2020年高考数学一模试卷（理科）
一、选择题
1．已知集合A＝{x|x≥3或x≤﹣3}，B＝{y|y＝2x，x≥1}，则（?R A）∩B＝（）A．|x|2≤x＜3| B．{x|x＞2} C．|x|x≥3| D．{x|2＜x≤3| 2．已知复数z满足i（3+z）＝1+i，则z的虚部为（）
A．﹣i B．i C．﹣1 D．1
3．已知函数，若f（a）＞f（b），则下列不等关系正确的是（）A．B．
C．a2＜ab D．ln（a2+1）＞ln（b2+1）
4．国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个月的中国制造业采购经理指数（PMI）如下图所示．则下列结论中错误的是（）
A．12个月的PMI值不低于50%的频率为
B．12个月的PMI值的平均值低于50%
C．12个月的PMI值的众数为49.4%
D．12个月的PMI值的中位数为50.3%
5．已知数列{a n}满足a n+1﹣a n＝2，且a1，a3，a4成等比数列．若{a n}的前n项和为S n，则S n 的最小值为（）
A．﹣10 B．﹣14 C．﹣18 D．﹣20
6．已知cos（2019π+α）＝﹣，则sin（﹣2α）＝（）
A．B．C．﹣D．
7．已知双曲线的右焦点为F，过右顶点A且与x轴垂直的直线交双曲线的一条渐近线于M点，MF的中点恰好在双曲线C上，则C的离心率为（）A．B．C．D．
8．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为11，则图中的判断条件可以为（）
A．S＞﹣1？B．S＜0？C．S＜﹣1？D．S＞0？
9．已知各项都是正数的数列{a n}满足a n+1﹣a n＝2n（n∈N*），若当且仅当n＝4时，取得最小值，则（）
A．0＜a1＜12 B．12＜a1＜20 C．a1＝12 D．a1＝20
10．过抛物线E：x2＝2py（p＞0）的焦点F作两条互相垂直的弦AB，CD，设P为抛物线上的一动点，Q（1，2）．若，则|PF|+|PQ|的最小值是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．已知四棱锥E﹣ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，ED＝1，平面ECD⊥平面ABCD，当点C到平面ABE的距离最大时，该四棱锥的体积为（）
A．B．C．D．1
12．已知不等式xlnx+x（k﹣ln4）+k＜0的解集中仅有2个整数，则实数k的取值范围是（）
A．B．
C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量＝（1，1），||＝，（2+）?＝2，则|﹣|＝．14．（ax+1）（x﹣1）5的展开式中，x3的系数是20，则a＝．
15．将底面直径为4，高为的圆锥形石块打磨成一个圆柱，则该圆柱的侧面积的最大值为．
16．2019年暑假期间，河南有一新开发的景区在各大媒体循环播放广告，观众甲首次看到该景区的广告后，不来此景区的概率为，从第二次看到广告起，若前一次不来此景区，则这次来此景区的概率是；若前一次来此景区，则这次来此景区的概率是．记观众甲第n次看到广告后不来此景区的概率为P n，若当n≥2时，P n≤M恒成立，则M的最小值为．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
17．如图，在平面四边形ABCD中，∠DCB＝45°，∠ABD＝120°，．（Ⅰ）求△ABD的面积的最大值；
（Ⅱ）在△ABD的面积取得最大值的条件下，若，求的值．
18．如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面ABC⊥平面A1ACC1，CC1＝2，△ABC，△ACC1，均为正三角形，E为AB的中点．
（Ⅰ）证明：AC1∥平面B1CE；
（Ⅱ）求直线AC1与平面B1BAA1所成角的正弦值．
19．近几年一种新奇水果深受广大消费者的喜爱，一位农户发挥聪明才智，把这种露天种植的新奇水果搬到了大棚里，收到了很好的经济效益．根据资料显示，产出的新奇水果的箱数x（单位：十箱）与成本y（单位：千元）的关系如下：
x 1 3 4 6 7
y 5 6.5 7 7.5 8 y与x可用回归方程（其中，为常数）进行模拟．
（Ⅰ）若该农户产出的该新奇水果的价格为150元/箱，试预测该新奇水果100箱的利润是多少元．（利润＝售价﹣成本）
（Ⅱ）据统计，10月份的连续16天中该农户每天为甲地可配送的该新奇水果的箱数的频率分布直方图如图，用这16天的情况来估计相应的概率．一个运输户拟购置n辆小货车专门运输该农户为甲地配送的该新奇水果，一辆货车每天只能运营一趟，每辆车每趟最多只能装载40箱该新奇水果，满载发车，否则不发车．若发车，则每辆车每趟可获利500元；若未发车，则每辆车每天平均亏损200元．试比较n＝3和n＝4时此项业务每天的利润平均值的大小．
参考数据与公式：设t＝lgx，则
0.54 6.8 1.53 0.45
线性回归直线中，，．
20．已知椭圆的左，右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝2，M是椭圆E上的一个动点，且△MF1F2的面积的最大值为．
（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）若A（a，0），B（0，b），四边形ABCD内接于椭圆E，AB∥CD，记直线AD，BC 的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值．
21．已知直线y＝x﹣1是曲线f（x）＝alnx的切线．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）证明：方程sin（x﹣1）＝f（x）有且仅有2个实数根．
（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．以直角坐标系xOy的原点为极坐标系的极点，x轴的正半轴为极轴．已知曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ+8sinθ，P是C1上一动点，，Q的轨迹为C2．
（Ⅰ）求曲线C2的极坐标方程，并化为直角坐标方程；
（Ⅱ）若点M（0，1），直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C2的交点为A，B，当|MA|+|MB|取最小值时，求直线l的普通方程．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知a，b，c∈R+，?x∈R，不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≤a+b+c恒成立．（Ⅰ）求证：
（Ⅱ）求证：．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A＝{x|x≥3或x≤﹣3}，B＝{y|y＝2x，x≥1}，则（?R A）∩B＝（）A．|x|2≤x＜3| B．{x|x＞2} C．|x|x≥3| D．{x|2＜x≤3| 【分析】可以求出集合B，然后进行交集和补集的运算即可．
解：∵A＝{x|x≥3或x≤﹣3}，B＝{y|y≥2}，
∴?R A＝{x|﹣3＜x＜3}，
∴（?R A）∩B＝{x|2≤x＜3}．
故选：A．
2．已知复数z满足i（3+z）＝1+i，则z的虚部为（）
A．﹣i B．i C．﹣1 D．1
【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解∵i（3+z）＝1+i，∴3+z＝，
∴z＝﹣2﹣i，
∴复数z的虚部为﹣1．
故选：C．
3．已知函数，若f（a）＞f（b），则下列不等关系正确的是（）A．B．
C．a2＜ab D．ln（a2+1）＞ln（b2+1）
【分析】易知f（x）在R上单调递增，可得a＞b，再逐项判断即可．
解：易知f（x）在R上单调递增，故a＞b．
因为a，b的符号无法判断，故a2与b2，a2与ab的大小不确定，
所以A，C，D不一定正确；B中正确．
故选：B．
4．国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9
月份共12个月的中国制造业采购经理指数（PMI）如下图所示．则下列结论中错误的是（）
A．12个月的PMI值不低于50%的频率为
B．12个月的PMI值的平均值低于50%
C．12个月的PMI值的众数为49.4%
D．12个月的PMI值的中位数为50.3%
【分析】根据统计图中数据变化情况，分析判断选项中的命题是否正确即可．
解：从图中数据变化看，PMI值不低于50%的月份有4个，
所以12个月的PMI值不低于50%的频率为＝，所以A正确；
由图可以看出，PMI值的平均值低于50%，所以B正确；
12个月的PMI值的众数为49.4%，所以C正确；
12个月的PMI值的中位数为49.6%，所以D错误．
故选：D．
5．已知数列{a n}满足a n+1﹣a n＝2，且a1，a3，a4成等比数列．若{a n}的前n项和为S n，则S n 的最小值为（）
A．﹣10 B．﹣14 C．﹣18 D．﹣20
【分析】利用等差数列等比数列的通项公式求和公式、二次函数的单调性即可得出．解：根据题意，可知{a n}为等差数列，公差d＝2．
由a1，a3，a4成等比数列，可得＝a1（a1+6），解得a1＝8．
所以S n＝﹣8n+＝﹣．
根据单调性，可知当n＝4或5时，S n取到最小值，最小值为﹣20．
故选：D．
6．已知cos（2019π+α）＝﹣，则sin（﹣2α）＝（）
A．B．C．﹣D．
【分析】由已知利用诱导公式可得cosα＝，进而利用诱导公式，二倍角的余弦函数公式化简所求即可计算得解．
解：由cos（2019π+α）＝﹣，
可得cos（π+α）＝﹣，
∴cosα＝，
∴sin（﹣2α）＝cos2α＝2cos2α﹣1＝2×﹣1＝﹣．
故选：C．
7．已知双曲线的右焦点为F，过右顶点A且与x轴垂直的直线交双曲线的一条渐近线于M点，MF的中点恰好在双曲线C上，则C的离心率为（）A．B．C．D．
【分析】由题意可得过右顶点的直线，又可得M的坐标，进而求出MF的中点的坐标，代入双曲线方程，可得a，c的关系，进而求出离心率．
解：双曲线C：＝1，a＞0，b＞0的右顶点为A（a，0），右焦点为A（c，0），M所在直线为x＝a，不妨设M（a，b），
∴MF的中点坐标为（，）．
代入方程可得﹣＝1，
∴＝，∴e2+2e﹣4＝0，∴e＝﹣1（负值舍去）．
故选：A．
8．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为11，则图中的判断条件可以为（）
A．S＞﹣1？B．S＜0？C．S＜﹣1？D．S＞0？
【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算S的值并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
解：i＝1，S＝1．
运行第一次，S＝1+lg＝1﹣lg3＞0，i＝3，不成立；
运行第二次，S＝1+lg+lg＝1﹣lg5＞0，i＝5，不成立；
运行第三次，S＝1+lg+lg+lg＝1﹣lg7＞0，i＝7，不成立；
运行第四次，S＝1+lg+lg+lg+lg＝1﹣lg9＞0，i＝9，不成立；
运行第五次，S＝1+lg+lg+lg+lg+lg＝1﹣lg11＜0，i＝11，成立，
输出i的值为11，结束，
故选：B．
9．已知各项都是正数的数列{a n}满足a n+1﹣a n＝2n（n∈N*），若当且仅当n＝4时，取得最小值，则（）
A．0＜a1＜12 B．12＜a1＜20 C．a1＝12 D．a1＝20
【分析】据数列的递推式求数列通项，函数的最小值等知识求出结果．
解：由题意得当n≥2时，各项都是正数的数列{a n}满足a n+1﹣a n＝2n，
所以a n﹣a n﹣1＝2n﹣2，a n﹣1﹣a n﹣2＝2n﹣4，…，a2﹣a1＝2，
累加得，故，
当n＝1，该式也成立，则．
因为当且仅当n＝4时，取得最小值，
当a1＞0，所以由“对勾两数”的单调性可知
，
即，且，
解得12＜a1＜20．
故选：B．
10．过抛物线E：x2＝2py（p＞0）的焦点F作两条互相垂直的弦AB，CD，设P为抛物线上的一动点，Q（1，2）．若，则|PF|+|PQ|的最小值是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】显然直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为y＝kx+，与抛物线方程联立结合韦达定理可得：|AB|＝y1+y2+p＝2pk2+2p，因为AB⊥CD，所以直线CD的斜率为：﹣，所以|CD|＝2p（﹣）2+2p＝，所以
，解得p＝2，设点P到准线y＝﹣1的距离为d，由抛物线的性质可知：|PF|+|PQ|＝d+|PQ|，而当QP垂直于x轴时，d+|PQ|的值最小，最小值为2+1＝3．
解：显然直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为y＝kx+，
联立方程，消去y得：x2﹣2pkx﹣p2＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
∴x1+x2＝2pk，
∴，
由抛物线的性质可知：|AB|＝y1+y2+p＝2pk2+2p，
∵AB⊥CD，∴直线CD的斜率为：﹣，
∴|CD|＝2p（﹣）2+2p＝，
∴，
∴2p+2pk2＝4+4k2，
∴p＝2，
∴抛物线方程为：x2＝4y，准线方程为：y＝﹣1，
设点P到准线y＝﹣1的距离为d，由抛物线的性质可知：|PF|+|PQ|＝d+|PQ|，
而当QP垂直于x轴时，d+|PQ|的值最小，最小值为2+1＝3，如图所示：
∴|PF|+|PQ|的最小值为3，
故选：C．
11．已知四棱锥E﹣ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，ED＝1，平面ECD⊥平面ABCD，当点C到平面ABE的距离最大时，该四棱锥的体积为（）
A．B．C．D．1
【分析】如图所示，由题意可得：ED⊥平面ABCD时，△ADE的面积最大，可得点C即点D到平面ABE的距离最大．即可得出此时该四棱锥的体积．
解：如图所示，
由题意可得：ED⊥平面ABCD时，△ADE的面积最大，可得点C即点D到平面ABE的距离最大．
此时该四棱锥的体积＝＝．
故选：B．
12．已知不等式xlnx+x（k﹣ln4）+k＜0的解集中仅有2个整数，则实数k的取值范围是（）
A．B．
C．D．
【分析】原不等式等价于，k（x+1）＜xln4﹣xlnx，设g（x）＝k（x+1），f（x）＝ln4﹣xlnx，然后转化为函数图象的交点结合图象可求．
解：原不等式等价于，k（x+1）＜xln4﹣xlnx，
设g（x）＝k（x+1），f（x）＝ln4﹣xlnx
所以f（x）＝ln4﹣（1+lnx）＝ln﹣1，
令f′（x）＝0，得x＝．
当0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当x＞时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．
又f（4）＝0，x→0时，f（x）→0，
因此f（x）与g（x）的图象如下，
当k≤0时，显然不满足条件，当k＞0时，只需满足，
∴
解可得，．
故选：D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量＝（1，1），||＝，（2+）?＝2，则|﹣|＝ 3 ．【分析】依题意，可求得，再根据模长公式求解即可．
解：由题意可得，
∴，解得，
∴．
故答案为：3．
14．（ax+1）（x﹣1）5的展开式中，x3的系数是20，则a＝﹣1 ．
【分析】根据（ax+1）（x﹣1）5＝ax（x﹣1）5+（x﹣1）5，利用（x﹣1）5的展开式的通项公式为T r+1＝?x5﹣r?（﹣1）r，求得原展开式中x3的系数．
解：因为（ax+1）（x﹣1）5＝ax（x﹣1）5+（x﹣1）5，
而（x﹣1）5的展开式的通项公式为T r+1＝?x5﹣r?（﹣1）r，
所以，原展开式中x3的系数为a??（﹣1）3+?（﹣1）2＝20，
∴a＝﹣1，
故答案为：﹣1．
15．将底面直径为4，高为的圆锥形石块打磨成一个圆柱，则该圆柱的侧面积的最大值为．
【分析】欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥．设圆柱的高为h，底面半径为r，由＝，解得h＝﹣r．可得S侧＝2πrh＝2πr（﹣r），利用基本不等式的性质即可得出．
解：欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥．设圆柱的高为h，底面半径为r，
则＝，解得h＝﹣r．
故S侧＝2πrh＝2πr（﹣r）＝πr（2﹣r）≤π＝．当r＝1时，S侧的最大值为．
故答案为：．
16．2019年暑假期间，河南有一新开发的景区在各大媒体循环播放广告，观众甲首次看到该景区的广告后，不来此景区的概率为，从第二次看到广告起，若前一次不来此景区，则这次来此景区的概率是；若前一次来此景区，则这次来此景区的概率是．记观众甲第n次看到广告后不来此景区的概率为P n，若当n≥2时，P n≤M恒成立，则M的最小值为．
【分析】直接利用数列的通项公式的求法及应用，独立性重复试验的应用求出结果．解：根据题意，P n为观众甲第n次看到广告后不来此景区的概率，
则＝，
所以，
所以数列{}是首项为，公比为的等比数列，
所以＝，
，显然数列{P n}单调递减，
所以当n≥2时，，
所以M，所以M的最小值为．
故答案为：
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：
共60分．
17．如图，在平面四边形ABCD中，∠DCB＝45°，∠ABD＝120°，．（Ⅰ）求△ABD的面积的最大值；
（Ⅱ）在△ABD的面积取得最大值的条件下，若，求的值．
【分析】（I）由已知结合余弦定理及基本不等式可求BA?BD的范围，然后结合三角形的面积公式即可求解面积的最大值；
（II）结合正弦定理及二倍角公式即可求解．
解：（Ⅰ）在△ABD中，由余弦定理可得AD2＝AB2+BD2﹣2AB?BD cos120°，
所以300＝BA2+BD2+BA?BD≥3BA?BD，
所以BA?BD≤100，当且仅当BA＝BD＝10时，等号成立．
所以S△ABD＝，
故△ABD的面积的最大值为25．
（Ⅱ）在△BCD中，由题意可得∠BCD＝45°，DB＝10．
由正弦定理可得，
所以sin∠CDB＝＝．
又BD＞BC，所以∠CDB为锐角，
所以∠CDB＝30°，所以∠CBD＝105°，所以α＝135°，
所以tan＝tan67.5°，
因为tan135°＝＝﹣1，
所以tan＝tan67.5°＝1+（负值舍去）．
18．如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面ABC⊥平面A1ACC1，CC1＝2，△ABC，△ACC1，均
为正三角形，E为AB的中点．
（Ⅰ）证明：AC1∥平面B1CE；
（Ⅱ）求直线AC1与平面B1BAA1所成角的正弦值．
【分析】（I）连接BC?，交B1C于点M，连接ME，则ME∥AC1，根据线面平行的判定定理证明即可；
（II）以射线OB，OA，OC1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面B1BAA1的一个法向量，利用夹角公式求出即可．
解：（Ⅰ）如图，连接BC?，交B1C于点M，连接ME，则ME∥AC1，
因为AC1?平面B?CE，ME?平面B1CE，所以AC1∥平面B1CE，
（Ⅱ）设O是AC的中点，连接OC1中，OB，
因为△ACC1为正三角形，所以OC1⊥AC，
又平面ABC⊥平面A1ACC1，平面ABC∩平面A1ACC1＝AC，
所以OC1⊥平面ABC，
分别以射线OB，OA，OC1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则有A（0，1，0），B（，1，0），B（，0，0），，，，
设平面B1BAA1的一个法向量为，则
，
令x＝1，则，
设直线AC?与平面B1BAA1所成的角为θ，则
sinθ＝|cos＜＞|＝＝，
故直线AC1与平面B1BAA1所成角的正弦值为．
19．近几年一种新奇水果深受广大消费者的喜爱，一位农户发挥聪明才智，把这种露天种植的新奇水果搬到了大棚里，收到了很好的经济效益．根据资料显示，产出的新奇水果的箱数x（单位：十箱）与成本y（单位：千元）的关系如下：
x 1 3 4 6 7
y 5 6.5 7 7.5 8 y与x可用回归方程（其中，为常数）进行模拟．
（Ⅰ）若该农户产出的该新奇水果的价格为150元/箱，试预测该新奇水果100箱的利润是多少元．（利润＝售价﹣成本）
（Ⅱ）据统计，10月份的连续16天中该农户每天为甲地可配送的该新奇水果的箱数的频率分布直方图如图，用这16天的情况来估计相应的概率．一个运输户拟购置n辆小货车专门运输该农户为甲地配送的该新奇水果，一辆货车每天只能运营一趟，每辆车每趟最多只能装载40箱该新奇水果，满载发车，否则不发车．若发车，则每辆车每趟可获利500元；若未发车，则每辆车每天平均亏损200元．试比较n＝3和n＝4时此项业务每天的利润平均值的大小．
参考数据与公式：设t＝lgx，则
0.54 6.8 1.53 0.45
线性回归直线中，，．
【分析】（Ⅰ）根据题意，＝＝＝3.4，＝＝6.8
﹣3.4×0.54＝4.964，从而＝3.4t+4.964．再由t＝lgx，得＝3.4lgx+4.964．由此能求出该新奇水果100箱的成本为8364元，进而能求出该新奇水果100箱的利润．（Ⅱ）根据频率分布直方图，可知该农户每天可配送的该新奇水果的箱数的概率分布表，设该运输户购3辆车和购4辆车时每天的利润分别为Y1，Y2元．则Y1的可能取值为1500，800，100，求出其分布列和E（Y1），Y2的可能取值为2000，1300，600，﹣100，求出其分布列和E（Y2），由此能求出购置3辆小货车的利润平均值大于购置4辆小货车的利润平均值．
解：（Ⅰ）根据题意，＝＝＝3.4，
所以＝＝6.8﹣3.4×0.54＝4.964，
所以＝3.4t+4.964．
又t＝lgx，所以＝3.4lgx+4.964．
所以x＝10时，＝3.4+4.964＝8.364（千元），
即该新奇水果100箱的成本为8364元，故该新奇水果100箱的利润15000﹣8364＝6636．（Ⅱ）根据频率分布直方图，可知该农户每天可配送的该新奇水果的箱数的概率分布表为：
箱数[40，80）[80，120）[120，160）[160，200]
P
设该运输户购3辆车和购4辆车时每天的利润分别为Y1，Y2元．
则Y1的可能取值为1500，800，100，其分布列为：
Y11500 800 100
P
故E（Y1）＝＝1150．
Y2的可能取值为2000，1300，600，﹣100，其分布列为：
Y22000 1300 600 ﹣100
P
故E（Y2）＝＝1037.5．
故$E（{Y}_{2}），即购置3辆小货车的利润平均值大于购置4辆小货车的利润平均值．20．已知椭圆的左，右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝2，M是椭圆E上的一个动点，且△MF1F2的面积的最大值为．
（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）若A（a，0），B（0，b），四边形ABCD内接于椭圆E，AB∥CD，记直线AD，BC 的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值．
【分析】（Ⅰ）由题意可得，解得a，b，c，进而得椭圆的方程．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得A（2，0），B（0，），k AB＝﹣，设直线CD的方程为y＝﹣，C（x1，y1），D（x2，y2），联立直线CD与椭圆的方程得所以x1+x2＝，即x1＝
﹣x2．直线AD的斜率k1＝＝，直线BC的斜率k2＝，代入k1k2化简可得结论．
解：（Ⅰ）设椭圆E的半焦距为c，由题意可知，
当M为椭圆E的上顶点或下顶点时，△MF1F2的面积取得最大值．
所以，所以a＝2，b＝，
故椭圆E的标准方程为．
（Ⅱ）根据题意可知A（2，0），B（0，），k AB＝﹣
因为AB∥CD，设直线CD的方程为y＝﹣，C（x1，y1），D（x2，y2）由，消去y可得6x2﹣4+4m2﹣12＝0，
所以x1+x2＝，即x1＝﹣x2．
直线AD的斜率k1＝＝，
直线BC的斜率k2＝，
所以k1k2＝?，
＝，
＝，
＝＝．
故k1k2为定值．
21．已知直线y＝x﹣1是曲线f（x）＝alnx的切线．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）证明：方程sin（x﹣1）＝f（x）有且仅有2个实数根．