会根据比例线段的有关概念和性质求线段的长或两线段的比，了解黄金分割。 2. 会用平行线分线段成比例定理进行有关的计算、证明，会分线段成已知比。 3. 能熟练应用相似三角形的判定和性质解答有关的计算与证明题。 4. 能熟练运用相似三角形的有关概念解决实际问题 本节的重点内容是相似三角形的判定定理和性质定理以及平行线分线段成比例定理。 本节的难点内容是利用判定定理证明两个三角形相似以及相似三角形性质的应用。 相似三角形是平面几何的主要内容之一，在中考试题中时常与四边形、圆的知识相结合构成高分值的综合题，题型常以填空、选择、简答或综合出现，分值一般在10%左右，有时也单独成题，形成创新与探索型试题；有利于培养学生的综合素质。 （二）重要知识点介绍： 1. 比例线段的有关概念： 在比例式 ：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b c d a b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2 =AB ·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。 2. 比例性质： ①基本性质： a b c d ad bc =?= ②合比性质： ±±a b c d a b b c d d =?= ③等比性质： ……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b ===+++?++++++=()0 3. 平行线分线段成比例定理： ①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3。 则 ，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EF DF ===
相似三角形压轴经典大题解析 1.如图，已知一个三角形纸片ABC ，BC 边的长为8，BC 边上的高为6，B ∠和C ∠都为锐角，M 为AB 一动点（点M 与点A B 、不重合），过点M 作MN BC ∥，交AC 于点N ，在AMN △中，设MN 的长为x ，MN 上的高为h ． （1）请你用含x 的代数式表示h ． （2）将AMN △沿MN 折叠，使AMN △落在四边形BCNM 所在平面，设点A 落在平面的点为1A ， 1A MN △与四边形BCNM 重叠部分的面积为y ，当x 为何值时，y 最大，最大值为多少？ 【答案】解：（1） MN BC ∥ AMN ABC ∴△∽△ 68 h x ∴= 34 x h ∴= （2）1AMN A MN △≌△ 1A MN ∴△的边MN 上的高为h ， ①当点1A 落在四边形BCNM 内或BC 边上时， 1A MN y S =△=211332248MN h x x x ==··（04x <≤） ②当1A 落在四边形BCNM 外时，如下图(48)x <<， 设1A EF △的边EF 上的高为1h ， 则13 2662 h h x =-= - 11EF MN A EF A MN ∴∥△∽△ 11A MN ABC A EF ABC ∴△∽△△∽△
12 16A EF S h S ??= ??? △△ABC 1 68242 ABC S =??=△ 2 2 363224122 462EF x S x x ??- ?∴==?=-+ ? ? ?? 1△A 1122233912241224828A MN A EF y S S x x x x x ?? =-= --+=-+- ??? △△ 所以 2 91224(48)8 y x x x =- +-<< 综上所述：当04x <≤时，2 38 y x =，取4x =，6y =最大 当48x <<时，2 912248 y x x =-+-， 取16 3x = ，8y =最大 86> ∴当16 3 x =时，y 最大，8y =最大 2．如图，抛物线经过(40)(10)(02)A B C -，，，，，三点． （1）求出抛物线的解析式； （2）P 是抛物线上一动点，过P 作PM x ⊥轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以A ，P ，M 为顶点的三角形与OAC △相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由； M N C B E F A A 1
相似三角形经典模型总结 经典模型 【精选例题】“平行型” 【例1】 如图，111EE FF MM ∥∥，若AE EF FM MB ===， 则1 11 1 1 1 :::_________AEE EE F F FF M M MM CB S S S S ?=四边形四边形四边形 【例2】 如图，AD EF MN BC ∥∥∥，若9AD =， 18BC =，::2:3:4AE EM MB =,则 _____EF =，_____MN = 【例3】 已知，P 为平行四边形ABCD 对角线，AC 上一点，过点P 的 直线与AD ，BC ，CD 的延长线，AB 的延长线分别相交于点E ，F ，G ，H 求证： PE PH PF PG = M 1F 1E 1M E F A B C M N A B C D E F P H G F E D C B A
【例4】 已知：在ABC ?中，D 为AB 中点，E 为AC 上一点，且 2AE EC =,BE 、CD 相交于点F ， 求BF EF 的值 【例5】 已知：在ABC ?中，12AD AB = ， 延长BC 到F ,使1 3 CF BC =,连接FD 交AC 于点E 求证：①DE EF = ②2AE CE = 【例6】 已知：D ，E 为三角形ABC 中AB 、BC 边上的点，连接DE 并延长交AC 的延长线于点F ，::BD DE AB AC = 求证：CEF ?为等腰三角形 【例7】 如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证： 111c a b =+. F E D C B A 【例8】 如图，找出ABD S ?、BED S ?、BCD S ?之间的关系，并证明你的结论. F E D C B A 【例9】 如图，四边形ABCD 中，90B D ∠=∠=?，M 是AC 上一点，ME AD ⊥于点E ，MF BC ⊥于点F 求证： 1MF ME AB CD += F E D C B A A B C D F E F E D C B A
相似三角形 一．解答题（共30小题） 1．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，求证：△ADE ∽△EFC ． 2．如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，点F 在BC 上，连DF 与AB 的延长线交于点G ． （1）求证：△CDF ∽△BGF ； （2）当点F 是BC 的中点时，过F 作EF ∥CD 交AD 于点E ，若AB=6cm ，EF=4cm ，求CD 的长． 3．如图，点D ，E 在BC 上，且FD ∥AB ，FE ∥AC ． 求证：△ABC ∽△FDE ． 4．如图，已知E 是矩形ABCD 的边CD 上一点，BF ⊥AE 于F ，试说明：△ABF ∽△EAD ． 5．已知：如图①所示，在△ABC 和△ADE 中，AB=AC ，AD=AE ，∠BAC=∠DAE ，且点B ，A ，D 在一条直线上，连接BE ，CD ，M ，N 分别为BE ，CD 的中点． （1）求证：①BE=CD ；②△AMN 是等腰三角形； （2）在图①的基础上，将△ADE 绕点A 按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立； （3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED 交线段BC 于点P ．求证：△PBD ∽△AMN ． 6．如图，E 是?ABCD 的边BA 延长线上一点，连接EC ，交AD 于点F ．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明． 7．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． （1）填空：∠ABC= _________ °，BC= _________ ； （2）判断△ABC 与△DEC 是否相似，并证明你的结论． 8．如图，已知矩形ABCD 的边长AB=3cm ，BC=6cm ． 某一时刻，动点M 从A 点出发沿AB 方向以1cm/s 的速度向B 点匀速运动；同时，动点N 从D 点出发沿DA 方向以2cm/s 的速度向A 点匀速运动，问： （1）经过多少时间，△AMN 的面积等于矩形ABCD 面积的？ （2）是否存在时刻t ，使以A ，M ，N 为顶点的三角形与△ACD 相似？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由． 9．如图，在梯形ABCD 中，若AB ∥DC ，AD=BC ，对角线BD 、AC 把梯形分成了四个小三角形． （1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；（注意：全等看成相似的特例） （2）请你任选一组相似三角形，并给出证明． 10．如图△ABC 中，D 为AC 上一点，CD=2DA ，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE ⊥BD 于E ，连接AE ． （1）写出图中所有相等的线段，并加以证明； （2）图中有无相似三角形？若有，请写出一对； 若没有，请说明理由； （3）求△BEC 与△BEA 的面积之比．
1：相似三角形模型 一：相似三角形判定的基本模型 （一）A 字型、反A 字型（斜A 字型） A B C D E C B A D E （平行） （不平行） （二）8字型、反8字型 J O A D B C A B C D （蝴蝶型） （平行） （不平行） （三）母子型 A B C D C A D （四）一线三等角型： 三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示：
（五）一线三直角型： 三直角相似可以看着是“一线三等角”中当角为直角时的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形形为背景，或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角，几种常见的基本图形如下： 当题目的条件中只有一个或者两个直角时，就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型相似，这往往是很多压轴题的突破口，进而将三角型的条件进行转化。 （六）双垂型： C A D 二：相似三角形判定的变化模型 旋转型：由A字型旋转得到8字型拓展 C B E D A 共享性 一线三等角的变形 G A B C E F
一线三直角的变形 2：相似三角形典型例题 （1）母子型相似三角形 例1：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，BE ∥CD 交CA 延长线于E ． 求证：OE OA OC ?=2 ． 例2：已知：如图，△ABC 中，点E 在中线AD 上, ABC DEB ∠=∠． 求证：（1）DA DE DB ?=2 ； （2）DAC DCE ∠=∠． 例3：已知：如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ∥AB ，BG 分别交AD 、AC 于E 、F ． 求证：EG EF BE ?=2 ． 1、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，EF 为AD 的垂直平分线．求证：FC FB FD ?=2 ． 2、已知：AD 是Rt △ABC 中∠A 的平分线，∠C=90°，EF 是AD 的垂直平分线交AD 于M ，EF 、BC 的延 A C D E B
相似三角形练习题 一、填空题： 1、若b m m a 2,3==，则_____:=b a 。 2、已知 6 53z y x ==，且623+=z y ，则__________,==y x 。 3、在Rt △ABC 中，斜边长为c ，斜边上的中线长为m ，则______:=c m 。 4、反向延长线段AB 至C ，使AC ＝2 1 AB ，那么BC ：AB ＝ 。 5、如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为3：2，若它们的周长的差为40厘米，则 △A ′B ′C ′的周长为 厘米。 6、如图，△AED ∽△ABC ，其中∠1＝∠B ，则()()() AB BC AD _________==。 第6题图 第7题图 7、如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，若∠A ＝30°，则BD ：BC ＝ 。 若BC ＝6，AB ＝10，则BD ＝ ，CD ＝ 。 8、如图，梯形ABCD 中，DC ∥AB ，DC ＝2cm ，AB ＝3.5cm ，且MN ∥PQ ∥AB ， DM ＝MP ＝PA ，则MN ＝ ，PQ ＝ 。 第8题图 第9题图 9、如图，四边形ADEF 为菱形，且AB ＝14厘米，BC ＝12厘米，AC ＝10厘米，那BE ＝ 厘米。 10、梯形的上底长1.2厘米，下底长1.8厘米，高1厘米，延长两腰后与下底所成的三角形的高为 厘米。 二、选择题： 11、下面四组线段中，不能成比例的是（ ） A 、4,2,6,3====d c b a B 、3,6,2,1=== =d c b a C 、10,5,6,4====d c b a D 、32,15,5,2====d c b a E A D C 1 C B D A D C M P N Q A B
相似三角形经典题集锦 姓名 1、（开放题）如图l －4－31，已知Rt △ABC 与Rt △ DEF 不相似，其中∠C 、∠F 为直角，能否分别将这两个三角形各分割成两个三角形，使AABC 分成的两个三角形与ADEF 所分成的两个三角形分别对应相似？如果能，请你计设出一种分割方案． 2、(探究题）如图l －4－32，在△ABC 中，BA=BC=20cm ，AC=30cm ，点P 从A 点出发，沿AB 以每秒4cm 的速度向B 点运动，同时点Q 从C 点出发，沿CA 以每秒3㎝的速度向A 点运动，设运动的时间为x. ⑴当x 为何值时，PQ ∥BC ？ ⑵当P 13BCQ B Q AB C ABC S S S S ????=时，求的值。 ⑶ΔAPQ 能否与ΔCQB 相似？若能，求出AP 的长，若不能，请说明理由． 3、如图，在yABCD 中，过点B 作BE ⊥CD ， 垂足为E ，连结AE ，F 为AE 上一点，且 ∠BFE ＝∠C ．⑴ 求证：△ABF ∽△EAD ； ⑵ 若AB=4，∠BA=30°，求AE 的长； ⑶ 在⑴、⑵的条件下，若AD=3，求BF 的长. 4、如图，Rt 三角形ABC 中，∠BAC=90度，AB=AC=2，点D 在BC 上运动（不能经过B 、C ）， 过D 作∠ADE=45度，DE 交AC 于E 。 （1）图中有无与三角形ABD 一定相似的三角形，若有，请指出来并加以说明 （2）设BD=x,AE=y,求y 与x 的函数关系，并写出其定义域； （3）若三角形ADE 恰为等腰三角形，求AE 的长
5、已知：∠A=90°，矩形DGFE 的D 、E 分别在AB 、AC 上，G 、F 在BC 上 （1）如果DGFE 为正方形，BG=22，FC=2，求正方形DGFE 的边长； （2）若AB=12cm,AC=5cm ，DGFE 的面积为 y 平方厘米,写出y 关于x 的函数解析式，并求由矩形面积为10平方厘米时, 求AD 的长 6、如图，矩形EFGD 的边EF 在ABC ?的BC 边上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上． 已知5AB AC ==，6BC =，设BE x =，EFGD S y =矩形． （1）求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围； （2）联结EG ，当GEC ?为等腰三角形时，求y 的值． 7、在Rt ABC ?中, ∠ACB =90°, CD AB ⊥,垂足为D . E 、F 分别是AC 、BC 边上一点, 且CE =1 3AC ,BF =1 3BC . (1 )求证∶AC BC =CD BD . (2 )求EDF ∠的度数. F E D C B A A D G B E F C
相似三角形知识点与经典题型 知识点1 有关相似形的概念 (1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形. (2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)． 知识点2 比例线段的相关概念 （1）如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是 n m b a =，或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。 （2）在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段． 注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：a d c b =． ②()a c a b c d b d ==在比例式：：中，a 、d 叫比例外项，b 、c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项，b 、 d 叫比例后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，即 a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项， 此时有2b ad =。 （3）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =?，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 2 1 5-=≈0.618AB ．即 512AC BC AB AC -== 简记为：51 2 -长短＝＝全长 注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形 知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0） （1） 基本性质： ①bc ad d c b a =?=::；②2::a b b c b a c =?=?． 注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除 了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=． （2） 更比性质(交换比例的内项或外项)：()() ()a b c d a c d c b d b a d b c a ?=?? ?=?=?? ?=?? ， 交换内项，交换外项． 同时交换内外项 （3）反比性质(把比的前项、后项交换)： a c b d b d a c =?=．
第四章相似图形1 1.等边三角形的一边与这边上的高的比是___________ 2.已知a 、b 、c 为△ABC 的三条边，且a ：b ：c=2：3：4，则△ABC?各边上的高之比为______． 3.在一张地图上，甲、乙两地的图上距离是3 cm,而两地的实际距离为1500 m ，那么这张地图的比例尺为________. 4.已知四条线段a 、b 、c 、d 成比例，若a=2,b=3,c=33,则 d=________. 5.已知线段a 、b 、c 、d 满足ab=cd ，把它改写成比例式，错误的是( ) A.a ∶d=c ∶b B.a ∶b=c ∶d C.d ∶a=b ∶c D.a ∶c=d ∶b 6.如果b a =43,那么b b a 2+=____;b b a 2-=____; a b a 3-=____;a b b a 3-2+=____ 7.如果53=-b b a ,那么b a =________b b a 2+=____;b b a 2-=____;a b b a 3-2+=____ 8.若d c b a ==3（b+d ≠0），则d b c a ++=_______,d b c a 3-23-2=_______ 9.若3x －4y = 0，则y y x +的值是____________ 10.若8 75c b a ==,且3a －2b+c=3,则2a+4b －3c 的值是____________ 11.若6 54 3 2+==+c b a ,且2a －b+3c=21. ,则2a+4b －3c 的值是___________ 12.x ：y ：z=3：5：7，3x ＋2y －4z ＝9则x ＋y ＋z 的值为___________ 13.如果 k c b a d d b a c d c a b d c b a =++=++=++=++，则k 的值是___________。 14.在长度为10的线段上找到两个黄金分割点Ｐ、Ｑ.则ＰＱ=_________ 15.当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．某女士身高165cm ，下半身 长与身高的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为 cm 16.顶角为360 的等腰三角形称为黄金三角形.如右图，△ABC, △BDC, △DEC 都是黄金三角形.若AB=1则DE=＿ 17.如图以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连结PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF=PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上， （1）求AM 、DM 的长. （2）求证：AM 2 =AD ·DM. （3）根据（2）的结论你能找出图中的黄金分割点吗？ 18.以下五个命题：①所有的正方形都相似 ②所有的矩形都相似 ③所有的三角形都相似 ④所有的等腰直角三角形都相似 ⑤所有的正五边形⑥所有的菱形⑦所有的平行四边形都相似.,其中正确的命题有_______ 19.下列判断中，正确的是（ ） （A ）各有一个角是67°的两个等腰三角形相似（B ）邻边之比都为2：1的两个等腰三角形相似 （C ）各有一个角是45°的两个等腰三角形相似（D ）邻边之比都为2：3的两个等腰三角形相似 20.如图在一矩形ABCD 的花坛四周修筑小路，使得相对两条小路的宽均相等。花坛AB ＝20米，AD ＝30米，试问小路的宽x 与y 的比值为________时，能使小路四周所围成的矩形A`B`C`D`能与矩形ABCD 相似？请说明理由。 21.把矩形对折后，和原来的矩形相似，那么这个矩形的长、宽之比为______ 22.如图所示相片框（长和宽不等，阴影宽度相等），内外两个矩形是否相似？ 23.把一个矩形剪去一个正方形，若剩余的矩形和原矩形相似，则原矩形的宽与长的比为______． 17题 20题 22题 24题 25题 24.如图已知DE ∥BC ，△ADE ∽△ABC ，则 AB AD =________=________.
初三数学相似三角形典型例题(含答案)
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初三数学相似三角形 （一）相似三角形是初中几何的一个重点，同时也是一个难点，本节复习的目标是： 1. 理解线段的比、成比例线段的概念，会根据比例线段的有关概念和性质求线段的长或两线段的比，了解黄金分割。 2. 会用平行线分线段成比例定理进行有关的计算、证明，会分线段成已知比。 3. 能熟练应用相似三角形的判定和性质解答有关的计算与证明题。 4. 能熟练运用相似三角形的有关概念解决实际问题 本节的重点内容是相似三角形的判定定理和性质定理以及平行线分线段成比例定理。 本节的难点内容是利用判定定理证明两个三角形相似以及相似三角形性质的应用。 相似三角形是平面几何的主要内容之一，在中考试题中时常与四边形、圆的知识相结合构成高分值的综合题，题型常以填空、选择、简答或综合出现，分值一般在10%左右，有时也单独成题，形成创新与探索型试题；有利于培养学生的综合素质。 （二）重要知识点介绍： 1. 比例线段的有关概念： 在比例式：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b c d a b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2=AB ·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。 2. 比例性质： ①基本性质：a b c d ad bc =?= ②合比性质：±±a b c d a b b c d d =?= ③等比性质： ……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b ===+++?++++++=()0
实用标准文案 精彩文档 相似三角形知识点与经典题型 知识点1 有关相似形的概念 (1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形. (2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．知识点2 比例线段的相关概念 （1）如果选用同一单位量得两条线段 b a,的长度分别为n m,，那么就说这两条线段的比是 n m b a ， 或写成n m b a ::．注：在求线段比时，线段单位要统一。 （2）在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段． 注：①比例线段是有顺序的，如果说 a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为： a d c b ． ②()a c a b c d b d 在比例式 ：：中，a 、d 叫比例外项，b 、c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项，b 、 d 叫比例后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，即a b b d ：：那么b 叫做a 、d 的比例中项，此时 有2 b ad 。 （3）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC ，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2 AC AB BC ，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 2 1 5≈0.618AB ．即 512 AC BC AB AC 简记为： 51 2 长短＝＝全长注：黄金三角形：顶角是360 的等腰三角形。黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形 知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为 0） （1）基本性质： ①bc ad d c b a ::；②2 ::a b b c b a c ． 注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad ，除 了可化为d c b a ::，还可化为d b c a ::，b a d c ::，c a d b ::，c d a b ::，b d a c ::，a b c d ::，a c b d ::． （2）更比性质(交换比例的内项或外项)：()() ()a b c d a c d c b d b a d b c a ，交换内项，交换外项．同时交换内外项（3）反比性质(把比的前项、后项交换)： a c b d b d a c ．
中考相似三角形经典综合题 1、如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，A点的坐标为(3，0)，以0A为边作等边三角形OAB，点B在第一象限，过点B作AB的垂线交x轴于点C．动点P从0点出发沿0C 向C点运动，动点Q从B点出发沿BA向A点运动，P,Q两点同时出发，速度均为1个单位／秒。设运动时间为t秒． (1)求线段BC的长； (2)连接PQ交线段OB于点E，过点E作x轴的平行线交线段BC于点F。设线段EF的长为m，求m与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围： (3)在(2)的条件下，将△BEF绕点B逆时针旋转得到△BE1F1,使点E的对应点E1落在线 段AB上，点F的对应点是F1，E1F1交x轴于点G，连接PF、QG，当t为何值时，2BQ-PF= 3 3 QG? 2、在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0），点B（0，4），点E在OB上，且∠OAE=∠0BA． （Ⅰ）如图①，求点E的坐标； （Ⅱ）如图②，将△AEO沿x轴向右平移得到△A′E′O′，连接A′B、BE′． ①设AA′=m，其中0＜m＜2，试用含m的式子表示A′B2+BE′2，并求出使A′B2+BE′2取得最小值时点E′的坐标； ②当A′B+BE′取得最小值时，求点E′的坐标（直接写出结果即可）．
3、如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5．点P从点B出发，以每秒1个单位长度沿B→C→A→B的方向运动；点Q从点C出发，以每秒2个单位沿C→A→B方向的运动，到达点B后立即原速返回，若P、Q两点同时运动，相遇后同时停止，设运动时间为ι秒．（1）当ι=7时，点P与点Q相遇； （2）在点P从点B到点C的运动过程中，当ι为何值时，△PCQ为等腰三角形？ （3）在点Q从点B返回点A的运动过程中，设△PCQ的面积为s平方单位． ①求s与ι之间的函数关系式； ②当s最大时，过点P作直线交AB于点D，将△ABC中沿直线PD折叠，使点A落在直 线PC上，求折叠后的△APD与△PCQ重叠部分的面积． 4、如图，点A是△ABC和△ADE的公共顶点，∠BAC＋∠DAE＝180°，AB＝k·AE，AC＝k·AD，点M是DE的中点，直线AM交直线BC于点N． （1）探究∠ANB与∠BAE的关系，并加以证明． （2）若△ADE绕点A旋转，其他条件不变，则在旋转的过程中（1）的结论是否发生变化？如果没有发生变化，请写出一个可以推广的命题；如果有变化，请画出变化后的一个图形，并证明变化后∠ANB与∠BAE的关系． 5.如图，已知一个三角形纸片ABC，BC边的长为8，BC边上的高为6，B ∠和C ∠都为锐角，M为AB一动点（点M与点A B 、不重合），过点M作MN BC ∥，交AC于点N，在AMN △中，设MN的长为x，MN上的高为h． （1）请你用含x的代数式表示h． （2）将AMN △沿MN折叠，使AMN △落在四边形BCNM所在平面，设点A落在平面 A B C E M D N
相似三角形 一．选择题 1．如图，D、E分别是AB、AC上两点，CD与BE相交于点O，下列条件中不能使△ABE和△ACD相似的是（） A．∠B=∠C B．∠ADC=∠AEB C．BE=CD，AB=AC D．AD：AC=AE：AB 2．如图，△ACD和△ABC相似需具备的条件是（） A． B． C．AC2=AD?AB D．CD2=AD?BD 3．如图，在等边三角形ABC中，D为AC的中点，，则和△AED（不包含△AED）相似的三角形有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图，已知点P是Rt△ABC的斜边BC上任意一点，若过点P作直线PD与直角边AB或AC相交于点D，截得的小三角形与△ABC相似，那么D点的位置最多有（） A．2处 B．3处 C．4处 D．5处 5．如图，在矩形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点．若∠AEF=90°，则一定有（） A．△ADE∽△ECF B．△BCF∽△AEF C．△ADE∽△AEF D．△AEF∽△ABF 6．在△ABC中，∠ACB=90°，用直尺和圆规在AB上确定点D，使△ACD∽△CBD，根据作图痕迹判断，正确的是（）
A． B． C． D． 7．如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，增加下列条件中的一个：①∠AED=∠B，②∠ADE=∠C，③，④，⑤AC2=AD?AE，使△ADE与△ACB一定相似的有（） A．①②④ B．②④⑤ C．①②③④ D．①②③⑤ 8．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（） A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：1 9．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E．若AB=12，BM=5，则DE的长为（） A．18 B．C． D． 10．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论： ①BE=2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP2=PH?PC 其中正确的是（） A．①②③④ B．②③ C．①②④ D．①③④ ：S 11．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，S △DEF =4：25，则DE：EC=（） △ABF
相似三角形的判定与性质综合运用经典题型 考点一：相似三角形的判定与性质： 例1、如图，△PCD是等边三角形，A、C、D、B在同一直线上，且∠APB=120°. 求证：⑴△PAC∽△BPD；⑵ CD2 =AC·BD. 例2、如图,在等腰△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边上的一个动点(不与B、C 重合），在AC上取一点E，使∠ADE=45° （1）求证：△ ABD∽△DCE； （2）设BD=x，AE=y，求y关于x函数关系式及自变量x值范围，并求出当x为何值时AE 取得最小值？ （3）在AC上是否存在点E，使得△ADE为等腰三角形若存在，求AE的长；若不存在，请说明理由 例3、如图所示，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B： 1）求证：△ADF∽△DEC； 2）若AB=4，3 3 AD,AE=3，求AF的长。 A B C D F
考点二：射影定理： 例4、如图，在RtΔABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB于D，CD=4cm,AD=8cm,求AC、BC及BD的长。 例5、如图，已知正方形ABCD，E是AB的中点，F是AD上的一点，且AF= 1 4 AD，EG⊥CF于点G， （1）求证：△AEF∽△BCE；（2）试说明：EG2=CG·FG. 例6、已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD>AB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合,再展开，折痕EF交AD边于E，交BC边于F，分别连结AF和CE． （１）求证：四边形AFCE是菱形； （２）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长； （３）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2＝AC·AP若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由． A B C D E F G
实用标准文案 相似三角形 一．解答题（共30小题） 1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC． 2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．（1）求证：△CDF∽△BGF； （2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长． 3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC． 求证：△ABC∽△FDE．4．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD． 5．已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点．（1）求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形； （2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立； （3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．
6．如图，E是?ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明． 7．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． （1）填空：∠ABC= _________ °，BC= _________ ； （2）判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论． 8．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm． 某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问： （1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？ （2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．9．如图，在梯形ABCD中，若AB∥DC，AD=BC，对角线BD 、AC 把梯形分成了四个小三角形． （1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；（注意：全等看成相似的特例） （2）请你任选一组相似三角形，并给出证明． 10．如图△ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD于E，连接AE． （1）写出图中所有相等的线段，并加以证明； （2）图中有无相似三角形？若有，请写出一对； 若没有，请说明理由； （3）求△BEC与△BEA的面积之比．
相似三角形经典习题 例1 从下面这些三角形中，选出相似的三角形． 例2 已知：如图， ABCD 中，2:1:=EB AE ，求AEF ?与CDF ?的周长的比，如果2 cm 6=?AEF S ，求CDF S ?． 例3 如图，已知ABD ?∽ACE ?，求证：ABC ?∽ADE ?． 例4 下列命题中哪些是正确的，哪些是错误的？ （1）所有的直角三角形都相似． （2）所有的等腰三角形都相似． （3）所有的等腰直角三角形都相似． （4）所有的等边三角形都相似． 例5 如图，D 点是ABC ?的边AC 上的一点，过D 点画线段DE ，使点E 在ABC ?的边上，并且点D 、点E 和ABC ?的一个顶点组成的小三角形与ABC ?相似．尽可能多地画出满足条件的图形，并说明线段DE 的画法． 例6 如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺，站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，求电线杆的高．
例7 如图，小明为了测量一高楼MN 的高，在离N 点20m 的A 处放了一个平面镜，小明沿NA 后退到C 点，正好从镜中看到楼顶M 点，若5.1=AC m ，小明的眼睛离地面的高度为1.6m ，请你帮助小明计算一下楼房的高度（精确到0.1m ）． 例8 格点图中的两个三角形是否是相似三角形，说明理由． 例9 根据下列各组条件，判定ABC ?和C B A '''?是否相似，并说明理由： （1）,cm 4,cm 5.2,cm 5.3===CA BC AB cm 28,cm 5.17,cm 5.24=''=''=''A C C B B A ． （2）?='∠?='∠?=∠?=∠35,44,104,35A C B A ． （3）?='∠=''=''?=∠==48,3.1,5.1,48,6.2,3B C B B A B BC AB ． 例10 如图，下列每个图形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它们用字母表示出来，并简要说明识别的根据． 例11 已知：如图，在ABC ?中，BD A AC AB ,36,?=∠=是角平分线，试利用三角形相似的关系说明AC DC AD ?=2 ．
相似三角形知识点及典型例题 知识点归纳： 1、三角形相似的判定方法 （1）定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。 （2）平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角 形与原三角形相似。 （3）判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两 个三角形相似。简述为：两角对应相等，两三角形相似。 （4）判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。 （5）判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。简述为：三边对应成比例，两三角形相似。 （6）判定直角三角形相似的方法： ①以上各种判定均适用。 ②如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例， 那么这两个直角三角形相似。 ③直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。 #直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。 每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。 如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高， 则有射影定理如下： （1）（AD）2=BD·DC，（2）（AB）2=BD·BC ， （3）（AC）2=CD·BC 。 注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。即（AB）2+（AC）2=（BC）2。
典型例题： 例1 如图，已知等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ‖AB ，BG 分别交AD ，AC 于E 、 F ，求证：BE 2＝EF·EG 证明：如图，连结EC ，∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ， ∴∠ABC ＝∠ACB ，AD 垂直平分BC ∴BE ＝EC ，∠1＝∠2，∴∠ABC-∠1＝∠ACB-∠2， 即∠3＝∠4，又CG ∥AB ，∴∠G ＝∠3，∴∠4＝∠G 又∵∠CEG ＝∠CEF ，∴△CEF ∽△GEC ，∴EG CE =CE EF ∴EC 2＝EG· EF ，故EB 2=EF·EG 【解题技巧点拨】 本题必须综合运用等腰三角形的三线合一的性质，线段的垂直平分线的性质和相似三角形的基本图形来得到证明．而其中利用线段的垂直平分线的性质得到BE=EC ，把原来处在同一条直线上的三条线段BE ，EF ，EC 转换到相似三角形的基本图形中是证明本题的关键。 例2 已知：如图，AD 是Rt △ABC 斜BC 上的高，E 是AC 的中点，ED 与AB 的延长线相交于F ，求证：BA FB =AC FD 证法一：如图，在Rt △ABC 中，∵∠BAC ＝Rt ∠，AD ⊥BC ， ∴∠3＝∠C ，又E 是Rt △ADC 的斜边AC 上的中点， ∴ED=21 AC ＝EC ，∴∠2＝∠C ，又∠1＝∠2，∴∠1＝∠3， ∴∠DFB ＝∠AFD ，∴△DFB ∽△AFD ，∴FD FB ＝AD BD （1） 又AD 是Rt △ABC 的斜边BC 上的高，∴Rt △ABD ∽Rt △CAD ，∴AD BD =AC BA （2） 由（1）（2）两式得FD FB =AC BA ，故BA FB =AC FD 证法二：过点A 作AG ∥EF 交CB 延长线于点G ，则BA FB =AG FD （1） ∵E 是AC 的中点，ED ∥AC ，∴D 是GC 的中点，又AD ⊥GC ，∴AD 是线段GC 的垂直平分线，∴AG ＝AC （2） 由（1）（2）两式得：BA FB =AC FD ，证毕。 【解题技巧点拨】