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第二节 双曲线

第二节 双曲线
第二节 双曲线

第二节 双曲线

高考试题

考点一 用双曲线的定义解决相关问题

1.(2012年大纲全国卷,文10)已知F 1、F 2为双曲线C:x 2

-y 2

=2的左、右焦点,点P 在C 上,|PF 1|=2|PF 2|,则cos ∠F 1PF 2=( ) (A)

14

(B)

35

(C)

34

(D)

45

解析:由x 2

-y 2

=2知,a 2

=2,b 2

=2,c 2

=a 2

+b 2

=4, ∴

又∵|PF 1|-|PF 2|=2a,|PF 1|=2|PF 2|, ∴|PF 1

2

又∵|F 1F 2|=2c=4,

∴由余弦定理得cos ∠F 1

PF 2

2

2

24+-=3

4. 故选C. 答案:C

2.(2010年大纲全国卷Ⅰ,理9)已知F 1、F 2为双曲线C:x 2

-y 2

=1的左、右焦点,点P 在C 上,∠F

1PF 2=60°,则P 到

x 轴的距离为( )

(A)

2

(B)

2

解析:由双曲线方程可知1F 2

由双曲线定义有||PF 1|-|PF 2||=2a=2,① 在△F 1PF 2中,由余弦定理有: 8=|PF 1|2

+|PF 2|2

-2|PF 1||PF 2|cos 60°②

联立①②解得|PF 1||PF 2|=4,设点P(x,y), 则12

PF F S

=

12

|PF

1||PF 2|sin 60°=

12

|F 1F 2||y|,

解得|y|=2

故选B. 答案:B

3.(2010年大纲全国卷Ⅰ,文8)已知F 1、F 2为双曲线C:x 2

-y 2

=1的左、右焦点,点P 在C 上,∠F 1PF 2=60°,则|PF 1|2|PF 2|=( ) (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 解析:如图,

设|PF 1|=m, |PF 2|=n.

则(2

22

122,2cos .m n m n mn F PF ?-=??=+-∠??

∴2222

24,8.

m mn n m mn n ?-+=??-+=?? ∴mn=4.

∴|PF 1|2|PF 2|=4.故选B. 答案:B

4.(2013年辽宁卷,文15)已知F 为双曲线C: 29x -216

y =1的左焦点,P,Q 为C 上的点.若PQ 的长等于虚轴

长的2倍,点A(5,0)在线段PQ 上,则△PQF 的周长为 .

解析:由题知,双曲线中a=3,b=4,c=5,

则|PQ|=16,

又因为|PF|-|PA|=6, |QF|-|QA|=6,

所以|PF|+|QF|-|PQ|=12, |PF|+|QF|=28,

则△PQF 的周长为44.

答案:44

5.(2012年辽宁卷,文15)已知双曲线x 2-y 2

=1,点F 1、F 2为其两个焦点,点P 为双曲线上一点,若PF 1⊥PF 2,则|PF 1|+|PF 2|的值为 .

解析:设P 在双曲线右支上,|PF 2|=x(x>0), 则|PF 1|=2+x. ∵PF 1⊥PF 2, ∴(x+2)2

+x 2

=(2c)2

=8,

即:x 2

+2x-2=0,

解得

∴|PF 1|+|PF 2

答案

6.(2010年江西卷,文15)点A(x 0

,y 0

)在双曲线24x -2

32

y =1的右支上,若点A 到右焦点的距离等于2x 0,则

x 0= .

解析:由24x -232

y =1可知,a 2

=4,b 2

=32,

∴c 2

=36,c=6, 右焦点F(6,0),

由题意可得

2200

01,4322,

x y x ?-

=?= 解方程组可得x 0

=2

5

或x 0

=2.

∵点A 在双曲线右支上, ∴x 0≥2,∴x 0=2. 答案:2

7.(2009年辽宁卷,理16)已知F 是双曲线24x -2

12

y =1的左焦点,A(1,4),P 是双曲线右支上的动点,则

|PF|+|PA|的最小值为

.

解析:由24x -212

y =1知c 2

=4+12=16,

c=4.

∴左焦点F(-4,0),设双曲线右焦点为F ′(4,0), ∵点P 在双曲线右支上, ∴|PF|-|PF ′|=2a=4, ∴|PF|=4+|PF ′|,

∴|PF|+|PA|=4+|PF ′|+|PA|.

由图可知,当A 、P 、F ′三点共线时,|PF ′|+|PA|最小,此时, (|PF|+|PA|)min =4+(|PF ′|+|PA|)min

=4+|AF ′|

=4+5 =9.

答案:9

考点二 双曲线标准方程的求法

1.(2012年湖南卷,文6)已知双曲线C: 22x a -2

2

y b

=1的焦距为10,点P(2,1)在C 的渐近线上,则C 的方程

为( )

(A) 220x -2

5

y =1

(B) 25x -2

20y =1

(C) 280x -2

20y =1

(D) 220x -2

80

y =1

解析: 22x a -2

2

y b

=1的焦距为10,

∴①

又双曲线渐近线方程为y=±b a

x,且P(2,1)在渐近线上,

2b a

=1,即a=2b.②

由①②解得故选A.

答案:A

2.(2011年山东卷,理8)已知双曲线22x a -2

2

y b

=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆C:x 2+y 2

-6x+5=0相切,且双

曲线的右焦点为圆C 的圆心,则该双曲线的方程为( )

(A)

2

5x -

24y =1

(B)

2

4x -

25y =1

(C)

2

3

x -26

y =1 (D)

2

6

x -

23

y =1

解析:∵双曲线22x a -2

2

y b

=1的渐近线方程为y=±

b a

x,

圆C 的标准方程为(x-3)2

+y 2

=4, ∴圆心为C(3,0).

又渐近线方程与圆C 相切,即直线bx-ay=0与圆C 相切,

=2,

∴5b 2

=4a 2

.①

又∵22x a -2

2

y b

=1的右焦点F 2为圆心C(3,0),

∴a2+b2=9.②

由①②得a2=5,b2=4.

∴双曲线的标准方程为

2

5

x

-

2

4

y

=1.故选A.

答案:A

3.(2010年新课标全国卷,理12)已知双曲线E的中心为原点,F(3,0)是E的焦点,过F的直线l与E相交于

A、B两点,且AB的中点为N(-12,-15),则E的方程为( )

(A)

2

3

x

-

2

6

y

=1 (B)

2

4

x

-

2

5

y

=1

(C)

2

6

x

-

2

3

y

=1 (D)

2

5

x

-

2

4

y

=1

解析:∵k AB=015 312

+

+

=1,

∴直线AB的方程为y=x-3.由于双曲线的焦点为F(3,0),∴c=3,c2=9.

设双曲线的标准方程为

2

2

x

a

-

2

2

y

b

=1(a>0,b>0),

2

2

x

a

-

()2

2

3

x

b

-

=1.整理,得

(b2-a2)x2+6a2x-9a2-a2b2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),

则x1+x2=

2

22

6a

a b

-

=23(-12),

∴a2=-4a2+4b2,∴5a2=4b2.又a2+b2=9,

∴a2=4,b2=5.

∴双曲线E的方程为

2

4

x

-

2

5

y

=1.故选B.

答案:B

4.(2012年天津卷,文11)已知双曲线C1:

2

2

x

a

-

2

2

y

b

=1(a>0,b>0)与双曲线C2:

2

4

x

-

2

16

y

=1有相同的渐近

线,且C1的右焦点为则a= ,b= .

解析:与双曲线

2

4

x

-

2

16

y

=1有共同渐近线的双曲线的方程可设为

2

4

x

-

2

16

y

=λ,即

2

4

x

λ-

2

16

y

λ=1.

由题意知则4λ

+16λ=5?λ=

14

, 则a 2

=1,b 2

=4,又a>0,b>0. 故a=1,b=2. 答案:1 2

考点三 双曲线离心率的求法

1.(2013年重庆卷,文10)设双曲线C 的中心为点O,若有且只有一对相交于点O,所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2,使

11

A B =

22

A B ,其中A 1,B 1和A 2,B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点,则该双曲线的离心率的取

值范围是( )

(A)

2????

(B)

2?

????

(C) ?+∞????

(D)

?

+∞????

解析:设双曲线的焦点在x 轴上,则双曲线的一条渐近线的斜率k=

b

a

,由题意知满足

3

13<2

b a ?? ???

≤3,

43

<1+2

b a ?? ???

≤4,2,又双曲线的离心率为e=

c

a

2.(2012年福建卷,文5)已知双曲线2

2

x a

-

25

y =1的右焦点为(3,0),则该双曲线的离心率等于( )

(A)

14

(B)

4

(C)

3

2

(D)

43

解析:由a 2

+5=9得a 2

=4, ∴a=2,∴e=c a =32

.故选C.

答案:C

3.(2010年新课标全国卷,文5)中心在原点,焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,-2),则它的离心率为( )

(C)

2

(D)

2

解析:由题意知,过点(4,-2)的渐近线方程为y=-

b a

x,

∴-2=-

b a

34,

∴a=2b.设b=k,则

∴e=

c a

答案:D

4.(2009年安徽卷,文6)下列曲线中离心率为

2

( )

(A)

2

2x -

24y =1

(B)

2

4

x -

22

y =1

(C)

2

4

x -26

y =1

(D) 24x -2

10

y =1

解析:选项A 中a 2

=2,b 2

=4,

∴c 2

=6,e=

c

a

选项B 中a 2

=4,b 2

=2,

∴c 2

=6,e=

c a

选项C 中a 2

=4,b 2

=6,

∴c 2

=10,e=

c a

=

选项D 中a 2

=4,b 2

=10,

∴c 2

=14,e=c a

=

2

.故选B. 答案:B

5.(2009年江西卷,文7)设F 1

和F 2

为双曲线22x a -2

2

y b

=1(a>0,b>0)的两个焦点,若F 1、F 2、P(0,2b)是正三角

形的三个顶点,则双曲线的离心率为( ) (A)

32

(B)2 (C)

52

(D)3

解析:由

2b c

令则c=2,

∴a=1,∴e=

c a

=2.故选B.

答案:B

6.(2013年陕西卷,文11)双曲线216x -2

9

y =1的离心率为 .

解析:由a 2

=16,b 2

=9,得c 2

=a 2

+b 2

=25.

离心率e=c a =5

4

. 答案:

54

7.(2013年湖南卷,文14)设F 1

,F 2

是双曲线C, 22x a -2

2

y b

=1(a>0,b>0)的两个焦点.若在C 上存在一点P,使

PF 1⊥PF 2,且∠PF 1F 2=30°,则C 的离心率为 . 解析:设点P 在双曲线右支上, 由题意,在Rt △F 1PF 2中, |F 1F 2|=2c,∠PF 1F 2=30°, 得|PF 2|=c,|PF 1

根据双曲线的定义:|PF 1|-|PF 2

e=

c a

答案

8.(2012年重庆卷,文14)设P 为直线y=3b a x 与双曲线22x a -2

2

y b

=1(a>0,b>0)左支的交点,F 1是左焦点,PF 1

垂直于x 轴,则双曲线的离心率e= .

解析:由22

22

,31,

b y x a

x y a b ?

=????-=??消去y,得x=

±4 a.

又PF 1⊥x 轴,

4

a=c,∴e=

c a

=4

. 答案

9.(2009年湖南卷,文13)过双曲线C: 22x a -2

2

y b

=1(a>0,b>0)的一个焦点作圆x 2

+y 2

=a 2

的两条切线,切点分

别为A 、B.若∠AOB=120°(O 是坐标原点),则双曲线C 的离心率为 .

解析:如图,由题知 OA ⊥AF,OB ⊥BF 且∠AOB=120°, ∴∠AOF=60°. 又OA=a,OF=c,

∴a c =OA OF =cos 60°=12, ∴c a

=2. 答案:2

考点四 与渐近线有关问题的解法

1.(2013年新课标全国卷Ⅰ,文4)已知双曲线C: 22x a -2

2

y b

=1(a>0,b>0)则C 的渐近线方程为( )

(A)y=±

14x (B)y=±

13

x (C)y=±

12

x

(D)y=±x

解析:离心率e=

c

a

=

所以

b a =12

. 又双曲线C: 22x a -2

2

y b

=1的渐近线方程为

y=±

b a

x=±

12

x.故选C.

答案:C

2.(2013年福建卷,文4)双曲线x 2

-y 2

=1的顶点到其渐近线的距离等于( )

(A)

12

(B)

2

(C)1 解析:双曲线x 2

-y 2

=1的渐近线方程为x ±y=0,双曲线x 2

-y 2

=1的顶点坐标为(±1,0),顶点到渐近线的距离为

故选B.

答案:B

3.(2011年湖南卷,文6)设双曲线2

2

x a

-

29

y =1(a>0)的渐近线方程为3x ±2y=0,则a 的值为( )

(A)4 (B)3 (C)2 (D)1

解析:由渐近线方程3x ±2y=0,得y=±

32

x,

又由双曲线2

2

x a

-

29

y =1得渐近线方程y=±

3a

x,

∴a=2.故选C. 答案:C

4.(2009年天津卷,文4)设双曲线22x a -2

2

y b

=1(a>0,b>0)的虚轴长为2,焦距为则双曲线的渐近线方

程为( )

(A)y=(B)y=±2x

(C)y=±2

x (D)y=±

1

2

x

解析:由题意知2b=2,2c=2

∴2

=c 2

-b 2

∴渐近线方程为y=±b

a

x=±

2

x.故选C.

答案:C

5.(2009年全国卷Ⅱ,文8)双曲线

2

6

x -

23

y =1的渐近线与圆(x-3)2

+y 2

=r 2

(r>0)相切,则r=( )

(B)2 (C)3 (D)6

解析:∵双曲线

2

6

x -

23

y =1的渐近线方程为y=±

2

x,

则圆心(3,0)的距离为r,

=故选A. 答案:A

6.(2013年江苏卷,3)双曲线216x -2

9

y =1的两条渐近线的方程为 .

解析:令

2

16

x

-

2

9

y

=0,

解得y=±3

4

x.

答案:y=±3 4

x

7.(2011年北京卷,文10)已知双曲线x2-

2

2

y

b

=1(b>0)的一条渐近线的方程为y=2x,则b= .

解析:由x2-

2

2

y

b

=1知a=1,又一条渐近线的方程为y=

b

a

x=2x,

∴b=2.答案:2

8.(2010年北京卷,文13)已知双曲线

2

2

x

a

-

2

2

y

b

=1的离心率为2,焦点与椭圆

2

25

x

+

2

9

y

=1的焦点相同,那么

双曲线的焦点坐标为;渐近线方程为. 解析:∵双曲线的焦点与椭圆的焦点相同,

∴c=4.∵e=c

a

=2,

∴a=2,∴b2=12,∴

∵焦点在x轴上,

∴焦点坐标为(±4,0),

渐近线方程为y=±b

a

x,

即y=±y=0.

答案:(±4,0) ±y=0

考点五双曲线几何性质的简单应用

1.(2013年湖北卷,文2)已知0<θ<π

4

,则双曲线C1:

2

2

sin

x

θ-

2

2

cos

y

θ=1与C2:

2

2

cos

y

θ-

2

2

sin

x

θ=1

的( )

(A)实轴长相等 (B)虚轴长相等

(C)离心率相等 (D)焦距相等

解析:双曲线C1的半焦距c1双曲线C2的半焦距c2故选D.答案:D

2.(2011年安徽卷,文3)双曲线2x2-y2=8的实轴长是( )

(A)2 (C)4

解析:双曲线标准方程为

2

4

x -

28

y =1,

∴a 2

=4,a=2,实轴长2a=4.故选C. 答案:C

3.(2012年江苏卷,8)在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线2x m -2

24

y m +=1

则m 的值

为 .

解析:由c 2

=m+m 2

+4,e 2

=22c a =24

m m m

++=5得m 2

-4m+4=0,解得m=2,经检验符合题意.

答案:2

考点六 直线与双曲线位置关系的判定及应用

(2009年陕西卷,文22)已知双曲线C 的方程为22x a -2

2

y b

=1(a>0,b>0),离心率

顶点到渐近线的距

(1)求双曲线C 的方程;

(2)如图,P 是双曲线C 上一点,A 、B 两点在双曲线C 的两条渐近线上,且分别位于第一、二象限. 若

AP =λPB ,λ

1,23??

????

.求△AOB 的面积的取值范围. 解:(1)由题意知,双曲线C 的顶点(0,a)到渐近线ax-by=0

即ab c

由2225,ab c c

a c a

b ?=

????=??

?=+???

得2,

1,a b c ?=?

=??

=?

∴双曲线C的方程为

2

4

y

-x2=1.

(2)由(1)知双曲线C的两条渐近线方程为y=±2x,设A(m,2m),B(-n,2n),m>0,n>0.

由AP=λPB得P点坐标为

()

2

,

11

m n

m nλ

λ

λλ

+

??-

?

++

??

,

将P点坐标代入

2

4

y

-x2=1,化简得mn=

()2

1

4

λ

λ

+

.

设∠AOB=2θ,∵tan(π

2

-θ)2.

∴tan θ=1

2

,sin 2θ=

4

5

.

∴S△AOB=1

2

|OA|2|OB|2sin 2θ

=2mn

=1

2

1

λ

λ

??

+

?

??

+1,

记S(λ)=1

2

1

λ

λ

??

+

?

??

+1,λ∈

1

,2

3

??

??

??

.

则S′(λ)=1

22

1

λ

λ

??

+

???

.

由S′(λ)=0得λ=1.

又S(1)=2,S

1

3

??

?

??

=

8

3

,S(2)=

9

4

,

∴当λ=1时,△AOB的面积取得最小值2,当λ=1

3时,

△AOB的面积取得最大值8 3 .

∴△AOB面积的取值范围是

8

2,

3

??

??

??

.

模拟试题

考点一用双曲线的定义解决相关问题

1.(2013浙江杭州一模)设双曲线

2

4x -

23

y =1的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 1的直线l 交双曲线左支于A 、

B 两点,则|BF 2|+|AF 2|的最小值为( ) (A)

192

(B)11

(C)12

(D)16

解析:由

2

4

x -

23

y =1知a 2

=4,b 2

=3,

∴c 2

∴F 1

2

又点A 、B 在双曲线左支上, ∴|AF 2|-|AF 1|=4,|BF 2|-|BF 1|=4, ∴|AF 2|=4+|AF 1|,|BF 2|=4+|BF 1|, ∴|AF 2|+|BF 2|=8+|AF 1|+|BF 1|.

要求|AF 2|+|BF 2|的最小值,只要求|AF 1|+|BF 1|的最小值,而|AF 1|+|BF 1|最小为2332

=3.

∴(|AF 2|+|BF 2|)min =8+3=11.故选B. 答案:B

2.(2013北京市东城区高三12月综合练习)已知F 1

、F 2

为双曲线C:

2

4

x -y 2

=1的左、右焦点,点P 在C 上,

∠F 1PF 2=60°,则P 到x 轴的距离为( )

(A)

5

(B)

5

(C)

5

(D)

20

解析:由双曲线的方程可知

在△F 1PF 2中,根据余弦定理可得

(2c)2

=|PF 1|2

+|PF 2|2

-2|PF 1|2|PF 2|cos 60°,

即4c 2=(|PF 1|-|PF 2|)2

+|PF 1|2|PF 2|,

所以4c 2

=4a 2

+|PF 1|2|PF 2|,

所以|PF 1|2|PF 2|=4c 2

-4a 2

=20-16=4,

所以△F 1PF 2的面积为S=

12|PF 1|2|PF 2|sin 60°

=12

343

2

设△F 1PF 2边F 1F 2上的高为h,

则S=

12

3所以高,

即点P 到x 轴的距离为

5

.故选B.

答案:B

考点二 双曲线标准方程的求法

1.(2013福建厦门高三上质检)已知中心在原点,焦点在x 轴上的双曲线的离心率为32

,实轴长为4,则双曲

线的方程为 . 解析:由2a=4得a=2, 由e=

c a =32

,得c=3,∴b 2

=c 2

-a 2

=5,

又双曲线焦点在x 轴上,

∴双曲线标准方程为

2

4x -

25

y =1.

答案:

2

4

x -

25

y =1

2.(2013江苏南通高三第一次调研)已知双曲线22x a -2

2

y b

=1的一个焦点与圆x 2+y 2

-10x=0的圆心重合,且双

则该双曲线的标准方程为 .

解析:圆x 2

+y 2

-10x=0的圆心坐标为(5,0), ∴c=5,

又e=

c a

∴2

=c 2

-a 2

=20,

∴双曲线标准方程为25x -2

20y =1.

答案: 25

x - 2

20y =1

考点三 双曲线离心率的求法

1.(2013北京市海淀区北师特学校高三第四次月考)已知双曲线22x a -2

2

y b

=1(a>0,b>0),过其右焦点F 且垂

直于实轴的直线与双曲线交于M,N 两点,O 为坐标原点.若OM ⊥ON,则双曲线的离心率为( )

(C)

12-+ (D)12

+ 解析:由题意知三角形OMN 为等腰直角三角形,

所以|MF|=|OF|=c,所以点M(c,c),

当x=c 时, 22c a -2

2

y b =1,得|y|=2

b a

,

所以由|y|=

2

b a

=c 得b 2

=ac,

即c 2

-a 2

=ac,c 2

-ac-a 2

=0, 所以e 2

-e-1=0,

解得离心率.故选D.

答案:D

2.(2013云南省昆明三中高三适应性月考)已知F 是双曲线C: 22x a -2

2

y b

=1(a>0,b>0)的左焦点,B 1B 2是双曲

线的虚轴,M 是OB 1的中点,过F 、M 的直线与双曲线C 的一个交点为A,且FM =2MA ,则双曲线C 离心率是 .

解析:由题意可知F(-c,0),不妨取M 0,

2b ??

???

,设A(x,y), 则由FM =2MA 得,

2b c ?? ???=2,2b x y ?

?- ???,

解得x=

2

c ,y=

34

b,即A 3,24c b ??

???

, 因为点A 在双曲线上,所以224c a -2

2

916b b =1,即224c a -9

16

=1,

所以224c a =2516,即22

c a

=254,即e 2

=254,所以e=52. 答案:

5

2

考点四 双曲线渐近线方程的求法

1.(2013河南郑州一模)已知双曲线22x a -2

2

y b

=1(a>0,b>0)则双曲线的渐近线方程

为( )

(A)y=±

2

x (B)y=

(C)y=±2x (D)y=±1 2

x

解析:由e=c

a

得e2=

2

2

c

a

=

22

2

a b

a

+

=1+

2

2

b

a

=3,

2

2

b

a

=2,∴

b

a

双曲线渐近线方程为y=±

a

b

x,即y=

±

2

x.故选A.

答案:A

2.(2013合肥二模)双曲线的焦点在x轴上,实轴长为4,离心率为3,则该双曲线的标准方程为,渐近线方程为.

解析:由题意,2a=4,∴a=2,由e=c

a

=3,∴c=6,

∴b2=c2-a2=32,

∴双曲线标准方程为

2

4

x

-

2

32

y

=1.

渐近线方程为y=±

答案:

2

4

x

-

2

32

y

=1 y=±

考点五双曲线几何性质的简单应用

1.(2013青岛二模)双曲线的中心在坐标原点O,A、C分别是双曲线虚轴的上、下顶点,B是双曲线的左顶点,F 是双曲线的左焦点,直线AB与FC相交于点D,若双曲线的离心率为2,则∠BDF的余弦值是( )

(A)

7

(B)

7

(C)

14

(D)

14

解析:设双曲线方程

2

2

x

a

-

2

2

y

b

=1(a>0,b>0),

则A(0,b),C(0,-b),B(-a,0),F(-c,0),

由e=c

a

=2得

∴直线AB方程为

直线FC方程为

法一

,

,

y

y x

?=+

?

?

=

?

?

得D(-

4

3

a).

|DF|=

3

a,|DB|=

23

a,

又|BF|=a.

在△BDF 中,由余弦定理得

cos ∠

22

2

74a a a +-

. 故选C.

法二 tan ∠

∴tan ∠BDF=tan[180°-(∠FBD+∠DFB)]

=-tan(∠FBD+∠DFB) =-

tan tan 1tan tan FBD DFB

FBD DFB

∠+∠-∠?∠

∴cos ∠

.故选C.

答案:C

2.(2013山东烟台一模

)若点P 是以

为焦点,实轴长为x 2

+y 2

=10

的一个交点,则|PA|+|PB|的值为

( )

解析:如图,点A 、B 在圆x 2

+y 2

=10上,P 为一个交点,

∴PA ⊥PB,

∴|PA|2

+|PB|2

=(2c)2

=40,

联立①②解得

∴故选D.

答案:D

考点六 直线与双曲线位置关系的判定及应用

(2013西安市质量检测)已知双曲线

2

4

x -22y b

=1(b ∈N *

)的左、右两个焦点为F 1、F 2,P 是双曲线上的一点,且

满足|PF 1||PF 2|=|F 1F 2|2

,|PF 2|<4.

(1)求b 的值;

(2)抛物线y 2

=2px(p>0)的焦点与该双曲线的右顶点重合,斜率为1的直线经过右顶点,与该抛物线交于A 、B 两点,求弦长|AB|.

解:(1)根据题意a 2

=4,a=2,又a 2

+b 2

=c 2

,

||PF 1|-|PF 2||=2a=4,

|PF 1|2|PF 2|=|F 1F 2|2

=4c 2

,|PF 2|<4,

得|PF 2|2

+4|PF 2|-4c 2

=0在区间(0,4)上有解,

所以c 2

<8,因此b 2

<4,

又b ∈N *

,所以b=1.

(2)双曲线方程为

2

4

x -y 2

=1,右顶点坐标为(2,0),

所以抛物线方程为y 2

=8x,① 直线方程为y=x-2,②

由①②两式联立,

解得1164x y ?=+??=+??

和2264x y ?=-??=-?? 所以弦长

综合检测

1.(2011浙江温州适应性测试)已知F 1,F 2为双曲线Ax 2

-By 2

=1的焦点,其顶点是线段F 1F 2的三等分点,则其渐近线的方程为(

)

(A)y=±

(C)y=±x (D)y=±

或y=x 解析:由题意c=3a,∴c 2

=9a 2

,

又 c 2

=a 2

+b 2

,

∴22

b a

=8,

b a

a b

,

∴双曲线渐近线方程为y=±

或y=

±

4

x.故选D.

答案:D

2.(2012陕西师大附中模拟)设过双曲线x 2

-y 2

=9左焦点F 1的直线交双曲线的左支于点P,Q,F 2为双曲线的右焦点.若|PQ|=7,则△F 2PQ 的周长为( ) (A)19

(B)26

(C)43

(D)50

解析:如图,由双曲线的定义可得:

21212,

2,

PF PF a QF QF a ?-=??

-=?? 两式相加得|PF 2|+|QF 2|-|PQ|=4a,

∴△F 2PQ 的周长为|PF 2|+|QF 2|+|PQ|=4a+|PQ|+|PQ|=433+237=26. 故选B. 答案:B

3.(2013北京市朝阳区高三上学期期末)已知双曲线的中心在原点,一个焦点为F 1

点P 在双曲线

上,且线段PF 1的中点坐标为(0,2),则此双曲线的方程是( )

(A)

24x -y 2=1 (B)x 2

-

24

y =1

(C)

2

2

x -

23

y =1

(D)

2

3x -

22

y =1

解析:由双曲线的焦点可知

线段PF 1

的中点坐标为(0,2),所以设右焦点为F 2

,则有PF 2

⊥x 轴,且

|PF 2|=4,点P 在双曲线右支上.所以|PF 1

所以|PF 1

|-|PF 2

|=6-4=2=2a,所以

a=1,b 2=c 2-a 2=4,所以双曲线的方程为x 2

-24

y =1.故选B.

答案:B

4.(2013贵州省遵义四中高三第四次月考)设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1、F 2,若曲线C 上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|=4∶3∶2,则曲线C 的离心率等于( )

(A)23或

32

(B)

2

3或2 (C)

12

或2 (D)12或3

2

解析:因为|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|=4∶3∶2,

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