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5-4广义积分

无穷限广义积分的计算(1)

指导教师：陈一虎作者简介：陈雪静(1986-),女,陕西咸阳人，数学与应用数学专业2008级专升本1班．无穷限广义积分的计算陈雪静（宝鸡文理学院数学系,陕西宝鸡 721013）摘要: 文章归纳总结了利用数学分析、复变函数、积分变换、概率论统计理论等知识计算无穷限广义积分的几种方法.在学习中运用这几种方法可开拓视野,激发学习数学的兴趣. 关键词: 广义积分;收敛;计算方法广义积分是《高等数学》学习中的一个难点知识,广义积分的概念不仅抽象,而且计算方法灵活,不易掌握.广义积分包括两大类,一类是积分区间无穷型的广义积分,另一类是积分区间虽为有穷,但被积函数在该区间内含有有限个无穷型间断点（瑕点）的广义积分.一般的判别法是对积分区间无穷型的广义积分,先将积分限视为有限的积分区间按常义积分处理,待积分求出原函数后再考查其极限是否存在,在用此极限去判定原积分是否收敛.对于第二类广义积分,我们可将积分区间改动,使被积函数在改动后的积分区间内成为有界函数再按常义积分处理,求出原函数之后考查它在原积分区间上的极限是否收敛.但是有些被积函数的原函数不易求出或无法用初等函数表示,使得广义积分无法用常规方法计算,因此需寻求其它的计算方法.本文主要研究无穷限广义积分的计算方法,主要方法包括利用广义积分定义、参量积分、变量代换、二重积分、留数定理、级数展开、概率论知识以及拉普拉斯变换等方法. 1 无穷限广义积分的定义定义1 设函数()f x 在区间[,)a +∞上连续,取t a >.如果极限 lim ()d t a t f x x →+∞? 存在,则称此极限为函数()f x 在无穷区间[,)a +∞上的反常积分（也称作广义积分）,

无穷限广义积分的数值计算[文献综述]

文献综述信息与计算科学无穷限广义积分的数值计算一．前言部分定积分的数值近似称为数值求积.[1] 它起源于古代用铺贴小方块近似计算不规则图形或曲边形的面积．在近似积分中，主要从定义积分的黎曼和出发，用被积函数在积分区间上有限个点上值的加权和来近似计算积分．我们一般使用牛顿-科茨求积公式，梯形公式及其复合公式，辛普森公式及其复合公式，Gauss 求积公式，切比雪夫求积法，三次样条函数求积法，自适应积分法等方法来进行数值求积．在讨论积分时有两个最基本的限制：积分区间的有穷性和被积函数的有界性．但在很多实际问题中往往需要突破这些限制，考虑无穷区间上的“积分”．根据函数的变化率，利用定积分我们可以计算函数在指定区间上的增量，利用变限定积分可以把握函数变化区间上增量的变化，为了把握函数在无穷区间上增量的变化，我们还需要引进并讨论无穷限积分[2] ．比如现在人类要发射人造地球卫星或发射完成星际航行的飞行器，就要摆脱地球强大的引力，那如何离开地球呢? 地球上的物体要脱离地球引力成为环绕太阳运动的人造行星，需要的最小速度是第二宇宙速度．第二宇宙速度为11．2公里/秒，是第一宇宙速度的2倍．地面物体获得这样的速度即能沿一条抛物线轨道脱离地球．我们可以运用无穷限广义积分解决第二宇宙速度问题．在黎曼积分的定义中，被积函数和积分区间都是有界的．若被积函数或积分区间无界，则称为广义积分．对无界区间，如[)∞，a ，如果对任何有限的b ，f 在区间[]b a ,上可积，并且下列极限存在且为有限数，则广义积分的定义为 ()()? ?∞ ∞→=a lim b a b dx x f dx x f ．对无界的积分区间，可以使用有限区间上的标准求积程序计算广义积分，具体方法如下：

§11 用Mathematica进行广义积分运算

§6 用Mathematica 进行广义积分运算用Mathematica 广义积分的命令和求定积分的命令相同，都是： (1) Integrate[f ，{x ，下限，上限}] (2) ?dx x f b a )( 6.1 无穷区间上广义积分的运算例6.1 讨论dx x x ln 12?∞+的敛散性。解 }],2,{,ln 1[ :]1[Infinity x x x Integrate In += Out[1]=∞+ 所以dx x x ln 12?∞+发散。例6.2 计算广义积分dx e x -∞+?0 解 In[2]:=Integrate[Exp[-x]，{x ，0，+Infinity}] Out[2]=1 例6.3 计算广义积分dx x x 2 212++?∞+∞-。解先判断广义积分?++∞-dx x x 22120和?++∞+221 20x x 是否收敛。 In[3]:=Integrate[1/(x^2+2x+2)，{x ，-Infinity ，0}] Out[3]=2 1(π+i(Log[1-i]-Log[1+i])) In[4]:=Integrate[1/(x^2+2x+2)，{x ，0，+Infinity}] Out[4]=2 1(π-i(Log[1-i]-Log[1+i])) 即上面两个广义积分收敛，故原广义积分收敛。下面计算其值： In[5]:=Integrate[1/(x^2+2x+2)，{x ，-Infinity ， +Infinity}] Out[5]=π 6.2 瑕积分的运算

例6.5 计算广义积分dx x 220)1(1-? 。解 In[1]:= dx x 220)1(1-? Out[1]= ∞ 即广义积分发散。例6.6 计算广义积分dx x ? --3260)4(。解 In[6]:= dx x ?--3260)4( Out[6]=3 21/3-3(-1)1/322/3 定积分的收敛或发散有时依据被积分表达式中的某个参数而定。例如两个重要广义积分: (1)dx x a 110????<≥)1)1a a 发散（若收敛（若 (2) dx x a 11?∞+???>≤)1)1a a 收敛（若发散（若遇到这种情况时，Integrate 命令会输出一个含条件表达式的积分结果。例6.7 计算广义积分dx x a 110? 解若积分时不指定参数a 的范围，则Integrate 命令会输出一个含条件表达式的积分结果;当0)Re(>a 时，积分收敛到 a +-11，否则发散。 In[1]:=e1=dx x a 11?∞ + Out[1]=?? ????+->-∞+?dx x a a If a 1,11,1][Re[ 例6.8 计算广义积分xdx e ax sin 0?∞ 解 In[2]:=e1=dx x Sin e x a ][*0?∞ Out[2]=??????+-

第二章第五节-第六节(上)

第二章(第五,六节) 第五节连续型随机变量及其概率密度函数随机变量X ,简记为X v r .., 分布函数}{)(x X P x F ≤=. 定义 4 设随机变量X 的分布函数为)(x F ,如果存在一个定义在()+∞∞-,上非负可积函数)(x f ，使得对任何实数x ，恒有 ?∞-=x dt t f x F )()(, 则称X 为连续型随机变量, 称函数)(x f 为随机变量X 的概率密度函数(或分布密度函数),简称概率密度. 概率密度函数的性质：由定义可以知道，概率密度函数)(x f 具有下列基本性质：（1）0)(≥x f ，对一切()+∞∞-∈,x ；（2）1)()(=+∞=?+∞ ∞ -F dx x f 。

反之，可以证明,任何一个具有性上述性质(1)和(2)的实直线上的可积函数)(x f ，可以成为某个连续型随机变量的概率密度函数. 连续型随机变量X 取区间值概率的计算. 定理设X 为连续型随机变量, 分布函数为)(x F ,概率密度为)(x f , 则有 (1)?∞-=x dt t f x F )()(是连续函数; (2),0)()(}{=-==-x F x F x X P ()+∞∞-∈?,x ; (3)],(b a I =或],[b a ,或),[b a , 或),(b a ,或-∞=a ,或+∞=b ?=-=∈b a dx x f a F b F I X P )()()(}{; (4)若)(x f 在0x 点连续，则)(x F 在0x 点可导,且)()(0 0x f x F ='; 如果)(x f 是分段连续函数,只有有限个不连续点,则)()(x F x f '= (除去有限个不连续点,在这些点上

广义积分

第九章广义积分习题课一、主要内容 1、基本概念无穷限广义积分和无界函数广义积分敛散性的定义、绝对收敛、条件收敛。 2、敛散性判别法 Cauchy 收敛准则、比较判别法、Cauchy 判别法、Abel 判别法、Dirichlet 判别法。 3、广义积分的计算 4、广义积分与数项级数的关系 5、广义积分敛散性的判别原则和程序包括定义在内的广义积分的各种判别法都有特定的作用对象和原则，定义既是定性的――用于判断简单的具体广义积分的敛散性，也是定量的――用于计算广义积分，其它判别法都是定性的，只能用于判断敛散性，Cauchy 判别法可以用于抽象、半抽象及简单的具体广义积分的敛散性，比较判别法和Cauchy 判别法用于不变号函数的具体广义积分和抽象广义积分判别法，Abel 判别法和Dirichlet 判别法处理的广义积分结构更复杂、更一般。对具体广义积分敛散性判别的程序： 1、比较法。 2、Cauchy 法。 3、Abel 判别法和Dirichlet 判别法。 4、临界情况的定义法。 5、发散性判别的Cauchy 收敛准则。注、对一个具体的广义积分敛散性的判别，比较法和Cauchy 法所起作用基本相同。注、在判断广义积分敛散性时要求： 1、根据具体题型结构，分析特点，灵活选择方法。 2、处理问题的主要思想：简化矛盾，集中统一，重点处理。 3、重点要掌握的技巧：阶的分析方法。二、典型例子下述一系列例子，都是要求讨论其敛散性。注意判别法使用的顺序。例1 判断广义积分?+∞+=0q p x x dx I 的敛散性。分析从结构看，主要是分析分母中两个因子的作用。解、记?+=101q p x x dx I ，?+∞+=12q p x x dx I

(整理)9广义积分习题课

第九章广义积分习题课一、主要容 1、基本概念无穷限广义积分和无界函数广义积分敛散性的定义、绝对收敛、条件收敛。 2、敛散性判别法 Cauchy收敛准则、比较判别法、Cauchy判别法、Abel判别法、Dirichlet 判别法。 3、广义积分的计算 4、广义积分与数项级数的关系 5、广义积分敛散性的判别原则和程序包括定义在的广义积分的各种判别法都有特定的作用对象和原则，定义既是定性的――用于判断简单的具体广义积分的敛散性，也是定量的――用于计算广义积分，其它判别法都是定性的，只能用于判断敛散性，Cauchy判别法可以用于抽象、半抽象及简单的具体广义积分的敛散性，比较判别法和Cauchy 判别法用于不变号函数的具体广义积分和抽象广义积分判别法，Abel判别法和Dirichlet判别法处理的广义积分结构更复杂、更一般。对具体广义积分敛散性判别的程序： 1、比较法。 2、Cauchy法。

3、Abel 判别法和Dirichlet 判别法。 4、临界情况的定义法。 5、发散性判别的Cauchy 收敛准则。注、对一个具体的广义积分敛散性的判别，比较法和Cauchy 法所起作用基本相同。注、在判断广义积分敛散性时要求： 1、根据具体题型结构，分析特点，灵活选择方法。 2、处理问题的主要思想：简化矛盾，集中统一，重点处理。 3、重点要掌握的技巧：阶的分析方法。二、典型例子下述一系列例子，都是要求讨论其敛散性。注意判别法使用的顺序。例1 判断广义积分?+∞ +=0q p x x dx I 的敛散性。分析从结构看，主要是分析分母中两个因子的作用。解、记?+=1 01q p x x dx I ，?+∞+=12q p x x dx I 对1I ，先讨论简单情形。 q p =时，1

p 时，由于

定积分和广义积分的区别与联系

反常积分与定积分有何区别和联系要想得出定积分和广义积分的区别与联系，我们需要先明确两者的定义。从定义的角度出发，对其进行讨论定积分：设函数f(x)在区间[a,b]上有界，在[a,b]任意插入n-1个分点， a=x 0a,如果极限 ?+∞→b a b f dx x lim ）（存在，则称此极限为函数f(x)在无穷区间[a,+∞)上的反常积分，记作 ?? +∞→+∞ =b b a dx x f dx x f a )(lim )( 瑕积分：设函数f(x)定义在(a,b]上，而在x=a 的任一右邻域内f(x)无界(此时称x=b 为f(x)的瑕点)，若f(x)在任意[a-ε,b](0<ε

广义积分教案

第三章一元函数积分学三、广义积分无限区间上的积分：设)(x f 在],[+∞a 上连续，取a b >，则称dx x f b a b )(lim ? +∞ →为)(x f 在],[+∞a 上的广义积分，记为：dx x f a )(? +∞ dx x f b a b )(lim ? +∞ →= 若上述极限存在，则称广义积分dx x f a )(?+∞ 存在或收敛。否则称广义积分不存在或称发散。同理可定义广义积分： dx x f b )(? ∞ -dx x f b a a )(lim ? -∞ →=和dx x f )(? +∞∞ -dx x f c )(? ∞ -= dx x f c )(? +∞ + 若)(x F 是)(x f 的一个原函数记：?? ???=-∞=+∞-∞→+∞ →)(lim )() (lim )(x F F x F F x x 则广义积分可表示为： dx x f a )(?+∞ | )(+∞=a x F )()(a F F -+∞= dx x f b )(?∞-|)(b x F ∞-=)()(-∞-=F b F dx x f )(? +∞∞ -| )(+∞∞ -=x F )()(-∞-+∞=F F 例33－1、计算无穷积分：解：dx e x -+∞ ? dx e x b b -+∞ →? =0lim | lim b x b e -+∞ →-=1)10()(lim 0 =--=-=-+∞ →e e b b 或直接利用公式：dx e x -+∞ ? 1)1(0| =--=-+∞ -x e 例33－2、计算广义积分： ⑴、dx xe x 2 -+∞ ? dx xe x b b 2 lim -+∞ →? =)](2 1[lim 2 2 x d xe x b b -+∞ →? - = | 2 lim 2 1b x b e -+∞ →- =2 1)(lim 2 10 2 = -- =-+∞ →e e b b ⑵、dx x x 2 1+? +∞ dx x x b b 2 1lim +=? +∞ →2 2 1)1(lim 2 1x x d b b ++= ? +∞ → |0 2 )1ln(lim 2 1b b x +=+∞ →+∞=-+= +∞ →]1ln )1[ln(lim 2 12 b b ⑶、dx x x e 3 ) (ln 1? +∞ dx x x b e b 3 ) (ln 1lim ? +∞ →=)(ln ) (ln 1lim 3 x d x b e b ? +∞ →=

广义积分的收敛判别法

第二节广义积分的收敛判别法上一节我们讨论了广义积分的计算, 在实际应用中，我们将发现大量的积分是不能直接计算的，有的积分虽然可以直接计算，但因为过程太复杂，也不为计算工作者采用，对这类问题计算工作者常采用数值计算方法或Monte-Carlo 方法求其近似值. 对广义积分而言，求其近似值有一个先决条件 — 积分收敛，否则其结果毫无意义。因此，判断一个广义积分收敛与发散是非常重要的．定理9.1（Cauchy 收敛原理）f (x )在[a , +∞ ）上的广义积分? +∞a dx x f )(收敛的充分必要条件是：0>?ε, 存在A>0, 使得b , b '>A 时，恒有 ε?ε , 0>?δ, 只要0<δηη<

05--第五节--广义积分.doc

第五节广义积分我们前面介绍的定积分有两个最基本的约束条件：积分区间的有限性和被积函数的有界性. 但在某些实际问题中,常常需要突破这些约束条件. 因此在定积分的计算中,我们也要研究无穷区间上的积分和无界函数的积分. 这两类积分通称为广义积分或反常积分,相应地,前面的定积分则称为常义积分或正常积分. 分布图示 ★无穷限的广义积分 ★无穷限的广义积分几何解释 ★例1 ★例2 ★例3 ★例4 ★例5 ★例6 ★无界函数的广义积分 ★例7 ★例8 ★例9 ★例10 ★例11 ★例12 ★例13 ★内容小结★课堂练习 ★习题5-5 ★返回内容要点一、无穷限的广义积分二、无界函数的广义积分例题选讲无穷限的广义积分例1 (E01) 计算广义积分. 解对任意的有于是因此或例2 (E02) 判断广义积分的敛散性. 解对任意因为不存在,故由定义知无穷积分发散. 例3(E03) 计算广义积分. 解例4 计算广义积分解原式

例5(E04)计算广义积分(p是常数, 且时收敛). 解注: 其中不定式例6 (E05) 讨论广义积分的敛散性. 证因此,当时,题设广义积分收敛,其值为当时,题设广义积分发散. 无界函数的广义积分例7(E06) 计算广义积分解原式例8(E07) 计算广义积分. 解故题设广义积分发散. 例9(E08) 讨论广义积分的敛散性. 证因此,当时,广义积分收敛,其值为当时,广义积分发散. 例10 计算广义积分瑕点. 解 , 例11 计算广义积分解此题为混合型广义积分,积分上限为下限为被积函数的瑕点. 令则时,时,于是再令取时时于是注: 本题若采用变换等,计算会更简单,请读者自行解之.

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