安徽省江南十校2015届高三上学期期末数学试卷（理科）
一．选择题
1．（5分）设复数z满足（1+i）=2﹣i（i为虚数单位，表示复数z的共轭复数），则在复平
面上复数z对应的点（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．（5分）将甲、乙两名篮球运动员在篮球比赛中的得分制成茎叶图如图所示，若甲、乙分别表示甲、乙两名运动员5场比赛的平均得分，则下列结论正确的是（）
A．甲＞乙，且甲队员比乙队员成绩稳定
B．
＞乙，且乙队员比甲队员成绩稳定
＜乙，且甲队员比乙队员成绩稳定
C．
D．甲＜乙，且乙队员比甲队员成绩稳定
3．（5分）如图，若输入n的值为4，则输出A的值为（）
A．3B．﹣2 C．﹣D．
4．（5分）设{a n}是首项为﹣，公差为d（d≠0）的等差数列，S n为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则d=（）
A．﹣1 B．﹣C．D．
5．（5分）已知a=20.1，b=ln0.1，c=sin1，则（）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞a＞c
6．（5分）设函数f（x）（x∈R）满足f（x+2）=2f（x）+x，且当0≤x＜2时，f（x）=[x]（[x]表示不超过x的最大整数），则f（5.5）=（）
A．8.5 B．10.5 C．12.5 D．14.5
7．（5分）以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程是（t为参数），曲线C的极坐标方程是ρsin2θ=3cosθ，则直线l被曲线C截得的弦长为（）
A．B．6C．12 D．7
8．（5分）设l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若l⊥m，m=α∩β，则l⊥α
B．若l∥m，m=α∩β，则l∥α
C．若α∥β，l与α所成的角相等，则l∥m
D．若l∥m，l⊥α，α∥β，则m⊥β
9．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）
A．44+πB．40+4πC．44+4πD．44+2π
10．（5分）已知点A（1，﹣1），B（4，0），C（2，2），平面区域D是所有满足=+μ
（1＜λ≤a，1＜μ≤b）的点P（x，y）组成的区域．若区域D的面积为8，则4a+b的最小值为（）A．5B．4C．9D．5+4
二．填空题
11．（5分）椭圆+=1（a＞b＞0）上任意一点p到两焦点的距离之和为6，且椭圆的离心率为，则椭圆的方程为．
12．（5分）已知m＞0，实数x，y满足，若z=x+2y的最大值为2．则实数m=．13．（5分）设直线（k+1）x+（k+2）y﹣2=0与两坐标轴围成的三角形面积为S k，则S1+S2+…+S10=．
14．（5分）已知二项展开式（1+ax）5=1+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，集合A={80，40，32，10}，若a i∈A（i=1，2，3，4，5），则a=．
15．（5分）已知函数f（x）=|sinx|+|cosx|﹣sin2x﹣1（x∈R），则下列命题正确的是（写出所有正确命题的序号）．
①f（x）是周期函数；
②f（x）的图象关于x=对称；
③f（x）的最小值为﹣2；
④f（x）的单调递减区间为[kπ+，kπ+]（k∈Z）；
⑤f（x）在（0，nπ）内恰有2015个零点，则n的取值范围为1.007.5＜n＜1008．
三．解答题
16．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且（a+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若cosB是方程3x2﹣10x+3=0的一个根，求sinC的值．
17．（12分）已知函数f（x）=（x2+ax）?e x，其中e是自然对数的底数，a∈R．
（Ⅰ）讨论f（x）在其定义域上的单调性；
（Ⅱ）当x∈[0，+∞）时，求f（x）取得最小值时x的值．
18．（12分）全国高中数学联合竞赛于每年10月中旬的第一个星期日举行，竞赛分一试和加试，其中加试题有4题，小明参加了今年的竞赛，他能够答对加试的第一，二，三，四题的概率分别为0.5，0.5，0.2，0.2，且答对各题互不影响．则
（1）小明在加试中至少答对3题的概率
（2）记X为小明在加试题中答对的题的个数，求X的分布列和数学期望．
19．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，且PB与底面ABCD所成的角为45°，E为PB的中点，过A，E，D三点的平面记为α，PC与α的交点为Q．
（Ⅰ）试确定Q的位置并证明；
（Ⅱ）求四棱锥P﹣ABCD被平面α分成上下两部分的体积比．
（Ⅲ）若PA=2，截面AEQD的面积为3，求平面α与平面PCD所成的二面角的正切值．
20．（13分）已知正三角形OEF的三个顶点（O为坐标原点）都在抛物线上x2=y，圆D为三角形OEF的外接圆．圆C的方程为（x﹣5cosα）2+（y﹣5sinα﹣2）2=1（a∈R），过圆C上任意一点M作圆D的两条切线MA，MB，切点分别为A，B，设d=|MA|．
（Ⅰ）求圆D的方程；
（Ⅱ）试用d表示?，并求?的最小值．
21．（13分）设数列{a n}各项均为正数，且满足a n+1=a n﹣a n2．
（Ⅰ）求证：对一切n≥2，都有a n≤；
（Ⅱ）已知前n项和为S，求证：对一切n≥2，都有S2n﹣S n﹣1＜ln2．
安徽省江南十校2015届高三上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析
一．选择题
1．（5分）设复数z满足（1+i）=2﹣i（i为虚数单位，表示复数z的共轭复数），则在复平
面上复数z对应的点（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
考点：复数的代数表示法及其几何意义．
专题：数系的扩充和复数．
分析：把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出，则z可求．
解答：解：由（1+i）=2﹣i，得，
故．
故选：A．
点评：本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．
2．（5分）将甲、乙两名篮球运动员在篮球比赛中的得分制成茎叶图如图所示，若甲、乙分别表示甲、乙两名运动员5场比赛的平均得分，则下列结论正确的是（）
A．甲＞乙，且甲队员比乙队员成绩稳定
＞乙，且乙队员比甲队员成绩稳定
B．
C．
＜乙，且甲队员比乙队员成绩稳定
D．甲＜乙，且乙队员比甲队员成绩稳定
考点：茎叶图．
专题：概率与统计．
分析：计算甲乙二人的平均数与方差，比较计算结果即可．
解答：解：根据茎叶图，知；
甲的平均成绩为
===25.6，
乙的平均成绩为
===22.6，
甲的方差为
=×[（14﹣25.6）2+（25﹣25.6）2+（26﹣25.6）2+（30﹣25.6）2+（33﹣25.6）2]=41.84，乙的方差为
=[（16﹣22.6）2+2+（22﹣22.6）2+（24﹣22.6）2+（31﹣22.6）2]=24.64；
∴＞，＞；
即甲运动员比乙运动员平均得分高，乙队员比甲队员成绩稳定．
故选：B．
点评：本题考查了茎叶图的应用问题，也考查了平均数与方差的计算问题，是基础题．3．（5分）如图，若输入n的值为4，则输出A的值为（）
A．3B．﹣2 C．﹣D．
考点：程序框图．
专题：算法和程序框图．
分析：执行程序框图，写出每次循环得到的A，i的值，当i=4时，结束循环，输出A的值为3．
解答：解：执行程序框图，第1次运行：A=﹣2，i=1；
第2次运行：A=﹣，i=2；
第3次运行：A=，i=3；
第4次运行：A=3，i=4；
结束循环，输出A的值为3．
故选：A．
点评：本题主要考查了程序框图和算法，属于基本知识的考查．
4．（5分）设{a n}是首项为﹣，公差为d（d≠0）的等差数列，S n为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则d=（）
A．﹣1 B．﹣C．D．
考点：等差数列的前n项和．
专题：等差数列与等比数列．
分析：由等差数列的前n项和得到S1，S2，S4，再由S1，S2，S4成等比数列列式求得d的值．
解答：解：∵，S2=2a1+d=d﹣1，S4=4a1+6d=6d﹣2，
且S1，S2，S4成等比数列，
则，解得：d=﹣1或d=0（舍）．
故选：A．
点评：本题考查了等差数列的前n项和，考查了等比数列的性质，是基础的计算题．
5．（5分）已知a=20.1，b=ln0.1，c=sin1，则（）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞a＞c
考点：对数值大小的比较．
专题：函数的性质及应用．
分析：利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．
解答：解：∵a=20.1＞1，b=ln0.1＜0，0＜c=sin1＜1，
∴a＞b＞c．
故选：B．
点评：本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题．
6．（5分）设函数f（x）（x∈R）满足f（x+2）=2f（x）+x，且当0≤x＜2时，f（x）=[x]（[x]表示不超过x的最大整数），则f（5.5）=（）
A．8.5 B．10.5 C．12.5 D．14.5
考点：抽象函数及其应用．
专题：函数的性质及应用．
分析：此题类似于函数的周期性，应先将f（5.5）转化到区间[0，2]上来，然后取整求解．解答：解：由题意f（x+2）=2f（x）+x得：
f（5.5）=2f（3.5）+3.5=2[2f（1.5）+1.5]+3.5
=4f（1.5）+6.5
=4×1+6.5
=10.5．
故选B
点评：本题考查了抽象函数的性质，此题的关键在于利用条件“f（x+2）=2f（x）+x”实现将所求转化为已知．这是此类问题考查的主要解题思想．
7．（5分）以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程是（t为参数），曲线C的极坐标方程是ρsin2θ=3cosθ，则直线l被曲线C截得的弦长为（）
A．B．6C．12 D．7
考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
专题：坐标系和参数方程．
分析：先将参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程，判断出直线l过抛物线y2=3x焦点F （，0），设出交点坐标联立方程消去y后，再由韦达定理求出x1+x2，代入焦点弦公式求值即可．
解答：解：由（t为参数）得，直线l普通方程是：，
由ρsin2θ=3cosθ得，ρ2sin2θ=3ρcosθ，即y2=3x，
则抛物线y2=3x的焦点是F（，0），
所以直线l过抛物线y2=3x焦点F（，0），
设直线l与曲线C交于点A（x1、y1）、B（x2、y2），
由得，16x2﹣168x+9=0，
所以△＞0，且x1+x2=，
所以|AB|=x1+x2+p=+=12，
故选：C．
点评：本题考查参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程，以及直线与抛物线相交时焦点弦的求法，属于中档题．
8．（5分）设l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若l⊥m，m=α∩β，则l⊥α
B．若l∥m，m=α∩β，则l∥α
C．若α∥β，l与α所成的角相等，则l∥m
D．若l∥m，l⊥α，α∥β，则m⊥β
考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．
专题：空间位置关系与距离．
分析：对四个选项分别分析，利用线面关系逐一分析，选择正确答案．
解答：解：对于A，l可能在平面α内，所以A错误；
对于B，l可能在平面α内，所以B错误；
对于C，l，m可能平行、相交、异面，所以C错误；
对于D，因为l∥m，l⊥α，所以m⊥α，又因为α∥β，所以m⊥β，正确；
故选D．
点评：本题考查了线面关系的判断，考查学生的空间想象能力．
9．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）
A．44+πB．40+4πC．44+4πD．44+2π
考点：由三视图求面积、体积．
专题：空间位置关系与距离．
分析：由三视图可知：该几何体为一个四棱锥和一个长方体去掉一个半球的组合体．解出即可．
解答：解：由三视图可知：该几何体为一个四棱锥和一个长方体去掉一个半球的组合体．则该几何体的表面积S=+4×2×4+22﹣π×12+=44+π．
故选：A．
点评：本题考查了组合体的三视图及其表面积计算，属于基础题．
10．（5分）已知点A（1，﹣1），B（4，0），C（2，2），平面区域D是所有满足=+μ
（1＜λ≤a，1＜μ≤b）的点P（x，y）组成的区域．若区域D的面积为8，则4a+b的最小值为（）A．5B．4C．9D．5+4
考点：基本不等式；平面向量的基本定理及其意义．
专题：不等式的解法及应用．
分析：如图所示，延长AB到点N，延长AC到点M，使得|AN|=a|AB|，|AM|=b|AC|，作CH∥AN，BF∥AM，NG∥AM，MG∥AN，则四边形ABEC，ANGM，EHGF均为平行四边形．由题意可知：点P（x，y）组成的区域D为图中的四边形EFGH及其内部．利用向量的
夹角公式可得cos∠CAB=，利用四边形EFGH的面积
S==8，再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．
解答：解：如图所示，
延长AB到点N，延长AC到点M，使得|AN|=a|AB|，|AM|=b|AC|，作CH∥AN，BF∥AM，NG∥AM，MG∥AN，则四边形ABEC，ANGM，EHGF均为平行四边形．由题意可知：点P （x，y）组成的区域D为图中的四边形EFGH及其内部．
∵=（3，1），=（1，3），=（﹣2，2），∴=，=，=．∴cos∠CAB===，．
∴四边形EFGH的面积S==8，
∴（a﹣1）（b﹣1）=1，即．
∴4a+b=（4a+b）=5+=9，当且仅当b=2a=3时取等号．
∴4a+b的最小值为9．
故选：C．
点评：本题考查了向量的夹角公式、数量积运算性质、平行四边形的面积计算公式、基本不等式的性质，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
二．填空题
11．（5分）椭圆+=1（a＞b＞0）上任意一点p到两焦点的距离之和为6，且椭圆的离心率为，则椭圆的方程为．．
考点：椭圆的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：根据椭圆的定义可求得a，根据离心率可求得c，进而求b，从而解得椭圆的方程．解答：解：由题意得：2a=6，故a=3，
又离心率e═，
所以c=1，
b2=a2﹣c2=8，
所以椭圆的方程为：．
故答案为：．
点评：本题主要考查椭圆的定义、离心率，属于基础题．
12．（5分）已知m＞0，实数x，y满足，若z=x+2y的最大值为2．则实数m=1．
考点：简单线性规划．
专题：不等式的解法及应用．
分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义即可得到结论．
解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由图象可知z=x+2y在点（0，m）处取得最大值，
此时0+2m=2，
解得m=1，
故答案为：1
点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．
13．（5分）设直线（k+1）x+（k+2）y﹣2=0与两坐标轴围成的三角形面积为S k，则
S1+S2+…+S10=．
考点：数列与解析几何的综合．
专题：等差数列与等比数列．
分析：令x=0，求出y，令y=0，求出x，然后求出S k，根据三角形面积公式求和．
解答：解：依题意，得直线与y轴交于（0，），与x轴交于（，0），则
则S k=?=2（），
S1+S2+…+S10=2[（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]
=2×
=．
故答案为：．
点评：本题考查了一次函数的综合运用．关键是求出一次函数图象与坐标轴的交点，得出面积，再拆项求和．
14．（5分）已知二项展开式（1+ax）5=1+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，集合A={80，40，32，10}，若a i∈A（i=1，2，3，4，5），则a=2．
考点：二项式定理的应用．
专题：计算题；集合；二项式定理．
分析：运用二项式定理展开，可得对应项的系数，再由条件判断a＞1，对a1讨论，即可得到所求值．
解答：解：由二项式定理，可得，
（1+ax）5=1+ax+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，
则有a1=5a，a2=10a2，a3=10a3，a4=5a4，a5=a5．
由于集合A={80，40，32，10}，且a i∈A（i=1，2，3，4，5），
则a i＞0，即a＞0，若a=1，则显然不成立，即a＞1，则a1为较小的，
若a1=32或40，则显然不成立，若a1=10，则a=2，
a1=10，a2=40，a3=80，a4=80，a5=32．成立．
故答案为：2．
点评：本题考查二项式定理的运用，考查元素和集合的关系，考查推断能力和运算能力，属于中档题．
15．（5分）已知函数f（x）=|sinx|+|cosx|﹣sin2x﹣1（x∈R），则下列命题正确的是①③④（写出所有正确命题的序号）．
①f（x）是周期函数；
②f（x）的图象关于x=对称；
③f（x）的最小值为﹣2；
④f（x）的单调递减区间为[kπ+，kπ+]（k∈Z）；
⑤f（x）在（0，nπ）内恰有2015个零点，则n的取值范围为1.007.5＜n＜1008．
考点：命题的真假判断与应用．
专题：三角函数的图像与性质；简易逻辑．
分析：把函数f（x）=|sinx|+|cosx|﹣sin2x﹣1化为f（x）=，然后直接由周期的定义求周期判断①；
由判断②；换元后利用二次函数求最值判断③；借助于复合函数的
单调性判断④；求出函数在（0，π]内的零点后分析使得f（x）在（0，nπ）内恰有2015个零点的n的取值范围判断⑤．
解答：解：f（x）=|sinx|+|cosx|﹣sin2x﹣1=．
∵f（x+π）=f（x），∴f（x）是周期为π的函数，①正确；
∵，∴f（x）的图象不关于x=对称，②错误；
∵f（x）是周期为π的函数，故只需研究f（x）在（0，π]上的最小值，
当0≤sin2x≤1时，即x∈（0，]时，f（x）=，令t=，
则f（x）转化为g（t）=﹣t2+t，t∈[1，]，求得g（t）∈[，0]；
当﹣1≤sin2x≤0时，即x∈（]时，同理求得g（t）∈[0，]．
∴f（x）的最小值为﹣2，命题③正确；
由③可知，当x∈（0，]，即t∈[1，]时，g（t）在[1，]上单调递减，
f（x）=在（0，]上递增，在上递减，
∴f（x）在（0，]上递减，在上递增．
当x∈（，π]时，同理可得f（x）在上递增，在上递减．
∵f（x）为连续函数，故f（x）在上递增．
又f（x）的周期为π，
∴f（x）的单调递减区间为[kπ+，kπ+]（k∈Z），④正确；
由已知函数解析式知，当且仅当sin2x=0时，f（x）=0，
当x∈（0，π]时，f（x）有且仅有两个零点分别为，
∵2015=2×1007+1，
∴当1007.5＜n≤1008时，f（x）在（0，nπ）内恰有2015个零点错误．
点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了三角函数的图象和性质，训练了与三角函数有关的复合函数单调性的求法，是中档题．
三．解答题
16．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且（a+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若cosB是方程3x2﹣10x+3=0的一个根，求sinC的值．
考点：余弦定理；正弦定理．
专题：解三角形．
分析：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理得到关系式，再利用余弦定理表示出cosA，把得出关系式代入求出cosA的值，即可确定出角A的大小；
（Ⅱ）求出已知方程的解确定出cosB的值，进而求出sinB的值，利用内角和定理及诱导公式得到sinC=sin（A+B），利用两角和与差的正弦函数公式化简，把各自的值代入计算即可求出值．
解答：解：（Ⅰ）已知等式（a+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，
利用正弦定理化简得：（a+b）（a﹣b）=c（c﹣b），即b2+c2﹣a2=bc，
∴cosA==，
则A=；
（Ⅱ）方程3x2﹣10x+3=0，
解得：x1=，x2=3，
由cosB≤1，得到cosB=，
∴sinB==，
则sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×+×=．
点评：此题考查了正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．
17．（12分）已知函数f（x）=（x2+ax）?e x，其中e是自然对数的底数，a∈R．
（Ⅰ）讨论f（x）在其定义域上的单调性；
（Ⅱ）当x∈[0，+∞）时，求f（x）取得最小值时x的值．
考点：利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．
专题：导数的综合应用．
分析：（Ⅰ）先求导，根据导数和函数的单调性即可求出单调区间，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在x2处取得极小值，分当x2＞0，x2≤0，两种情况讨论即可
解答：解：（Ⅰ）f′（x）=[（x2+（a+2）x+a]?e x，
△=（a+2）2﹣4a=（a﹣2）2，≥0，恒成立
令f′（x）=0，解得x1=，x2=，
当f′（x）＞0，解得x＞x2，或x＜x1，
当f′（x）＜0，解得x1＜x＜x2，
故函数f（x）在（﹣∞，）和（，+∞）为增函数，在（，）为减函数
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在x2处取得极小值，
当x2＞0，即＞0，解得a＜0时，x2∈[0，+∞），则f（x）在
x=处取得极小值，
当x2≤0，解得a≥0时，x2∈[0，+∞），则f（x）在x=0处取得极小值，
综上所述，当a＜0时，x的值为，
当a≥0时，x的值为0
点评：本题考查了导数和函数的单调性和极值的关系，以及分类讨论的思想，属于中档题
18．（12分）全国高中数学联合竞赛于每年10月中旬的第一个星期日举行，竞赛分一试和加试，其中加试题有4题，小明参加了今年的竞赛，他能够答对加试的第一，二，三，四题的概率分别为0.5，0.5，0.2，0.2，且答对各题互不影响．则
（1）小明在加试中至少答对3题的概率
（2）记X为小明在加试题中答对的题的个数，求X的分布列和数学期望．
考点：离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列．
专题：概率与统计．
分析：（1）利用互斥事件与相互独立事件的概率计算公式即可得出；
（2）类比（1）可得：P（X=0）=（1﹣0.5）×（1﹣0.5）×（1﹣0.2）×（1﹣0.2），P（X=1）=0.5×（1﹣0.5）×（1﹣0.2）×（1﹣0.2）×2+（1﹣0.5）×（1﹣0.5）×0.2×（1﹣0.2）×2=0.32+0.08，P（X=3）=0.08+0.02=0.1，P（X=4）=0.01．P（X=2）=1﹣[P（X=0）+P（X=1）+P（X=3）+P（X=4）]．再利用数学期望的计算公式即可得出．
解答：解：（1）设小明能够答对加试的第一，二，三，四题分别为事件A i（i=1，2，3，4）．则小明在加试中至少答对3题的概率P（X=3或4）
=++++P
（A1A2A3A4）
=0.5×0.5×0.2×（1﹣0.2）×2+0.5×0.2×0.2×（1﹣0.5）×2+0.5×0.5×0.2×0.2
=0.08+0.02+0.01
=0.11．
（2）类比（1）可得：
P（X=0）=（1﹣0.5）×（1﹣0.5）×（1﹣0.2）×（1﹣0.2）=0.16，
P（X=1）=0.5×（1﹣0.5）×（1﹣0.2）×（1﹣0.2）×2+（1﹣0.5）×（1﹣0.5）×0.2×（1﹣0.2）×2=0.32+0.08=0.4，
P（X=3）=0.08+0.02=0.1，
P（X=4）=0.01．
P（X=2）=1﹣[P（X=0）+P（X=1）+P（X=3）+P（X=4）]=1﹣（0.16+0.4+0.1+0.01）=0.33．可得随机变量X的分布列：
X 0 1 2 3 4
P（X）0.16 0.4 0.33 0.1 0.01
∴E（X）=0×0.16+1×0.4+2×0.33+3×0.1+4×0.01
=1.4．
点评：本题考查了互斥事件与相互独立事件的概率计算公式、随机变量的分布列与数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，且PB与底面ABCD所成的角为45°，E为PB的中点，过A，E，D三点的平面记为α，PC与α的交点为Q．
（Ⅰ）试确定Q的位置并证明；
（Ⅱ）求四棱锥P﹣ABCD被平面α分成上下两部分的体积比．
（Ⅲ）若PA=2，截面AEQD的面积为3，求平面α与平面PCD所成的二面角的正切值．
考点：二面角的平面角及求法；棱柱、棱锥、棱台的体积．
分析：（Ⅰ）利用线面平行和线线平行之间的转化求出结论．
（Ⅱ）利用线面的垂直，进一步算出锥体的体积运算求出比值．
（Ⅲ）通过做出二面角的平面角求出相关的量，进一步解直角三角形求得结果．
解答：解：（Ⅰ）Q为PC的中点．
理由证明如下：因为AD∥BC，AB?平面PBC，故AD∥平面PBC．
又由于平面α∩平面PBC=EQ，故AD∥EQ．
所以：BC∥EQ．
又E为PB的中点，故Q为PC的中点．
（Ⅱ）如图连接EQ，DQ，
因为：PA⊥平面ABCD，所以PB与平面ABCD所成的角为∠PBA=45°
故：PA=AB
又因为：E为PB的中点，
所以PE⊥AE．
因为四边形ABCD是矩形，所以AD⊥AB．
又PA⊥平面ABCD
得到：AD⊥PA，又PA∩AB=A
故：PE⊥平面α
设：PA=h，AD=2a，四棱锥P﹣ABCD被平面α所分成的上下两部分分别为V1和V2则：EQ=a
又因为AD⊥平面PAB，所以AD⊥AE．
=
（Ⅲ）过E作EF⊥DQ，连接PF，
因为PE⊥平面α，所以PE⊥DF
又由于EF∩PE=E，所以DF⊥平面PEF，
则：DF⊥PF
所以：∠PFE是平面α和平面PCD所成的二面角．
因为：PA=2，即h=2，截面AEQD的面积为3．
所以：
解得：a=
又因为：AD∥EQ，且EQ=AD，
故：
QD=
又
解得：EF=1．
PE=
在直角三角形PEF中，
即：平面α与平面PCD所成的二面角的正切值为．
点评：本题考查的知识要点：线面的垂直和平行问题，锥体的体积，二面角的平面角的应用．属于中等题型．
20．（13分）已知正三角形OEF的三个顶点（O为坐标原点）都在抛物线上x2=y，圆D为三角形OEF的外接圆．圆C的方程为（x﹣5cosα）2+（y﹣5sinα﹣2）2=1（a∈R），过圆C上任意一点M作圆D的两条切线MA，MB，切点分别为A，B，设d=|MA|．
（Ⅰ）求圆D的方程；
（Ⅱ）试用d表示?，并求?的最小值．
考点：圆的标准方程；平面向量数量积的运算．
专题：直线与圆．
分析：（Ⅰ）设E（），F（），x1＞x2，由已知得E（），F（﹣
，3），由此能求出圆D的方程．
（Ⅱ）圆心C（5cosα，5sinα+2），从而|DC|=5，由圆的向何性质，得4≤|DM|≤6，2，由此能求出取得最小值为6．
解答：解：（Ⅰ）设E（），F（），x1＞x2，
∵△OEF是正三角形，∴，
解得，则E（），
同理，F（﹣，3），
∴外接圆的圆心为（0，2），半径为2，
故圆D的方程为x2+（y﹣2）2=4．
（Ⅱ）圆心C（5cosα，5sinα+2），
∴|DC|=5，
由圆的几何性质，得：
|DC|﹣1≤|DM|≤|DC|+1，即4≤|DM|≤6，
又|DA|=2，在Rt△DAM中，由勾股定理，得：
d=|MA|==，
∴2，
设∠DMA=θ，则tanθ==，
∴cos∠AMB=cos2θ=cos2θ﹣sin2θ
=
==，
∴=||?||cos∠AMB=，
令t=d2+4，则t∈[16，36]，
∴==t+﹣12，
令f（t）=t+﹣12，t∈[16，36]，
则f′（t）=1﹣=，
∴f（t）在[16，36]上单调递增，
当t=d2+4=16，即d=2时，
取得最小值为6．
点评：本题考查圆D的方程的求法，考查?的最小值的求法，是中档题，解题时要注意圆的性质的合理运用．
21．（13分）设数列{a n}各项均为正数，且满足a n+1=a n﹣a n2．
（Ⅰ）求证：对一切n≥2，都有a n≤；
（Ⅱ）已知前n项和为S，求证：对一切n≥2，都有S2n﹣S n﹣1＜ln2．
考点：数列与不等式的综合；数列递推式．
专题：等差数列与等比数列．
分析：（Ⅰ）由已知得0＜a1＜1，当n=2时，=≤，不等式成立，假设当n=k（k≥2）时，不等式成立，由已知推导出不等式也成立，由数学归纳法知，对一切n≥2，都有a n≤．
（Ⅱ）设f（x）=ln（x+1）﹣，x＞0则=＞0，f（x）在（0，+∞）上是增函数，ln（x+1）＞，令x=，代入上式，得
，由此能证明对一切n≥2，都有S2n﹣S n﹣1＜ln2．
解答：证明：（Ⅰ）∵数列{a n}各项均为正数，且满足a n+1=a n﹣a n2，
∴＞0，解得0＜a1＜1，
当n=2时，=≤，不等式成立，
假设当n=k（k≥2）时，不等式成立，即，
则当n=k+1时，
=
≤﹣（）2=
＜=，
∴当n=k+1时，不等式也成立，
由数学归纳法知，对一切n≥2，都有a n≤．
（Ⅱ）设f（x）=ln（x+1）﹣，x＞0
则=＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数，
则f（x）＞f（0）=0，即ln（x+1）＞，
令x=，代入上式，得，
故对一切n≥2，S2n﹣S n﹣1=a n+a n+1+a n+2+…+a2n
≤
＜ln（n+2）﹣ln（n+1）+ln（n+3）﹣ln（n+2）+…+ln（2n+2）﹣ln（2n+1）
=ln（2n+2）﹣ln（n+1）=ln2．
∴对一切n≥2，都有S2n﹣S n﹣1＜ln2．
点评：本题考查不等式的证明，解题时要注意导数性质、构造法、数学归纳法的合理运用．