数系的扩充与复数的引入 教学目标： 1.知识与技能：了解数系扩充的必要性；理解虚数单位i的产生及意义 2.过程与方法：掌握复数的分类，理解虚数单位与实数进行四则运算的规律，复数与复数的运算规律。 3?情感、态度与价值观：从运动发展的眼光观察事物，体验数系的不断变化扩大 教学重点： 复数的概念，虚数单位i，复数的分类以及复数在实际生活中的应用 教学难点： 虚数单位i的引进及复数的概念是本节课的教学难点，复数的概念是在引入虚数单位i 并同时规定了它的两条性质之后得到的 学情分析： 高二的学生在复数的概念以前，已经经历了实数从N、Z、Q、R的扩充过程，对数系扩充的过程方法、注意事项有一定的了解，因此在介绍新知识之前，可以先回顾一下以前是如何进行扩充的，然后给出新的问题，为什么现在又要进行扩充 教学过程： 一、知识回顾及问题提出 数的概念是从实践中产生和发展起来的?早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实 等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3, 4等数以及表示“没有”的数0?自然数的 全体构成自然数集N * 随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展 为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数；为了表示各 种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数?这样就把数集扩充到有理数 集Q.显然N^Q.如果把自然数集（含正整数和0）与负整数集合并在一起，构成整数集Z,则 有z^Q、N= Z.如果把整数看作分母为1的分数，那么有理数集实际上就是分数集* 有些量与量之间的比值，例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数?所谓无理数，就是无限不循环小数?有理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R.因为有理数都可看作循环小数（包括整数、有
§3.1.1数系的扩充和复数的概念 教案 李 志 文 【教学目标】 知识与技能：1.了解数系的扩充过程；2.理解复数的基本概念 过程与方法：1.通过回顾数系扩充的历史，让学生体会数系扩充的一般性方法. 2.类比前几次数系的扩充，让学生了解数系扩充后，实数运算律均可应用于 新数系中，在此基础上，理解复数的基本概念. 情感态度与价值观: 1、虚数单位的引入，产生复数集，让学生体会在这个过程中蕴含的创 新精神和实践能力，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系; 2、初步学会运用矛盾转化，分与合，实与虚等辩证唯物主义观点看待和 处理问题。 【重点难点】 重点: 理解虚数单位i 的引进的必要性及复数的有关概念． 难点：复数的有关概念及应用． 【学法指导】 1、回顾以前学习数的范围扩充过程，体会数系扩充的必要性及现实意义； 2、思考数系扩充后需考虑的因素，譬如运算法则、运算律、符号表示等问题，为本节学习奠定方法基础. 【知识链接】 前两个学段学习的数系的扩充： 但是，数集扩到实数集R 以后，像x 2=－1这样的方程还是无解的，因为在实数范围内，没有一个实数的平方等于负数．联系从自然数到实数系的扩充过程，你能设想一种方法，使这个方程有解吗？ Q N Z R 人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的数0.自然数 的全体构成自然数集N 为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负整，将数系扩充至整数集Z. 为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题， 人们引进了分数，将数系扩充至有理数集Q. 用方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有 理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数.有 理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R . N x 2=－1，x =?
课题：数系的扩充 授课教师：吴晶 教材：苏教版选修1-2第三章第一节 【教材分析】 教材地位和作用： 数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程，体现了数学发生发展的客观需求.通过学习，学生在问题情景中了解数系扩充的过程以及引入虚数的必要性，体会人类理性思维在数系扩充中的作用，有助于提高学生的数学素养.复数的引入是中学阶段数系的最后一次扩充.学习复数的一些基本知识，为学习复数的四则运算和几何意义做好知识储备. 教材处理办法： 精心设计制作教学课件，直观形象地展示数系扩充的过程.化抽象为具体，使学生真实体验数系扩充的必要性及数系扩充要遵循的法则.在这个过程中了解复数、虚数、纯虚数、复数的实部、虚部等相关概念就水到渠成了. 重点： 数系扩充的过程和方法，复数的相关概念. 难点： 数系扩充的过程和方法，虚数的引入. 【教学目标】 知识目标： 了解数系的扩充过程，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系；了解复数的相关概念. 能力目标： 发展学生独立获取数学知识的能力和创新意识. 情感目标： 初步认识数学的应用价值、科学价值和人文价值，崇尚数学具有的理性精神和科学态度，树立辩证唯物主义世界观. 【教学方法】 教学方法： 开放式探究，启发式引导，互动式讨论，反馈式评价. 学习方法： 自主探究，观察发现，合作交流，归纳总结. 教学手段： 结合多媒体网络教学环境，构建学生自主探究的教学平台. 【教学程序】
以问题为载体，以学生活动为主线. 创设情境→建构数学→知识运用→归纳总结→巩固作业 创设情境： 用心智的全部力量，来选择我们应遵循的道路-------笛卡尔. 名人名言引入，投影出为数系扩充作出贡献的一些数学家的照片和名字.让学生把自己所了解的一些数学家作简要介绍，教师适时总结：他们都是科学巨匠，他们都曾为人类文明的进步做出过巨大贡献，同时，他们也为数的概念的发展做出过巨大贡献.回忆学过的数的类型. 建构数学： 数的概念来源于生活，为了计数的需要产生了自然数；为了表示相反意义的量，有了负数；为了解决测量、分配中的等分问题，有了分数；为了度量（例如边长为1km 的正方形田地的对角线长度）的需要，产生了无理数. 数的概念的发展一方面是生产生活的需要，另一方面也是数学科学本身发展的需要.矛盾是事物发展的根本动力.看以下几个方程： 1x 2x 1201x 22 =+===+x 规定： （1）i 2=-1 虚数单位：i （2）实数可以与i 进行四则运算，且进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立. 找到了方程012=+x 的解. 设计意图：适当了解一些与数系扩充有关的数学伟人和数学史，激发学生学习兴趣，引入新课. 设计意图：认识到数系扩充的必要性. 发展学生求知、求实、勇于探索的情感和态度，体会数学体系的系统性和严密性.
《数系的扩充与复数的概念》 教学设计 -----高中人教A版选修2-2 王 海 艳
唐山市第六十二中学 【教材分析】 本章《数系的扩充与复数的概念》是中学课程里数的概念的最后一次扩展。引入复数后，不仅可以使学生对数的概念有一个初步完整的认识，也为进一步学习数学奠定基础。教材编写的线索是：先将复数看成是有序实数对，然后学习复数代数形式的四则运算，最后介绍复数的几何意义。本节是该章的基础课、起始课，具有承上启下的作用。 【学情分析】 在学习本节之前，学生对数的概念已经扩充到实数，也已清楚各种数集之间的包含关系等内容，但知识是零碎、分散的，对数的生成发展的历史和规律缺乏整体认识与理性思考，知识体系还未形成。另一方面学生对方程解的问题会默认为在实数集中进行，缺乏严谨的思维习惯。 【三维目标】 知识与技能：了解数系的扩充过程；理解复数的基本概念、代数表示法以及复数相等的条件 过程与方法：经历数的概念的发展和数系扩充的过程，体会数学发现和创造的过程，以及数学发生、发展的客观需求，让学生学会对事件归纳与认识的方法。 情感、态度与价值观：
（１）培养学生分类讨论、等价转化等数学思想和方法； （２）培养学生矛盾转化、分与合、实与虚等辩证唯物主义观点； （３）感受人类理性思维的作用。 【教学重点】复数的基本概念、代数表示法以及复数相等的条件 【教学难点】数集扩充的必要性和过程 【教学设计】 设计思想 知识来源于实际生活。教学中应注重把教材内容与生活实践结合起来，加强数学教学的实践性。本节课对知识结构进行创造性地“教学加工”，教学方法上则采用“合作－探究”的模式，保证学生对知识的主动获取，促进学生充分、和谐、自主、个性化发展。 媒体设计 本节课是概念课，要避免单一下定义再作练习模式，应努力使课堂元素更丰富，因此借助于多媒体课件配合教学，添加与教学内容匹配的图片背景，激发学生的学习兴趣；而例习题用媒体展示分析，则可以提高课堂教学效率。 设计特色 （１）重视数学的人文价值。（２）知识建构采用合作探究模式。 【教学过程】 一、创设情境，提出问题
§3.1.1数系的扩充和复数的概念教案 【教学目标】 知识与技能：1.了解数系的扩充过程； 2.理解复数的基本概念 过程与方法：1.通过回顾数系扩充的历史，让学生体会数系扩充的一般性方法. 2.类比前几次数系的扩充，让学生了解数系扩充后，实数运算律均可应用于 新数系中，在此基础上，理解复数的基本概念. 情感态度与价值观：1、虚数单位的引入，产生复数集，让学生体会在这个过程中蕴含的创新精神和实践水平，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系; 2、初步学会使用矛盾转化，分与合，实与虚等辩证唯物主义观点看待和 处理问题。 【重点难点】 重点：理解虚数单位i的引进的必要性及复数的相关概念． 难点：复数的相关概念及应用． 【学法指导】 1、回顾以前学习数的范围扩充过程，体会数系扩充的必要性及现实意义； 2、思考数系扩充后需考虑的因素，譬如运算法则、运算律、符号表示等问题，为本节学习奠定方法基础. 没有一个实数的平方等于负数．联系从自然数到实数系的扩充过程，你能设想一种方法，使这个方程有解吗？
【问题探究】 探究一、复数的引入 引导1：因为解方程的需要，人们引入了一个新数i ，并规定： （1）=2i 1- ； （2）实数能够与i 实行加法和乘法运算： 实数a 与数i 相加记为：i a +； 实数b 与数i 相乘记为：bi ； 实数a 与实数b 和i 相乘的结果相加记为：bi a +； （3）实数与i 实行加法和乘法时，原有的加法、乘法运算律仍然成立。 引导2：复数的相关概念： （1）我们把形如bi a +()R b a ∈,的数叫做复数，其中i 叫做 虚数单位 ， 全体复数所组成的集合叫做复数集，常用大写．． 字母 C 表示。 （2）复数的代数形式： 复数通常用小写字母z 表示，即bi a z +=()R b a ∈,，这个表示形 式叫做复数的代数形式，其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部。 例1请说出复数i i 31,5,32--+的实部和虚部。 引导：考虑复数的相关概念.对于复数(),z a bi a b R =+∈，a 叫实部，b 叫虚部. 解： 变式再练：请说出复数)12(,231, 0,6,84-++-i i i 的实部和虚部。点拨：当我们遇到使用原有知识解决不了的问题时，可以适当地引入一些新的规定，譬如这里我们引入的数i 及引入数i 后实数与i 进行加法和乘法时的运算律，但是切记引入的规定要合理，要有一定的依据基础. ；，虚部是的实部是虚部是的实部是； ，虚部是的实部是3 1031;0,553232----+i i . 120)12(5;2 3212314066300024884)1(--+-+-，虚部是的实部是）（，虚部是的实部是）；（，虚部是的实部是）（； ，虚部是的实部是）；（，虚部是的实部是解：i i i
数系的扩充的说课稿 （江苏省宿迁中学 陆明明） 1 教材内容分析 1.1 本质、地位及作用 复数的引入实现了中学阶段数系的最后一次扩充．但是，复数它完全没有按照教科书所描述的逻辑连续性．实际的需要使实数具有某种实在感．可是，复数的情形却不一样，是纯理论的创造． 新课程中复数内容突出复数的代数表示，同时也强调了复数的几何意义．它的内容是分层设计的：先将复数看成是有序实数对，再把复数看成是直角坐标系下平面上的点或向量，最后介绍复数代数形式的加、减运算的几何意义．同时，复数作为一种新的数学语言，也为我们今后用代数的方法解决几何问题提供了新的工具和方法，体现了数形结合思想． 本节课的学习，一方面让学生回忆数系扩充的过程，体会虚数引入的必要性和合理性．另一方面，让学生理解复数的有关概念，掌握复数相等的充要条件，为今后的学习奠定基础．因此，本节课具有承前启后的作用，是本章的重点内容． 1.2 教学重点难点 根据教学内容分析及学生已有的认知基础，本节课的教学重点、难点确定为： 重点：感受数系扩充的过程，理解复数的有关概念，掌握复数相等的充要条件． 难点：数系扩充的过程与原则． 2 教学目标分析 遵循新课标，本节课的教学目标确定如下： 2.1 知识与技能 理解复数的概念及复数的代数表示，掌握复数相等的充要条件． 2.2 过程与方法 让学生回忆并感知数系扩充的过程，感悟数系扩充的基本方法，领悟复数的有关理论． 2.3 情感、态度与价值观 通过问题情境感受虚数引入的必要性，体会人类理性思维的作用，形成学习数学知识的积极态度． 3 教学问题诊断分析 根据历史相似性原理，结合学生已有的认知基础，预测学生在学习本节内容可能产生的认知障碍与学习困难：为什么要引入i ？如何引入？i 是什么？ 根据教与学的关系，学生的学可以促进教师的教与学．教师通过学习数系的扩充历史，了解数系扩充的原则与方法，从而为虚数单位i 的引入奠定理论基础；虚数的引入虽然最先由于数学本身的需要，但也只有当高斯用i a b 表示一个向量的时候，复数在解决实际问题中才得到广泛的应用，渐渐地才被大家接受．因此，i 是人类理性思维的产物，是一种创造． 4 教法特点 结合以上教学问题诊断分析，本节课的教法主要采用问题驱动教学模式．通过设置问题串， 让学生形成认知冲突；通过设置问题串，引领学生追溯历史，提炼数系扩充的原则；通过设置问题串，帮助学生合乎情理的建立新的认知结构，让数学理论自然诞生在学生的思想中，教师仅起到“助产士”的作用． 5 教学设计流程 从建构主义的角度来看，数学学习是指学生自己建构数学知识的活动．在数学活动过程中，学生与教材及教师产生交互作用，形成了数学知识、技能和能力，发展了情感态度和思维品
数系的扩充与复数的引入知识点总结 一。数系的扩充和复数的概念 1.复数的概念 (1) 复数:形如(,)a bi a R b R +∈∈的数叫做复数，a 和b 分别叫它的实部和虚部. (2) 分类:复数(,)a bi a R b R +∈∈中,当0b =，就是实数; 0b ≠，叫做虚数;当0,0a b =≠时，叫做纯虚数. (3) 复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等． 即:如果：,,,a b c d R ∈，那么：=+=+b=d a c a bi c di ????，特别地: 。 (4) 共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数。 即：=+=-(,)z a bi z a bi a b R ∈的共轭复数是 ２。复数的几何意义 （1)数（)可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平 面叫做复平面,也叫高斯平面， 轴叫做实轴,轴叫做虚轴. 实轴上的点都表示实数．除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数. 复数集Ｃ和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数 复平面内的点每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来,复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应,这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法. (２)复数的几何意义 坐标表示：在复平面内以点表示复数（)； 向量表示：以原点为起点，点为终点的向量表示复数. 向量的长度叫做复数的模，记作．即 . ３．复数的运算 (1）复数的加，减,乘，除按以下法则进行 设12,(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈则 12()()z z a c b d i ±=±+±
《》教学设计 1．了解解方程等实际需要也是数系发展的一个主要原因，数集的扩展过程以及复数的 分类表； 2．理解复数的有关概念以及符号表示； 3．掌握复数的代数表示形式及其有关概念； 4.在问题情境中了解数系得扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系． 【教学重点】引进虚数单位i的必要性、对i的规定以及复数的有关概念． 【教学难点】复数概念的理解． 【教学过程】 1．对数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充的过程进行概括（教师引导学生进行简 明扼要的概括和总结） 自然数整数有理数无理数实数 2．提出问题 我们知道，对于实系数一元二次方程，没有实数根．我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？ 3．组织讨论，研究问题 我们说，实系数一元二次方程没有实数根．实际上，就是在实数范围内，没有一个实数的平方会等于负数．解决这一问题，其本质就是解决一个什么问
题呢？组织学生讨论，引导学生研究，最后得出结论：最根本的问题是要解决－1的开平方问题．即一个什么样的数，它的平方会等于－1． 4．引入新数，并给出它的两条性质 根据前面讨论结果，我们引入一个新数，叫做虚数单位，并规定：（1）； （2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立．有了前面的讨论，引入新数，可以说是水到渠成的事．这样，就可以解决前面提出的问题（－1可以开平方，而且－1的平方根是）． 5．提出复数的概念 根据虚数单位的第（2）条性质，可以与实数b相乘，再与实数a相加．由于满足乘法交换律及加法交换律，从而可以把结果写成这样，数的范围又扩充了，出现了形如的数，我们把它们叫做复数． 全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C表示，显然有：N* N Z Q R C． 【巩固练习】 下列数中，哪些是复数，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？并分别指出这些复数的实部与虚部各是什么？ 例1.实数m分别取什么值时，复数z＝m+1＋(m-1)i是 (1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？ 分析：因为m∈R，所以m+1，m-1都是实数，由复数z＝a＋bi是实、虚数、纯虚数与零的条件可以确定实数m的值．
数系的扩充和复数的概念教学设计
3.1.1数系的扩充和复数的概念（人教版） 华南师范大学陈栩林（仅供参考） 一、教学内容 数系的三次扩充过程，复数的引入过程，复数概念的知识 二、教学目标 知识与技能1、了解数系扩充的过程及引入复数的需要 2、掌握复数的有关概念和代数符号形式、复数的分类方法及复数相等的 充要条件 过程与方法1、通过数系扩充的介绍，让学生体会数系扩充的一般规律 2、通过具体到抽象的过程，让学生形成复数的一般形式 情感态度与价值观1、体会数系的扩充过程中蕴含的创新精神与实践精神，感受人类理性思 维的作用 2、体会类比、分类讨论、等价转化的数学思想方法 三、教学重点 引入复数的必要性与复数的相关概念、复数的分类，复数相等的充要条件 四、教学难点 虚数单位i的引进和复数的概念 五、学生分析 学生在本章之前已经学习了《推理与证明》的内容，有了一定的推理与证明能力，有利于本节课运用类比思想对实数集进行扩充。 六、教学方法及教学用具 启发引导、类比探究并运用多媒体课件展示相关知识 七、教学过程 （一）问题引入 问题：若223 x y +=，3 xy=，求（1）x+y的值；（2）求x和y的值
生（独立完成）：求出x+y=3或-3 师：既然和能够求出来，那能不能求出x 和y 的值呢？ 生：30?=-<3-的存在，我们求不了x 、y 的值 师：事实上在实数范围内x 和y 确实不存在？为什么会这样呢？假设x 和 y 是存在的，那么就肯定是一些不是实数的数，那么，这些数是什么 呢？我们能不能解决这个问题呢？这就是我们今天要学习的内容《数 系的扩充和复数的引入》 （二）回顾数系的扩充历程 师：其实对于这种“数不够用”的情况，我们并不陌生。大家记得吗？从 小学到现在，我们一直在经历着数的不断扩充。现在就让我们来回顾 一下，看看我们以前是怎么解决“数不够用”的问题的。 原因1 原因2 规律 自然数（N ） 计数 1、实际需要、运算矛盾 2、引入新数解决问题，运算保持，运算律不变 整数（Z ） 具有相反意义的量 减法在N 不能完全运算 有理数（Q ） 测量，分配 除法在Z 不能完全运算 实数（R ） 单位正方形对角 线长 开平方在Q 不能完全运算 1、 类比数系的扩充规律，引导学生找出解决“实数不够用”这个问题的办法 生：引入新数，使得平方为负数 师：我们希望引入的数的平方为负数，但是负数有无穷多个，我们不肯能一下子 引入那么多，只要引入平方为多少就行呢？ （引导学生找到1-，因为任何一个负数都可以写成正数与-1的乘积） 2、 历史重现： 在历史上数学家们碰到我们前面这个问题的时候一开始是解决不了的，导致 在此问题上徘徊了百年之久，直到18世纪末，数学家才认识到解决21x =-的重要性，于是他们就像我们一样引入新的数，使得引入的数的平方等于1-，并把这个数记为英文字母i ，就是虚构、想象的意思。
数系的构造与逐步扩充：自然数系——整数系和分数系——实数系——复数系 从自然数到有理数，两个方向的需求： （1）作为度量工具的有理数，度量时间、长度、面积、体积等能任意细分的量：度量单位——分数单位——分数。 问题1 ：为什么把叫做“有理数”？“有理”在哪里？——因为它的加法和乘法与自然数的加法和乘法有同样的规律！只要我们按照如下定义行事 bd bc ad d c b a +=+，bd ac d c b a =?，1=a a ，b a bc ac =。 在此定义下，就可以证明：自然数的算术基本规律，即交换律、结合律、分配律等，在有理数范围内仍然成立。 问题2：为什么不把加法定义为d b c a d c b a ++=+？ 逻辑上允许，但从创造一个恰当的度量工具的角度看，没有意义。例如，4 22121=+，从度量的角度看是不合适的。 （2）数学内部的需求：自然数集中，加法和乘法的“逆运算”不能通行。为此，需要引进符号0以及―1，―2，―3，……，并定义a ＜b 时，a －b ＝－(b －a )，以及在“使算术运算的运算律保持不变”的原则下，定义(－1)×(－1)＝1。 问题3：为什么不是(－1)×(－1)＝－1？ 与引入0和负整数的数学需求类似，分数的引进使得除
法消除了障碍：定义符号b a ，称为分数，它服从b ×b a =a （b ≠0）。 这样，全体有理数——整数和分数、正数和负数——的纯算术意义就清楚了。在这一扩展了的数的范围内，不仅形式上的运算律成立，而且保证加、减、乘、除的封闭性——这个封闭的数的范围叫做域。 上述数的范围的扩充过程，反映了数学推广过程的一个重要特性——使得在原来范围内成立的规律在更大的范围内仍然成立。非常幸运，从自然数到有理数的这一推广，完全满足了用数来表示度量结果的实际需要。 从有理数到无理数，也可以看成是两个方面需求的结果： （1）度量线段中发现的存在着不可公度线段——每一条这样的线段都对应着借助于单位长度而给出的一个数，这样的数就是无理数。“这是科学史上极其重要的事件，它很可能标志着数学上严格推理的起源。肯定地说，从希腊人的时代直到今天，它一直深刻地影响着数学和哲学。”（柯朗，什么是数学，72） （2）从数学内部的需求看，与有理数域的扩充类似，为了解像x 2=2这样的方程，需要构造一个比有理数域更广的实数域。
课题：§3.1 数系的扩充 授课人：江苏省盐城中学沈晓敏 【教学目标】 1．经历数的概念的发展和数系扩充的过程，体会数学发现和创造的过程，以及数学发生、发展的客观需求． 2．理解复数的基本概念及复数相等的充要条件． 3．使学生感悟与体会数学的科学价值与文化价值，提高学生的数学素养． 【教学重点】复数的引入与复数的分类． 【教学难点】复数概念的引入． 【教学过程】 一、问题情境： 问题的提出：将数字10分成两部分，使他们的乘积等于40，求这两部分？ （让学生展开讨论，提出解决问题的方案，并引导学生发现：由于负数不能开平方，从而该方程在实数范围内无解．） 二、学生活动 被誉为最后一位数学通才的彭加勒曾说：“若想预见数学的未来，正确的方法是研究它的历史和现状”．现在，还是先让我们沿着历史的足迹，重温数的发展历程即数系不断扩充的过程！（板书课题）（与学生一起回顾数学史，经历数的概念的发展和数系扩充的过程，感受数学的应用价值与文化价值，体会数学创造与发现的过程．）1．数系的扩充是生产实践与社会发展的需要． （1）计数的需要产生了自然数． （2）为了表示具有相反意义的量引入了负数，数集由自然数集扩充为整数集． （3）为了测量与分配的需要，引入了分数，数集由整数集扩充为有理数集． （4）第一次数学危机，使人们发现了无理数，数集由有理数集扩充为实数集． 2．数系的扩充是数学内部发展的需求． 从数学内部来看，数集是在按某种“规则”不断扩充的，不妨以解方
程为例： 问题1：在自然数集中方程有自然数解吗？ 问题2：在整数集中方程有自然数解吗？ 问题3：在整数集中方程有解吗？ 问题4：在有理数集中方程有解吗？ 点评：从自然数集、整数集、有理数集到实数集： （1）每一次数的概念的发展，新的数集都是在原来数集的基础 上“添加”了一种新的数得来的． （2）在新的数集中，原有的运算及其性质仍然适用，同时解决了某些运算在原来数集中不是总可以实施的矛盾． 三、意义建构 1．数集进一步扩充的必要性 问题5：方程有实数解吗？ 说明：面临方程无解，负数不能开平方的问题，表明数的概念需要进一步发展，实数集需要进一步扩充． 2．实数集扩充的方法 （1）引入新数 数集每一次的扩充，都引入了一种新数，使得到的新的数集包含了扩充前的旧数集．因此，实数集再扩充，就要引入新数．（2）引入虚数 ①历史回顾：1545年，卡尔丹在《大衍术》中写道：“要把10分成两部分，使二者乘积为40，这是不可能的，不过我却用下列方式解决了.” 能作为“数”吗？它表示什么意义呢？ ②1637年，法国数学家笛卡儿给这样的新数起名为虚数，即 “虚的数”与“实数”相对应． （3）认识复数 ①引入虚数后，数系又扩充为什么样的数集呢？ ②1777年，瑞士数学家欧拉在其论文中首次用符号“i”,它满足： i，且称为虚数单位． 四、数学理论 1．引入一个新数i，叫做虚数单位，并规定： （1）i；（说明是方程的的一个根） （2）实数可以与进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立． 2．复数的定义：形如i的数叫复数，用字母C表示，叫复数的实
第3章 数系的扩充与复数的引入 §3.1.1数系的扩充和复数的概念 【教学目标】 1．了解解方程等实际需要也是数系发展的一个主要原因，数集的扩展过程 以及复数的分类表； 2．理解复数的有关概念以及符号表示； 3．掌握复数的代数表示形式及其有关概念； 4.在问题情境中了解数系得扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数 的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以 及数与现实世界的联系． 【教学重点】引进虚数单位i 的必要性、对i 的规定以及复数的有关概念． 【教学难点】复数概念的理解． 【教学过程】 1．对数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充的过程进行概括（教师引导学生 进行简明扼要的概括和总结） 自然数 整数 有理数 无理数 实数 2．提出问题 我们知道，对于实系数一元二次方程012=+x ，没有实数根．我们能否将 实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？ 3．组织讨论，研究问题 我们说，实系数一元二次方程012=+x 没有实数根．实际上，就是在实数 范围内，没有一个实数的平方会等于负数．解决这一问题，其本质就是解决一个 什么问题呢？ 组织学生讨论，引导学生研究，最后得出结论：最根本的问题是要解决－1 的开平方问题．即一个什么样的数，它的平方会等于－1． 4．引入新数i ，并给出它的两条性质 根据前面讨论结果，我们引入一个新数i ，i 叫做虚数单位，并规定： （1）12-=i ；
（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立． 有了前面的讨论，引入新数i ，可以说是水到渠成的事．这样，就可以解决 前面提出的问题（－1可以开平方，而且－1的平方根是i ±）． 5．提出复数的概念 根据虚数单位i 的第（2）条性质，i 可以与实数b 相乘，再与实数a 相加．由 于满足乘法交换律及加法交换律，从而可以把结果写成bi a +这样，数的范围又 扩充了，出现了形如 ),(R b a bi a ∈+的数，我们把它们叫做复数． 全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C 表示，显然有： N*N Z Q R C ． 【巩固练习】 下列数中，哪些是复数，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？并分 别指出这些复数的实部与虚部各是什么？ 例1.实数m 分别取什么值时，复数z ＝m+1＋(m-1)i 是 (1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？ 分析：因为m ∈R ，所以m+1，m-1都是实数，由复数z ＝a ＋bi 是实、虚数、纯 虚数与零的条件可以确定实数m 的值． .1,0 10131,0121011为纯虚数时，即）当（为虚数；时，即）当（为实数； 时，，即）当解（z m m m z m m z m m -=???≠-=+≠≠-==- 6．提出两个复数相等的定义，即两个复数相等的充要条件是它们的实部与虚部 分别对应相等．也就是 由此容易得出： 6 cos 6sin ,,0,2,7212ππi i i i --+ ）纯虚数）虚数；（是（为何值时，复数当且练习：已知复数21,)()1(2z m R m i m i m z ∈+-+=
第3章数系的扩充与复数的引入 §3.1.1数系的扩充和复数的概念 【教学目标】 1．了解解方程等实际需要也是数系发展的一个主要原因，数集的扩展过程以及复数的分类表； 2．理解复数的有关概念以及符号表示； 3．掌握复数的代数表示形式及其有关概念； 4.在问题情境中了解数系得扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系． 【教学重点】引进虚数单位i 的必要性、对i 的规定以及复数的有关概念． 【教学难点】复数概念的理解． 【教学过程】 1．对数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充的过程进行概括（教师引导学生进行简明扼要的概括和总结） 自然数 整数有理数无理数实数2．提出问题 我们知道，对于实系数一元二次方程012x ，没有实数根．我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？ 3．组织讨论，研究问题 我们说，实系数一元二次方程012x 没有实数根．实际上，就是在实数范围内，没有一个实数的平方会等于负数． 解决这一问题，其本质就是解决一个 什么问题呢？组织学生讨论，引导学生研究，最后得出结论：最根本的问题是要解决－1的开平方问题．即一个什么样的数，它的平方会等于－ 1．4．引入新数i ，并给出它的两条性质 根据前面讨论结果，我们引入一个新数 i ，i 叫做虚数单位，并规定：（1）12i ；
（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立． 有了前面的讨论，引入新数i ，可以说是水到渠成的事．这样，就可以解决前面提出的问题（－1可以开平方，而且－1的平方根是i ）． 5．提出复数的概念 根据虚数单位i 的第（2）条性质，i 可以与实数b 相乘，再与实数a 相加．由于满足乘法交换律及加法交换律，从而可以把结果写成bi a 这样，数的范围又扩充了，出现了形如),(R b a bi a 的数，我们把它们叫做复数． 全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C 表示，显然有： N*N Z Q R C ． 【巩固练习】 下列数中，哪些是复数，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？并分别指出这些复数的实部与虚部各是什么？ 例1.实数m 分别取什么值时，复数z ＝m+1＋(m-1)i 是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？ 分析：因为m ∈R ，所以m+1，m-1都是实数，由复数z ＝a ＋bi 是实、虚数、纯 虚数与零的条件可以确定实数m 的值． . 1,010 131,0121011为纯虚数时，即）当（为虚数； 时，即）当（为实数； 时，，即）当解（z m m m z m m z m m 6．提出两个复数相等的定义，即两个复数相等的充要条件是它们的实部与虚部 分别对应相等．也就是 由此容易得出： 6 cos 6sin ,,0,2,7212i i i i ）纯虚数 ）虚数；（是（为何值时，复数当且练习：已知复数21,)()1(2z m R m i m i m z
数系的扩展历程 Jenny was compiled in January 2021
数系的扩展历程 从数学史发展的角度来看，数系扩展伊始主要是由于实践的需要。正是为了解决实践中出现的问题，人们不断将数的领域加以扩展。人们为了计量的需要，引入了自然数，这样就可以表示任何离散的对象的数目了；因为测量、天文研究等实践活动，有时候结果不能用整数表示，就有了分数；另外，由于现实生活中有很多相反的过程，如收入与支出，上升与下降，前进与后退等，要用数来表示这些过程，负数就产生了;因为现实世界中除了离散量外，还存在大量连续量，而为了刻画出连续量就必须引入无理数，从而将数系扩展到实数系。因此，实践活动的需要是数系扩展的不可缺少的动力.尤其在前期，实践的需要在促使数系发展方面起着重要作用。 数系的扩充初期是源于现实生活中的需要，后来随着数学体系的发展，数系扩展也成了数学内部体系运算封闭性的必然要求。所谓运算（如我们熟知的加、减、乘、除），抽象的看，包括一个集合与一个对应法则，这个对应法则规定了这个集合中的任意两个元素所对应的元素。若该运算对集合中的任何两个数可普遍实施，且其结果仍然在该集合中，则称该运算在这个集合上是封闭的。容易知道，加法、乘法在正整数集合上是封闭的。人们在研究加法、乘法的逆运算时，发现方程a+x=c和ax=b（这里a,b,c都是正整数）。在正整数集合内，并不是每个这样的方程都有解的。从而减法和除法对正整数并不是可以普遍施行的，事实上，2+x=2和2+x=3，2x=3就都没有正整数解。为了使这类方程可解,0和负整数分数就立即成为必要。这样，数系就扩展到有理数。我们知道，数系还要进一步扩充——实数。在这个扩充过程中，“实际需要”所起的推动作用显得更小，而更多是数学内容的需要。我们同样可以从运算的封闭性来讨论这种扩充。事实上，为了使指数运算（特殊的，比如开平方）能普遍施行，就必须有无理数，举例来说，在有理数集合内，2就没有平方根。要使开平方这种运算可以普遍施行，就要有无理数（当然，2的平方根是无理数中的一类，叫代数数，还有所谓超越数，如圆周率）。另外，数学家柯西说无理数
3.1.1数系的扩充与复数的概念邹积辉 3.1.1数系的扩充与复数的概念 引入： 大家都知道，数，是数学中的基本概念，也是我们生活和科学技术时刻离不开的语言和工具。前几天，老师遇到了这样一个与数有关的问题，大家看看该怎样解决呢？ 问题1：已知，求：（1）；（2）。 对于第二个问，学生可能出现下面几种方案得出结论， 方案一： 方案二： 方案三：通过可是 方案四： 你是怎么处理的，结论是什么？ 第二个问为什么没解出来？为什么存在着使的数，但是却求不出来，你是怎么想的呢？ 正如同学们所分析的，数的概念需要进一步发展，实数集需要扩充。这就是本节课要研究的内容——§3.3.1数系的扩充与复数的概念。 应该如何进行数的扩充呢？到目前为止，大家已经知道，数系经历了三次扩充，就让我们通过回忆，从中寻找数系扩充的方法。 请大家以四人为一组合作探讨下面的问题。 问题2：数在不断的发展，到目前为止，经历了三次扩充， （1）回顾数从自然数发展到实数的三次扩充历程。 （2）说明数集N,Z,Q,R的关系 （2）分析每一次引入新数，扩大数系的原因。 同学们说的非常好，数的这种发展一方面是生产生活的需要，另一方面也是数学本身发展的需要。
数与数之间的联系正是通过一些运算建立起来的，如果没有运算，数不过是一些孤立的符号，毫无意义，接下来让我们从运算的角度，进一步讨论数的扩充。 问题3：对于加、减、乘、除、乘方、开方这六种运算来说，在以下四个数集中， (1)任意两个数运算所得的结果是否仍然属于这个数集。 (2)试着分析，引入负数，分数，无理数对于运算的影响。 通过这个表格，我们看到，新的数集中，原有的运算律仍然适用，同时引入新数后，使得原来的某种不可以实施的运算变得可行了。 通过不断的引入新数，数系逐步扩大到了实数系。 问题4：现在我们要进行数系的再一次扩充就是要解决什么问题？怎么解决？你能具体说一说吗？ 同学们分析的很好，到目前为止，负数开偶次方的问题还没有解决，我们不妨先来研究负数开平方的问题，从运算的角度来说，也就是要解决方程在实数系中无解的问题。像大家说的，我们可以仿照前面的做法，引入一种新数，法国数学家笛卡尔给这些数起名叫虚数，即“虚的数”与“实数”相对应．这是因为最开始研究这种新数是在16世纪，而那个时候人们没能发现什么事物可以支持这样的数。 如果引入虚数，负数可以开方了，那么就有意义了。我们希望，引入虚数后，原来在实数集中给出的运算规则仍能适用。例如，在引入虚数后，我们希望能把表示成的形式。实际上任何一个负数的平方根都可以表示成一个实数与的乘积的形式，因此，意大利数学家邦贝利提出可以把看作虚数单位。 负数、分数和无理数引入时，都相应的带来了一种新的记号，那么对于虚数，用一种什么样的记号来表示呢？ 现在我们规定：（1）；（2）。
数系的扩展历程 从数学史发展的角度来看，数系扩展伊始主要是由于实践的需要。正是为了解决实践中出现的问题，人们不断将数的领域加以扩展。人们为了计量的需要，引入了自然数，这样就可以表示任何离散的对象的数目了；因为测量、天文研究等实践活动，有时候结果不能用整数表示，就有了分数；另外，由于现实生活中有很多相反的过程，如收入与支出，上升与下降，前进与后退等，要用数来表示这些过程，负数就产生了;因为现实世界中除了离散量外，还存在大量连续量，而为了刻画出连续量就必须引入无理数，从而将数系扩展到实数系。因此，实践活动的需要是数系扩展的不可缺少的动力.尤其在前期，实践的需要在促使数系发展方面起着重要作用。 数系的扩充初期是源于现实生活中的需要，后来随着数学体系的发展，数系扩展也成了数学内部体系运算封闭性的必然要求。所谓运算（如我们熟知的加、减、乘、除），抽象的看，包括一个集合与一个对应法则，这个对应法则规定了这个集合中的任意两个元素所对应的元素。若该运算对集合中的任何两个数可普遍实施，且其结果仍然在该集合中，则称该运算在这个集合上是封闭的。容易知道，加法、乘法在正整数集合上是封闭的。人们在研究加法、乘法的逆运算时，发现方程a+x=c和ax=b（这里a,b,c都是正整数）。在正整数集合内，并不是每个这样的方程都有解的。从而减法和除法对正整数并不是可以普遍施行的，事实上，2+x=2和2+x=3，2x=3就都没有正整数解。为了使这类方程可解,0和负整数分数就立即成为必要。这样，数系就扩展到有理数。我们知道，数系还要进一步扩充——实数。在这个扩充过程中，“实际需要”所起的推动作用显得更小，而更多是数学内容的需要。我们同样可以从运算的封闭性来讨论这种扩充。事实上，为了使指数运算（特殊的，比如开平方）能普遍施行，就必须有无理数，举例来说，在有理数集合内，2就没有平方根。要使开平方这种运算可以普遍施行，就要有无理数（当然，2的平方根是无理数中的一类，叫代数数，还有所谓超越数，如圆周率）。另外，数学家柯西说无理数是有理数序列的极限。如果把极限也理解为一种运算的话，有些有理数数列是收敛的，但其极限不是有理数，从某种意义上说，在有理数集合内，极限运算也不是可以普遍施行的。从这个角度看，引入无理数也是必要的。为了使“开平方”这种运算能普遍施行，还要考虑负数，为了让负数也有平方根，数系再一次扩充，引入i这个符号作为-1的平方根，从而把数系从实数扩充到了复数（当然，历史的看，引入i更多的不是为了让负数有平方根，而是研究三次方程的解法时碰到了这个无法摆脱的“幽灵”，有兴趣的读者可以从几乎任何一本数学史的专着中找到这方面内容）。 回顾数系的历史发展，似乎给人这样一种印象：数系的每一次扩充，都是在旧的数系中添加新的元素。如分数添加于整数，负数添加于正数，无理数添加于有理数，复数添加于实数。但是，现代数学的观点认为：数系的扩张，并不是在旧的数系中添加新元素，而是在旧的数系之外去构造一个新的代数系，其元素在形式上与旧的可以完全不同，但是，它包含一个与旧代数系同构的子集，这种同构必然保持新旧代数系之间具有完全相同的代数构造。当人们澄清了复数的概念后，新的问题是：是否还能在保持复数基本性质的条件下对复数进行新的扩张呢？答案是否定的。当哈米尔顿试图寻找三维空间复数的类似物时，他发现自己被迫要做两个让步：第一，他的新数要包含四个分量；第二，他必须牺牲乘法交换率。这两个特点都是对传统数系的革命。他称这新的数为“四元数”。“四元数”的出现昭示着传统观念下数系扩张的结束。
高二数学选修2-2 第3章数系的扩充与复数的引 §3.1数系的扩充及复数概念 一、教学目标： 1、经历数的概念的发展和数系的扩充的过程，体会数的概念是逐 步发展的，了解引进复数的必要性； 2、理解复数的基本概念及复数相等的充要条件． 二、教学重点、难点 重点：数系扩充的过程和方法；复数的概念、复数的代数表示及复数相等的充要条件． 难点：数系的扩充过程和方法． 三、知识链接 2.到目前为止，我们学过了哪些数集？ 四、学习过程 （一）自主学习，合作探究 阅读课本第102页，回答下列问题： 问题1：我们已经学过的数集经历了哪几次扩充？ 问题2：每一次扩充解决了哪些问题？ 问题3：这几次扩充有什么共同的特点？ 问题4：我们说，实系数一元二次方程210 x+=没有实数根．实际上，就是在实数范围内，没有一个实数的平方等于负数．解决这一问题，
其本质就是解决以下问题串：什么叫方程无解？方程是否有解与什么相关?有没有必要将实数集扩充，使得此类方程在新的数集中变得有解？ 问题5：怎样将实数集进行扩充，使得2x=-1之类方程在新的数集中有解呢？ ○1虚数单位的引入： a.新数，叫做虚数单位； b.对i的规定：； ； 注：i是一个数，与同π、e类似；产生一个新数应融入已有的数集． ○⒉复数的有关概念： a.形如的数叫做复数，通常用小写 ．．字母表示；全 体复数所组成的集合叫做，常用大写 ．．字母表示。从 而复数的代数形式为z a bi =+(,) ∈∈，a叫，b叫． a R b R b.复数的分类： 问题6：复数z a bi =+(,) ∈∈能否表示实数？ a R b R 小试牛刀：（判断） 1．若a=0,则z=a+b i (a ∈R、b ∈R)为纯虚数； 2．若z=a+b i (a ∈R、b ∈R)为纯虚数,则a=0． 3. 若a，b为实数，则i +必为虚数 a b