二次函数的表达式(人教版)
试卷简介:重点检测学生对于二次函数三种表达式的理解情况,需要根据不同的特征来选择合适的方法,要求学生能够辨识这种特征快速的计算,同时检测学生对于二次函数概念辨析掌握情况。
一、单选题(共15道,每道6分)
1.下列函数中一定是二次函数的是( )
A. B.
C. D.
答案:D
解题思路:二次函数的定义:一般地,形如(a,b,c是常数,)的函数,叫做二次函数.
A选项化简之后为,是一次函数;
B选项,与定义显然矛盾;
C选项没有限定a,b,c的取值范围,当时,显然不为二次函数;
D选项化简之后为,是二次函数.
故选D.
试题难度:三颗星知识点:二次函数的定义
2.已知函数是二次函数,则m的值为( )
A.±2
B.2
C.-2
D.±1
答案:B
解题思路:先将需要满足的条件列举下来,再进行求解.
根据二次函数的定义,需要满足,解得.
试题难度:三颗星知识点:二次函数的定义
3.已知函数的图象与x轴有交点,则k的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案:B
解题思路:由于二次项系数不确定,所以需要进行分类讨论.
①当时,原函数为二次函数,若与x轴有交点,则对于,
有,解得.
②当k-3=0时,y=2x+1,与x轴有交点.
综上所述,.
试题难度:三颗星知识点:抛物线与x轴的交点
4.用配方法求的顶点坐标,变形正确的是( )
A. B.
C. D.
答案:D
解题思路:二次函数的三种表达式是可以相互转化的,
.
试题难度:三颗星知识点:二次函数一般式
5.抛物线的对称轴是( )
A.直线x=-2
B.直线x=6
C.直线x=2
D.直线x=4
答案:C
解题思路:将抛物线的交点式化成一般式,根据对称轴为,可以判断对称轴为直线x=2.
试题难度:三颗星知识点:二次函数图象的对称轴
6.在求下面函数图象的解析式时,设某种解析式求解会很简便,这种解析式为( )
A. B.
C. D.
答案:C
解题思路:选项给出了二次函数的三种形式,需要根据给出的坐标的特征,来选择合适的形式进行
求解.
二次函数一般式:,对于任意给出图象上不同的三点坐标,都可以用一般式来求解,但一般放到最后才使用.
二次函数交点式:,当图象(题干)给出函数与x轴的交点坐标
,以及另外一个点的坐标时,选择此种方法最简便,只需要求一个
未知量a.
二次函数顶点式:,当题干给出函数图象的顶点坐标(h,k),以及另外一点坐标时,选择此种方法最简便,只需要求一个未知量a.
图象给出了函数与x轴的交点坐标,选择交点式最简
便.此时,
即设解析式为.
试题难度:三颗星知识点:二次函数交点式
7.在求下面函数图象的解析式时,设某种解析式求解会很简便,这种解析式为( )
A. B.
C. D.
答案:D
解题思路:选项给出了二次函数的三种形式,需要根据给出的坐标的特征,来选择合适的形式进行
求解.
二次函数一般式:,对于任意给出图象上不同的三点坐标,都可以用一般式来求解,但一般放到最后才使用.
二次函数交点式:,当图象(题干)给出函数与x轴的交点坐标
,以及另外一个点的坐标时,选择此种方法最简便,只需要求一个
未知量a.
二次函数顶点式:,当题干给出函数图象的顶点坐标(h,k),以及另外一点坐标时,选择此种方法最简便,只需要求一个未知量a.
图象给出了函数的顶点坐标(2,-1),所以选择顶点式最简便.此时,
即设解析式为.
试题难度:三颗星知识点:二次函数顶点式
8.在求下面函数图象的解析式时,设某种解析式求解会很简便,这种解析式为( )
A. B.
C. D.
答案:B
解题思路:图象给出了函数与x轴的交点坐标,
选择交点式最简便.
此时,
即设解析式为.
试题难度:三颗星知识点:二次函数交点式
9.在求下面函数图象的解析式时,设某种解析式求解会很简便,这种解析式为( )
A. B.
C. D.
答案:A
解题思路:图象给出了函数的顶点坐标(-3,2),所以选择顶点式最简便.此时,
即设解析式为.
试题难度:三颗星知识点:二次函数顶点式
10.如图,二次函数图象与x轴交于两点(其中为已知的常数),点
是函数图象上一点,若要求该二次函数的解析式,则设法最为简便的是( )
A. B.
C. D.
答案:C
解题思路:图象给出了函数与x轴的交点坐标,选择交点式最简便.注意选项B和选项C之间的差异,选项B中的函数与x轴的交点坐标是.
试题难度:三颗星知识点:二次函数交点式
11.已知二次函数图象上的三点,可快速地求解该二次函数的解析式为( )
A. B.
C. D.
答案:A
解题思路:给出了函数与x轴的交点坐标,选择交点式
最简便.此时,
∴设解析式为,
将点(4,1)代入解析式可得,
解得,
∴.
试题难度:三颗星知识点:二次函数交点式
12.如图,二次函数图象的顶点坐标为(其中h,k为已知的常数),点是函数图象上一点(m,n为常数),若要求该二次函数的解析式,则设法最为简便的是( )
A. B.
C. D.
答案:D
解题思路:图象给出了函数的顶点坐标,所以选择顶点式最简便.
注意B选项和D选项之间的差异,B选项的顶点坐标是(-h,-k),
D选项的顶点坐标才是(h,k).
试题难度:三颗星知识点:二次函数顶点式
13.已知二次函数的顶点坐标是(1,-3),且过点(3,-15),可快速地求解该二次函数的解析式为( )
A. B.
C. D.
答案:D
解题思路:给出了函数的顶点坐标(1,-3),所以选择顶点式最简便.
此时,
设解析式为,
将点(3,-15)代入解析式可得,
解得,
∴.
试题难度:三颗星知识点:二次函数顶点式
14.已知二次函数的顶点坐标是(-1,4),且函数过点(0,3),则二次函数的解析式为( )
A. B.
C. D.
答案:D
解题思路:设二次函数解析式为,将点(0,3)代入解析式可以得到a=-1,
则二次函数的解析式为.
试题难度:三颗星知识点:二次函数顶点式
15.已知二次函数的图象经过三点,则该二次函数的解析式为( )
A. B.
C. D.
答案:A
解题思路:由于给出的三个点的坐标并不是函数与x轴的交点坐标,或者顶点坐标,
所以设函数解析式为,将三点坐标代入可得
,解得,
∴二次函数的解析式为.
试题难度:三颗星知识点:二次函数一般式
3.求二次函数的表达式 类型一:已知顶点和另外一点用顶点式 已知一个二次函数的图象过点(0,1),它的顶点坐标是(8,9),求这个二次函数关系式. 练习: 已知抛物线的顶点是(-1,-2),且过点(1,10),求其解析式 类型二:已知图像上任意三点(现一般有一点在y轴上)用一般式 已知二次函数的图象过(0,1)、(2,4)、(3,10)三点,求这个二次函数的关系式. 练习: 已知抛物线过三点:(-1,2),(0,1),(2,-7).求解析式
类型三:已知图像与x轴两个交点坐标和另外一点坐标,用两根式 已知二次函数的图象过(-2,0)、(4,0)、(0,3)三点,求这个二次函数的关系式. 练习: 已知抛物线过三点:(-1,0)、(1,0)、(0,3). (1).求这条抛物线所对应的二次函数的关系式; (2)写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标; (3)这个函数有最大值还是最小值?这个值是多少? 巩固练习: 1.已知二次函数的图象过(3,0)、(2,-3)二点,且对称轴是x=1,求这个二次函数的关系式. 2..已知二次函数的图象过(3,-2)、(2,-3)二点,且对称轴是x=1,求这个二次函数的关系式.
3.已知二次函数的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C。若AC=20,BC=15, ∠ACB=90°,试确定这个二次函数的解析式 4.已知一个二次函数当x=8时,函数有最大值9,且图象过点(0,1),求这个二次函数的关系式. 小测: 1.二次函数y=x2-2x-k的最小值为-5,则解析式为。 2.若一抛物线与x轴两个交点间的距离为8,且顶点坐标为(1, 5),则它们的解析式为。 3.已知一个二次函数的图象经过点(6,0),且抛物线的顶点是(4,-8),求它的解析式。 4.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点坐标为(-2,3),且过点(1,0),求此二次函数的解析式.
二次函数的图像及其三种表达式 学生: 时间: 学习目标 1、熟悉常见的二次函数的图像; 2、理解二次函数的三种表达式 知识点分析 1、.二次函数的三种表达式 一般式:y=ax^2+bx+c (a ,b ,c 为常数,a ≠0) 顶点式:y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点P (h ,k )] 交点式:y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x 轴有交点A (x1,0)和 B (x2,0)的抛物线] 2、一般地,自变量x 和因变量y 之间存在如下关系: y=ax^2+bx+c (a ,b ,c 为常数,a ≠0,且a 决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下,IaI 还可以决定开口大小,IaI 越大开口就越小,IaI 越小开口就越大.) 则称y 为x 的二次函数。 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 例题精讲 例题1已知函数y=x 2 +bx +1的图象经过点(3,2). (1)求这个函数的表达式; (2)画出它的图象,并指出图象的顶点坐标; (3)当x >0时,求使y ≥2的x 的取值范围. 例题2、一次函数y=2x +3,与二次函数y=ax 2 +bx +c 的图象交于A (m ,5)和B (3,n )两点,且当x=3时,抛物线取得最值为9. (1)求二次函数的表达式; (2)在同一坐标系中画出两个函数的图象; (3)从图象上观察,x 为何值时,一次函数与二次函数的值都随x 的增大而增大. (4)当x 为何值时,一次函数值大于二次函数值? 随堂练习 1.已知函数y=ax 2 +bx +c (a ≠0)的图象,如图①所示,则下列关系式中成立的是( ) A .0<- a b 2<1 B .0<-a b 2<2 C .1<-a b 2<2 D .-a b 2=1 图① 图② 2.函数y = 21x 2 +2x +1写成y =a (x -h)2+k 的形式是 A.y =21(x -1)2+2 B.y =21(x -1)2+2 1
九年级数学:二次函数表达式的确定练习(含解析) 1.函数y =21 x 2+2x +1写成y =a (x -h)2+k 的形式是 A.y =21 (x -1)2+2 B.y =21(x -1)2+21 C.y =21 (x -1)2-3 D.y =21 (x +2)2-1 2.抛物线y =-2x 2-x +1的顶点在第_____象限 A.一 B.二 C.三 D.四 3.不论m 取任何实数,抛物线y =a (x +m )2+m (a ≠0)的顶点都 A.在y =x 直线上 B.在直线y =-x 上 C.在x 轴上 D.在y 轴上 4.任给一些不同的实数n ,得到不同的抛物线y =2x 2+n ,如当n =0,±2时,关于这些抛物线有以下结论:①开口方向都相同;②对称轴都相同;③形状都相同;④都有最低点,其中判断正确的个数是 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.二次函数y =x 2+p x +q 中,若p+q=0,则它的图象必经过下列四点中 A.(-1,1) B.(1,-1) C.(-1,-1) D.(1,1) 图3 6.下列说法错误的是 A.二次函数y =-2x 2中,当x =0时,y 有最大值是0 B.二次函数y =4x 2中,当x >0时,y 随x 的增大而增大 C.在三条抛物线y =2x 2 ,y =-0.5x 2 ,y =-x 2 中,y =2x 2 的图象开口最大,y =-x 2 的图象开口最小 D.不论a 是正数还是负数,抛物线y =ax 2(a ≠0)的顶点一定是坐标原点 7.已知二次函数y =x 2+(2k +1)x +k 2-1的最小值是0,则k 的值是 A.43 B.-43 C.45 D.-45
二次函数表达式、图象、性质 及计算(讲义) 一、知识点睛 1. 一般地,形如__________________(_______________)的 函数叫做x 的二次函数. 2. 表达式、图象及性质: ①由一般式通过______________可推导出顶点式. 顶点式:________________(其中h =______,k =_________). ②二次函数的图象是_________,是________图形,对称轴是__________,顶点坐标是_____________. ③当a_______时,函数有最_____值,是____________; 当a_______时,函数有最_____值,是____________. ④当a _____时,图象以对称轴为界,当x______时,y 随x 的增大而_______,当x______时,y 随x 的增大而_______;当a_____时,图 象以对称轴为界,当x______时,y 随x 的增大而_______,当x______时,y 随x 的增大而_______. ⑤a ,b ,c 符号与图象的关系: a 的符号决定了抛物线的开口方向,当_____时,开口向____;当_____时,开口向____. c 是抛物线与_______交点的______. b 的符号:与a_____________,根据_____________可推导. 3. 二次函数图象平移: ①二次函数图象平移的本质是__________,关键在______. ②图象平移口诀:________________、________________. 平移口诀主要针对二次函数_________________. 二、精讲精练 1. 下列函数(x ,t 是自变量)是二次函数的有________.(填写序号) ①2132y x x =--;②2123y x x =-+;③21 32 y x =-+; ④2 22y x =+;⑤2y x =-;⑥231252 y x x =-+; ⑦215s t t =++;⑧2 20x y -+=. 2. 若函数7 2 )3(--a x a y =为二次函数,则a =( ) A .-3 B .3 C .±3 D .5 3. 通过配方把221213y x x =-+写成2 ()y a x h k =-+的形式( ) A .2 (3)5y x =-- B .2 (3)5y x =+- C .2 2(3)5y x =-+ D .2 2(3)5y x =--
7.已知二次函数的图象经过点(﹣1,﹣5),( 0, 4)和(1,1),则这二次函数的表达式为( A .y=﹣6x 2+3x+4 B .y=﹣2x 2+3x ﹣4 C .y=x 2+2x ﹣4 D .y=2x 2+3x ﹣4 8.若二次函数 y=x 2﹣2x+c 图象的顶点在 x 轴上,则 c 等于( )A .﹣1 B .1 C . ) D .2 9.如果抛物线经过点A (2,0)和B (﹣1,0),且与y 轴交于点C ,若OC=2.则这条抛物线的解析式是( ) A . 10. A . 11. A . y=x 2﹣x ﹣2 B .y=﹣x 2﹣x ﹣2 或 y=x 2+x+2 C .y=﹣x 2+x+2 D .y=x 2﹣x ﹣2 或 y=﹣x 2+x+2 如果抛物线 y=x 2 ﹣6x+c ﹣2 的顶点到 x 轴的距离是 3,那么 c 的值等于( ) 8 B .14 C .8 或 14 D .﹣8 或﹣14 二次函数 的图象如图所示,当﹣1≤x ≤0 时,该函数的最大值是( ) 3.125 B .4 C .2 D .0 当﹣2≤x ≤1 时,二次函数 y=﹣(x ﹣m )2+m 2+1 有最大值 3,则实数 m 的值为( ) A . 或﹣ B . 或﹣ C .2 或﹣ D . 或﹣ 13.如果一条抛物线经过平移后与抛物线 y=﹣ x 2 +2 重合,且顶点坐标为(4, 的解析式为 . 14.二次函数的图象如图所示,则其解析式为 . 15.若函数 y=(m 2﹣4)x 4+(m ﹣2)x 2的图象是顶点在原点,对称轴是 y 轴的抛物线,则 m= . 16.二次函数图象的开口向上,经过(﹣3,0)和(1,0),且顶点到x 轴的距离为 2, 则该二次函数的解析式为 . 17.如图,已知抛物线 y=﹣x 2+bx+c 的对称轴为直线 x=1,且与x 轴的一个交点为(3,0), 那么它对应的函数解析式是 . 18.二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象经过 A (﹣1,0)、 B (0,﹣3)、 C (4,5)三点,求出 抛物线解析式 . 19.二次函数图象过点(﹣3,0)、(1,0),且顶点的纵坐标为 4,此函数关系式为 20.如图,一个二次函数的图象经过点A ,C ,B 三点,点A 的坐标为(﹣1,0),点B 的坐标为 (4,0),点 C 在 y 轴的正半轴上,且 AB=OC .则这个二次函数的解析式是 . 21.坐标平面内向上的抛物线y=a (x+2)( x ﹣8)与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C 点,若 1.把二次函数 y=x 2﹣4x+5 化成 y=a (x ﹣h )2+k (a ≠0)的形式,结果正确的是( ) A .y=(x ﹣2)2+5 B .y=(x ﹣2)2+1 C .y=(x ﹣2)2+9 D .y=(x ﹣1)2+1 2.将 y=(2x ﹣1)?(x+2)+1 化成 y=a (x+m )2+n 的形式为( ) D . 3.与 y=2(x ﹣1)2+3 形状相同的抛物线为( )A .y=1+ x 2 B .y=(2x+1)2 C .y=(x ﹣1)2 D .y=2x 2 4.二次函数的图象的顶点坐标是(2,4),且过另一点(0,﹣4),则这个二次函数的解析式为( A .y=﹣2(x+2)2+4 B .y=﹣2(x ﹣2)2+4 C .y=2(x+2)2﹣4 D .y=2(x ﹣2)2﹣4 5.已知某二次函数的图象如图所示,则这个二次函数的解析式为( ) A .y=﹣3(x ﹣1)2+3 B .y=3(x ﹣1)2+3 C .y=﹣3(x+1)2+3 D .y=3(x+1)2+3 6.顶点为(6,0),开口向下,开口的大小与函数 y= x 2的图象相同的抛物线所对应的函数是( ) A .y= (x+6)2 B .y= (x ﹣6)2 C .y=﹣ (x+6)2 D .y=﹣ (x ﹣6)2 A . B . C . ) 2),则它