1 μ I 3μ I 第十三章 稳恒磁场
13—1 求各图中点 P 处磁感应强度的大小和方向。
[解] (a) P 点在水平导线的延长线上，水平导线在 P 点不产生磁场。P 点到竖直导线两端的连
线与电流方向的夹角分别为 θ = 0 ， θ = π 。因此，P 点的磁感应强度的大小为
B = μ 0
I ? 0 π ? ? cos 0 ? cos =
2 2
μ 0 I 4πa ?
2 ? 4πa
方向垂直纸面向外。
(b) 两条半无限长直导线在 P 点产生的磁场方向相同，都是垂直于纸面向内，它们在 P 点产 生的磁场的磁感应强度之和为
B = 2 μ 0 I = μ 0
I 1
4πr 2πr
半圆形导线在 P 点产生的磁场方向也是垂直纸面向内，大小为半径相同、电流相同的圆形 导线在圆心处产生的磁感应强度的一半，即
B 2 = 1 μ 0
I
= μ 0 I 2 2r 4r 方向垂直纸面向内。
(c) P 点到三角形每条边的距离都是
d =
3 a 6
每条边上的电流在 P 点产生的磁感应强度的方向都是垂直纸面向内，大小都是
B = 0 (cos 30 0 ? cos 150 0 )= 0 0 4πd 2πa 故 P 点总的磁感应强度大小为
B = 3B =
9μ 0 I 0 2πa
方向垂直纸面向内。
13—2 有一螺线管长 L ＝20cm ，半径 r =2.0cm ，导线中通有强度为 I =5.0A 的电流，若在螺 线管轴线中点处产生的磁感应强度 B ＝ 6.16 ×10 ?3
T 的磁场，问该螺线管每单位长度应多少
匝?
[解] 已知载流螺线管轴线上场强公式为
μ
B =nI (cosβ1 ?cos β2 ) = μ0 nI cos β2
2
?3 ?7
2
n =
B μ0 I cos β 2 = B L 2 μ0 I 2 =
6.16 ×10 4π ×10 ?7
× 5.0 ×
20 2 2
= 200匝 L + r 2 4 20 + 2 2
4
13—3 若输电线在地面上空 25m 处，通以电流1.8 ×103
A 。求这电流在正下方地面处产生
的磁感应强度。
[解] 已知直线电流的磁场公式
μ0 I
B = 4πa
(cos θ1 ? cos θ 2 )
= 4π ×10 ×1.8 ×103 (cos 0 ? cos π ) = 3.6 ×10 ?6 T 4π × 25
13—4 在汽船上，指南针装在距载流导线 0.80m 处，该导线中电流为 20A 。(1)将此导线作 无限长直导线处理，它在指南针所在处产生的磁感应强度是多大?(2)地磁场的水平分量(向北) 为 0.18 ×10 ?4 T 。由于电流磁场的影响，指南针的 N 极指向要偏离正北方向。如果电流的磁 场是水平的，而且与地磁场垂直，指南针的指向将偏离多大?求在最坏情况下，上述汽船中 的指南针的 N 极将偏离北方多少度?
[解] (1) 电流在指南针所在处的磁感应强度的大小为
B = μ 0
I
2 × 10 ?7
×
20
=
T = 5.0 ×10 ?6 T
1
2πr
0.80
(2) 如果电流的磁场是水平的而且与地磁场的水平分量 B 2 垂直(如图 a)，指南针偏离正北方 向的角度为 ? ，则
tan ? = B 1 = 5.0 × 10 ?6 = 0.28 ? = 150 31′
B 0.18 ×10 ?4
设指南针由于电流磁场偏离正北方向的角度为 ?1 ，由图(b)可知
B 2 sin ?1 = B 1 sin ? 2
两边微分后可得
d ?1 d ? 2
= B 1 cos ? 2 B 2 cos ?1
为求 ?1 的最大值 ? m ，令
d ?1 d ? 2
= 0 ，则有
m cos ? 2 = 0
π
? 2 = 2
因此 sin ? m =
B 1
B 2
= 0.28 ? = 16 0
8
′
13—5 在半径为 R 和 r 的两圆周之间，有一总匝数为 N 的均匀密绕平面线圈，通有电流 I ， 方向如图所示。求中心 O 处的磁感应强度。
[解] 取一半径为 x 厚度为 dx 的圆环,其等效电流为:
dI = jdx = NI dx
R ? r
dB 0
μ dI =
2 x
= μ0
NIdx
2 x (R ? r )
∴ B 0 = R ∫ dB 0 = ∫ μ0 NIdx = μ0 NI
ln R
NI
r 2 x (R ? r ) 2(R ? r ) r 方向垂直纸面向外.
13—6 电流均匀地流过一无限长薄壁半圆筒，设电流 I =5.0A ，圆筒半径 R =1.0 ×10 2 m 如图
所示。求轴线上一点的磁感应强度。
[解] 在金属片上对称地取两个宽为 ds = ds 1 = ds 2 的窄条。
条上电流为 dI =
ds I πR
每个窄条是一条无限长载流直导线，在中心轴线上 P 点产生的 dB 为
dB = dB = μ 0 dI 1 2
2πR
d B 1 和 d B 2 的方向已表示于图中，两者 x 分量相抵消，y 分量相加，总场只有 y 分量。由这
两条导线上电流共同贡献的磁感应强度是
dB = 2 ?
μ 0
dI cos θ = μ 0 I cos θds
2πR ∵ ds = Rd θ
π 2 R 2
μ I
∴ dB = 0 cos θd
θ π 2 R
μ I dB = 0 cos θd θ π 2
R
13—7 如图所示，长直导线通有电流 I ，求通过与长直导线共面的矩形面积 CDEF 的磁通 量。
μ I [解] 长直导线形成的磁感应强度为: B =
0 ,取如图所示的微元,设顺时针方向为正,
则
2πx
r r μ I d Φ = B ? dS =
0 ldx
2πx
b μ Il μ Il b Φ = ∫ d Φ = ∫ 0
dx = 0 ln
S
a 2πx 2π a
13—8 长直导线 aa ′ 与半径为 R 的均匀导体圆环相切于点 a ，另一直导线 bb ′ 沿半径方
向与
圆环接于点 b ，如图所示。现有稳恒电流 I 从端 a 流入而从端 b 流出。
(1)求圆环中心点 O 的 B 。
(2)B 沿闭合路径 L 的环流 ∫
B ? dl 等于什么?
L
r r r r r
[解] (1) B 0 = B 1 + B 2 + B 3 + B 4
其中: B4 = 0 B1 =μ0 I
4πR
B =
2 μ0 I 2 , B =
1 μ0 I 3 , I
2 = l 3
2 3 2R 3 3 2R I 3 l 2
r r
故 B 2 与 B 3 大小相等,方向相反,所以 B 2 + B 3 = 0
因而 B o = B 1 = μ0 I 4πR
,方向垂直纸面向外.
(2)由安培环路定理,有:
r r 2 I
∫ B ? dl
L
= μ0 ∑ I i = μ0 (I ? 3 I ) = μ0
3
13—9 矩形截面的螺绕环，尺寸如图所示，均匀密绕共 N 匝，通以电流 I ，试证明通过螺
绕环截面的磁通量为
Φ =
μ 0 NIh ln D 1 2π D 2
[证明] 以与螺绕环同心的圆周为环路，其半径为 r ，
D 2 < r < D
1 ，
2 2
∫ B ? dl = 2πrB = μ 0
NI
B =
μ 0 NI
2πr
∴Φ = ∫ d Φ = ∫ BdS = ∫
D 1
2 μ 0 NI
hdr =
μ 0 hNI ln D 1 D 2 2
2πr 2π
D 2
13—10 试证明在没有电流的空间区域内，如果磁感应线是一些同方向的平行线，则磁场一 定均匀。
[证明] 在 B 线同方向平行的磁场中，作如图的矩形回路 abcda ，其 ab 边与 B 线平行。由于 回路中无电流，所以安培环路定理给出 ∫
B ? d L = 0
L
b c d
a
又∫B ?d L = ∫
a B
1
?d L + ∫
b
B ?
d L + ∫
c
L B
2
?d L + ∫
d
B ?d L
=
2
c a
其中
∫
b
B ? d L 及 ∫d
B ? d L 因 B ⊥d l ，所以其值为零。
b
d
故 ∫ B ? d L =
∫
a
B 1 ? d L + ∫
c L
B 2 ? d L = 0
因为磁感应强度 B 是垂直于通过单位面积的磁通量即磁通密度，所以 B 线平行的磁场中，
ab 线上 B 处处等于 B 1 ，cd 线上 B 处处等于 B 2 ，因此有
B 1 ab ? B 2 cd = 0
又 ab = cd
所以 B 1 = B 2
由于矩形回路的位置和宽度不限，此式均可成立。所以，在没有电流的空间区域内，若 B
线是同方向平行的直线，则磁场一定均匀。
13—11 如图所示，空心圆柱无限长导体内外半径分别为 a 和 b ，导体内通有电流 I ，且电 流在横截面上均匀分布，介质的影响可以忽略不计。求证导体内部(a B μ0 I r 2 ? a 2 [解] 作图示的安培环路,有 2π (b 2 ? a 2 ) r r r ∫ B ? dl L = μ0 ∑ I i 即: ∫ Bdl = μ L I 0 π (b 2 ? a 2 ) π (r 2 ? a 2 ) ∴ B = μ0 I (r ? a 2 ) 2π (b 2 ? a 2 )r 13—12 一电磁铁的长直引线构造如下：中间是一直径为 5.0cm 的铝棒，周围同轴地套以内 直径为 7.0cm ，外直径为 9.0cm 的铝筒作为电流的回程(筒与棒间充以油类并使之流动以便散 热)。若通以电流I＝5.0 ×103 A，且导体的截面上电流分布均匀。试计算从轴心到圆筒外侧的磁场分布(铝和油本身对磁场分布无影响)，并画出相应的关系曲线。 [解] 取圆筒轴线上一点为圆心，以r 为半径的圆周为积分回路L，圆面垂直于轴线。则L 上各点的磁感应强度B 大小相等。方向沿径向。由安培环路定理得 = × I ? ∫ B ? dL = μ I 内 L ∴ B ? 2πr = μ0 I 内 当 0 I πr 2 = 8 ×106 r 2 内 π (0.025)2 ∴ B = μ0 I 内 μ = 0 × 8 ×106 r 2 = 1.6r 2πr 2πr 当 2.5cm μ I ∴ B = 0 2πr 当 3.5cm I π (r 2 ? 0.0352 ) I 内 = I ? π (0.0452 ? 0.0352 ) μ0 I 内 μ0 I π (r 2 ? 0.0352 ) ∴ B = 2π r 2πr π (0.0452 ? 0.0352 ) 当 4.5cm I 内 = I ? I = 0 13—13 厚为 2d 的无限大导体平板，其内有均匀电流平行于表面流动，电流密度为 j ，求空 间磁感应强度的分布。 r [解] 建立如图所示的坐标系,对板内,取安培环路 abcd ，则: ∫ B ? dl L = 2Bl = μ0 2 x lj ∴ B = μ0 jx 对板外,取安培环路a′b′c′d ′,则有: r ∫B ? d l L 即: 2Bl ′= μ0 jl ′2d = μ I ∴B = μ jd 0 2 13—14 一根半径为 R 的长直导体圆柱载有电流 I ，作一宽为 R 长为 l 的假想平面 S ，如图 所示。若假想平面 S 可在导体直径和轴 OO ′ 所确定的平面内离开 OO ′ 轴移动至远处，试求 当通过面 S 的磁通量最大时平面 S 的位置(设直导线内电流分布是均匀的)。 [解] r ≤R 时： ∫ B 1 ? d l = μ0 I ′ = μ I πR 2 πr 2 r 2 μ Ir B 1 2πr = μ0 I 2 R 即 B 1 = 2πR 2 r ≥R 时： ∫ B 2 ? d l = μ0 I μ0 I B 2 2πr = μ0 I 即 B 2 = 2πr 当假象平面的内边界离 OO ′ 轴 x 时 R φ = ∫ μ0 I R + x μ I ? r ? l ? dr + ∫ 0 ? l ? dr = μ0 Il 1 (R 2 ? x 2 )+ μ0 Il ln R + x x 2πR 2 R 2πr 2πR 2 2 2π R 令 φ ′ = 0 D d φ = ? dx μ0 Il 4πR 2 μ Il ? 2 x + 0 ? 2π 1 = 0 x + R x 1 = 5 ? 1 R 2 x 2 = ? 5 + 1 R (舍) 2 对 φ 求二阶导数 d 2 φ 2 ? μ Il = ?? 0 + μ0 Il ? 2 ? <0 dx ? 2πR 2π (x + R ) ? 因此 x 1 = 5 ? 1 R 时，有最大值。 2 13—15 电流为 I 2 的等边三角形载流线圈与无限长直线电流 I 1 共面，如图所示。求： (1)载流线圈所受到的总的磁场力； (2)载流线圈所受到的磁力矩(通过点c 并垂直于纸面方向的直线为轴)。 ( ? ? [解] ab 边到长直导线的距离为 d ，电流 I 1 在 ab 边上的磁场为 B = μ 0 I 1 2πd 方向垂直纸面向内。此磁场对 ab 边的作用力为 μ 0 I 1 I 2 l F AB = I 2 Bl = 2πd 方向沿 z 轴方向。 在 bc 边上距 b 端 x 处取电流元 I 2 dx ，该处到长直导线的距离为 z = d + 3 x 2 I 1 在该处的磁场为 B ′ = μ 0 I 1 2πz = μ 0 I 1 π ( 2d + 3x ) 方向垂直纸面向内。该电流元受到的磁力 μ 0 I 1 I 2 dx dF = I 2 B ′dx = π 2d + 3x ) 方向如图所示。bc 边上各电流元所受磁力方向相同，bc 边所受磁力即为 l μ 0 I 1 I 2 dx μ 0 I 1 I 2 ? l 1 ? 3l ?? F bc = ∫ dF = ∫0 π ( 2d + 3x ) = ? π ? ? ?? 2d ln ?1 + 3 ? ?? 2d ??? （2）磁矩的方向与外磁场的方向相同，所以闭合载流线圈受磁力矩为零。 13—16 试证明：一个任意形状的闭合载流线圈在均匀磁场中所受的总的磁场力恒为零。 [证明] 把闭合线圈分成无数个 dl ，则 d F = Id l × B ， 因此 F = ∫ d F = ∫ Id l × B = I ∫ d l × B = 0 13—17 在一个圆柱磁铁 N 极正上方，水平放置一半径为 R 的导线圆环，如图所示，其中 通有顺时针方向(俯视)的电流 I 。在导线处的磁场 B 的方向都与竖直方向成 α 角。求导线环 受的磁场力。 [解] 圆环上每个电流元受力为d F = Id l ×B z z 将 B 分解为 z 分量和径向分量： B = B z + B r B z = B cos α ， B r = B sin α ∴ d F = Id l × (B + B r ) = Id l × B + Id l × B r d F z = Id l × B r d F r = Id l × B z 对于圆环： ∫ d F r = 0 圆环所受合力为 F = F z = IB r ∫ dl = 2πrIB sin α 13—18 一圆线圈的半径为 R ，载有电流 I ，置于均匀磁场中，如图所示。在不考虑载流线 圈本身激发的磁场的情况下，求线圈导线上的张力(已知线圈法线方向与 B 的方向相同)。 解: 取半个圆环为研究对象,受力如图所示,由平衡条件,有: 2T = F ∴T = F 2 = BIl = BIR 2 13—19 将一均匀分布着面电流的无限大载流平面放入均匀磁场中，已知平面两侧的磁感应 强度分别为 B 1 和 B 2 (如图所示)。求载流平面上单位面积所受磁力的大小和方向。 [解] 由图可知，B 2 > B 1 ，说明载流平面的磁场 B 0 的方向与所放入的均匀磁场 B 的方向在平 面右侧是一致的，在平面左侧是相反的，进而说明平面上电流方向是垂直于纸面向内。设面 电流密度为 j 。则 k μ2 B 1 = B ?B = B ? B 2 = B + B = B + 1 μ j 2 1 μ j 2 由此二式解得B = 1 (B+ B )，j = 1 (B? B ) 1 2 2 1 在载流平面上沿电流方向取长为h、宽为dl 的条形面积，面积dS=hdl，面积上电流dI=jdl，此电流受到的磁力大小为dF = BhdI = Bjhdl = BjdS 载流平面单位 面积所受磁力大小为 dF = Bj =1 (B+ B )(B? B )= 1 (B2 ? B 2 ) 2 1 2 1 2 1 dS 2μ 0 2μ 方向为垂直于平面向左。 13-20 磁场中某点处的磁感应强度 B = 0.40i ?0.20 j(T )，一电子以速度v = 0.5 ×10 6 i + 1.0 ×10 6 j(m s )通过该点。求作用在该电子上的磁场力。 [解] 由洛仑兹力公式,有: r r s i j k r r r F = qv ×B = ?1.6 ×10 ?19 0.5 0.4 1.0 ?0.2 0 ×106 = 8 ×10?14r?( N) 13—21 质子和电子以相同的速度垂直飞入磁感应强度为B 的均匀磁场中，试求质子轨道 半径R 1 电子轨道半径R 2 的比值。 [解] 由粒子在磁场中作圆周运动的轨道半径公式r = mv qB R m v 质=质m电v = m质 = 1.67 ×10?27 = 1.84 ×103 R 电q 质 B q 电 B m 电 0.91×10 ?30 13—22 估算地磁场对电视机显像管中电子束的影响。假设加速电压为2.0 ×10 4 V ，电子枪到屏的距离为0.40m。试计算电子束在0.50 ×10 ?4 T 的横向地磁场作用下，约偏转多少?假定没有其它偏转磁场，这偏转是否显著? [解] 电子动能 1 mv 2 = eU 2 式中 U 为加速电势差。电子的速度大小为 v = 2eU = 2 ×1.6 ×10 ?19 × 2.0 ×10 4 m s = 8.4 ×10 7 m s m 9.1 ×10 ?31 在横向地磁场的作用下，电子沿弧形轨道运动，轨道半径为 R = mv = 9.1 ×10 ?31 × 8.4 ×10 7 m = 9.6m eB 1.6 ×10 ?19 × 0.5 ×10 ?4 设电子枪到屏的距离为 d ，由图可知，电子到达屏时，它的偏转距离为 x = R ? R 2 d 2 = (9.6 ? 9.6 2 ? 0.2 2 ) m = 2 ×10 ?3 m = 2mm 相对于电子枪到屏的距离，这偏转不算显著。 13—23 一块半导体的体积为 a × b × c ，如图示。沿 x 方向有电流 I ，在 z 方向有均匀磁场 B 。 这时实验得出的数据为 a =0.10cm ，b =0.35cm ， c =1.0cm ，I ＝1.0mA ，B =0.30T ，半导体片两 侧的霍耳电势差 U AA ′ 6.55mV 。 (1)问这块半导体是 p 型还是 n 型? (2)求载流子浓度。 [解] (1) 因载流子所受磁力方向沿 y 轴反方向，侧面 A ′ 电势较低，故载流子是负电荷(即电 子)，这半导体是 N 型半导体。 (2) 霍尔电压 U AA ′ = IB nea 由此可得载流子浓度 IB 1.0 ×10 ?3 × 0.30 n = eaU AA ′ = 1.6 ×10 ?19 × 0.10 ×10 ?2 × 6.55 ×10 ?3 个 m 3 = 2.86 ×10 20 个 m 3 13 — 24 掺 砷的硅片是 n 型半导体，其中载流子浓度是 2.0 × 10 21 个 m 3 ，电阻率是 1.6 ×10 ?2 Ω?m 。用这种硅做成霍耳探头以测量磁场。硅片的尺寸相当小，是 0.50cm ×0.20cm ×0.0050cm。将此片长度的两端接入电压为1V 的电路中。当探头放到磁场 大学物理第一学期公式集 概念（定义和相关公式） 1．位置矢量：r ，其在直角坐标系中：k z j y i x r ；222z y x r 角位置：θ 2．速度：dt r d V 平均速度：t r V 速率：dt ds V （ V V ）角速度：dt d 角速度与速度的关系：V=ｒω 3．加速度：dt V d a 或 2 2dt r d a 平均加速度：t V a 角加速度：dt d 在自然坐标系中n a a a n 其中dt dV a （=ｒβ），r V n a 2 （=r 2 ω） 4．力：F =ｍa （或F =dt p d ） 力矩：F r M （大小：M=rFcos θ方向：右手螺旋法则） 5．动量：V m p ，角动量：V m r L （大小：L=rmvcos θ方向：右手螺旋法则） 6．冲量： dt F I （=F Δｔ）；功： r d F A （气体对外做功：A=∫PdV ） 7．动能：mV 2/2 8．势能：A 保= – ΔE p 不同相互作用力势能形式不同 且零点选择不同其形式不同，在默认势能零点的 情况下： 机械能：E=E K +E P 9．热量：CRT M Q 其中：摩尔热容量C 与过程 有关，等容热容量C v 与等压热容量C p 之间的关系为：C p = C v +R 10． 压强： n tS I S F P 3 2 11． 分子平均平动能：kT 23 ；理想气体内能：RT s r t M E )2(2 12． 麦克斯韦速率分布函数：NdV dN V f )(（意义：在V 附近单位速度间隔内的分子数所占比率） 13． 平均速率： RT N dN dV V Vf V V 80 )( 方均根速率： RT V 22 ；最可几速率： RT p V 3 14． 熵：S=Kln Ω（Ω为热力学几率，即：一种宏观态包含的微观态数） 15． 电场强度：E =F /q 0 （对点电荷：r r q E ?42 ） 16． 电势： a a r d E U （对点电荷r q U 04 ）；电势能：W a =qU a (A= –ΔW) 17． 电容：C=Q/U ；电容器储能：W=CU 2/2；电场能量密度ωe =ε0E 2/2 18． 磁感应强度：大小，B=F max /qv(T)；方向，小磁针指向（S →N ）。 mg(重力) → mgh -kx （弹性力） → kx 2/2 F= r r Mm G ?2 (万有引力) →r Mm G =E p r r Qq ?420 (静电力) →r Qq 04 第九章振动 9-1一个质点作简谐运动，振幅为A，在起始时刻质点的位移为，且向x 轴正方向运动，代表此简谐运动的旋转矢量为（） 题９-１图 分析与解（b）图中旋转矢量的矢端在x轴上投影点的位移为－A/2，且投影点的运动方向指向Ox轴正向，即其速度的x分量大于零，故满足题意．因而正确答案为（b）． 9-2已知某简谐运动的振动曲线如图（a）所示，则此简谐运动的运动方程为（） 题９-２图 分析与解由振动曲线可知，初始时刻质点的位移为–A/2，且向x轴负方向运动．图（ｂ）是其相应的旋转矢量图，由旋转矢量法可知初相位为．振动曲线上给出质点从–A/2 处运动到+A处所需时间为 1 s，由对应旋转矢量图可知相应的相位差，则角频率，故选（D）．本题也可根据振动曲线所给信息，逐一代入方程来找出正确答案． 9-3两个同周期简谐运动曲线如图（a）所示， x1 的相位比x2 的相位（） （A）落后（B）超前（C）落后（D）超前 分析与解由振动曲线图作出相应的旋转矢量图（b）即可得到答案为（b）． 题９-３图 9-4当质点以频率ν作简谐运动时，它的动能的变化频率为（） （A）（B）（C）（D） 分析与解质点作简谐运动的动能表式为，可见其周期为简谐运动周期的一半，则频率为简谐运动频率ν的两倍．因而正确答案为（C）． 9-5图（a）中所画的是两个简谐运动的曲线，若这两个简谐运动可叠加，则合成的余弦振动的初相位为（） （A）（B）（C）（D） 分析与解由振动曲线可以知道，这是两个同振动方向、同频率简谐运动，它们的相位差是（即反相位）．运动方程分别为和 ．它们的振幅不同．对于这样两个简谐运动，可用旋转矢量法， 如图（b）很方便求得合运动方程为．因而正确答案为（D）． 题９-５图 9-6 有一个弹簧振子，振幅，周期，初相．试写出它的运动方程，并作出图、图和图． 一． 狭 义相对论 1． 爱因斯坦的两个基本原理 2． 时空坐标变换 3． 45（1（2）0 m m γ= v = （3）0 E E γ= v =（4） 2222 C C C C v Pv Pv Pv P E E E E ==== 二． 量子光学基础 1． 热辐射 ① 绝对黑体:在任何温度下对任何波长的辐射都能完全吸收的物体。 吸收比：(T)1B αλ、＝ 反射比：(T)0B γλ、＝ ② 基尔霍夫定律(记牢) ③ 斯特藩-玻尔兹曼定律 -vt x C v = β B B e e ：单色辐射出射度 B E ：辐出度，单位时间单位面积辐射的能量 ④ 唯恩位移定律 m T b λ?= ⑤ 普朗克假设 h εν= 2． 光电效应 （1） 光电效应的实验定律： a 、n I ∝光 b 、 0 00a a a a e U ek eU e U ek eU e U ek eU e U ek eU νννν----＝＝＝＝ （23、 4 三． 1 ② 三条基本假设 定态，，n m n m h E E h E E νν=-=- ③ 两条基本公式 2210.529o n r n r n A == 12213.6n E E eV n n -== 2． 德布罗意波 20,0.51E mc h E MeV ν=== 22 mc mc h h νν== 电子波波长： h mv λ= 微观粒子的波长： h h mv mv λλ= === 3． 测不准关系 x x P ???≥h 为什么有？会应用解题。 4．波函数 ① 波函数的统计意义： 例1① ② 例2．① ② 例3．π 例4 例5，，设 S 系中粒子例6 例7． 例8． 例9． 例10． 从钠中移去一个电子所需的能量是2.3eV ，①用680nm λ=的橙光照射，能否产生光电效应？②用400nm λ=的紫光照射，情况如何？若能产生光电效应，光电子的动能为多大？③对于紫光遏止电压为多大？④Na 的截止波长为多大？ 例11． 戴维森革末实验中，已知电子束的动能310k E MeV =，求①电子波的波长；②若电子束通过0.5a mm =的小孔，电子的束状特性是否会被衍射破坏？为什么？ 例12． 试计算处于第三激发态的氢原子的电离能及运动电子的德布罗意波长。 例13． 处于基态的氢原子，吸收12.5eV 的能量后，①所能达到的最高能态；②在该能态上氢原子的电离能？电子的轨道半径？③与该能态对应的极限波长以及从该能态向低能态跃迁时，可能辐射的光波波长？ 第十一章恒定磁场 11－1两根长度相同的细导线分别多层密绕在半径为R和r的两个长直圆筒上形成两个螺线管，两个螺线管的长度相同，R＝2r，螺线管通过的电流相同为I，螺线管中的磁感强度大小满足（） （A）（B）（C）（D） 分析与解在两根通过电流相同的螺线管中，磁感强度大小与螺线管线圈单位长度的匝数成正比．根据题意，用两根长度相同的细导线绕成的线圈单位长度的匝数之比 因而正确答案为（C）. 11－2一个半径为r的半球面如图放在均匀磁场中，通过半球面的磁通量 为（） （A）（B） （C）（D） 题11-2 图 分析与解作半径为r的圆S′与半球面构成一闭合曲面，根据磁场的高斯定理，磁感线是闭合曲线，闭合曲面的磁通量为零，即穿进半球面S 的磁通量等于穿出圆面S′的磁通量； ．因而正确答案为（D）． 11－3下列说法正确的是（） （A）闭合回路上各点磁感强度都为零时，回路内一定没有电流穿过 （B）闭合回路上各点磁感强度都为零时，回路内穿过电流的代数和必定为零 （C）磁感强度沿闭合回路的积分为零时，回路上各点的磁感强度必定为零 （D）磁感强度沿闭合回路的积分不为零时，回路上任意一点的磁感强度都不可能为零 分析与解由磁场中的安培环路定律，磁感强度沿闭合回路的积分为零时，回路上各点的磁感强度不一定为零；闭合回路上各点磁感强度为零时，穿过回路的电流代数和必定为零.因而正确答案为（B）． 11－4在图（ａ）和（ｂ）中各有一半径相同的圆形回路L1 、L2 ，圆周内有电流I1 、I2 ，其分布相同，且均在真空中，但在（ｂ）图中L2 回路外有电流I3 ，P1 、P2 为两圆形回路上的对应点，则（） （A）， （B）， （C）， （D）， 题11-4 图 分析与解由磁场中的安培环路定律，积分回路外的电流不会影响磁感强度沿回路的积分；但同样会改变回路上各点的磁场分布．因而正确答案为（C）． 11－5半径为R的圆柱形无限长载流直导体置于均匀无限大磁介质之中，若导体中流过的恒定电流为I，磁介质的相对磁导率为μｒ（μｒ＜1），则磁介质内的磁化强度为（）（A）（B） （C）（D） 分析与解利用安培环路定理可先求出磁介质中的磁场强度，再由M＝（μｒ－1）H求得磁介质内的磁化强度，因而正确答案为（B）． 11－6北京正负电子对撞机的储存环是周长为240 m的近似圆形轨道，当环中电子流强度为8 mA时，在整个环中有多少电子在运行？已知电子的速率接近光速. 第一章 质点运动学和牛顿运动定律 平均速度 v = t △△r 瞬时速度 v= lim 0△t →△t △r =dt dr 1. 3速度v= dt ds = =→→lim lim △t 0 △t △t △r 平均加速度a = △t △v 瞬时加速度（加速度）a= lim 0△t →△t △v =dt dv 瞬时加速度a=dt dv =22dt r d 匀速直线运动质点坐标x=x 0+vt 变速运动速度 v=v 0+at 变速运动质点坐标x=x 0+v 0t+ 2 1at 2 ； 速度随坐标变化公式:v 2-v 02=2a(x-x 0) 自由落体运动 竖直上抛运动 ?????===gy v at y gt v 22122 ???????-=-=-=gy v v gt t v y gt v v 2212 0220 0 抛体运动速度分量???-==gt a v v a v v y x sin cos 00 抛体运动距离分量?? ? ??-?=?=20021sin cos gt t a v y t a v x 射程 X=g a v 2sin 2 射高Y=g a v 22sin 20 飞行时间y=xtga —g gx 2 轨迹方程y=xtga —a v gx 2 202 cos 2 向心加速度 a=R v 2 # 圆周运动加速度等于切向加速度与法向加速度矢量和a=a t +a n 加速度数值 a=2 2n t a a + 法向加速度和匀速圆周运动的向心加速度相同a n =R v 2 切向加速度只改变速度的大小a t = dt dv ωΦR dt d R dt ds v === 角速度 dt φ ωd = 角加速度 22dt dt d d φ ωα== 角加速度a 与线加速度a n 、a t 间的关系 a n =22 2)(ωωR R R R v == a t =αωR dt d R dt dv == ； 牛顿第一定律：任何物体都保持静止或匀速直线运动 状态，除非它受到作用力而被迫改变这种状态。 牛顿第二定律：物体受到外力作用时，所获得的加速度a 的大小与外力F 的大小成正比，与物体的质量m 成反比；加速度的方向与外力的方向相同。 1.37 F=ma 牛顿第三定律：若物体A 以力F 1作用与物体B ，则同时物体B 必以力F 2作用与物体A ；这两个力的大小相等、方向相反，而且沿同一直线。 万有引力定律：自然界任何两质点间存在着相互吸引力，其大小与两质点质量的乘积成正比，与两质点间的距离的二次方成反比；引力的方向沿两质点的连线 1.39 F=G 2 2 1r m m G 为万有引力称量=×10-11N ?m 2/kg 2 重力 P=mg (g 重力加速度) 第11章 稳恒磁场 习 题 一 选择题 11-1 边长为l 的正方形线圈，分别用图11-1中所示的两种方式通以电流I （其中ab 、cd 与正方形共面），在这两种情况下，线圈在其中心产生的磁感应强度的大小分别为：[ ] （A ）10B =，20B = （B ）10B = ，02I B l π= （C ）01I B l π= ，20B = （D ）01I B l π= ，02I B l π= 答案：C 解析：有限长直导线在空间激发的磁感应强度大小为012(cos cos )4I B d μθθπ= -，并结合右手螺旋定则判断磁感应强度方向，按照磁场的叠加原理，可计 算 01I B l π= ，20B =。故正确答案为（C ）。 11-2 两个载有相等电流I 的半径为R 的圆线圈一个处于水平位置，一个处于竖直位置，两个线圈的圆心重合，如图11-2所示，则在圆心O 处的磁感应强度大小为多少? [ ] （A ）0 （B ）R I 2/0μ （C ）R I 2/20μ （D ）R I /0μ 答案：C 解析：圆线圈在圆心处的磁感应强度大小为120/2B B I R μ==，按照右手螺旋定 习题11-1图 习题11-2图 则判断知1B 和2B 的方向相互垂直，依照磁场的矢量叠加原理，计算可得圆心O 处的磁感应强度大小为0/2B I R =。 11-3 如图11-3所示，在均匀磁场B 中，有一个半径为R 的半球面S ，S 边线所在平面的单位法线矢量n 与磁感应强度B 的夹角为α，则通过该半球面的磁通量的大小为[ ] （A ）B R 2π （B ）B R 22π （C ）2cos R B πα （D ）2sin R B πα 答案：C 解析：通过半球面的磁感应线线必通过底面，因此2cos m B S R B παΦ=?=。故正确答案为（C ）。 11-4 如图11-4所示，在无限长载流直导线附近作一球形闭合曲面S ，当曲面S 向长直导线靠近时，穿过曲面S 的磁通量Φ B 将如何变化？[ ] （A ）Φ增大，B 也增大 （B ）Φ不变，B 也不变 （C ）Φ增大，B 不变 （D ）Φ不变，B 增大 答案：D 解析：根据磁场的高斯定理0S BdS Φ= =? ，通过闭合曲面S 的磁感应强度始终 为0，保持不变。无限长载流直导线在空间中激发的磁感应强度大小为02I B d μπ= ，曲面S 靠近长直导线时，距离d 减小，从而B 增大。故正确答案为（D ）。 11-5下列说法正确的是[ ] (A) 闭合回路上各点磁感应强度都为零时，回路内一定没有电流穿过 (B) 闭合回路上各点磁感应强度都为零时，回路内穿过电流的代数和必定为零 (C) 磁感应强度沿闭合回路的积分为零时，回路上各点的磁感应强度必定为零 (D) 磁感应强度沿闭合回路的积分不为零时，回路上任意一点的磁感应强度 I 习题11-4图 习题11-3图 电磁学 1．定义： ①E 和B ： F =q(E +V ×B )洛仑兹公式 ②电势：? ∞ ?= r r d E U 电势差：?-+ ?=l d E U 电动势：? + - ?= l d K ε（q F K 非静电 =） ③电通量：???=S d E e φ磁通量：???=S d B B φ磁通链： ΦB =N φB 单位：韦伯（Wb ） 磁矩：m =I S =IS n ? ④电偶极矩：p =q l ⑤电容：C=q/U 单位：法拉（F ） *自感：L=Ψ/I 单位：亨利（H ） *互感：M=Ψ21/I 1=Ψ12/I 2 单位：亨利（H ） ⑥电流：I = dt dq ； *位移电流：I D =ε 0dt d e φ 单位：安培（A ） ⑦*能流密度： B E S ?= μ 1 2．实验定律 ①库仑定律：0 204r r Qq F πε= ②毕奥—沙伐尔定律：204?r r l Id B d πμ?= ③安培定律：d F =I l d ×B ④电磁感应定律：ε感= –dt d B φ 动生电动势：?+ -??= l d B V )(ε 感生电动势：? - + ?=l d E i ε（E i 为感生电场） *⑤欧姆定律：U=IR （E =ρj ）其中ρ为电导率 3．*定理（麦克斯韦方程组） 电场的高斯定理：?? =?0 εq S d E ??=?0 εq S d E 静 （E 静是有源场） ??=?0S d E 感 （E 感是无源场） 磁场的高斯定理：??=?0S d B ??=?0S d B （B 稳是无源场） E =F /q 0 单位：N/C =V/ｍ B=F max /qv ；方向，小磁针指向（S →N ）；单位：特斯拉（T ）=104高斯（G ） Θ ⊕ -q l 习题11 11.1选择题 (1）一圆形线圈在磁场中作下列运动时，那些情况会产生感应电流（） （A ）沿垂直磁场方向平移；（B ）以直径为轴转动，轴跟磁场垂直； （C ）沿平行磁场方向平移；（D ）以直径为轴转动，轴跟磁场平行。 [答案：B] (2)下列哪些矢量场为保守力场（） （A ） 静电场；（B ）稳恒磁场；（C ）感生电场；（D ）变化的磁场。 [答案：A] (3) 用线圈的自感系数 L 来表示载流线圈磁场能量的公式22 1LI W m =（） ( A )只适用于无限长密绕线管； ( B ) 只适用于一个匝数很多，且密绕的螺线环； ( C ) 只适用于单匝圆线圈； ( D )适用于自感系数L 一定的任意线圈。 [答案：D] (4)对于涡旋电场，下列说法不正确的是（）： （A ）涡旋电场对电荷有作用力； （B ）涡旋电场由变化的磁场产生； （C ）涡旋场由电荷激发； （D ）涡旋电场的电力线闭合的。 [答案：C] 11.2 填空题 (1)将金属圆环从磁极间沿与磁感应强度垂直的方向抽出时，圆环将受到 。 [答案：磁力] (2)产生动生电动势的非静电场力是 ，产生感生电动势的非静电场力是 ，激发感生电场的场源是 。 [答案：洛伦兹力，涡旋电场力，变化的磁场] (3)长为l 的金属直导线在垂直于均匀的平面内以角速度ω转动，如果转轴的位置在 ，这个导线上的电动势最大，数值为 ；如果转轴的位置在 ，整个导线上的电动势最小，数值为 。 [答案：端点，2 2 1l B ω；中点，0] 11.3一半径r =10cm B =0.8T 的均匀磁场中．回路平面与B 垂直．当回路半 径以恒定速率 t r d d =80cm ·s -1 收缩时，求回路中感应电动势的大小． 解: 回路磁通 2 πr B BS m ==Φ 大学物理公式大全 TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】 第一章 质点运动学和牛顿运动定律 1.1平均速度 v = t △△r 1.2 瞬时速度 v=lim △t →△t △r =dt dr 1. 3速度v=dt ds = =→→lim lim △t 0 △t △t △r 1.6 平均加速度a =△t △v 1.7瞬时加速度（加速度）a=lim △t →△t △v =dt dv 1.8瞬时加速度a=dt dv =22dt r d 1.11匀速直线运动质点坐标x=x 0+vt 1.12变速运动速度 v=v 0+at 1.13变速运动质点坐标x=x 0+v 0t+ 2 1at 2 1.14速度随坐标变化公式:v 2-v 02=2a(x-x 0) 1.15自由落体运动 1.16竖直上抛运动 ?????===gy v at y gt v 22122 ???? ???-=-=-=gy v v gt t v y gt v v 2212 0220 0 1.17 抛体运动速度分量???-==gt a v v a v v y x sin cos 00 1.18 抛体运动距离分量?? ? ??-?=?=20021sin cos gt t a v y t a v x 1.19射程 X=g a v 2sin 2 1.20射高Y= g a v 22sin 20 1.21飞行时间y=xtga —g gx 2 1.22轨迹方程y=xtga —a v gx 2 202 cos 2 1.23向心加速度 a=R v 2 1.24圆周运动加速度等于切向加速度与法向加速度矢量和a=a t +a n 1.25 加速度数值 a=2 2n t a a + 1.26 法向加速度和匀速圆周运动的向心加速度相 同a n =R v 2 1.27切向加速度只改变速度的大小a t = dt dv 1.28 ωΦ R dt d R dt ds v === 1.29角速度 dt φ ωd = 1.30角加速度 22dt dt d d φ ωα== 1.31角加速度a 与线加速度a n 、a t 间的关系 a n =22 2)(ωωR R R R v == a t =αωR dt d R dt dv == 牛顿第一定律：任何物体都保持静止或匀速 直线运动状态，除非它受到作用力而被迫改变这种状态。 牛顿第二定律：物体受到外力作用时，所获得的加速度a 的大小与外力F 的大小成正比，与 第九章振动 9-1一个质点作简谐运动， 振幅为A，在起始时刻质点的位移为 2 A -，且向x轴正方向运动，代表此简谐运动的旋转矢量为（） 题９-１图 分析与解（b）图中旋转矢量的矢端在x轴上投影点的位移为－A/2，且投影点的运动方向指向O x轴正向，即其速度的x分量大于零，故满足题意．因而正确答案为（b）．9-2已知某简谐运动的振动曲线如图（a）所示，则此简谐运动的运动方程为（）()()()() ()()()() cm π 3 2 π 3 4 cos 2 D cm π 3 2 π 3 4 cos 2 B cm π 3 2 π 3 2 cos 2 C cm π 3 2 π 3 2 cos 2 A ?? ? ?? ? + = ?? ? ?? ? - = ?? ? ?? ? + = ?? ? ?? ? - = t x t x t x t x 题９-２图 分析与解由振动曲线可知，初始时刻质点的位移为–A/2，且向x轴负方向运动．图（ｂ）是其相应的旋转矢量图，由旋转矢量法可知初相位为3/π 2．振动曲线上给出质点从–A/2 处运动到+A处所需时间为 1 s，由对应旋转矢量图可知相应的相位差3/π 4 Δ=，则角频率()1s3/π4 Δ / Δ- = =t ω，故选（D）．本题也可根据振动曲线所给信息，逐一代入方程来找出正确答案． 9-3 两个同周期简谐运动曲线如图（a ） 所示， x 1 的相位比x 2 的相位（ ） （A ） 落后2π （B ）超前2 π （C ）落后π （D ）超前π 分析与解 由振动曲线图作出相应的旋转矢量图（b ） 即可得到答案为（b ）． 题９-３ 图 9-4 当质点以频率ν 作简谐运动时，它的动能的变化频率为（ ） （A ） 2 v （B ）v （C ）v 2 （D ）v 4 分析与解 质点作简谐运动的动能表式为()?ωω+=t A m E k 222sin 2 1，可见其周期为简谐运动周期的一半，则频率为简谐运动频率ν的两倍．因而正确答案为（C ）． 9-5 图（a ）中所画的是两个简谐运动的曲线，若这两个简谐运动可叠加，则合成的余弦振动的初相位为（ ） （A ） π2 3 （B ）π21 （C ）π （D ）0 分析与解 由振动曲线可以知道，这是两个同振动方向、同频率简谐运动，它们的相位差 是π（即反相位）．运动方程分别为t A x ωcos 1=和()πcos 2 2+= t ωA x ．它们的振幅不同．对于这样两个简谐运动，可用旋转矢量法，如图（b ）很方便求得合运动方程为t A x ωcos 21=．因而正确答案为（D ）． 热 学 公 式 1．理想气体温标定义：0 273.16lim TP p TP p T K p →=?（定体） 2．摄氏温度t 与热力学温度T 之间的关系：0 //273.15t C T K =- 华氏温度F t 与摄氏温度t 之间的关系：9325 F t t =+ 3．理想气体状态方程：pV RT ν= 1mol 范德瓦耳斯气体状态方程：2 ()()m m a p V b RT V + -= 其中摩尔气体常量8.31/R J mol K =?或2 8.2110/R atm L mol K -=??? 4．微观量与宏观量的关系：p nkT =，23kt p n ε= ，32 kt kT ε= 5．标准状况下气体分子的数密度（洛施密特数）253 0 2.6910/n m =? 6．分子力的伦纳德-琼斯势：12 6 ()4[()()]p E r r r σ σ ε=-，其中ε为势阱深度， σ= ，特别适用于惰性气体，该分子力大致对应于昂内斯气体； 分子力的弱引力刚性球模型（苏则朗模型）：06 000, ()(), p r r E r r r r r φ+∞ 第11章 电磁感应 11.１ 基本要求 １理解电动势的概念。 ２掌握法拉第电磁感应定律和楞次定律，能熟练地应用它们来计算感应电动势的大小，判别感应电动势的方向。 ３理解动生电动势的概念及规律，会计算一些简单问题中的动生电动势。 ４理解感生电场、感生电动势的概念及规律，会计算一些简单问题中的感生电动势。 ５理解自感现象和自感系数的定义及物理意义，会计算简单回路中的自感系数。 ６理解互感现象和互感系数的定义及物理意义，能计算简单导体回路间的互感系数。 ７理解磁能（磁场能量）和磁能密度的概念，能计算一些简单情况下的磁场能量。 ８了解位移电流的概念以及麦克斯韦方程组（积分形式）的物理意义。 11.２ 基本概念 １电动势ε：把单位正电荷从负极通过电源内部移到正极时，非静电力所作的功，即 W q ε= ２动生电动势：仅由导体或导体回路在磁场中的运动而产生的感应电动势。 ３感生电场k E ：变化的磁场在其周围所激发的电场。与静电场不同，感生电场的电 场线是闭合的，所以感生电场也称有旋电场。 ４感生电动势：仅由磁场变化而产生的感应电动势。 ５自感：有使回路保持原有电流不变的性质，是回路本身的“电磁惯性”的量度。 自感系数L ：//m L I N I =ψ=Φ ６自感电动势L ε：当通过回路的电流发生变化时，在自身回路中所产生的感应电动势。 ７互感系数M ：2112 12 M I I ψψ= = ８互感电动势12ε：当线圈２的电流2I 发生变化时，在线圈１中所产生的感应电动势。 ９磁场能量m W ：贮存在磁场中的能量。 自感贮存磁能：212 m W LI = 磁能密度m w ：单位体积中贮存的磁场能量22111 222 m B w μH HB μ=== １０位移电流：D d d I dt Φ= s d t ?=??D S ，位移电流并不表示有真实的电荷在空 间移动。但是，位移电流的量纲和在激发磁场方面的作用与传导电流是一致的。 １１位移电流密度：d t ?=?D j 11.３ 基本规律 １电磁感应的基本定律：描述电磁感应现象的基本规律有两条。 （１）楞次定律：感生电流的磁场所产生的磁通量总是反抗回路中原磁通量的改变。楞 次定律是判断感应电流方向的普适定则。 （２）法拉第电磁感应定律：不论什么原因使通过回路的磁通量（或磁链）发生变化，回路 中均有感应电动势产生，其大小与通过该回路的磁通量（或磁链）随时间的变化成正比，即 m i d dt εΦ=- ２动生电动势：()B B K A A i εd d ==???E l v B l ，若0i ε>,则表示电动势方向由A B →;若 0i ε<,则表示电动势方向B A → ３感生电动势：m K l s i d Φd εd d dt dt = ?=- =-? ?B E l S （对于导体回路） B K A i εd =?E l （对于一段导体） ４自感电动势：L dI εL dt =- ５互感电动势：12212d ΨdI εM dt dt =-=- ６麦克斯韦方程组 第一章 质点运动学与牛顿运动定律 1、1平均速度 v = t △△r 1、2 瞬时速度 v=lim 0△t →△t △r =dt dr 1. 3速度v= dt ds = =→→lim lim △t 0 △t △t △r 1、6 平均加速度a = △t △v 1、7瞬时加速度(加速度)a=lim 0△t →△t △v =dt dv 1、8瞬时加速度a=dt dv =2 2dt r d 1、11匀速直线运动质点坐标x=x 0+vt 1、12变速运动速度 v=v 0+at 1、13变速运动质点坐标x=x 0+v 0t+ 2 1at 2 1、14速度随坐标变化公式:v 2 -v 02 =2a(x-x 0) 1、15自由落体运动 1、16竖直上抛运动 ?????===gy v at y gt v 22122 ???? ???-=-=-=gy v v gt t v y gt v v 2212 02200 1、17 抛体运动速度分量???-==gt a v v a v v y x sin cos 00 1、18 抛体运动距离分量?? ? ??-?=?=20021sin cos gt t a v y t a v x 1、19射程 X=g a v 2sin 2 1、20射高Y= g a v 22sin 20 1、21飞行时间y=xtga —g gx 2 1、22轨迹方程y=xtga —a v gx 2 202 cos 2 1、23向心加速度 a=R v 2 1、24圆周运动加速度等于切向加速度与法向加速度矢量与a=a t +a n 1、25 加速度数值 a=2 2 n t a a + 1、26 法向加速度与匀速圆周运动的向心加速度相同 a n =R v 2 1、27切向加速度只改变速度的大小a t = dt dv 1、28 ωΦR dt d R dt ds v === 1、29角速度 dt φ ωd = 1、30角加速度 22dt dt d d φ ωα== 1、31角加速度a 与线加速度a n 、a t 间的关系 a n =222)(ωωR R R R v == a t =αωR dt d R dt dv == 牛顿第一定律:任何物体都保持静止或匀速直线运动 状态,除非它受到作用力而被迫改变这种状态。 牛顿第二定律:物体受到外力作用时,所获得的加速度a 的大小与外力F 的大小成正比,与物体的质量m 成反比;加速度的方向与外力的方向相同。 1.37 F=ma 牛顿第三定律:若物体A 以力F 1作用与物体B,则同时物体B 必以力F 2作用与物体A;这两个力的大小相等、方向相反,而且沿同一直线。 万有引力定律:自然界任何两质点间存在着相互吸引力,其大小与两质点质量的乘积成正比,与两质点间的距离的二次方成反比;引力的方向沿两质点的连线 1、39 F=G 2 2 1r m m G 为万有引力称量=6、67×10-11 N ?m 2 /kg 2 1、40 重力 P=mg (g 重力加速度) 1、41 重力 P=G 2 r Mm 1、42有上两式重力加速度g=G 2 r M (物体的重力加速度与物体本身的质量无关,而紧随它到地心的距离而变) 第十一章 机械振动 一、基本要求 1．掌握简谐振动的基本特征，学会由牛顿定律建立一维简谐振动的微分方程，并判断其是否谐振动。 2. 掌握描述简谐运动的运动方程)cos(0?ω+=t A x ，理解振动位移，振幅，初位相，位相，圆频率，频率，周期的物理意义。能根据给出的初始条件求振幅和初位相。 3. 掌握旋转矢量法。 4. 理解同方向、同频率两个简谐振动的合成规律，以及合振动振幅极大和极小的条件。 二、基本内容 1. 振动 物体在某一平衡位置附近的往复运动叫做机械振动。如果物体振动的位置满足)()(T t x t x +=，则该物体的运动称为周期性运动。否则称为非周期运动。但是一切复杂的非周期性的运动，都可以分解成许多不同频率的简谐振动（周期性运动）的叠加。振动不仅限于机械运动中的振动过程，分子热运动，电磁运动，晶体中原子的运动等虽属不同运动形式，各自遵循不同的运动规律，但是就其中的振动过程讲，都具有共同的物理特征。 一个物理量，例如电量、电流、电压等围绕平衡值随时间作周期性（或准周期性）的变化，也是一种振动。 2. 简谐振动 简谐振动是一种周期性的振动过程。它可以是机械振动中的位移、速度、加速度，也可以是电流、电量、电压等其它物理量。简谐振动是最简单，最基本的周期性运动，它是组成复杂运动的基本要素，所以简谐运动的研究是本章一个重点。 （1）简谐振动表达式)cos(0?ω+=t A x 反映了作简谐振动的物体位移随时间的变化遵循余弦规律，这也是简谐振动的定义，即判断一个物体是否作简谐振动的运动学根据。但是简谐振动表达式更多地用来揭示描述一个简谐运动必须 涉及到的物理量 大学物理第二学期公式集 电磁学 1．定义： ①E 和B ： F =q(E +V ×B )洛仑兹公式 ②电势：? ∞ ?= r r d E U 电势差：?-+?=l d E U 电动势：?+-?=l d K ε（q F K 非静电 =） ③电通量：???=S d E e φ磁通量：?? ?=S d B B φ磁通链：ΦB =N φB 单位：韦伯 （Wb ） 磁矩：m =I S =IS n ? ④电偶极矩：p =q l ⑤电容：C=q/U 单位：法拉（F ） *自感：L=Ψ/I 单位：亨利（H ） *互感：M=Ψ21/I 1=Ψ12/I 2 单位：亨利（H ） ⑥电流：I =dt dq ； *位移电流：I D =ε0dt d e φ 单位：安培（A ） ⑦ * 能 流 密 度 ： B E S ?= μ 1 2．实验定律 ①库仑定律：0 2 04r r Qq F πε= ②毕奥—沙伐尔定律：204?r r l Id B d πμ?= ③安培定律：d F =I l d ×B ④电磁感应定律：ε感= –dt d B φ 动生电动势：? + - ??= l d B V )(ε 感生电动势：? - + ?=l d E i ε（E i 为感生电场） *⑤欧姆定律：U=IR （E =ρj ）其中ρ为电导率 3．*定理（麦克斯韦方程组） E =F /q 0 单位：N/C =V/ｍ B=F max /qv ；方向，小磁针指向（S →N ）；单位：特斯拉（T ）=104高斯（G ） Θ ⊕ -q l 电场的高斯定理：?? =?0εq S d E ??=?0 εq S d E 静 （E 静是有源场） ??=?0S d E 感 （E 感是无源场） 磁场的高斯定理：??=?0S d B ??=?0S d B （B 稳是无源场） ??=?0 S d B （B 感是无源场） 电场的环路定理：? -=?dt d l d E B φ ?=?0l d E 静 （静电场无旋） ?-=?dt d l d E B φ 感（感生电场有旋；变化的磁场产生感生电场） 安培环路定理：d I I l d B 00μμ+=?? ?=?I l d B 0μ 稳 （稳恒磁场有旋） dt d l d B e φεμ00?=? 感 （变化的电场产生感生磁场） 4．常用公式 ①无限长载流导线：r I B πμ20= 螺线管：B=ｎμ0I ②带电粒子在匀强磁场中：半径qB mV R =周期qB m T π2= 磁矩在匀强磁场中：受力F=0；受力矩B m M ?= ③电容器储能：W c =21CU 2 *电场能量密度：ωe =2 1ε0E 2 电磁场能量密度：ω= 2 1ε 0E 2 +0 21 μB 2 *电感储能：W L =21LI 2 *磁场能量密度：ωB =0 21 μB 2 电磁场能流密度：S=ωV ④ *电磁波：C= 001 εμ=3.0×108m/s 在介质中V=C/ｎ，频率ｆ=ν= 021 εμπ 波动学 1．定义和概念 简谐波方程： x 处t 时刻相位 振幅 简谐振动方程：ξ=Acos(ωt+φ) 波形方程：ξ=Acos(2πx/λ+φ′) 第九章 振动 9-1 一个质点作简谐运动，振幅为A ，起始时刻质点的位移为2 A - ，且向x 轴正方向运动，代表此简谐运动的旋转矢量为（ ） 题９-１ 图 分析与解（b ）图中旋转矢量的矢端在x 轴上投影点的位移为－A /2，且投影点的运动方向指向O x 轴正向，即其速度的x 分量大于零，故满足题意．因而正确答案为（b ）． 9-2 已知某简谐运动的振动曲线如图（a ）所示，则此简谐运动的运动方程为（ ） ()()()()()()()()cm π32π34cos 2D cm π32π34cos 2B cm π32π32cos 2C cm π32π32cos 2A ?? ????+=??????-=??????+=??????-=t x t x t x t x 题９-２ 图 分析与解 由振动曲线可知，初始时刻质点的位移为 –A /2，且向x 轴负方向运动．图（ｂ）是其相应的旋转矢量图，由旋转矢量法可知初相位为3/π2．振动曲线上给出质点从–A /2 处运动到+A 处所需时间为 1 s ，由对应旋转矢量图可知相应的相位差3/π4Δ =，则角频率()1s 3/π4Δ/Δ-==t ω，故选（D ）．本题也可根据振动曲线所给信息，逐一代入方程来找 出正确答案． 9-3 两个同周期简谐运动曲线如图（a ） 所示， x 1 的相位比x 2 的相位（ ） （A ） 落后2π （B ）超前2 π （C ）落后π （D ）超前π 分析与解 由振动曲线图作出相应的旋转矢量图（b ） 即可得到答案为（b ）． 题９-３ 图 9-4 当质点以频率ν 作简谐运动时，它的动能的变化频率为（ ） （A ） 2 v （B ）v （C ）v 2 （D ）v 4 分析与解 质点作简谐运动的动能表式为()?ωω+=t A m E k 222sin 2 1，可见其周期为简谐运动周期的一半，则频率为简谐运动频率ν的两倍．因而正确答案为（C ）． 9-5 图（a ）中所画的是两个简谐运动的曲线，若这两个简谐运动可叠加，则合成的余弦振动的初相位为（ ） （A ） π2 3 （B ）π21 （C ）π （D ）0 分析与解 由振动曲线可以知道，这是两个同振动方向、同频率简谐运动，它们的相位差 是π（即反相位）．运动方程分别为t A x ωcos 1=和()πcos 2 2+= t ωA x ．它们的振幅不同．对于这样两个简谐运动，可用旋转矢量法，如图（b ）很方便求得合运动方程为t A x ωcos 21=．因而正确答案为（D ）． 习 题 11-1 面积很大的导体平板A 与均匀带电平面B 平行放置，如习题11-1图所示。已知A 与B 相距d ，两者相对的部分的面积为S 。(1)设B 面带电量为q ，A 板的面电荷密度为1s 及2s ，求A 板与B 面之电势差。(2)若A 板带电量为Q ，求1s 及2s 。 (1)d S q U 0 212/εσσ-+= ； （2）S q Q 21+=σ，S q Q 22-=σ 习题11-1图 习题11-2图 习题11-3图 11-2 如习题11-2图所示，有三块互相平行的导体板，外面的两块用导线连接，原来不带电。中间一块上所带总面电荷密度为521310.C m --醋。求每块板的两个表面的面电荷密度各 是多少？ （忽略边缘效应。） 解：从上到下6个面一次为面1、2、3、4、5、6. 2 61σ σσ= =，8323σσσ= -=，8 554σ σσ=-= 11-3 如习题11-3图所示，半径为1R 的导体球带有电荷q ，球外有一个内、外半径为2R 、3R 的同心导体球壳，壳上带有电荷Q 。求：(1)两球的电势1j 及2j ；(2)两球的电势差j D ；(3)用导线把球和壳连接在一起后，1j ，2j 及j D 分别为多少？ (4)在情形(1)、(2)中，若外球接地，1j ，2j 和j D 为多少？(5)设外球离地面很远，若内球接地，情况如何？ 解：（1）3 024R Q q πε?+= ，2010301444R q R q R Q q πεπεπε?- ++=； (2)两球的电势差2 01 044R q R q U πεπε- = ； (3) 3 0214R Q q πε??+= =，0=U ； 大学物理上下册常用公式 Prepared on 22 November 2020 大学物理第一学期公式集 概念（定义和相关公式） 1． 位置矢量：r ，其在直角坐标系中：k z j y i x r ++=；222z y x r ++=角位置： θ 2． 速度：dt r d V = 平均速度：t r V ??= 速率：dt ds V = （τ V V =）角速度： dt d θω= 角速度与速度的关系：V=ｒω 3． 加速度：dt V d a = 或2 2dt r d a = 平均加速度：t V a ??= 角加速度：dt d ωβ= 在自然坐标系中n a a a n +=ττ其中dt dV a =τ（=ｒβ），r V n a 2= （=r 2 ω） 4． 力：F =ｍa （或F = dt p d ） 力矩：F r M ?=（大小：M=rFcos θ方向：右手螺旋 法则） 5． 动量：V m p =，角动量：V m r L ?=（大小：L=rmvcos θ方向：右手螺旋法则） 6． 冲量：? = dt F I （=F Δｔ）；功：? ?= r d F A （气体对外做功：A= ∫PdV ） 7． 动能：mV 2/2 8． 势能：A 保= – ΔE p 不同相互作用 力势能形式不同且零点选择不同其形式不同，在默认势能零点的情况下： 机械能：E=E K +E P 9． 热量：CRT M Q μ = 其中：摩尔热容量C 与过程有关，等容热容量C v 与等压热容 量C p 之间的关系为：C p = C v +R mg(重力) → mgh -kx （弹性力） → kx 2/2 F= r r Mm G ?2- (万有引力) →r Mm G - =E p r r Qq ?42 0πε(静电力) →r Qq 04πε大学物理上下册常用公式
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