习题1
1.1 解：由题意95.01=?
??
???<--u x p 可得：
95.0=???
???????????<-σσn n u x p
而
()1,0~N u x n σ
??
? ??--
这可通过查N(0,1)分布表，975.0)95.01(2195.0=-+=???
?
??
?
???????<--σσn n u x p 那么
96.1=σ
n
∴2
296.1σ=n
1.2 解：(1)至800小时，没有一个元件失效，则说明所有元件的寿命>800小时。
{}2
.10015.0800
0015.00800
|
e
0015.0800--∞
+-=∞+-==
>?
e
e
dx x p x
x
那么有6个元件，则所求的概率()2.76
2.1--==e e p
(2)至300小时，所有元件失效，则说明所有元件的寿命<3000小时
{}5
.43000
0015
.03000
0015.001|e
0015.03000
----=-==
e
dx x p x
那么有6个元件，则所求的概率()6
5.41--=e p
1.3
解: (1) 123{(,,)|0,1,2,,1,2,3}k x x x x k χ===
因为~()i X P λ,所以 112233{,,}P X x X x X x ≤≤≤
112233
{}{}{}P X x P X x P X x =≤≤≤1233123!!!
x x x e
x x x ++-λ
λ
=
其中,0,1,2,,1,2,3k x k == (2) 123{(,,)|0;1,2,3}k x x x x k χ=≥=
因为~()i X Exp λ,其概率密度为,0()0,0
x e x f x x -λ?λ≥=?
所以, 123(,,)
3123(,,)x x x f x x x e
-λ=λ,其中0;1,2,3k x k ≥=
(3) 123{(,,)|;1,2,3}k x x x a x b k χ=≤≤=
因为~(,)i X U a b ,其概率密度为1
,()0,|a x b f x b a x a x b ?≤≤?
=-?? <>?
所以,1233
1(,,)()
f x x x b a =
-,其中;1,2,3k a x b k ≤≤=
(4) 123{(,,)|;1,2,3}k x x x x k χ=-∞<<+∞=
因为~(,1)i X N μ,
其概率密度为(2
(),()x f x x 2
-μ)-=
-∞<<+∞
所以,3
1
1(2
12332
1(,,)(2)
k k x f x x x e
π2
=-
-μ)
∑=,其中;1,2,3k x k -∞<<+∞=
1.4解：由题意可得：()?
?
???∞
<<=--，其它00,21)(i 2ln i i 2
2
i x e x x f u x σσπ
则∏
==
n
i x f x x f 1
i n i )(),...(＝???
????=∞<<∏=∑--=，其它0,...1,0,1n
)2()(ln 212n 1
2i 2i x x e
i n i i
u x n
i σπσ
1.5
证: 令2
1
()()n
i
i F a X
a ==
-∑
则'
1()2()n
i i F a X a ==--∑,''()20F a n =>
令'
1
()2()0n
i i F a X a ==--=∑,则可解得1
1
n
i
i a X X n
==
=∑
由于这是唯一解,又因为''()20F a n =>,
因此,当1
1
n
i
i a X X n
==
=∑时,()F a 取得最小值
1.6
证: (1)等式左边1
1
((n
n
i i i i X X X X 2
2==-μ)=-+-μ)∑∑
1
1
1
(2()()(n
n
n
i
i i i i X
X X X X X 2
2
====
-)+-μ-+-μ)∑∑∑2
1
(()n
i
i X
X n X 2
==
-)
+-μ
∑ 左边=右边,所以得证.
(2) 等式左边22
1
11
(2n
n
n
i i
i i i i X X X
X
X nX 2
===-)=
-+∑∑
∑
2
2
2
1
2n
i
i X
n X
n X ==
-+∑22
1
n
i
i X
nX
==
-∑
左边=右边,所以得证.
1.7证：(1)∑=-
=
n
i i
n x n
x 1
1
∑+=-
++=
1
1
11
1
n i i
n x n x
那么)(1
1_
1_
n n n x x n x -++
+
＝
∑∑=+=?
+-
++
n
i i
n n
i i
x n
n x n x n
111
1
1
11
11
＝
11
1
1
1
1+=++
+∑n n
i i
x n x
n ＝
∑=+n
i i
x
n 1
1
1＝_
1+n x
∴原命题得证
(2)2
1
221-=-=
∑n n
i i
n
x x
n
s
2
11
1
2
21
1
1
-
++=+-+=
∑n n i i
n x x n s
那么??
????-+++-
+212)(111n n n x x n s n n
=
∑=+n
i i
x
n 1
21
1
-
-+21n
x n n +
21
2
)
1(++n x
n n -
-
++n n x x n n 12
)
1(2+
2
2
)
1(-+n x n n
=
∑=+n
i i
x
n 1211-
-+22
2
)
1(n
x n n
+
21
11++n x
n -
21
2
)
1(1
++n x
n -
-
++n n x x n n 12
)
1(2
=
∑=+n
i i
x n 1
21
1
-(
11
1++n x n +
-
+n x n n 1
)2
由(1)可得：
11
1
++n x n ＋
-
+n x n n
1
=+1n x
则上式＝
∑=+n
i i x n 1
21
1
－2
1-
+n x ＝2
1+n s
∴原命题得证
1.10
解: 因为2
2
22
1
1
1
1
1
1
,()n
n
n
i
i
i
i i i X X S X X X X n
n
n
====
=
-=
-∑∑∑
所以 (1) 二项分布(,)B m p
1
1
()(
)()n
i
i i E X E X E X m p n
====∑
2
11
1
1(1)
()(
)()n
n
i
i i i m p p D X D X D X n
n
n
==-===
∑∑
2
2
22
1
1
1
11()(
())()()(1)n
n
i i i i n E S E X X E X E X m p p n
n
n
==-=-=
-=
-∑∑
(2) 泊松分布()P λ
()E X =λ, ()D X n
λ=
, 2
1()n E S n
-=
λ
(3) 均匀分布(,)U a b
()2
b a E X +=, 2
)()12b a D X n
(-=
, 22
1()()12n E S b a n
-=
-
(4) 指数分布()Exp λ 1()E X =
λ
, 1()D X n 2
=
λ
, 21()n E S n 2
-=
λ
(5) 正态分布2(,)N σμ ()E X =μ, 21()D X n
σ=, 2
2
1()n E S n
σ-=
1.11解：(1)是统计量
(2)不是统计量，因为ｕ未知 (3)统计量 (4)统计量
(5)统计量，顺序统计量 (6)统计量 (7)统计量
(8)不是统计量，因为ｕ未知
1.14.
解: 因为i X 独立同分布,并且~(,i X a Γλ),1
1n
i i X X n
==
∑
所以1
~(,n
i i X na =Γλ)∑;
令1
n
i i Y X ==
∑
,则1X Y n
=
,由求解随机变量函数的概率密度公式可得
1
()()
,0)
na
na nx
f x nx e
n x na --λλ
=
>Γ(
1.15 解：(1)）（m x 的概率密度为： [][])()(1)()!
()!1(!
)(1)(x f x F x F m n m n x f m
n m m ------=
又F(x)=2
x 且f(x)=2x ，0 则有x x x m n m n x f m n m m 2) 1()! ()!1(! )(2) 1(2)(------= ，0 (2) ）（1x 与） （n x 的联合概率密度为： [][])()()(1)()() 11(!),(0 11))(1(y f x f y F x F y F n n y x f n n ----= -- ＝y x x y n n n 22))(1(222??--- =222)()1(4---n x y xy n n 0 对于其他x,y ，有0),())(1(=y x f n 1.19证：现在要求Y=)X 1/(X m n m n + 的概率密度。 令g(x)= )1/(x m n x m n + 可得当0 2 ) 1(1x m n + ≥0 求g(x)的反函数h(y) 得h(y)= )111(x n m -+ -又h ’(y)= 2 ) 1(1 x n m - 这样可得Y 的概率密度： )('))(()(y h y h f y f x Y = (y ∈g(R)) = 2 2 1 2) 1(1 ) 11( )111)(()2 ,2(1 x n m x x m n m n B m n n ------ - = )2 ,2()1(1 2 1 2m n B x x m n --- (0 对于其他的Y 有 0)(=y f Y 原命题得证 1.20 证明: 令X = ,其中~(0,1)Y N ,2 ~()Z n χ,则~()X t n 因为2 2 Y X Z n = ,而22~(1)Y χ,2~()Z n χ 所以2 2 ~(1,)Y X F n Z n = 1.21解：(1)由题意可得：μ=8,42 =σ ,n=25 对于2.88.7<<- x 5.0) (5.0<-< -- σ μx n 又 )1,0(~) (N x n σ μ- - 通过查N(0,1)分布表，可得：P ｛7.8<- x <8.2｝=0.6915-(1-0.6915)=0.383 (2)和(1)一样即求-1.25< σ μ) (-- x n <0的概率 通过查表可得：P ｛85.7<<- x ｝=0.5-(1-0.8944)=0.3944 (3)此时n=100 即求-1< σ μ) (-- x n <1的概率 通过查表可得：P ｛2.88.7<<- x ｝＝0.8413-(1-0.8413)=0.6826 (4)单个样品大于11分钟 即x>11 可得该概率 p1=1-0.9332=0.0668 25个样品的均值大于9分钟，即9>- x 可得该概率为p2=1-0.9938=0.0062 100个样品的均值大于8.6分钟 即6.8>- x 可得该概率P3=1-0.9987=0.0013 综上所述，第一种情况更有可能发生。 1.22 解：μ= 2.5 2 σ=36 n=5 (1)44302 < )955,625( 2 2 ∈σ n s 而 )1(~2 2 2 -n n s χσ 即 )4(36 52 2 χ∈s 通过查表可得 P ＝0.1929 (2)样本方差落在30~40的概率为0.1929 样品均值- x 落在1.3~3.5的概率 即：P{1.3<- x <3.5} ?P{-0.4472< σ μ) (-- x n <0.3727} 又 σ μ) (-- x n ~N(0,1) 查标准正态分布表可得：P{1.3<- x <3.5}＝0.3179 这样两者同时成立的概率为P ＝0.1929?0.3179=0.0613 1.23 解：(1)21 2 1 )()(∑∑++==+m n n i i n i i x b x a =22)()(- - +m n x m b x n a =2 2 2 2 --+m n x bm x an =2 2 )()(- - +m n x m b x n a 由定理1.2.1只要- n x n a 和- m mx n b 服从N(0.,1)分布 则上式为)2(2 χ分布 E(- n x n a )＝0 D(- n x n a )=n an 2 2 σ =2 σan E(-m mx n b )=0 D(- m x m b )=m bm 2 2 σ =2 σbm 要使- n x n a 和- m mx n b 服从N(0,1)分布，则2σan ＝1且2 σbm ＝1 这样可得：2 1σ n a = 2 1σ m b = (2) - ==∑n n i i x n x 1 由定理1.2.2 x~N(0,1) Y )2(~2χ ＝> T ＝ )(~n t n Y x E(- n x n )=0 D(- n x n )=2 2 2 σσ n n n =? 则 ∑=n i i x n 1 1σ 服从N(0,1)分布。 ),0(~2σN x i E(- n x n )=0 D(i x )=2σ 则 σ i x 服从N(0,1)分布 2 1 )( σi m n n i x ∑ ++=服从)(2 m χ分布 则 m x x n m n n i i n i i ∑ ∑++==1 2 1 ) ( 1 σ σ 服从t(m)分布 令 m x x n m n n i i n i i ∑ ∑++==1 2 1 ) (1 σ σ ＝∑ ∑++==m n n i i n i i x x C 1 2 1) ( σ 这样可得C ＝ n m (3)由定理1.2.3 ，X )(~12 n χ,)(~22 n Y χ =>F= ),(~//X 212 n n F n Y m ),0(~2 σN x i 则 )1,0(~N x i σ 这样有 21)( σ i n i x ∑ =～)(2 n χ 2 1 )( σ i m n n i x ∑ ++=～)(2m χ 可得 2 1 )( σ i n i x ∑ =/( 2 1 )( σ i m n n i x ∑ ++=/m)~F(n,m) 令其＝∑∑++==m n n i i n i i x x d 1 21 2 / 则d= n m 1.25 证：211),(~σμN X i 222),(~σμN Y i 则 )1,0(~1 1 N X i σμ- )1,0(~2 2 N Y i σμ- ＝>)(~)( 12 2 1 11 1 n X n i i χσμ∑=- )(~)( 22 2 2 122 n u Y n i i χσ∑=- =>(2 1 1 1 1 )( ∑=-n i i u X σ/1n )/ (22 2 1 2 2 /)( n u Y n i i ∑=-σ)~F(1n ,2n ) => )n , F(n ~) () (212 1 2 22 1 11 12 122 2∑∑==--n i i n i i Y n u X n μσσ 习题2 2.1解：(1))(~λExp x 则λ μ1 = ，令- =x ^ μ，则 - =x ^ 1 λ 这样可以得到：- =x 1 ^ λ （2）x~u(a,b) 则21b a u +==α )(3 12 2 2 2 2a ab b u ++=+=σ α 令： ??? ? ?? ?-++= =+= =- - 2 2 ^^ ^2 ^2 2 ^ ^ ^ )(3 1S 2 x a b a b b a x u α 这样可以得：?????+=- =- - 2 ^2 ^ 33s x b s x a 或者?????-=+=-- 2 ^2 ^33s x b s x a （因为a （３）? += = =-1 1 11 θθθμαθxdx x 令- =x ^ μ 即有 -=+x 1 ^ ^ θθ 又x <>00^ ，θ<1 解得：x x -= 1^ θ （４）? ∞ +---= =0 1 1)! 1(xdx e x k p px k k μα = ?∞ +--0 )! 1(dx e x k x k k ββ 令t x =β 上式＝ ? ∞ +--0 1 )! 1(dt e t k t k k β β β ＝ [β βββk k k k k dt e t k t k = -= -+= -? ∞ +-0 )! 1(! )! 1() 1()!1(1 令-=x u ^，则- =x k ^ β （５）令x-a=t t 服从参数为λ的指数分布 则a a a x E x E += +-=λ 1 )()( a += λ α1 1 令? ?? ?? ?? =-+==+=-2 ^ 2 ^2^2^2^2^ ^1 1S 1λλλ u u a a x 可得：2 ^2 ^ S ,S 1-== - x a λ （６）mp ==μα1 X~B(m,p) 令 m x p p m x u - - ===^ ^ ^ , 2.2 解: (1) 由于~()X Exp λ,所以0 ()0,x e x f x λλ-?,>=? ?其它 , 因此1 0()0,n i i x n i e x L λλλ=-?∑?,>=?? ? 其它 ,1ln ()ln n i i L n x λλλ==-∑, 令 1 ln ()0n i i L n x λλ λ =?= -=?∑,该似然方程有唯一解1X λ∧ = ,所以λ的极大似然估计 量为1X λ∧ = （2）由于~(,)X U a b ,所以1 ,()0,a x b f x b a ? ≤≤ ? =-?? ? 其它, ) (1 )(a x E t E -== λ 所以,样本12(,,,)n X X X 的联合概率密度为 11 1,,,() (,)0,n n n i a x x b b a f a b =? ≤≤ ?-=?? ? ∏ 其它,故(,)a b 的似然函数为 111,m in(,,),m ax(,,)() (,)0n n n a x x b x x b a L a b ? ≤≥?-=?? ? 其它,易见, 当11m in(,,),m ax(,,)n n a x x b x x ∧ ∧ == 时,(,)L a b 取得最大值,故(,)a b 的极大似 然估计量为11m in(,,),m ax(,,)n n a x x b x x ∧ ∧ == (3) 因为1 1 1 ()0,n n i i i x x L θθθ-=?,0< ∏其它 ,所以1ln ()ln (1)ln n i i L n x λθθ==+-∑, 令 1 ln ()ln 0n i i L n x θθ θ =?= + =?∑ ,该似然方程有唯一解1 ln n i i n x θ∧ ==- ∑,所以θ的极大似 然估计量为1 ln n i i n X θ∧ ==- ∑ (4) 因为11 10()[(1)]0,n i i nk n x k i i n i x e x L k βββ=--=?∑?,>=?-? ?∏其它 ,所以 1 1 ln ()ln ln(1)!(1)ln ln n n i i i i L nk n k k x x βββ===--+--∑∑, 令 1 ln ()0n i i L nk x θθ β =?= -=?∑,该似然方程有唯一解1 n i i nk x β∧ == ∑,所以β的极大似然估 计量为k X β∧ = (5) 样本12(,,,)n X X X 的联合概率密度为 1 ()11 ,,,(,)0,n i i x a n n n i e x x a f a λλλ=--=?∑? > =? ? ? ∏ 其它, 1 ()1,m in(,,)(,)0,n i i x a n n e x x a L a λλλ=--?∑? > =? ? ? 其它,易见当1m in(,,)n a x x ∧= 时, (,)L a λ取得最大值,因此a 的极大似然估计量为1m in(,,)n a x x ∧ = ; 1 ln (,)ln ()n i i L a n x a λλλ==--∑ 而令 1 ln (,) ()0n i i L a n x a λλ λ =?= --=?∑,该似然方程有唯一解1X a λ∧ = -,所以λ的极 大似然估计量为1X a λ∧ = - (6) 因X 的概率函数为{}(1),0,1,2,x x m x m P X x C p p x -==-= , 故p 的似然函数为1()(1) ,0,1,2,i i i m x x m x m i i L p C p p x -== -=∏ , 对数似然函数为1 ln ()[ln ln ()ln(1)]i m x m i i i L p C x p m x p == ++--∑, 令 1 1 () ln () 01n n i i i i x m x L p p p p ==-?= - =?-∑∑,该似然方程有唯一解X p m ∧ = ,故p 的极大似 然估计量为X p m ∧ = . 2.3 解：似然函数L （P;x ）=∏=n i i x p 1)P ;( =∏=--n i x i p p 1 1 ) 1( =∑=--n i i n x p p p 1 )1()1( 令： ∑=- =--+=?n i i p x t p n p n p L 1 0111112)(ln λ ∴- === ∑x n x p n i i 1 ^ 1 又因 0| ) (ln 2 2 =x p p p L ∴p 的极大似然估计量为- =x p ^ 2.4解：该产品编号服从均匀分布，即x~u(1,N) 矩估计方法：2 11N += =μα 令：- =x ^ μ 则有：2 1^ N x += - ∴14191710*212^ =-=-=- x N 极大似然估计方法：Ｌ（N ）=∏ =-=-n i n N N 1 )1 1( 1 1 显然：当^ N =min(x1,x2,----xn)时，L(N)取得最大值，只有一个值 ∴^ N ＝710,即N 的极大似然估计量为^ N ＝710 2.5 解:由于总体2~(,)X N σμ,所以2 ,σμ的极大似然估计量分别为2 2 ,X S σ∧∧ μ==,而由题 意2 (0.025x dx σ θ 2 +∞ --μ) 2=? 可知2 ({}0.025x P X d x σ θ θ2 +∞ --μ) 2≥= =?,所 以 1)0.025θσ -μ-φ(=,即 1.96θσ=+μ,因此θ 的极大似然估计量为X θ∧ =. 2.6 解：(1)R=05.009.214.2)1()(=-=-x x n ∴0215.005.0*4299.05 ^ === d R σ (2)将题中数据等分为三组 第一组:2.14,2.10,2.15,2.13,2.12,2.13, 2.10,2.15,2.12,2.14,2.10,2.13 2.11,2.14,2.10,2.11,2.15,2.10 平均极差：05.0)05.005.005.0(3 1=++= - R ∴0197 .005.03946.010 ^ =?== - R d α 2.7. 解: (1) 证:因为21 ()()2 E X E X θθ+== ≠,所以X 是θ的一个有偏估计量; 因此,211()()2 2 E E X θθθθθ∧ +-=-=-= (2) 由于11()()2 2 E X E X θ- =- =,所以当12 X - 作为θ的估计量时, 12 X - 是θ的无 偏估计量 (3) 222(,)()()2()M SE X E X E X E X θθθθ-=-+ 22 ()(21)DX EX θθθ=+-++2 2 (21) (21)4 DX n θθθθ+=+-++ 114 12n =+ 2.8.证明：对于21^ 13 23 1x x + = μ μμμμ=+=+= 323 1)(32)(31)(21^ 1x E x E E 2 2 2 211^ 9 59 49 1)(94)(9 1)(σσ σ μ= + = += x D x D D 对于21^ 25 25 3x x += μ μμμμ=+ =+= 5 25 3)(52)(5 3)(212^ x E x E E 2 2 2 212^ 25 1325 425 9 )(254)(25 9)(σσ σμ= += + = x D x D D 对于21^ 3212 1x x + = μ μμμμ=+ =+ = 2 12 1)(2 1)(21)(213^ x E x E E 2 2 2 213^ 2 14 14 1)(4 1)(4 1)(σσ σμμμ= += +=D D D 由上面可以见：)(^ 1μE ＝)(^ 2μE ＝)?(3μ E ＝u ∴^ 1μ,^ 2μ,^ 3μ都是ｕ的无偏估计量，又)(^1μD <)(^ 2μD <)?(3μ D ∴估计量3?μ最有效 2.9 解: 由于1 1 2 221111 1 (())(2)n n i i i i i i i i E C X X C EX EX EX EX --+++==-=+-∑∑2 2(1)C n σ=-, 所以,当12(1) C n = -时, 1 211 ()n i i i C X X -+=-∑为2σ的无偏估计量. 2.10证明：对于]1,0[,S )1(2*∈-+- αααx 有E(2 *S )1(αα-+- x )=)S )1(()(2*αα-+- E x E =)S ()1()(2*E x E αα-+- =2)1(σααλ-+ =λλααλ=-+)1( ∴2*S )1(αα-+- x 都是λ的无偏估计量 2.12证明：假设存在估计量k x 1α是2p 的无偏估计量 则有k x 1α的分布为? ?? ? ??-p p 10α 则E(k x 1α)=p α,要使p α＝2p ，则α＝p ，但ｐ是未知参数， 可见：p α≠2p ∴2p 不存在无偏估计量 2.13 解:首先,对于两点分布(1,)B p ,有1{}(1) x x P X x p p -==-,即 1(;)(1) ,0,1x x p x p p p x -=-=,而(;)ln (1)ln(1)p x p x p x p =+--,于是 2 2 2 2 ()()[ ln (;)](1) E X p I p E p X p p p p ?-== ?-,已知,(1)EX p DX p p ==-,故 2 2 1()(1) (1) DX I p p p p p = = --,因此p 的R C -下界为 1(1)() p p nI p n -= . 其次,由于12T X X =, 所以2222422 121212()()()[()](1)D T D X X E X X E X X p p p p ==-=-=- 最后,由于'2 [()]()()() n g p e T D T nI p = ,因此 2 22 4(2)(1) ()(1)(1) n p p p p e T p p n n p -= -= + 2.14解：ｘ服从泊松分布ｐ（λ），λ λ λ-= e x x p i x i ),( ，x=0,1,2,---- )!l n (ln ),(ln x x x p i --=λλλ λ λ λλ λλ211221) 11 () ,(ln ) (2 2 - = -=??????x x y x x u x p i ∴2 4 2 2 2 2 )(41)2112()],(ln ) (2[ λλ λ λ λλ-= -=?x E x E x p E i = 3 4 414)(λ λ = x D ∴2 λ的 R-C 下界为 n n nI 3 3 2 441) (1λλλ= = 2.16证明：由已知可得θθ=)(^ E 若^ θ是θ的均方相合估计，则有 0)(lim 1lim 2 ^ 2^=-≤??????≥-∞ >-∞ >-θθξξθθE p n n 又：0^≥??? ???≥-ξθθp 所以：0lim ^=? ?? ???≥-∞ >-ξθθp n 2.18解：(1)T=()()1(,n x x ) 则有：)()()] ()()[1(),(2 ))(1(y f x f x F y F n n y x f n n ---= a b a y y F --= )( a b a x x F --= )( a b y f x f -==1)()( ∴2 ))(1() ())( 1(),(-----=n n n x y a b x y n n y x f )1(),...,(1-=n n x x h n T b a ),(=θ T()()1(,...,n x x )=T x x n ),()()1( T x x a b T T K n n n )()1( ),()()1(2 -=-θ ∴T b a ),(=θ的充分估计量为T x x n ),()()1( （２）),...,,(1)1(n x x x T ) () (1 ) (1 )1()] 1(1[)()] (1[)(a x n a x n a x n e n e e n x f x F n x f --------=--=-=λλλλλ 对于样本的联合概率密度： λ λλλna xi u n a x n e e e n n i ∑=---1 ) ( ＝- --+x n nx na n e e e n λλ λ λ 21 1 1)1(),...,,(+=n n n x x x h λ T a ),(λθ=，Ｔ＝_)1(),(T x x ,K(T,θ)= - --x n nx na e e e λλ λ )1(2 ∴T a ),(λθ=的充分估计量为T x x ),()1(- 2.21证明：（１）n x x x Exp x ,..,,),(~21λ为取自ｘ的样本，则其联合概率密度为： ∑∏ =-==n i i n n i i x e x f 1 );(λ λλ ＝- -x n n e λλ 0≥i x 对照定理2.3.6的形式： n c λλ=)( 1),...,(1=n x x h λλn b =)( - =x x x T n ),...,(1 这样可得：- =x x x T n ),...,(1是 λ 1 的无偏估计量 由定理2.3.5，这样，可得- x 是可估函数 λ 1 一致最小方差无偏估计 （２）首先- x 是λ 1 的无偏估计 λ λλ x e x f -=)1 ;( - -=x n n L λλ λ )1 l n ()1( )1 ())(1 ( ) 1 ( )1 ln( 2 2λ λλλ λ λ- =--=??- - x n x n 则有0)(2≠=λθn C 又因为λ 1 )(=- x E ∴- x 是 λ 1 的有效估计量 2.22 解: (1) 由于元件的寿命服从指数分布()Exp λ,而X 是 1 λ 的无偏估计,且有 2 2~(2)n X n λχ,令2 2n X χ λ=,则2 χ即为符合要求的枢轴量.对给定的置信度 1a -,查2(2)n χ分布表,得2 2 122(2),(2)a a n n χχ-,使得 222 122{(2)(2)}1a a P n n a χχχ-<<=-,即2 2 122(2) (2) { }122a a n n P a nX nX χχλ-<< =-, 故λ的置信度为1a -的置信区间为2 2 122(2)(2) ( ,)22a a n n nX nX χχ-, μ的置信度为1a -的置信区间为22 2 12 22) ( , )(2)(2) a a nX nX n n χ χ -, 因此, 参数λ的置信度为90%的置信区间为(0.00056,0.00147) 元件的平均寿命μ的置信度为90%的置信区间为(681.6,1792.3); 第三章 假设检验 课后作业参考答案 某电器元件平均电阻值一直保持Ω，今测得采用新工艺生产36个元件的平均电阻值为Ω。假设在正常条件下，电阻值服从正态分布，而且新工艺不改变电阻值的标准偏差。已知改变工艺前的标准差为Ω，问新工艺对产品的电阻值是否有显著影响(01.0=α) 解：(1)提出假设64.2:64.2:10≠=μμH H ， (2)构造统计量36 /06.064 .261.2/u 00 -=-= -= n X σμ (3)否定域???? ??>=???? ??>?? ??? ??<=--21212 αααu u u u u u V (4)给定显著性水平01.0=α时，临界值575.2575.22 12 =-=- α αu u ， (5) 2 αu u <，落入否定域，故拒绝原假设，认为新工艺对电阻值有显著性影响。 一种元件,要求其使用寿命不低于1000（小时）,现在从一批这种元件中随机抽取25件,测 得其寿命平均值为950（小时）。已知这种元件寿命服从标准差100σ=（小时）的正态分布， 试在显著水平下确定这批元件是否合格。 解： {}01001:1000, H :1000 X 950 100 n=25 10002.5 V=u 0.05H x u αμμσμα-≥<====->=提出假设：构造统计量：此问题情形属于u 检验，故用统计量：此题中：代入上式得： 拒绝域： 本题中：0.950.950 u 1.64u 0.0u H =>∴即，拒绝原假设认为在置信水平5下这批元件不合格。 某厂生产的某种钢索的断裂强度服从正态分布( )2 ,σ μN ，其中()2 /40cm kg =σ。现从一 批这种钢索的容量为9的一个子样测得断裂强度平均值为X ，与以往正常生产时的μ相比， X 较μ大20(2/cm kg )。设总体方差不变，问在01.0=α下能否认为这批钢索质量显著提 高 解： (1)提出假设0100::μμμμ>=H H ， (2)构造统计量5.13 /4020 /u 00 == -= n X σμ (3)否定域{}α->=1u u V (4)给定显著性水平01.0=α时，临界值33.21=-αu (5) α-<1u u ，在否定域之外，故接受原假设，认为这批钢索质量没有显著提高。 某批矿砂的五个样品中镍含量经测定为（%）： 设测定值服从正态分布，问在0.01α=下能否接受假设，这批矿砂的镍含量为 习题五 1 试检验不同日期生产的钢锭的平均重量有无显著差异？（=0.05） 解 根据问题，因素A 表示日期，试验指标为钢锭重量，水平为5. 假设样本观测值(1,2,3,4)ij y j =来源于正态总体2 ~(,),1,2,...,5i i Y N i μσ= . 检验的问题：01251:,:i H H μμμμ===不全相等 . 计算结果： 表5.1 单因素方差分析表 ‘*’ . 查表0.95(4,15) 3.06F =，因为0.953.9496(4,15)F F =>，或p = 0.02199<0.05， 所以拒绝0H ，认为不同日期生产的钢锭的平均重量有显著差异. 2 考察四种不同催化剂对某一化工产品的得率的影响，在四种不同催化剂下分别做试验 试检验在四种不同催化剂下平均得率有无显著差异？（=0.05） 解 根据问题，设因素A 表示催化剂，试验指标为化工产品的得率，水平为4 . 假设样本观测值(1,2,...,)ij i y j n =来源于正态总体2 ~(,),1,2,...,5i i Y N i μσ= .其中 样本容量不等，i n 分别取值为6，5，3，4 . 检验的问题：012341:,:i H H μμμμμ===不全相等 . 计算结果： 表5.2 单因素方差分析表 查表0.95(3,14) 3.34F =，因为0.952.4264(3,14)F F =<，或p = 0.1089 > 0.05， 所以接受0H ，认为在四种不同催化剂下平均得率无显著差异 . 3 试验某种钢的冲击值（kg ×m/cm2），影响该指标的因素有两个，一是含铜量A ， 试检验含铜量和试验温度是否会对钢的冲击值产生显著差异？（=0.05） 解 根据问题，这是一个双因素无重复试验的问题，不考虑交互作用. 设因素,A B 分别表示为含铜量和温度，试验指标为钢的冲击力，水平为12. 假设样本观测值(1,2,3,1,2,3,4)ij y i j ==来源于正态总体2 ~(,),1,2,3,ij ij Y N i μσ= 1,2,3,4j = .记i α?为对应于i A 的主效应；记j β?为对应于j B 的主效应； 检验的问题：（1）10:i H α?全部等于零，11 :i H α?不全等于零； （2）20:j H β?全部等于零，21:j H β?不全等于零； 计算结果： 表5.3 双因素无重复试验的方差分析表 查表0.95(2,6) 5.143F =，0.95(3,6) 4.757F =，显然计算值,A B F F 分别大于查表值， 或p = 0.0005，0.0009 均显著小于0.05，所以拒绝1020,H H ，认为含铜量和试验温度都会对钢的冲击值产生显著影响作用. 4 下面记录了三位操作工分别在四台不同的机器上操作三天的日产量： 北航2010《应用数理统计》考试题及参考解答 09B 一、填空题（每小题3分，共15分） 1，设总体X 服从正态分布(0,4)N ，而12 15(,,)X X X 是来自X 的样本，则22 110 22 11152() X X U X X ++=++服从的分布是_______ . 解：(10,5)F ． 2，?n θ是总体未知参数θ的相合估计量的一个充分条件是_______ . 解：??lim (), lim Var()0n n n n E θθθ→∞ →∞ ==． 3，分布拟合检验方法有_______ 与____ ___. 解：2 χ检验、柯尔莫哥洛夫检验． 4，方差分析的目的是_______ . 解：推断各因素对试验结果影响是否显著． 5，多元线性回归模型=+Y βX ε中，β的最小二乘估计?β 的协方差矩阵?βCov()=_______ . 解：1?σ-'2Cov(β) =()X X ． 二、单项选择题（每小题3分，共15分） 1，设总体~(1,9)X N ，129(,, ,)X X X 是X 的样本，则___B___ . （A ） 1~(0,1)3X N -； （B ）1 ~(0,1)1X N -； （C ） 1 ~(0,1) 9X N -； （D ~(0,1)N ． 2，若总体2(,)X N μσ，其中2σ已知，当样本容量n 保持不变时，如果置信度1α-减小，则μ的 置信区间____B___ . （A ）长度变大； （B ）长度变小； （C ）长度不变； （D ）前述都有可能. 3，在假设检验中，就检验结果而言，以下说法正确的是____B___ . （A ）拒绝和接受原假设的理由都是充分的； （B ）拒绝原假设的理由是充分的，接受原假设的理由是不充分的； （C ）拒绝原假设的理由是不充分的，接受原假设的理由是充分的； （D ）拒绝和接受原假设的理由都是不充分的. 4，对于单因素试验方差分析的数学模型，设T S 为总离差平方和，e S 为误差平方和，A S 为效应平方和，则总有___A___ . 习题1 1.1 解：由题意95.01=? ?? ???<--u x p 可得： 95.0=??? ???????????<-σσn n u x p 而 ()1,0~N u x n σ ??? ??-- 这可通过查N(0,1)分布表，975.0)95.01(2195.0=-+=??? ? ??????????<--σσn n u x p 那么 96.1=σ n ∴2296.1σ=n 1.2 解：(1)至800小时，没有一个元件失效，则说明所有元件的寿命>800小时。 {}2.10015.0800 0015.00800 | e 0015.0800--∞ +-=∞ +-==>?e e dx x p x x 那么有6个元件，则所求的概率() 2.76 2 .1--==e e p (2)至300小时，所有元件失效，则说明所有元件的寿命<3000小时 {}5.430000 0015.03000 0015.001|e 0015.03000----=-== 因为~()i X P λ,所以 112233{,,}P X x X x X x ≤≤≤ 112233{}{}{}P X x P X x P X x =≤≤≤1233123!!! x x x e x x x ++-λ λ= 其中,0,1,2, ,1,2,3k x k == (2) 123{(,,)|0;1,2,3}k x x x x k χ=≥= 因为~()i X Exp λ,其概率密度为,0 ()0,0 x e x f x x -λ?λ≥=? ? 所以,1233 1 (,,)() f x x x b a = -,其中;1,2,3k a x b k ≤≤= (4) 123{(,,)|;1,2,3}k x x x x k χ=-∞<<+∞= 因为~(,1)i X N μ, 其概率密度为(2(),()x f x x 2 -μ) -=-∞<<+∞ 所以,3 1 1 (212332 1 (,,)(2)k k x f x x x e π2=- -μ)∑=,其中;1,2,3k x k -∞<<+∞= 解：由题意可得：()?? ???∞ <<=--，其它00,21)(i 2ln i i 2 2 i x e x x f u x σσπ 则∏ == n i x f x x f 1 i n i )(),...(＝??? ????=∞<<∏=∑--=，其它0,...1,0,1 n )2()(ln 212n 1 2 i 2 i x x e i n i i u x n i σπσ 习题三 1 正常情况下，某炼铁炉的铁水含碳量2 (4.55,0.108)X N :.现在测试了5炉铁水，其含碳量分别为4.28，4.40，4.42，4.35，4.37. 如果方差没有改变，问总体的均值有无显著变化？如果总体均值没有改变，问总体方差是否有显著变化（0.05α=）？ 解 由题意知 2~(4.55,0.108),5,0.05X N n α==，1/20.975 1.96u u α-==，设立统计原假设 0010:,:H H μμμμ=≠ 拒绝域为 {}00K x c μ=->，临界值 1/2 1.960.108/0.0947c u α-==?=， 由于 0 4.364 4.550.186x c μ-=-=>，所以拒绝0H ，总体的均值有显著性变化. 设立统计原假设 2222 0010:,:H H σσσσ=≠ 由于0μμ=，所以当0.05α=时 22220.0250.9751 1()0.03694,(5)0.83,(5)12.83,n i i S X n μχχ==-===∑% 2210.02520.975(5)/50.166,(5)/5 2.567c c χχ==== 拒绝域为 {} 222200201//K s c s c σσ=><%%或 由于22 0/ 3.167 2.567S σ=>%，所以拒绝0H ，总体的方差有显著性变化. 2 一种电子元件，要求其寿命不得低于1000h .现抽测25件，得其均值为x =950h .已知该种元件寿命2(100,)X N σ:，问这批元件是否合格（0.05α=）？ 解 由题意知 2(100,)X N σ:，设立统计原假设 0010:,:,100.0.05.H H μμμμσα≥<== 拒绝域为 {}00K x c μ=-> 临界值为 0.050.0532.9c u u =?=?=- 由于 050x c μ-=-<，所以拒绝0H ，元件不合格. 3 某食品厂用自动装罐机装罐头食品，每罐标准重量为500g ，现从某天生产的罐头中随机抽测9罐，其重量分别为510，505，498，503，492，502，497，506，495（g ），假定罐头重量服从正态分布. 问 (1)机器工作是否正常（0.05α=）？ 2）能 习题五 1 某钢厂检查一月上旬内的五天中生产的钢锭重量，结果如下：(单位：k g) 日期重旦量 1 5500 5800 5740 5710 2 5440 5680 5240 5600 4 5400 5410 5430 5400 9 5640 5700 5660 5700 10 5610 5700 5610 5400 试检验不同日期生产的钢锭的平均重量有无显著差异？ ( =0.05) 解根据问题，因素A表示日期，试验指标为钢锭重量，水平为 5. 2 假设样本观测值y j(j 123,4)来源于正态总体Y~N(i, ),i 1,2,...,5 检验的问题：H。：i 2 L 5, H i : i不全相等. 计算结果： 注释当=0.001表示非常显著，标记为*** '类似地，=0.01，0.05，分别标记为 查表F0.95(4,15) 3.06，因为F 3.9496 F0.95(4,15)，或p = 0.02199<0.05 ，所 以拒绝H。，认为不同日期生产的钢锭的平均重量有显著差异 2 考察四种不同催化剂对某一化工产品的得率的影响，在四种不同催化剂下分别做试验 解 根据问题，设因素A表示催化剂，试验指标为化工产品的得率，水平为 4 . 2 假设样本观测值y j(j 1,2,..., nJ来源于正态总体Y~N(i, ), i 1,2,...,5 .其中样本容量不等，n分别取值为6，5，3，4 . 日产量 操作工 查表 F O .95（3,14） 3.34，因为 F 2.4264 F °.95（3,14），或 p = 0.1089 > 0.05， 所以接受H 。，认为在四种不同催化剂下平均得率无显著差异 3 试验某种钢的冲击值（kg Xm/cm2 ）,影响该指标的因素有两个，一是含铜量 A ,另 一个是温度 试检验含铜量和试验温度是否会对钢的冲击值产生显著差异？ （ =0.05 ） 解 根据问题，这是一个双因素无重复试验的问题，不考虑交互作用 设因素A,B 分别表示为含铜量和温度，试验指标为钢的冲击力，水平为 12. 2 假设样本观测值y j （i 1,2,3, j 1,2,3,4）来源于正态总体 Y j ~N （j , ）,i 1,2,3, j 1,2,3,4 .记i 为对应于A 的主效应；记 j 为对应于B j 的主效应； 检验的问题：（1） H i 。： i 全部等于零，H i — i 不全等于零； （2） H 20 : j 全部等于零，H 21： j 不全等于零； 计算结果： 查表F 0.95（2,6） 5.143 ,局.95（3,6） 4.757 ,显然计算值F A , F B 分别大于查表值, 或p = 0.0005 , 0.0009均显著小于0.05，所以拒绝H i°,H 20，认为含铜量和试验温度 都会对钢的冲击值产生显著影响作用 . 4 下面记录了三位操作工分别在四台不同的机器上操作三天的日产量: 检验的问题：H 0： 1 计算结果： H i : i 不全相等 应用数理统计答案 学号： 姓名： 班级： 目录 第一章数理统计的基本概念 (2) 第二章参数估计 (14) 第三章假设检验 (24) 第四章方差分析与正交试验设计 (29) 第五章回归分析 (32) 第六章统计决策与贝叶斯推断 (35) 对应书目：《应用数理统计》施雨著西安交通大学出版社 第一章 数理统计的基本概念 1.1 解：∵ 2 (,)X N μσ ∴ 2 (,)n X N σμ ∴ (0,1)N 分布 ∴(1)0.95P X P μ-<=<= 又∵ 查表可得0.025 1.96u = ∴ 2 2 1.96n σ= 1.2 解：(1) ∵ (0.0015)X Exp ∴ 每个元件至800个小时没有失效的概率为： 800 0.00150 1.2 (800)1(800) 10.0015x P X P X e dx e -->==-<=-=? ∴ 6个元件都没失效的概率为： 1.267.2 ()P e e --== (2) ∵ (0.0015)X Exp ∴ 每个元件至3000个小时失效的概率为： 3000 0.00150 4.5 (3000)0.00151x P X e dx e --<===-? ∴ 6个元件没失效的概率为： 4.56 (1)P e -=- 1.4 解： i n i n x n x e x x x P n i i 1 2 2 )(ln 2121)2(),.....,(1 22 =-- ∏∑ = =πσμσ 1.5证： 2 1 1 2 2)(na a x n x a x n i n i i i +-=-∑∑== ∑∑∑===-+-=+-+-=n i i n i i n i i a x n x x na a x n x x x x 1 2 2 2 2 11) ()(222 a) 证： ) (1111 1+=+++=∑n n i i n x x n x ) (1 1 )(1 1 11n n n n n x x n x x x n n -++=++=++ 第 三 章 作 业 参 考 答 案 2、解：计算矩估计：2 1)1(1 ++= +?= ? αααα dx x x EX ， 令 X EX =++= 2 1αα ，解得 1 2-1?1-=X X α ； 计算极大似然估计：α α αα α)()1()1()()(1 1 1 ∏∏∏ ===+=+= = n i i n n i i n i i x x x f L )ln()1ln()(ln 1 ∏=++=?n i i x n L ααα0 )ln(1 )(ln 1 =++= ??? ∏=n i i x n L αα α 解得 ) ) ln(1(?1 2∏=+-=n i i x n α ； 将样本观测值代入，得到估计值分别为0.3077?1=α ，0.2112?2=α。 6、 解：（1）由例3.2.3可知，μ的极大似然估计分别为 X =μ ?， 05.0)(1)(=-Φ-=>μA A X P )645.1(95.0)(Φ==-Φ?μA 645 .1+=?μA ，由46页上极大似然估计的不变性可知645.1??+=μA ； （2）由例3.2.3可知，2 σμ，的极大似然估计分别为 ∑=-= =n i i X X n X 1 2 2 ) (1 ??σ μ，， 05.0)( 1)(=-Φ-=>σ μ A A X P )645.1(95.0)( Φ==-Φ?σ μ A σ μ645.1+=?A ，由46页上极大似然估计的不变性可知σμ?645.1??+=A 。 8、解：计算2 2 2 2222)()()(σσ μC n S CE X E CS X E -+ =-=-，由题意则有 2 2 2 2 μσ σ μ=-+ C n ，解得n C 1= 。 4-45. 自动车床加工中轴，从成品中抽取11根，并测得它们的直径（mm ）如下： 10.52，10.41，10.32，10.18，10.64，10.77，10.82，10.67，10.59，10.38，10.49 试用W 检验法检验这批零件的直径是否服从正态分布？（显著性水平05.0=α） （参考数据：） 4-45. 解：数据的顺序统计量为： 10.18，10.32，10.38，10.41，10.49，10.52，10.59，10.64，10.67，10.77，10.82 所以 6131 .0][)()1(5 1 ) (=-= -+=∑k k n k k x x a L ， 又 5264.10=x ， 得 38197 .0)(11 1 2 =-∑=i i x x 故 984.0) (11 1 2 2 =-= ∑=i i x x L W ， 又 当n = 11 时，85.005.0=W 即有 105.0< 研究生 习题2： 2-7. 设 )1,0(~N ξ，),,,,,(654321ξξξξξξ为其一样本，而26542321)()(ξξξξξξη+++++=， 试求常数c ，使得随机变量ηc 服从2 χ分布。 2-7解：设3211ξξξη++=，所以 )3,0(~1N η 6542ξξξη++=，所以 )3,0(~2N η 所以 )1,0(~3 1 N η ， )1,0(~3 2 N η )2(~)(3 1332 22212 22 1χηηηη+=??? ??+??? ?? 由于 2 22 1ηηη+= 因此 当 3 1=c 时，)2(~2 χηc 。 2-8. 设 ),,,(1021ξξξΛ为)3.0,0(2 N 的一个样本，求 ? ?? ???>∑=101244.1i i P ξ 。（参考数据：） 2-8解：因为 )3.0,0(~),,,(2 1021N ξξξξΛ=， 所以 )1,0(~3 .0N ξ ， 即有)10(~3.0210 12 χξ∑=?? ? ??i i 所以 ??? ???>∑=101244.1i i P ξ??????>=∑=1012223.044.13.0i i P ξ??????>=∑=10122163.0i i P ξ ? ?? ???≤-=∑=10122163.01i i P ξ1.09.01=-= 2-14. 设总体)4,1(~N ξ，求{}20≤≤ξP 与{} 20≤≤ξP ，其中ξ是样本容量为16的样 本均值。（参考数据：） 2-14解： {}20≤≤ξP )0()2(F F -=)210()212( -Φ--Φ=)2 1 ()21(-Φ-Φ= 1)2 1 (2-Φ=3830.016915.02=-?= 由于 )4,1(~N ξ ， 所以 )1,0(~21 1 16 21N -=-ξξ {} 20≤≤ξP ????? ?-≤-≤-=21122112110ξP ? ?? ???≤-≤-=22112ξP )2()2(-Φ-Φ=9545.019725.021)2(2=-?=-Φ= 2-17. 在总体)20,80(2 N 中随机抽取一容量为100的样本，问样本平均值与总体均值的差的 绝对值大于3的概率是多少？（参考数据：） 2-17解：因为 )20,80(~2 N ξ， 所以 )1,0(~2 80 100 20 80 N -= -ξξ 所以 {}380>-ξP {} 3801≤--=ξP ?? ? ?????? ?≤--=232801ξP ? ?? ???≤ -≤--=23280 231ξP )]5.1()5.1([1-Φ-Φ-= ]1)5.1(2[1-Φ-=1336.0)93319.01(2)5.1(22=-=Φ-= 2-25. 设总体ξ的密度函数为 ?? ?<<=其它 102)(x x x p 取出容量为4的样本),,,(4321ξξξξ，求： （1） 顺序统计量)3(ξ的密度函数)(3x p ；（2）)3(ξ的分布函数)(3x F ；（3）??? ? ??>21)3(ξP 。 2-25解：（1）由 ()()[][])()(1)(! !1! )(1)(x p x F x F k n k n x p k n k k -----= ξ 所以 当 10< 2009(上)《数理统计》考试题(A 卷)及参考解答 一、填空题（每小题3分，共15分） 1，设总体X 和Y 相互独立，且都服从正态分布2(0,3)N ，而129(,,)X X X 和129(,,)Y Y Y 是分别来自X 和Y 的样本，则U = 服从的分布是_______ . 解：(9)t ． 2，设1?θ与2?θ都是总体未知参数θ的估计，且1?θ比2?θ有效，则1?θ与2 ?θ的期望与方差满足_______ . 解：1212 ????()(), ()()E E D D θθθθ=<． 3，“两个总体相等性检验”的方法有_______ 与____ ___. 解：秩和检验、游程总数检验． 4，单因素试验方差分析的数学模型含有的三个基本假定是_______ . 解：正态性、方差齐性、独立性． 5，多元线性回归模型=+Y βX ε中，β的最小二乘估计是?β=_______ . 解：1?-''X Y β= ()X X ． 二、单项选择题（每小题3分，共15分） 1，设12(,,,)(2)n X X X n ≥ 为来自总体(0,1)N 的一个样本，X 为样本均值，2 S 为样本方差，则 ____D___ . （A ）(0,1)nX N ； （B ）2 2()nS n χ ； （C ） (1)()n X t n S - ； （D ）2 12 2 (1)(1,1)n i i n X F n X =--∑ . 2，若总体2(,)X N μσ ，其中2σ已知，当置信度1α-保持不变时，如果样本容量n 增大，则μ的 置信区间____B___ . （A ）长度变大； （B ）长度变小； （C ）长度不变； （D ）前述都有可能. 3，在假设检验中，分别用α，β表示犯第一类错误和第二类错误的概率，则当样本容量n 一定时，下列说法中正确的是____C___ . （A ）α减小时β也减小； （B ）α增大时β也增大； （C ）,αβ其中一个减小，另一个会增大； （D ）（A ）和（B ）同时成立. 4，对于单因素试验方差分析的数学模型，设T S 为总离差平方和，e S 为误差平方和，A S 为效应平方 清华大学应用数理统计课后习题及答案 习题三 1 正常情况下，某炼铁炉的铁水含碳量2 (4.55,0.108)X N :.现在测试了5炉铁水，其含碳量分别为4.28，4.40，4.42，4.35，4.37. 如果方差没有改变，问总体的均值有无显著变化？如果总体均值没有改变，问总体方差是否有显著变化（0.05α=）？ 解 由题意知 2 ~(4.55,0.108),5,0.05X N n α==，1/20.975 1.96u u α-==，设立 统计原假设 0010:,:H H μμμμ=≠ 拒 绝 域 为 {} 00K x c μ=->，临界值 1/2 1.960.108/0.0947c u α-==?=， 由于 0 4.364 4.550.186x c μ-=-=>，所以拒绝0H ，总体的均值有显著性 变化. 设立统计原假设 2 2 2 2 0010:,:H H σσσσ=≠ 由于0μμ=，所以当0.05α=时 22220.0250.9751 1()0.03694,(5)0.83,(5)12.83,n i i S X n μχχ==-===∑% 22 10.02520.975(5)/50.166,(5)/5 2.567c c χχ==== 拒绝域为 {} 222200201//K s c s c σσ=><%%或 由于2 2 / 3.167 2.567S σ=>%，所以拒绝0H ，总体的方差有显著性变化. 2 一种电子元件，要求其寿命不得低于1000h .现抽测25件，得其均值为 x =950h .已知该种元件寿命2(100,)X N σ:，问这批元件是否合格 （0.05α=）？ 解 由题意知 2 (100,)X N σ:，设立统计原假设 0010:,:,100.0.05.H H μμμμσα≥<== 拒绝域为 {} 00K x c μ=-> 习题一 1 设总体X 的样本容量5=n ，写出在下列4种情况下样本的联合概率分布. 1）),1(~p B X ； 2）)(~λP X ； 3）],[~b a U X ； 4）)1,(~μN X . 解 设总体的样本为12345,,,,X X X X X ， 1）对总体~(1,)X B p ， 11223344555 11 1 55(1) (,,,,)()(1)(1)i i n x x i i i i x x P X x X x X x X x X x P X x p p p p -==-========-=-∏∏ 其中：5 1 15i i x x ==∑ 2）对总体~()X P λ 11223344555 1 1 555 1 (,,,,)()! ! i x n i i i i i x i i P X x X x X x X x X x P X x e x e x λ λ λλ-==-========== ∏∏ ∏ 其中：5 1 15i i x x ==∑ 3）对总体~(,)X U a b 55 11511 ,,1,...,5 (,,)()0i i i i a x b i f x x f x b a ==?≤≤=?==-??? ∏∏ L ，其他 4）对总体~(,1) X Nμ () ()() 2 555 5/22 2 15 1 11 1 (,,)()=2exp 2 i x i i i i i f x x f x x μ πμ - -- = == ?? ==-- ? ?? ∑ ∏ L 2 为了研究玻璃产品在集装箱托运过程中的损坏情况，现随机抽取20个集装箱检查其产品损坏的件数，记录结果为：1，1，1，1，2，0，0，1，3，1，0，0，2，4，0，3，1，4，0，2，写出样本频率分布、经验分布函数并画出图形. 解设(=0,1,2,3,4) i i代表各箱检查中抽到的产品损坏件数，由题意可统计出如下的样本频率分布表1.1： 经验分布函数的定义式为： 应用数理统计试题 1．设15,,X X 是独立且服从相同分布的随机变量,且每一个()1,2,,5i X i = 都服从()0,1.N (1)试给出常数c ,使得()22 12c X X +服从2χ公布,并指出它的自由度; (2)试给出常数,d 使得 服从t 分布,并指出它的自由度. 2．设总体X 的密度函数为 ???<<+=其他, 01 0,)1();(x x x f ααα 其中1->α是未知参数, ),,(1n X X 是一样本, 试求: (1) 参数α的矩估计量; (2) 参数α的最大似然估计量. 3．有一种新安眠剂，据说在一定剂量下能比某种旧安眠剂平均增加睡眠时间3小时，为了检验新安眠剂的这种说法是否正确，收集到一组使用新安眠剂的睡眠时间(单位：小时): 26.7， 22.0， 24.1， 21.0， 27.2， 25.0， 23.4. 根据资料用某种旧安眠剂时平均睡眠时间为20.8小时，假设用安眠剂后睡眠时间服从正态分布，试问这组数据能否说明新安眠剂的疗效？()0.05.α= 4．若总体X 服从正态分布() 22.1,1N ，样本n X X X ,,,21 来自总体X ，要使样本均值X 满足不等式{}95.01.19.0≥≤≤X P ，求样本容量n 最少应取多少？ 5．在某种产品表明进行腐蚀刻线实验，得到腐蚀深度y 与腐蚀时间x 对应的一 （1）预测腐蚀时间75s 时，腐蚀深度的范围（α-1＝95%）； （2）若要求腐蚀深度在10～20um 之间，问腐蚀时间应如何控制？ 6．简述方差分析,主成分分析的基本思想 附：统计查表数据 0.025(6) 2.447t =，0.025(7) 2.365t =，(1.96)0.975Φ= 参考答案： 1.设15,,X X 是独立且服从相同分布的随机变量,且每一个()1,2,,5i X i = 都服从()0,1.N (1)试给出常数c ,使得() 22 12c X X +服从2χ公布,并指出它的自由度; (2)试给出常数,d 使得服从t 分布,并指出它的自由度. 解 (1)由于()()()22 21212~0,1,~0,1, ~2X N X N X X +χ故 因此1c =,1222 X X +服从自由度为2的2χ分布. (2)由于()()~0,11,2,5i X N i = 且独立,则()12~0,2X X N + ()~0,1N 而 ()22223453X X X ++=χ ()~3,t ()~3t 所以d =自由度为3. 2. 设总体X 的密度函数为 ???<<+=其他, 01 0,)1();(x x x f ααα 其中1->α是未知参数, ),,(1n X X 是一样本, 试求: 习题三 1 正常情况下，某炼铁炉的铁水含碳量2 (4.55,0.108)X N .现在测试了5炉铁水，其含碳量分别为4.28，4.40，4.42，4.35，4.37. 如果方差没有改变，问总体的均值有无显著变化？如果总体均值没有改变，问总体方差是否有显著变化（0.05α=）？ 解 由题意知 2 ~(4.55,0.108),5,0.05X N n α==，1/20.975 1.96u u α-==，设立 统计原假设 0010:,:H H μμμμ=≠ 拒 绝 域 为 {} 00K x c μ=->，临界值 1/2 1.960.108/0.0947c u α-==?=， 由于 0 4.364 4.550.186x c μ-=-=>，所以拒绝0H ，总体的均值有显著性 变化. 设立统计原假设 2 2 2 2 0010:,:H H σσσσ=≠ 由于0μμ=，所以当0.05α=时 2 222 0.0250.9751 1()0.03694,(5)0.83,(5)12.83,n i i S X n μχχ==-===∑ 22 10.02520.975(5)/50.166,(5)/5 2.567c c χχ==== 拒绝域为 {} 2222 00201//K s c s c σσ=><或 由于22 0/ 3.167 2.567S σ=>，所以拒绝0H ，总体的方差有显著性变化. 2 一种电子元件，要求其寿命不得低于1000h .现抽测25件，得其均值为 x =950h .已知该种元件寿命2(100,)X N σ，问这批元件是否合格（0.05α=）？ 解 由题意知 2 (100,)X N σ，设立统计原假设 0010:,:,100.0.05.H H μμμμσα≥<== 拒绝域为 {} 00K x c μ=-> 临界值为 0.050.0532.9c u u =?=?=- 由于 050x c μ-=-<，所以拒绝0H ，元件不合格. 第五章 方差分析 课后习题参考答案 5.1 下面给出了小白鼠在接种三种不同菌型伤寒杆菌后的存活日数： 设小白鼠存活日数服从方差相等的正态分布，试问三种菌型的平均存活日数有无显著差异？(01.0=α) 解：(1)手工计算解答过程 提出原假设：()3,2,10:0==i H i μ 记 167.20812 11112 =???? ??-=∑∑∑∑====r i n j ij r i n j ij T i i X n X S 467.7011 2 11211=???? ??-???? ??=∑∑∑ ∑====r i n j ij r i n j ij i A i i X n X n S 7.137=-=A T e S S S 当 0H 成立时， ()()()r n r F r n S r S F e A --- -= ,1~/1/ 本题中r=3 经过计算，得方差分析表如下： 查表得 ()()35.327,2,195.01==---F r n r F α且F=6.909>3.35，在95%的置信度下，拒绝原 假设，认为不同菌型伤寒杆菌对小白鼠的存活日数有显著影响。 (2)软件计算解答过程 从上表可以看出，菌种不同这个因素的检验统计量F 的观测值为6.903，对应的检验概率p 值为0.004，小于0.05，拒绝原假设，认为菌种之间的差异对小白鼠存活日数有显著影响。 5.2 现有某种型号的电池三批，他们分别是甲、乙、丙三个工厂生产的，为评论其质量，各随机抽取6只电池进行寿命试验，数据如下表所示： 试在显著水平0.05α=下，检验电池的平均寿命有无显著性差异？并求 121323,μμμμμμ---及的95%置信区间。这里假定第i 种电池的寿命 2i X (,)(1,2,3)i N i μσ=。 解：手工计算过程： 1.计算平方和 其检验假设为：H0：，H1：。 2.假设检验： 所以拒绝原假设，即认为电池寿命和工厂显著相关。 3.对于各组之间的均值进行检验。 6 .615])394.44()3930()396.42[(*4)()(4 .216)3.28108.15(*4*))(1()(832 429.59*14*))(1()(2221 22 1 21 22 222=-+-+-=-=-==++=-==-===-==-=∑∑∑∑∑∑∑∑∑===r i i i i A r i i i r i i i i ij e ij T X X n X X S S n S n X X S s n ns X X S 0684 .170333 .188 .30712/4.2162/6.615)/()1/(===--= r n S r S F e A 89 .3)12,2(),1(95.01==-->-F r n r F F α 第一章 数理统计的基本概念 P26 1.2 设总体X 的分布函数为()F x ，密度函数为()f x ，1X ，2X ，…，n X 为X 的子样，求最大顺序统计量()n X 与最小顺序统计量()1X 的分布函数与密度函数。 解：(){}{}()12n n i n F x P X x P X x X x X x F x =≤=≤≤≤=???? ，，，. ()()()()1n n n f x F x n F x f x -'=??=??????. (){}{}1121i n F x P X x P X x X x X x =≤=->>> ，，，. {}{}{}121n P X x P X x P X x =->>> {}{}{}121111n P X x P X x P X x =-?-≤??-≤??-≤??????? ()11n F x =-?-??? ()()()()1111n f x F x n F x f x -'=??=?-???? ?. 1.3 设总体X 服从正态分布()124N ， ，今抽取容量为5的子样1X ，2X ，…，5X ，试问： （i ）子样的平均值X 大于13的概率为多少？ （ii ）子样的极小值（最小顺序统计量）小于10的概率为多少？ （iii ）子样的极大值（最大顺序统计量）大于15的概率为多少？ 解：()~124X N ， ，5n =，4 ~125 X N ?? ∴ ?? ?，. （i ） {}{ } ()13113111 1.1210.86860.1314P X P X P φφ???? ???>=-≤=-=-=-=-=. （ii ）令{}min 12345min X X X X X X =，，，，，{}max 12345max X X X X X X =，，，，. {}{}{}min min 125101*********P X P X P X X X <=->=->>> ，，， {}{}{}55 5 1 1 11011101110i i i i P X P X P X ===->=-?- 习题三 2.设总体的分布密度为： (1),01 (;)0, x x f x ααα+<<=???其它 1(,,)n X X 为其样本，求参数α的矩估计量1?α 和极大似然估计量2?α .现测得样本观测值为：0.1，0.2，0.9，0.8，0.7，0.7，求参数α的估计值 . 解 计算其最大似然估计： ()() 11 1 1 1 (,)11ln (,)ln(1)ln n n n n i i i i n n i i L x x x x L x x n x α α αααααα===??=+=+??=++∏∏∑ 11 21 ln (,)ln 01?10.2112 ln n n i i n i i d n L x x x d n x ααααα====+=+=--=∑∑ 其矩估计为： ()1 3.40.10.20.90.80.70.766 X = +++++= 3077 .01 21?,212) 1()1(11 01 21=--==++=++=+=?++X X X x dx x EX αααααααα 所以：12112??,11ln n i i X n X X α α=?? ?- ?==-+- ? ?? ? ∑， 12??0.3077,0.2112αα≈≈. 3. 设元件无故障工作时间X 具有指数分布，取1000个元件工作时间的记录数据，经分组后得到它的频数分布为： 如果各组中数据都取为组中值，试用最大似然法求参数的点估计. .解 最大似然估计： 1 1 (,),ln ln i n x n nx n i L x x e e L n nx λλλλλλλ--====-∏ 7 11120000?ln 0,,2010001000 i i i d n L nx X x v d X λλλ==-=====∑ 1 ?0.05X λ ==. 4. 已知某种灯泡寿命服从正态分布，在某星期所生产的该种灯泡中随机抽取10只，测得其寿命(单位：小时)为： 1067，919，1196，785，1126，936，918，1156，920，948 设总体参数都未知，试用极大似然法估计这个星期中生产的灯泡能使用1300小时以上的概率. 解 设灯泡的寿命为x ,2 ~(,)x N μσ,极大似然估计为：2 21 1??,()n i i x x x n μ σ===-∑ 根据样本数据得到：2??997.1,17235.81μ σ== . 经计算得，这个星期生产的灯泡能使用1300小时的概率为0.0075. 5. 为检验某种自来水消毒设备的效果，现从消毒后的水中随机抽取50升，化验每升水中大肠杆 菌的个数(假定一升水中大肠杆菌个数服从Poisson 分布)，其化验结果如下： 试问平均每升水中大肠杆菌个数为多少时，才能使上述情况的概率为最大？ 解 设x 为每升水中大肠杆菌个数，~ ()x P λ，Ex λ=，由3题（2）问知，λ的 最大似然估计为x ，所以 ().150/1*42*310*220*117*0?=++++==X L λ 所以平均每升氺中大肠杆菌个数为1时，出现上述情况的概率最大 . 7. 设1234,,,X X X X 是总体X 的样本，设有下述三个统计量： 123411 1 6 3 ?()()X X X X a ++=+应用数理统计吴翊李永乐第三章假设检验课后作业参考答案
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