一、等差数列选择题
1.已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足:21<
B .21m +
C .22m +
D .23m +
2.数列{}n a 是项数为偶数的等差数列,它的奇数项的和是24,偶数项的和为30,若它的末项比首项大21
2
,则该数列的项数是( ) A .8
B .4
C .12
D .16
3.等差数列{}n a 中,已知14739a a a ++=,则4a =( ) A .13
B .14
C .15
D .16
4.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和.若1476a a a ++=,则7S =( ) A .10-
B .8
C .12
D .14
5.为了参加学校的长跑比赛,省锡中高二年级小李同学制定了一个为期15天的训练计划.已知后一天的跑步距离都是在前一天的基础上增加相同距离.若小李同学前三天共跑了
3600米,最后三天共跑了10800米,则这15天小李同学总共跑的路程为( ) A .34000米 B .36000米 C .38000米 D .40000米
6.等差数列{}n a 中,12318192024,78a a a a a a ++=-++=,则此数列的前20项和等于( ) A .160
B .180
C .200
D .220
7.已知数列{}n a 的前n 项和2
21n S n n =+-,则13525a a a a +++
+=( )
A .350
B .351
C .674
D .675
8.若两个等差数列{}n a ,{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ,且3221n n S n T n +=+,则12
15
a b =( ) A .
3
2
B .
7059
C .
7159
D .85
9.题目文件
丢失!
10.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,11
2
a =
,2n ≥且*n ∈N ,满足120n n n a S S -+=,数列1n S ??
????
的前n 项和为n T ,则下列说法中错误的是( )
A .21
4
a =-
B .
648
211S S S =+
C .数列{}12n n n S S S +++-的最大项为
712
D .1121
n n n n n
T T T n n +-=
++ 11.数学著作《孙子算经》中有这样一个问题:“今有物不知其数,三三数之剩二(除以3余2),五五数之剩三(除以5余3),问物几何?”现将1到2020共2020个整数中,同时满足“三三数之剩二,五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列,构成数列{},n a 则该数列共有( ) A .132项
B .133项
C .134项
D .135项
12.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若5620a a +=,11132S =,则{}n a 的公差为( ) A .2
B .
4
3
C .4
D .4-
13.《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著,约成书于公元466-485年间.其中记载着这么一道“女子织布”问题:某女子善于织布,一天比一天织得快,且每日增加的数量相同.已知第一日织布4尺,20日共织布232尺,则该女子织布每日增加( )尺 A .
47
B .
1629
C .
815
D .
45
14.在等差数列{a n }中,已知a 5=3,a 9=6,则a 13=( ) A .9 B .12 C .15 D .18 15.若等差数列{a n }满足a 2=20,a 5=8,则a 1=( )
A .24
B .23
C .17
D .16
16.在数列{}n a 中,11a =,且11n
n n
a a na +=+,则其通项公式为n a =( ) A .
2
1
1n n -+ B .2
1
2n n -+
C .22
1
n n -+
D .2
2
2
n n -+
17.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若542S S =,248a a +=,则5a 等于( ) A .6
B .7
C .8
D .10
18.在1与25之间插入五个数,使其组成等差数列,则这五个数为( )
A .3、8、13、18、23
B .4、8、12、16、20
C .5、9、13、17、21
D .6、10、14、18、22
19.等差数列{}n a 中,若26a =,43a =,则5a =( ) A .
32
B .
92
C .2
D .9
20.设n S 是等差数列{}n a (*n N ∈)的前n 项和,且141,16a S ==,则7a =( ) A .7
B .10
C .13
D .16
二、多选题21.题目文件丢失!
22.若数列{}n a 满足112,02
121,1
2
n n n n n a a a a a +?
≤≤??=??-<?,135a =,则数列{}n a 中的项的值可能为
( ) A .
1
5
B .
25
C .
45
D .
65
23.设等比数列{}n a 的公比为q ,其前n 项和为n S ,前n 项积为n T ,并且满足条件
11a >,66771
1,
01
a a a a -><-,则下列结论正确的是( ) A .01q <<
B .681a a >
C .n S 的最大值为7S
D .n T 的最大值为6T
24.首项为正数,公差不为0的等差数列{}n a ,其前n 项和为n S ,则下列4个命题中正确的有( )
A .若100S =,则50a >,60a <;
B .若412S S =,则使0n S >的最大的n 为15;
C .若150S >,160S <,则{}n S 中7S 最大;
D .若89S S <,则78S S <.
25.{} n a 是等差数列,公差为d ,前项和为n S ,若56S S <,678S S S =>,则下列结论正确的是( ) A .0d <
B .70a =
C .95S S >
D .170S <
26.已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,67S S <,且78S S >,则( ) A .在数列{}n a 中,1a 最大 B .在数列{}n a 中,3a 或4a 最大 C .310S S =
D .当8n ≥时,0n a <
27.已知数列{}n a 的前n 项和为,n S 2
5,n S n n =-则下列说法正确的是( )
A .{}n a 为等差数列
B .0n a >
C .n S 最小值为214
-
D .{}n a 为单调递增数列
28.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,公差为d .已知312a =,120S >,70a <则( )
A .60a >
B .数列1n a ??
?
???
是递增数列 C .0n S <时,n 的最小值为13
D .数列n n S a ??
????
中最小项为第7项
29.下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题,其中的真命题为( ). A .数列{}n a 是递增数列 B .数列{}n na 是递增数列 C .数列{
}n
a n
是递增数列 D .数列{}3n a nd +是递增数列
30.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若90a <,100a >,则下列结论正确的是( ) A .109S S >
B .170S <
C .1819S S >
D .190S >
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一、等差数列选择题 1.C 【分析】
首先根据数列的通项n a 与n S 的关系,得到10m a +>,2<0m a +,12+>0m m a a ++,再根据选项,代入前n 项和公式,计算结果. 【详解】
由21<
=
+,
()()()1232322323<02
m m m m a a S m a +++++==+, ()()()()1222212211>02
m m m m m a a S m a a ++++++=
=
++.
故选:C.
【点睛】
关键点睛:本题的第一个关键是根据公式11
,2
,1n n n S S n a S n --≥?=?
=?,判断数列的项的正负,
第二个关键能利用等差数列的性质和公式,将判断和的正负转化为项的正负. 2.A
【分析】
设项数为2n ,由题意可得()21
212
n d -?=,及6S S nd -==奇偶可求解. 【详解】
设等差数列{}n a 的项数为2n , 末项比首项大
212
, ()212121;2
n a a n d ∴-=-?=① 24S =奇,30S =偶,
30246S S nd ∴-=-==奇偶②.
由①②,可得3
2
d =,4n =, 即项数是8, 故选:A. 3.A 【分析】
利用等差数列的性质可得1742a a a +=,代入已知式子即可求解. 【详解】
由等差数列的性质可得1742a a a +=, 所以1474339a a a a ++==,解得:413a =, 故选:A 4.D 【分析】
利用等差数列下标性质求得4a ,再利用求和公式求解即可 【详解】
147446=32a a a a a ++=∴=,则()
177477142
a a S a +=
== 故选:D 5.B 【分析】
利用等差数列性质得到21200a =,143600a =,再利用等差数列求和公式得到答案. 【详解】
根据题意:小李同学每天跑步距离为等差数列,设为n a ,
则123233600a a a a ++==,故21200a =,13141514310800a a a a ++==,故
143600a =,
则()()11521411
151********
n S a a a a =
+?=+?=. 故选:B. 6.B 【分析】
把已知的两式相加得到12018a a +=,再求20S 得解. 【详解】
由题得120219318()()()247854a a a a a a +++++=-+=, 所以1201203()54,18a a a a +=∴+=. 所以2012020
()10181802
S a a =+=?=. 故选:B 7.A 【分析】
先利用公式11,1,2
n n n S n a S S n -=?=?-≥?求出数列{}n a 的通项公式,再利用通项公式求出
13525a a a a +++
+的值.
【详解】
当1n =时,2
1112112a S ==+?-=;
当2n ≥时,()
()()2
2
121121121n n n a S S n n n n n -??=-=+---+--=+??
.
12a =不适合上式,
2,121,2n n a n n =?∴=?+≥?
.
因此,()()
3251352512127512235022
a a a a a a ?+?+++++=+
=+=;
故选:A. 【点睛】
易错点睛:利用前n 项和n S 求通项n a ,一般利用公式11,1
,2n n
n S n a S S n -=?=?-≥?,但需要验证
1a 是否满足()2n a n ≥.
8.C 【分析】
可设(32)n S kn n =+,(21)n T kn n =+,进而求得n a 与n b 的关系式,即可求得结果. 【详解】
因为{}n a ,{}n b 是等差数列,且
3221
n n S n T n +=+, 所以可设(32)n S kn n =+,(21)n T kn n =+,
又当2n 时,有1(61)n n n a S S k n -=-=-,1(41)n n n b T T k n -=-=-, ∴
1215(6121)71(4151)59
a k
b k ?-==?-, 故选:C .
9.无
10.D 【分析】
当2n ≥且*
n ∈N 时,由1n n n a S S -=-代入120n
n n a S S -+=可推导出数列1n S ??
????
为等差数列,确定该数列的首项和公差,可求得数列1n S ??
?
???
的通项公式,由221a S S =-可判断A 选项的正误;利用n S 的表达式可判断BC 选项的正误;求出n T ,可判断D 选项的正误. 【详解】
当2n ≥且*n ∈N 时,由1n n n a S S -=-, 由120n n n a S S -+=可得11111
2020n n n n n n
S S S S S S ----+=?
-+=, 整理得
1
112n n S S --=(2n ≥且n +∈N ). 则1n S ???
???
为以2为首项,以2为公差的等差数列()12122n n n S ?=+-?=,12n S n ∴=. A 中,当2n =时,221111
424
a S S =-=-=-,A 选项正确; B 中,1n S ??
?
???
为等差数列,显然有648211S S S =+,B 选项正确; C 中,记()()
1212211221n n n n b S S n n n S ++=+-=
+-++, ()()()
1123111
212223n n n n b S S S n n n ++++=+-=+-+++,
()()()
1111602223223n n n b b n n n n n n ++∴-=
--=-<++++,故{}n b 为递减数列, ()1123max 1117
24612
n b b S S S ∴==+-=
+-=,C 选项正确;
D 中,
12n n S =,()()2212
n n n T n n +∴==+,()()112n T n n +∴=++. ()()()()()()111121121
11n n n n T T n n n n n n n n n n n n n n +-=?++?++=+--+++++222122212n n n n n n T =-++=+-≠,D 选项错误.
故选:D . 【点睛】
关键点点睛:利用n S 与n a 的关系求通项,一般利用11,1
,2n n
n S n a S S n -=?=?-≥?来求解,在变形
过程中要注意1a 是否适用,当利用作差法求解不方便时,应利用1n n n a S S -=-将递推关系转化为有关n S 的递推数列来求解. 11.D 【分析】
由题意抽象出数列是等差数列,再根据通项公式计算项数. 【详解】
被3除余2且被5除余3的数构成首项为8,公差为15的等差数列,记为{}n a ,则
()8151157n a n n =+-=-,令1572020n a n =-≤,解得:2
135
15
n ≤, 所以该数列的项数共有135项. 故选:D 【点睛】
关键点点睛:本题以数学文化为背景,考查等差数列,本题的关键是读懂题意,并能抽象出等差数列. 12.C 【分析】
由等差数列前n 项和公式以及等差数列的性质可求得6a ,再由等差数列的公式即可求得公差. 【详解】 解:
()111116
11111322
a a S a
+?=
==,
612a ∴=,
又
5620a a +=,
58a ∴=,
654d a a ∴=-=.
故选:C . 13.D
【分析】
设该妇子织布每天增加d 尺,由等差数列的前n 项和公式即可求出结果 【详解】
设该妇子织布每天增加d 尺, 由题意知202019
2042322
S d ?=?+=, 解得45
d =
. 故该女子织布每天增加4
5
尺. 故选:D 14.A 【分析】
在等差数列{a n }中,利用等差中项由95132a a a =+求解. 【详解】
在等差数列{a n }中,a 5=3,a 9=6, 所以95132a a a =+,
所以139522639a a a =-=?-=, 故选:A 15.A 【分析】 由题意可得52820
45252
a a d --===---,再由220a =可求出1a 的值 【详解】 解:根据题意,52820
45252
a a d --===---,则1220(4)24a a d =-=--=, 故选:A. 16.D 【分析】
先由11n n n a a na +=+得出111n n n a a +-=,再由累加法计算出212
2
n n n a -+=,进而求出n a .
【详解】 解:11n
n n
a a na +=
+, ()11n n n a na a ++=∴,
化简得:11n n n n a a a a n ++=+, 两边同时除以1n n a a +并整理得:
111
n n
n a a +-=, 即
21
11
1a a -=,32112a a -=,43113a a -=,…,1111(2,)n n n n n z a a --
=-≥∈, 将上述1n -个式子相加得:
213243111111+a a a a a a --+-+ (1)
11
123n n a a -+-=+++…1n +-, 即
111(1)
2
n n n a a --=, 2111(1)(1)2=1(2,)222
n n n n n n n n n z a a ---+∴=++=≥∈, 又
1
1
1a =也满足上式, 212()2
n n n n z a -+∴=∈, 2
2
()2
n a n z n n ∴=
∈-+. 故选:D. 【点睛】 易错点点睛:利用累加法求数列通项时,如果出现1n -,要注意检验首项是否符合. 17.D 【分析】
由等差数列的通项公式及前n 项和公式求出1a 和d ,即可求得5a . 【详解】
解:设数列{}n a 的首项为1a ,公差为d , 则由542S S =,248a a +=,
得:111154435242238a d a d a d a d ???
?+=+ ??
?+++=?????
,
即
{
1132024
a d a d +-+=, 解得:
{
123
a d =-=,
51424310a a d ∴=+=-+?=.
故选:D. 18.C 【分析】
根据首末两项求等差数列的公差,再求这5个数字.
【详解】
在1与25之间插入五个数,使其组成等差数列,
则171,25a a ==,则71251
4716
a a d --=
==-, 则这5个数依次是5,9,13,17,21. 故选:C 19.A 【分析】
由2a 和4a 求出公差d ,再根据54a a d =+可求得结果. 【详解】
设公差为d ,则42363
4222a a d --=
==--, 所以5433322
a a d =+=-=. 故选:A 20.C 【分析】
由题建立关系求出公差,即可求解. 【详解】
设等差数列{}n a 的公差为d ,
141,16a S ==,
41464616S a d d ∴=+=+=,2d ∴=, 71613a a d ∴=+=.
故选:C
二、多选题 21.无
22.ABC 【分析】
利用数列{}n a 满足的递推关系及13
5
a =
,依次取1,2,3,4n =代入计算2345,,,a a a a ,能得到数列{}n a 是周期为4的周期数列,得项的所有可能值,判断选项即得结果. 【详解】
数列{}n a 满足112,02
121,1
2n n n n n a a a a a +?
≤≤??=??-<?,135a =,依次取1,2,3,4,...n =代入计算得,
211215a a =-=
,32225a a ==,43425a a ==,5413
215
a a a =-==,因此继续下去会循环,数列{}n a 是周期为4的周期数列,所有可能取值为:1234
,,,5555
. 故选:ABC. 【点睛】
本题考查了数列的递推公式的应用和周期数列,属于基础题. 23.AD 【分析】
分类讨论67,a a 大于1的情况,得出符合题意的一项. 【详解】
①671,1a a >>, 与题设
671
01
a a -<-矛盾. ②671,1,a a ><符合题意. ③671,1,a a <<与题设
671
01
a a -<-矛盾. ④ 671,1,a a <>与题设11a >矛盾.
得671,1,01a a q ><<<,则n T 的最大值为6T .
∴B ,C ,错误.
故选:AD. 【点睛】
考查等比数列的性质及概念. 补充:等比数列的通项公式:()1
*
1n n a a q n N -=∈.
24.ABD 【分析】
利用等差数列的求和公式及等差数列的性质,逐一检验选项,即可得答案. 【详解】
对于A :因为正数,公差不为0,且100S =,所以公差0d <, 所以1101010()
02
a a S +=
=,即1100a a +=, 根据等差数列的性质可得561100a a a a +=+=,又0d <, 所以50a >,60a <,故A 正确; 对于B :因为412S S =,则1240S S -=,
所以561112894()0a a a a a a ++???++=+=,又10a >, 所以890,0a a ><, 所以115815815()15215022a a a S a +?=
==>,116891616()16()
022
a a a a S ++===, 所以使0n S >的最大的n 为15,故B 正确; 对于C :因为1158
15815()15215022
a a a S a +?=
==>,则80a >, 116891616()16()022
a a a a S ++=
==,则890a a +=,即90a <, 所以则{}n S 中8S 最大,故C 错误;
对于D :因为89S S <,则9980S a S =->,又10a >, 所以8870a S S =->,即87S S >,故D 正确, 故选:ABD 【点睛】
解题的关键是先判断d 的正负,再根据等差数列的性质,对求和公式进行变形,求得项的正负,再分析和判断,考查等差数列性质的灵活应用,属中档题. 25.ABD 【分析】
结合等差数列的性质、前n 项和公式,及题中的条件,可选出答案. 【详解】
由67S S =,可得7670S S a -==,故B 正确; 由56S S <,可得6560S S a -=>, 由78S S >,可得8780S S a -=<,
所以876a a a <<,故等差数列{}n a 是递减数列,即0d <,故A 正确; 又()9567897820S S a a a a a a -=+++=+<,所以95S S <,故C 不正确; 又因为等差数列{}n a 是单调递减数列,且80a <,所以90a <, 所以()
117179171702
a a S a +=
=<,故D 正确.
故选:ABD. 【点睛】
关键点点睛:本题考查等差数列性质的应用,解题的关键是熟练掌握等差数列的增减性及前n 项和的性质,本题要从题中条件入手,结合公式()12n n n a S S n --≥=,及
()
12
n n n a a S +=
,对选项逐个分析,可判断选项是否正确.考查学生的运算求解能力与逻辑推理能力,属于中档题.
26.AD 【分析】
利用等差数列的通项公式可以求70a >,80a <,即可求公差0d <,然后根据等差数列的性质判断四个选项是否正确. 【详解】
因为67S S <,所以7670S S a -=> , 因为78S S >,所以8780S S a -=<, 所以等差数列{}n a 公差870d a a =-<, 所以{}n a 是递减数列,
故1a 最大,选项A 正确;选项B 不正确;
10345678910770S S a a a a a a a a -=++++++=>,
所以310S S ≠,故选项C 不正确;
当8n ≥时,80n a a ≤<,即0n a <,故选项D 正确; 故选:AD 【点睛】
本题主要考查了等差数列的性质和前n 项和n S ,属于基础题. 27.AD 【分析】
利用11,1
,2n n
n S n a S S n -=?=?-≥?求出数列的通项公式,可对A ,B ,D 进行判断,对
25,n S n n =-进行配方可对C 进行判断
【详解】
解:当1n =时,11154a S ==-=-,
当2n ≥时,22
15[(1)5(1)]26n n n a S S n n n n n -=-=-----=-,
当1n =时,14a =-满足上式, 所以26n a n =-,
由于()122n n a a n --=≥,所以数列{}n a 为首项为4-,公差为2的等差数列, 因为公差大于零,所以{}n a 为单调递增数列,所以A ,D 正确,B 错误, 由于2
2
525
5()2
4
n S n n n =-=--
,而n ∈+N ,所以当2n =或3n =时,n S 取最小值,且最小值为6-,所以C 错误, 故选:AD 【点睛】
此题考查,n n a S 的关系,考查由递推式求通项并判断等差数列,考查等差数列的单调性和
前n 项和的最值问题,属于基础题 28.ACD 【分析】 由已知得()
()612112712+12+2
2
0a a a a S ==
>,又70a <,所以6>0a ,可判断A ;由已知
得出24
37
d -
<<-,且()12+3n a n d =-,得出[]1,6n ∈时,>0n a ,7n ≥时,0n a <,又
()1112+3n a n d =-,可得出1n
a 在1,6n n N
上单调递增,
1
n
a 在7n n
N ,
上单调递增,可判断B ;由()
313117
713+12
2
03213a a a S a ?=
=<=
,可判断C ;判断 n a ,n S 的符号, n a 的单调性可判断D ; 【详解】
由已知得311+212,122d a a a d ===-,()
()612112712+12+2
2
0a a a a S =
=
>,又
70a <,所以6>0a ,故A 正确;
由716167
1+612+40+512+3>0+2+1124+7>0
a a d d a a d d a a a d d ==?==??==?,解得24
37d -<<-,又()()3+312+3n a n d n d a =-=-,
当[]1,6n ∈时,>0n a ,7n ≥时,0n a <,又()11
12+3n a n d =-,所以[]1,6n ∈时,1>0n
a ,7n ≥时,1
0n a <,
所以1
n
a 在1,6n
n N
上单调递增,1
n
a 在7n
n N ,上单调递增,所
以数列1n a ??
????
不是递增数列,故B 不正确;
由于()
313117
713+12
2
03213a a a S a ?=
=<=
,而120S >,所以0n S <时,n 的最小值为13,故C 选项正确 ;
当[]1,6n ∈时,>0n a ,7n ≥时,0n a <,当[]1,12n ∈时,>0n S ,13n ≥时,
0n S <,所以当[]7,12n ∈时,0n a <,>0n S ,
0n
n
S a <,[]712n ∈,时,n a 为递增数
列,n S 为正数且为递减数列,所以数列n n S a ??
????
中最小项为第7项,故D 正确; 【点睛】
本题考查等差数列的公差,项的符号,数列的单调性,数列的最值项,属于较难题. 29.AD 【分析】
根据等差数列的性质,对四个选项逐一判断,即可得正确选项. 【详解】
0d >,10n n a a d +-=> ,所以{}n a 是递增数列,故①正确,
()()2
111n na n a n d dn a d n =+-=+-????,当12d a n d -<时,数列{}n na 不是递增数列,故②不正确, 1n a a d d n n -=+,当10a d -<时,{}n a n 不是递增数列,故③不正确, 134n a nd nd a d +=+-,因为0d >,所以{}3n a nd +是递增数列,故④正确,
故选:AD 【点睛】
本题主要考查了等差数列的性质,属于基础题. 30.ABD 【分析】
先根据题意可知前9项的和最小,判断出A 正确;根据题意可知数列为递减数列,则
190a >,又181919S S a =-,进而可知1516S S >,判断出C 不正确;利用等差中项的性质
和求和公式可知()0117917917
217
172
2
a a a S a <+??=
=
=,()11910191019
219
1902
2
a a a S a +??=
=
=>,故BD 正确. 【详解】
根据题意可知数列为递增数列,90a <,100a >,
∴前9项的和最小,故A 正确;
()117917917
217
1702
2a a a S a +??===<,故B 正确; ()11910191019
219
1902
2
a a a S a +??=
=
=>,故D 正确; 190a >, 181919S S a ∴=-, 1819S S ∴<,故C 不正确.
故选:ABD .
【点睛】
本题考查等差数列的综合应用,考查逻辑思维能力和运算能力,属于常考题.