章末检测
一、选择题
1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若A ＋C ＝2B ，a ＝1，b ＝3，则S △ABC 等于( ) A. 2 B. 3 C.3
2
D ．2 答案 C
解析 由A ＋C ＝2B ，解得B ＝π
3.
由余弦定理得(3)2＝1＋c 2－2c cos π3
， 解得c ＝2或c ＝－1(舍去)．
于是S △ABC ＝12ac sin B ＝12×1×2sin π3＝3
2
.
2．在△ABC 中，下列关系式①a sin B ＝b sin A ；②a ＝b cos C ＋c cos B ；③a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ；④b ＝c sin A ＋a sin C ，一定成立的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 答案 C
解析 由正弦定理知①正确，由余弦定理知③正确；②中由正弦定理得sin A ＝sin B cos C ＋cos B sin C ，显然成立；④中由正弦定理得sin B ＝2sin A sin C ，未必成立． 3．在△ABC 中，若B ＝120°，则a 2＋ac ＋c 2－b 2的值( ) A ．大于0 B ．小于0 C ．等于0 D ．不确定 答案 C
解析 ∵B ＝120°，∴cos B ＝－12＝a 2＋c 2－b 2
2ac ，
∴a 2＋c 2－b 2＋ac ＝0.
4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C 等于( ) A.725 B ．－7
25 C ．±725 D.2425
答案 A
解析 由b sin B ＝c sin C 及8b ＝5c ，C ＝2B ，得5c sin 2B ＝8c sin B ，所以cos B ＝4
5，所以cos C ＝
cos 2B ＝2cos 2B －1＝7
25
.
5．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，AB →·BC →
＝1，则BC 等于( ) A. 3 B.7 C ．2 2 D.23 答案 A
解析 由AB →·BC →
＝1可得2BC cos(180°－B )＝1，即2BC cos B ＝－1， 又由余弦定理可得32＝BC 2＋22－2×2BC cos B ， 把2BC cos B ＝－1代入，得9＝BC 2＋4＋2， 解得BC ＝ 3.
6．在△ABC 中，若tan A sin 2B ＝tan B sin 2A 成立，则△ABC 一定是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰或直角三角形 答案 D
解析 ∵tan A sin 2B ＝tan B sin 2A ， ∴
sin A cos A sin 2B ＝sin B
cos B
·sin 2A ， ∴sin B cos B ＝sin A cos A ，即sin 2A ＝sin 2B .
又∵A ∈(0，π)，B ∈(0，π)，∴2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π， ∴A ＝B 或A ＋B ＝π2
，
即△ABC 是等腰三角形或直角三角形．
7．在△ABC 中，A ＝π
3，a ＝6，b ＝4，则满足条件的△ABC ( )
A ．不存在
B ．有一个
C ．有两个
D ．不确定 答案 A
解析 由正弦定理a sin A ＝b
sin B
，
∴sin B ＝b sin A
a ＝4·
326
＝2>1，∴B 不存在．
8．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点D 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点D 向北偏东30°前进100 m 到达点C ，在C 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( ) A ．50 m B ．100 m C ．120 m D ．150 m 答案 A
解析 如图，AB 为水柱，高度设为h ，D 在A 的正西方向，C 在D 的北偏东30°方向．且CD ＝100 m ，∠ACB ＝30°，∠ADB ＝45°. 在△ABD 中，AD ＝h ， 在△ABC 中，AC ＝3h . 在△ACD 中，∠ADC ＝60°，
由余弦定理得cos 60°＝1002＋h 2－（3h ）22·100·h ＝1
2，
∴h ＝50或－100(舍)．
9．在锐角△ABC 中，BC ＝1，B ＝2A ，则AC 的取值范围是( ) A ．[－2，2] B ．[0，2] C ．(0，2] D ．(2，3) 答案 D
解析 由题意得???0＜π－3A ＜π2，0＜2A ＜π
2?π6＜A ＜π
4，
由正弦定理AC sin B ＝BC
sin A 得AC ＝2cos A .
∵A ∈???
?π6，π
4，∴AC ∈(2，3)．
10．设a ，b ，c 是△ABC 的三条边，对任意实数x ，f (x )＝b 2x 2＋(b 2＋c 2－a 2)x ＋c 2，有( ) A ．f (x )＝0 B ．f (x )>0 C ．f (x )≤0 D ．f (x )<0 答案 B
解析 ∵Δ＝(b 2＋c 2－a 2)2－4b 2c 2
＝(b 2＋c 2－a 2)2－(2bc )2 ＝[(b ＋c )2－a 2]·[(b －c )2－a 2]
＝(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )(b －c ＋a )(b －c －a )， b ＋c ＋a >0，b ＋c －a >0，b －c ＋a >0，b －c －a <0， ∴Δ<0，又b 2>0，∴f (x )>0. 二、填空题
11．在△ABC 中，已知∠BAC ＝60°，∠ABC ＝45°，BC ＝3，则AC ＝________． 答案
2
解析 在△ABC 中，利用正弦定理得AC sin 45°＝BC sin 60°?AC sin 45°＝3
sin 60°
?AC ＝
3·
sin 45 °
sin 60°
＝ 2.
12．在△ABC 中，M 是线段BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，AB →·AC →
＝________． 答案 －16
解析 方法一 AB →·AC →＝(AM →＋MB →)·(AM →＋MC →)＝|AM →|2－|MB →
|2＝9－5×5＝－16. 方法二 特例法，假设△ABC 是以AB ，AC 为腰的等腰三角形，如图所示，AM ＝3，BC ＝10，则AB ＝AC ＝34，cos ∠BAC ＝34＋34－1002×34＝－817，
AB →·AC →＝|AB |·|AC →
|·cos ∠BAC ＝－16.
13．在△ABC 中，已知cos A ＝35，cos B ＝5
13，b ＝3，则c ＝________．
答案
14
5
解析 在△ABC 中，∵cos A ＝3
5>0，
又∵A ∈(0，π)，∴sin A ＝4
5
.
∵cos B ＝513>0，又∵B ∈(0，π)，∴sin B ＝12
13.
∴sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝45×513＋35×1213＝56
65.
由正弦定理知b sin B ＝c
sin C
，
∴c ＝b sin C
sin B ＝3×
56651213
＝145
.
14．在△ABC 中，已知BC ＝3，AB ＝10，AB 边上的中线为7，则△ABC 的面积为________． 答案
15
2
3 解析 如图，设△ABC 中AB 边上的中线为CD . 则△BCD 中，BC ＝3，BD ＝5，CD ＝7， ∴cos B ＝32＋52－722·3·5
＝－1
2，
又∵B ∈(0°，180°)，∴B ＝120°， ∴sin B ＝
3
2
， ∴S △BCD ＝12BC ·BD ·sin B ＝12·3·5·32＝15
43，
∴S △ABC ＝2S △BCD ＝15
2
3.
15．在△ABC 中，A 满足3sin A ＋cos A ＝1，AB ＝2，BC ＝23，则△ABC 的面积为________． 答案
3
解析 由???3sin A ＋cos A ＝1，
sin 2
A ＋cos 2
A ＝1，
得???sin A ＝3
2，cos A ＝－12.
∴A ＝120°，
由正弦定理得2sin C ＝23
sin A ，
∴sin C ＝1
2
.
∴C ＝30°，∴B ＝30°，
∴S ＝12AB ×BC ×sin B ＝1
2×2×23×sin 30°＝ 3.
三、解答题
16．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3a cos C ＝2c cos A ，tan A ＝13，求
B .
解 由题设和正弦定理得3sin A cos C ＝2sin C cos A ， 故3tan A cos C ＝2sin C ，
因为tan A ＝13，所以cos C ＝2sin C ，tan C ＝1
2，
所以tan B ＝tan[180°－(A ＋C )]＝－tan(A ＋C ) ＝
tan A ＋tan C
tan A tan C －1
＝－1，
又因为B ∈(0°，180°)，所以B ＝135°.
17.如图所示，我艇在A 处发现一走私船在方位角45°且距离为12海里的B 处正以每小时10海里的速度向方位角105°的方向逃窜，我艇立即以14海里/时的速度追击，求我艇追上走私船所需要的时间． 解 设我艇追上走私船所需时间为t 小时，且我艇在C 处追上走私船，则BC ＝10t ，AC ＝14t ，
在△ABC 中，∠ABC ＝180°＋45°－105°＝120°，AB ＝12， 根据余弦定理得(14t )2＝(10t )2＋122－2·12·10t cos 120°， ∴t ＝2小时(t ＝－3
4
舍去)．
所以我艇追上走私船所需要的时间为2小时．
18．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，并且sin 2A 2＝c －b
2c .
(1)试判断△ABC 的形状并加以证明； (2)当c ＝1时，求△ABC 周长的最大值． 解 (1)△ABC 为直角三角形．证明如下： 方法一 由已知可得，1－cos A 2＝12－b
2c ，
即cos A ＝b
c
.
又由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b
c
.
化简得c 2＝a 2＋b 2，由此知△ABC 为直角三角形． 方法二 由方法一知b ＝c cos A . 由正弦定理得sin B ＝sin C cos A . 由sin B ＝sin(A ＋C )，从而有
sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin C cos A ，即sin A cos C ＝0. 因为sin A ≠0，所以cos C ＝0，C ∈(0，π)， 即C ＝π
2
，故△ABC 为直角三角形．
(2)由(1)知c 为Rt △ABC 的斜边．
当c ＝1时，两直角边长分别为sin A ，cos A ，
则△ABC 的周长l ＝1＋sin A ＋cos A ＝1＋2sin(A ＋π
4)．