保密★启用前
南山中学2012级绵阳三诊模拟测试
数学试题(理科)
命题:李庆普 胡小益 审题:王正良 贺松林
考生注意：
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.所有试题均在答题卡上作答.其中，选择题用2B 铅笔填涂，其余题用0.5毫米黑色墨水签字笔作答. 参考公式：
如果事件A 、B 互斥，那么P (A +B )=P (A )+P (B ) 如果事件A 、B 相互独立，那么P (A ·B )=P (A )·P (B )
如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率
k
n k
k
n n P P C k P --=)
1()(（k =0，1，2，…，n ）
球的表面积公式24R S π=，其中R 表示球的半径 球的体积公式 33
4R V π=球，其中R 表示球的半径
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 设集合{1,2,3,4,5}U =，{1,3},{2,3,4}A B ==，则=B A C U )(（ ）
A ．{1}
B ．{1,2,4,5}
C ．{2,4}
D ．{5}
2. 设1sin cos 2
x x +=-
（其中(0,π)x ∈），则sin 2x 的值为（ ）
A 4
B .34
- C .4
-
D .
34
3. 已知i 为虚数单位，a 为实数，复数(2)(1)z a i i =-+在复平面内对应的点为M ，则“a =1”是“点M 在第四象限”的( )
A 充分而不必要条件
B .必要而不充分条件
C .充要条件
D .既不充分也不必要条件
4. 设l 、m 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A .若l ∥m ，l ∥α，则m ∥α
B .若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β
C .若l ⊥α，α⊥β，则l ∥β
D .若l ⊥m ，l ⊥α且m ⊥β，则α⊥β
5. 已知{}n a 为等比数列,n S 是它的前n 项和.若1534
1a a a =,且4a 与7a 的等差中项为
8
9,则5S 等
于（ ）
A .35
B .33
C .31
D .29
6. 函数()sin()(0,0)f x A x A ω?ω=+>>的图像关于直线3
π
=x 对称，它的最小正周期为π，则
函数)(x f 图像的一个对称中心是（ ） .A )1,3
(
π
.B )0,12
(
π
.C ）
0,12
5(
π .D ）
（0,12
-π
7. 设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x ＋2)＝f (x )，则y ＝f (x )的图像可能是( )
8. 某厂生产的甲、乙两种产品每件可获利润分别为30元、20元，生产甲产品每件需用A 原料2千克、B 原料4千克，生产乙产品每件需用A 原料3千克、B 原料2千克.A 原料每日供应量限额为60千克，B 原料每日供应量限额为80千克.要求每天生产的乙种产品不能比甲种产品多10件以上，则合理安排生产可使每日获得的利润最大为（ ）
A ．500元
B ．700元
C ．400元
D ．650元
9. 有五名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲不排在乙的左边，又不与乙相邻，则不同的站法共有（ ）
A ．66种
B ．60种
C ．36种
D ．24种
10. 设点P 是椭圆
222
2
1x y a
b
+
=（0a b >>）上一点，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，I 为△PF 1F 2
的内心,若2
1
2
1
2F IF IPF IPF S S S ???=+，则该椭圆的离心率是（ ）
A .
12
B 2
C 2
D .
14
11. 关于x 的不等式229|3|x x x kx ++-≥在]5,1[∈x 上恒成立, 则实数k 的取值范围为（ ）
A ．(],6-∞
B ．(,6)-∞
C ．(]0,6
D ．[)6,+∞
12.已知()(),f
x g x 都是定义在R
上的函数,()()()()()0''g x f x g x f x g x ≠>，,且
()()(0x
f x a
g x a =>且1)a ≠，
()()
()()
115112
f f
g g -+
=-，对于有穷数列
()()
(1,2,f n n g n =,10) ，任取
正整数()110k k ≤≤，则前k 项和大于
1516
的概率是（ ）
A ．
310
B ．
25
C ．
12
D ．
35
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：把答案填在相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题4分，共16分）．
13. 已知n
x
x )1
3(3
2
-
的展开式中各项系数之和为128.则展开式中
3
1x
的系数为 （用数
字作答）
14. 已知点M 是抛物线x y 42
=上的一点，F 为抛物线的焦点，A 在圆1
)1()4(:2
2=-+-y x C 上，则||||MF MA +的最小值为 .
15. 一个四面体ABCD 的所有棱的长度都为2，四个顶点A 、B 、C 、D 在同一球面上，则A 、B 两点
的球面距离为 .
16. 已知数列{}n a ：1212,,,(0)n n a a a a a a ≤<<< ，3n ≥时具有性质:P 对任意的
,(1)i j i j n ≤<≤，j i a a +与j i a a -两数中至少有一个是该数列中的一项，现给出以下四个命题：
①数列0,1,3具有性质P ； ②数列0,2,4,6具有性质P ；
③数列{}n a 具有性质P ，则10a =；④若数列123123,,(0)a a a a a a ≤<<具有性质P ，则
1322a a a +=.
其中真命题的序号为__________.(所有正确命题的序号都写上)
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共74分）．
17.（本题满分12分）已知函数2
()sin()2sin
6
2
x f x x π
=++.
(1)求函数f (x )的单调递增区间；
(2)记ABC ?的三内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ,若2
3)(=
A f ，ABC ?的面积
2
3=
S ,3=a ，求c b +的值.
18. （本题满分12分）QQ 先生的鱼缸中有7条鱼，其中6条青鱼和1条黑鱼，计划从当天开始，每天中午从该鱼缸中抓出1条鱼（每条鱼被抓到的概率相同）并吃掉．若黑鱼未被抓出, 则它每晚要吃掉1条青鱼（规定青鱼不吃鱼）．
（1）求这7条鱼中至少有6条被QQ 先生吃掉的概率；
（2）以ξ表示这7条鱼中被QQ 先生吃掉的鱼的条数，求ξ的分布列及其数学期望E ξ．
19.（本题满分12分）如图所示，在边长为12的正方形11AD D A 中，点,B C 在线段A D 上，且3AB =，4BC =，作1B B //1A A ，分别交11D A 、1A D 于点1B 、P ，作1C C //1A A ，分别交11D A 、1AD 于
点1C 、Q ，将该正方形沿1B B 、1C C 折叠，使得1D D 与1A A 重合，构成如图所示的三棱柱
111ABC A B C -．
（1）求证：A B ⊥平面11B C C B ； （2）求四棱锥A BCQP -的体积； （3）求二面角A PQ C --的大小．
20.（本题满分12分）已知数列{}n a 是各项均不为0的等差数列，公差为d ，n S 为其前n 项和，且
满足2
21n n a S -=，n *N ∈．数列{}n b 满足1
1n n n b a a +=
?，n T 为数列{}n b 的前n 项和．
（1）求数列{}n a 的通项公式和n n T lim ∞
→；
（2）是否存在正整数,m n (1)m n <<，使得1,,m n T T T 成等比数列？若存在，求出所有,m n 的值；若不存在,请说明理由．
21.（本题满分12分）已知双曲线C ：222
2
1
x y a
b
-
=00（，）a b >>
3
，左、右焦点
分别为1F 、2F ，在双曲线C 上有一点M ，使12M F M F ⊥，且12M F F ?的面积为1． （1）求双曲线C 的方程；
（2）过点()3,1P 的动直线l 与双曲线C 的左、右两支分别相交于两点A 、B ，在线段A B 上取异于A 、B 的点Q ，满足||||||||PB AQ QB AP ?=?．证明：点Q 总在某定直线上．
22.（本题满分14分）已知函数1ln ()x f x x
+=．
（1）若函数在区间1(,)
2a a +
（其中0a >）上存在极值，求实数a
的取值范围；
（2）如果当1x ≥时，不等式
()1
k f x x ≥
+恒成立，求实数k 的取值范围；
（3）求证[]
2
2
(1)(1)()
n n n e
n -*
+>+?∈！N ．
南山中学高2012级四月月考(理)数学试题参考答案及评分标准
命题:李庆普 胡小益 审题:贺松林 王正良
一、选择题： CBADC BBDCA AD
12. 由()()()()()()
()()
()
'
2
''0,f x f x g x g x f
x f
x g x g x g x ??-=<∴
????
单调递减， 又
()()
x
f
x a g x =，故01a <<，所以由
()()
()()
115112
f f
g g -+
=
-，得12
a =
()()f n g n ??????
????是首项为()()1112f g =，公比为12的等比数列，其前n 项和1151216n
n S ??
=-> ??? 5n ?≥，所以，6310
5
P =
=
二、填空题：
13、21 14、4 15、）（3
1
arccos 23-π 16、② 三、 解答题： 17.解
(1)2
1cos ()sin()2sin
sin cos
cos sin
2=sin()16
2
6
6
2
6
x x
f x x x x x π
π
π
π
-=+
+=++?
-
+
222222
6
2
3
3
k x k k x k π
π
π
π
πππππ-
≤-
≤+
?-
≤≤+
()f x ∴的单调递增区间为:2[2,2]()3
3
k k k Z π
πππ-
+
∈ (6)
(必须写出k Z ∈,否则扣1分 (2) 31()sin()1sin()62
6
2
3
f A A A A π
π
π
=-
+=
?-
=
?=
.........................8分
222222211sin sin =
2223253(12)2cos 22cos 33S bc A bc bc b c b c a b c bc A b c ππ?==?=???+=?+=?
?=+-=+-?=??
分 18.解：（Ⅰ）设Q Q 先生能吃到的鱼的条数为ξ
Q Q 先生要想吃到7条鱼就必须在第一天吃掉黑鱼，()177
P ξ==
……………2分
Q Q 先生要想吃到6条鱼就必须在第二天吃掉黑鱼，()61667
5
35P ξ==
?
=
……4分 故Q Q 先生至少吃掉6条鱼的概率是()()()1166735
P P P ξξξ≥==+==
……6分
（Ⅱ）Q Q 先生能吃到的鱼的条数ξ可取4,5,6,7,最坏的情况是只能吃到4条鱼:前3天各吃掉1条青鱼,其余3条青鱼被黑鱼吃掉,第4天Q Q 先生吃掉黑鱼,其概率为
64216(4)75335
P ξ==
??= ………8分 ()641857
5
3
35
P ξ==
?
?
=
………10分
所以ξ的分布列为(必须写出分布列, 否则扣1分) ξ
4
5
6
7
P 1635
835
635
17
……………………11分
故416586675535
35
35
35
E ξ????=
+++=，所求期望值为5. (12)
19.解．（1）证明：在正方形11AD D A 中，因为5C D A D A B B C =--=，所以三棱柱111ABC A B C -的底面三角形A B C 的边5A C =．
因为3A B =，4B C =，
所以222
AB BC AC +=，所以A B B C ⊥．--------------------------------2分
因为四边形11AD D A 为正方形，B B AA 11是矩形，所以1A B B B ⊥，而1BC BB B = ， 所以A B ⊥平面11B C C B ．---------------------------------------------4分 （2）解：因为A B ⊥平面11B C C B ，
所以A B 为四棱锥A BCQP -的高．---------------------------------5分 因为四边形BCQP 为直角梯形，且3B P A B ==，7CQ AB BC =+=， 所以梯形BCQP 的面积为()1202
B C Q P S B P C Q B C
=
+?=．-----------7分
所以四棱锥A BCQP -的体积1203
A B C Q P B C Q P V S AB -=?=．------------8分
（3） 建系如图所示坐标系，则A （0,0,3）,P （0,3,0）,Q （4,7,0）， (4,7,3),(0,3,3)AQ AP =-=-
(,,),APQ x y z =
1设平面的法向量n 0
,011=?=?AP n AQ n 330
4730y z x y z -=??
+-=?
有x=-1，y=1,z=1(1,1,1),(0,0,1),=-=
12n 又平面BCQ 的法向量n
设1n 与2n 的夹角为θ，
3
3cos 2121=
?=
n n θ-------------------------------------------------10分
A PQ C --由图可知二面角的平面角为锐角，
------------------------------11分
3
A PQ C --所以二面角的大小为-------------------------------12分
20.解（1）（法一）在2
21n n a S -=中，令1=n ，2=n ，
得?????==,
,322121S a S a 即?????+=+=,33)(,12
112
1d a d a a a 解得11=a ，2=d , ----2分
21n a n ∴=-．------------------------------------------------------------3分
111
1
1
1(
)(21)(21)22121
n n n b a a n n n n +=
==-
-+-+ ------------------------4分
11111
1(1)23
3521
21
21
n n
T n n n ∴=
-
+
-++
-
=
-++ -------------------------5分
12
lim n n T →∞
∴=
-------------------------------------------------------------6分
以下解法，请参考上述评分标准合理给分 （法二） {}n a 是等差数列，n n a a a =+∴
-2
1
21)12(2
1
2112-+=
∴--n a a S n n n a n )12(-=．
由2
21n n a S -=，得 n n a n a )12(2
-=，
又0n a ≠ ，21n a n ∴=-，则11,2a d ==．(n T 求法同法一) （2）11,,321
21
m n m n T T T m n =
=
=
++， 若1,,m n T T T 成等比数列，则2
1
(
)()21
321m n
m n =
++，即
2
2
441
63
m
n m m n =
+++．
法一:由
2
2
441
63
m
n m m n =
+++， 可得2
2
3241
0m m n
m
-++=
> ----------------8分
即22410m m -++>，
∴112
2
m -
<<+
． -----------------10分
又m ∈N ，且1m >，所以2m =，此时12n =．
因此，当且仅当2m =， 12n =时，数列{}n T 中的1,,m n T T T 成等比数列．………12分
（法二）因为11363
6
6n n n
=<++
，故
2
2
1441
6
m
m m <
++，即22410m m --<，
∴112
2
m -
<<+
，（以下同上）．
21.（1）解：∵双曲线
222
2
1x y a
b
-
=()0,0a b >>
的离心率为
3
，
∴
3
a
=
．即22
3a b = ① --------------------------------------1分
∵12M F M F ⊥，且12M F F ?的面积为1． ∴1
2
12112
M F F S M F M F ?=
=，即122MF MF =． ----------------------------- 2分
∵122M F M F a -=， ∴2
2
2
112224M F M F M F M F a -+=．
∴22
12
44F F a -=．
∴()222444a b a +-=，∴21b =． ② ------------------------------- 4分 将②代入①，得23a =．
∴双曲线C 的方程为
2
2
13
x
y -=． ------------------------------------- 5分
（2）解法1：设点Q A B ，，的坐标分别为（x y ，），（11x y ，），（22x y ，），且1x ＜2x ＜3，又设直线l 的倾斜角为θ2πθ?
?
≠
???
，分别过点P Q A B ，，，作x 轴的垂线，垂足分别为1111P Q A B ，，，，
则 1113cos cos A P x AP θ
θ
-＝
＝
，112cos cos P B x PB θ
θ
-３＝
＝
，
112cos cos Q B x x QB θ
θ
-=
＝
，111-cos cos A Q x x AQ θ
θ
=
＝
， ---------------------- 6分
∵||||||||PB AQ QB AP ?=?，
∴（3-1x ）（2x x -）＝
123x x x --（）（）， 即[]1212126()3()2x x x x x x x -+=+-. ③ ----------------------- 8分 设直线l 的方程为1(3)y k x -=-， ④
将④代入
2
2
3
x
y -＝1中整理，得
（1-3222
)6133(13)10k x k k x k ??----+=??（）.
依题意1x ，2x 是上述方程的两个根，且2
130k -≠，
∴()()122
2122
613133131.13k k x x k k x x k -?
+=?-?
???-+???
=-?-?
， ⑤ -------------10分
将⑤代入③整理，得2(3)x k x -=-. ⑥ ---------------- 11分
由④、⑥消去k 得21x y -=-，这就是点Q 所在的直线方程.
∴点Q （x y ，）总在定直线 10x y --=上. ----------------- 12分
以下解法，请参考上述评分标准合理给分。
解法2：设点Q ，A B ，的坐标分别为,（x ）y ，11,（）x y ，22（，）x y ，且1x ＜2x ＜3， ∵||||||||PB AQ QB AP ?=?， ∴AP AQ PB
Q B
＝－，即112233
x x x x x x
--=---，
即[]1212126()3()2x x x x x x x -+=+-. 以下同解法1.
解法3：设点Q A B ，，的坐标分别为1122() () ()x y x y x y ，，
，，，， 由题设知 AP PB AQ QB ，
，，均不为零，记 AP AQ PB
QB
λ=
=
．
∵过点P 的直线l 与双曲线C 的左、右两支 相交于两点A ，B ，
∴0λ>且1λ≠． ∵A P B Q ，，，四点共线，
∴ AP PB AQ Q B λλ=-=
，
． 即()()()()112211223,13,1,
,,.
x y x y x x y y x x y y λλ--=---???--=--?? ∴121
2311x x x x x λλλλ-?=??-?+?=?+?
③
由③消去λ，得[]1212126()3()2x x x x x x x -+=+-. 以下同解法1.
解法4：设点Q A B ，，的坐标分别为1122() () ()x y x y x y ，，，，，， 由题设知 AP PB AQ QB ，，，均不为零，记AP PB AQ
QB
λ=
=．
∵过点P 的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别相交于两点A B 、， ∴0λ>且1λ≠． ∵A P B Q ，，，四点共线，
设12 PA AQ PB BQ λλ== ，，则120λλ+=．
即()()()()111112
22223,1,,3,1,.x y x x y y x y x x y y λλ--=--???--=--??
∴111111311.1x x y y λλλλ+?=?+??+?=?+?， 2222223,11.1x x y y λλλλ+?=?+??+?=?+?
∵点11()A x y ，，22()B x y ，在双曲线C 上，
∴2
2
313311i i i i x y λλλλ????
++-= ? ?++????
，其中1 2i =，
． ∴12λλ，是方程22
313311x y λλλλ++????-= ? ?++????
的两个根.
即12 λλ，
是方程()()222336130x y x y λλ--+--+=的两个根． ∵120λλ+=，且22
330x y --≠，
∴()122
2
61033
x y x y λλ--+=-
=--，即10x y --=．
∴点()Q x y ，总在定直线10x y --=上．
22．解：（Ⅰ）因为1ln ()x f x x
+=
，0
x
> ，则
ln ()x f x x
'=-
， ------------------1分
当01x <
<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<．
所以()f x 在（0，1）上单调递增；在(1,)+∞上单调递减， 所以函数()f x 在1x
=处取得极大值． ------------------------------------2
分
因为函数()f x 在区间1(,)
2
a a +
（其中0a >）上存在极值，
所以1
,1
12
a a
?+>?? 解得
1 1.2
a << -------------------------------4分
（Ⅱ）不等式()1
k f x x ≥
+， 即为
(1)(1ln )
,
x x k x
++≥ 记(1)(1ln )
(),x x g x x
++=
所以2
2
[(1)(1ln )](1)(1ln )
ln (),
x x x x x x x g x x
x
'++-++-'=
=
---------------------------6分
令()ln ,h x x x =-则1()1h x x
'=-
，1,()0.x h x '≥∴≥
()h x ∴在[1,)+∞上单调递增，min [()](1)10h x h ∴==>， 从而()0g x '>
故()g x 在[1,)+∞上也单调递增，min [()](1)2g x g ∴==，所以2
k
≤ ---------------8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：
2()1
f x x >
+恒成立，即12
2ln 11,1
1
x x x x x -≥
=-
>-
++
令(1)x n n =+，则2ln[(1)]1(1)
n n n n +>-+， --------------------------------10分
所以 2ln(12)1,12
?>-
?
2ln(23)1,23?>-
?
2ln(34)1,34
?>-
?
………… ……
2ln[(1)]1(1)
n n n n +>-
+．
叠加得：22ln[123???…211(1)]2[12
23
n n n ?+>
-++
??…1](1)
n n +
112(1)22
1
1
n n n n n =
--
>-+
>-++---------------------------------------12分
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