一、实验目的
1．掌握利用自由落体运动验证机械能守恒定律的原理和方法。 2．能正确测量数据，会用打点计时器打下的纸带计算物体运动的速度。 二、实验原理
让物体自由下落，忽略阻力情况下物体的机械能守恒，有两种方案验证物体的机械能守恒。 方案1：以物体下落的起始点O 为基准，测出物体下落高度h 时的速度大小v ，若12mv 2
＝mgh 成立，则
可验证物体的机械能守恒。
方案2：测出物体下落高度h 过程的初、末时刻的速度v 1、v 2，若关系式12mv 22－12mv 2
1＝mgh 成立，则可
验证物体的机械能守恒。
三、实验器材
铁架台(带铁夹)、打点计时器、重物(带纸带夹子)、纸带(数条)、复写纸、导线、毫米刻度尺、学生电源(交流4～6 V)。
四、实验步骤 1．仪器安装
按图所示将检查、调整好的打点计时器竖直固定在铁架台上，接好电路。
2．打纸带和选纸带
打纸带：将纸带的一端用夹子固定在重物上，另一端穿过打点计时器的限位孔，用手提着纸带使重物静止在靠近打点计时器的地方。先接通电源，后松开纸带，让重物带着纸带自由下落。更换纸带重复做3～5次实验。
选纸带：分两种情况说明。
(1)用12mv 2
＝mgh 验证：这是以纸带上第一点(起始点)为基准验证机械能守恒定律的方法。由于第一点
应是重物做自由落体运动开始下落的点，所以应选取点迹清晰且第1、2连续两点间的距离接近2 mm 的纸带。
(2)用12mv 2B －12mv 2
A ＝mgΔh 验证机械能守恒定律时，由于重力势能的相对性，处理纸带时，选择适当的
点为基准点，这样纸带上打出的第1、2两点间的距离是否为2 mm 就无关紧要了，只要后面的点迹清晰就可选用。
3．纸带处理
在起始点标上0，在以后各点依次标上1、2、3、……用刻度尺测出对应的下落高度h 1、h 2、h 3、…… 五、数据处理 1．求瞬时速度
标出所打的第一个点为O ，并从稍靠后的某一点开始，依次标出1、2、3、4、……并测量出各点到位置O 的距离h 1、h 2、h 3、h 4、……用公式v n ＝h n ＋1－h n －1
2T
计算出各点对应的瞬时速度v 1、v 2、v 3、v 4、……
2．守恒验证
方法一：利用起始点计算
利用起始点和第n 点计算。代入gh n 和12v 2，如果在实验误差允许的范围内，gh n ＝12
v 2
，则机械能守恒
定律得到验证。
方法二：任取两点计算
(1)任取两点A 、B 测出h AB ，求出gh AB 。
(2)求出A 、B 两点的瞬时速度，求出12v 2B －12
v 2
A 的值。
(3)如果在实验误差允许的范围内，gh AB ＝12v 2B －12v 2
A ，则机械能守恒定律得到验证。
方法三：图象法
从纸带上选取多个点，测量从第一点到其余各点的下落高度h ，并计算各点速度的平方v 2
，然后以12v
2为纵轴，以h 为横轴，根据实验数据绘出12
v 2
-h 图线。
若在误差允许的范围内，图象是一条过原点且斜率为g 的直线，则验证了机械能守恒定律。 六、注意事项
1．尽可能地控制实验条件，即应满足机械能守恒的条件，这就要求尽量减小各种阻力，采取的措施有：
(1)安装打点计时器时，必须使两个限位孔的中线竖直，以减小摩擦阻力。 (2)应选用质量和密度较大的重物，以减小空气阻力的影响。 2．应先接通电源让打点计时器开始打点，再放开纸带让重物下落。 3．选取纸带的原则
(1)点迹清晰，实验时必须保持提起的纸带竖直，手不动，待接通电源，让打点计时器工作稳定后再松开纸带，以保证第1个点是一个清晰的点。
(2)所打点呈一直线分布。
(3)第1、2两点间距接近 2 mm ，这说明打第1个点时重物的初速度近似为零，即h ＝12gt 2＝
1
2
×10×(0.02)2 m＝2 mm。
4．为减小测量高度h的相对误差，选取的各计数点要离起始点较远一些，从起始点开始测出h1、h2、……再求出Δh＝h2－h1、……
七、误差分析
1．测量长度会带来偶然误差。减小偶然误差的办法：
(1)测距离都应从O点测起。
(2)多次测量取平均值。
(3)选取的计数点应尽可能离O点远些，以减小相对误差。
2．重物在拖着纸带下落的过程中必然受到阻力作用，主要是打点计时器与纸带间的摩擦力以及空气的阻力。克服这些阻力做功要消耗能量，所以重物动能的增加量ΔE k必定小于重力势能的减少量ΔE p。这是实验设计上带来的系统误差。
3．打点计时器周期变化带来误差。
[典型例题]
例1.在验证机械能守恒定律的实验中。
(1)[多选]从下列器材中选出实验时所必须的器材，其编号为( )
A．打点计时器(包括纸带) B．重物
C．天平 D．毫米刻度尺
E．秒表 F．小车
(2)打点计时器的安装放置要
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________；
开始打点计时的时候，应先
________________________________________________________________________，
然后__________。
(3)实验中产生系统误差的原因主要是__________________________________________，使重物获得的动能往往______________________。为减小误差，悬挂在纸带下的重物应选择_________________________________________________________________________。
(4)如果以v 22为纵轴，以h 为横轴，根据实验数据绘出的v
2
2-h 图线是
________________________________________________________________________， 该线的斜率等于________________。
[解析] (1)选出的器材有：打点计时器(包括纸带)、重物、毫米刻度尺，编号分别为A 、B 、D ，注意因mgh ＝12
mv 2
，故m 可消去，不需要用天平。
(2)打点计时器安装时，两限位孔必须在同一竖直线上，这样才能使重物在自由下落时，受到的阻力较小，开始记录时，应先给打点计时器通电打点，然后再释放纸带。
(3)产生系统误差的主要原因是纸带通过打点计时器时受到摩擦阻力，导致重物获得的动能小于它所减少的重力势能，为减小误差，重物应选密度大一些的。
(4)描绘出来的v
2
2
-h 图线是一条通过坐标原点的倾斜直线，它的斜率即为重力加速度。
[答案] (1)ABD (2)两限位孔必须在同一竖直线上 给打点计时器通电 释放纸带 (3)纸带通过打点计时器时有摩擦阻力 小于所减小的重力势能 密度大一些的 (4)一条通过坐标原点的倾斜直线 重力加速度
[典型例题]
例2.(2016·泉州高一检测)在“验证机械能守恒定律”的实验中，打点计时器所用电源频率为50 Hz ，当地重力加速度的值为9.80 m/s 2
，测得所用重物的质量为1.0 kg 。甲、乙、丙三个同学分别用同一装置打出三条纸带，量出各纸带上第1、2两点间的距离分别为0.18 cm 、0.18 cm 和0.25 cm ，可看出其中肯定
有
一
个
同
学
在
操
作
上
出
现
了
问
题
，
出
现
的
问
题
是
________________________________________________________________________。
若按实验要求正确地选出纸带如图所示(相邻计数点的时间间隔为0.02 s)，那么：
(1)纸带的________(填“左”或“右”)端与重物相连。 (2)打点计时器打下计数点B 时，重物的速度v B ＝________。
(3)从起点O 到打下计数点B 的过程中重物重力势能的减少量ΔE p ＝________，此过程中重物动能的增加量ΔE k ＝________。
(4)通过计算，数值上ΔE p ________ΔE k (填“>”、“＝”或“<”)，这是因为__________________________________________________。 (5)实验的结论是________________________________。
(6)若实验中所用电源的频率f<50 Hz ，实验结果将会受到什么影响？
________________________________________________________________________。
[解析] 如果重物做自由落体运动，第1、2两点间的距离应接近于0.2 cm ，而丙同学的纸带上第1、2两点间的距离远大于这个值，说明重物在打第1点时已有速度，故丙同学在操作时出现的问题是先释放纸带后接通电源。
(1)纸带左端相邻两点之间的距离小，故纸带左端与重物相连。 (2)B 点对应的速度v B ＝x AC
2T ＝0.98 m/s 。
(3)ΔE p ＝mgh OB ≈0.49 J，ΔE k ＝12
mv 2
B ≈0.48 J。
(4)ΔE p >ΔE k ，在实验中存在阻力，重物的重力势能不能完全转化为动能。 (5)在实验误差允许的范围内，重物的机械能守恒。 (6)若f<50 Hz ，则v B 的计算值偏大，ΔE k 可能大于ΔE p 。
[答案] 先释放纸带后接通电源 (1)左(2)0.98 m/s (3)0.49 J 0.48 J (4)>实验中存在阻力，重物的重力势能不能完全转化为动能 (5)在误差允许的范围内重物的机械能守恒 (6)ΔE k 可能大于ΔE p
[典型例题]
例3.利用气垫导轨验证机械能守恒定律，实验装置示意图如图所示。
(1)实验步骤：
①将气垫导轨放在水平面上，桌面高度不低于1 m，将导轨调至水平；
②用游标卡尺测量挡光条的宽度为l＝9.30 mm；
③由导轨标尺读出两光电门中心之间的距离s＝________ cm；
④将滑块移至光电门1左侧某处，待砝码静止不动时，释放滑块，要求砝码落地前挡光条已通过光电门2；
⑤从数字计时器(图中未画出)上分别读出挡光条通过光电门1和光电门2所用的时间Δt1和Δt2；
⑥用天平称出滑块和挡光条的总质量M，再称出托盘和砝码的总质量m。
(2)用表示直接测量量的字母写出下列物理量的表达式：①滑块通过光电门1和光电门2时瞬时速度分别为v1＝________和v2＝________；
②当滑块通过光电门1和光电门2时，系统(包括滑块、挡光条、托盘和砝码)的总动能分别为E k1＝__________和E k2＝__________；
③在滑块从光电门1运动到光电门2的过程中，系统势能的减少量ΔE p减＝______(重力加速度为g)。
(3)如果ΔE p减＝________，则可认为验证了机械能守恒定律。
[解析] 由于挡光条宽度很小，因此将挡光条通过光电门时的平均速度当做瞬时速度，挡光条的宽度
l可用游标卡尺测量，挡光时间Δt可从数字计时器读出，因此，滑块通过光电门的瞬时速度为l
Δt
，由于质量已用天平测出，所以，滑块的动能就是已知数了。测出动能的增加值，测出重力势能的减少值，如果两者在误差允许范围内相等，就验证了机械能守恒定律。
[答案] (1)③60.00(59.96～60.04均正确) (2)①
l
Δt1
l
Δt2
②
1
2
(M＋m)
?
?
??
?
l
Δt1
2
1
2
(M＋m)
?
?
??
?
l
Δt2
2
③mgs (3)E k2－E k1
1．[多选](2016·攀枝花月考)某同学做“验证机械能守恒定律”的实验，下列操作步骤中正确的是( )
A．把电磁打点计时器固定在铁架台上，并用导线连接到低压交流电源上
B．将连有重锤的纸带穿过限位孔，将纸带和重锤提升到一定高度
C．先释放纸带，再接通电源
D．更换纸带，重复实验，根据记录处理数据
解析：选ABD 在做“验证机械能守恒定律”的实验时，应先接通电源，后释放纸带，以保证打第一个点时纸带的初速度为零，C错误，A、B、D正确。
2．[多选]在“验证机械能守恒定律”实验中，为测量速度及高度而选择纸带时，较为理想的纸带具备的特点是( )
A．点迹小而清晰的
B．点迹粗的
C ．第一、二点距离接近2 mm 的
D ．纸带长度较长的(60 cm ～80 cm)
解析：选ACD 点迹小而清晰的纸带在测量时产生的误差小，计算结果准确，A 正确，B 错误；根据实验需验证的关系mgh ＝12mv 2
，其中h 应是从静止开始下落的高度，而重物从静止开始下落的第一个0.02 s(打
点时间间隔)内所下落的高度为h 1＝12gt 21＝12×9.8×0.022
m≈0.002 m＝2 mm ，因此，纸带上第一、二两点
间的距离接近 2 mm ，表示在打第一个点的瞬时重物从静止开始下落，C 正确；用直尺量取计数点间距时，距离越大，读数的相对误差越小，D 正确。
3．有4条用打点计时器(所用交流电的频率为50 Hz)打出的纸带A 、B 、C 、D ，其中一条是做“验证机械能守恒定律”实验时打出的。为找出该纸带，某同学在每条纸带上取了点迹清晰的、连续的4个点，用刻度尺测出相邻两个点间距离依次为x 1、x 2、x 3。请你根据下列x 1、x 2、x 3的测量结果确定该纸带为(已知当地的重力加速度为9.791 m/s 2
)( )
A ．61.0 mm 65.8 mm 70.7 mm
B ．41.2 mm 45.1 mm 53.0 mm
C ．49.6 mm 53.5 mm 57.3 mm
D ．60.5 mm 61.0 mm 60.6 mm
解析：选C 验证机械能守恒采用重锤的自由落体运动实现，所以相邻的0.02 s 内的位移增加量为Δx ＝gT 2
＝9.791×0.022
m≈3.9×10－3 m ＝3.9 mm ，C 正确。
4．用如图所示的实验装置验证机械能守恒定律。实验所用的电源为学生电源，输出电压为6 V 的交流电和直流电两种。重物从高处由静止开始下落，重物拖着纸带通过打点计时器打出一系列的点，对纸带上的点进行测量，即可验证机械能守恒定律。
下面列举了该实验的几个操作步骤： A ．按照如图所示的装置安装器件
B ．将打点计时器接到电源的直流输出端上
C ．用天平测量出重物的质量
D ．释放纸带，同时接通电源开关打出一条纸带
E ．测量打出的纸带上某些点之间的距离
F ．根据测量的结果计算重物下落过程中减少的重力势能是否等于增加的动能
(1)指出其中没有必要进行或者操作不恰当的步骤，将其对应的字母填在横线上，并说明原因________________________________________________________________________
________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________。 (2)利用这个装置也可以测量重物下落的加速度a 的数值，如图所示。
根据打出的纸带，选取纸带上打出的连续五个点A 、B 、C 、D 、E ，测出A 点距起始点O 的距离为x 0，点A 、C 间的距离为x 1，点C 、E 间的距离为x 2，交流电源的频率为f ，则根据这些条件计算重物下落的加速度a 的表达式为a ＝________。
解析：(1)打点计时器应接到电源的交流输出端，B 错误；验证机械能守恒定律只需验证mgh ＝12mv 2
，
即gh ＝12
v 2
即可，因此不用测量重物的质量，C 多余；应先接通电源，再释放纸带，D 错误。
(2)由题意得计时点间的时间间隔T ＝1f ，则点B 、D 的瞬时速度分别为v B ＝x AC 2T ＝x 1f 2，v D ＝x CE 2T ＝x 2f
2，则
加速度a ＝v D －v B 2T ＝()x 2－x 1f
2
4
。
答案：(1)见解析 (2)
()x 2－x 1f 2
4
5．(2016·烟台高一检测)某实验小组利用如图所示的实验装置来验证钩码和滑块所组成的系统机械
能守恒。
(1)实验前需要调整气垫导轨底座使之水平，利用现有器材如何判断导轨是否水平？
(2)测得遮光条的宽度d ＝0.50 cm ；实验时将滑块从图示位置由静止释放，由数字计时器读出遮光条通过光电门的时间Δt＝2.0×10－2
s ，则滑块经过光电门时的瞬时速度为________m/s 。在本次实验中还需要测量的物理量有：钩码的质量m 、______________和______________。(文字说明并用相应的字母表示)
(3)本实验通过比较________和________(用测量的物理量符号表示)，两者在实验误差允许的范围内相等，则验证了系统的机械能守恒。
解析：(1)气源工作后，滑块不挂钩码，静止放在气垫导轨上，如果能保持静止状态说明气垫导轨水平。
(2)滑块通过光电门的瞬时速度v ＝d Δt ＝0.50×10
－2
2.0×10－2 m/s ＝0.25 m/s ，本次实验中还需测量的物理量
有钩码的质量m ，滑块与遮光条的总质量M ，滑块到光电门的距离L 。
(3)如果系统重力势能的减少量mgL ，与系统动能的增加量12(m ＋M)v 2
＝12(m ＋M)? ????d Δt 2，在误差允许的
范围内相等，则验证了系统的机械能守恒。
答案：(1)见解析 (2)0.25 滑块与遮光条的总质量M 滑块到光电门的距离L (3)mgL 12(m ＋M)? ??
??d Δt 2
6．(2016·胶州高一检测)某同学利用竖直上抛小球的频闪照片验证机械能守恒定律。频闪仪每隔0.05 s 闪光一次，图中所标数据为实际距离，该同学通过计算得到不同时刻的速度如下表(当地重力加速度取9.8 m/s 2
，小球质量m ＝0.2 kg ，结果保留三位有效数字)：
(1)55(2)从t 2到t 5时间内，重力势能增加量ΔE p ＝________J ，动能减少量ΔE k ＝________J 。
(3)在误差允许的范围内，若ΔE p 与ΔE k 近似相等，从而验证了机械能守恒定律。由上述计算得ΔE p ________ΔE k (填“＞”“＜”或“＝”)，造成这种结果的主要原因是________________________________________________________________________。
解析：(1)v 5＝19.14＋21.66
0.05×2 cm/s
＝408 cm/s ＝4.08 m/s 。
(2)由题给条件知：h 25＝(26.68＋24.16＋21.66) cm ＝72.5 cm ＝0.725 m 。 ΔE p ＝mgh 25＝0.2×9.8×0.725 J ≈1.42 J
ΔE k ＝12mv 22－12mv 25＝12
×0.2×(5.592－4.082
) J≈1.46 J
(3)由(2)中知ΔE p ＜ΔE k ，因为存在空气阻力等原因，导致重力势能的增加量小于动能的减少量。 答案：(1)4.08 (2)1.42 1.46 (3)＜ 原因见解析
7．某同学用如图甲所示的装置验证机械能守恒定律。安装打点计时器后，接通电源，让打点计时器正常工作后，松开纸带。
(1)将纸带上打出的第一个点记为0，并在离0点较远的任意点依次选取几个连续的点，分别记为1、2、3、……量出各点与0点的距离h ，算出各点对应的速度，分别记为v 1至v 6，数据如表格所示：
(2)修正数据后，该同学计算出各点对应速度的平方值，并作v 2
-h 图象，如图乙所示，若得出的直线斜率为k ，则可测出重力加速度g ＝________。与真实值相比，测出的g 值________。(填“偏小”或“偏大”)
解析：(1)根据mgh ＝12
mv 2
得v ＝2gh 可知v 3的数据误差较大。
(2)由mgh ＝12mv 2可得：g ＝v 2
2h ＝k
2；由于重物和纸带下落过程中受到阻力作用，速度值偏小，即测量值
与真实值相比，测出的值偏小。
答案：(1)v 3 (2)k
2
偏小
8．在“验证机械能守恒定律”的实验中，已知打点计时器所用电源的频率为50 Hz ，某同学选择了一条理想的纸带，用刻度尺测量时各计数点对应刻度尺上的读数如图所示，图中O 点是打点计时器打出的第1个点，A 、B 、C 、D 、E 分别是每打两个点取出的计数点，单位： mm ，g ＝9.8 m/s 2
。
根据纸带计算：
(1)若重物的质量为m ，则从重物开始下落到打B 点时，减少的重力势能； (2)重物下落到打B 点时增加的动能；
(3)从(1)(2)数据可得出什么结论？产生误差的主要原因是什么？
解析：纸带上各点之间的距离对应重物下落的高度，进而可以计算重力势能的减少量，本实验的关键是由纸带上的数据计算各点的瞬时速度，以求得动能的改变量。
(1)从重物开始下落到打B 点时，减少的重力势能为 ΔE p 减＝mgh ＝mg OB ＝9.8×0.195 0m J＝1.911m J (2)重物下落到打B 点时的速度为 v B ＝h C －h A 2T ＝OC －OA 2T m/s≈1.944 m/s
则物体从开始下落到打B 点时增加的动能为 ΔE k 增＝12mv 2B ＝12
×1.9442
m J≈1.890m J
(3)从(1)(2)可以得出，在实验误差允许范围内，重物重力势能的减少量等于其动能的增加量，机械能守恒。重物减少的重力势能略大于其增加的动能的原因是：重物在下落时要受到阻力作用(打点计时器对纸带的摩擦阻力、空气阻力等)，重物克服阻力做功要损失一部分机械能。
答案：(1)1.911m J (2)1.890m J (3)见解析