2020年中考模拟试题（九）
数学
注意事项：
1. 本试卷共8页，26个小题，满分为120分，考试时间为120分钟。
2. 根据阅卷需要，本试卷中的所有试题均按要求在答题卡上作答，答在本试卷上的答
案无效。
3. 考试结束后，将本试卷保管好并将答题卡上交。
一、选择题（本大题包括10个小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项，
请在答题卡上将代表正确答案的字母用2B铅笔涂黑）
1．估算面积为3的正方形的边长b的值（）
A．在0和1之间B．在1和2之间C．在2和3之间D．在3和4之间2．2020年5月5日18时，长征五号B运载火箭首飞成功，标志着我国空间站工程建设进入实质阶段．长征五号B运载火箭运载能力超过22000千克，是目前我国近地轨道运载能力最大的火箭．将22000用科学记数法表示应为（）
A．2.2×104B．2.2×105C．22×103D．0.22×105
3．下列运算正确的是（）
A．a3+a2＝a5B．a3÷a＝a3C．a2?a3＝a5D．（a2）4＝a6 4．下列防控疫情的图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
5．如图是一个长方体切去部分得到的工件，箭头所示方向为主视方向，那么这个工件的主视图是（）
A．B．C．D．
6．“某学校改造过程中整修门口1500m的道路，但是在实际施工时，……，求实际每天整修道路多少米？”在这个题目中，若设实际每天整修道路xm，可得方程，则题目中用“……”表示的条件应是（）
A．每天比原计划多修5m，结果延期10天完成
B．每天比原计划多修5m，结果提前10天完成
C．每天比原计划少修5m，结果延期10天完成
D．每天比原计划少修5m，结果提前10天完成
7．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，顶点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点C在x轴的正半轴上．若平行四边形OABC的面积为8，则k2﹣k1的值为（）
A．4 B．8
C．12D．16
8．如图，在△ABC中，AB＜BC，在BC上取一点P，使得PC＝BC﹣P A．根据圆规作图的痕迹，可以用直尺成功找到点P的是（）
A．B．C．D．
9．宽和长的比为的矩形称为黄金矩形，如图，黄金矩形ABCD中，宽AB＝2，将黄金矩形ABCD沿EF折叠，使得点C落在点A处，点D落在点D′处，则△AEF的面积为（）
A．B．
C．D．
10．如图，在边长为2cm的等边△ABC中，AD⊥BC于D，点M、N同时从A点出发，分别沿A﹣B﹣D、A﹣D运动，速度都是1cm/s，直到两点都到达点D即停止运动．设点M、N运动的时间为x（s），△AMN的面积为y（cm2），则y与x的函数图象大致是（）
A．B．C．D．
二、填空题（本题包括7个小题，每小题3分，共21分，将答案直接填在答题卡对
应题的横线上）
11．如果y＝（k﹣3）x2+k（x﹣3）是二次函数，那么k需满足的条件是．
12．分解因式：5a3﹣20a＝．
13．如果一组数据x1，x2，x3，x4，x5的方差是1，那么数x1﹣10，x2﹣10，x3﹣10，x4﹣10，x5﹣10的方差是．
14．如图，正方形ABCD的四个顶点分别在扇形OEF的半径OE，
OF和上，且点A是线段OB的中点，若的长为π，
则OD长为．
15．如图，BC为半圆O的直径，EF⊥BC于点F，且BF：FC＝
5：1，若AB＝8，AE＝2，则AD的长为．
16．如图，在正方形ABCD中，AB＝8，AC与BD交于点O，N
是AO的中点，点M在BC边上，且BM＝6．P为对角线BD
上一点，则PM﹣PN的最大值为．
17．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、
B两点，与y轴交于点C，且OA＝OC，对称轴为直线x＝1，
则下列结论：①；②；③关于x
的方程ax2+bx+c+2＝0无实根，④ac﹣b+1＝0；⑤OA?OB＝﹣
．其中正确结论的有．
三、解答题(本题包括9个小题，共69分，请在答题卡上写出各题解答的文字说明、证明
过程或计算步骤）
18．计算：4sin45°﹣+（）﹣2+|3﹣π|．
19．先化简：，然后在﹣内找一个你喜欢的整数代入求值．
20．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB交BC于点E，F是BD中点．求证：EF平分∠BED．
21．2019年是新中国成立70周年，在“庆祝新中国成立70年华诞”主题教育活动月，深圳某学校组织开展了丰富多彩的活动，活动设置了“A：诗歌朗诵展演，B：歌舞表演，C：书画作品展览，D：手工作品展览”四个专项活动，每个学生限选一个专项活动参与．为了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如图所示的不完整的条形统计图和扇形统计图：
（1）本次随机调查的学生人数是人；
（2）请你补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，“B”所在扇形的圆心角为度．
（4）小涛和小华各自随机参与其中的一个专项活动，请你用画树状图或列表的方式求他们恰好选中同一个专项活动的概率．
22．某次台风来袭时，一棵笔直大树树干AB（树干AB垂直于水平地面）被刮倾斜后折断倒在地上，树的顶部恰好接触到地面D处，测得∠CDA＝37°，∠ACD＝60°，AD＝5米，求这棵大树AB的高度．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，≈1.73）
23．某酒店计划购买一批换气扇，已知购买2台A型换气扇和2台B型换气扇共需220元；
购买3台A型换气扇和1台B型换气扇共需200元．
（1）求A，B两种型号的换气扇的单价．
（2）若该酒店准备同时购进这两种型号的换气扇共60台，并且A型换气扇的数量不多于B型换气扇数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
24．问题背景：如图1，两条相等的线段AB，CD交于点O，∠AOC＝60°，连接AC，BD，求证：AC+BD≥CD．
证明：过点C作AB的平行线，过点B作AC的平行线，两平行线交于点E，连接DE．∵AB∥CE，AC∥BE．
∴四边形ABEC为平行四边形，则AC＝，AB＝CE．
∵AB∥CE，∴∠DCE＝∠AOC＝60°．
又∵CD＝AB＝CE，∴△DCE为等边三角形，CD＝．
∴AC+BD＝BE+BD≥DE＝CD，即AC+BD≥CD．
请完成证明中的两个填空．
迁移应用：
如图2，正方形ABCD的边长为4，点M在边AB上，点N在边CD上，点O在MN上，过点O作MN的垂线，交AD于点F，交BC于点E．求证：
①MN＝EF；
②FM+NE≥4．
联系拓展：
如图3，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，过点A作BC的平行线l，点D在直线l上，点A到BD的距离为2，求线段CD的最小值．
25．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（不与A、B重合），D为的中点，过点D作弦DE⊥AB于F，P是BA延长线上一点，且∠PEA＝∠B．
（1）求证：PE是⊙O的切线；
（2）连接CA与DE相交于点G，CA的延长线交PE于H，求证：HE＝HG；
（3）若tan∠P＝，试求的值．
26．如图，抛物线y＝x2﹣ax+a﹣1与x轴交于A，B两点（点B在正半轴上），与y轴交于点C，OA＝3OB．点P在CA的延长线上，点Q在第二象限抛物线上，S△PBQ＝S△ABQ．（1）求抛物线的解析式．
（2）求直线BQ的解析式．
（3）若∠P AQ＝∠APB，求点P的坐标．
2020年中考模拟数学试题（九）
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．估算面积为3的正方形的边长b的值（）
A．在0和1之间B．在1和2之间C．在2和3之间D．在3和4之间【分析】根据正方形的面积公式可得面积为3的正方形的边长b的值为，因为1＜＜2，由此可以得到b的值的范围．
【解答】解：面积为3的正方形的边长b的值为，
∵1＜＜2，
∴实数的值在整数1和2之间．
故选：B．
2．2020年5月5日18时，长征五号B运载火箭首飞成功，标志着我国空间站工程建设进入实质阶段．长征五号B运载火箭运载能力超过22000千克，是目前我国近地轨道运载能力最大的火箭．将22000用科学记数法表示应为（）
A．2.2×104B．2.2×105C．22×103D．0.22×105
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】解：22000用科学记数法表示为：2.2×104．
故选：A．
3．下列运算正确的是（）
A．a3+a2＝a5B．a3÷a＝a3C．a2?a3＝a5D．（a2）4＝a6
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则分别化简得出答案．【解答】解：A、a3+a2，不是同类项，无法合并，故此选项错误；
B、a3÷a＝a2，故此选项错误；
C、a2?a3＝a5，正确；
D、（a2）4＝a8，故此选项错误；
故选：C．
4．下列防控疫情的图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断．
【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形．
故选：D．
5．如图是一个长方体切去部分得到的工件，箭头所示方向为主视方向，那么这个工件的主视图是（）
A．B．
C．D．
【分析】主视图是从几何体的正面看所得到的视图，注意看不到的棱需要画成虚线．【解答】解：该几何体的主视图是一个矩形，矩形的右边有一条线段把矩形分成了一个梯形和三角形．
故选：B．
6．“某学校改造过程中整修门口1500m的道路，但是在实际施工时，……，求实际每天整修道路多少米？”在这个题目中，若设实际每天整修道路xm，可得方程，则题目中用“……”表示的条件应是（）
A．每天比原计划多修5m，结果延期10天完成
B．每天比原计划多修5m，结果提前10天完成
C．每天比原计划少修5m，结果延期10天完成
D．每天比原计划少修5m，结果提前10天完成
【分析】由x代表的含义找出（x﹣5）代表的含义，再分析所列方程选用的等量关系，即可找出结论．
【解答】解：设实际每天整修道路xm，则（x﹣5）m表示：实际施工时，每天比原计划多修5m，
∵方程，其中表示原计划施工所需时间，表示实际施工所需时间，
∴原方程所选用的等量关系为实际施工比原计划提前10天完成．
故选：B．
7．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，顶点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点C在x轴的正半轴上．若平行四边形OABC的面积为8，则k2﹣k1的值为（）
A．4B．8C．12D．16
【分析】延长BA交y轴于D，连接OB，如图，利用平行四边形的性质得到AB⊥y轴，S△AOB＝S?ABCO＝4，再利用反比例函数k的几何意义得到S△AOD＝k1，S△BOD＝k2，从而得到k2﹣k1＝4．
【解答】解：延长BA交y轴于D，连接OB，如图，
∵四边形ABCO为平行四边形，
∴AB∥x轴，即AB⊥y轴，S△AOB＝S?ABCO＝×8＝4，
∵S△AOD＝|k1|＝k1，S△BOD＝|k2|＝k2，
∴k2﹣k1＝4，
∴k2﹣k1＝8．
故选：B．
8．如图，在△ABC中，AB＜BC，在BC上取一点P，使得PC＝BC﹣P A．根据圆规作图的痕迹，可以用直尺成功找到点P的是（）
A．B．
C．D．
【分析】根据线段垂直平分线的性质即可在BC上取一点P，使得PC＝BC﹣P A．
【解答】解：如图，
根据题意可知：
作AB的垂直平分线交BC于点P，
所以P A＝PB，
所以PC＝BC﹣PB＝BC﹣P A，
故选：A．
9．宽和长的比为的矩形称为黄金矩形，如图，黄金矩形ABCD中，宽AB＝2，将黄金矩形ABCD沿EF折叠，使得点C落在点A处，点D落在点D′处，则△AEF的面积为（）
A．B．C．D．
【分析】依据黄金矩形ABCD中，宽AB＝2，可得BC的长，设AF＝CF＝x，则BF＝+1﹣x，再根据勾股定理即可得到AF的长，进而得出△AEF的面积．
【解答】解：∵黄金矩形ABCD中，宽AB＝2，
∴，即BC＝＝+1，
设AF＝CF＝x，则BF＝+1﹣x，
∵∠B＝90°，
∴Rt△ABF中，AB2+BF2＝AF2，
即＝x2，
解得x＝，
∴AF＝，
又∵AD'＝CD＝AB＝2，
∴△AEF的面积＝AF×AD'＝××2＝，
故选：A．
10．如图，在边长为2cm的等边△ABC中，AD⊥BC于D，点M、N同时从A点出发，分别沿A﹣B﹣D、A﹣D运动，速度都是1cm/s，直到两点都到达点D即停止运动．设点M、
N运动的时间为x（s），△AMN的面积为y（cm2），则y与x的函数图象大致是（）
A．B．
C．D．
【分析】分0≤t≤时、＜2、2≤t≤3，三种情况分别求解即可．
【解答】解：AD＝AB sin60°＝，
①当0≤t≤时，
过点M作MH⊥AD于点H，
y＝AN×MH＝t×AM×sin∠BAD＝t2，为开口向上的抛物线；
②当＜2时，
同理可得：y＝×t×sin30°＝t，为一次函数；
③2≤t≤3时，
同理可得：y＝（3﹣t）×＝（3﹣t），为一次函数；
故选：C．
二．填空题（共7小题）
11．如果y＝（k﹣3）x2+k（x﹣3）是二次函数，那么k需满足的条件是k≠3．
【分析】直接利用二次函数的定义分析得出答案．
【解答】解：∵y＝（k﹣3）x2+k（x﹣3）是二次函数，
∴k﹣3≠0，
解得：k≠3，
∴k需满足的条件是：k≠3，
故答案为：k≠3．
12．分解因式：5a3﹣20a＝5a（a﹣2）（a+2）．
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝5a（a2﹣4）
＝5a（a﹣2）（a+2）．
故答案为：5a（a﹣2）（a+2）．
13．如果一组数据x1，x2，x3，x4，x5的方差是1，那么数x1﹣10，x2﹣10，x3﹣10，x4﹣10，x5﹣10的方差是1．
【分析】根据题意得；数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数设为a，则数据x1﹣10，x2﹣10，x3﹣10，x4﹣10，x5﹣10的平均数为a﹣10，在根据方差公式进行计算：S22＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…（x5﹣）2]即可得到答案．
【解答】解：根据题意得；数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数设为a，则数据x1﹣10，x2﹣10，x3﹣10，x4﹣10，x5﹣10的平均数为a﹣10，
根据方差公式：S12＝[（x1﹣a）2+（x2﹣a）2+…（x5﹣a）2]＝1．
则：S22＝{[（x1﹣10）﹣（a﹣10）]2+[（x2﹣10）﹣（a﹣10）]2+…（x5﹣10）﹣（a﹣10）]}2，
＝[（x1﹣a）2+（x2﹣a）2+…（x5﹣a）2]，
＝1，
故答案为：1
14．如图，正方形ABCD的四个顶点分别在扇形OEF的半径OE，OF和上，且点A是线段OB的中点，若的长为π，则OD长为4．
【分析】根据正方形的性质得到AD＝AB，∠DAB＝90°，求得∠EOF＝45°，根据弧长公式得到OF＝4，连接OC，求得OC＝OF＝4，设OA＝BC＝x，根据勾股定理得到OC＝x＝4，于是得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°，
∴点A是线段OB的中点，
∴OA＝AB，
∴OA＝AD，
∵∠OAD＝∠DAB＝90°，
∴∠EOF＝45°，
∵的长为π，
∴＝π，
∴OF＝4，
连接OC，
∴OC＝OF＝4，
设OA＝BC＝x，
∴OB＝2x，
∴OC＝x＝4，
∴x＝4，
∴OA＝AD＝4，
∴OD＝4，
故答案为：4．
15．如图，BC为半圆O的直径，EF⊥BC于点F，且BF：FC＝5：1，若AB＝8，AE＝2，则AD的长为．
【分析】连接BE，则△ABE与△BEC都是直角三角形，在直角△ABE利用勾股定理即可求得BE的长，在直角△BEC中利用射影定理即可求得EC的长，根据切割线定理即可得到：AD?AB＝AE?AC．据此即可求得AD的长．
【解答】解：连接BE．
∵BC是直径．
∴∠AEB＝∠BEC＝90°
在直角△ABE中，根据勾股定理可得：BE2＝AB2﹣AE2＝82﹣22＝60．
∵＝5
∴设FC＝x，则BF＝5x，BC＝6x．
又∵BE2＝BF?BC
即：30x2＝60
解得：x＝，
∴EC2＝FC?BC＝6x2＝12
∴EC＝2，
∴AC＝AE+EC＝2+2，
∵AD?AB＝AE?AC
∴AD＝＝＝．
故答案为．
16．如图，在正方形ABCD中，AB＝8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC 边上，且BM＝6．P为对角线BD上一点，则PM﹣PN的最大值为2．
【分析】以BD为对称轴作N的对称点N'，连接PN'，MN'，依据PM﹣PN＝PM﹣PN'≤MN'，可得当P，M，N'三点共线时，取“＝”，再求得＝＝，即可得出PM∥AB∥CD，∠CMN'＝90°，再根据△N'CM为等腰直角三角形，即可得到CM＝MN'＝2．【解答】解：如图所示，以BD为对称轴作N的对称点N'，连接PN'，MN'，
根据轴对称性质可知，PN＝PN'，
∴PM﹣PN＝PM﹣PN'≤MN'，
当P，M，N'三点共线时，取“＝”，
∵正方形边长为8，
∴AC＝AB＝，
∵O为AC中点，
∴AO＝OC＝，
∵N为OA中点，
∴ON＝，
∴ON'＝CN'＝，
∴AN'＝，
∵BM＝6，
∴CM＝AB﹣BM＝8﹣6＝2，
∴＝＝，
∴PM∥AB∥CD，∠CMN'＝90°，
∵∠N'CM＝45°，
∴△N'CM为等腰直角三角形，
∴CM＝MN'＝2，
即PM﹣PN的最大值为2，
故答案为：2．
17．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA＝OC，对称轴为直线x＝1，则下列结论：①；②；
③关于x的方程ax2+bx+c+2＝0无实根，④ac﹣b+1＝0；⑤OA?OB＝﹣．其中正确结
论的有④⑤．
【分析】根据二次函数的图象和性质，对称轴、与x轴、y轴的交点坐标，以及二次函数与一元二次方程的关系，逐个进行判断，得出答案．
【解答】解：抛物线与x轴有两个不同交点，因此b2﹣4ac＞0，开口向下，a＜0，因此＜0，故①不正确；
抛物线与y轴交于正半轴，因此c＞0，对称轴为x＝1，所以﹣＝1，也就是a＝﹣b，
∴a+b+c＝﹣b+b+c＝c＞0，故②不正确；
当y＝﹣2时，根据图象可得ax2+bx+c＝﹣2有两个不同实数根，即ax2+bx+c+2＝0有两个不等实根，因此③不正确；
∵OA＝OC，∴A（﹣c，0）代入得：ac2﹣bc+c＝0，即：ac﹣b+1＝0，因此④正确；
设A（x1，0），B（x2，0），有x1、x2是方程ax2+bx+c＝0的两个根，有有x1+x2＝，又∵OA＝﹣x1，OB＝x2，所以OA?OB＝﹣，故⑤正确；
综上所述，正确的有④⑤，
故答案为：④⑤
三．解答题（共23小题）
18．计算：4sin45°﹣+（）﹣2+|3﹣π|．
【分析】根据绝对值、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简的计算法则进行计算即可求得结果．
【解答】解：4sin45°﹣+（）﹣2+|3﹣π|
＝4×﹣2+4+π﹣3
＝2﹣2+4+π﹣3
＝π+1．
19．先化简：，然后在﹣内找一个你喜欢的整数代入求值．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的值代入计算可得．
【解答】解：原式＝（﹣）÷
＝?
＝x（x﹣2），
∵x≠±2且x≠0，
∴取x＝1，
则原式＝1×（1﹣2）＝1×（﹣1）＝﹣1．
20．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB交BC于点E，F是BD中点．求证：EF平分∠BED．