§4.2平行线分成比例线段
【学习目标】 1.掌握平行线分线段成比例定理及其推论. 2.能初步应用定理及推论进行解题. 【学习重点】定理及推论的内容及应用 【学习难点】定理的归纳和证明 【学习过程】 （一）预习案：
1.两条直线被一组 所截，所得的 成比例。 几何语言： ∵l 1∥l 2∥l 3 ∴
=BC AB ( )，=AB BC
( )， =AC AB ( )，=AB AC
( )， =AC BC ( )，=BC
AC
( )；
2. 于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的 成比例。 几何语言：
∵BE ∥CF （或AD ∥CF ）
∴=BC AB ( )，=AB BC
( )， =AC AB ( )，=AB AC
( )， =AC BC ( )，=BC
AC
( )； （二）探究案：
探究一：通过小组合作探究，对平行线分线段成比例定理进行特殊验证。（借助课本82页图形） 归纳：（1）同一个比中的两条线段在同一条直线上.
（2）注意对应的意义，上述6个比例式中的任何一个都可推导出其他5个来.
探究二：（1）、画L1∥L2，直线AC 交L1于B 交L2于C ，截取AB=BC.过点A 作AD ⊥L1于D 交L2于E,测量出AD 和DE 的长度，你有何发现？
（2）、画△ACE,取AC 中点B ，过点B 作BD ∥CE 交AE 于D ，测量出AD 和DE 的长度，你有何发现？
l 1
l 2
l 3
F
E
D C B
A F
D
C
B
A
F
E
C
B
A E
D C B A
E
C
D B A
（3）、画△ACE,取AC 的三等分点B 即：AB=2BC.过点B 作BD ∥CE 交AE 于 D,测量出AD 和DE 的长度，你有何发现？
2．猜想：（1）当
41BC AB = 时=DE AD 当
m n
BC AB =时=DE AD （2）在△ACE 中如果BD ∥CE ，那么 探究三：猜想是否正确？
观察：如图
要证DE
AD
BC AB = 只要证S △BCD S △BDE 即可。
提示：这两个三角形有公共底BD ，只要公共底上的高相等就可以了，而平行线间的距离处处相等。 归纳：平行于三角形一边的直线截其他两边所得的线段对应成比例。
几何语言 ∵ △ABE 中BD ∥CE ∴
DE AD BC AB = 简记：下
上
下上= （三）训练案： 1、如图在△ADE 中，如果BC ∥DE,AB=6,BD=8,AC=4
那么
?AB BD = CE= ？ ?=AC
AE
AE=? E
D C
B
A
2、如图，在中Rt △ABC 中∠C=90°ED ⊥BC,D 为垂足，BD=3cm DC=2cm AB=6cm.求BE 和EA 的
?BC AB =与S △ABD 和S △BCD 有何关系？ E
D C B
A
H E
D C
B A H E
D C
B A
?DE AD =与S △ABD 与S △BDE 有何关系？
长
E
D
C
B
A
3、小刚身高1.7m，测得他站立在阳光下的影子长为0.85m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1m，那么小刚举起的手臂超出头顶（）A．0.5m B．0.55m C．0.6m D．2.2m
教学内容：比例和比例线段 【重点、难点、考点】 重点：应用平行线分线段成比例定理及其推论和比例的性质进行有关的计算和证明。 难点：熟练应用比例的性质进行各种比例变形。 考点：平行线分线段成比例定理及其推论和比例的性质是学习相似形的重要基础，但各地中考试题中单独考核该项内容较少。 【经典范例引路】 例1 如图已知BE AB =ME AM =CE AC 。 求证：BC CA BC AB ++=ME AE 【解题技巧点拨】 本题要通过观察找出已知条件和待证结论之间的内在联系，然后灵活运用等比性质和合比性质达到证题的目的 例2 如图，延长正方形ABCD 的一边CB 至E ，ED 与AB 相交于点F ，过F 作FG ∥BE 交AE 于G ，求证GF ＝FB ．
【解题技巧点拨】 本题要善于从较复杂的几何图形中，分离出“平行线分线段成比例定理的推论”的基本图形，“A 型”或“ 型”，得到相应的比例式，并注意由公共线段“ED ” 产生“中间比”，最后使问题得证。 【综合能力训练】 一、填空题 1．）已知a ∶b ＝3∶1且a ＋b ＝8，则a －b ＝ 。 2．）已知n m =q p =32 (n+q ≠0)，则q n p m ++＝ 。 3．一个三角形三边的比为2∶3∶4则这个三角边上的高的比为 。 4．线段a ＝3，b ＝4，c ＝5则b ，a ，c 的第四比例项是 ，b 、c 的比例中项是 ． 5．直角三角形的三边为a ，a+ b ，a+2b 且a ＞0,b ＞0则a ∶b ＝ 。 6．已知点P 是线段AB 的黄金分割点，若AP ＞BP ，AP=5-1，则AB ＝ 。 7．△ABC 的周长为100cm ，如图若AB AE =AC AF =BC EF =53 ，△AEF 的周长 为 。
《成比例线段》教案 教学目标 1.了解两条线段的比和比例线段的概念； 2.能根据条件写出比例线段； 3.回运用比例线段解决简单的实际问题. 教学重点、难点 教学重点：比例线段的概念. 教学难点：例题中要求根据具体问题发现等量关系，找出比例式，有一定的隐蔽性，是本节教学的难点. 知识要点 1.两条线段的长度的比叫做两条线段的比. 2.四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即a b =c d ，那么这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段. 重要提示 1.用方程思想寻找几何图形中四条线段成比例是常用方法. 2.四条线段成比例可以解决一些实际问题，如地图上的某两地之间的距离. 教学过程 一、复习引入
1.列举四个数成比例，并写出比例式，指出比例内项、外项、第四比例项. 2.说出比例的基本性质.由ad＝bc可推出哪些比例式？ 3.练习：(1)若3x＝4y，求x y、 x x－y、 x－2y x＋y的值. (2)若a＋b a＝ 5 3，求 a－2b b的值. (3)x:y:z＝2:3:4，求 x－y＋z 2x＋3y－z的值. (4)已知a:b:c＝3:4:5，且2a＋3b－4c＝－1，求2a－3b ＋4c的值. (5)已知线段AB＝15cm，CD＝20cm.求AB:CD的值. 二、设置问题，探究新课 如何定义两线段的比呢？什么是比例线段？ 在同一长度单位下，a，b，两线段长度的比叫做这两线 段的比.记为a：b或a b 注意：(1)两线段是几何图形，可用它的长度比来确定； (2)度量线段的长，单位多种，但求比值必需在同一长度单位下比值一定是正数，比值与采用的长度单位无关. (3)表示方式与数字的比表示类同，但它也可以表示为A B:CD. 比例线段：一般地，四条线段a、b、c、d中，如果a与b
如何证比例线段 在我们这个科技高速发展的时代中,初等几何已经是必不可少了。而如何证明比例线段是几何中的重要成分。 1.利用相似或位似来证明比例线段∶证明两个图形相似或位似，那它们的对应边的比例相等。例如 如图所示,AB∥CD,证明∶。 证：∵AB∥CD ∴∠1∠6，∠2∠5 又∵∠3∠4 ∴△ABE∽△CDE ∴ 2.利用中位线定理证明比例线段∶三角形的中位线与底边之比是1比2，梯形的中位线与两底之和的比也是1比2，……
例如：点D、E、F、G和H是AB、AC、EH、EC和BC的中点，如图所示，求证:。 证：∵点D、E、F、G是AB、AC、EH、EC的中点 ∴DE、FG分别是△ABC、△EHC的中位线 ∴,即 又∵H是BC的中点 ∴DE＝HC ∴ 3. 利用重心来证明比例线段∶三角形的三条中线交与一点,这点到顶点的距离与它到对边中点距离之比为2∶1, 如图所示, 。
4.利用面积比来证明比例线段∶ 如图,在△ABC中,DE∥BC,且S△ADE∶S△DEB＝1∶3,求DE∶BC？ 解:∵S△ADE∶S△DEB＝1∶3 ∴AF∶FG＝1∶3 又∵DE∥BC ∴△ADE∽△ABC ∴DE∶BC＝1∶4 5. 利用平行截线段来证明比例线段∶如图，如果直线a∥b∥c,那么
,,。 6. 利用黄金分割来证明比例线段∶如图所示,△ABC∽△ BCD,＝0.618……这就是黄金分割定理。 7.利用角平分线定理来证明比例线段∶如图所示，AD是∠BAC
的平分线，那么。 8. 利用切割线定理来证明比例线段∶如图所示，PT是圆O的切线，直径AB和弦CD的延长线交于点P，则PT 2＝PA·PB=PD·PC,即,,。这就是切割线定理。 9. 利用相交弦定理来证明比例线段∶如图所示，AB、CD都是圆O的弦，它们相交于点P，则PA·PB＝PC·PD，即。
直角三角形中成比例线段（二） 一、教学目的和要求 1. 使学生掌握直角三角形中成比例线段的性质。 2. 使学生会解直角三角形中，已知两个条件（至少一边）的题。 二、教学重点和难点 掌握直角三角形中成比例线段的关系为难点，应用为重点。 三、教学过程 （一）复习、引入 直角三角形有哪些性质？——由学生回答再归纳。 （1）两锐角互余 （2）勾股定理 （3）斜边中线等于斜边一半 （4）?30角所对的直角边等于斜边的一半 （5）斜边上高线分出的两个三角形与原三角形相似 （6）根据面积关系，两直角边乘积等于斜边乘以斜边上的高。 （二）新课 今天我们进一步研究直角三角形中成比例线段的性质。 我们知道ABC ?中，?=∠90ACB ，AB CD ⊥于D ，这里可以得到三对相似三角形，分别写出它们对应边的比例式。（见图1） CB AC CBD ACD BC AB CBD ABC AC AB ACD ABC ??????,~)3(,~)2(, ~)1(边的比例式改写成等积式是(1)AB BD BC AB AD AC ?=?=22)2(中AD BD CD ?=2)3(中这三个关系式在以前的课本上是以定理的形式出现，而现行的九年义务教育教材中此内容只是在例题中出现，考虑这个结论在以后“圆”中运用较多，而变成等积式后特点较突出对记忆有好处，建议老师仍将“射影定理”的名称及内容告诉学生，便于以后分析问题，（但注意不可直接使用）。这三个式子反映出一条线段是其余两条线段的比例中项，教师一定要将三条线段的位置关系
分析清楚，只要明白是哪两个三角形相似得来的，比例式自然就可写出。 如图2，CD 是ABC Rt ?的斜边AB 上的高，设h CD c AB b CA a BC ====,,,，p DB q AD ==,，用q p h c b a 、、、、、表示图中的关系。 1. 勾股定理 2222 222 22)3()2()1(a p h b q h c b a =+=+=+ 2. 比例中项关系 ()3(()2()1(222p q c q b p c p a q p h =?==?=?= 3. 面积关系 ch ab = 4. 其它 22 b a q p = 通过以上关系,我们可以分析出在ABC Rt ?的六条线段q p h c b a 、、、、、中知道任意两线段的长，可以求出其它线段的长。下面我们举出几种题型。 例1 如上图CD 是ABC Rt ?的斜边AB 上的高。 （1）已知：h b a 求：,4,3== 解：AB CD ACB ⊥?=∠,90 5 125 43222==∴==+=+=∴2c ab h ch ab b a c
《比例线段》教案 教学目标 1、了解相似图形、相似多边形、相似比及比例线段等概念． 2、了解比例线段的相关概念及性质． 3、理解黄金分割的相关概念． 教学重难点 比例线段的性质及其应用． 教学过程 知识点点拨 相似多边形： 从几何直观上来说，两个图形如果形状一致，而大小不同，则称这两个图形相似，具体到多边形，称之为相似多边形.从严谨定义上来说，如果两个多边形各边成比例，各角相等，则称这两个多边形为相似多边形.相似多边形对应边长度的比叫做相似比或相似系数． 比例线段： 1、线段的比：如果用同一长度单位量得两条线段a 、b 的长度分别为m ，n ，则m ∶n 就是线段a ，b 的比，记作a ∶b ＝m ∶n 或a m b n =. 2、比例线段：四条线段，如果其中两条线段的比与另外两条线段的比相同，则称这四条线段成比例线段，简称比例线段.例如线段a 、b 、c 、d ，如果 a c b d =，则称线段a 、b 、 c 、 d 成比例线段，这里要注意，a 、b 、c 、d 必须按顺序写出，不能写成 b c a d =或a d b c =. 3、比例外项、比例内项、比例中项： 若 a c b d =，则称a 、d 为比例外项，b 、 c 为比例内项，如果b ＝c ，则称b 为a 、c 的比例中项. 比例性质： 1、基本性质：如果 a c b d =，则根据等式的基本性质，两边同时乘以bd 得ad b c =. 2、合比性质：如果a c b d =，则根据等式的基本性质，两边同时加上1或－1得a b c d b d ±±=.
3、等比性质：如果a c m b d n ===…(0b d n +++≠…)，则a c m a c m b d n b d n +++====+++………，运用这个性质时，一定要注意0b d n +++≠…的条件. 知识点4 黄金分割： 把线段AB 分成两条线段AP 、PB (AP ＞PB )，如果AP 是线段PB 和AB 的比例中项，则线段AP 把线段AB 黄金分割，点P 叫做线段AB 的黄金分割点. 平行线截线： 基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边延长线)，所得的对应线段成比例． 典型例题点拨 例1、已知34=b a ，且b 是a 、c 的比例中项，则=c b _______，若a 是b 、 c 的比例中项，则=c b _________. 点拨：解此题要注意两点，1、比例条件的常规使用方法.2、比例中项的意义. 解答：∵3 4=b a ，可令4a x =，则3b x =，又∵b 是a 、c 的比例中项，∴224312b ac x x x ==?=，∴21223b x x =±=±，∴ 232333b x c x ==；若a 是b 、c 的比例中项，则2a bc =，即22(4)3a x b c x ===163x ，∴1616339 x b c x ==. 例2、已知35a c e b d f ===，求：3232a c e b d f -+-+的值. 点拨：注意到 3232a c e b d f -+-+分子分母中的各项系数是一致的，可联想到比例的等比性质. 解答：∵35a c e b d f ===，∴323325a c e b d f -===-，由等比性质可得323325 a c e b d f -+=-+. 例3、已知118 x y x +=，求x y . 点拨：本题考查比例的基本性质，易错点是由38x y =化成比例式时错成 38 x y =，解题关键是运用比例的基本性质，本题还可以运用合比性质求解.
证明线段比例式或等积式的方法 （一）比例的性质定理： （二）平行线中的比例线段： ①平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线所得对应线段成比例（图1、2）。 ②平行于三角形的一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例（图 3、4）。 ③平行于三角形的一边，且与其他两边（或两边的延长线）相交的直线所截得的三角 形的三边与原三角形的三边对应成比例（图3、4）。 （三）三角形中比例线段： ①相似三角形中一切对应线段（对应边、对应高、对应中线、对应角平分线、对应周长…）的比都相等，等于相似比。 ②相似三角形中一切对应面积的比都相等，等于相似比的平方。 ③勾股定理：直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和（图5）。 ④射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项（图5）。 直角三角形上任一直角边是它在斜边上的射影与斜边的比例中项（图5）。 ⑤正弦定理：三角形中，每一边与对角的正弦的比相等（图6）。即/sinA=b/sinB=c/sinC ⑥余弦定理：三角形中，任一边的平方等于另两边的平方和减去这两边及其夹角余弦乘积
的二倍（图6）。 如a2 = b2+c2 - 2 b·c·cosA （四）圆中的比例线段： 圆幂定理： ①相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段的积相等（图7）。 （推论：若弦与直径垂直相交，则弦的一半为它分直径所成两线段的比例中项。图8） ②切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长为这点到割线与圆交点的两线段长的比例中项（图9）。 ③割线定理从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的两线段长的积相等（图10）。 （五）比例线段的运算： ①借助等比或等线段代换。 ②运用比例的性质定理推导。 ③用代数或三角方法进行计算。
《比例的性质》练习题 一、填空题 1.如果线段a=3，b=12，那么线段a 、b 的比例中项x=___________。 2、线段a=2cm ，b=3cm ，c=1cm ， 那么a 、b 、c 的第四比例项d=____ 。 3.在x ∶6= (5 +x )∶2 中的x = ；2∶3 = ( 5-x )∶x 中的x = . 4.若9810z y x ==, 则 ______=+++z y z y x . 5.若a ∶3 =b ∶4 =c ∶5 , 且a +b -c =6, 则a = ，b = ，c = . 6.已知x ∶y ∶z = 3∶4∶5 , 且x +y +z =12, 那么x = ，y = ，z = . 7.若43===f e d c b a , 则______=++++f d b e c a . 8.已知x ∶4 =y ∶5 = z ∶6 , 则 ①x ∶y ∶z = , ② (x+y )∶(y+z )= . 9.若322=-y y x , 则_____=y x . 10、若0622=--y xy x ，则=y x : . 11.如图，已知 AB ∶DB = AC ∶EC ，AD = 15 cm , AB = 40 cm , AC = 28 cm , 则 AE = ； 12.已知，线段a = 2 cm ，)32(-=c cm ，则线段a 、c 的比例 中项b 是 . (第11题图) 二、选择题 1.已知一矩形的长a =1.35m ，宽b =60cm ，则a ∶b 的值为（ ） (A)9∶400 (B)9∶40 (C)9∶4 (D)90∶4 2.下列线段能成比例线段的是（ ） (A)1cm,2cm,3cm,4cm (B)1cm,2cm,22cm,2cm (C)2cm,5cm,3cm,1cm (D)2cm,5cm,3cm,4cm 3.如果线段a =4，b =16，c =8，那么a 、b 、c 的第四比例项d 为（ ） (A)8 (B)16 (C)24 (D)32 4.已知32=b a ，则b b a +的值为（ ） (A)23 (B)34 (C)35 (D)5 3 5.已知x ∶y ∶z =1∶2∶3，且2x+y -3z = -15，则x 的值为（ ） (A)-2 (B)2 (C)3 (D)-3 6.在比例尺为1∶38000的南京交通游览图上，玄武湖隧道长约为7cm ，它的实际长度约为（ ） (A)0.226km (B)2.66km (C)26.6km (D)266km 7.某班同学要测量学校升国旗的旗杆高度，在同一时刻，量得某一同学的身高是1.5米，影长是1米，旗杆的影长是8米，则旗杆的高度是（ ） (A)12米 (B)11米 (C)10米 (D)9米 8.已知点C 是AB 的黄金分割点(AC >BC)，若AB=4cm ，则AC 的长为（ ） (A)(2 5 –2)cm (B)(6-2 5 )cm (C)( 5 –1)cm (D)(3- 5 )cm A C D B E
l1 l2 l3m n F E D C B A 23.1.2 平行线分线段成比例 （新授课 1课时） 一、教学内容： ① 平行线等分线段定理； ② 平行线分线段成比例定理； ③ 平行线分线段成比例推论. 二、教学目标： 1、 知识与技能：掌握平行线分线段成比例的基本定理及推论，并能用其解题； 2、 过程与方法：掌握基本定理的推导过程并能以之解题； 3、 情感态度和价值观：培养认识事物从一般到特殊的认知过程，培养欣赏数学表达式 的对称美。 三、教学重、难点： 1、 重点：平行线分线段成比例定理、推论及应用； 2、 难点：定理的推导证明。 四、教具：普通教室/多媒体计算机/三角板 五、教法：讲练结合法 六、教学过程： 活动一：复习旧课 成比例线段： a) 概念，强调顺序性：(比例式：a:b=c:d,等积式：ad=bc) b) 比例的性质： 基本性质：a c ad bc b d =?= 合比性质：a b c d b d ++= 分比性质：a b c d b d --= 合分比性质：a b c d a b c d ++=-- 等比性质： 123123123123 123(0)k k k k k a a a a a a a a b b b b b b b b b b b b ++++==== =++++≠+++ + 活动二：创设情境，引入新课 问题1：一组等距离的平行线截得直线m 所得的线段相等，那么在直线n 上所截得的线段有什么关系呢 即：已知l 1∥l 2∥l 3 AB=BC 求DE 与EF 的关系 （DE=EF ） 推导见右图 （平移m 证全等） （引导得）结论：一组等距离的平行线在直线m 上所截得的线段相等，那么在直线n 所截得的线段也相等（平行线等分线段定理）。 那如果所截得的线段不等呢这就是我们今天要研究的内容；平行线分线段成比例定理. 活动三：分析探索，新知学习 问题2：已知l 1∥l 2∥l 3∥l 4 AB=BC=CD,可知EF=FG=GH ，那么擦出其中1条如l 3后有何结论 l1l2l3m n m'C'(B') A'F E D C B A
专题复习一 线段比例关系的证明和应用 证明线段成比例，一般先根据比例式确定相似三角形，然后用相似三角形的性质得出线段成比例.若根据比例式不能确定相似三角形，则利用等量代换进行条件转化． 1.如图所示，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 边上的点，DE ∥BC ，BE 与CD 相交于点F ，则下列结论中，一定正确的是(A ). （第1题）（第2题）（第3题） （第4题） 2.如图所示，在△ABC 中，D ，E 分别为AC ，BC 边上的点，AB ∥DE ，CF 为中线，若AD=5，CD=3，DE=4，则BF 的长为(B ). 3.如图所示，弦AB 和CD 相交于⊙O 内一点P ，则下列结论中不一定成立的是(B ). A. PD PA =PB PC B.PA ·PD=PB ·PC C. PD PB =PA PC D.PA ·PB=PC ·PD 4.如图所示，在△ABC 中，BF 平分∠ABC ，AF ⊥BF 于点F ，D 为AB 的中点，连结DF 并延长交AC 于点E.若AB=10，BC=16，则线
段EF 的长为(B ). A.2 B.3 C.4 D.5 5.如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC ，P 是AD 边上一点，连结PB ，PC ，且AB 2=AP ·PD ，则图中有 3 对相似三角形． （第5题） （第6题） （第7题） 6.如图所示，在△ABC 中，AD 是角平分线，∠ADE=∠B ，若AE=4，AB=5，则AD= 25 . 7.如图所示，在Rt △ABC 中，∠C=90°，D 是AB 上一点，作DE ⊥BC 于点E ，连结AE ，若BE=AC ，BD=25，DE+BC=10，则线段AE 的长为 42 ． 8.如图所示，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，∠AED=∠B ，射线AG 分别交线段DE ，BC 于点F ，G ，且AC AD =CG DF . （第8题） （1）求证：△ADF ∽△ACG. （2）若AC AD =21，求FG AF 的值. 【答案】(1)∵∠AED=∠B ，∠DAE=∠DAE ，∴∠ADF=∠C.又∵ AC AD =CG DF ，∴△ADF ∽△ACG. (2)∵△ADF ∽△ACG ，∴
《成比例线段》教案教学目标 1.了解两条线段的比和比例线段的概念； 2.能根据条件写出比例线段； 3.回运用比例线段解决简单的实际问题. 教学重点、难点 教学重点：比例线段的概念. 教学难点：例题中要求根据具体问题发现等量关系，找出比例式，有一定的隐蔽性，是本节教学的难点. 知识要点 1.两条线段的长度的比叫做两条线段的比. 2.四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d的比，即a b= c d，那么这四条 线段a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段. 重要提示 1.用方程思想寻找几何图形中四条线段成比例是常用方法.
2.四条线段成比例可以解决一些实际问题，如地图上的某两地之间的距离.教学过程 一、复习引入 1.列举四个数成比例，并写出比例式，指出比例内项、外项、第四比例项. 2.说出比例的基本性质.由ad＝bc可推出哪些比例式 3.练习：(1)若3x＝4y，求x y、 x x－y、 x－2y x＋y的值. (2)若a＋b a＝ 5 3，求 a－2b b的值. (3)x:y:z＝2:3:4，求 x－y＋z 2x＋3y－z的值. (4)已知a:b:c＝3:4:5，且2a＋3b－4c＝－1，求2a－3b＋4c的值. (5)已知线段AB＝15cm，CD＝20cm.求AB:CD的值. 二、设置问题，探究新课 如何定义两线段的比呢什么是比例线段 在同一长度单位下，a，b，两线段长度的比叫做这两线段的比.记为a：b或a b
注意：(1)两线段是几何图形，可用它的长度比来确定； (2)度量线段的长，单位多种，但求比值必需在同一长度单位下比值一定是正数，比值与采用的长度单位无关. (3)表示方式与数字的比表示类同，但它也可以表示为AB :CD . 比例线段：一般地，四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 比，即a b =c d ，那么这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段.(老教材定义：如果四条线段的长度成比例，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段) 三、模仿与应用 例题：已知线段a =10mm ，b =6cm ，c =2cm ，d =3cm.问：这四条线段是否成比例为什么 答：这四条线段成比例 ∵a =10mm=1cm ∴a c ＝12 ，d b ＝36 ＝12 ∴a c ＝d b ，即线段a 、c 、d 、b 是成比例线段. 想一想:是否还可以写出其他几组成比例的线段.
成比例线段练习题 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
《比例的性质》练习题 一、填空题 1.如果线段a=3，b=12，那么线段a 、b 的比例中项x=___________。 2、线段a=2cm ，b=3cm ，c=1cm ， 那么a 、b 、c 的第四比例项d=____ 。 3.在x ∶6= (5 +x )∶2 中的x = ；2∶3 = ( 5-x )∶x 中的x = . 4.若9810z y x ==, 则 ______=+++z y z y x . 5.若a ∶3 =b ∶4 =c ∶5 , 且a +b -c =6, 则a = ，b = ，c = . 6.已知x ∶y ∶z = 3∶4∶5 , 且x +y +z =12, 那么x = ，y = ，z = . 7.若43===f e d c b a , 则______=++++f d b e c a . 8.已知x ∶4 =y ∶5 = z ∶6 , 则 ①x ∶y ∶z = , ② (x+y )∶(y+z )= . 9.若322=-y y x , 则_____=y x . 10、若0622=--y xy x ，则=y x : . 11.如图，已知 AB ∶DB = AC ∶EC ，AD = 15 cm , AB = 40 cm , AC = 28 cm , 则 AE = ； 12.已知，线段a = 2 cm ，)32(-=c cm ，则线段a 、c 的比例 中项b 是 . (第11题图) 二、选择题 1.已知一矩形的长a =，宽b =60cm ，则a ∶b 的值为（ ） (A)9∶400 (B)9∶40 (C)9∶4 (D)90∶4 2.下列线段能成比例线段的是（ ） (A)1cm,2cm,3cm,4cm (B)1cm,2cm,22cm,2cm (C)2cm,5cm,3cm,1cm (D)2cm,5cm,3cm,4cm 3.如果线段a =4，b =16，c =8，那么a 、b 、c 的第四比例项d 为（ ） A C D B E
成比例线段 一、学生知识状况分析 相似图形是现实生活中广泛存在的现象，在小学时学生就接触过比例的知识，在七年级下册时学生已学习了全等图形（其实全等图形就是相似图形的一个特例）。所以学生已经具备一些知识基础、活动经验基础等，学生在学习线段的比时不会感到很困难。 二、教学任务分析 （一）教学知识点 1、了解相似形、线段的比概念； 2、会求两条线段的比, 应用线段的比解决实际问题。 （二）能力训练要求 通过现实情境，进一步发展学生从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的能力，培养学生的数学应用意识，体会数学与自然、社会的密切联系。 （三）情感与价值观要求 有关比例的计算，让学生懂得数学在现实生活中的作用，从而增强学生学好数学的信心；通过解答实际问题，激发学生学数学的兴趣，增长社会见识； 在与他人的共同探索、讨论问题的过程中，增强合作交流的意识。 教学重点：理解线段比的概念及其求解。 教学难点：求线段的比，注意线段长度单位要统一。 教学方法：探索、发现法 教学准备：多媒体课件
三、教学过程分析 本节课设计了六个教学环节：第一环节：设置情境，引入新课；第二环节：新课讲解；第三环节：随堂练习；第四环节：想一想；第五环节：回顾与思考；第六环节：布置作业。 第一环节 设置情境，引入新课 活动内容：通过用幻灯片展示生活的的图片，引入本章的学习内容—相似图形。 活动目的：引发学生思考相似图形的特征，激发学生的学习兴趣。 实际效果：学生们都很兴奋，对学习充满了好奇心。 第二环节：新课讲解 活动内容： 请在下面图形中找出形状相同的图形？你发现这些形状相同的图形有什么不同？ 2. 引入线段的比:如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD 的长度分别是m ，n ,那么就说这两条线段的比（rat io ）AB:CD =m:n ,或写成n m CD AB =其中,AB,CD 分别叫做这个线段比的前项和后项.如果把 n m 表示成比值k,那么k CD AB =,或AB=k·CD .两条线段的比实际上就是两个数的比。 五边形 ABCDE 与五边形A ’B ’C ’D ’E ’形状相同，AB=5cm ，A ’B ’=3cm 。AB: A ’B ’=5 : 3，就是线段AB 与线段A ‘B ’的比。 这个比值刻画了这两个五边形的大小关系。
第四章 图形的相似 4.1 成比例线段 第1课时 线段的比和成比例线段 教学目的： 1、知道线段的比的概念。理解成比例线段的概念 2、会计算两条线段的比。 3、掌握成比例线段的判定方法。 重点：线段的比与成比例线段的概念。 教学过程： 一、自主预习 （一）阅读课本 ，思考并回答下列问题： 1、一般地，如果选用 量得两条线段AB ，CD 的长度分别为m,n ，那么这两条线段的比就是他们长度的比，即AB ∶CD= m:n,或写成 ,n m CD AB =其中，线段AB ，CD 分别叫做这个线段比的前项和后项.如果把n m 表示成比值k,那么CD k AB k CD AB ?==或,。 （1）在比b a 或a ∶ b 中，a 是 ，b 是 。 ⑵两条线段的 要统一 。 ⑶在同一单位下线段长度的比与选用的 无关。 ⑷线段的比是一个没有 的数。 （二）比例尺 1、在地图上或工程图纸上，图上长度与实际长度的比通常称为比例尺。 2、比例尺为1：50000，意思为： 。 （三）成比例线段的概念 1、一般地，在四条线段中，如果 等于 的比，那么这四条线段叫做成比例线段。（举例说明） 如： 2、四条线段a,b ,c,d 成比例，有顺序关系。即a,b,c,d 成比例线段，则比例式为：a:b=c:d ；a,b, d,c 成比例线段，则比例式为：a:b=d:c 3思考：a=12,b=8,c=6,d=4成比例吗？a=12,b=8,c=15,d=10呢？ 三、例题解析： 例1、A 、B 两地的实际距离AB= 250m ，画在一张地图上的距离A'B'=5cm,求该地图的比例尺。 例2：已知，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°,∠A ＝30°,斜边AB ＝2。
九年级数学 平行线分线段成比例 一、教学目标 1．知识目标： 了解平行线分线段成比例定理 2．能力目标： 掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力 二、教学过程分析 1.复习提问 （1）什么叫比例线段？ 答：四条线段 a 、b 、c 、d 中，如果 a ：b =c ：d ，那么这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例的线段，简称比例线段. （2）比例的基本性质？ 答：如果 a ：b =c ：d ，那么ad =bc. 如果 ad =bc ，那么 a ：b =c ：d . 如果 a ：b =c ：d ，那么(a-b)：b =(c-d)：d; (a+b)：b =(c+d)：d. 2.引入新课 做一做 在图4-6中，小方格的边长均为1，直线l 1 ∥ l 2∥ l 3，分别交直线m ，n 与格点A 1 ，A 2，A 3，B 1，B 2，B 3. 图4-6 （1）计算 的值，你有什么发现？ （2）将2l 向下平移到如图4-7的位置，直线m,n 与2l 的交点分别为21,B A 你在问题（1）中发现结论还成立吗？如果将2l 平移到其它位置呢？ （3）在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，截得的线段成比例吗？ 12122323B B B B A A A A 与
3.分组讨论，得出结论 平行线分线段成比例定理： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 4.想一想 （一）如果把图1中l1 , l2两条直线相交，交点A刚落到l3上，如图2所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？ （二）如果把图1中l1 , l2两条直线相交，交点A刚落到l4上，如图2（2）所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？
证明线段成比例的方法与技巧 安徽李师 证明线段成比例的问题，思路灵活，涉及的定理较多，辅助线的添加方法亦很巧妙，常用的方法有以下几种． 1．三点定形法：利用分析的方法，由欲证的比例式或等积式转化为比例式．寻找相似三角形，这是证明线段成比例问题最基本的方法之一，一般是找到以四条成比例线段为边的两个三角形，再证明这两个三角形相似． [例1]已知：如图1，∠ABC=∠ADE．求证：AB·AE=AC·AD 等式左边的三点A、B、C构成△ABC，等式右边的三点A、D、E构成△ADE．因此，只要证明△ABC∽△ADE，本题即可获证． 由已知∠ABC=∠ADE，∠A是公共角，易证△ABC∽△ADE． 证明：略． 号两边的分母，三个字母A、D、E构成△ADE． 2．等量代换法：当需要证明的成比例的四条线段不能构成相似三角形时，往往需要进行 等量代换，包括“线段的代换”或利用“中间比”进行代换． [例2]已知：如图2，在Rt△ABC中有正方形H EFG， 点H、G分别在AB、AC上，EF在斜边BC上．求证：EF2=BE·FC． 上，无论如何不能构成相似三角形，因此不能直接应用三点定形法． 此时应联想到正方形H EFG的四条边都相等的隐含条件，用H E代换等式左边的
△H BE∽△FCG使本题获证． 证明：略． 这是利用线段进行等量代换的典型例题，不难看出，这种代换方法往往需要含有等腰三角形、平行四边形、正三角形、正方形、线段中点等已知条件或隐含条件． [例3]已知：如图3，AC是ABCD的对角线，G是AD延长线上的一点，BG交AC于 F，交CD于E． 分析：由B、E、F、G四点共线可知，本题既不能 直接应用平行截线定理或三点定形法，又找不到与比例式中线段相等的线段进行等量代换． 代换是解决本题的关键．证明：略． 这是利用中间比进行代换的典型例题，这种代换往往出现于平行截线定理以及相似三角形的综合应用． 3．辅助平行线法：利用辅助平行线来转移比例是证明线段成比例的有效方法，这种方法经常通过平行线分线段成比例定理和它的推论来实现． [例4]已知：如图4，在△ABC中，D是AC上一点，延长CB到E，使BE=AD，ED交AB于F． 分析：观察比例式的右边三点A、B、C可构成△ABC， 而左边的三点D、E、F不能构成三角形，因此不能直接利用相似三角形获证． 证明：略．
平行线分线段成比例 知识梳理 平行线分线段成比例定理及其推论 1. 平行线分线段成比例定理 如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则 BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB AC DE DF = . l 3 l 2l 1F E D C B A 2. 平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则 AD AE DE AB AC BC == A B C D E E D C B A 3.比例线段的性质 等比性质：如果 )0(≠++++====n f d b n m f e d c b a ， 那么 b a n f d b m e c a =++++++++ 合、分比性质： a c a b c d b d b d ±±=?=． 一、填空题 1. 比例尺为1：50000的地图上，两城市间的图上距离为20cm ，则这两城市的实际距离 是 km. 2. 图纸上画出的某个零件的长是32 mm ，如果比例尺是 1∶20，这个零件的实际长是 . 3. 正方形的边长与对角线的比为： . 4. 已知b 是a ，c 的比例中项，且a=3cm ，c=6cm ，则b= cm
5. 如果线段a=3，b=12，那么线段a 、b 的比例中项x=___________. 6. 线段a=2cm ，b=3cm ，c=1cm ， 那么a 、b 、c 的第四比例项d=____ . 7. 在x ∶6= (5 +x )∶2 中的x = ；2∶3 = ( 5-x )∶x 中的x = . 8. 若2:3:=y x ，2:3:=z y . 则=z y x :: . 9. 若a ∶3 = b ∶4 = c ∶5 , 且a +b -c =6, 则a = ，b = ，c = . 10. 已知x ∶y ∶z = 3∶4∶5 , 且x +y +z =12, 那么x = ，y = ，z = . 11. 已知x ∶4 = y ∶5 = z ∶6 , 则 ①x ∶y ∶z = , ② (x+y )∶(y+z )= . 12. 若4 3 ===f e d c b a , 则______=++++f d b e c a . 13. 若9810z y x ==, 则 ______=+++z y z y x . 14. 若322=-y y x , 则_____=y x . 15. 如图，已知 AB ∶DB = AC ∶EC ，AD = 15 cm , AB = 40 cm , AC = 28 cm , 则 AE = . 16. 若P 为AB 的黄金分割点，且AP ＞PB ，若AB ＝8cm ，则AP ＝_______. PB ＝ . 二、选择题 1. 已知一矩形的长a =1.35m ，宽b =60cm ，则a ∶b 的值为（ ） A. 9∶400 B. 9∶40 C. 9∶4 D. 90∶4 2. 下列线段能成比例线段的是（ ） A.1cm,2cm,3cm,4cm. B.1cm,2cm,22cm,2cm. C.2cm,5cm,3cm,1cm. D.2cm,5cm,3cm,4cm 3. 下面4条线段，不能成比例的是（ ） A ．4,2,6,3====d c b a B ．3,6,2,1====d c b a C ．10,5,6,4====d c b a D ．32,15,5,2====d c b a 4. 如果线段a =4，b =16，c =8，那么a 、b 、c 的第四项是（ ） A. 8 B. 16 C. 24 D. 32 5. 在比例尺为1：400000的地图上，量得AB 两地距离是24cm ，则A 、B 两地实际距离 （ ） A 、960m B 、9600m C 、96000m D 、960000m 6. 某班同学要测量学校升国旗的旗杆高度，在同一时刻，量得某一同学的身高是1.5米， 影长是1米，旗杆的影长是8米，则旗杆的高度是 （ ） A 、12米 B 、11米 C 、10米 D 、9米 7. 两直角边为3和4的直角三角形的斜边和斜边上高线的比是 （ ） A. 5:3 B. 5:4 C. 5:12 D. 25:12 8. 已知 32=b a ，则b b a +的值为 （ ） A. 23 B. 3 4 C. 35 D. 53 9. 已知x ∶y ∶z =1∶2∶3，且2x+y -3z = -15，则x 的值为 （ ） A C D B E
教师姓名 学生姓名 年 级 上课日期 2014/6/12 学 科 数学 课题名称 比例线段（一） 计划时长 2h 教学目标 1、掌握比例的性质，了解黄金分割的意义。 2、理解两条线段的比和比例线段的概念。 教学重难点 重点：比例线段的有关性质 难点：用比例线段的有关性质进行证明或计算 一 知识点梳理 知识点1 两条线段的比 如果d c b a ::=（或 d c b a =），那么就说a ，b ，c ， d 叫做成比例. 两条线段的长度的比叫做两条线段的比. 【注意】（1）两条线段的比，就是在同一个单位下它们的长度比.因此，比与所选线段的长度单位无关，但必须选定同一长度单位. （2）由于b a ,的长度都是正数，所以两条线段的比是一个正数. （3）两条线段的比是有顺序的，不可颠倒，除了b a =时外，a b b a :≠ :，但b a 与a b 互为倒数. 【例1】如图所示，已知M 为线段AB 上一点，5:3:=MB AM ，且AB=16cm ，求线段AM 、BM 的长度. 【例2】“若m b cm a 6,6==，则两线段b a ,的比为1.”请你判断这种说法是否正确. 知识点2 成比例线段 线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即 d c b a =，那么这四条线段a ，b ， c ， d 叫做成比例线段，简称比例线段. 【例3】判断下列各组长度的线段是否成比例？ （1）2cm ，3cm ，4cm ，1cm （2）1.5cm ，2.5cm ，4.5cm ，6.5cm （3）1.1cm ，2.2cm ，3.3cm ，4.4cm （4）1cm ，2cm ，2cm ，4cm
一三点定型法：三点定型法即通过所证的比例式确定三角形的相似，例如DF AC DE AB =，则A 、B 、C 三点确定△ABC ，D 、E 、F 三点确定△DEF ，则证明△ABC ∽△DEF 二等线段代换法：等线段代换法即通过将已证比例中的线段换成与之相等的线段，再利用其他相似证明方法确定三角形的相似，例如 DF AC DE AB =且CD=AB ，则=DF AC DE CD ，再证△ACD 与△DEF 的相似 三等比代换法：当没有等量线段的转换时，可以选择用等比例代换找准相似。例如 ，，PQ MN DF AC PQ MN DE AB ==则DF AC DE AB =。则证明△ABC ∽△DEF 四等积代换法： 用射影定理找中间积，再进行等量代换。 【例1】（1）如图所示，AD 是直角三角形ABC 斜边上的高，DE ⊥DF ，且DE 和DF 交AB 、AC 于E 、F.求证：.AF BE AD BD 知识点睛 典型例题 模块一 比例式的证明方法相似—— 比例线段的证明方法
（2）如图，在四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，且∠AED=∠B=∠C=60°，过点E 作EM ⊥AD 于M 。①求证：AB·DE=BE·AE ；②求BC EM 的值 （3）如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC ，E 为AC 中点，ED 的延长线交AB 的延长线于F ，求证：.AF DF AC AB = （4）如图，在矩形ABCD 中，E 是CD 的中点，BE ⊥AC 且交AC 于F ，过F 作FG ∥AB ，交AE 于G.求证：AG 2=AF FC. 【巩固】（1）梯形ABCD 中，AD//BC ，AC 与BD 相交于O 点，作BE//CD,交CA 的延长线于点E.求证：OC 2=OA.OE
《成比例线段》 学生的知识技能基础： 这节课是“成比例线段” 的第二课时，学生已经通过第一节课的学习，观察了大量的图片，列举了许多现实生活中的情境， 认识了线段的比的知识，知道了选用同一单位长度量线段的长度，从而求出两条线段的比。也学会了运用比例线段的基本性质解决实际问题，并通过图片创设的问题情境，重现了现实生活中的比例模型，初步掌握了解决有关比的问题的方法。在这个基础上，进一步来学习成比例线段的有关性质，学生不会感到陌生，反而容易接受本节课的继续学习。 学生活动经验基础： 上一节课，学生已经收集了一些相似图形的图片，如大小不同的两张中国地图、国旗，同底相片等。已经感受了数学知识源于生活，用于生活。各小组展示并讨论过线段比的事例，具有了一定的合作交流的基础和能力。 【知识与能力目标】 了解线比例线段的基本性质；理解并掌握比例的基本性质及其简单应用；发展学生从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的能力。 【过程与方法目标】
经历运用线段的比解决问题的过程，在观察、计算、讨论、想象等活动中获取知识。【情感态度价值观目标】 通过本节课的教学，培养学生的数学应用意识，体会数学与现实生活的密切联系。 【教学重点】 理解线段比的概念及其求解。 【教学难点】 求线段的比，注意线段长度单位要统一。 课件。 一、情境导入 1、看一看，想一想。这棵大树有多高？ 小敏思考后,她只用一根卷尺, 测出了大树影子BC,自己的身高A1 B1及影子B1 C1三个数据,然后通过计算,立刻得出了树高AB.你能行吗?这里需要什么知识？ 【设计意图】：通过实际生活中的例子，让学生在上新课之前就对新的知识产生了浓厚的兴趣。这样更利于新课的进行。 2、想一想，算一算： 这幅图片中的实际自然景观有多大? （已知中国自然景观卫星影像图1：18 700 000）