哈尔滨市第六中学2018-2019学年度上学期期中考试
高二文科数学
一、选择题（共12小题；每小题5分）
1. 一个口袋中装有大小和形状都相同的一个白球和一个黑球，那么“从中任意摸一个球得到白球”，这个事件是（ ）
.A 随机事件 .B 必然事件 .C 不可能事件 .D 不能确定
2.圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，则该圆锥的表面积为（ ）
.A π）（232+ .B π9 .C π12 .D π10
3.如图所示，在正方体1111D C B A ABCD -中，M 为1DD 的中点，则图中阴影部分M BC 1在平面
11B BCC 上的正投影是（ ）
.A .B
.C .D
4.在正方体1111D C B A ABCD -中，异面直线11C A 与C B 1所成角的余弦值为（ ）
.A 0 .B 21 .C 22 .D 2
3 5.为了准备2018届哈尔滨市中学生辩论大赛，哈六中决定从高二年级的4个文科班级中每个班级选1名男生1名女生组成校辩论队，再从校辩论队中挑选2人做为一辩和二辩，则这两个人来自同一个班级的概率是（ ）
.A 72 .B 71 .C 41 .D 8
1 6.如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA 垂直底面111A B C ，底面三角形111A B C 是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述正确的是（ ）
.A 1CC 与1B E 是异面直线
.B AC ⊥平面11ABB A
.C AE 、11B C 为异面直线，且11AE B C ⊥
.D 11//AC 平面1AB E
7．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
.A 16 .B 32 .C 48 .D 144
8. 如图，圆锥的高2=PO ，底面圆O 的直径2=AB ，C 是圆上一
点，且?=∠30CAB ，则直线PC 和平面AOC 所成角的正弦值为 （ ）
.A 21 .B 36 .C 32 .D 2
2 9. 对于平面α和不重合的两条直线,,n m 下列选项中正确的是（ ）
.A 如果n m n m ,,//,αα?共面，那么n m //
.B 如果n m ,α?与α相交，那么n m ,是异面直线
.C 如果n m n m ,,,αα??是异面直线，那么α//n
.D 如果m n m ⊥⊥,α，那么 α//n
10.球面上有三点C B A ,,组成这个球的一个截面的内接三角形的三个顶点，其中6=AB ，8=BC ，10=AC ，球心到这个截面的距离为球半径的一半，则球的表面积为（ ）
.A 3400π .B π150 .C 3500π .D 7
600π 11．一只蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点距离都大于2的区域内的概率为（ ）
.A π631- .B 43 .C π6
3 .D 41 12.如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为2，动点F E ,在棱上''C D .点G 是AB 的中点，
动点P 在'AA 棱上，若n AP m E D EF ===,',1，则三棱锥
EFG P -的体积（ ）
.A 与n m ,都有关 .B 与n m ,都无关
.C 与m 有关，与n 无关 .D 与n 有关，与m 无关
二、填空题（共4小题；每小题5分）
13．已知点)5,3,2(A 与点)3,1,4(B ，则AB 的中点坐标为__________．
14. 从某自动包装机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：g ）：
根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在g g 5.501~5.479之间的概率约为 ．
15．已知F G E P ,,,都在球面C 上，且P 在EFG ?所在平面外，EG PE EF PE ⊥⊥,，?=∠120EGF ，422===EG GF PE ，在球C 内任取一点,则该点落在三棱锥EFG P -内的概率为__________．
16.如图，在边长为4的正三角形ABC 中，F E D ,,分别为各边的中点，
H G ,分别为AF DE ,的中点，将ABC ?沿DF EF DE ,,折成正四面体DEF P -，则在此正四面体中，下列说法正确的是 ．
①异面直线PG 与DH 所成的角的余弦值为3
2； ②PE DF ⊥；③GH 与PD 所成的角为?45；
④PG 与EF 所成角为?60
三、解答题（共6小题）
17.(本小题满分10分) 如图，在直四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面A B C D 为菱形，且?=∠120
BAD ，3,21==AA AD ．
（1）求证：直线//1CD 平面BD A 1；
（2）求四面体1BDA A -的表面积．
18.(本小题满分12分)
中俄联盟活动中有3名哈六中同学C B A ,,和3名俄罗斯同学Z Y X ,,，其年级情况如下表，现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）.
（1）用表中字母列举出所有可能的结果；
（2）设M 为事件“选出的2人来自不同国家且年级不同”，求事件M 发生的概率．
19.(本小题满分12分)
如图，已知三棱锥ABC P -中，AC PA ⊥，BC PC ⊥，E 为PB 中点，D 为AB 的中点，且ABE ?为正三角形．
（1）求证：⊥BC 平面PAC ；
（2）若点B 在平面DEC 上的射影H 在DC 上．若 2=AB ，
5
12=BH ，求三棱锥BCD E -的体积．
20.(本小题满分12分)
如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图．空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．
（1）求此人到达当日空气质量优良的概率；
（2）求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率.
21.(本小题满分12分)
如图，四棱锥ABCD E -中，底面ABCD 是平行四边形，N M ,分别为DE BC ,中点．
（1）证明：//CN 平面AEM ；
（2）若ABE ?是等边三角形，平面⊥ABE 平面BCE ，2,==⊥EC BE BE CE ， 求三棱锥AEM N -的体积.
22．(本小题满分12分)
如图，在矩形ABCD 中，点M 在边CD 上，点F 在边AB 上，且AM DF ⊥，垂足为E ，若将ADM ? 沿AM 折起，使点D 位于'D 位置，连接F D C D B D ',','得四棱锥ABCM D -'．
（1）求证：F D AM '⊥；
（2）若3'π
=∠EF D ，直线F D '与平面ABCM 所成角的大小为3
π，求直线'AD 与平面ABCM 所成角的正弦值．
2020届高二上学期期中考试文科数学参考答案
一、选择题
ACDBB CCBAA AD
二、填空题
13. ）
（4,2,3 14.41 15.π
326 16.①② 三、解答题
17.
（1）略
（2）35 18. （1）
},{B A ，},{C A ，},{X A ，},{Y A ，},{Z A ，}{C B ，，}{X B ，，}{Y B ，，}{Z B ，，}{X C ，，}{Y C ，，}{Z C ，，}{Y X ，，}{Z X ，，}{Y,Z 共15种。
（3）其中事件M 包含},{Y A ，},{Z A ，}{X B ，，}{Z B ，，}{X C ，，}{Y C ，共6种， 所以52156)(==
M P 19. （1）略
（2）5
32 20.（1） 在 3 月 1 日至 3 月 13 日这 13 天中，1 日、 2 日、 3 日、 7 日、 12 日、 13 日共6天的空气质量优良，所以此人到达当日空气质量优良的概率是13
6． （2） 根据题意，事件“此人在该市停留期间只有1天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是 4 日，或 5 日，或 7 日，或 8 日”．
所以此人在该市停留期间只有 1 天空气重度污染的概率为13
4． 21.（1）略；（2）3
32 22.（1）略；（2）
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