1 引言
解析函数是复变函数论研究的主要对象．Cauchy-Riemann方程则是判断复变函数可微和解析的主要条件，它在复变函数论中的重要作用和地位是不言而喻的．文献[1]、[2]提到函数可微、解析定义及满足它们的一些条件，文献[3]、[4]、[5]给出几种Cauchy-Riemann 方程等价形式．
现在对解析函数Cauchy-Riemann方程研究的文章非常的多，这些文章已经将它们证明研究得比较深刻，但对它们作出全面的概括和总结这方面的工作还是不多，至于应用也很少提到．所以对它的进一步研究和总结还是有其积极意义的．
本文先介绍可微、解析定义，给出解析函数满足Cauchy-Riemann方程，再给出几种Cauchy-Riemann方程的等价形式．
2 基本概念与定理
定义2．1[1] 设函数()w f z =定义于区域D ， 0z D ∈．如果极限 000
()()
lim
z z z D
f z f z z z →∈--
存在，则称()f z 在0z 点可导或可微，其极限值称为函数()f z 在0z 点的导数，记为0'()f z 或0
(z z df z dz
=）．即
000
()()
lim '()z z f z f z f z z z →-=-．
有了函数在一点可微的概念以后，下面我们引进复变函数的一个主要概念——解析函数．
定义2．2[1] 如果函数()w f z =在区域D 内每一点都可微，则称()f z 在D 内解析，并称()f z 是区域D 内的解析函数．
如果函数()f z 在0z 的某一邻域内解析，则称()f z 在0z 点解析．而函数()f z 在闭区域D 上解析，即存在区域G ，使D G ?，而()f z 在G 内解析．
若在区域D 内除了可能有些例外点外，函数()f z 在D 内其它各点都解析，则这些例外点称为()f z 的奇点．
例1 试证明(Re f z z z =）在0z =点可微，但在z 平面上任何点都不解析． 证： 先证(f z ）在0z =点可微．因 00
()(0)
R e lim
lim
lim R e 00
z z z f z f z z z z z
→→→-===-
故(f z ）在0z =点可微，且'(0)0f =．
设00z ≠，令000z x iy =+，则0x ，0y 至少有一个不为零．又令z x iy =+，考虑极限
000
()()
R e R e lim
lim
z z z z f z f z z z z z z z z z →→--=--
00
000
00()()lim
()()x x y y x iy x x iy x x x i y y →→+-+=-+-
00
2
2
00000()lim
()()
x x y y x x i xy x y x x i y y →→-++=-+-
当z 沿平行于实轴的方向趋近0z 时，因0y y =，故 0
00
()()
l i m
z z f z f z z z →--
2
2
0000
()
lim
x x x x iy x x x x →-+-=-
00lim [()]x x x x iy →=++
002x iy =+
当z 沿平行于虚轴方向趋近于0z 时，因0x x =，故 00
00000
0()()
()lim
lim
()
z z y y f z f z ix y y x z z i y y →→--==--
因为0x ，0y 至少有一个不为零，于是0002x iy x +≠．故当00z ≠时，()f z 不可微．因而除00z =外，()f z 都不可微．在00z =处尽管函数()f z 可微，但不存在00z =的一个邻域，使()f z 在此邻域内每一点都可微，故()f z 在00z =点也不解析，从而()f z 在z 平面上任何点都不解析． #
此例说明函数在一点可微，但在这一点不一定解析．
有了可微性和解析性的定义之后，即得下述定理： 定理2．3
[2]
设函数(,)(,)f u x y iv x y =+定义与区域D ，000z x iy D =+∈，则
()f z 在点0z 处可微的必要与充分条件是：(,)u x y ，(,)v x y 在点00(,)x y 处可微，且满足
Cauchy-Riemann 方程
,u v v u
x
y x y
????=
=-
???? （1）
证： 必要性 设0(0)z z z D z +?=∈?≠，w u i v ?=?+?．因()f z 在点0z 可微，则有00
lim
'()z w f z z
?→?=?．令
0'()w f z z
ε?-=?．即得
0'()w f z z z ε?=?+? （2） 当0z ?→时，0ε→．令0'()f z a ib =+，z x i y ?=?+?，12i εεε=+，则当0x ?→，
0y ?→时，10ε→，20ε→．于是由（2）式，
12()()()()u i v a ib x i y i x i y εε?+?=+?+?++?+?
12()a x b y i b x a y ηη=?-?++?+?+
其中112x y ηεε=?-?，221x y ηεε=?+?．则比较实部与虚部，则 1
u a x b y η?=?-?+， 2v b x a y η?=?+?+ （3）
其中a 与b 与x ?，y ?无关．因
112z
ηεε≤
≤+?，
而当0x ?→，0y ?→时，10ε→，20ε→
．故当0z ρ?=
=→时，
10ηρ
→，于是10()ηρ=．同理20()ηρ=．由（3）即知u ，v 在点00(,)x y 处可微，且
在点00(,)x y 处有
u a x
?=?，
u b y
?=-?，
v b x
?=?，
v a y
?=?，
于是
,
u v v u
x
y
x
y
????=
=-
????， 因此满足Cauchy-Riemann 方程．
充分性 设(,)u x y ，(,)v x y 在点00(,)x y 处可微，则在点00(,)x y 处有 1u u u x y x y
η???=
?+
?+??．
2v v v x y x
y
η???=
?+
?+??．
其中10
lim
0ρηρ
→=，20
lim
0ρηρ
→=，z ρ==?．因Cauchy-Riemann 方程（1）
成立，如令
u v a x
y
??=
=??，
v u b x
y
??=-
=??，则
12()w u i v a x b y i b x a y ηη?=?+?=?-?++?+?+
12()()()a ib x i y i a ib z ηηη=+?+?++=+?+．
故 w a i b z
z
η
?=++
??．
其中12i ηηη=+．因
1212
0i z
z
ηηηηηρ
ρ
+=
≤
+
→??（当0ρ→）
， 故 0
l i m
0z z η
?→=
?．
于是 00
l i m
'()z w a i b f z z
?→?=+=
?．
因此()f z 在点0z 可微． #
３ 几种不同形式的Cauchy-Riemann 方程
3．1 梯度形式
定理3．1[3] 设()(,)(,)f z u x y iv x y =+，(,)u x y ，(,)v x y 的Cauchy-Riemann 方程等价于
(),0,.
gradu gradv gradu gradv =???
=?? （4）
证：若实形式的C-R 条件成立，即
,u v x
y ??=??,u v y
x ??=-
??
那么有(),gradu gradv =
12,12u u v v
u v u v
e e e e x
y
x
y x x y y ??????????++
=?+? ??????????? ()
0v u u v
C R y y y y
??????--+
= ???????条件， 其中1e ，2e 分别与x 轴，y 轴正向相同的单位矢量．
gradu =
,gradv =
= (),0,
.gradu gradv gradu gradv =???
=??
反之，若（4）式成立，则有
2222
0,.u v u v
x x y y u u v v x y x y ?????+=??????
??????????????+=+ ? ? ? ???????
???????? （5） 设,u v u v p q x
y
y
x
????=
-
=
+
????那么，方程组（5）化为
0,0.
v v p q x y u v u v p q x y y x ???+=????
??????????++-= ? ???????????
（6）
其中
0,
0.u v u v x
y
y
x
????+
≠-
≠????此方程组的系行列式为
J =v
x u v x y ??
?
?? + ???
v
y u v y x ????????-
????
=v u v v u v x y x y x y ??????????--+ ? ??????????? 220v u v u v v x y y x x y ??
??
??????????=--
+≠?? ? ? ?????????????
????
事实上，若
220v u v u v v x y y x x y ??
??
??????????--
+=?? ? ? ?????????????
????
． 由（5）式可知220v u v u u u x y y x x y ??
??
??????????--+=?? ? ? ?????????????
????． 故我们有
222220,v u v u u u v v x y y x x y x y ??????
????????????????--+-+=???? ? ? ? ? ???????????????????
??????
??
2
2
0,u v u v x y y x ????
????-+--= ? ?????????
即
2
2
u v u v x y y x ????????-+=- ? ?????????
． 这是一个矛盾的结论，所以方程组（6）只有零解．于是
0,0,.
u
v q x y p u v y
x ???=?=????
??=????=-????即
3.2 复形式
若考虑二实变数,x y 的复值函数(),f x y ，引进复变数,,z x iy z x iy =+=-则
()()1
1
,2
2x z z y z z i =
+=-． 于是
()(),,
.2
2z z z z
w f z f x y f i ??+-=== ???
这里形式地把(),f x y 考虑为z 与z 的函数，而把z 与z 视为独立的自变量，因此()f z 可以对自变量z 与z 求导数．
定理3．2
[4]
()f z 在区域D 内解析的充分必要条件是(,)u x y ，(,)v x y 在D 内可微
且满足Cauchy-Riemann 方程0f z
?=?．
证：
1212f f x f
y f f i z x z y z x y f f x f y f f i x y x y z z z
???
???????=+=
+? ?
???????????
??
????????=+=
- ?
??????????
?
（7）
()f z 在区域D 内解析的充分必要条件是(,)u x y ，(,)v x y 在D 内可微且满足
Cauchy-Riemann 方程
u v x
y
????=
，
.
u v y
x
????=-
而
'()u v u v x
x
y
y
f z i
i
????????=
+=-+
，
所以f(z)应满足偏微分方程
.
f f x
y
i
????= （8）
将（7）和（8）比较，得
0f z
?=?．
因此解析函数f （z)是以条件0f z
?=?为其特征，即Cauchy-Riemann 方程的复形式可表示为
0f z
?=?．
（7）式在作为极限定义时并没有什么方便之处，但我们仍然可以把它们作为对于z 及z 的形式导数．这里值得一提的是，实际上z 与z 并不是独立变量，因为他们是互相共轭的．也就是说，一个解析函数与z 无关，而是z 的独立函数．这也是我们把一个解析函数看作确实是一复数的函数，而不称之为两个实变数的复值函数的理由．
3．3 极坐标形式 定理3． 3． 1
[4]
：()()()(),,cos sin f z u x y iv x y R i θθ=+=+是()
cos sin z r i φφ=+在D 区域内的解析函数，于是有Cauchy-Riemann 方程的极坐标形式，即
11u v
r r v u r
r φφ???=????
?
???=-???? （9） 证：因为cos ,sin ,cos ,sin ,u R v R x r y r θθφφ====所以
cos sin u R R r
r
r
θθθ
???=-???， （10）
cos sin u R R θθθ
φ
φ
φ
???=
-???， （11）
sin cos v R R r
r
r
θθθ???=+???， （12）
sin cos v R R θθθ
φ
φ
φ
???=
+???， （13）
将(10)cos (12)sin (11)cos θθθ?+?+?得
cos sin ,cos sin .u v R r r r u v R θθθθφφφ????+=??????????+=?????
将（9）式代入得
1(cos sin ),
(cos sin ).
v u R r r v u R r r r θθφφθθφ????-=??????
????--=?????
（14）
再把()()()()13cos 11sin ,12cos 10sin ,θθθθ?-??-?得
cos sin ,
cos sin .
v
u r v u R r
r r
θθθφφφθθθ????-=??????
????-=????? （15） 比较（14）式与（15）式，得
,.R
r
R r R r rR θφθφ?????????=??
?
?=-?? （16）
（16）就是我们所需要的Cauchy-Riemann 方程．
定理3． 3． 2[5] 设()()()(),,cos sin f z u x y iv x y R i θθ=+=+是z x iy =+在D 区域内的解析函数，于是有Cauchy-Riemann 方程
,.R R x y R R y x θθ???=????
?
???=-????
证： 设()()()(),,cos sin f z u x y iv x y R i θθ=+=+是z x iy =+在D 区域内的解析函数，于是有Cauchy-Riemann 方程的实形式
,u v u v
x
y y x
????=
=-
????． 而cos ,sin ,u R v R θθ==所以
cos sin ,u R R x
x
x
θθθ???=-???
sin cos .v R R y
y
r
θθθ???=
-
???
cos sin ,u R R y
y
y
θθθ???=
-
???
sin cos .v R R x
x
x
θθθ???=
-
???
故
cos sin sin cos ,R R R R x x
y y θθθθθθ????-
=
+
???? (17)
cos sin sin cos .R R v R R y
y
x x
θθθθθ????-
=--????
（18） 将（17），（18）两式分别乘以cos θ，sin θ或sin θ，cos θ-再相加，得
,.R R x y R R y
x θθ???=????
????=-???? （19）
（19）式就是所需求的Cauchy-Riemann 方程．
下面推导在条件之下的()f z 的导数表达式． 因为
(cos sin )(
sin cos )
11'()()
(cos sin )
(cos sin )
u
v
R R
i R i R R x x x x
x
x
f z i
f z R i R i R x
x
θθθθθθθθθθθ??????+-
++
????????=
=
=+++??，
所以
1'()()()R f z f z i R x x
θ??=+??．
若我们应用（19）式，则有
1'()()(
)R f z f z i
y
R y
θ??=-??．
参考文献：
[1]刘声华，潘吉富，郑基允．复变函数[M]．长春：吉林教育出版社 1988．
[2]钟玉泉．复变函数论(第二版)[M]．北京：高等教育出版社，1988．
[3]L V 阿尔福斯．复分析[M]．上海：上海科学出版社，1984．
[4]谭小江，伍胜健复变函数简明教程[M]．北京：北京大学出版社，2006．
[5]Jerrld E Maislen． Basic complex analysis[M]．Freeman W H ahd Company， 1973
致谢
本论文是在湖州师范学院张孝惠老师精心指导下完成的．从最初的论文选题到论文初稿的修改乃至最后的定稿都倾注了这位老师的大量心血．整个毕业论文阶段的学习使我受益非浅，特此向张老师表示深深的敬意和诚挚的感谢！
此外，还要感谢刘太顺教授，是他给我打下了坚实的复变函数基础，在理论上给予我很大的帮助；感谢同寝室一起学习的同学给予我的关心和支持，感谢湖州师范学院多年来对我的教育、培养．
在此，我向各位给予我帮助支持的领导、老师、同学、亲人致以最真挚的谢意，谢谢大家！
二维有限差分析是求解两个变量的拉普拉斯方程的一种近似方法，这种方法的要点如下： 在平面场中，将平面划分成若干正方形格子，每个格子的边长都等于h ，图13-10表示其中的一部分，设0点的电位为V 0，0点周围方格顶点的电位分别为V 1、V 2、V 3和V 4。现在来推导一个用V 1、V 2、V 3和V 4表示V 0的公式： 图13-10 已知平面场的电位满足两个变量的拉普拉斯方程： 0222 2=??+??y V x V 其中 h x V x V x V x x V c a ??- ??≈??? ??????= ??0 22 但是 h V V x V h V V x V c a 30 01 ,-≈??-≈ ?? 所以 2 30013 0010 2 2h V V V V h h V V h V V x V +--≈-- -≈?? 同理 2 4 0020 2 2h V V V V y V +--≈ ?? 将上面两个方程相加一起得： 042 43212222=-+++≈??+??h V V V V V y V x V 由上面方程推出：)(4 1 43210V V V V V +++≈ (13.47) 该式说明0点的电位近似等于相互垂直的方向上和0点等距离的四个点上的电位平均值，距离h 愈小则结果愈精确，方程（13.47）是用近似法求解两个变量拉普拉斯方程的依据。 然而，V 0和V 1、V 2、V 3、V 4都是未知值，这种情况下需要按照方程（13.47）写出每一点的电位方程，然后求这些方程的联立解。 求解时较简便的方法是选代法，这种方法可求出平面场中各点电位的近似值。 图13-11表示一个截面为正方形的导体槽，槽的顶面与侧面相互绝缘，顶面的电位为
拉普拉斯方程 拉普拉斯方程 拉普拉斯方程，又名调和方程，是一砍。因为由法 国数学家首先提出而得名。求解拉普 拉斯方程栯、和等领域经常遇到的 一类重要的数学问領，因为这种方程以的形式描写了、和等物理对象（一般统称为“保守场”栖“有势场”）的性质。三维情况下＠拉普拉斯方程可由下面的形式描 述，闠题归结为求解对实自变量x、y、z二阶的实函数 φ ：: + + = 0. 上面的方程常常简写作：: \nabla^2 \varphi = 0 或: \operatorname\,\operatorname\,\varphi = 0, 其中div表示的（结果是一个），grad 表示标量场的（结果是一个矢量场），或者简写作 : \Delta \varphi = 0 其中Δ称为 . 拉普拉斯方 程的解称为。如果等号右边是一个给定的函数f( , y, z)，即：: \Delta \varphi = f 则该方程称为。拉 普拉斯方程和泊松方程是最简单?? 。偏微 分算子\nabla^2或\Delta（可以在任意维空间中定义这样的算 堐）称为，英文是Laplace operator 或简称作 Laplacian。拉普拉斯方程的可归结为求解在区 域D内定义的函数φ，使得\varphi在D的边界上等于某给定 的函数。为方便堙述，以下采用拉普拉斯算子应用的其?一个例
子——作为背景进行介绍：固定区域边界上砄温度（是边界上各点位置坐标的函数 ，直到区域内部热传导使温度 分布达堰稳定，这个温度分布场就是相应的狄頌克雷问题的解。拉普拉斯方程的不直接给出区域D边界处的温度函数φ本身，而是φ ??D的边界法向的。从物理 的角度看，这种边界条件给堺的是矢量场的势分布在区域边界处的堲知效果（对热传导问题而言，这种效栜便是边界热流密度）。拉普拉斯方稠的解称为，此函数在方程成立的区域内是。任意两个函数，如果它们都满足拉栮拉斯方程（或任意线性微分方程），蠙两个函数之和（或任意形式的线性组堈）同样满足前述方程。这种非常有用砄性质称为。可以根据该原理将复杂问题的已知砀单组合起来，构造适用面更广的。 二维拉普拉斯方程 两个自变量的拉普拉斯方程具有以丠形式：:\varphi_ + \varphi_ = 0.\, 解析函数 的实部和虚部均满足拉普拉斯方程。栢言之，若z = x + iy，并且:f(z) = u(x,y) + iv(x,y),\, 那么f(z)是解析函数的是它满足下列柯西-黎曼方程：:u_x = v_y, \quad v_x = -u_y.\, 上述方程继续求导就得到:u_ = (-v_x)_y = -(v_y)_x = -(u_x)_x.\, 所以u 满足拉普拉斯方程。类似的计算可推堗v 同样满足拉普拉斯方程。反之，给定一个由解析函数（或至尠在某点及其邻域内解析的函数）f(z)的堞部确定的调
拉普拉斯方程 一、概念：一个弯曲的表面称为曲面，通常用相应的两个曲率半径来描述曲面，即在曲面上某点作垂直于表面的直线，再通过此线作一平面，此平面与曲面的截线为曲线，在该点与曲线相切的圆半径称为该曲线的曲率半径R1。通过表面垂线并垂直于第一个平面再作第二个平面并与曲面相交，可得到第二条截线和它的曲率半径R2，用R1与R2可表示出液体表面的弯曲情况。若液面是弯曲的，液体内部的压强p1与液体外的压强p2就会不同，在液面两边就会产生压强差△P= P1- P2，称附加压强，其数值与液面曲率大小有关，可表示为：，式中γ是液体表面张力系数，该公式称为拉普拉斯方程。 二、在数理方程中 拉普拉斯方程为：，其中?2为拉普拉斯算子，此处的拉普拉斯方程为二阶偏微分方程。三维情况下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述，问题归结为求解对实自变量x、y、z二阶可微的实函数φ： 其中?2称为拉普拉斯算子。 拉普拉斯方程的解称为调和函数。 如果等号右边是一个给定的函数f（x，y，z），即： 则该方程称为泊松方程。拉普拉斯方程和泊松方程是最简单的椭圆型偏微分方程。偏微分算子（可以在任意维空间中定义这样的算子）称为拉普拉斯算子，英文是Laplace operator或简称作Laplacian。
三、方程的解 称为调和函数，此函数在方程成立的区域内是解析的。任意两个函数，如果它们都满足拉普拉斯方程（或任意线性微分方程），这两个函数之和（或任意形式的线性组合）同样满足前述方程。这种非常有用的性质称为叠加原理。可以根据该原理将复杂问题的已知简单特解组合起来，构造适用面更广的通解。 四、二维方程 两个自变量的拉普拉斯方程具有以下形式： Δu =δ2u/δu2+δ2u/δy2=0 解析函数的实部和虚部均满足拉普拉斯方程
注：期中考范围从第一章到第三章 第一章考核目标 掌握复数和复变函数的基本概念，理解复平面上一些点集的定义；掌握复数的三种表示；区别辐角与主辐角；熟练掌握复数的四则运算，乘方、开方运算。 第一章练习题 1．设) 2)(3() 3)(2)(1(i i i i i z ++--+= ，则=z 2 2．设)2)(32(i i z +--=，则=z arg a r c t a n 8π- 3. 复数2 2) 3sin 3(cos )5sin 5(cos θθθθi i -+的指数表示式为 16i e θ 4. 方程i z i z +-=-+221所表示的曲线是连接点 12i -+ 和 2i - 的线段的垂直平分线 5. 设35,arg()4 z iz π ==，则=z 45i e π 6. 对于映射i z ω=，圆周||1z i -=的像曲线为连接点 (0,0) 和 (1,0) 的线段的垂直平分线 7. Im{ln(34)}i -= 4a r c t a n 3 - 8. 24 1lim (12)z i z z →+++= 72i -+ 9. 10)3131( i i -+的实部是__12- ____，虚部是___32 _____，辐角主值是_2 3 π_____. 10. 复数tan ( )2 z i π θθπ=-<<的三角表示式是 sec [cos()sin()22i ππθθθ-+-] 第二章考核目标
充分理解解析函数的定义；切实掌握柯西－黎曼条件及相关定理；充分掌握解析函数的等价刻画定理；了解若干初等解析函数，并能区分数学分析中相应初等函数间的异同 第二章练习题 1. 设2233)(y ix y x z f ++=，则=+-')2 32 3(i f 27 (1)4 i - 2. 函数()f z 在点z 可导是()f z 在点z 解析的 必要 条件 3. 函数()Im()Re()f z z z z =-仅在点=z （0，-1） 处可导 4. 方程01=--z e 的全部解为 2,0,1,z k i k π==± 5. i i -+1)1(的值为 _______ln 224 [cos(ln 2)sin(ln 2)],0,1,44 k e k π π ππ ++-++-+=± ____ 主值为 _ln 24 [cos(ln 2)sin(ln 2)],0,1,44 e k πππ + -++-+=± _. 6. 若函数)(2)(2222x axy y i y xy x z f -++-+=在复平面内处处解析，那么实常 数=a 2 7. 证明函数5 4,0, ()||0,0,z z f z z z ?≠?=??=? 在原点不可微但在原点满足C._R.条件。 8. 设23()+2f z x y i =，问)(z f 在何处可导？何处解析？并在可导处求出导数值. 答：)(z f 在23x y =上可导，且()2f z x '=，无处解析。 9. 1） 叙述两点复指数函数和实指数函数不同之处。 2） 叙述刻画解析函数的等价条件（至少两个）。 3） 写出区域D 内解析函数()f z 的边界值表示其各阶导数内部值的积分公式。
第三章复变函数的积分 能力要求 ●会通过转化成两个实变函数第一型曲线积分的方法来计算复变函数的积分。 ●知道复变函数积分的四条性质，特别注意前三条线性性质。 ●知道在什么时候可以用实变函数中的牛顿——莱布尼茨公式计算复变函数 积分。 ●会用柯西积分公式和高阶导数公式(n=1,2,……) 计算积分。 ●会用复合闭路原理和闭路变形原理简化积分计算。 ●会判定一个复变函数是不是某一区域D内的调和函数。 ●会用偏积分法和不定积分法求共轭调和函数。 重点知识点讲解 一、复变函数积分的基本计算法 复变函数的积分是转化成实变函数的第一型曲线积分来计算的，因此我们要先回顾第一型曲线积分的计算步骤。 例题：沿计算积分的值 第一步：化参数 积分路径是一条抛物线，它在复平面上的方程是，则。 第二步：把原积分式中的x、y和dz都代掉。注意积分上下限的变化。 二、积分的性质 最重要的是积分的线性性质（书P74性质前三条），第四条估值不等式能力要求稍高。 三、用性质、定理计算积分
、定理回顾 柯西-古萨基本定理 如果函数在单连通域B 内处处解析，那么函数沿B 内任何一条封闭曲线C 域B 内处处解析，那么函数沿B 内任何一条封闭曲线C 的积分为零。 关键词：处处解析 封闭曲线 积分为零 注意：该定理中的C 可以不是简单曲线。 闭路变形原理 在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分，不因曲线在区域内作连续变形而改变它的值，只要在变形过程中曲线不经过函数不解析的点。 关键词：解析函数 连续变形 不经过不解析点 基本定理的推广——复合闭路定理 设C 为多连通域D 内的一条简单闭曲线，C1，C2，……，Cn 是在C 内部的简单闭曲线，它们互不包含也互不相交，并且以C ，C1，C2，……，Cn 为边界的区域全含于D 。如果在D 内解析，那么 i)，其中C 及C k 均取正方向； ii) 积分路径为C 及C k 所组成的符合闭路，C 取逆时针，C k 取顺时针。 复合闭路定理告诉了我们被积函数在积分路径所围区域内存在奇点的情况下积分的计算方法：围绕每个奇点画一个小圆作为积分路径，把原积分拆成多个积分的和。虽然书上那一部分要求我们用73页上的那个结果，但其实我们完全可以用后面的柯西积分公式和高阶导数公式来解决，那是更具一般性的。 柯西积分公式 如果在区域D 内处处解析，C 为D 内的任何一条正向简单闭曲线，它的内处解析，C 为D 内的任何一条正向简单闭曲线，它的内部完全含于D ，为C 内的任一点，那么 |?-=C dz z z z f i z f 0 0)(21)(π 关键词：处处解析 正向简单闭曲线 柯西积分公式的功效是把一个复变函数的积分和它在积分路径所围区域内
收稿日期:2005212210 基金项目:辽宁省教育厅科研基金资助项目(05L415)? 作者简介:刘大卫(1964-),男,贵州贵阳人,贵州工业大学副教授? 第24卷 第2期 2006年4月 沈阳师范大学学报(自然科学版) Journal of S henyang Norm al U niversity (N atural Science ) V ol 124,N o.2Apr.2006 文章编号:1673-5862(2006)02-0166-04 正方形环域Laplace 方程的简明数值解法 刘大卫1,高 明2,3 (1.贵州工业大学基础部,贵州贵阳 550003; 2.沈阳师范大学物理科学与技术学院,辽宁沈阳 110034; 3.沈阳师范大学实验中心,辽宁沈阳 110034) 摘 要:通过正方形环域的Laplace 方程的数值求解过程,详细介绍了使用MA TLAB 求解微 分方程的方法?用MA TLAB 的M 文件,生成正方形环域,用函数numgrid 作网格划分,用函数delsq 建立五点差分格式建立并求解拉普拉斯方程第一边值问题?关 键 词:Laplace 方程;差分法;MA TLAB 中图分类号:O 175 文献标识码:A 0 引 言 Laplace 方程是解决电磁场问题中最常见的方程,在一些具有较复杂边界形状的区域中求出方程的 解析解是非常困难的[122]?因此寻求一种有效的、简明的数值解法对于解决实际问题中复杂边界区域中 的电磁场分布问题具有非常重要的实际价值?通过一个特殊的方形区域的电场分布问题介绍一种应用MA TLAB 数值求解Laplace 方程的方法? 考虑图1所示正方形环域,设区域内满足Laplace 方程Δu =0,内边界处电势u =100,外边界处电势u =0,求区域内的电势分布,易见,这是一个Laplace 方程的第一边值问题? 现用差分法求解这个问题,首先把研究区域划分为图2所示的网格,在这个划分中,除去边界点,区域被分为240个网格节点 ? 图1 正方形环域 图2 网格的划分 差分法求解的基本思想是,在网格节点上用差商代替微商,结合边界条件,把定解问题转化为以未知函数u (x ,y )在节点上的数值为未知量的线性方程组: Ax =b 其中,x 为解向量,代表函数u (x ,y )在节点上的数值?A 为系数矩阵,与网格节点的划分和编号方式有关,通常是一个大型的稀疏矩阵?b 为常数向量,由边界条件确定?对上述问题,A 为240×240阶稀疏矩阵,b 为240×1阶稀疏常数向量?下面用MA TLAB 提供的网格划分函数numgrid 和差分格式建立函数delsq 来构造系数矩阵A ?
拉普拉斯方程 拉普拉斯方程又名调和方程、位势方程，是一种偏微分方程。因为由法国数学家拉普拉斯首先提出而得名。求解拉普拉斯方程是电磁学、天文学和流体力学等领域经常遇到的一类重要的数学问题，因为这种方程以势函数的形式描写了电场、引力场和流场等物理对象（一般统称为“保守场”或“有势场”）的性质。 拉普拉斯方程表示液面曲率与液体压力之间的关系的公式。一个弯曲的表面称为曲面，通常用相应的两个曲率半径来描述曲面，即在曲面上某点作垂直于表面的直线，再通过此线作一平面，此平面与曲面的截线为曲线，在该点与曲线相重合的圆半径称为该曲线的曲率半径R1。 通过表面垂线并垂直于第一个平面再作第二个平面并与曲面相交，可得到第二条截线和它的曲率半径R2，用 R1与R2可表示出液体表面的弯曲情况。若液面是弯曲的，液体内部的压力p1与液体外的压力p2就会不同，在液面两边就会产生压力差△P= P1- P2，其数值与液面曲率大小有关，可表示为：▽p=γ（1/R1+1/R2）式中γ是液体表面张力。该公式成为拉普拉斯方程。 在数理方程中
拉普拉斯方程拉普拉斯方程为：Δ u=d^2u/dx^2+d^2u/dy^2=0，其中Δ为拉普拉斯算子，此处的拉普拉斯方程为二阶偏微分方程。三维情况下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述，问题归结为求解对实自变量x、y、z二阶可微的实函数φ：其中Δ称为拉普拉斯算子. 拉普拉斯方程的解称为调和函数。 如果等号右边是一个给定的函数f(x, y, z)，即： 则该方程称为泊松方程。拉普拉斯方程和泊松方程是最简单的椭圆型偏微分方程。偏微分算子或Δ（可以在任意维空间中定义这样的算子）称为拉普拉斯算子，英文是 Laplace operator或简称作Laplacian。 狄利克雷问题 拉普拉斯方程的狄利克雷问题可归结为求解在区域D内定义的函数φ，使得在D的边界上等于某给定的函数。为方便叙述，以下采用拉普拉斯算子应用的其中一个例子——热传导问题作为背景进行介绍：固定区域边界上的温度（是边界上各点位置坐标的函数），直到区域内部热传导使温度分布达到稳定，这个温度分布场就是相应的狄利克雷问题的解。
拉普拉斯方程 拉普拉斯方程（Laplace's equation）又称调和方程、位势方程，是一种偏微分方程，因由法国数学家拉普拉斯首先提出而得名。 [1] 拉普拉斯方程表示液面曲率与液体表面压强之间的关系的公式。 中文名 拉普拉斯方程 外文名 Laplace's equation 别称 调和方程、位势方程 提出者 拉普拉斯 关键词 微分方程、拉普拉斯定理 涉及领域 电磁学、天体物理学、力学、数学 目录 .1基本概述 .?在数理方程中 .?方程的解 .2二维方程 .3人物介绍
基本概述 一个弯曲的表面称为曲面，通常用相应的两个曲率半径来描述曲面，即在曲面上某点作垂直于表面的直线，再通过此线作一平面，此平面与曲面的截线为曲线，在该点与曲线相切的圆半径称为该曲线的曲率半径R1。通过表面垂线并垂直于第一个平面再作第二个平面并与曲面相交，可得到第二条截线和它的曲率半径R2，用R1与R2可表示出液体表面的弯曲情况。若液面是弯曲的，液体内部的压强p1与液体外的压强p2就会不同，在液面两边就会产生压强差△P= P1- P2，称附加压强，其数值与液面曲率大小有关，可表示为： ，式中γ是液体表面张力系数，该公式称为拉普拉斯方程。 在数理方程中 拉普拉斯方程为： ，其中?2为拉普拉斯算子，此处的拉普拉斯方程为二阶偏微分方程。三维情况下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述，问题归结为求解对实自变量x、y、z二阶可微的实函数φ ： 其中?2称为拉普拉斯算子。 拉普拉斯方程的解称为调和函数。 如果等号右边是一个给定的函数f（x，y，z），即： 则该方程称为泊松方程。拉普拉斯方程和泊松方程是最简单的椭圆型偏微分方程。偏微分算子 （可以在任意维空间中定义这样的算子）称为拉普拉斯算子，英文是Laplace operator或简称作Laplacian。 方程的解 称为调和函数，此函数在方程成立的区域内是解析的。任意两个函数，如果它们都满足拉普拉斯方程（或任意线性微分方程），这两个函数之和（或任意形式的线性组合）同样满足前述方程。这种非常有用的性质称为叠加原理。可以根据该原理将复杂问题的已知简单特解组合起来，构造适用面更广的通解。 [2] 二维方程
工程数学II 课程教案 授课时间：第 周 周 第 节 课时安排 课次__ 授课方式（请打√）：理论课□ 讨论课□ 实验课□ 习题课□ 综合课□ 其他□ 授课题目（教学章、节或主题）： §3.1 复变函数积分的概念；§3.2 柯西—古萨基本定理． 教学目的、要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）： 1．熟练掌握复积分计算的一般方法； 2．理解复积分的概念及性质；熟悉柯西—古萨基本定理． 教学重点及难点： 重点：复积分的概念及性质；复积分计算的一般方法． 难点：柯西—古萨基本定理． 教学基本内容（要体现出教学方法及手段）： §3.1复变函数积分的概念 一、积分的定义 1.有向曲线: 设C 为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲线, 如果选定C 的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向), 那么我们就把C 理解为带有方向的曲线, 称为有向曲线. 如果A 到B 作为曲线C 的正向, 那么B 到A 就是曲线C 的负向, . C - 记为 关于曲线方向的说明: 在今后的讨论中,常把两个端点中的一个作为起点, 另一个作为终点, 除特殊声明外, 正方向总是指从起点到终点的方向. 简单闭曲线正向的定义: 简单闭曲线C 的正向是指当曲线上的点P 顺此方向前进时, 邻近P 点的曲线的内部始终位于P 点的左方. 与之相反的方向就是曲线的负方向. 2.积分的定义: () , w f z D C =设函数定义在区域内为区域 D 内起点为 A 终点为 ,B 的一条光滑的有向曲线 , C n 把曲线任意分成个弧段设分点为 011,,,,,,,k k n A z z z z z B -==
1 (1,2,,) k k z z k n -= 在每个弧段11 1 ()()(),n n n k k k k k k k S f z z f z ζζ-=== ?-= ??∑ ∑ 作和式 11 , , k k k k k k z z z s z z --?=-?=这里的长度1 max{},k k n s δ≤≤=?记 n 当无限增加且 0 δ→, 时 , k n C S ζ如果不论对的分法及的取法如何有唯,一极限 那么 称 这极限值为 () , f z C 函数沿曲线的积分记为 1 ()d lim ().n k k C n k f z z f z ζ→∞ ==??∑ ? 关于定义的说明: (1) , C 如果是闭曲线那么沿此闭曲线的积分()d .C f z z ? 记为 (2) , ()C x a x b f z ≤≤如果是轴上的区间而(),u x =这个积分定义就是一元实 变函数.定积分的定义 二、积分存在的条件及其计算法 1. 存在的条件 () ,f z C 如果是连续函数而是光滑曲线时 ()d .C f z z ?积分一定存在 证 C 设光滑曲线由参数方程给出()()(), z z t x t i y t t αβ==+≤≤，正方向 为参数增加的方向, ,A B αβ参数及对应于起点及终点 ()0,,z t t αβ'≠<<并且 ()(,)(,) ,f z u x y i v x y D =+如果在内处处连续 (,) (,) u x y v x y D 那么和在内 ,均为连续函数 o x y
波恩哈德·黎曼 格奥尔格·弗雷德里希·波恩哈德·黎曼[1]（Georg Friedrich Bernhard Riemann，1826年9月17日－1866年7月20日）德国数学家[1]，黎曼几何学创始人，复变函数论创始人之一。 生平 他出生于汉诺威王国（今德国下萨克森）的小镇布列 斯伦茨（Breselenz）。他的父亲弗雷德里希·波恩哈德·黎 曼是当地的路德会牧师。他在六个孩子中排行第二。 1840年，黎曼搬到汉诺威和祖母生活并进入中学学习。 1842年祖母去世后，他搬到吕讷堡的约翰纽姆 （Johanneum）。1846年，按照父亲的意愿，黎曼进入 哥廷根大学学习哲学和神学。在此期间他去听了一些 数学讲座，包括高斯关于最小二乘法的讲座。在得到 父亲的允许后，他改学数学。 1847年春，黎曼转到柏林大学，投入雅可比、狄利克 雷和斯坦纳门下。两年后他回到哥廷根。 1854年他初次登台作了题为“论作为几何基础的假设” 的演讲，开创了黎曼几何学，并为爱因斯坦的广义相对论提供了数学基础。他在1857年升为哥廷根大学的编外教授，并在1859年狄利克雷去世后成为正教授。 1862年，他与爱丽丝·科赫（Elise Koch）结婚。 1866年，他在第三次去意大利的的途中因肺结核在塞拉斯卡（Selasca）去世。 贡献 他对数学分析和微分几何做出了重要贡献，对微分方程也有很大贡献。 他引入三角级数理论，从而指出积分论的方向，并奠定了近代解析数论的基础，提出一系列问题；他最初引入黎曼曲面这一概念，对近代拓扑学影响很大；在代数函数论方面，如黎曼-诺赫定理也很重要。在微分几何方面，继高斯之后建立黎曼几何学。 他的名字出现在黎曼ζ函数，黎曼积分，黎曼引理，黎曼流形，黎曼映照定理，黎曼-希尔伯特问题，柯西-黎曼方程，黎曼思路回环矩阵中。 黎曼猜想 黎曼猜想由德国数学家波恩哈德·黎曼（1826--1866）于1859年提出。它是数学中一个重要而又著名的未解决的问题。多年来它吸引了许多出色的数学家为之绞尽脑汁。 黎曼猜想： 黎曼ζ函数，。非平凡零点(在此情况下是指s 不为-2、-4、-6等点的值)的实数部份是?。
§4 偏微分方程的数值解法 一、 差分法 差分法是常用的一种数值解法.它是在微分方程中用差商代替偏导数，得到相应的差分方程，通过解差分方程得到微分方程解的近似值. 1. 网格与差商 在平面 (x ,y )上的一以S 为边界的有界区域D 上考虑定解问题.为了用差分法求解，分别作平行于x 轴和y 轴的直线族. ?? ?====jh y y ih x x i i (i ,j =0,±1,±2,…,±n ) 作成一个正方形网格，这里h 为事先指定的正数，称为步 长；网格的交点称为节点，简记为(i ,j ).取一些与边界S 接近的网格节点，用它们连成折线S h ，S h 所围成的区域记作D h .称D h 内的节点为内节点，位于S h 上的节点称为边界节点（图14.7）.下面都在网格D h + S h 上考虑问题：寻求各个节点上解的近似值.在边界节点上取与它最接近的边界点上的边值作为解的近似值，而在内节点上，用以下的差商代替偏导数： ()()[]()()[]()()()[]()()()[]()()()[]y x u h y x u y h x u h y x u h y x u h y x u y x u h y x u h y u y h x u y x u y h x u h x u y x u h y x u h y u y x u y h x u h x u ,),(,,1 ,,2,1 ,,2,1 ,,1 ,,1 222 22222++-+-+≈???-+-+≈ ??-+-+≈ ??-+≈??-+≈?? 注意， 1? 式中的差商()()[]y x u y h x u h ,,1 -+称为向后差商，而()()[]y h x u y x u h ,,1--称为向 前差商，()()[]y h x u y h x u h ,,21 --+称为中心差商.也可用向前差商或中心差商代替一阶偏导数. 2? x 轴与y 轴也可分别采用不同的步长h ,l ，即用直线族 ?? ?====jh y y ih x x j i (i,j =0, ±1, ±2 , ) 作一个矩形网格. 2. 椭圆型方程的差分方法 [五点格式] 考虑拉普拉斯方程的第一边值问题 图14.7
拉普拉斯方程（Laplace's equation）又称调和方程、位势方程，是一种偏微分方程，因由法国数学家拉普拉斯首先提出而得名。 拉普拉斯方程表示液面曲率与液体表面压强之间的关系的公式。 基本概述 一个弯曲的表面称为曲面，通常用相应的两个曲率半径来描述曲面，即在曲面上某点作垂直于表面的直线，再通过此线作一平面，此平面与曲面的截线为曲线，在该点与曲线相切的圆半径称为该曲线的曲率半径R1。通过表面垂线并垂直于第一个平面再作第二个平面并与曲面相交，可得到第二条截线和它的曲率半径R2，用R1与R2可表示出液体表面的弯曲情况。若液面是弯曲的，液体内部的压强p1与液体外的压强p2就会不同，在液面两边就会产生压强差△P= P1- P2，称附加压强，其数值与液面曲率大小有关，可表示为： ，式中γ是液体表面张力系数，该公式称为拉普拉斯方程。 在数理方程中 拉普拉斯方程为：，其中?2为拉普拉斯算子，此处的拉普拉斯方程为二阶偏微分方程。三维情况下，拉普
拉斯方程可由下面的形式描述，问题归结为求解对实自变量x、y、z二阶可微的实函数φ ： 其中?2称为拉普拉斯算子。 拉普拉斯方程的解称为调和函数。 如果等号右边是一个给定的函数f（x，y，z），即： 则该方程称为泊松方程。拉普拉斯方程和泊松方程是最简单的椭圆型偏微分方程。偏微分算子（可以在任意维空间中定义这样的算子）称为拉普拉斯算子，英文是Laplace operator或简称作Laplacian。 方程的解 称为调和函数，此函数在方程成立的区域内是解析的。任意两个函数，如果它们都满足拉普拉斯方程（或任意线性微分方程），这两个函数之和（或任意形式的线性组合）同样满足前述方程。这种非常有用的性质称为叠加原理。可以根据该原理将复杂问题的已知简单特解组合起来，构造适用面更广的通解。 二维方程 两个自变量的拉普拉斯方程具有以下形式： 解析函数的实部和虚部均满足拉普拉斯方程。 人物介绍
1 研究柯西-黎曼不同形式的目的 1.1 柯西-黎曼定义 在一对实值函数),(y x u 和),(y x v 上的柯西-黎曼方程组包括两个方程： u v x y ??= ?? (1) u v y x ??=-?? (2) 柯西-黎曼方程是函数在一点可微的必要条件。 通常，u 和v 取为一个复函数的实部和虚部：),(),()(y x iv y x u iy x f +=+。假设u 和v 在开集C 上连续可微。则iv u f +=是全纯的，当且仅当u 和v 的偏微分满足柯西-黎曼方程组(1)和(2) [1]。 1.2 柯西-黎曼不同形式 形式一：在复变函数中，设函数),(),()(y x iv y x u z f +=，则柯西-黎曼方程形式是 y v x u ??=??， x v y u ??-=??， 简称..R C -方程，是它的实形式[1] 。 形式二：设函数)sin (cos ),(),()(θθi R y x iv y x u z f +=+=是)sin (cos ??i r z +=在D 区域的解析函数，..R C -也可写成 ,1???=??u r v u ? ??- =??u r r v 1， 称之为它的极坐标形式[1] 。 形式三：设函数),(),()(y x iv y x u z f +=，iy x z +=,iy x z -=_ 则 )(21 ),(21_ _z z i y z z x -=+=
于是有 ).2,2( ),()(_ _i z z z z f y x f z f -+===ω z 和_ z 视为独立变量且为函数，最终形式为 0_ =??z f ， 称之为它的复形式[1] 。 形式四：设函数),(),()(y x iv y x u z f +=，其可写成 (,)0gradu gradv gradu gradv =??? =?? 的形式，称之为它梯度形式[1] 。 分析出了柯西-黎曼方程的四种不同形式，为我们进一步探讨复变函数中柯西-黎曼方程的应用奠定坚实的基础[2]。 2 研究柯西--黎曼方程的应用的目的 在复变函数中，柯西-黎曼方程具有很强的应用性。利用柯西-黎曼方程判断一个复变函数的解析性，是非常简单的事。反过来用解析性的定义来判断一个复变函数的解析性就非常繁琐的事。同时已知一解析函数的实部（或虚部），利用柯西-黎曼方程还可以还可以求出此函数的虚部（或实部），从而得到函数的表达式。 定理一 设函数),(),()(y x iv y x u z f +=定义在区域D 内，则)(z f 在D 内一点 iy x +可导的充要条件是),(y x u 和),(y x v 在点),(y x 可微，并且在该点满足柯西-黎曼方程 y v x u ??=??，x v y u ??- =??[4] 。 定理二 设函数),(),()(y x iv y x u z f +=定义在区域D 内，则)(z f 在D 内解析的充要条件是：),(y x u 和),(y x v 在D 内可微，并且满足柯西-黎曼方程 y v x u ??=??，x v y u ??- =??[4] 。
拉普拉斯方程 求助编辑百科名片 拉普拉斯方程 拉普拉斯方程（Laplace'sequation），又名调和方程、位势方程，是一种偏微分方程。因为由法国数学家拉普拉斯首先提出而得名。求解拉普拉斯方程是电磁学、天文学和流体力学等领域经常遇到的一类重要的数学问题，因为这种方程以势函数的形式描写了电场、引力场和流场等物理对象（一般统称为“保守场”或“有势场”）的性质。 目录 拉普拉斯方程（Laplace equation） 在数理方程中 狄利克雷问题 诺伊曼边界条件 拉普拉斯方程的解 二维拉普拉斯方程 解析函数 三维情况下 二维拉普拉斯方程 解析函数 在流场中的应用 在电磁学中的应用 三维拉普拉斯方程 基本解 格林函数 在流场中的应用 拉普拉斯人物介绍 展开 拉普拉斯方程（Laplace equation） 在数理方程中 狄利克雷问题 诺伊曼边界条件 拉普拉斯方程的解 二维拉普拉斯方程 解析函数 三维情况下 二维拉普拉斯方程 解析函数 在流场中的应用 在电磁学中的应用 三维拉普拉斯方程 基本解 格林函数 在流场中的应用
拉普拉斯人物介绍 展开 编辑本段拉普拉斯方程（Laplace equation） 拉普拉斯方程表示液面曲率与液体压力之间的关系的公式。一个弯曲的表面称为曲面，通常用相应的两个曲率半径来描述曲面，即在曲面上某点作垂直于表面的直线，再通过此线作一平面，此平面与曲面的截线为曲线，在该点与曲线相重合的圆半径称为该曲线的曲率半径R1。通过表面垂线并垂直于第一个平面再作第二个平面并与曲面相交，可得到第二条截线和它的曲率半径R2，用R1与R2可表示出液体表面的弯曲情况。若液面是弯曲的，液体内部的压力p1与液体外的压力p2就会不同，在液面两边就会产生压力差△P= P1- P2，其数值与液面曲率大小有关，可表示为：▽p=γ（1/R1+1/R2）式中γ是液体表面张力。该公式成为拉普拉斯方程。 在数理方程中 拉普拉斯方程为：Δu=d^2u/dx^2+d^2u/dy^2=0，其中Δ 为拉普拉斯算子，此处的拉普拉斯方程为二阶偏微分方程。三维情况下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述，问题归结为求解对实自变量x、y、z二阶可微的实函数φ ： 其中Δ称为拉普拉斯算子. 拉普拉斯方程的解称为调和函数。 如果等号右边是一个给定的函数f(x, y, z)，即： 则该方程称为泊松方程。拉普拉斯方程和泊松方程是最简单的椭圆型偏微分方程。偏微分算子或Δ（可以在任意维空间中定义这样的算子）称为拉普拉斯算子，英文是Laplace operator或简称作Laplacian。 狄利克雷问题 拉普拉斯方程的狄利克雷问题可归结为求解在区域D内定义的函数φ，使得在D的边界上等于某给定的函数。为方便叙述，以下采用拉普拉斯算子应用的其中一个例子——热传导问题作为背景进行介绍：固定区域边界上的温度（是边界上各点位置坐标的函数），直到区域内部热传导使温度分布达到稳定，这个温度分布场就是相应的狄利克雷问题的解。 诺伊曼边界条件 拉普拉斯方程的诺伊曼边界条件不直接给出区域D边界处的温度函数φ本身，而是φ沿D的边界法向的导数。从物理的角度看，这种边界条件给出的是矢量场的势分布在区域边界处的已知效果（对热传导问题而言，这种效果便是边界热流密度）。 拉普拉斯方程的解 称为调和函数，此函数在方程成立的区域内是解析的。任意两个函数，如果它们都满足拉普拉斯方程（或任意线性微分方程），这两个函数之和（或任意形式的线性组合）同样满足前述方程。这种非常有用的性质称为叠加原理。可以根据该原理将复杂问题的已知简单特解组合起来，构造适用面更广的通解。 编辑本段二维拉普拉斯方程 两个自变量的拉普拉斯方程具有以下形式： 函数h (x,y) 为二元函数，h(x,y) 对x的二阶偏导数+ h(x,y)对y的二阶偏导数= 0 解析函数 解析函数的实部和虚部均满足拉普拉斯方程。换言之，若z= x+ iy，并且 那么f(z)是解析函数的充要条件是它满足下列柯西-黎曼方程：f（z）= u(x,y) + iv(x ,y) u 对x的偏导数= v 对y 的偏导数，u 对y 的偏导数= - （v 对x 的偏导数）上述方程继续求导就得到 所以u满足拉普拉斯方程。类似的计算可推得v同样满足拉普拉斯方程。
二维有限差分析是求解两个变量的拉普拉斯方程的一种近似方法，这种方法的要点如 下： 在平面场中，将平面划分成若干正方形格子，每个格子的边长都等于 h ,图13-10表示 其中的一部分，设 0点的电位为V o ，0点周围方格顶点的电位分别为 V 1、V 2、V 3和V 4。现 在来推导一个用 V" V 2、V 3和V 4表示V o 的公式： 图 13-10 已知平面场的电位满足两个变量的拉普拉斯方程: c 2V eV c —— + r =0 其中 0点等距离的四个点上的电位平均值， 距 离h 愈小则结果愈精确，方程（13.47）是用近似 法求解两个变量拉普拉斯方程的依据。 然而，V 0和V 1、V 2、V 3、V 4都是未知值，这种情况下需要按照方程（ 13.47）写出每 一点的电位方程，然后求这些方程的联立解。 求解时较简便的方法是选代法，这种方法可求出平面场中各点电位的近似值。 图13-11表示一个截面为正方形的导体槽，槽的顶面与侧面相互绝缘，顶面的电位为 ex 2 但是 所以 同理 eV g 2V ex 2 ex ex 2 c 2V & I 泳丿0 V 1 -V o az --------------- - h V 1 -V 0 a ： SV s ： h 2 将上面两个方程相加一起得： c 2V + ex 2 "■2 eV h V o-V 3 ft ----- V o -V 3 a ： h 2 .c z — h 2 由上面方程推出： V 0俺一（V 1 a +V 4） 4 该式说明0点的电位近似等于相互垂直的方向上和 (13.47)
V 0,侧面与底面的电位都等于零。为了求出槽中各点的电位，将槽分成十六个相同的方格， 这些方格在槽中 共有九个顶点。用 V 1、V 2,…，V 9表示各顶点的电位。求解步骤如下: 图 13-11 第一步，假设某点的电位为某值， 称为某点的原始电位， 原始电位等于多少并不影响最 后的结果。如果原始电位选择得当，则计算步骤会得到简化。 第二步，根据原始电位，利用式（ 13.47）求出每点周围四个点电位的平均值，电位平 均值一般不等于电位的原始值，将平均值代替原始值就得到每点电位的第一次选代值。 根据第一次选代值求出每点周围四个点电位的平均值， 如果平均值不等于第一次选代值， 将平均值代替第一次选代值，得到每点电位的第二次选代值。 第三步，利用式（13.47）对每点电位进行选代，一直到每点的电位与它的周围四个点 的电位平均值相差在允许范围内为止。 【例13.1】在图13-12中，设V=100，试用选代法求方格顶点上的电位。 图 13-12 解：设九个顶点的电位分别用 V 1、V 2、…、V 来表示。 第一步：设每点的原始电位都等于零。 第二步：根据原始电位利用公式， V 0 丸一M +V 2 +V 3 +V 4），求出各点的周围电位的 4 平均值为：y =V 2 =V 3丄一（100 +0 +0 +0） =25。其余各点周围电位的平均值都等于零。 4 然后将所得的平均值代替原始值，得到第一次选代值。第三步，根据第一次选代值，求 出各点周围电位的平均值为： 2 0 忙=0 萨=0 矿=0 V =0 然后 就
柯西--黎曼方程的应用 在复变函数中，柯西--黎曼方程具有很强的应用性。利用柯西--黎曼方程判断一个复变函数的解析性，是非常简单的。而利用解析性的定义来判断一个复变函数的解析性就非常麻烦。已知一解析函数的实部（或虚部），利用柯西--黎曼方程还可以还可以求出此函数的虚部（或实部）， 从而得到函数的表达式。 定理一 设函数),(),()(y x iv y x u z f +=定义在区域D 内，则)(z f 在D 内一点iy x +可导的充要条件是),(y x u 和),(y x v 在点),(y x 可微，并且在该点满足柯西--黎曼方程 y v x u ??=??， x v y u ??-=??。 定理二 设函数),(),()(y x iv y x u z f +=定义在区域D 内，则)(z f 在D 内解析的充要条件是：),(y x u 和),(y x v 在D 内可微，并且满足柯西--黎曼方程 y v x u ??=??， x v y u ??-=??。 利用定理一可以判断函数在一点的可导性，而利用定理二可以判断函数在一个区域内的可导性，即解析性。 定义一 如果实二元函数),(y x ?在区域D 内满足02 222=??+??y x ??，则称),(y x ?为在区域D 内的调和函数。 定理三 任何在区域D 内解析的函数，其实部和虚部均为D 内的调和函数，且满足柯西--黎曼方程y v x u ??=??，x v y u ??-=??。 以下通过例题讲述柯西--黎曼方程的应用方法。 例1 判断下列函数在何处可导，在何处解析： （1）z w =； （2）)sin (cos )(y i y e z f x +=； （3）)Re(z z w =。 解 （1） x u =，y v -=，1=??x u ，0=??y u ，0=??x v ，1-=??y v y v x u ??≠??，柯西--黎曼方程不满足，故z w =在复平面内处处不可导且处处不解析。 （2）y e u x cos =，y e v x sin =，
泊松方程和拉普拉斯方程 势函数的一种二阶偏微分方程。广泛应用于电学、磁学、力学、热学等多种热场的研究与计算。 简史 1777年，拉格朗日研究万有引力作用下的物体运动时指出：在引力体系中，每一质点的质量m k除以它们到任意观察点P的距离r k，并且把这些商加在一起，其总和 即P点的势函数，势函数对空间坐标的偏导数正比于在P点的质点所受总引力的相应分力。1782年，P.S.M.拉普拉斯证明：引力场的势函数满足偏微分方程： ，叫做势方程，后来通称拉普拉斯方程。1813年，S.-D.泊松撰文指出，如果观察点P在充满引力物质的区域内部，则拉普拉斯方程应修改为 ，叫做泊松方程，式中ρ为引力物质的密度。文中要求重视势函数V在电学理论中的应用，并指出导体表面为等热面。 静电场的泊松方程和拉普拉斯方程 若空间分区充满各向同性、线性、均匀的媒质，则从静电场强与电势梯度的关系E=-墷V和高斯定理微分式，即可导出静电场的泊松方程： ，
式中ρ为自由电荷密度，纯数εr为各分区媒质的相对介电常数，真空介电常数εo=8.854×10-12法／米。在没有自由电荷的区域里，ρ＝0，泊松方程就简化为拉普拉斯方程。在各分区的公共界面上，V满足边值关系， ， 式中i，j指分界面两边的不同分区，σ为界面上的自由电荷密度，n表示边界面上的内法线方向。 边界条件和解的唯一性 为了在给定区域内确定满足泊松方程以及边值关系的解，还需给定求解区域边界上的物理情况，此情况叫做边界条件。有两类基本的边界条件：给定边界面上各点的电势，叫做狄 利克雷边界条件；给定边界面上各点的自由电荷，叫做诺埃曼边界条件。 边界几何形状较简单区域的静电场可求得解析解，许多情形下它们是无穷级数，稍复杂的须用计算机求数值解，或用图解法作等势面或力线的场图。 除了静电场之外，在电学、磁学、力学、热学等领域还有许多服从拉普拉斯方程的势场。各类物理本质完全不同的势场如果具有相似的边界条件，则因拉普拉斯方程解的唯一性，任何一个势场的解，或该势场模型中实验测绘的等热面或流线图，经过对应物理量的换算之后，可以通用于其他的势场。