第二节 双曲线
高考试题
考点一 用双曲线的定义解决相关问题
1.(2012年大纲全国卷,文10)已知F 1、F 2为双曲线C:x 2
-y 2
=2的左、右焦点,点P 在C 上,|PF 1|=2|PF 2|,则cos ∠F 1PF 2=( ) (A)
14
(B)
35
(C)
34
(D)
45
解析:由x 2
-y 2
=2知,a 2
=2,b 2
=2,c 2
=a 2
+b 2
=4, ∴
又∵|PF 1|-|PF 2|=2a,|PF 1|=2|PF 2|, ∴|PF 1
2
又∵|F 1F 2|=2c=4,
∴由余弦定理得cos ∠F 1
PF 2
2
2
24+-=3
4. 故选C. 答案:C
2.(2010年大纲全国卷Ⅰ,理9)已知F 1、F 2为双曲线C:x 2
-y 2
=1的左、右焦点,点P 在C 上,∠F
1PF 2=60°,则P 到
x 轴的距离为( )
(A)
2
(B)
2
解析:由双曲线方程可知1F 2
由双曲线定义有||PF 1|-|PF 2||=2a=2,① 在△F 1PF 2中,由余弦定理有: 8=|PF 1|2
+|PF 2|2
-2|PF 1||PF 2|cos 60°②
联立①②解得|PF 1||PF 2|=4,设点P(x,y), 则12
PF F S
=
12
|PF
1||PF 2|sin 60°=
12
|F 1F 2||y|,
解得|y|=2
故选B. 答案:B
3.(2010年大纲全国卷Ⅰ,文8)已知F 1、F 2为双曲线C:x 2
-y 2
=1的左、右焦点,点P 在C 上,∠F 1PF 2=60°,则|PF 1|2|PF 2|=( ) (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 解析:如图,
设|PF 1|=m, |PF 2|=n.
则(2
22
122,2cos .m n m n mn F PF ?-=??=+-∠??
∴2222
24,8.
m mn n m mn n ?-+=??-+=?? ∴mn=4.
∴|PF 1|2|PF 2|=4.故选B. 答案:B
4.(2013年辽宁卷,文15)已知F 为双曲线C: 29x -216
y =1的左焦点,P,Q 为C 上的点.若PQ 的长等于虚轴
长的2倍,点A(5,0)在线段PQ 上,则△PQF 的周长为 .
解析:由题知,双曲线中a=3,b=4,c=5,
则|PQ|=16,
又因为|PF|-|PA|=6, |QF|-|QA|=6,
所以|PF|+|QF|-|PQ|=12, |PF|+|QF|=28,
则△PQF 的周长为44.
答案:44
5.(2012年辽宁卷,文15)已知双曲线x 2-y 2
=1,点F 1、F 2为其两个焦点,点P 为双曲线上一点,若PF 1⊥PF 2,则|PF 1|+|PF 2|的值为 .
解析:设P 在双曲线右支上,|PF 2|=x(x>0), 则|PF 1|=2+x. ∵PF 1⊥PF 2, ∴(x+2)2
+x 2
=(2c)2
=8,
即:x 2
+2x-2=0,
解得
∴|PF 1|+|PF 2
答案
6.(2010年江西卷,文15)点A(x 0
,y 0
)在双曲线24x -2
32
y =1的右支上,若点A 到右焦点的距离等于2x 0,则
x 0= .
解析:由24x -232
y =1可知,a 2
=4,b 2
=32,
∴c 2
=36,c=6, 右焦点F(6,0),
由题意可得
2200
01,4322,
x y x ?-
=?= 解方程组可得x 0
=2
5
或x 0
=2.
∵点A 在双曲线右支上, ∴x 0≥2,∴x 0=2. 答案:2
7.(2009年辽宁卷,理16)已知F 是双曲线24x -2
12
y =1的左焦点,A(1,4),P 是双曲线右支上的动点,则
|PF|+|PA|的最小值为
.
解析:由24x -212
y =1知c 2
=4+12=16,
c=4.
∴左焦点F(-4,0),设双曲线右焦点为F ′(4,0), ∵点P 在双曲线右支上, ∴|PF|-|PF ′|=2a=4, ∴|PF|=4+|PF ′|,
∴|PF|+|PA|=4+|PF ′|+|PA|.
由图可知,当A 、P 、F ′三点共线时,|PF ′|+|PA|最小,此时, (|PF|+|PA|)min =4+(|PF ′|+|PA|)min
=4+|AF ′|
=4+5 =9.
答案:9
考点二 双曲线标准方程的求法
1.(2012年湖南卷,文6)已知双曲线C: 22x a -2
2
y b
=1的焦距为10,点P(2,1)在C 的渐近线上,则C 的方程
为( )
(A) 220x -2
5
y =1
(B) 25x -2
20y =1
(C) 280x -2
20y =1
(D) 220x -2
80
y =1
解析: 22x a -2
2
y b
=1的焦距为10,
∴①
又双曲线渐近线方程为y=±b a
x,且P(2,1)在渐近线上,
∴
2b a
=1,即a=2b.②
由①②解得故选A.
答案:A
2.(2011年山东卷,理8)已知双曲线22x a -2
2
y b
=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆C:x 2+y 2
-6x+5=0相切,且双
曲线的右焦点为圆C 的圆心,则该双曲线的方程为( )
(A)
2
5x -
24y =1
(B)
2
4x -
25y =1
(C)
2
3
x -26
y =1 (D)
2
6
x -
23
y =1
解析:∵双曲线22x a -2
2
y b
=1的渐近线方程为y=±
b a
x,
圆C 的标准方程为(x-3)2
+y 2
=4, ∴圆心为C(3,0).
又渐近线方程与圆C 相切,即直线bx-ay=0与圆C 相切,
=2,
∴5b 2
=4a 2
.①
又∵22x a -2
2
y b
=1的右焦点F 2为圆心C(3,0),
∴a2+b2=9.②
由①②得a2=5,b2=4.
∴双曲线的标准方程为
2
5
x
-
2
4
y
=1.故选A.
答案:A
3.(2010年新课标全国卷,理12)已知双曲线E的中心为原点,F(3,0)是E的焦点,过F的直线l与E相交于
A、B两点,且AB的中点为N(-12,-15),则E的方程为( )
(A)
2
3
x
-
2
6
y
=1 (B)
2
4
x
-
2
5
y
=1
(C)
2
6
x
-
2
3
y
=1 (D)
2
5
x
-
2
4
y
=1
解析:∵k AB=015 312
+
+
=1,
∴直线AB的方程为y=x-3.由于双曲线的焦点为F(3,0),∴c=3,c2=9.
设双曲线的标准方程为
2
2
x
a
-
2
2
y
b
=1(a>0,b>0),
则
2
2
x
a
-
()2
2
3
x
b
-
=1.整理,得
(b2-a2)x2+6a2x-9a2-a2b2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=
2
22
6a
a b
-
=23(-12),
∴a2=-4a2+4b2,∴5a2=4b2.又a2+b2=9,
∴a2=4,b2=5.
∴双曲线E的方程为
2
4
x
-
2
5
y
=1.故选B.
答案:B
4.(2012年天津卷,文11)已知双曲线C1:
2
2
x
a
-
2
2
y
b
=1(a>0,b>0)与双曲线C2:
2
4
x
-
2
16
y
=1有相同的渐近
线,且C1的右焦点为则a= ,b= .
解析:与双曲线
2
4
x
-
2
16
y
=1有共同渐近线的双曲线的方程可设为
2
4
x
-
2
16
y
=λ,即
2
4
x
λ-
2
16
y
λ=1.
由题意知则4λ
+16λ=5?λ=
14
, 则a 2
=1,b 2
=4,又a>0,b>0. 故a=1,b=2. 答案:1 2
考点三 双曲线离心率的求法
1.(2013年重庆卷,文10)设双曲线C 的中心为点O,若有且只有一对相交于点O,所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2,使
11
A B =
22
A B ,其中A 1,B 1和A 2,B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点,则该双曲线的离心率的取
值范围是( )
(A)
2????
(B)
2?
????
(C) ?+∞????
(D)
?
+∞????
解析:设双曲线的焦点在x 轴上,则双曲线的一条渐近线的斜率k=
b
a
,由题意知满足
3
13<2 b a ?? ??? ≤3, 43 <1+2 b a ?? ??? ≤4,2,又双曲线的离心率为e= c a 2.(2012年福建卷,文5)已知双曲线2 2 x a - 25 y =1的右焦点为(3,0),则该双曲线的离心率等于( ) (A) 14 (B) 4 (C) 3 2 (D) 43 解析:由a 2 +5=9得a 2 =4, ∴a=2,∴e=c a =32 .故选C. 答案:C 3.(2010年新课标全国卷,文5)中心在原点,焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,-2),则它的离心率为( ) (C) 2 (D) 2 解析:由题意知,过点(4,-2)的渐近线方程为y=- b a x, ∴-2=- b a 34, ∴a=2b.设b=k,则 ∴e= c a 答案:D 4.(2009年安徽卷,文6)下列曲线中离心率为 2 ( ) (A) 2 2x - 24y =1 (B) 2 4 x - 22 y =1 (C) 2 4 x -26 y =1 (D) 24x -2 10 y =1 解析:选项A 中a 2 =2,b 2 =4, ∴c 2 =6,e= c a 选项B 中a 2 =4,b 2 =2, ∴c 2 =6,e= c a 选项C 中a 2 =4,b 2 =6, ∴c 2 =10,e= c a = 选项D 中a 2 =4,b 2 =10, ∴c 2 =14,e=c a = 2 .故选B. 答案:B 5.(2009年江西卷,文7)设F 1 和F 2 为双曲线22x a -2 2 y b =1(a>0,b>0)的两个焦点,若F 1、F 2、P(0,2b)是正三角 形的三个顶点,则双曲线的离心率为( ) (A) 32 (B)2 (C) 52 (D)3 解析:由 2b c 令则c=2, ∴a=1,∴e= c a =2.故选B. 答案:B 6.(2013年陕西卷,文11)双曲线216x -2 9 y =1的离心率为 . 解析:由a 2 =16,b 2 =9,得c 2 =a 2 +b 2 =25. 离心率e=c a =5 4 . 答案: 54 7.(2013年湖南卷,文14)设F 1 ,F 2 是双曲线C, 22x a -2 2 y b =1(a>0,b>0)的两个焦点.若在C 上存在一点P,使 PF 1⊥PF 2,且∠PF 1F 2=30°,则C 的离心率为 . 解析:设点P 在双曲线右支上, 由题意,在Rt △F 1PF 2中, |F 1F 2|=2c,∠PF 1F 2=30°, 得|PF 2|=c,|PF 1 根据双曲线的定义:|PF 1|-|PF 2 e= c a 答案 8.(2012年重庆卷,文14)设P 为直线y=3b a x 与双曲线22x a -2 2 y b =1(a>0,b>0)左支的交点,F 1是左焦点,PF 1 垂直于x 轴,则双曲线的离心率e= . 解析:由22 22 ,31, b y x a x y a b ? =????-=??消去y,得x= ±4 a. 又PF 1⊥x 轴, ∴ 4 a=c,∴e= c a =4 . 答案 9.(2009年湖南卷,文13)过双曲线C: 22x a -2 2 y b =1(a>0,b>0)的一个焦点作圆x 2 +y 2 =a 2 的两条切线,切点分 别为A 、B.若∠AOB=120°(O 是坐标原点),则双曲线C 的离心率为 . 解析:如图,由题知 OA ⊥AF,OB ⊥BF 且∠AOB=120°, ∴∠AOF=60°. 又OA=a,OF=c, ∴a c =OA OF =cos 60°=12, ∴c a =2. 答案:2 考点四 与渐近线有关问题的解法 1.(2013年新课标全国卷Ⅰ,文4)已知双曲线C: 22x a -2 2 y b =1(a>0,b>0)则C 的渐近线方程为( ) (A)y=± 14x (B)y=± 13 x (C)y=± 12 x (D)y=±x 解析:离心率e= c a = 所以 b a =12 . 又双曲线C: 22x a -2 2 y b =1的渐近线方程为 y=± b a x=± 12 x.故选C. 答案:C 2.(2013年福建卷,文4)双曲线x 2 -y 2 =1的顶点到其渐近线的距离等于( ) (A) 12 (B) 2 (C)1 解析:双曲线x 2 -y 2 =1的渐近线方程为x ±y=0,双曲线x 2 -y 2 =1的顶点坐标为(±1,0),顶点到渐近线的距离为 故选B. 答案:B 3.(2011年湖南卷,文6)设双曲线2 2 x a - 29 y =1(a>0)的渐近线方程为3x ±2y=0,则a 的值为( ) (A)4 (B)3 (C)2 (D)1 解析:由渐近线方程3x ±2y=0,得y=± 32 x, 又由双曲线2 2 x a - 29 y =1得渐近线方程y=± 3a x, ∴a=2.故选C. 答案:C 4.(2009年天津卷,文4)设双曲线22x a -2 2 y b =1(a>0,b>0)的虚轴长为2,焦距为则双曲线的渐近线方 程为( ) (A)y=(B)y=±2x (C)y=±2 x (D)y=± 1 2 x 解析:由题意知2b=2,2c=2 ∴2 =c 2 -b 2 ∴渐近线方程为y=±b a x=± 2 x.故选C. 答案:C 5.(2009年全国卷Ⅱ,文8)双曲线 2 6 x - 23 y =1的渐近线与圆(x-3)2 +y 2 =r 2 (r>0)相切,则r=( ) (B)2 (C)3 (D)6 解析:∵双曲线 2 6 x - 23 y =1的渐近线方程为y=± 2 x, 则圆心(3,0)的距离为r, ∴ =故选A. 答案:A 6.(2013年江苏卷,3)双曲线216x -2 9 y =1的两条渐近线的方程为 . 解析:令 2 16 x - 2 9 y =0, 解得y=±3 4 x. 答案:y=±3 4 x 7.(2011年北京卷,文10)已知双曲线x2- 2 2 y b =1(b>0)的一条渐近线的方程为y=2x,则b= . 解析:由x2- 2 2 y b =1知a=1,又一条渐近线的方程为y= b a x=2x, ∴b=2.答案:2 8.(2010年北京卷,文13)已知双曲线 2 2 x a - 2 2 y b =1的离心率为2,焦点与椭圆 2 25 x + 2 9 y =1的焦点相同,那么 双曲线的焦点坐标为;渐近线方程为. 解析:∵双曲线的焦点与椭圆的焦点相同, ∴c=4.∵e=c a =2, ∴a=2,∴b2=12,∴ ∵焦点在x轴上, ∴焦点坐标为(±4,0), 渐近线方程为y=±b a x, 即y=±y=0. 答案:(±4,0) ±y=0 考点五双曲线几何性质的简单应用 1.(2013年湖北卷,文2)已知0<θ<π 4 ,则双曲线C1: 2 2 sin x θ- 2 2 cos y θ=1与C2: 2 2 cos y θ- 2 2 sin x θ=1 的( ) (A)实轴长相等 (B)虚轴长相等 (C)离心率相等 (D)焦距相等 解析:双曲线C1的半焦距c1双曲线C2的半焦距c2故选D.答案:D 2.(2011年安徽卷,文3)双曲线2x2-y2=8的实轴长是( ) (A)2 (C)4 解析:双曲线标准方程为 2 4 x - 28 y =1, ∴a 2 =4,a=2,实轴长2a=4.故选C. 答案:C 3.(2012年江苏卷,8)在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线2x m -2 24 y m +=1 则m 的值 为 . 解析:由c 2 =m+m 2 +4,e 2 =22c a =24 m m m ++=5得m 2 -4m+4=0,解得m=2,经检验符合题意. 答案:2 考点六 直线与双曲线位置关系的判定及应用 (2009年陕西卷,文22)已知双曲线C 的方程为22x a -2 2 y b =1(a>0,b>0),离心率 顶点到渐近线的距 (1)求双曲线C 的方程; (2)如图,P 是双曲线C 上一点,A 、B 两点在双曲线C 的两条渐近线上,且分别位于第一、二象限. 若 AP =λPB ,λ ∈ 1,23?? ???? .求△AOB 的面积的取值范围. 解:(1)由题意知,双曲线C 的顶点(0,a)到渐近线ax-by=0 即ab c 由2225,ab c c a c a b ?= ????=?? ?=+??? 得2, 1,a b c ?=? =?? =? ∴双曲线C的方程为 2 4 y -x2=1. (2)由(1)知双曲线C的两条渐近线方程为y=±2x,设A(m,2m),B(-n,2n),m>0,n>0. 由AP=λPB得P点坐标为 () 2 , 11 m n m nλ λ λλ + ??- ? ++ ?? , 将P点坐标代入 2 4 y -x2=1,化简得mn= ()2 1 4 λ λ + . 设∠AOB=2θ,∵tan(π 2 -θ)2. ∴tan θ=1 2 ,sin 2θ= 4 5 . 又 ∴S△AOB=1 2 |OA|2|OB|2sin 2θ =2mn =1 2 1 λ λ ?? + ? ?? +1, 记S(λ)=1 2 1 λ λ ?? + ? ?? +1,λ∈ 1 ,2 3 ?? ?? ?? . 则S′(λ)=1 22 1 λ λ ?? + ??? . 由S′(λ)=0得λ=1. 又S(1)=2,S 1 3 ?? ? ?? = 8 3 ,S(2)= 9 4 , ∴当λ=1时,△AOB的面积取得最小值2,当λ=1 3时, △AOB的面积取得最大值8 3 . ∴△AOB面积的取值范围是 8 2, 3 ?? ?? ?? . 模拟试题 考点一用双曲线的定义解决相关问题 1.(2013浙江杭州一模)设双曲线 2 4x - 23 y =1的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 1的直线l 交双曲线左支于A 、 B 两点,则|BF 2|+|AF 2|的最小值为( ) (A) 192 (B)11 (C)12 (D)16 解析:由 2 4 x - 23 y =1知a 2 =4,b 2 =3, ∴c 2 ∴F 1 2 又点A 、B 在双曲线左支上, ∴|AF 2|-|AF 1|=4,|BF 2|-|BF 1|=4, ∴|AF 2|=4+|AF 1|,|BF 2|=4+|BF 1|, ∴|AF 2|+|BF 2|=8+|AF 1|+|BF 1|. 要求|AF 2|+|BF 2|的最小值,只要求|AF 1|+|BF 1|的最小值,而|AF 1|+|BF 1|最小为2332 =3. ∴(|AF 2|+|BF 2|)min =8+3=11.故选B. 答案:B 2.(2013北京市东城区高三12月综合练习)已知F 1 、F 2 为双曲线C: 2 4 x -y 2 =1的左、右焦点,点P 在C 上, ∠F 1PF 2=60°,则P 到x 轴的距离为( ) (A) 5 (B) 5 (C) 5 (D) 20 解析:由双曲线的方程可知 在△F 1PF 2中,根据余弦定理可得 (2c)2 =|PF 1|2 +|PF 2|2 -2|PF 1|2|PF 2|cos 60°, 即4c 2=(|PF 1|-|PF 2|)2 +|PF 1|2|PF 2|, 所以4c 2 =4a 2 +|PF 1|2|PF 2|, 所以|PF 1|2|PF 2|=4c 2 -4a 2 =20-16=4, 所以△F 1PF 2的面积为S= 12|PF 1|2|PF 2|sin 60° =12 343 2 设△F 1PF 2边F 1F 2上的高为h, 则S= 12 3所以高, 即点P 到x 轴的距离为 5 .故选B. 答案:B 考点二 双曲线标准方程的求法 1.(2013福建厦门高三上质检)已知中心在原点,焦点在x 轴上的双曲线的离心率为32 ,实轴长为4,则双曲 线的方程为 . 解析:由2a=4得a=2, 由e= c a =32 ,得c=3,∴b 2 =c 2 -a 2 =5, 又双曲线焦点在x 轴上, ∴双曲线标准方程为 2 4x - 25 y =1. 答案: 2 4 x - 25 y =1 2.(2013江苏南通高三第一次调研)已知双曲线22x a -2 2 y b =1的一个焦点与圆x 2+y 2 -10x=0的圆心重合,且双 则该双曲线的标准方程为 . 解析:圆x 2 +y 2 -10x=0的圆心坐标为(5,0), ∴c=5, 又e= c a ∴2 =c 2 -a 2 =20, ∴双曲线标准方程为25x -2 20y =1. 答案: 25 x - 2 20y =1 考点三 双曲线离心率的求法 1.(2013北京市海淀区北师特学校高三第四次月考)已知双曲线22x a -2 2 y b =1(a>0,b>0),过其右焦点F 且垂 直于实轴的直线与双曲线交于M,N 两点,O 为坐标原点.若OM ⊥ON,则双曲线的离心率为( ) (C) 12-+ (D)12 + 解析:由题意知三角形OMN 为等腰直角三角形, 所以|MF|=|OF|=c,所以点M(c,c), 当x=c 时, 22c a -2 2 y b =1,得|y|=2 b a , 所以由|y|= 2 b a =c 得b 2 =ac, 即c 2 -a 2 =ac,c 2 -ac-a 2 =0, 所以e 2 -e-1=0, 解得离心率.故选D. 答案:D 2.(2013云南省昆明三中高三适应性月考)已知F 是双曲线C: 22x a -2 2 y b =1(a>0,b>0)的左焦点,B 1B 2是双曲 线的虚轴,M 是OB 1的中点,过F 、M 的直线与双曲线C 的一个交点为A,且FM =2MA ,则双曲线C 离心率是 . 解析:由题意可知F(-c,0),不妨取M 0, 2b ?? ??? ,设A(x,y), 则由FM =2MA 得, 2b c ?? ???=2,2b x y ? ?- ???, 解得x= 2 c ,y= 34 b,即A 3,24c b ?? ??? , 因为点A 在双曲线上,所以224c a -2 2 916b b =1,即224c a -9 16 =1, 所以224c a =2516,即22 c a =254,即e 2 =254,所以e=52. 答案: 5 2 考点四 双曲线渐近线方程的求法 1.(2013河南郑州一模)已知双曲线22x a -2 2 y b =1(a>0,b>0)则双曲线的渐近线方程 为( ) (A)y=± 2 x (B)y= (C)y=±2x (D)y=±1 2 x 解析:由e=c a 得e2= 2 2 c a = 22 2 a b a + =1+ 2 2 b a =3, ∴ 2 2 b a =2,∴ b a 双曲线渐近线方程为y=± a b x,即y= ± 2 x.故选A. 答案:A 2.(2013合肥二模)双曲线的焦点在x轴上,实轴长为4,离心率为3,则该双曲线的标准方程为,渐近线方程为. 解析:由题意,2a=4,∴a=2,由e=c a =3,∴c=6, ∴b2=c2-a2=32, ∴双曲线标准方程为 2 4 x - 2 32 y =1. 渐近线方程为y=± 答案: 2 4 x - 2 32 y =1 y=± 考点五双曲线几何性质的简单应用 1.(2013青岛二模)双曲线的中心在坐标原点O,A、C分别是双曲线虚轴的上、下顶点,B是双曲线的左顶点,F 是双曲线的左焦点,直线AB与FC相交于点D,若双曲线的离心率为2,则∠BDF的余弦值是( ) (A) 7 (B) 7 (C) 14 (D) 14 解析:设双曲线方程 2 2 x a - 2 2 y b =1(a>0,b>0), 则A(0,b),C(0,-b),B(-a,0),F(-c,0), 由e=c a =2得 ∴直线AB方程为 直线FC方程为 法一 由 , , y y x ?=+ ? ? = ? ? 得D(- 4 3 a). ∴ |DF|= 3 a,|DB|= 23 a, 又|BF|=a. 在△BDF 中,由余弦定理得 cos ∠ 22 2 74a a a +- . 故选C. 法二 tan ∠ ∠ ∴tan ∠BDF=tan[180°-(∠FBD+∠DFB)] =-tan(∠FBD+∠DFB) =- tan tan 1tan tan FBD DFB FBD DFB ∠+∠-∠?∠ ∴cos ∠ .故选C. 答案:C 2.(2013山东烟台一模 )若点P 是以 为焦点,实轴长为x 2 +y 2 =10 的一个交点,则|PA|+|PB|的值为 ( ) 解析:如图,点A 、B 在圆x 2 +y 2 =10上,P 为一个交点, ∴PA ⊥PB, ∴|PA|2 +|PB|2 =(2c)2 =40, ① 又 ② 联立①②解得 ∴故选D. 答案:D 考点六 直线与双曲线位置关系的判定及应用 (2013西安市质量检测)已知双曲线 2 4 x -22y b =1(b ∈N * )的左、右两个焦点为F 1、F 2,P 是双曲线上的一点,且 满足|PF 1||PF 2|=|F 1F 2|2 ,|PF 2|<4. (1)求b 的值; (2)抛物线y 2 =2px(p>0)的焦点与该双曲线的右顶点重合,斜率为1的直线经过右顶点,与该抛物线交于A 、B 两点,求弦长|AB|. 解:(1)根据题意a 2 =4,a=2,又a 2 +b 2 =c 2 , ||PF 1|-|PF 2||=2a=4, |PF 1|2|PF 2|=|F 1F 2|2 =4c 2 ,|PF 2|<4, 得|PF 2|2 +4|PF 2|-4c 2 =0在区间(0,4)上有解, 所以c 2 <8,因此b 2 <4, 又b ∈N * ,所以b=1. (2)双曲线方程为 2 4 x -y 2 =1,右顶点坐标为(2,0), 所以抛物线方程为y 2 =8x,① 直线方程为y=x-2,② 由①②两式联立, 解得1164x y ?=+??=+?? 和2264x y ?=-??=-?? 所以弦长 综合检测 1.(2011浙江温州适应性测试)已知F 1,F 2为双曲线Ax 2 -By 2 =1的焦点,其顶点是线段F 1F 2的三等分点,则其渐近线的方程为( ) (A)y=± (C)y=±x (D)y=± 或y=x 解析:由题意c=3a,∴c 2 =9a 2 , 又 c 2 =a 2 +b 2 , ∴22 b a =8, b a a b , ∴双曲线渐近线方程为y=± 或y= ± 4 x.故选D. 答案:D 2.(2012陕西师大附中模拟)设过双曲线x 2 -y 2 =9左焦点F 1的直线交双曲线的左支于点P,Q,F 2为双曲线的右焦点.若|PQ|=7,则△F 2PQ 的周长为( ) (A)19 (B)26 (C)43 (D)50 解析:如图,由双曲线的定义可得: 21212, 2, PF PF a QF QF a ?-=?? -=?? 两式相加得|PF 2|+|QF 2|-|PQ|=4a, ∴△F 2PQ 的周长为|PF 2|+|QF 2|+|PQ|=4a+|PQ|+|PQ|=433+237=26. 故选B. 答案:B 3.(2013北京市朝阳区高三上学期期末)已知双曲线的中心在原点,一个焦点为F 1 点P 在双曲线 上,且线段PF 1的中点坐标为(0,2),则此双曲线的方程是( ) (A) 24x -y 2=1 (B)x 2 - 24 y =1 (C) 2 2 x - 23 y =1 (D) 2 3x - 22 y =1 解析:由双曲线的焦点可知 线段PF 1 的中点坐标为(0,2),所以设右焦点为F 2 ,则有PF 2 ⊥x 轴,且 |PF 2|=4,点P 在双曲线右支上.所以|PF 1 所以|PF 1 |-|PF 2 |=6-4=2=2a,所以 a=1,b 2=c 2-a 2=4,所以双曲线的方程为x 2 -24 y =1.故选B. 答案:B 4.(2013贵州省遵义四中高三第四次月考)设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1、F 2,若曲线C 上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|=4∶3∶2,则曲线C 的离心率等于( ) (A)23或 32 (B) 2 3或2 (C) 12 或2 (D)12或3 2 解析:因为|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|=4∶3∶2,