与三角函数有关的几何题
例1、如图3，直线经过⊙O上的点，并且，，⊙O交直线于，连接．
（1）求证：直线是⊙O的切线；
（2）试猜想三者之间的等量关系，并加以证明；
（3）若，⊙O的半径为3，求的长．
析解：（1）证明：如图6，连接．
，，．是⊙O的切线．
（2）BC2=BD×BE．
是直径，．
．
又，，
．
又，．
．∴BC2=BD×BE.
（3），．
，．
设，则．
又BC2=BD×BE，∴（2x）2=x(x+6
解之，得，．，．
．
2、已知：如图，是⊙O的直径，, 切⊙O于点垂足为
交⊙O于点．
（1）求证：;
（2）若, 求的长．
3、如图，以线段AB为直径的⊙O交线段AC于点E，点M是的中点，OM交AC于点D，∠BOE=60°，cosC=，BC=2．
（1）求∠A的度数；
（2）求证：BC是⊙O的切线；
（3）求MD的长度．
分析：（1）根据三角函数的知识即可得出∠A的度数．
（2）要证BC是⊙O的切线，只要证明AB⊥BC即可．
（3）根据切线的性质，运用三角函数的知识求出MD的长度．
解答：（1）解：∵∠BOE=60°，∴∠A=∠BOE=30°．
（2）证明：在△ABC中，∵cosC=，∴∠C=60°．
又∵∠A=30°，∴∠ABC=90°，∴AB⊥BC．∴BC是⊙O的切线．
（3）解：∵点M是的中点，∴OM⊥AE．
在Rt△ABC中，∵BC=2，∴AB=BC?tan60°=2×=6．
∴OA==3，∴OD=OA=，∴MD=．
点评：本题综合考查了三角函数的知识、切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
4、如图，已知Rt△ABC和Rt△EBC，∠B=90°．以边AC上的点O为圆心、OA为半径的⊙O 与EC相切，D为切点，AD∥BC．
（1）用尺规确定并标出圆心O；（不写作法和证明，保留作图痕迹）
（2）求证：∠E=∠ACB；
（3）若AD=1，，求BC的长．
分析：（1）若⊙O与EC相切，且切点为D，可过D作EC的垂线，此垂线与AC的交点即为所求的O点．
（2）由（1）知OD⊥EC，则∠ODA、∠E同为∠ADE的余角，因此∠E=∠ODA=∠OAD，而AD∥BC，可得∠OAD=∠ACB，等量代换后即可证得∠E=∠ACB．
（3）由（2）证得∠E=∠ACB，即tan∠E=tan∠DAC=，那么BC=AB；由于
AD∥BC，易证得△EAD∽△EBC，可用AB表示出AE、BC的长，根据相似三角形所得比例线段即可求出AB的长，进而可得到BC的值．
解答：（1）解：（提示：O即为AD中垂线与AC的交点或过D点作EC的垂线与AC的交点等）．
（2）证明：连接OD．∵AD∥BC，∠B=90°，∴∠EAD=90°．
∴∠E+∠EDA=90°，即∠E=90°﹣∠EDA．
又圆O与EC相切于D点，∴OD⊥EC．
∴∠EDA+∠ODA=90°，即∠ODA=90°﹣∠EDA．
∴∠E=∠ODA；
又OD=OA，∴∠DAC=∠ODA，∴∠DAC=∠E．）
∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∴∠E=∠ACB．
（3）解：Rt△DEA中，tan∠E=，又tan∠E=tan∠DAC=，
∵AD=1，∴EA=． Rt△ABC中，tan∠ACB=，
又∠DAC=∠ACB，∴tan∠ACB=tan∠DAC．
∴=，∴可设AB=，BC=2x，
∵AD∥BC，∴Rt△EAD∽Rt△EBC．
∴=，即．
∴x=1，
∴BC=2x=2．
点评：此题主要考查了切线的性质、直角三角形的性质、相似三角形的判断和性质等重要知识，能够准确的判断出O点的位置，是解答此题的关键．
5、如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的半圆O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：点D是BC的中点；
（2）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（3）如果⊙O的直径为9，cosB=，求DE的长．
分析：（1）连接AD，根据等腰三角形的性质易证；
（2）相切．连接OD，证明OD⊥DE即可．根据三角形中位线定理证明；
（3）由已知可求BD，即CD的长；又∠B=∠C，在△CDE中求DE的长．
解答：（1）证明：连接AD．∵AB为直径，∴AD⊥BC．∵AB=AC，
∴D是BC的中点；
（2）DE是⊙O的切线．
证明：连接OD．∵BD=DC，OB=OA，∴OD∥AC．∵AC⊥DE，∴OD⊥DE．
∴DE是⊙O的切线．
（3）解：∵AB=9，cosB=，∴BD=3．∴CD=3．∵AB=AC，∴∠B=∠C，
∴cosC=．∴在△CDE中，CE=1，DE==．
点评：此题考查了切线的判定、解直角三角形等知识点，属基础题，难度不大．
6、如图以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点D 恰好为BC的中点，过点D作⊙O的切线交AC边于点E．
（1）求证：DE⊥AC；
（2）若∠ABC=30°，求tan∠BCO的值．
分析：（1）连接OD，根据三角形的中位线定理可求出OD∥AC，根据切线的性质可证明DE⊥OD，进而得证．
（2）过O作OF⊥BD，根据等腰三角形的性质及三角函数的定义用OB表示出OF、CF的长，根据三角函数的定义求解．
解答：（1）证明：连接OD．∵O为AB中点，D为BC中点，
∴OD∥AC．∵DE为⊙O的切线，∴DE⊥OD．∴DE⊥AC．
（2）解：过O作OF⊥BD，则BF=FD．在Rt△BFO中，∠B=30°，
∴OF=OB，BF=OB．∵BD=DC，BF=FD，
∴FC=3BF=OB．在Rt△OFC中，
tan∠BCO====．
点评：本题比较复杂，综合考查了三角形中位线定理及切线的性质、三角函数的定义等知识点，有一定的综合性．
7、如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC．O是CD边的中点，以O为圆心，OC长为半径作圆，交BC边于点E．过E作EH⊥AB，垂足为H．已知⊙O与AB 边相切，切点为F．
（1）求证：OE∥AB；
（2）求证：EH=AB；
（3）若，求的值．
分析：（1）判断出∠B=∠OEC，根据同位角相等得出OE∥AB；
（2）连接OF，求出EH=OF=DC=AB．
（3）求出△EHB∽△DEC，根据相似三角形的性质和勾股定理解答．
解答：（1）证明：在等腰梯形ABCD中，AB=DC，
∴∠B=∠C，∵OE=OC，∴∠OEC=∠C，∴∠B=∠OEC，∴OE∥AB．
（2）证明：连接OF．∵⊙O与AB切于点F，∴OF⊥AB，∵EH⊥AB，
∴OF∥EH，又∵OE∥AB，∴四边形OEHF为平行四边形，
∴EH=OF，
∵OF=CD=AB，∴EH=AB．
（3）解：连接DE．∵CD是直径，∴∠DEC=90°，则∠DEC=∠EHB，
又∵∠B=∠C，∴△EHB∽△DEC，∴=，
∵=，设BH=k，则BE=4k，EH==k，
∴CD=2EH=2k，∴===．
点评：本题考查了圆的切线性质，运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形、矩形解决有关问题．
8、如图，等腰三角形ABC中，AC=BC=10，AB=12．以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E．
（1）求证：直线EF是⊙O的切线；
（2）求sin∠E的值．
分析：（1）求证直线EF是⊙O的切线，只要连接OD证明OD⊥EF即可；
（2）根据∠E=∠CBG，可以把求sin∠E的值得问题转化为求sin∠CBG，进而转化为求
Rt△BCG中，两边的比的问题．
解答：（1）证明：方法1：连接OD、CD．
∵BC是直径，∴CD⊥AB．∴AC=BC．∴D是AB的中点．∵O为CB的中点，
∴OD∥AC．∵DF⊥AC，∴OD⊥EF．∴EF是O的切线．
方法2：因为AC=BC，所以∠A=∠ABC，
因为∠ADF=∠EDB（对顶角），OB=OD，所以∠DBO=∠BDO，
所以∠A+∠ADF=∠EDB+∠BDO=90°．∴EF是O的切线．
（2）解：连BG．∵BC是直径，∴∠BGC=90°．
∴CD==8．∵AB?CD=2S△ABC=AC?BG，
∴BG=．∴CG=．
∵BG⊥AC，DF⊥AC，∴BG∥EF．∴∠E=∠CBG，
∴sin∠E=sin∠CBG=．
点评：考查切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点，再证垂直即可．
9、如图9，直线y=kx-1与x轴、y轴分别交与B、C两点，tan∠OCB=.
（1）求B点的坐标和k的值；
（2）若点A（x，y）是第一象限内的直线y=kx-1上的一个动点.当点A运动过程中，试写出△AOB的面积S与x的函数关系式；
（3）探索：
1 当点A运动到什么位置时，△AOB的面积是；
2 在①成立的情况下，x轴上是否存在一点P，使△POA是等腰三角形.若存在，请写出
满足条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由.
图9
【答案】解：（1）∵y= kx-1与y轴相交于点C，∴OC=1
∵tan∠OCB=∴OB=
∴B点坐标为：
把B点坐标为：代入y= kx-1得 k=2
（2）∵S = ∵y=kx-1
∴S =
∴S =
（3）①当S =时，=
∴x=1，y=2x-1=1
∴A点坐标为（1，1）时，△AOB的面积为
②存在.
满足条件的所有P点坐标为：
P1(1,0, P2(2,0, P3(,0, P4(,0. ……………………………12分
１．2任意角的三角函数 (一)、任意角的三角函数 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点(,)P x y , 那么: (1）y 叫做α的正弦，记作sin α,即sin y α=; （２）x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos x α=; （３)y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan y x α=; 可以看出:当()2k k Z π απ=+∈时,α的终边在y 轴上,这时点P 的横坐标0x =,所以 tan y x α=无意义，除此之外，对于确定的角α，以上三个值都是唯一确定的。 正弦，余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的 函数，我们将它们统称为三角函数。 注:取角α的终边上任意一点(,)P a b (原点除外) ,则对应的角α的正弦值 sin α=，余弦值cos α=tan b a α=。注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理。 例1、有下列命题: ①终边相同的角的同名三角函数的值相等; ②终边不同的角的同名三角函数的值不等; ③若sin α>0,,则α是第一、二象限的角; ④若α是第二象限的角，且(,)P x y 是其终边上一点,则 cos α=（其中正确的命 题的个数是） . Ａ、1 B 、2 C 、3 D 、４ 例２、若sin 0θ<且tan 0θ>,则θ是第_____＿____象限角。 例３、若sin cos 0θθ>,则θ在(） A 、第一或第二象限 B 、第一或第三象限 C 、第一或第四象限 Ｄ、第二或 四象限 例4、已知sin sin ,cos cos ,sin cos 0θθθθθθ=-=-?≠且，判断点(tan ,sin )P θθ在 第几象限。 例５、已知角α的终边过点(3,4)(0)P a a a -≠,求2sin cos αα+的值 例6、有下列命题: ①终边相同的角的同名三角函数的值相等； ②终边不同的角的同名三角函数的值不等; ③若sin 0α>,则α是第一、二象限角;
三角函数 解三角形 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα?<
中考三角函数的应用专题训练 1、如图，小刚同学在綦江南州广场上观测新华书店楼房墙上的电子屏幕CD，点A是小刚的眼睛，测得屏幕下端D处的仰角为30°，然后他正对屏幕方向前进了6米到达B处，又测得该屏幕上端C处的仰角为45°，延长AB与楼房垂直相交于点E，测得BE=21米，请你帮小刚求出该屏幕上端与下端之间的距离CD．（结果保留根号） 2、丁丁想在一个矩形材料中剪出如图阴影所示的梯形，作为要制作的风筝的一个翅膀．请你根据图中的数据帮丁丁计算出BE、CD的长度（精确到个位，≈1.7）． 3、为倡导“低碳生活”，常选择以自行车作为代步工具，如图1所示是一辆自行车的实物图．车架档AC 与CD的长分别为45cm，60cm，且它们互相垂直，座杆CE的长为20cm，点A，C，E在同一条直线上，且∠CAB=75°，如图2． （1）求车架档AD的长； （2）求车座点E到车架档AB的距离． （结果精确到1cm．参考数据：sin75°≈0.9659，cos75°≈0.2588，tan75≈3.7321） 4、生活经验表明，靠墙摆放的梯子，当50°≤α≤70°时（α为梯子与地面所成的角），能够使人安全攀爬．现在有一长为6米的梯子AB，试求能够使人安全攀爬时，梯子的顶端能达到的最大高度AC． （结果保留两个有效数字，sin70°≈0.94，s in50°≈0.77，cos70°≈0.34，cos50°≈0.64）
A B C P P' 37°53° 湖面5、如图，在昆明市轨道交通的修建中，规划在A 、B 两地修建一段地铁，点B 在点A 的正东方向，由于A 、B 之间建筑物较多，无法直接测量，现测得古树C 在点A 的北偏东45°方向上，在点B 的北偏西60°方向上，BC=400m ，请你求出这段地铁AB 的长度．（结果精确到1m ，参考数据：2 1.4143 1.732≈≈，） 6、如图，甲、乙两船同时从港口出发，甲船以60海里/时的速度沿北偏东60°方向航行，乙船沿北偏西30°方向航行，半小时后甲船到达C 点，乙船正好到达甲船正西方向的B 点，求乙船的速度 ． 7．某校课外活动小组，在距离湖面7米高的观测台A 处，看湖面上空一热气球P 的仰角为37°，看P 在湖中的倒影P ’的俯角为53°，（P ’为P 关于湖面的对称点），请你计算出这个热气球P 距湖面的高度PC 约为多少米？ 注：sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈3 4 ; Sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈4 3
锐角三角函数与动点问题教学设计 吉林省白山市抚松县外国语学校迟金梅 【教学内容分析】 锐角三角函数在中考各种题型中出现的频率非常高，尤其特殊角的三角函数值的应用非常广泛。近几年来，以特殊直角三角形为背景的动点问题也成了各省中考的热点问题，也是难点问题。这类问题通常以特殊几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题. 它的综合性比较强，能较全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力。很多学生一见到动点问题，就感到头痛，觉得无从下手。本节课就以两道中考题为例，对特殊的锐角三角函数在动点问题中的应用进行了探究，意在让学生经历分析动点问题的一般过程，体会特殊角三角函数值在解决问题过程中的快捷、优化解题过程的作用和优势；通过几何画板的动态演示，让学生感受图形的变化规律，渗透分类讨论思想、数形结合思想和数学建模思想；同时通过专题复习，使学生建构知识体系，形成解决动点问题的一般策略。 【教学目标】 知识与技能： 1、巩固锐角三角函数的概念，熟记特殊角的三角函数值，并能恰当运用锐角的三角函数进行解题； 2、初步养成边读题、边标注、边分析的习惯，学会把动点问题化整为零，分散难点，各个击破； 3、能利用特殊角的三角函数值或特殊三角形的性质和定理解决与特殊直角三角形有关的动点问题。 过程与方法： 经历分析动点问题的一般过程，感受图形的变化规律，渗透分类讨论思想、数形结合思想和数学建模思想，通过专题复习，建构知识体系，形成解决动点问题的一般策略。 情感态度价值观： 通过动手实践、合作交流等活动，培养学生探索的精神和合作交流能力，激发学生学习数学的兴趣和信心。 【教学重点】 在运动变化过程中，探索图形变化规律，借助特殊角的锐角三角函数建立等量关系、表达线段长。 【教学难点】 在复杂图形中探索两个图形重合部分的面积与时间的函数关系，找准图形状态发生改变的临界点，准确画出符合题意的图形。 【教学准备】制作几何画板动态演示课件
人教版数学必修四三角函数 复习讲义 本页仅作为文档页封面，使用时可以删除 This document is for reference only-rar21year.March
第一讲 任意角与三角函数诱导公式 1. 知识要点 角的概念的推广： 平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。 象限角的概念： 在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 终边相同的角的表示： α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)?2()k k αθπ=+∈Z 。 注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等. α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈； α终边在y 轴上的角可表示为：,2 k k Z π απ=+∈； α终边在坐标轴上的角可表示为：,2 k k Z π α= ∈. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. α与2 α的终边关系： 任意角的三角函数的定义: 设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点）， 它与原点的距离是0r =>，那么sin ,cos y x r r αα==，
()tan ,0y x x α= ≠，cot x y α=(0)y ≠，sec r x α=()0x ≠，()csc 0r y y α=≠。 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。 三角函数线的特征：正弦线MP“站在x 轴上(起点在x 轴上)”、余弦线 OM“躺在x 轴上(起点是原点)”、正切线AT“站在点(1,0)A 处(起点是A )” 同角三角函数的基本关系式： 1. 平方关系：222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= 2. 倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1, 3. 商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αα αααα = = 注意：1.角α的任意性。 2.同角才可使用。 3.熟悉公式的变形形 式。 三角函数诱导公式：“ （2 k πα+）”记忆口诀: “奇变偶不变，符号看象限” 典型例题 例1．求下列三角函数值： （1）cos210o； (2)sin 4 5π 例2．求下列各式的值： （1）sin(－3 4π )； (2)cos(－60o)－sin(－210o) 例3．化简 ) 180sin()180cos() 1080cos()1440sin(?--?-?-?-?+?αααα 例4．已知cos(π+α)=－2 1，2 3π<α<2π，则sin(2π－α)的值是（ ）．
与三角函数有关的几何题 例1、如图3，直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且OA OB =，CA CB =，⊙O 交直线 OB 于E D ，，连接EC CD ，． （1）求证：直线AB 是⊙O 的切线； （2）试猜想BC BD BE ，，三者之间的等量关系，并加以证明； （3）若1 tan 2 CED ∠= ，⊙O 的半径为3，求OA 的长． 析解：（1）证明：如图6，连接OC ． OA OB = ，CA CB =，OC AB ∴⊥． AB ∴是⊙O 的切线． （2）BC 2=BD ×BE ． ED 是直径，90ECD ∴∠= ． 90E EDC ∴∠+∠= ． 又90BCD OCD ∠+∠= ，OCD ODC ∠=∠， BCD E ∴∠=∠． 又CBD EBC ∠=∠ ，BCD BEC ∴△∽△． BC BD BE BC ∴ =．∴BC 2=BD ×BE . （3）1tan 2CED ∠= ，1 2 CD EC ∴ =． BCD BEC △∽△，1 2BD CD BC EC ∴==． 设BD x =，则2BC x =． 又BC 2=BD ×BE ，∴（2x ）2=x (x +6) 解之，得10x =，22x =．0BD x => ，2BD ∴=． 325OA OB BD OD ∴==+=+=．
2、已知：如图，AB 是⊙O 的直径，10AB =, DC 切⊙O 于点C AD DC ⊥，，垂足 为D ， AD 交⊙O 于点E ． （1）求证：BC EC =; （2）若4 cos 5 BEC ∠=, 求DC 的长． 3、如图，以线段AB 为直径的⊙O 交线段AC 于点E ，点M 是的中点， OM 交AC 于点D ，∠BOE=60°，cosC=，BC=2 ． （1）求∠A 的度数； （2）求证：BC 是⊙O 的切线； （3）求MD 的长度． 分析：（1）根据三角函数的知识即可得出∠A 的度数． （2）要证BC 是⊙O 的切线，只要证明AB ⊥BC 即可． （3）根据切线的性质，运用三角函数的知识求出MD 的长度． 解答：（1）解：∵∠BOE=60°，∴∠A=∠BOE=30°． （2）证明：在△ABC 中，∵cosC=，∴∠C=60°． 又∵∠A=30°，∴∠ABC=90°，∴AB ⊥BC ．∴BC 是⊙O 的切线． （3）解：∵点M 是 的中点，∴OM ⊥AE ． 在Rt △ABC 中，∵BC=2，∴AB=BC ?tan60°=2 × =6． ∴OA= =3，∴OD=OA=，∴MD=． 点评：本题综合考查了三角函数的知识、切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可． 4、如图，已知Rt △ABC 和Rt △EBC ，∠B=90°．以边AC 上的点O 为圆心、OA 为半径的⊙O 与EC 相切，D 为切点，AD ∥BC ． （1）用尺规确定并标出圆心O ；（不写作法和证明，保留作图痕迹） （2）求证：∠E=∠ACB ； （3）若AD=1， ，求BC 的长． B
中考复习九----锐角三角函数 学号 姓名 一、填空题（每空1分，共20分） 1、cot30°= ，cos60°= ，tan45°= 2、Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ∶BC ＝1∶ 3 ，则cosA= ，cotA ＝ 3、设a 为锐角，若sina ＝32 ，则a ＝ ，若tana ＝33 ，则a ＝ 4、已知a 为锐角，若cosa ＝12 ，则sina ＝ ，tan(90°－a)＝ 5、已知sina=1213 , a 为锐角，则cosa ＝ ，tana ＝ ，cota ＝ 6、 点()sin60,cos60M -??关于x 轴对称的点的坐标是 7、Rt △ABC 中，∠C ＝90°，3a ＝ 3 b ，则∠A ＝ ，sinA ＝ 8、Rt △ABC 中，∠C ＝90°，b ∶a ＝1∶ 2 ，则cosB= ,cotA ＝ 9、已知锐角a 的终边经过点P （x ，2），点P 到坐标原点的距离r ＝13 ,则sina= ，cosa ＝ 10、已知正三角形ABC ，一边上的中线长为32，则此三角形的边长为 二、选择题（每题3分，共30分） 1、Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝6，AC ＝2，则sinA ＝（ ） （A ） 13 （B ）23 （C ）23 2 （D ）23 2、在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝35 ，则tanA ·cosA 的值是（ ） （A ） 35 （B ）45 （C ）925 （D ）1625 3、已知∠A ＋∠B ＝90°，则下列各式中正确的是（ ） （A ）sinA ＝sinB (B)cosA ＝cosB (C)tanA ＝cogB (D)tanA ＝tanB 4、若0°
锐角三角函数： 知识点一：锐角三角函数的定义： 一、 锐角三角函数定义： 在Rt △ABC 中，∠C=900, ∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ， 则∠A 的正弦可表示为：sinA=， ∠A 的余弦可表示为cosA= ∠A 的正切：tanA= ，它们弦称为∠A 的锐角三角函数 2、取值范围
2．如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点， ?= ∠4 3 sin AOC 求AB 及OC 的长． 3．已知：⊙O 中，OC ⊥AB 于C 点，AB ＝16cm ，?=∠5 3 sin AOC (1)求⊙O 的半径OA 的长及弦心距OC ； (2)求cos ∠AOC 及tan ∠AOC ． 4. 已知A ∠是锐角，17 8 sin =A ，求A cos ，A tan 的值 对应训练： 1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若BC ＝1，AB =5，则tan A 的值为 A ． 5B ．25 C ．12 D ．2 2．在△ABC 中，∠C =90°，sin A=5 3 ，那么tan A 的值等于（ ）. A ．35 B .45 C .34 D . 43 类型二. 利用角度转化求值： 1．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°．D 是AC 边上一点，DE ⊥AB 于E 点． DE ∶AE ＝1∶2．求：sin B 、cos B 、tan B ． 2． 如图，直径为10的⊙A 经过点(05)C ， 和点(00)O ，，与x 轴的正半轴交于点D ，B 是y 轴右侧圆弧上一点，则cos ∠OBC 的值为（ ） A ． 12 B ．32 C ．35 D ．4 5 D C B A O y x 第8题图
任意角和弧度制及任意角的三角函数讲义 1.角的概念的推广 (1)定义:角可以看成平面内的一条射线绕着从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形. (2)分类:按旋转方向分为、和零角;按终边位置分为和轴线角. (3)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,构成的角的集合是S=. 2.弧度制的定义和公式 (1)定义:把长度等于的弧所对的圆心角叫作1弧度的角.弧度记作rad. (2)公式: 角α的弧度数的绝对值|α|=l r(弧长用l表示) 角度与弧度的换算①1°=π180rad,②1rad=180π° 弧长公式弧长l= 扇形面积公式S=12lr=12|α|r2 3.任意角的三角函数 (1)定义:设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),则sinα=,cos α=,tanα=y x(x≠0). (2)几何表示(单位圆中的三角函数线):图3-16-1中的有向线段OM,MP,AT分别称为角α 的、和. 图3-16-1 常用结论 象限角与轴线角 (1)象限角
(2)轴线角 题组一常识题 1.[教材改编]终边在射线y=-3x(x<0)上的角的集合是. 2.[教材改编](1)67°30'=rad; (2)π12=°. 3.[教材改编]半径为120mm的圆上长为144mm的弧所对圆心角α的弧度数是. 4.[教材改编]若角α的终边经过点P(-1,2),则sinα-cosα+tanα=. 题组二常错题 ◆索引:对角的范围把握不准;由值求角时没有注意角的范围;求三角函数值时没有考虑角的终边所在的象限;求弧长或者扇形面积把角化为弧度数时出错. 5.在△ABC中,若sin A=. 6.已知点P(sinα-cosα,tanα)在第二象限,则在[0,2π]内α的取值范围 是. 7.已知角α的终边落在直线y=-3x上,则|sinα|sinα-|cosα|cosα=. 8.若一扇形的圆心角为72°,半径为20cm,则扇形的面积为cm2. 课堂考点探究 探究点一角的集合表示及象限角的判定 1(1)设集合M=x x=k2·180°+45°,k∈Z,N=x x=k4·180°+45°,k∈Z,那么() A.M=N B.M?N C.N?M D.M∩N=? (2)已知角α的终边在图3-16-2中阴影部分表示的范围内(不包括边界),则所有角α构成的集合是. 图3-16-2 [总结反思]把角表示成2kπ+α(k∈Z,0≤α<2π)的形式,即可判断其所在的象限. 式题(1)已知角α,β的终边关于直线x+y=0对称,且α=-60°,则β=.
1．如图，在ABC ?中，点D 在边BC 上， 4 CAD π ∠= ， 72AC = ， cos 10 ADB ∠=-． （1）求sin C ∠的值； （2）若ABD ?的面积为7，求AB 的长． 【答案】(1) sin C ∠= 4 5 ;(2) AB = 【解析】试题分析：（1）由同角三角函数基本关系式可求sin ADB ∠，由4 C ADB π ∠=∠- ，利用两角差 的正弦函数公式及特殊角的三角函数值即可求值得解；（2）先由正弦定理求AD 的值，再利用三角形面积公式求得BD ，与余弦定理即可得解AB 的长度. 试题解析：（1 ）因为cos 10ADB ∠=- ，所以sin 10 ADB ∠=， 又因为4 CAD π ∠= ，所以4 C ADB π ∠=∠- ， 所以sin sin 4C ADB π? ? ∠=∠- ?? ? sin cos cos sin 4 4 ADB ADB π π =∠-∠ 4 1021025 = +?=． （2）在ADC ?中，由正弦定理 sin sin AD AC C ADC =∠∠， 故( )74sin sin sin sin sin sin AC C AC C AC C AD ADC ADB ADB π? ?∠?∠?∠==== ∠-∠∠ = 又11sin 72210 ABD S AD AB ADB BD ?= ???∠=??=，解得5BD =． 在ADB ?中，由余弦定理得 2 2 2 2cos AB AD BD AD BD ADB =+-??∠ 8252537AB ?=+-??=?= ?? 2．在ABC ?中，内角A,B,C,所对应的边为,,a b c 且b c ≠,且 22sin sin cos cos C B B B C C -=
23、锐角三角函数 要点一：锐角三角函数的基本概念 一、选择题 1.（2009·漳州中考）三角形在方格纸中的位置如图所示，则tan α的值是（ ） A ． 3 5 B ． 43 C ．34 D ．4 5 【解析】选C. tan α4 3 == 角的邻边角的对边αα. 2.（2008·威海中考）在△ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝ 1 3 ，则sin B ＝（ ） A ． 10 B ． 23 C ． 3 4 D ． 10 【解析】选D. 3 1 tan == AB BC A ,设BC=k,则AC=3k,由勾股定理得 ,10)3(2222k k k BC AC AB =+=+= sin AC B AB = = 3.（2009·齐齐哈尔中考）如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径，若O ⊙的半径为 3 2 ，2AC =，则sin B 的值是（ ） A ． 23 B ．32 C ．34 D ．43 【解析】选A.连接CD,由O ⊙的半径为 32.得AD=3. sin B =.3 2 sin ==AD AC D
4.（2009·湖州中考）如图，在Rt ABC △中，ACB ∠=Rt ∠，1BC =，2AB =，则下列结论正确的是（ ） A ．sin 2A = B ．1tan 2A = C ．cos 2 B = D ．tan B = 【解析】选D 在直角三角形ABC 中，1BC =，2AB =，所以AC 所以1 sin 2 A ＝ ， cos A ，tan A = ；sin B 1cos 2B ＝ ，tan B = 5.（2008·温州中考）如图，在Rt ABC △中，CD 是斜边AB 上的中线，已知2CD =， 3AC =，则sin B 的值是（ ） A ． 2 3 B ． 32 C ． 34 D ． 43 【解析】选C.由CD 是Rt ABC △斜边AB 上的中线，得AB=2CD=4.∴sin B 4 3 == AB AC 6.（2007·泰安中考）如图，在ABC △中，90ACB ∠= ，CD AB ⊥于D ，若AC = AB =tan BCD ∠的值为（ ） （A （B ）2 （C ）3 （D ） 3 答案：B A C B D
锐角三角函数的图文解析 一、选择题 1．如图，菱形ABCD 中，AC 交BD 于点O ，DE ⊥BC 于点E ，连接OE ，∠DOE ＝120°，DE ＝1，则BD ＝（ ） A ．3 B ．23 C ．63 D ．33 【答案】B 【解析】 【分析】 证明△OBE 是等边三角形，然后解直角三角形即可． 【详解】 ∵四边形ABCD 是菱形，∴OD =OB ，CD =BC ． ∵DE ⊥BC ，∴∠DEB =90°，∴OE =OD =OB ． ∵∠DOE =120°，∴∠BOE =60°，∴△OBE 是等边三角形，∴∠DBC =60°． ∵∠DEB =90°，∴BD = 23sin603 DE =?． 故选B ． 【点睛】 本题考查了解直角三角形，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边的中线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 2．如图，为了加快开凿隧道的施工进度，要在小山的两端同时施工．在AC 上找一点B ，取145ABD ∠=o ，500BD m =，55D ∠=o ，要使A ，C ，E 成一直线，那么开挖点E 离点D 的距离是（ ） A ．500sin55m o B ．500cos55m o C ．500tan55m o D ．500cos55m o 【答案】B 【解析】 【分析】 根据已知利用∠D 的余弦函数表示即可． 【详解】
在Rt△BDE中，cosD=DE BD ， ∴DE=BD?cosD=500cos55°． 故选B． 【点睛】 本题主要考查了解直角三角形的应用，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键． 3．菱形ABCD的周长为20cm,DE⊥AB,垂足为E,sinA=3 5 ,则下列结论正确的个数有（） ①DE=3cm; ②BE=1cm; ③菱形的面积为15cm2; ④BD=210cm． A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C 【解析】 【分析】 根据菱形的性质及已知对各个选项进行分析，从而得到答案 【详解】 ∵菱形ABCD的周长为20cm ∴AD=5cm ∵sinA=3 5 ∴DE=3cm（①正确） ∴AE=4cm ∵AB=5cm ∴BE=5﹣4=1cm（②正确） ∴菱形的面积=AB×DE=5×3=15cm2（③正确） ∵DE=3cm,BE=1cm ∴10（④不正确） 所以正确的有三个． 故选C． 【点睛】 本题考查了菱形的性质及锐角三角函数的定义，熟练掌握性质是解题的关键 4．一个物体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是全等的等边三角形，俯视图是圆，根据图中所示数据，可求这个物体的表面积为（）
三角函数 知识点精讲： 定义1 角：一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。 ????? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为___________________________________ 第二象限角的集合为___________________________________ 第三象限角的集合为___________________________________ 第四象限角的集合为___________________________________ 终边在x 轴上的角的集合为______________________________ 终边在y 轴上的角的集合为______________________________ 终边在坐标轴上的角的集合为____________________________ 3、与角α终边相同的角的集合为{} 360,k k ββα=?+∈Z 二、弧度制 定义2 角度制，把一周角360等分，每一等价为一度 弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。 360度=2π弧度。 若圆心角的弧长为L ，则其弧度数的绝对值|α|=r L ,其中r 是圆的半径。 1、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==． 三、任意角的三角函数 定义3 三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x 轴的
1、锐角三角函数 要点一：锐角三角函数的基本概念 一、选择题 1.（2009·漳州中考）三角形在方格纸中的位置如图所示，则tan α的值是（ ） A ． 35 B ． 43 C ．34 D ．4 5 2.（2008·威海中考）在△ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝1 3 ，则sin B ＝（ ） A ． 10 B ．23 C ． 3 4 D ． 10 3.（2009·齐齐哈尔中考）如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径，若O ⊙的半径为 3 2 ，2AC =，则sin B 的值是（ ） A ． 23 B ．32 C ．34 D ．43 4.（2009·湖州中考）如图，在Rt ABC △中，ACB ∠=Rt ∠，1BC =，2AB =，则下列结论正确的是（ ） A ．sin 2A = B ．1 tan 2 A = C ．cos 2 B = D ．tan B =
5.（2008·温州中考）如图，在Rt ABC △中，CD 是斜边AB 上的中线，已知2CD =， 3AC =，则sin B 的值是（ ） A ． 2 3 B ． 32 C ． 34 D ． 43 6.（2007·泰安中考）如图，在ABC △中，90ACB ∠=，CD AB ⊥于D ，若AC = AB =tan BCD ∠的值为（ ） （A （B ）2 （C （D 二、填空题 7.（2009·梧州中考）在△ABC 中，∠C ＝90°， BC ＝6 cm ，5 3sin = A ，则A B 的长是 cm ． .（2009·孝感中考）如图，角α的顶点为O ，它的一边在x 轴的正半轴上，另一边OA 上有一点P （3，4），则 sin α= ． 9.（2009·庆阳中考）如图，菱形ABCD 的边长为10cm ，DE ⊥AB ，3 sin 5 A = ，则这个菱形A C B D
人教版初中数学锐角三角函数的难题汇编及解析 一、选择题 1．如图，一艘轮船位于灯塔P 的北偏东60°方向，与灯塔P 的距离为30海里的A 处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东30°方向上的B 处，则此时轮船所在位置B 与灯塔P 之间的距离为( ) A ．60海里 B ．45海里 C ．3 D ．3 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意得出：∠B=30°，AP=30海里，∠APB=90°，再利用勾股定理得出BP 的长，求出答案． 【详解】 解：由题意可得：∠B=30°，AP=30海里，∠APB=90°， 故AB=2AP=60（海里）， 则此时轮船所在位置B 处与灯塔P 之间的距离为：22303AB AP -= 故选：D ． 【点睛】 此题主要考查了勾股定理的应用以及方向角，正确应用勾股定理是解题关键． 2．在半径为1的O e 中，弦AB 、AC 32，则BAC ∠为（ ）度． A ．75 B ．15或30 C ．75或15 D ．15或45 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意画出草图，因为C 点位置待定，所以分情况讨论求解． 【详解】 利用垂径定理可知：32 2 AE = ．
sin∠AOD= 3 2 ，∴∠AOD=60°； sin∠AOE= 2 2 ，∴∠AOE=45°； ∴∠BAC=75°． 当两弦共弧的时候就是15°． 故选：C． 【点睛】 此题考查垂径定理，特殊三角函数的值，解题关键在于画出图形. 3．如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan∠DAC的值为（） A．23B．3C．33D．3 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】 设AC=x，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，即可得AB=2x，3， 所以BD=BA=2x，即可得33）x， 在Rt△ACD中，tan∠DAC= (32) 32 CD x AC + ==， 故选A. 4．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将ABC V如图那样折叠，使点A与点B 重合，折痕为DE，则tan CBE ∠的值是（）
第一讲 任意角与三角函数诱导公式 1. 知识要点 角的概念的推广： 平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。 象限角的概念： 在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 终边相同的角的表示： α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)?2()k k αθπ=+∈Z 。 注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等. α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈； α终边在y 轴上的角可表示为：,2 k k Z π απ=+∈； α终边在坐标轴上的角可表示为：,2 k k Z π α= ∈. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°= 1=°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. α与2 α的终边关系： 任意角的三角函数的定义: 设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），
它与原点的距离是0r =>，那么sin ,cos y x r r αα==， ()tan ,0y x x α= ≠，cot x y α=(0)y ≠，sec r x α=()0x ≠，()csc 0r y y α=≠。 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。 三角函数线的特征：正弦线MP“站在x 轴上(起点在x 轴上)”、余弦线OM“躺在x 轴上(起点是原点)”、正切线AT“站在点(1,0)A 处(起点是A )” 同角三角函数的基本关系式： 1. 平方关系：222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= 2. 倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1, 3. 商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αα αααα = = 注意：1.角α的任意性。 2.同角才可使用。 3.熟悉公式的变 形形式。 三角函数诱导公式：“ （2 k πα+）”记忆口诀: “奇变偶不变，符号看象限” 典型例题 例1．求下列三角函数值： （1）cos210o； (2)sin 4 5π 例2．求下列各式的值： （1）sin(－3 4π )； (2)cos(－60o)－sin(－210o) 例3．化简 ) 180sin()180cos() 1080cos()1440sin(?--?-?-?-?+?αααα
三角函数相关几何计算训练 1．（2011?南宁）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=15°，AB=8，则AC?BC的值为（） A．14 B．16C．4D．16 2．如图，在?ABCD中，AB：AD=3：2，∠ADB=60°，那么cosA的值等于（） A．B．C．D． 3．（2013?遵义模拟）如图，△ABC内接于⊙O，AD为⊙O的直径，交BC于点E，若DE=2，OE=3，则tanC?tanB=（） A．2B．3C．4D．5 4．路边路灯的灯柱BC垂直于地面，灯杆BA的长为2m，灯杆与灯柱BC成120度角，锥形灯罩轴线AD与灯杆AB 垂直，且灯罩轴线AD正过道路路面的中心线（D在中心线上），已经点C与D点之间的距离为12m，则BC的高（）m． A．B．12 C．D． 5．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，D为BC的中点，将△ABC折叠，使点A与点D重合，EF为折痕，则sin∠BED的值是（） A．B．C．D． 6．（2011?西城区一模）如图，点A在半径为3的⊙O内，OA=，P为⊙O上一点，当∠OPA取最大值时，PA的长等于（）
A．B．C．D． 7．将一副直角三角板中的两块按如图摆放，连AD，则tan∠DAC的值为（） A．B．C．D． 8．如图，在△ABC中，∠A=30°，E为AC上一点，且AE：EC=3：1，EF⊥AB于F，连接FC，则tan∠CFB等于（） A．B．C．D． 9．（2007?临沂）如图，客轮在海上以30km/h的速度由B向C航行，在B处测得灯塔A的方位角为北偏东80°，测得C处的方位角为南偏东25°，航行1小时后到达C处，在C处测得A的方位角为北偏东20°，则C到A的距离是（） A．15km B．15km C．15（+）km D．5（+3）km 10．（2004?武汉）已知：如图，⊙O1与⊙O2外切于C点，AB一条外公切线，A、B分别为切点，连接AC、BC．设⊙O1的半径为R，⊙O2的半径为r，若tan∠ABC=，则的值为（） A．B．C．2D．3 11．如图在梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，BC=CD=2AD，E是CD上一点，∠ABE=45°，则tan∠AEB的值等于（）
初三三角函数试题精选 一．选择题（共10小题） 1．（2016?安顺）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（） A．2 B．C．D． 2．（2016?乐山）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是（） A．B．C．D． 3．（2016?攀枝花）如图，点D（0，3），O（0，0），C（4，0）在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，则sin∠OBD=（） A．B．C．D． 4．（2016?西宁）如图，在△ABC中，∠B=90°，tan∠C=，AB=6cm．动点P从点A开始 沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，在运动过程中，△PBQ的最大面积是（） A．18cm2B．12cm2C．9cm2 D．3cm2
5．（2016?绵阳）如图，△ABC中AB=AC=4，∠C=72°，D是AB中点，点E在AC上，DE⊥AB，则cosA的值为（） A．B．C．D． 6．（2016?福州）如图，以圆O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，B两点，P是上一点（不与A，B重合），连接OP，设∠POB=α，则点P的坐标是（） A．（sinα，sinα） B．（cosα，cosα）C．（cosα，sinα） D．（sinα，cosα） 7．（2016?重庆）如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i=1：，则大楼AB的高度约为（）（精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45） A．30.6 B．32.1 C．37.9 D．39.4 8．（2016?苏州）如图，长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为（） A．2m B．2m C．（2﹣2）m D．（2﹣2）m
锐角三角函数的难题汇编 一、选择题 1．cos60tan45 +o o的值等于() A．3 2 B． 2 2 C． 3 2 D．1 【答案】A 【解析】 【分析】 根据特殊角的三角函数值计算即可．【详解】 解：原式 13 1 22 =+=． 故选A． 【点睛】 本题考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值． 2．一个物体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是全等的等边三角形，俯视图是圆，根据图中所示数据，可求这个物体的表面积为（） A．πB．2πC．3πD．31)π 【答案】C 【解析】 【分析】 3 为2，据此即可得出表面积． 【详解】 3的正三角形． ∴正三角形的边长 3 2 ==． ∴圆锥的底面圆半径是1，母线长是2，∴底面周长为2π ∴侧面积为1 222 2 ππ ??=，∵底面积为2r ππ =， ∴全面积是3π．
故选：C ． 【点睛】 本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 3．如图，△ABC 内接于半径为5的⊙O ，圆心O 到弦BC 的距离等于3，则∠A 的正切值等于（ ） A ． 35 B ． 45 C ． 34 D ． 43 【答案】C 【解析】 试题分析：如答图，过点O 作OD ⊥BC ，垂足为D ，连接OB ，OC ， ∵OB=5，OD=3，∴根据勾股定理得BD=4. ∵∠A= 1 2 ∠BOC ，∴∠A=∠BOD. ∴tanA=tan ∠BOD=4 3 BD OD =. 故选D ． 考点：1.垂径定理；2.圆周角定理；3.勾股定理；4.锐角三角函数定义． 4．如图，矩形纸片ABCD ，4AB =，3BC =，点P 在BC 边上，将CDP ?沿DP 折叠，点C 落在点E 处，PE 、DE 分别交AB 于点O 、F ，且OP OF =，则cos ADF ∠的值为（ ）