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鼎尚图文 一次函数的应用
课 题 一次函数的应用 课时安排 共（ 1 ）课时
【类型三】 根据实际问题确定一次函数的表达式
某商店售货时，在进价的基础上加一定利润，其数量x 与售
价y 的关系如下表所示，请你根据表中所提供的信息，列出售价y(元)
与数量x(千克)的函数关系式，并求出当数量是2.5千克时的售价.
数量x/千克
售价y/元 1
8＋0.4 2
16＋0.8 3
24＋1.2 4
32＋1.6 5
40＋2.0 … … 解析：从图表中可以看出售价由8＋0.4依次向下扩大到2倍、3
倍、……
解：由表中信息，得y ＝(8＋0.4)x ＝8.4x ，即售价y 与数量x 的
函数关系式为y ＝8.4x.当x ＝2.5时，y ＝8.4×2.5＝21.所以数量是2.5
千克时的售价是21元．
方法总结：解此类题要根据所给的条件建立数学模型，得出变化
关系，并求出函数的表达式，根据函数的表达式作答．
课后作业设计：
导学案 （修改人： ）
板书设计：
确定一次函数表达式?
????正比例函数y ＝kx （k≠0）一次函数y ＝kx ＋b （k≠0）
教学反思：
经历对正比例函数及一次函数表达式的探求过程，掌握用待定系数法求一次函数的表达式，进一步使用数形结合的思想方法；经历从不同信息中获取一次函数表达式的过程，体会到解决问题的多样性，拓展学生的思维．
二次函数实际应用 练习: 1.二次函数c bx x y ++=2的图象上有两点(3，－8)和(－5，－8)，则此拋物线的对称轴是（ ） A ．x ＝4 B. x ＝3 C. x ＝－5 D. x ＝－1 2.已知a －b ＋c=0 ，9a ＋3b ＋c=0,则二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图像的顶点可能在（ ） A.第一或第二象限 B.第三或第四象限 C.第一或第四象限 D.第二或第三象限 3.已知M ，N 两点关于y 轴对称，且点M 在双曲线y x = 1 2上，点N 在直线y x =+3上，设点M 的坐标为（a ，b ），则二次函数y abx a b x =-++2()（ ）。 A. 有最小值 92 B. 有最大值-92 C. 有最大值92 D. 有最小值-9 2 4．二次函数362+-=x kx y 的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是____________ 例3、把抛物线y=x 2+bx+c 的图象向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式 是y=x 2-3x+5,则有( ). A.b=3,c=7 B.b=-9,c=-15 C.b=3,c=3 D.b=-9,c=21 4（09?泰安市?3）抛物线1822-+-=x x y 的顶点坐标为 （A ）（-2，7） （B ）（-2，-25） （C ）（2，7） （D ）（2，-9） 5（09?天津?10）在平面直角坐标系中，先将抛物线22y x x =+-关于x 轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y 轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（ ） A ．22y x x =--+ B ．22y x x =-+- C ．22y x x =-++ D ．22y x x =++ 6（09?威海?7）二次函数2365y x x =--+的图象的顶点坐标是（ ） A ．(18) -， B ．(18)， C ．(12)-， D ．(14)-， 7.（09?温州?5）抛物线y=x 2一3x+2与y 轴交点的坐标是( ) A ．(0，2) B ．(1，O) C ．(0，一3) D ．(0，O)
一次函数的应用 一、目标与策略 明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！ 学习目标： ●理解一次函数与一元一次方程的关系、一次函数与一元一次不等式的关系、一次函数与二元一次方程组的关系，会 根据一次函数的图象解决一元一次方程、一元一次不等式的求解问题；会用图象法解二元一次方程组。 ●学习用函数的观点分析方程（组）与不等式的方法，初步感受用全面的观点处理局部问题的思想。 重点 ●一次函数与一元一次方程的关系的理解；一次函数图象确定一元一次不等式的解集；对应关系的理解及实际问题的 探究建模。 难点： ●一次函数与一元一次方程的关系的理解；一次函数与一元一次不等式的关系的理解；二元一次方程组的解与两直线 交点坐标之间的对应关系的理解。 学习策略： ●通过一次函数、一元一次不等式、一元一次方程及两元一次方程（组）之间的对比，总结出它们之间的内在联系， 真正理解函数与方程，函数与不等式，函数与方程组的关系，进一步体验数形结合思想意义，提高解决实际问题的能力。 二、学习与应用 “凡事预则立，不预则废”。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。 知识回顾——复习 学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？ （一）一次函数：一般地，形如的形式，则称y是x的一次函数；特别地当时，即形如的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。 （二）一元一次方程：只含有个未知数（元），并且未知数的次数都是的方程叫做一元一次方程。一元一次方程的标准形式是： .
（三）一元一次不等式：只含有 个未知数（元），并且未知数的次数都是 的不等式叫做一元一次不等式。 一元一次不等式的标准形式是： . （四）二元一次方程：含有 个未知数，并且未知数的指数都是 ，这样的方程叫做二元一次方程。 （五）二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的 解，叫做二元一次方程组的解。 知识点一：一元一次方程、一元一次不等式、与一次函数之间的关系 请你注意： （一）一次函数与一元一次方程 由于一元一次方程都可以转化为ax+b=0(a 、b 为常量，a ≠0)的形式，所以解一元 一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为 时，求相应的 的值。 从图象上看，这相当于已知直线y ＝kx+b （k ，b 是常数，k ≠0）与 轴交点的 _____坐标的值. （二）一次函数与一元一次不等式 由于任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b ＞0或ax+b ＜0或0ax b +≥或 0ax b +≤（a 、b 为常数，a ≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次 函数的值 0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应 一次函数y ＝ax +b （a ，b 是常数，a ≠0） 一元一次方程ax +b =0(a 、b 为常量，a ≠0) 一元一次不等式ax +ｂ＞0 或 ax +ｂ＜0或0ax b +≥或 0ax b +≤（a 、ｂ为常数，a ≠0） 令y=______ 令y> (或<，≥,≤)0 不等式解集的 端点值就是对应 方程的解 知识要点——预习和课堂学习 认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听 课学习。请在虚线部分填写预习内容，在实线部分填写课堂学习内容。课堂笔记或者其它补 充填在右栏。
………外…………○…装…………○…………订学校姓名：___________班级：___________考………内…………○…装…………○…………订绝密★启用前 一次函数第四节习题 试卷副标题 考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题） 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．如图，A 、M 、N 三点坐标分别为A （0，1），M （3，4），N （5，6），动点P 从点A 出发，沿y 轴以每秒一个单位长度的速度向上移动，且过点P 的直线l ：y=－x+b 也随之移动，设移动时间为t 秒，若点M 、N 分别位于l 的异侧，则t 的取值范围是（ ） A ．611t << B ．510t << C ．610t << D ．511t << 2．如图，一次函数y kx b =+（,k b 为常数，且0k ≠）的图像经过点(3,2)-，则关于x 的不等式2kx b +<的解集为（ ） A ．3x >- B ．3x <- C ．2x > D ．2x < 3．某游泳馆新推出了甲、乙两种消费卡，设游泳次数为x 时两种消费卡所需费用分别
…外…………○……………订…………○…线…………○…※※请※※线※※内※※答※※题※※ …内…………○……………订…………○…线…………○…费卡更合算（ ） A ．甲种更合算 B ．乙种更合算 C ．两种一样合算 D ．无法确定 4．如图，直线4 43 y x = +与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，点C 在OB 上，若将ABC 沿AC 折叠，使点B 恰好落在x 轴上的点D 处，则点C 的坐标是（ ） A ．(0,1) B ．20,3?? ??? C ．30,2?? ??? D ．(0,2) 第II 卷（非选择题） 请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题 5．如图所示的折线ABC 为某地向香港地区打电话需付的通话费y （元）与通话时间 ()t min 之间的函数关系，则通话8min 应付通话费_______元． 6．已知一次函数3y x 的图像经过点(,)P a b 和(,)Q c d ，那么()() b c d a c d ---的值为____________． 7．如图，在平面直角坐标系中，过点C （0，6）的直线AC 与直线OA 相交于点A （4，
5.5 一次函数的简单应用（1） 〖教学目标〗 ◆1、理解和掌握一次函数的图像及其性质 ◆2、学会运用函数这种数学模型来解决生活和生产中的实际问题，增强数学应用意识 〖教学重点和难点〗 教学重点：一次函数图像及其性质 教学难点：体会函数、方程、不等式在解决实际问题时的密切联系，并在一定条件下互相转化的各种情形，感受贴近生活的数学，培养解题能力。 〖教学过程〗 一、课前预习 1、判断题 （1）正比例函数是一次函数（√ ） （2）一次函数是正比例函数（×） （3）一次函数图像是一条直线（√ ） 2、已知直线y=-x/2，下列说法错误的是（ D ） A 比例系数为-1/2 B 图像不在一、三象限 C 图像必经过（-2 ，1）点 D y随x增大而增大 二、新课教学 1、引出概念 确定两个变量是否构成一次函数关系的一种常用方法就是利用图象去获得经验公式，这种方法步骤是： （1）通过实验，测得获得数量足够多的两个变量的对应值。 （2）建立合适的直角坐标系，在坐标系内以各对应值为坐标描点，并用描点法画出函数图像。 （3）观察图像特征，判定函数的类型。 2、例题分析 例1、生物学家测得7条成熟雄性鲸的全长y和吻尖到喷水孔的长度x的数据如下表（单位：m）
问能否利用一次函数刻画这两个变量x 和y 的关系？如果能，请求出这个一次函数的解析式。 解：在直角坐标系中画出以表中x 的值为横坐标，y 的值为竖坐标的7个点。 1 24681012141618Y (m) 过7即可用一）的坐标分别代入y=kx+b 得 10.25=1.91k+b 且12.50=2.59k+b 解得：k≈3.31 b≈3.93 所以所求函数解析式为y=3.31x+3.93 相应练习：通过实验获得u,v 两个变量的各对应值如下表 判断变量u,v 是否近似地满足一次函数关系式，如果是，求v 关于u 的函数关系式，并利用函数解析式求出当u=2.2时，函数v 的值。 变型 沙尘暴发生后，经过开阔荒漠时加速，经过乡镇，遇到防护林带区则减速，最终停止，某气象研究所观察一场沙尘暴从发生到结束的全过程，记录了风速y
八年级数学一次函数的应用专题汇编 一．解答题（共12小题） 1．（?常德模拟）抗战救灾中，某县粮食局为了保证库存粮食的安全，决定将甲、乙两个仓 库的粮食全部转移到具有较强抗震功能的A、B两仓库，已知甲库有粮食80吨，乙库有粮食100吨，而A库的容量为110吨，B库的容量为70吨．从甲、乙两库到A、B两库的路程和运费如下表：（表中“元/吨?千米”表示每吨粮食运送1千米所需人民币） 路程（千米）运费（元/吨?千米） 甲库乙库甲库乙库 A库20 15 13 12 B库25 20 10 8 （1）若甲库运往A库粮食x吨，请写出将粮食运往A、B两库的总运费y（元）与x（吨）的函数关系式； （2）当甲、乙两库各运往A、B两库多少吨粮食时，总运费最省，最省的总运费是多少？ 2．（?深圳模拟）某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略不计），这些薄板的形状均为正方形，边长（单位：cm）在5～50之间，每张薄板的成本价（单位：元）与它的面积（单位： cm 2 ）成正比例，每张薄板的出厂价（单位：元）由基础价和浮动价两部分组成，其中基础 价与薄板的大小无关，是固定不变的，浮动价与薄板的边长成正比例，在营销过程中得到了表格中的数据． 薄板的边长（cm）20 30 出厂价（元/张）50 70 （1）求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式； （2）40cm的薄板，获得的利润是26元（利润=出厂价﹣成本价）． ①求一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式； ②当边长为多少时，出厂一张薄板获得的利润最大？最大利润是多少？
3．（?武昌区校级模拟）某商店购进A型和B型两种电脑进行销售，已知B型电脑比A型电脑的每台进价贵500元，若商店用3万元购进的A型电脑与用 4.5万元购进的B型电脑的数量相等．A型电脑每台的售价为1800元，B型电脑每台的售价为2400元． （1）求A、B两种型号的电脑每台的进价各是多少元？ （2）该商店计划用不超过12.5万元购进两种型号的电脑共100台，且A型电脑的进货量不超过B型电脑的． ①该商店有哪几种进货方式？ ②若该商店将购进的电脑全部售出，请你用所学的函数知识求出获得的最大利润． 4．（?深圳二模）在“五?一”期间，“佳佳”网店购进A、B两种品牌的服装进行销售，已知B 种品牌服装的进价比A种品牌服装的进价每件高20元，2件A种品牌服装与3件B种品牌服装进价共560元． （1）求购进A、B两种品牌服装的单价； （2）该网站拟以不超过1120元的总价购进这种两品牌服装共100件，并全部售出．其中A 种品牌服装的售价为150元/件，B种品牌服装的售价为200元/件，该网站为了获取最大利润，应分别购进A、B两种品牌服装各多少件？所获取的最大利润是多少？
一次函数的应用（提高） 【学习目标】 1. 能从实际问题的图象中获取所需信息； 2. 能够将实际问题转化为一次函数的问题并准确的列出一次函数的解析式； 3. 能利用一次函数的图象及其性质解决简单的实际问题； 4. 提高解决实际问题的能力．认识数学在现实生活中的意义，发展运用数学知识解决实际问题的能力． 【要点梳理】 【高清课堂：393616 一次函数的应用，知识要点】 要点一、数学建模的一般思路 数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型. 要点二、正确认识实际问题的应用 在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解. 要点诠释：要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点. 要点三、选择最简方案问题 分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用. 【典型例题】 类型一、简单的实际问题 1、（2016·四川攀枝花）某市为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制度．若每月用水量不超过14吨（含14吨），则每吨按政府补贴优惠价m 元收费；若每月用水量超过14吨，则超过部分每吨按市场价n 元收费．小明家3月份用水20吨，交水费49元；4月份用水18吨，交水费42元． （1）求每吨水的政府补贴优惠价和市场价分别是多少？ （2）设每月用水量为x 吨，应交水费为y 元，请写出y 与x 之间的函数关系式； （3）小明家5月份用水26吨，则他家应交水费多少元？ 【思路点拨】先列方程组求m 和n ，再根据函数关系的变化进行分段，分别求出各段的函数解析式． 【答案与解析】 解：（1）设每吨水的政府补贴优惠价为m 元，市场调节价为n 元． 14(2014)4914(1814)42 m n m n +-=??+-=?，
2020-2021学年八年级数学下册尖子生同步培优题典【人教版】 专题19.10一次函数的应用：方案问题（重难点培优）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 注意事项： 本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2019春?德阳期末）某电信公司有A、B两种计费方案：月通话费用y（元）与通话时间x（分钟）的关系，如图所示，下列说法中正确的是（） A．月通话时间低于200分钟选B方案划算 B．月通话时间超过300分钟且少于400分钟选A方案划算 C．月通话费用为70元时，A方案比B方案的通话时间长 D．月通话时间在400分钟内，B方案通话费用始终是50元 【分析】根据通话时间少于200分钟时，A、B两方案的费用可判断选项A；根据300＜x＜400时，两函数图象可判断选项B；根据月通话费用为70元时，比较图象的横坐标大小即可判断选项C；根据x≤400，根据图象的纵坐标可判断选项D． 【解析】根据图象可知，当月通话时间低于200分钟时，A方案通话费用始终是30元，B方案通话费用始终是50元，故选项A不合题意； 当300＜x＜400时，A方案通话费用大于70元，B方案通话费用始终是50元，故选项B不合题意； 当月通话费用为70元时，A方案通话费时间为300分钟，B方案通话费时间大于400分钟，故选项C不合题意； 当x≤400时，B方案通话费用始终是50元．故选项D符合题意． 故选：D． 2．（2019?唐县二模）超市有A，B两种型号的瓶子，其容量和价格如表，小张买瓶子用来分装15升油（瓶
一次函数的应用的教学设计 沙洋县蛟尾中学张金鸿 教学目标: 认知与技能：1.使学生巩固一次函数的概念和性质。 2.使学生能够将实际问题转化为一次函数的问题。 3.能够根据实际意义准确地列出解析式并画出函数图像。 过程与方法：1.通过利用一次函数解决实际问题的过程，使学生数学抽象思维能力得到发展，体验到数学与生活的联系。 2.通过制作函数图像解决实际问题的活动，使学生面对实际问题时，能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略，进一步发展学生解决问题的能力。 情感态度与价值观：1.通过利用一次函数解决实际问题的过程，使学生在数学活动中获得成功体验，建立自信心，增强学生应用数学的意识。 2.通过小组合作学习，培养学生的合作精神。 教学重点:1.使学生能够将实际问题转化为一次函数的问题。 2.能够根据实际意义准确地列出解析式并画出函数图像。 教学难点: 1.使学生能够将实际问题转化为一次函数的问题。 2.根据实际意义准确地画出函数图像。 教学过程： 一、提出问题，导入新课
1.我们前面学习了有关函数的知识，相继我们又学习了一次函数的知识，那么你能举出生活中一次函数的例子吗？ 问题1：（1）假如你是单位领导，你的单位急需用车，但又不准备买车，你们准备和一个个体车主或一国营出租车公司中的一家签订月租合同，设汽车每月行驶x 千米，应付给出租车公司的月租费是y1元，y1=110053+x ，（X ≥0），应付给个体车主的月租费是y2元，y2x 34=（X ≥0）。请你作出决定租哪家的车合算? （2）学生观察图像，判断租哪家车合算。 （3）根据图象，你能很快的回答下列问题吗？ ①如果该单位估计每月的行程约为800千米，那么这个单位租哪家的车合算？ ②如果该单位估计每月的行程约为2300千米，那么这个单位租哪家的车合算？ 二、合作探究，探求新知
八年级数学-一次函数的应用典型例题（一） 一次函数解析式的一般形式是y＝kx＋b(k≠0),利用这一关系式可以解决一些实际问题或几何题．现举例说明如下． 例1 某种储蓄的月利率是0．36％,今存入本金100元,求本息和(本金与利息的和)y(元)与所存月数x之间的函数关系式,并计算5个月后的本息和(1998年宁夏回族自治区中考题) 分析∵利息＝本金×月利率×月数, ∴y＝100＋100×0．36％×x＝100＋0．36x． 当x＝5时,y＝100＋0．36×5＝101．8,即5个月后的本息和为101．8元． 例2 托运行李P千克(P为整数)的费用为C,已知托运第一个1千克需付2元,以后每增加1千克(不足1千克按1千克计)需增加费用5角,则计算托运行李费用C的公式是______,托运重量为28．4千克的行李需付______元．(1996年安徽省中考题) 分析由题意知C＝2＋0．5(P－1)．(P为自然数) 根据题意,28．4千克应按29千克计算,则当P＝29时,C＝2＋0．5(29－1)＝16(元)． 例3 如图,在直角梯形ABCD中,∠C＝45°,上底AD＝3,下底BC＝5,P是CD上任意一点,若PC 用x表示,四边形ABPD的面积用y表示． (2)当四边形ABPD的面积是梯形ABCD面积的一半时,求点P的位置． 分析 (1)过D,P分别作DE⊥BC,PF⊥BC,垂足为E,F． ∵∠C＝45°, ∴DE＝EC＝BC－AD＝5－3＝2． 在Rt△PFC中,PC＝x, ∠C＝45°,
(2)当四边形ABPD的面积是梯形面积一半时,则 例4 A市和B市分别有某种库存机器12台和6台,现决定支援C村10台,D村8台,已知从A 市调运一台机器到C村和D村的运费分别是400元和800元,从B市调运一台机器到C村和D 村的运费分别是300元和500元． (1)设B市运往C村机器x台,求总运费W关于x的函数关系式； (2)若要求总运费不超过9000元,共有几种调运方案？ (3)求出总运费最低的调运方案,最低运费是多少元？ 分析由已知条件填出下表： (1)依题意得函数式： W＝300x＋500(6－x)＋400(10－x)＋800[8－(6－x)] ＝200x＋8600． ∴x＝0,1,2,共有3种调运方案． (3)当x＝0时,总运费最低,即从A市调10台给C村,调2台给D村,从B市调6台给D村,为总运费最低的调运方案,最低运费为8600元．
教学课题 复习一次函数相关性质 教 学 目 标 1.复习一次函数相关性质和练习 2.旋转问题（2） 教 学 重 难 点 1.一次函数与几何问题的综合题 2.掌握相关旋转问题的解题技巧 教学内容 课堂收获 一、一次函数相关性质和练习 （一）求函数解析式的方法通常有两种：一，运用待定系数法设出函数解析式，再根据条件列出方程组求系数；二，不知道函数形式时，运用题中条件得到关于x 与y 的方程，整理后即可得到函数解析式。 例1.（太原竞赛）如图，△AOB 为正三角形，点B 坐标为（2，0），过点C （-2，0）作直线l 交AO 于点D ，交AB 于点E ，且使△ADE 与△DOC 的面积相等，求直线l 的函数解析式。 (二)一次函数性质与k 、b 。直线)0(≠+=k b kx y 中，k 、b 决定着直线的位置和y 随x 的变化情况。 例 2.（广东竞赛）已知0≠abc ，且 p b c a a c b c b a =+=+=+，那么一次函数p px y +=的图像一定经过（ ） A. 第一、二象限 B. 第二、三象限 C. 第三、四象限 D. 第一、四象限 练习：已知一次函数1)2(-+-=k x k y 的图像经过第一、二、四象限，则k 的取值范围是 （三）当一次函数图像与两坐标轴有交点时，就与直角三角形联系在一起，求两交点坐标并能挖掘隐含条件是解决相关综合题的基础。 例3.（河北竞赛）设直线2)1(= ++y n nx （n 为自然数）与两坐标轴围成的三角形面积为S n （n=1，2，....2000），则S 1+S 2+.....+S 2000的值为（ ）
A. 1 B. 20001999 C. 20012000 D. 2002 2001 练习： 练习：1.如图，直线2+-=x y 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点C 在线段AB 上（不与A 、B 重合）。（1）若S △OAC :S △OBC =2:3，求点C 的坐标； （2）若BD ∥OA 交直线OC 于D ，AE ⊥OC 于E ，交OB 于F ，P 为AB 中点，当点C 在线段BP 上滑动时，求证：BD+BF 的值不变。 注：解函数图像与面积结合的问题，关键是把相关三角形用边落在坐标轴的其他三角形的面积来表示，这样面积与坐标就有了联系。 例5.（天津竞赛）如图，直线13 3 +- =x y 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，以线段AB 为直
〖教学目标〗 ◆1、理解和掌握一次函数的图像及其性质 ◆2、学会运用函数这种数学模型来解决生活和生产中的实际问题，增强数学应用意识 〖教学重点和难点〗 教学重点：一次函数图像及其性质 教学难点：体会函数、方程、不等式在解决实际问题时的密切联系，并在一定条件下互相转化的各种情形，感受贴近生活的数学，培养解题能力。 〖教学过程〗 一．做一做 由图象可判断 y 是 x 的什么函数？你能求出它的解析式吗？ 解：由图象可判断 y 是 x 的一次函数 设函数关系式为 把点A （0，6），B （4，8）代入得 ∴y=0.5x+6 二．问 题 如右图,线段a 表示弹簧(设弹簧的最大可挂6kg 的物体)的长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)之间的关系的图象,请结合图象回答下列问题: (1)问题中的两个变量y 与x 之间是不是一次函数关系? (2)y 与x 之间的函数关系是________________; (3)由图知弹簧的原长是____cm. 当x=3时,弹簧的长度y=___cm;实际意义是什么？ ?? ?+==b k b 486x b kx y +=?? ?==5 .06 k b x
变式:弹簧秤上挂上物体后会伸长(弹簧的最大可挂6kg 的物体),测得一弹簧的长度y(cm) 与所挂物体的质量x(kg)有如下关系: 问:(1)能否用一次函数刻画这两个变量y 与x 的关系？如果能,请求出这个函数的解析式。 请大家把表格中的点在坐标系中描出来. (2)当x=8时,y=10.实际意义是什么？ 解： （1）建立直角坐标系，画出以表中的x 值为横坐标，y 的值为纵坐标的7个点。 7个点在同一线段上，则所求的函数可以看成是一次函数！ 设函数关系式为 把点A （0，6），B （4 ，8）代入得 ∴y=0.5x+6 (2)当x=8时,y=10.实际意义：弹簧秤上挂上8kg 物体时已经超过弹簧的最大可挂6kg 了，弹簧变形了，没有意义。 问:除了用前面的方法来解决问题外，还有其它方法吗？ 三．实践 蓝鲸是现存动物中体形最大的一种，体长的最高记录是３２００cm.根据生物学家对成熟的雄性鲸的研究，发现全长和吻尖到喷水孔的长度存在函数关系。 用待定系数法求出函数解析式 ?? ?+==b k b 486寻找数据间的规律 b kx y +=?? ?==5 .06 k b x 得出函数的解析式 利用函数解决实际问题
一次函数的综合应用 1、已知在平面直角坐标系中，A （1，2）、B （5，4）在x 轴上找一点P ，使得PA+PB 的值最小，则点P 的坐标为___________． 2、如图，直线y =-x +4与x 轴、y 轴分别交于点A ，点B ，点P 的坐标为(-2，2)，则S △P AB =___________． O B y A P x x A y B O 第2题图 第3题图 3、如图，在平面直角坐标系中，已知A (-1，3)，B (3，-2)，则△AOB 的面积为___________． 4、如图，在平面直角坐标系中，已知A （4，0），B （0，2），C （1，0）．在直线AB 上是否存在一点D ，使得直线CD 将△OAB 分成1：3两部分．若存在，求出D 点的坐标，若不存在，请说明理由． y x O B A
5、我区的水电资源丰富，并且得到了较好的开发，电力充足．某供电公司为了鼓励居民用电，采用分段计费的方法来计算电费．月用电量（x）度与相应电费y（元）之间的图象如图所示． （1）当月用电量为100度时，应交电费元； （2）当x≥100时，求y与x之间的关系式； （3）当月用电量为260度时，应交电费元． 6、小聪和小明沿同一条路同时从学校出发到宁波天一阁查阅资料，学校与天一阁的路程是4千米，小聪骑自行车，小明步行，当小聪从原路回到学校时，小明刚好到达天一阁，图中折线O-A-B-C和线段OD分别表示两人离学校的路程s（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数关系，请根据图象回答：下列四个结论 ①小聪在天一阁查阅资料的时间为15分钟； ②小聪返回学校的速度为千米/分钟； ③小明离开学校的路程s（千米）与所经过的 时间t（分钟）之间的关系式是； ④当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是千米． 其中正确结论的序号是． 7、小颖和小亮上山游玩，小颖乘坐缆车，小亮步行，两人相约在山顶的缆车终点会合．已知小亮行走到缆车终点的路程是缆车到山顶的线路长的2倍，小颖在小亮出发后50 分才乘 上缆车，缆车的平均速度为180米/分．设小亮出发x 分后行走的路程为y 米．图中的折线表示小亮在整个行走过程中y随x的变化关系．（1）小亮行走的总路程是______米，他途中休息了______分． （2）分别求出小亮在休息前和休息后所走的路程段上的步行速度． （3）当小颖到达缆车终点时，小亮离缆车终点的路程是多少？
《一次函数的应用—数学活动》 一、教学目标 （一）知识与能力目标： 进一步学会从一次函数的角度提出问题，分析问题，并能综合运用所学知识和技能解决问题，发展应用意识。 （二）过程与方法目标： 1、经历提出问题，收集和整理数据的过程，形成如何决策方案的能力。 2、在利用图象探究决策方案过程中，体会“数形结合”思想在数学应用中的广泛性。 二、教学重、难点 重点：灵活运用一次函数进行方案决策 难点：灵活运用一次函数解决三种或三种以上方案决策 三、教法演示法、读图分析法、设问引导法、比较评价法，让学生自主探 索，合作交流。 四、学情分析 八年级学生的抽象思维趋于成熟，形象直观思维能力较强，具有一定的独立思考、实践操作、合作交流、归纳概括等能力，能进行简单的推理论证，掌握了一般三角形和轴对称的知识。因此，在本节课的教学中，可让学生从已有的生活经验出发，参与知识的产生过程，在实践操作、自主探索、思考讨论、合作交流等数学活动中，理解和掌握数学知识和技能，形成数学思想和方法，让每个学生在数学上得到不同的发展，人人都获得必需的数学。 五、教法与学法 教法：我采用探索发现法完成本节的教学，在教学中以学生参与为主，通过直观的演示和学生自己动手使学生在获得感性知识的同时，为掌握理性知识创造条件。 学法：在教学中，把重点放在学生如何学这一方面，我认为通过直观演示，得到感性认识，学生在学习中运用发现法，开拓自己的创造性思维，实现由学生自己发现感受“等腰三角形的性质”通过学生自己看、想、议、练等活动，让学生自己主动“发现”几何图形的性质，活跃学生的思维。 六、教学过程
七、板书设计 一次函数的应用 ——数学活动 预设板书（见课件） 生成板书（略） 设计理念： 本节课充分应用多媒体展示信息，板书从两个方面考虑：一是预设的课件，二是在黑板上展示的生成问题。 八、教学反思 课堂教学是一个在预设与生成问题之间交替进行的过程，我会根据课堂实施和学生反馈的信息，因势利导，随机应变，调整教学环节，努力为学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们获得广泛的数学活动经验。这节课是在学生学习了一次函数的有关知识之后进行的，学生对一次函数的性质有了较深层次的理解，而且本节课的内容贴近学生实际，是移动电话如何选择缴费方式更能省钱的问题，而且是为家长帮忙，学生比较有兴趣，可以用自己所学知识帮助家长解决问题，让学生感到很有成就。另外，这节课的课件制作的也很精彩，并且教师设计了许多的学生活动，这些对于本节课的教学都有积极的作用，学生参与的积极性都很高，收到了较好的效果。但也有一些不足，我在备课的时候对于基础很差的一部分学生照顾不够，问题设计的没有照顾全体同学，以至于有一小部分学生没有很好的参与进来，这是我以后需要改进的地方。
一次函数的应用 教学目标 【知识与技能】 学会用待定系数法求一次函数的解析式来解决实际问题,建立实际问题的函数模型. 【过程与方法】 经历对实际问题建立数学模型的过程,体验待定系数法的作用和一次函数模型的价值. 【情感、态度与价值观】 1.通过让学生经历用一次函数来解决实际问题、建立实际问题的函数模型的过程,使他们感受到数学的用途和与生活的紧密联系. 2.让学生参与到教学活动中,提高学习数学及运用数学的积极性. 学情分析 学生学习了一次函数的图像和性质，用待定系数法确定一次函数解析式，已能够熟练的确定一次函数的解析式，并运用相关性质解决问题。学生已经学习了方程和不等式解决实际问题，具备分析实际问题的能力。 重点难点 【重点】 用一次函数知识来解决实际问题. 【难点】 建立实际问题的数学模型. 教学过程 一、创设情境,导入新知 师：一次函数的图像有哪些特点，说明一次函数有哪些性质？ （学生回答） 师:我们在上节课学习了待定系数法,大家还记得是怎么用的吗? 生:设出解析式,然后把已知点的坐标代入,解方程或方程组,解得系数值,进而得到解析式. 师:很好!我们这节课就用它来解决一些实际问题. 二、共同探究,获取新知 教师多媒体出示. 【例】为节约用水,某城市制定以下用水收费标准:每户每月用水不超过8m3时,每立方米收取1元外加0.3元的污水处理费;超过8m3时,超过部分每立方米收取1.5元外加1.2元的污水处理费.设一户每月用水量为xm3,应缴水费y元. (1)给出y关于x的函数关系式. (2)画出上述函数图象. (3)该市一户某月若用水量为x=5m3或x=10m3时,求应缴水费. (4)该市一户某月缴水费26.6元,求该户这月用水量.
一次函数培优讲解
已知一次函数 y=ax+b 的图像经过一，二，三象限，且与 x 轴交易点（-2，0） ，则不等式 ax 大于 b 的解集为（ ） A.x>2. B.x<2. Cx>-2. D.x<-2 此题正确选项为 A 解析：∵一次函数的图像过一、二、三象限 ∴有 a＞0 将（-2，0）代入一次函数解析式则 b=2a ∴ax＞b 可化为 ax＞2a 又 a＞0 ∴原不等式的解集为 x＞2 在直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点，称为整点．设 k 为整数，当直线 y=x+2 与直 线 y=kx-4 的交点为整点时，k 的值可以取（ ）个． 因为直线 y=x+2 与直线 y=kx-4 的交点为整点，让这两条直线的解析式组成方程组，求得整 数解即可． 由题意得：{y=x+2y=kx-4， 解得：{x=6k-1y=6k-1+2， ∴k 可取的整数解有 0，2，-2，-1，3，7，4，-5 共 8 个． 若 不 等 式 2|x-1|+3|x-3|≤ a 有 解 ， 则 实 数 a 最 小 值 是 （ 考点： 含绝对值的一元一次不等式． 专题： 计算题；分类讨论． 分 析 ： 分 类 讨 论 ：当 x＜ 1 或 1≤ x≤ 3 或 x＞ 3，分 别 去 绝 对 值 解 x 的 不 等 式 ，然 后 根 据 x 对 应 的 取 值 范 围 得 到 a 的 不 等 式 或 不 等 式 组 ，确 定 a 的 范 围 ，最 后 确 定 a 的最小值． ）
解 答 ： 解 ： 当 x＜ 1， 原 不 等 式 变 为 ： 2-2x+9-3x≤ a， 解 得 x≥
＜ 1， 解 得 a＞ 6 当 1≤ x≤ 3， 原 不 等 式 变 为 ： 2x-2+9-3x≤ a， 解 得 x≥ 7-a， ∴ 1≤ 7-a≤ 3， 解 得 4≤ a≤ 6； 当 x＞ 3， 原 不 等 式 变 为 ： 2x-2+3x-9≤ a， 解 得 x＜ ＞ 3， 解 得 a＞ 4； 综 上 所 述 ， 实 数 a 最 小 值 是 4． 已知实数 a，b，c 满足 a+b+c 不等于 0，并且 a/b+c=b/c+a=c/a+b=k，则直线 y=kx-3 一定 通过哪三个象限？
《一次函数的简单应用》教案 教学目标 1、了解两个条件可确定一次函数；能根据所给信息(图象、表格、实际问题等)利用待定系数法确定一次函数的表达式；并能利用所学知识解决简单的实际问题． 2、经历对正比例函数及一次函数表达式的探求过程，掌握用待定系数法求一次函数的表达式，进一步发展数形结合的思想方法. 3、经历从不同信息中获取一次函数表达式的过程，体会到解决问题的多样性，拓展学生的思维． 教学重点 会根据条件用待定系数法求解一次函数的表达式. 教学难点 用待定系数法求解方程以及数形结合的使用. 教学过程 一、复习引入 内容：提问： (1)什么是一次函数？ (2)一次函数的图象是什么？ (3)一次函数具有什么性质？ 目的：学生回顾一次函数相关知识，温故而知新． 二、初步探究 内容1： 展示实际情境 实际情境：假定甲、乙二人在一项赛跑中路程y与时间x 的关系如图所示．
(1)这是一次多少米的赛跑？ (2)甲、乙二人谁先到达终点？ (3)甲、乙二人的速度分别是多少？ (4)求甲、乙二人y 与x 的函数关系式． 目的：利用函数图象提供的信息可以确定正比例函数的表达式，一方面让学生初步掌握确定函数表达式的方法，即待定系数法，另一方面让学生通过实践感受到确定正比例函数只需一个条件．情景一、二可根据学生情况进行选取，情景二几个问题有一定的梯度，学生可能更易写出函数关系式． 教学注意事项：学生可能会用图象所反映的实际意义来求函数表达式，如先求出速度，再写表达式，教师应给予肯定，但要注意比较两种方法异同，并突出待定系数法． 内容2： 想一想：确定正比例函数的表达式需要几个条件？确定一次函数的表达式呢？ 目的：在实践的基础上学生加以归纳总结.这个问题涉及到数学对象的一个本质概念——基本量．由于一次函数有两个基本量k 、b ，所以需要两个条件来确定． 三、深入探究 内容1： 例1在弹性限度内，弹簧的长度y (厘米)是所挂物体的质量x (千克)的一次函数，一根弹簧不挂物体时长14.5cm ；当所挂物体的质量为3kg 时，弹簧长16cm .写出y 与x 之间的关系式，并求所挂物体的质量为4kg 时弹簧的长度． 解：设b kx y +=，根据题意，得 14.5=b ，① 16=3k +b ，② 将5.14=b 代入②，得5.0=k ． 所以在弹性限度内，5.145.0+=x y ． 当4=x 时，5.165.1445.0=+?=y (厘米)． 即物体的质量为4千克时，弹簧长度为5.16厘米． 目的： 引例中设置的是利用函数图象求函数表达式，这个例子选取的是弹簧的一个物理现象，目的在于让学生从不同的情景中获取信息求一次函数表达式，进一步体会函数表达式是刻画现实世界的一个很好的数学模型．这道例题关键在于求一次函数表达式，在求出一般情况后，第二个问题就是求函数值的问题可迎刃而解． 教学注意事项： 学生除了从函数的观点来考虑这个问题之外，还有学生是用推理的方式：挂3千克伸长了1.5厘米，则每千克伸长了0.5厘米，同样可以得到y 与x 间的关系式．对此，教师应给予
人版数学八年级下册 第十九章 一次函数 一次函数的应用 专题练习题 1．在一条笔直的公路上有A ，B ，C 三地，C 地位于A ，B 两地之间，甲、乙两车分别从A ，B 两地出发，沿这条公路匀速行驶至C 地停止．从甲车出发至甲车到达C 地的过程，甲、乙两车各自与C 地的距离y(km )与甲车行驶时间t(h )之间的函数关系如图所示，当甲车出发____h 时，两车相距350 km . 2．小亮家与姥姥家相距24 km ，小亮8：00从家出发，骑自行车去姥姥家．妈妈8：30从家出发，乘车沿相同路线去姥姥家．在同一直角坐标系中，小亮和妈妈的行进路程s(km)与时间t(h)的函数图象如图所示．根据图象得出下列结论，其中错误的是( ) A ．小亮骑自行车的平均速度是12 km/h B ．妈妈比小亮提前0.5 h 到达姥姥家 C ．妈妈在距家12 km 处追上小亮 D ．9：30妈妈追上小亮 3．甲骑摩托车从A 地去B 地，乙开汽车从B 地去A 地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，设甲、乙两人间距离为s(千米)，甲行驶的时间为t(小时)，s 与t 之间的函数关系如图所示，有下列结论：①出发1小时时，甲、乙在途中相遇；②出发1.5小时时，乙比甲多行驶了60千米；③出发3小时时，甲、乙同时到达终点；④甲的速度是乙速度的一半．其中正确结论的个数是( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 4．设甲、乙两车在同一直线公路上匀速行驶，开始甲车在乙车的前面，当乙车追上甲车后，两车停下来，把乙车的货物转给甲车，然后甲车继续前行，乙车向原地返回．设x 秒后两车间的距离为y 米，关于y 与x 的函数关系如图所示，则甲车的速度是____米/秒． 5．周末，小明骑自行车从家里出发到野外郊游，从家出发1 h 后到达南亚所(景点)，游玩 一段时间后按原速前往湖光岩．小明离家116 h 后，妈妈驾车沿相同路线前往湖光岩．如图 是他们离家的路程y(km )与小明离家时间x(h )的函数图象． (1)求小明骑车的速度和在南亚所游玩的时间；
一次函数的应用教学设计 教学设计思想 在掌握了一次函数的图像、性质等知识后，这节课我们将学习一次函数的应用，通过两个课时对一次函数的应用进行简单概括、归纳，这一节是本章的重点与归宿。教学过程中鼓励解法和表述的多样化，充分加强图象识别与应用能力的培养，避免习惯的“代数化”倾向。突出通过函数获取信息,发展形象思维；突出一次函数的简单应用；突出函数与方程、不等式的关系。根据不同学生的基础，有针对性地增强问题的探索性与开放性，使不同层次学生的思维能力均得到充分的发展，调动学生自主学习与合作交流的积极性。 教学目标 知识与技能 经历应用一次函数解决实际问题的过程，熟悉一次函数在生活中的应用。 通过解决实际问题领悟函数与方程、不等式的关系及应用价值。 提高通过文字、表格、图像获取信息的能力。 在解决问题的过程中，提高综合思维的能力。 过程与方法 经历探求直线解析式的过程，体验数学学习探究的方法。 情感态度价值观 初步学会利用函数性质进行判断及决策的方法，增进应用函数思想的意识。 体验数学学习活动充满着探索，并在探索中感受成功，建立自信；体验数学来源于生活并应用于生活。 教学重难点 重点：应有一次函数解决实际问题 难点：准确的图像识别与应用，领悟函数与方程、不等式的关系 教学方法 启发式教学，学生探索为主 教学用具
多媒体 课时安排 2课时 教学过程设计 第一课时 一、导入新课 在前几节课里，我们学习了一次函数的图象和性质以及一次函数与方程、不等式的关系，其实一次函数在现实生活中也有着广泛的应用，现在我们就来一起探究一下。 二、试着做做 （出示题目）某公司与营销人员签订了这样的工资合同，工资由两部分组成，一部分是基本工资，每人每月300元；另一部分是按月销售量确定的奖励工资，每销售1件产品奖励工资4元． 1．设某营销员月销售产品x件，他应得的工资为y元，求y与x之间的函数关系式． 学生活动：独立阅读，领悟问题情境给出的数量关系，自己写出函数关系式。 师：让学生说出答案，并说出题中的数量关系。 营销员的月工资y(元)与他当月销售产品的件数x之间的函数关系式为： y=4x+300． 2．用求出的函数关系式，尝试解决以下问题： (1)该营销员某月的工资为l 220元，他这个月销售了多少件产品? (2)要想使月工资超过1 500元，当月的销售量应当超过多少件? 学生活动：积极思考，自主探究 解：当营销员的月工资为 1 220元时，他当月销售的产品件数x应当满足方程：4x+300=1 220． 解这个方程，得 x=230． 要想使月工资超过1 500元，则当月销售的产品件数x应当满足不等式：4x+300>1 500． 解这个不等式，得x>300．