坐标系与参数方程
考向一：伸缩变换
考向二：极坐标系与简单曲线的极坐标方程
极坐标与直角坐标的互化
???=='sin cos θρθρy x ??
?
??≠=+=)
0(tan 2
22x x y
y x θρ 【例】点M
的直角坐标是(1-，则点M 的极坐标为（ ） A ．(2,)3π
B ．(2,)3π-
C ．2(2,
)3π D ．(2,2),()3
k k Z π
π+∈
【解析】
2ρ=
,
tan 1
θ=
=-,因为点(-在第二象限,所以23
π
θ=
．所以点M 的极坐标为2(2,)3π．故C 正确． 【例】在极坐标系中，点)65,2(π到直线4)3
sin(=-π
θρ的距离为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
【解析】化极坐标为普通直角坐标，点)
65,
2(π的坐标52c o s 6
x π
==，
52sin
16
y π
==，所以点为
(，因
为
11sin()(sin )43
2
2
y πρθρθθ-===，
所以直线普通方程为
80
y -+=，由点到直线的距离公式得2d =
=，故选B ．
【例】已知圆的直角坐标方程为2220x y y +-=．在以原点为极点，x 轴正半轴为
极轴的极坐标系中，该圆的方程为（ ）
A ．2cos ρθ=
B ．2sin ρθ=
C ．2cos ρθ=-
D ．2sin ρθ=-
【解析】法一：利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用
222cos ,sin ,x y x y ρθρθρ===+，进行代换，
圆的直角坐标方程为2220x y y +-=，所以2
2sin 0ρρθ-=，即2sin ρθ=．
法二：圆的直角坐标方程为2220x y y +-=，即()2
211x y +-=，
设
()
,M ρθ是圆C 上任一点，MOx θ∠=，若θ为钝角，则
()sin sin πθθ
-=
所以2sin θρ=．
【练1】以下各点坐标与点)3
,5(π
-M 不同的是（ ）
A ．)3
,5(π
-
B ．)3
4,
5(π
C ．)32,5(π-
D ．)35,5(π--
【练2】坐标系中，圆θρsin 2-=的圆心的极坐标是（ ） A ．(1,
)2π B ．(1,)2
π
- C ． ()0,1 D ． ()π,1 【练3】在极坐标中，点??
?
?
?
4,
2π到圆θρcos 2=的圆心的距离为_____________ 【练4】在极坐标系中，经过点)3
,4(π
且与极轴垂直的直线的极坐标方程
为 ．
【练5】在极坐标中，与圆4sin ρθ=相切的一条直线方程为
A ．sin 2ρθ=
B ．cos 2ρθ=
C ．cos 4ρθ=
D ．cos 4ρθ=-
【练6】在极坐标系中，定点π1,
2A ??
???
，动点B 在直线cos sin 0ρθρθ+=上运动，当线段AB 最短时，动点B 的极坐标是
A ．π)4
B ．3π)4
C ．π)4
D ．3π)4
【解析1】因为(5,)(5,)(5,2)(5,2)
3333M M M M ππππ
ππππ-?+?+-?--，所以选
A ．
【解析2】()2
2222
2sin 2sin 211x y y x y ρθρρθ=-∴=-∴+=-∴++=，圆心为
()0,1-，极坐标为(1,)2π
-
【解析3】将圆θρcos 2=的化为直角坐标方程
()222222cos 211x y x x y ρρθ=?+=?-+=，点??? ?
?4,2π得直角坐标为()1,1，
则点()1,1到圆心()1,0的距离为1
【解析4】设所求直线上任一点(,)P ρθ,则由题意得：
cos 4cos ,cos 2
3
π
ρθρθ==
【解析5】根据题意可知圆4sin ρθ=的平面直角坐标方程为2240x y y +-=，化为标准式为22(2)4x y +-=，可以发现，与坐标轴平行的圆的切线为
2,0,4x y y =±==，所以选项中满足条件的是2,x =即cos 2ρθ=，故选B ．
【解析6】A 的直角坐标为()0,1，线段AB 最短即AB 与直线0x y +=垂直，设B 的直角坐标为(),a a -，则AB 斜率为
11a a --=，1
2
a =-，所以B 的直角坐标为
11,22??
- ?
??
，极坐标为3π()24.故选B.
考向三：直线与圆锥曲线的参数方程
【例】若直线l 的参数方程为?
??-=+-=t y t
x 4332（t 为参数），则直线l 的倾斜角的余弦值为
（ ） A ．54- B ．5
3
- C ．53 D ．54
【解析】化参数方程为普通方程4310x y +-=，所以43k =-
，即4
tan 3
α=-，从而3
cos 5
α=-，故选B ．
【例】已知直线00x x at
y y bt =+??=+?
（t 为参数）上两点A ，B 对应的参数值是t 1，t 2，则|AB|
等于（ ）
A ．|t 1＋t 2|
B ．|t 1－t 2| C
12|t t - D
【解析】依题意，0000
x x x x at t y y bt y y ?
=+?
=+??
?=?
?=+??=+??
，由直线参数方程几何
意义得1212|||||AB m m t t =-=-，选C ．
【例】若点P 为曲线1cos 1sin x y θ
θ=+??=+?
（θ为参数）上一点，则点P 与坐标原点的最短距
离为（ ）
A
1 B
C
D ．2
【解析】
222||(1cos )(1sin )32(sin cos )3)4
OP π
θθθθθ=+++=++=++，
所以 2
||OP
的最小值为：3-，即||OP
1=．
【例】设(),P x y 是曲线2cos :sin x C y θ
θ
=-+??
=?（θ为参数,02θπ≤<）上任意一点，则
y
x
的取值范围是（ ） A
．?? B
．
(
)
,-∞?+∞
C
．???? D
．,??-∞?+∞ ? ?????
【解析】曲线
2cos :sin x C y θθ=-+??
=?（θ为参数,02θπ≤<）的普通方程为：()()2
2
21,,x y P x y ++=是曲线()2
2
:21C x y ++=上任意一点，则y
x 的几何意义就
是圆上的点与坐标原点连线的斜率， 如图：
y x ?∈???
．故选C ．
【例】若P ),(n m 为椭圆)(sin cos 3为参数θθ
θ
???==y x 上的点，则n m +的取值范围
是 ．
【解析】依题意可得sin m n θ
θ?=??=??
,
1sin 2sin 2sin 223m n πθθθθθ???
?∴+=+=+=+ ? ? ?????
, R θ∈ , []sin 1,13πθ?
?∴+∈- ??
?, []2sin 2,23πθ??∴+∈- ???.即[]2,2m n +∈-
【练1】参数方程2
2
2sin sin x y θ
θ
?=+??=??（θ为参数）化为普通方程为（ ） A ．2y x =- B ．2y x =+ C ．2(23)y x x =-≤≤ D ．2(01)y x y =+≤≤
【练2】直线34x t
y t
=-??=+? ，（t 为参数)上与点(3,4)P
A ．)3,4(
B ．)5,4(-或)1,0(
C ．)5,2(
D ．)3,4(或)5,2(
【练3】在直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线???+=+=θ
θ
sin 4cos 3:1y x C （θ为参数）和曲线1:2=ρC 上，则AB 的最
小值为_______．
【练4】直线2()1x t
t y t =-+??=-?
为参数被圆35cos 15sin x y θθ=+??
=-+? ()θθπ∈为参数,[0,2)所截得的弦长为 ．
【练5】直线l 的斜率1-=k ，经过点)1,2(0-M ,点M 在直线l 上，以M 0的数量t 为参数，则直线l 的参数方程为 ．
【解析1】由题：02112c o s 1s i n
22
2
=--?=-+-??????
=-=-y x y x y x θ
θ，又因为
[]1,0s i n 2
∈θ，故[]3,2∈x
【解析2】根据直线参数方程中t 的几何意义，可知满足条件的t 的值为1±，所以对应的点的坐标为)3,4(或)5,2(，故选D ．
【解析3】由参数方程与极坐标方程化普通方程为22(3)(4)1x y -+-=和221x y +=，即求两个圆上点A ，B 间的最小距离，由圆的几何性质知，AB 的最小值等于圆心距去掉两个半径，圆心距等于5，所以min 5113AB =--=，所以答案应填：3． 【解析4】由题意，得直线与圆的普通方程分别为01=++y x 与
()()
25132
2
=++-y x ，则弦心距2
3
2
113=
+-=
d ，则弦长为822
9
252222=-
=-d r ． 【解析5】0
135=α,所以2
2
si n ,22c o s =
-
=αα，代入直线的参数方程
，2,212
x t y ?=-???
?=-+??（t 为参数）．
考向四：坐标系与参数方程综合
【例】在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴且单位长度相同建立
极坐标系， 42sin 22cos x y αα=-??=--?（α为参数）与曲线
24cos 21ρρθ-=的交点个数为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【解析】参数方程化为普通方程为()()2
2
424x y -++=，圆心为()4,2-，半径为
12r =，曲线极坐标方程化直角坐标方程为()2
2225x y -+=，圆心为()2,0，半径
25r =
，所以圆心距21d r r ==<-，所以两圆内含，无交点
【例】在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标
系．已知曲线C 的方程为2,
2x t y t
?=?=?（t 为参数）,直线l 的方程为
cos sin 0k k ρθρθ--=（k 为实数），若直线l 交曲线C 于A ，B 两点，F 为曲线C 的焦点，则11AF BF
+的值为_________．
【解析】曲线C 的方程为2,2x t y t
?=?=?（t 为参数），化为2
4y x =，其焦点()10F ，．直线l
的方程为cos sin 0k k ρθρθ--=（k 为实数），0kx y k --=，化为()1y k x =-．设
()()1122
A x y
B x y ，，，．联立()214y k x y x =-=???
，化为()2222420k x k x k -++=，2
12122
421k x x x x k ++==，．∴1211AF x BF x =+=+，．∴
2
21221212122
1111(4222142111
)11
k x x k k x A x F BF x x x x k ++++=+===+++++++++．
【练1】已知直线t t
y t
x (12??
?+=+=为参数）与曲线C ：03cos 42=+-θρρ交于B A ,两
点，则=AB （ ）A ．1 B ．
21 C ．2
2 D ．2 【练2】以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程是1
3
x t y t =+??
=-?，（t 为参数），圆C 的
极坐标方程是θρcos 4=则直线l 被圆C 截得的弦长为（ ）
A
．142 C ．2 D ．22
【解析1】将直线化为普通方程为10x y --=,将曲线C 化为直角坐标方程为
22430x y x +-+=,即()2
221x y -+=,所以曲线C 为以()2,0为圆心,半径1r =的
圆．圆心()2,0到直线10x y --=的距离
2
d =
=
． 根据2
22
2AB d r ??+= ???
,解得AB =D 正确．
【解析2】直线的普通方程为40x y --=，圆的直角坐标方程为()2
2
24x y -+=，
圆心到直线的距离d
=
=2
222l d r l ??
+=∴= ???
考向五：简单最值问题
【例】设点P 在曲线2sin =θρ上,点Q 在曲线1cos sin x y θθ
=+??=?（θ为参数）上,求|PQ |的
最小值（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【解析】首先把两曲线化为直角坐标方程：2
2
2,(1)1y x y =-+=，数形结合知过x=1的直线与圆相交的较近的两点间的距离就是
PQ
的最小值．
【例】已知直线:40l x y -+=与圆{
12cos 12sin :x y C θθ
=+=+，则C 上各点到l 的距离的最小
值为_____________．
【解析】根据题意可知圆C 为以(1,1)为圆心，以2为半径的圆，又圆心到直线的距离
为d =
=C 上各点到l 的距离的最小值为2．
【例】已知曲线1C 的参数方程为4cos [2]sin x y θθππθ=-+?∈?=?
，
，，，若以坐标原点O 为极点，x
轴正半轴为极轴，曲线2C 的极坐标方程为sin 0,0,42ππρθρθ?
????+=>∈? ????????，那么
C 1上的点到曲线C 2上的点的距离的最小值为 ．
【解析】将4cos [2]sin x y θθππθ=-+?∈?
=?，，，
化成()1422
=++y x 0≤y ，它表示以()0,4-为
圆心，半径为1
的下半圆；sin 0,0,42ππρθρθ?
????+=>∈? ????????化为
2c o s s i n =+θρθρ，即()2002≤≤=-+x y x ，它表示一条线段；作出两者图像，
由图像，得么1C 上的点到曲线2C 上的点的距离的最小值为()2,0M 与()0,3-B 间的距离，即为13.
坐标系与参数方程小题综合练习
1．4
π
θ=
)0(≤ρ表示的图形是（ ）
A ．一条射线
B ．一条直线
C ．一条线段
D ．圆 2．化极坐标方程2cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为（ ）
A ．221x y +=或1y =
B ．1x =
C ．221x y +=或1x =
D ．1y = 3．极坐标方程()()()100ρθπρ--=≥表示的图形是（） A ．两个圆 B ．两条直线
C ．一个圆和一条射线
D ．一条直线和一条射线 4．下列在曲线sin 2()cos sin x y θ
θθθ
=??
=+?为参数上的点是（ ）
A
．1(,2
B ．31
(,)42
-
C
． D
． 5．在极坐标系中，设圆C ：4cos ρθ=与直线:(R)4
l π
θρ=∈交于A ，B 两点，求以
AB 为直径的圆的极坐标方程为（ ） A
．)4π
ρθ=+
B
．)4π
ρθ=- C
．)4πρθ=+
D
．)4
π
ρθ=- 6．极坐标系下，直线2)4
cos(=-
π
θρ与圆2=ρ的公共点个数是________；
7．已知圆C 的参数方程为cos ,
(1sin .x y ααα=??=+?
为参数），直线l 的极坐标方程为sin 1ρθ=，
则直线l 与圆C 的交点的直角坐标为 ．
8．在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为45
35x a t y a t
?
=+????=--??
（t 为参数）．在极坐标系
（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，若直线l 平分圆C 的周长，则a = ．
9．若点(3,)P m 在以点F 为焦点的抛物线2
44x t y t
?=?=?（t 为参数）上，则||PF 等于______．
10．已知圆C
的极坐标方程为2cos ρθθ=+，则圆心C 的一个极坐标为 ．
11．在极坐标系中，设曲线
1:2sin C ρθ=与2:2cos C ρθ=的交点分别为A ，B ，
则线段AB 的垂直平分线的极坐标方程为 .
12．设曲线C 的参数方程为4cos 14sin x a y θ
θ=+??=+?
（θ是参数，0>a ），直线l 的极坐标方
程为3cos 4sin 5ρθρθ+=，若曲线C 与直线l 只有一个公共点，则实数a 的值是 ．
13．在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线
2
:sin 2cos (0)C a a ρθθ=>．
过点(2,4)P --的直线l 的参数方程为24x t
y t =-+??=-+?
（t 为参数）．设直线l 与曲线C 分别交于,M N 两点．若||,||,||PM MN PN 成等比数列，则
a 的值为________．
参考答案
【解析1】4
π
θ=
，表示一和三象限的角平分线x y =，0≤ρ表示第三象限的角平分
线．0,≤=x x y
【解析2】因为2cos 0ρθρ-=，所以()cos 10ρρθ-=，即0ρ=或cos 1ρθ=，所以极坐标方程2cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为221x y +=或1x =． 【解析3】方程
()()101ρθπρ--=?=或θπ=，
1ρ=是半径为1的圆，θπ=是一条射线．故选C ．
【解析4】由题意，得??
???=+≤≤-≤≤-2
12211y x y x ，逐一验证，得31
(,)42-满足要求．
【解析5】以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系，则由题意，得圆C 的直角坐标方程2240x y x +-=，直线l 的直角坐标方程y x =．由
2240x y x y x +-==???，解得00x y ==??
?或2
2
x y ==???，所以()()0022A B ，，，，从而以AB 为直径的圆的直角坐标方程为()()2
2
112x y -+-=，即2222x y x y +=+．将其化为极坐标方程为：()2
2cos sin 0ρρθθ-+=，即(
)2cos sin 4πρθθθ?
?
=+=+
??
?
【解析6】直线2)4
cos(=-
π
θρ平面直角坐标方程为20x y +-=，圆2=ρ的
平面直角坐标方程为2
2
2x y +=，此时圆心(0,0)到直线2x y +=的距
离
d =
=1个．
【解析7】圆C 的普通方程为()2
2
11x y +-=，直线l 的普通方程为1y =，所以交点
为)1,1(±
【解析8】将直线的参数方程化成普通方程可知340x y a ++=，将圆的极坐标方程化为直角坐标方程，可知2
2
(1)1x y -+=，根据题意，可知直线过圆心，即30a +=，解得3a =-．
【解析9】抛物线为2
4y x =，||PF 为(3,)P m 到准线1x =-的距离，即距离为4．
【解析10】
由2c o s 2ρθθ=+，得θρθρρs i n 32c os 22+=，即圆的普通方
程为032222=--+y x y x ，则圆心坐标为()
3,1，令???==3s i n 1c o s θρθρ，解得??
???==32πθρ，
即圆心的一个极坐标为??
?
?
?
3,
2π． 【解析11】曲线1C :2sin ρθ=的普通方程为2220x x y -+=，曲线2C :2cos ρθ=的普通方程为2220x y y +-=，所以AB 的方程为0x y -+=，又易知AB 的垂直平分线斜率为1-，经过圆1C 的圆心()1,0，所以AB 的垂直平分线的方程为1y x =-+，
【解析12】曲线C 的普通方程为()()2
2
116x a y -+-=，直线l 的普通方程
3450x y +-=，直线l 与圆C 相切，则圆心(),1a 到l 的距离
345475
a d a +-==?=
【解析13】曲线2
:sin
2cos (0)C a a ρθθ=>，则θρθρcos 2sin 22a =，所以可得
直角坐标系方程为2
2y ax =，将直线的参数方程代入抛物线方程得：
2t (82)1640a t a -+++= 121282,164t t a t t a +=+?=+
若||,||,||PM MN PN 成等比数列，所以
22212121212||||||,(t )()4MN PM PN t t t t t t t =∴-=+-=，
化简得2
(4)5(4)a a +=+又因为04a a ><-或，所以1a =．
【高中数学】数学《坐标系与参数方程》复习知识要点 一、13 1．若点P 的直角坐标为() 1,3-，则它的极坐标可以是（ ） A ．52, 3 π?? ?? ? B ．42, 3 π?? ?? ? C ．72, 6 π?? ?? ? D ．112, 6π?? ?? ? 【答案】A 【解析】 【分析】 设点P 的极坐标为()(),02ρθθπ≤<，计算出ρ和tan θ的值，结合点P 所在的象限求出θ的值，可得出点P 的极坐标. 【详解】 设点P 的极坐标为()(),02ρθθπ≤<，则() 2 2132ρ=+-=，3 tan 31 θ-= =-. 由于点P 位于第四象限，所以，53πθ=，因此，点P 的极坐标可以是52,3 π?? ??? ，故选：A. 【点睛】 本题考查点的直角坐标化极坐标，要熟悉点的直角坐标与极坐标互化公式，同时还要结合点所在的象限得出极角的值，考查运算求解能力，属于中等题. 2．化极坐标方程2cos 20ρθρ-=为直角坐标方程为（ ） A ．2202x y y +==或 B ．2 x = C ．2202x y x +==或 D ．2y = 【答案】C 【解析】 由题意得，式子可变形为(cos 2)0ρρθ-=，即0ρ=或cos 20ρθ-=，所以x 2+y 2=0或x=2，选C. 【点睛】由直角坐标与极坐标互换公式222cos sin x y x y ρθρθρ=?? =??+=? ，利用这个公式可以实现直角坐标 与极坐标的相互转化． 3．参数方程 （为参数）所表示的图象是
A．B．C．D． 【答案】D 【解析】 【分析】 由，得，代入，经过化简变形后得到曲线方程，但需注意曲线方程中变量、的符号，从而确定曲线的形状。 【详解】 由题意知将代入，得， 解得，因为，所以.故选：D。 【点睛】 本题考查参数方程与普通方程之间的转化，参数方程化普通方程一般有以下几种消参方法：①加减消元法；②代入消元法；③平方消元法。消参时要注意参数本身的范围，从而得出相关变量的取值范围。 4．在同一直角坐标系中，曲线经过伸缩变换后所得到的曲线A．B． C．D． 【答案】C 【解析】 【分析】 由，得代入函数，化简可得出伸缩变换后所得曲线的解析 式。 【详解】 由伸缩变换得，代入，有， 即.所以变换后的曲线方程为.故选：C。
选修4-4坐标系与参数方程高考复习讲义 本部分是人教A 版教材选修模块内容，主要对极坐标的概念、点的极坐标及简单曲线的极坐标方程进行考查。对于参数方程，主要考查直线、圆与圆锥曲线参数方程的应用。参数方程是解析几何、平面向量、三角函数、圆锥曲线与方程等知识的综合应用和进一步深化，是研究曲线的工具，特别值得关注。最重要的是它是新课标全国卷三个选考模块中难度系数最高的，明显比另两个模块简单。 第一节坐标系 基本知识点： 1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x ，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ： ??? x′＝λ·x， λ＞0， y′＝μ·y， μ＞0 的作用下，点P(x ，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换． 2．极坐标系与极坐标 (1)极坐标系：如图所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点， 自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位， 一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)， 这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴 Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记为M(ρ，θ)不做特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数． 3．极坐标与直角坐标的互化 设M 是坐标系平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y)，极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表： 点M 直角坐标(x ，y) 极坐标(ρ，θ) 互化公式 ?? ? x ＝ρcos θy ＝ρsin θ ? ?? ρ2＝x 2＋y 2 tan θ＝y x x≠0
参数方程极坐标系 解答题 1．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数） （Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程． （Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值． +=1 ， ， 的距离为 则 取得最小值，最小值为 2．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为： ，曲线C的参数方程为：（α为参数）． （I）写出直线l的直角坐标方程； （Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值． 的极坐标方程为： cos=
∴ y+1=0 （ d= 的距离的最大值． 3．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）． （1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：（t为参数）距离的最小值． ：（化为普通方程得：+ t=代入到曲线 sin =，），﹣
4．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为 ，直线l的参数方程为（t为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C 上不同于A，B的任意一点． （Ⅰ）求圆心的极坐标； （Ⅱ）求△PAB面积的最大值． 的极坐标方程为，把 ，利用三角形的面积计算公式即可得出． 的极坐标方程为，化为= 把 ∴圆心极坐标为； （t ， = 距离的最大值为 5．在平面直角坐标系xoy中，椭圆的参数方程为为参数）．以o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值．
数学选修4-4 坐标系与参数方程 [基础训练A 组] 一、选择题 1．若直线的参数方程为12()23x t t y t =+??=-? 为参数，则直线的斜率为（ ） A ． 23 B ．2 3- C ．32 D ．32 - 2．下列在曲线sin 2()cos sin x y θ θθθ=??=+? 为参数上的点是（ ） A ．1(,2 B ．31 (,)42 - C ． D ． 3．将参数方程2 2 2sin ()sin x y θ θθ ?=+??=??为参数化为普通方程为（ ） A ．2y x =- B ．2y x =+ C ．2(23)y x x =-≤≤ D ．2(01)y x y =+≤≤ 4．化极坐标方程2cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为（ ） A ．2 01y y +==2 x 或 B ．1x = C ．2 01y +==2 x 或x D ．1y = 5．点M 的直角坐标是(1-，则点M 的极坐标为（ ） A ．(2, )3π B ．(2,)3π- C ．2(2,)3π D ．(2,2),()3 k k Z π π+∈ 6．极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为（ ） A ．一条射线和一个圆 B ．两条直线 C ．一条直线和一个圆 D ．一个圆 二、填空题 1．直线34()45x t t y t =+?? =-?为参数的斜率为______________________。 2．参数方程()2() t t t t x e e t y e e --?=+??=-??为参数的普通方程为__________________。 3．已知直线113:()24x t l t y t =+?? =-?为参数与直线2:245l x y -=相交于点B ，又点(1,2)A ，
坐标系与参数方程 一、考试大纲解析： 1.坐标系 （1）理解坐标系的作用； （2）了解平面坐标系伸缩变换作用下图形的变化情况； （3）能在坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标和平面之间坐标系表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化； （4）能在极坐标系中给出简单图形的方程，通过比较这些图形在极坐标和直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义； 2.参数方程 （1）了解参数方程和参数方程的意义； （2）能选择适当的参数写出直线、圆、圆锥曲线的参数方程； （3）能用参数方程解决一些数学问题和实际的运用； 二、题型分布： 极坐标和参数方程是新课标考纲里的选考内容之一，在每年的高考试卷中，极坐标和参数方程都是放在选作题的一题中来考查。由于极坐标是新添的内容，考纲要求比较简单，所以在考试中一般不会有很难的题目。 三、知识点回顾 坐标系 1．伸缩变换：设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换?? ?>?='>?='). 0(,y y 0), (x,x :μμλλ?的作用下，点),(y x P 对应到点),(y x P '''，称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简 称伸缩变换。 2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。 3．点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离||OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的xOM ∠叫做点M 的极角，记为θ。有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为),(θρM . 极坐标),(θρ与)Z )(2,(∈+k k πθρ表示同一个点。极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ. 4.若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点。 如果规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。
坐标系与参数方程 （一）极坐标系： 1、定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点，引一条射线Ox ，叫做 极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）.对于平面内的任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长度，θ表示从Ox 到OM 的角，ρ叫做点M 的极径，θ叫做点M 的极角，有序数对(ρ, θ)就叫做点M 的极坐标.这样建立的坐标系叫做极坐标系. 2、极坐标与直角坐标互化公式： ★极坐标与直角坐标的互化公式：? ??==θρθ ρsin cos y x ， ?? ? ? ?≠=+=0,tan 2 22x x y y x θρ。 ★极坐标与直角坐标的互化的前提： ①极点与直角坐标的原点重合；②极轴与x 轴的正方向重合；③两种坐标系中取相同的长度单位。 例如：极坐标方程cos sin 11x y ρθρθ+=?+=（在转化成,x y 时要设法构造cos ,sin ρθρθ ， 然后进行整体代换即可） 3、求极坐标方程的两种方法： ★处理极坐标系中问题大致有两种思路： (1)公式互化法：把极坐标方程与直角坐标方程进行互化； (2)几何法：利用几何关系（工具如：三角函数的概念、正弦定理、余弦定理）建立ρ与θ的方程. （二）参数方程： 1、参数方程的定义： 如果曲线(),0F x y =中的变量,x y 均可以写成关于参数t 的函数()()x f t y g t =???=??，那么()() x f t y g t =???=?? 就称为该曲线的参数方程，其中t 称为参数。 2、常见的消参技巧： （1）代入法：()3 ()2333723x t t y x y x y t =+??=+-?=-? =+? 为参数 （2）整体消元法：2211 x t t y t t ? =+??? ?=+?? ()t 为参数，由222112t t t t ?? +=++ ???可得：22x y =+ （3）三角函数法：利用22 sin cos 1θθ+=消去参数 例如：22cos 3cos 3 ()12sin 94sin 2 x x x y y y θθθθθ? =?=????+=? ?=??= ??为参数
极坐标与参数方程 一、极坐标知识点 1.极坐标系的概念 （1）极坐标系 如图所示,在平面内取一个定点0,叫做极点，自极点0引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向）,这样就建立了一个极坐标系. 注：极坐标系以角这一平面图形为几何背景，而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴 为几何背景；平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系，而极坐标系则不可?但极 坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系? （2）极坐标 设M是平面内一点，极点0与点M的距离|0M|叫做点M的极径，记为；以极轴0X为始边，射线0M为终边的角XOM叫做点M的极角，记为?有序数对（，）叫做点M的极坐标，记作M （,）. 一般地，不作特殊说明时，我们认为0，可取任意实数? 特别地，当点M在极点时，它的极坐标为（0，）（€ R）.和直角坐标不同，平面内一个 点的极坐标有无数种表示? 如果规定0,0 2 ，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标（，）表示； 同时，极坐标（，）表示的点也是唯一确定的? 2.极坐标和直角坐标的互化 （1）互化背景：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系 中取相同的长度单位，如图所示: ⑵互化公式：设M是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是（x，y），极坐标是（，）（ 0），于是极坐标与直角坐标的互化公式如表：
在一般情况下，由tan确定角时，可根据点M所在的象限最小正角 注：由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，即(,),(,2 ),(, ),(, ),都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的 唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式，只要求至少有一个能满足 极坐标方程即可.例如对于极坐标方程，点M(,)可以表示为 4 4 5 (, 2 )或(， 2 )或(-, 等多种形式,其中,只有(，)的极坐标满足方 4 4 4 4 4 4 4 4 程 、考点阐述考点1、极坐标与直角坐标互化
高中数学选修4-4经典综合试题（含详细答案） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1．曲线与坐标轴的交点是（）． A． B． C． D． 2．把方程化为以参数的参数方程是（）． A． B． C． D． 3．若直线的参数方程为，则直线的斜率为（）．A． B． C． D． 4．点在圆的（）． A．内部B．外部C．圆上D．与θ的值有关 5．参数方程为表示的曲线是（）． A．一条直线B．两条直线C．一条射线D．两条射线 6．两圆与的位置关系是（）． A．内切 B．外切 C．相离 D．内含 7．与参数方程为等价的普通方程为（）． A． B．
C． D． 8．曲线的长度是（）． A． B． C． D． 9．点是椭圆上的一个动点，则的最大值为（）．A． B． C． D． 10．直线和圆交于两点， 则的中点坐标为（）． A． B． C． D． 11．若点在以点为焦点的抛物线上，则等于（）．A． B． C． D． 12．直线被圆所截得的弦长为（）． A． B． C． D． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上． 13．参数方程的普通方程为__________________． 14．直线上与点的距离等于的点的坐标是_______．15．直线与圆相切，则_______________． 16．设，则圆的参数方程为____________________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分） 求直线和直线的交点的坐标，及点与的距离． 18．（本小题满分12分） 过点作倾斜角为的直线与曲线交于点， 求的值及相应的的值． 19．（本小题满分12分） 已知中，(为变数)， 求面积的最大值． 20．（本小题满分12分）已知直线经过点,倾斜角， （1）写出直线的参数方程． （2）设与圆相交与两点，求点到两点的距离之积．21．（本小题满分12分） 分别在下列两种情况下，把参数方程化为普通方程： （1）为参数，为常数；（2）为参数，为常数． 22．（本小题满分12分） 已知直线过定点与圆：相交于、两点．求：（1）若，求直线的方程； （2）若点为弦的中点，求弦的方程． 答案与解析：
第一讲坐标系 一平面直角坐标系 课题：1、平面直角坐标系 教学目的： 知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 能力与与方法：体会坐标系的作用 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：体会直角坐标系的作用 教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题 授课类型：新授课 教学模式：启发、诱导发现教学. 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 情境1：为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按计划完成科学考察任务后，安全、准确的返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空中的位 置机器运动的轨迹。 情境2：运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。要出现正确的背景 图案，需要缺点不同的画布所在的位置。 问题1：如何刻画一个几何图形的位置？ 问题2：如何创建坐标系？ 二、学生活动 学生回顾 刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系 1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定 2、平面直角坐标系 在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y）确定 3、空间直角坐标系 在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P 都可以由惟一的实数对（x,y,z）确定 三、讲解新课： 1、建立坐标系是为了确定点的位置，因此，在所建的坐标系中应满足： 任意一点都有确定的坐标与其对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置 2、确定点的位置就是求出这个点在设定的坐标系中的坐标 四、数学运用 例1 选择适当的平面直角坐标系，表示边长为1的正六边形的顶点。
2019-2020年高考数学一轮复习第二十二章选修4系列22.2坐标系与参数方程讲义 考点一极坐标方程和直角坐标方程的互化 1.(xx北京理,11,5分)在极坐标系中,点A在圆ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0上,点P的坐标为(1,0),则|AP|的最小值为. 答案 1 2.(xx天津理,11,5分)在极坐标系中,直线4ρcos+1=0与圆ρ=2sin θ的公共点的个数为. 答案 2 3.(xx北京,11,5分)在极坐标系中,点到直线ρ(cos θ+sin θ)=6的距离为. 答案 1 4.(xx重庆,15,5分)已知直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ2cos 2θ=4,则直线l与曲线C的交点的极坐标为. 答案(2,π) 5.(xx广东,14,5分)(坐标系与参数方程选做题)已知直线l的极坐标方程为2ρsin=,点A的极坐标为A,则点A到直线l的距离为. 答案 6.(xx天津,13,5分)在以O为极点的极坐标系中,圆ρ=4sin θ和直线ρsin θ=a相交于A,B两点.若△AOB 是等边三角形,则a的值为. 答案 3 7.(xx重庆,15,5分)已知直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρsin2θ-4cos θ=0(ρ≥0,0≤θ<2π),则直线l与曲线C的公共点的极径 ρ= . 答案 8.(xx课标全国Ⅰ,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cos θ. (1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程; (2)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tan α0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a. 解析(1)消去参数t得到C1的普通方程:x2+(y-1)2=a2.C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆.(2分) 将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程为ρ2-2ρsin θ+1-a2=0.(4分) (2)曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组 (6分) 若ρ≠0,由方程组得16cos2θ-8sin θcos θ+1-a2=0,(8分) 由已知tan θ=2,可得16cos2θ-8sin θcos θ=0,从而1-a2=0, 解得a=-1(舍去)或a=1. a=1时,极点也为C1,C2的公共点,在C3上. 所以a=1.(10分) 9.(xx江苏,21C,10分)[选修4—4:坐标系与参数方程] 已知圆C的极坐标方程为ρ2+2ρsin-4=0,求圆C的半径. 解析以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O,极轴为x轴的正半轴,建立直角坐标系xOy. 圆C的极坐标方程为ρ2+2ρ-4=0, 化简,得ρ2+2ρsin θ-2ρcos θ-4=0. 则圆C的直角坐标方程为x2+y2-2x+2y-4=0, 即(x-1)2+(y+1)2=6, 所以圆C的半径为. 10.(xx课标Ⅰ,23,10分)(选修4—4:坐标系与参数方程) 在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求C1,C2的极坐标方程;
坐标系与参数方程 1、（2011天津）下列在曲线sin 2(cos sin x y θ θθθ =??=+?为参数） 上的点是（ ） A 、1 (,2)2- B 、31(,)42 C 、(2,3) D 、 (1,3) 2、(2011·安徽理，5)在极坐标系中点?? ? ??3,2π到圆ρ＝2cos θ的圆心的距离为( ) A ．2 B. 4＋π 2 9 C. 1＋π2 9 D. 3 3、(2011·北京理，3)在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( ) A ．(1，π2) B ．(1，－π 2 ) C ．(1,0) D ．(1，π) 4、(2010·湖南卷)极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程? ?? ?? x ＝－1－t y ＝2＋3t (t 为参数)所表示的图形分别是( ) A ．圆、直线 B ．直线、圆 C ． 圆、圆 D ．直线、直线 5、(2010·北京卷)极坐标方程为(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是( ) A ．两个圆 B ．两条直线 C ．一个圆和一条射线 D ．一条直线和一条射线 6．N3[2012·安徽卷] 在极坐标系中，圆ρ＝4sin θ的圆心到直线θ＝ π 6 (ρ∈R )的距离是________． 7．N3[2012·北京卷] 直线??? ?? x ＝2＋t ， y ＝－1－t (t 为参数)与曲线 ???? ? x ＝3cos α，y ＝3sin α (α为参数)的交点个数为________． 8．N3[2012·广东卷] (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为?? ? x ＝t ，y ＝t (t 为参数)和 ?? ? x ＝2cos θ，y ＝2sin θ (θ为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________． 9．N3[2012·湖南卷] 在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：????? x ＝t ＋1，y ＝1－2t (t 为参数)与曲线C 2：? ?? ?? x ＝a sin θ， y ＝3cos θ(θ为参数，a ＞0)有一个公共点 在x 轴上，则a ＝________. 10．N3[2012·湖北卷]在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的 正半轴为极轴建立坐标系．已知射线θ＝π 4与曲线? ???? x ＝t ＋1，y ＝t －12 (t 为参数)相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点的直角坐标为________． 11、(2012·高考广东卷)(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为???x ＝5cos θ y ＝5sin θ ? ????θ为参数，0≤θ≤π2和 ? ????x ＝1－2 2t y ＝－2 2 t (t 为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为__________． 12.【广东省珠海市2012年9月高三摸底考试】在极坐标系中，圆 2cos ρθ=的圆心到直线cos 2ρθ=的距离是_____________. 13、(2011·陕西理，15)直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正 半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线C 1： ? ???? x ＝3＋cos θy ＝4＋sin θ(θ 为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则|AB |的最小值为________． 14、 N3 [2012·陕西卷]直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为________． 15、(2012·高考湖南卷)在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2·cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a >0)的一个交点在极轴上，则a ＝__________． 17．(2011·天津理，11)已知抛物线C 的参数方程为? ?? ?? x ＝8t 2 ， y ＝8t ，(t 为 参数)，若斜率为1的直线经过抛物线C 的焦点，且与圆(x －4)2 ＋y 2 ＝ r 2(r >0)相切，则r ＝________. 18．(2011·广东理)已知两曲线参数方程分别为?? ? x ＝5cos θ y ＝sin θ (0≤θ<π)和????? x ＝54 t 2 y ＝t (t ∈R )，它们的交点坐标为________． 19、【福建省华安、连城、永安、漳平一中、龙海二中、泉港一中六校 2013届高三上学期第一次联考】 已知在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为33x t y t =-???=??， （t 为参数）， 在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点， 以x 轴正半轴为极轴）中，曲线C 的极坐标方程为2 4s 30co ρρθ-+=. ①求直线l 普通方程和曲线C 的直角坐标方程； ②设点P 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的取值范围. 20、(2012·高考课标全国卷) 已知曲线C 1的参数方程是? ????x ＝2cos φ， y ＝3sin φ，(φ为参数)，以坐标原点为 极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2， 正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A 、B 、C 、D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2，π 3 )． (Ⅰ) 求点A 、B 、C 、D 的直角坐标； (Ⅱ) 设P 为C 1上任意一点，求|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2 的取值范围．
坐标系与参数方程专题复习 学号： 班级： 姓名： 1（Ⅰ）求经过,,O A B 的圆1C 的极坐标方程； （Ⅱ）以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆2C 的参数方程为 1cos 1sin x a y a θ θ=-+?? =-+? （θ为参数），若圆1C 与圆2C 外切，求实数a 的值. 2、在直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为32cos , 2sin x y θθ =+?? =?（θ为参数）， （Ⅰ）以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程； （Ⅱ）直线l 的方程为πsin()4ρθ+l 被曲线C 截得的弦长．
3、已知圆的极坐标方程为06)4 cos(242 =+--π θρρ （Ⅰ）将极坐标方程化为普通方程； （Ⅱ）若点),(y x P 在该圆上，求y x +的最大值和最小值． 4、在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为cos (sin x y ? ??=??=?为参数），曲线C 2的参数方程为 cos (0,sin x a a b y b ? ??=?>>? =? 为参数），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线:l θα=与C 1，C 2各有一个交点，当0α=时，这两个交点间的距离为2，当2 π α=时，这两个交点重合. (Ⅰ)分别说明C 1，C 2是什么曲线，并求a 与b 的值； (Ⅱ)设当4 π α= 时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 1，B 1，当4 π α=- 时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 2， B 2，求直线A 1 A 2 、B 1B 2的极坐标方程.
选修4-4教案 教案1平面直角坐标系（1课时） 教案2平面直角坐标系中的伸缩变换（1课时）教案3极坐标系的的概念（1课时） 教案4极坐标与直角坐标的互化（1课时） 教案5圆的极坐标方程（2课时） 教案6直线的极坐标方程（2课时） 教案7球坐标系与柱坐标系（2课时） 教案8参数方程的概念（1课时） 教案9圆的参数方程及应（2课时） 教案10圆锥曲线的参数方程（1课时） 教案11圆锥曲线参数方程的应用（1课时） 教案12直线的参数方程（2课时） 教案13参数方程与普通方程互化（2课时） 教案14圆的渐开线与摆线（1课时）
课题：1、平面直角坐标系 教学目的： 知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 能力与与方法：体会坐标系的作用 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：体会直角坐标系的作用 教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题 授课类型：新授课 教学模式：互动五步教学法 教具：多媒体、实物投影仪 复习及预习提纲： 1平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 2坐标系的作用 ————教学过程———— 复习回顾和预习检查 1平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 2坐标系的作用 创设情境，设置疑问 情境1：为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按计划完成科学考察任务后，安全、准确的返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空中的位 置机器运动的轨迹。 情境2：运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。要出现正确的背景 图案，需要缺点不同的画布所在的位置。 问题1：如何刻画一个几何图形的位置？ 问题2：如何创建坐标系？ 分组讨论 刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系 1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定 2、平面直角坐标系 在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y）确定 3、空间直角坐标系 在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P 都可以由惟一的实数对（x,y,z）确定 1、建立坐标系是为了确定点的位置，因此，在所建的坐标系中应满足： 任意一点都有确定的坐标与其对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置2、确定点的位置就是求出这个点在设定的坐标系中的坐标
选修4－4 坐标系与参数方程 1．极坐标系 (1)极坐标系的建立：在平面上取一个定点O ，叫做________，从O 点引一条射线Ox ，叫做________，再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个极坐标系． 设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的________，记为ρ，以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)． (2)极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为x ＝______，y ＝________. 另一种关系为ρ2＝________，tan θ＝________. 2．简单曲线的极坐标方程 (1)直线的极坐标方程 θ＝α (ρ∈R )表示过极点且与极轴成α角的直线； ρcos θ＝a 表示过(a,0)且垂直于极轴的直线； ρsin θ＝b 表示过??? ?b ，π 2且平行于极轴的直线； ρsin(α－θ)＝ρ1sin(α－θ1)表示过(ρ1，θ1)且与极轴成α角的直线方程． (2)圆的极坐标方程 ρ＝2r cos θ表示圆心在(r,0)，半径为|r |的圆； ρ＝2r sin θ表示圆心在????r ，π 2，半径为|r |的圆； ρ＝r 表示圆心在极点，半径为|r |的圆． 3．曲线的参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变量t 的函数? ???? x ＝f (t )， y ＝g (t ). 并且对于t 的每一个允许值上式所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，则称上式为该曲线的________________，其中变量t 称为________． 4．一些常见曲线的参数方程 (1)过点P 0(x 0，y 0)，且倾斜角为α的直线的参数方程为________________(t 为参数)． (2)圆的方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的参数方程为________________________(θ为参数)． (3)椭圆方程x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的参数方程为________________(θ为参数)． (4)抛物线方程y 2＝2px (p >0)的参数方程为________________(t 为参数)． 1．在极坐标系中，直线ρsin(θ＋π 4 )＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________． 2．极坐标方程ρ＝sin θ＋2cos θ能表示的曲线的直角坐标方程为____________________． 3．已知点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线? ???? x ＝4t 2 ， y ＝4t (t 为参数)上，则PF ＝________. 4．直线? ???? x ＝－1＋t sin 40° ，y ＝3＋t cos 40°(t 为参数)的倾斜角为________． 5．已知曲线C 的参数方程是? ???? x ＝3t ， y ＝2t 2 ＋1(t 为参数)．则点M 1(0,1)，M 2(5,4)在曲线C 上的是________． 题型一 极坐标与直角坐标的互化 例1 在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos(θ－π 3)＝1，M ，N 分别为C 与x 轴、y 轴的交点． (1)写出C 的直角坐标方程，并求M 、N 的极坐标；
高考数学《坐标系与参数方程》课后练习 一、13 1．如图，边长为4的正方形ABCD 中，半径为1的动圆Q 的圆心Q 在边CD 和DA 上移动（包含端点A 、C 、D ），P 是圆Q 上及其内部的动点，设BP mBC nBA =+u u u v u u u v u u u v （,m n ∈R ），则m n +的取值范围是（ ） A ．[21,221]-+ B ．[422,422]-+ C ．22 [1,2]22- + D ．22 [1,2]44 - + 【答案】D 【解析】 【分析】 建立如图所示平面直角坐标系，可得,BA BC u u u r u u u r 的坐标，进而可得BP u u u r 的坐标．分类讨论，当 动圆Q 的圆心在CD 上运动或在AD 上运动时，利用圆的参数方程相关知识，设出点P 坐标，再利用三角函数求m n +的最值． 【详解】 解：建立如图所示平面直角坐标系，可得， (0,4),(4,0)BA BC ==u u u r u u u r ，可得(4,0)(0,4)(4,4)BP m n m n =+=u u u r ， 当点Q 在CD 上运动时，设(4,), [0,4]Q t t ∈， 则点P 在圆Q ：22 (4)()1x y t -+-=上及内部， 故可设(4cos ,sin ),(,01)P r t r R r θθθ++∈≤≤，
则(4cos ,sin )BP r t r θθ=++u u u r ， 44cos 4sin m r n t r θθ =+?∴?=+?， 444(sin cos )4sin 4m n t r t πθθθ? ?∴+=+++=+++ ???， 04,01,t r R θ≤≤≤≤∈Q ， 当50,1,4t r πθ===时，m n +取最小值为44-，即14 -； 当4, 1,4 t r π θ=== 时，m n +24+ m n ∴+的取值范围是1244?- +?? ? ； 当点Q 在AD 上运动时，设(,4),[0,4]Q s s ∈， 则点P 在圆Q ：22 ()(4)1x s y -+-=上及其内部， 故可设(cos ,4sin ),(,01)P s r r R r θθθ++∈≤≤， 则(cos ,4sin )BP s r r θθ=++u u u r ， 4cos 44sin m s r n r θθ =+?∴?=+?， 444(sin cos )4sin 4m n s r s πθθθ? ?∴+=+++=+++ ???， 04,01,s r R θ≤≤≤≤∈Q ， 当50,1,4s r πθ===时，m n +取最小值为44-，即14 -； 当4, 1,4 s r π θ=== 时，m n +取最大值为 84 +，即24+， m n ∴+的取值范围是1244?- +?? ? ； 故选：D ． 【点睛】 本题考查了向量的坐标运算、点与圆的位置关系，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 2．点(,)ρθ满足223cos 2sin 6cos ρθρθθ+=，则2 ρ的最大值为（ ） A ． 7 2 B ．4 C ． 92 D ．5
坐标系与参数方程 1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0) x x y y λλ?μμ'=>?? '=>?的 作用下,点P(x,y)对应到点(,)P x y ''',称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示, 在平面取一个定点O ,叫做极点, 自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴; 再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 注:(i)极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景; (ii)平面直角坐标系的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系. (2)极坐标 设M 是平面一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ; 以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ. 有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ. 一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数. 特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面一个点的极坐标有无数种表示. 如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.
3.极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴 作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示: (2)互化公式:设M 是坐标平面任意一点,它的直角 坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与 直角坐标的互化公式如下: 极坐标(,)ρθ 直角坐标(,)x y : cos sin x y ρθ ρθ=??=? 直角坐标(,)x y 极坐标(,)ρθ: 222 tan (0) x y y x x ρθ=+=≠ 在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程
重点增分专题十三选修4－4坐标系与参数方程[全国卷3年考情分析] 年份全国卷Ⅰ全国卷Ⅱ全国卷Ⅲ 2018极坐标与直角坐标的互 化、曲线方程的求解 参数方程与直角坐标方程 的互化、参数方程的应用 参数方程与普通方程的互 化、参数方程的应用 2017参数方程与普通方程的互 化、点到直线的距离 直角坐标与极坐标的互 化、动点轨迹方程的求法、 三角形面积的最值问题 直线的参数方程与极坐标 方程、动点轨迹方程的求 法 2016参数方程与普通方程的互 化、极坐标方程与直角坐 标方程的互化及应用 极坐标方程与直角坐标方 程的互化及应用、直线与 圆的位置关系 参数方程、极坐标方程及 点到直线的距离、三角函 数的最值 (1)坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考考查的重点主要有两个方面：一是 简单曲线的极坐标方程；二是参数方程、极坐标方程与曲线的综合应用． (2)全国课标卷对此部分内容的考查以解答题形式出现，难度中等，备考此部分内容时 应注意转化思想的应用． 考点一极坐标保分考点·练后讲评 1.[极坐标方程化直角坐标方程](2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|＋ 2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0. (1)求C2的直角坐标方程； (2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程． 解：(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ得C2的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝4. (2)由(1)知C2是圆心为A(－1,0)，半径为2的圆． 由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2. 由于点B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点．当l1与C2只有一个公共点时，点A到l1所在直线的距离为2， 所以|－k＋2| k2＋1 ＝2，故k＝－ 4 3 或k＝0. 经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点； 当k＝－4 3 时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点．