2016届人教A 版导数及其应用单元测试（理科）
一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．
1．已知集合{}0,1,2=A ，则集合{}
,=-∈∈B x y x A y A 中元素的个数是( )
(A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 9
2.设()f x 是周期为2的函数，当02x ≤<时，()f x =2(1)x x -,则5()2
f -=( )
(A) -12 (B)1 4- (C)1
4
(D)32-
3.下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞单调递增的函数是( )
（A ）3
y x = (B) 1y x =+ （C ）21y x =-+ (D) 2x
y -=
4．给定两个命题,p q
，
若?p 是q 的必要不充分条件，则p 是?q 的( )
(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 5.已知244log 3.6,log 3.2,log 3.6a b c ===则( )
A ．a b c >>
B ．a c b >>
C ．b a c >>
D ．c a b >>
6.若定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()x
f x gx e +=，则()
g x =( )
A. x
x
e e -- B.1()2x x e e -+ C. 1()2x x e e -- D. 1()2
x
x e e --
7.已知函数2
()1,()43,x f x e g x x x =-=-+-若有()(),f a g b =则
b 的取值范围为( )
A
．[2 B
．(2 C ．
[1,3] D ．(1,3) 8．函数2
)1()(x ax x f n
-=在区间〔0,1〕上的图像如图所示，则n 可能是（ ） （A ）4 (B) 3 (C) 2 (D) 1
二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分． 9.
?+1
)2(dx x e
x
= ．
10.已知函数=)(x f 20,
1, 0x x x x >??
+≤?
，，若0)1()(=+f a f ,则实数a 的值等于 ．
11. 设()f x 是定义在R 上的奇函数，当x≤0时，()f x =2
2x x -，则(2)f = ．
12．若曲线2ln y ax x =-在点(1,)a 处的切线平行于x 轴，则a = ． 13.已知函数a x e x f x +-=2)(有零点，则a 的取值范围是 ．
14.商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a ，最高销售限价)(a b b >以及常数)10(< 三．解答题：本大题共6小题，满分80分． 15．（12分）已知集合6| 1,1A x x R x ? ? =≥∈??+?? ，{}2|20B x x x m =--<． （1）当3m =时，求()R A B ?r e；（2）若{}|14A B x x ?=-<<，求实数m 的值． 16．（13分）若函数3()4f x ax bx =-+，当2x =时，函数()f x 有极值为43 - ． （1）求函数()f x 的解析式；（2）若()f x k =有3个解，求实数k 的取值范围． 17．（13分）请你为某公司设计一个用于储藏食盐的仓库（供融化高速公路上的积雪之用）．它的上部是底面圆半径为5m 的圆锥，下部是底面圆半径为5m 的圆柱，且该仓库的总高度为5m ．经过预算，制造该仓库的圆锥侧面、圆柱侧面用料的单价分别为400元/2m 、100元/2m ， 18．（14分）已知函数x x k kx x f ln 2)(-- =. （Ⅰ）若函数()f x 的图象在点(1，f (1))处的切线方程为2520x y +-=，求()f x 的单调区间； （Ⅱ）若函数)(x f 在),0(+∞为增函数，求实数k 的取值范围. 19.（14分）定义在正实数集上的函数()f x 满足下列条件： ①存在常数a ）（10<时，恒有()()m f x mf x =． （1）求证：对于任意正实数x y 、，()()()f xy f x f y =+； （2）证明：()f x 在(0)+∞，上是单调减函数； （3）若不等式()()() 28 log 42log (4)3a a f x f x -+--≤ 恒成立，求实数a 的取值范围． 20．（14分）设函数2()= +x x f x c e （ 2.71828…=e 是自然对数的底数，∈c R ）． （Ⅰ）求()f x 的单调区间、最大值； （Ⅱ）讨论关于x 的方程ln ()=x f x 根的个数． （第17题图） 2016届人教A版导数及其应用单元测试答题卷 班级________ 学号________ 姓名___________成绩___________ 二.填空题： 9. ；10. ；11. ；12．；13. ；14. ．三．解答题：本大题共6小题，满分 80分．15． 16．17． 18． （第17题图） 2016届人教A 版 导数及其应用单元测试参考答案 一．选择题：CDBA BCBD 二.填空题：9. e ；10. 3-；11. 10-；12． 12；13. ]22ln 2,(--∞；14. 2 1 5- 三．解答题：本大题共6小题，满分80分． 15．（12分）已知集合6| 1,1A x x R x ?? =≥∈??+?? ，{}2|20B x x x m =--<． （1）当3m =时，求()R A B ?r e；（2）若{}|14A B x x ?=-<<，求实数m 的值． 15．解：{}|15A x x =-<≤，（1）当3m =时，{}|13B x x =-<<，则R B r e{}|13x x x =≤-≥或，∴{}()|35R A B x x =≤≤ r e；（2）∵{}|15A x x =-<≤，{}|14A B x x =-<< ， ∴ 有2 4240m -?-=，解得8m =，此时{}|24B x x =-<<，符合题意． 16．（13分）若函数3()4f x ax bx =-+，当2x =时，函数()f x 有极值为4 3 - ． （1）求函数()f x 的解析式；（2）若()f x k =有3个解，求实数k 的取值范围． 16．解： 2()3f x ax b '=-． （1）由题意；(2)120 4(2)8243f a b f a b '=-???=-+=-??＝，解得1 34a b ?= ???=? ，∴所求的 31()443f x x x =-+． （2）由（1）可得2()4(2)(2)f x x x x '=-=-+．令()0f x '=，得 2x =或2x =-， ∴当2x <-时， ()0f x '>；当22x -<<时，()0f x '<；当2x >时，()0f x '>． 因此，当2x =-时，()f x 有极大值283 ；当2x =时，()f x 有极小值4 3-， ∴函数 31 ()443f x x x =-+的图象大致如图．由图可知：42833 k -<<． 17．（13分）请你为某公司设计一个用于储藏食盐的仓库（供融化高速公路上的积雪之用）．它的上部是底面圆半径为5m 的圆锥，下部是底面圆半径为5m 的圆柱，且该仓库的总高度为5m 价分别为400元/2m 、100元/2m ， 问当圆锥的高度为多少时，该仓库的侧面总造价（单位：元）最少？ 解：（法一）设圆锥母线与底面所成角为θ，且() π0 4 θ∈，，（2分） 则该仓库的侧面总造价[]152π55tan )1002π54002cos y θθ??=??-?+???????? （ () 2sin 50π3+θθ -=，（8分） 由22sin 150π0cos y θθ??-'== ??? 得1sin 2θ=，即π6θ=，（11分） 经检验得，当π6θ=时，侧面总造价y m ．（13分） （法二）设圆锥的高为x m ，且()0 5x ∈，，（2分） 则该仓库的侧面总造价[]12π55)1002π54002y x ?=??-?+?????（ () 150π+10πx =，（8分） 由) 10π 10y '==得x ，（11分） 经检验得，当x 时，侧面总造价y m ．（13分） 18．（14分）已知函数x x k kx x f ln 2)(-- =. （Ⅰ）若函数()f x 的图象在点(1，f (1))处的切线方程为2520x y +-=，求()f x 的单调区间； （Ⅱ）若函数)(x f 在),0(+∞为增函数，求实数k 的取值范围. 解：（Ⅰ）∵ 22222)(x k x kx x x k k x f +-=-+='， 可知2(1)225f k '=-=-，得5 4 =k ， 所以22241042(21)(2) ()55x x x x f x x x -+--'==,()f x 的定义域是),0(+∞， 故由()0f x '>得10,22x x <<>或，由()0f x '<得1 22 x <<， 所以函数()f x 的单调增区间是10)2∞（，）,(2,+，单调减区间是122 （，）。 （Ⅱ）函数)(x f y =的定义域为函数),0(+∞，要使函数函数)(x f y =在其定义域内为单调增 函数，只需函数0)(≥'x f 在区间),0(+∞恒成立.即022 ≥+-k x kx 在区间),0(+∞恒成立. 即122+≥ x x k 在区间) ,0(+∞恒成立. 令12)(2+=x x x g ，),0(+∞∈x ， 112 1 2)(2≤+ =+=x x x x x g ，当且仅当1=x 时取等号，∴ 1≥k .实数k 的取值范围[1,)+∞. 19.（14分）定义在正实数集上的函数()f x 满足下列条件： ①存在常数a ）（10<时，恒有()()m f x mf x =． （1）求证：对于任意正实数x y 、，()()()f xy f x f y =+； （2）证明：()f x 在(0)+∞，上是单调减函数； （3）若不等式()()() 28 log 42log (4)3a a f x f x -+--≤ 恒成立，求实数a 的取值范围． 解：（1）证明：令n m a y a x ==，，则() ()()()()()()m n m n f a m n f a mf a nf a f a f a +=+=+=+， 所以)()()(y f x f xy f +=，即证；（5分） （2）证明：设120x x ?<<，则必0s ?>，满足 1 2 s x a x =， 而() 1 122 ()()()()0s x f x f x f f a sf a s x -====>，即12()()f x f x >， 所以()f x 在(0)+∞，上是单调减函数.（10分） （3）令l o g (4)0a t x =->，则( ) ()2 283f t f t +-≤，故() ()23 28t f f a t +≤，即() 3 1 28a t t +≤， 所以3 a 01a << ，故0a <14分） 20．（14分）设函数2()=+x x f x c e （ 2.71828…=e 是自然对数的底数，∈c R ）。 （Ⅰ）求()f x 的单调区间、最大值； （Ⅱ）讨论关于x 的方程ln ()=x f x 根的个数． 20.解：（Ⅰ）2'()(12)-=-x f x x e ，由 '()0=f x ，解得1 2 =x ， 当 12 2 >x 时，'()0 所以，函数 ()f x 的单调递增区间是1(,)2-∞，单调递减区间是1 (,)2 +∞， 最大值为1 11()22 -=+f e c . （Ⅱ）令2()ln ()ln ,(0,)-=-=--∈+∞x g x x f x x xe c x . （1） 当 (1,)∈+∞x 时， ln 0>x ，则2()ln -=--x g x x xe c ， 所以 22'()(21)-=+-x x e g x e x x . 因为 2210,0->>x e x x ，所以'()0>g x , 因此()g x 在(1,)+∞上单调递增. （2）当 (0,1)∈x 时， ln 0 e g x e x x .因为222(1,),10∈>>>x x e e e x ，所以21-<-x e x . 又211- e x x ，即'()0 当2(1)0-=-->g e c ，即2 -<-c e 时，()g x 没有零点，故方程ln ()=x f x 的根的个数为0； 当2(1)0-=--=g e c ，即2-=-c e 时，()g x 只有一个零点， 故关于x 的方程ln ()=x f x 的根的个数为1；当2(1)0-=-- ->-c e 时， ① 当(1,)∈+∞x 时，由（Ⅰ）知211 ()ln ln ()ln 12 --=--≥-+>--x g x x xe c x e c x c ，要使 ()0>g x ，只需使ln 10-->x c ，即 1(,)+∈+∞c x e ； ② 当(0,1)∈x 时，由（Ⅰ）知211 ()ln ln ()ln 12 --=---≥--+>---x g x x xe c x e c x c ， 要使()0>g x ，只需使ln 10--->x c ，即 1(0,)--∈c x e ；所以 2->c e 时，()g x 有两个零 点，故关于x 的方程ln ()=x f x 的根的个数为2. 综上所述，当2 -<-c e 时，关于x 的方程ln ()=x f x 的根的个数为0； 当2 -=-c e 时，关于x 的方程ln ()=x f x 的根的个数为1； 当2->-c e 时，关于x 的方程ln ()=x f x 的根的个数为2. 高二数学导数单元测试题（有答案） （一）．选择题 （1）曲线32 31y x x =-+在点（1，-1）处的切线方程为（ ） A ．34y x =- B 。32y x =-+ C 。43y x =-+ D 。45y x =- a (2) 函数y ＝a x 2 ＋1的图象与直线y ＝x 相切，则a ＝ ( ) A ． 18 B ．41 C ．2 1 D ．1 (3) 函数13)(2 3 +-=x x x f 是减函数的区间为 ( ) A ．),2(+∞ B ．)2,(-∞ C ．)0,(-∞ D ．（0，2） (4) 函数,93)(2 3 -++=x ax x x f 已知3)(-=x x f 在时取得极值，则a = ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 (5) 在函数x x y 83 -=的图象上，其切线的倾斜角小于 4 π 的点中，坐标为整数的点的个数是 ( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 （6）函数3 ()1f x ax x =++有极值的充要条件是 （ ） A ．0a > B ．0a ≥ C ．0a < D ．0a ≤ （7）函数3 ()34f x x x =- （[]0,1x ∈的最大值是（ ） A ． 1 2 B ． -1 C ．0 D ．1 （8）函数)(x f =x （x －1）（x －2）…（x －100）在x ＝0处的导数值为（ ） A 、0 B 、1002 C 、200 D 、100！ （9）曲线313y x x = +在点413?? ???，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ） Ａ．19 Ｂ．29 Ｃ．13 Ｄ．23 （二）．填空题 （1）．垂直于直线2x+6y ＋1=0且与曲线y = x 3 ＋3x －5相切的直线方程是 。 （2）．设 f ( x ) = x 3 － 2 1x 2 －2x ＋5，当]2,1[-∈x 时，f ( x ) < m 恒成立，则实数m 的取值范围为 . （3）．函数y = f ( x ) = x 3＋ax 2＋bx ＋a 2 ，在x = 1时，有极值10，则a = ,b = 。 （4）．已知函数32 ()45f x x bx ax =+++在3 ,12x x ==-处有极值，那么a = ；b = （5）．已知函数3 ()f x x ax =+在R 上有两个极值点，则实数a 的取值范围是 （6）．已知函数32 ()33(2)1f x x ax a x =++++ 既有极大值又有极小值，则实数a 的取值 导数单元测试 【检测试题】 一、选择题 1. 设函数()y f x =可导，则0(1)(1) lim 3x f x f x ?→+?-?等于（ ）． A ．'(1)f B ．3'(1)f C ．1 '(1)3 f D ．以上都不对 2. 已知函数f (x )=ax 2 ＋c ,且(1)f '=2,则a 的值为（ ） A.1 B.2 C.－1 D. 0 3 .()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数，若()f x ,()g x 满足' ' ()()f x g x =,则 ()f x 与()g x 满足（ ） A ()f x =2()g x B ()f x -()g x 为常数函数 C ()f x =()0g x = D ()f x +()g x 为常数函数 4.三次函数x ax y +=3 在()+∞∞-∈,x 内是增函数，则 （ ） A ． 0>a B ．0 导数单元测试题 班级姓名 一、选择题 1．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为( ) A．0.40 B．0.41 C．0.43 D．0.44 2．函数f(x)＝2x2－1在区间(1,1＋Δx)上的平均变化率Δy Δx 等于( ) A．4 B．4＋2Δx C．4＋2(Δx)2 D．4x 3．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( ) A．不存在B．与x轴平行或重合 C．与x轴垂直D．与x轴相交但不垂直 4．曲线y＝－1 x 在点(1，－1)处的切线方程为( ) A．y＝x－2 B．y＝x C．y＝x＋2 D．y＝－x－2 5．下列点中，在曲线y＝x2上，且在该点处的切线倾斜角为π 4 的是( ) A．(0,0) B．(2,4) C．(1 4 ， 1 16 ) D．( 1 2 ， 1 4 ) 6．已知函数f(x)＝1 x ，则f′(－3)＝( ) A．4 B.1 9 C．－ 1 4 D．－ 1 9 7．函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是( ) A．(－∞，2) B．(0,3) C．(1,4) D．(2，＋∞) 8．“函数y＝f(x)在一点的导数值为0”是“函数y＝f(x)在这点取极值”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极小值点有( ) A．1个B．2个 C．3个D．4个 10．函数f(x)＝－x2＋4x＋7，在x∈[3,5]上的最大值和最小值分 别是( ) A．f(2)，f(3) B．f(3)，f(5) C．f(2)，f(5) D．f(5)，f(3) 11．函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为( ) A．－10 B．－71 C．－15 D．－22 12．一点沿直线运动，如果由始点起经过t秒运动的距离为s＝ 1 4 t4－ 5 3 t3＋2t2，那么速度为零的时刻是( ) A．1秒末 B．0秒 C．4秒末 D．0,1,4秒末 二、填空题 13．设函数y＝f(x)＝ax2＋2x，若f′(1)＝4，则a＝________. 14．已知函数y＝ax2＋b在点(1,3)处的切线斜率为2，则 b a ＝________. 15．函数y＝x e x的最小值为________． 16．有一长为16 m的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2. 三、解答题 17．求下列函数的导数：(1)y＝3x2＋x cos x； (2)y＝ x 1＋x ； (3)y＝lg x－e x. 18．已知抛物线y＝x2＋4与直线y＝x＋10，求： (1)它们的交点； (2)抛物线在交点处的切线方程． 19．已知函数f(x)＝ 1 3 x3－4x＋4.(1)求函数的极值； (2)求函数在区间[－3,4]上的最大值和最小值． 导数及其应用 【考纲说明】 1、了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。 2、熟记八个基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。 3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。 【知识梳理】 一、导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。如果当0→?x 时，x y ??有极限，我们 就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。 即f （x 0）=0lim →?x x y ??=0lim →?x x x f x x f ?-?+)()(00。 说明： （1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→?x 时，x y ??有极限。如果x y ??不存在极限，就说函数在点x 0处不可导， 或说无导数。 （2）x ?是自变量x 在x 0处的改变量，0≠?x 时，而y ?是函数值的改变量，可以是零。 由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤： （1）求函数的增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0）； （2）求平均变化率x y ??=x x f x x f ?-?+) ()(00； （3）取极限，得导数f’(x 0)=x y x ??→?0lim 。 二、导数的几何意义 函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。相应地，切线方程为y －y 0=f/（x 0）（x －x 0）。 三、几种常见函数的导数 ①0;C '= ②() 1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '=⑥()ln x x a a a ' =; ⑦ ()1ln x x '= ; ⑧()1 l g log a a o x e x '=. 四、两个函数的和、差、积的求导法则 法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 即： ( .)' ''v u v u ±=± 法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数， 即： .)('''uv v u uv += 若C 为常数,则' ''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： .)(''Cu Cu = 法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方： ? ?? ??v u ‘=2' 'v uv v u -（v ≠0）。 形如y=f [x (?])的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y ＇|x = y ＇|u ·u ＇|x 五、导数应用 1、单调区间： 一般地，设函数)(x f y =在某个区间可导，(word完整版)高二数学导数单元测试题(有答案)
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