1. 证明周期信号)(t f 的傅里叶级数可表示为如下指数形式
)()
(11n
t
jn e
n
F t f 其中,...,
,
)(1)
(0
11n
dt e
t f T
n
F T t
jn 2. 证明在能量误差最小准则下，用)sin cos (2
1
11
10
t n q t n p p n N
n n 近似表示周
期函数)(t f ，则N p p p ,...,,10和N q q ,...,1如何取值？3. 证明：
①实信号频谱共轭对称性
dt e
t f F t
j )()
()
(
)(*
*
)(F dt e
t f t
j ②具有共轭对称频谱特性的信号一定是实信号4. 设)(t x 为因果信号，即0t
时，0)
(t x 。记)(t x 的傅里叶变换
)(X 的实部
和虚部分别为)(R X 和)(I X ：
)
()
()
(I R jX X X 证明)(R X 和)(I X 互成Hilbert 变换对。5. 证明采样定理
：设)(t x 是带宽有限信号，其最高频率为
h f 。采样频率为
s
s
T f 1。则满足h s f f 2，)(t x 可以用采样序列)(n x 完全地表示为
s
s s n
s T nT t Sa nT x T t x )()(1
)
(6. 已知信号：)10sin(5.0)6sin()(t t t x ，根据下列不同条件采用
FFT 算法
分别计算)(t x 的幅度谱，并进行对比。（1）采样频率Hz f s 20，取32N 点（2）采样频率Hz f s 20，取64N 点（3）采样频率Hz f s
50，取64N
点
7. 设一随机过程的自相关函数|
|8
.0)(m m r ，,...1,0m ，现取N ＝100点数据来
估计其自相关函数)(?m r
，在m 为下列值时，求)(?m r 对)(m r 的估计偏差：
(1) m ＝0 (2)m=10 (3)m=50 (4) m=80
8. 一段记录包含N 点抽样，抽样频率Hz f s 1000。用平均法改进周期图估计时将数据分成了互不交叠的
K 段，每段数据长度为
M ＝N/K 。假定在频谱中有两
个相距为)(04.0rad 的谱峰，为要分辨它们，M 应取多大？
9. 解释DFT 计算连续时间信号的几个问题：混叠现象、频率泄漏、栅样效应和频率分辨力。
10. 举例说明自相关函数的应用。
11. 说明连续傅立叶变换、拉普拉斯变换和离散傅立叶变换、Z 变换之间关系。
12．一个AR （2）过程如下：
)
()
2()
1()
(21n u n x a n x a n x 求该模型的稳定条件。
13. 一个平稳随机过程信号的前四个自相关函数是：6875
.0)
3(,625.0)
2(,5.0)
1(,1)
0(x x x x r r r r 且)()(m r m r x x 。
试利用这些自相关函数分别建立一阶、
二阶及三阶AR 模型，给出模型系数及对
应的均方误差。（提示求解Yule-Walker 方程）。14. 设有一ARMA （1,1）的转移函数为
1
1)1(1)1(1)
(z
a z
b z H 现利一个无穷阶的)(AR 模型来近似，其转移函数为
...
)2()1()
0(1
)
(2
1
z c z
c c z H AR 试证明：1
)]1()][1()
1([0
1
)
(1
k b b a k k c k 15. 证明AR(p)模型与p 阶前向线性预测器的等价性。16. 例假设信号满足一阶AR 过程
)
()
1(8.0)
(n w n s n s 观测方程：)
()()
(n v n s n x 且)(36.0)(m m R ww ，0)
(m R wv ，)
()
,(m n m n R vv 试用数据)0
)((m k
k x 确定)(n s 的Kalman 滤波估计。
17. 说明Kalman 滤波与winner 滤波的关系，并说明Kalman 滤波递推关系式
的物理含义。
18. 传统谱估计的优缺点？模型谱估计的特点？19. 已知平稳各态遍历随机信号某样本观测值
3
,2,1,0;2,1,1,2]
[k k x 1）分别利用自相关法和周期图法计算其功率谱估值)
(f P x 2）简述经典功率谱估计中提高估值质量的措施。20. 说明图示自适应滤波器的工作原理，并采用
MATLAB 进行编程。
算例：)()
2cos()
(t n t t x ，)25.0,0(~)(N t n ，LMS 算法
21. 证明图示模型可以完成AR 模型系数的计算
22. 对图示一步预测器，试用输入信号的相关系数求
1b 、2b 的最佳值。
)
(n x )
(n y 自适应算法
)
(n e z
-1
p
w z
-1
z
-1
1
w )(n d 1
z
)
(n x )
(n e 1
21z
b b )
(?)
(n s n y z
)
(n d )
()()(n N n s n x )
(n e 滤波器
自适应算法
23. 小波分析和短时傅立叶分析主要的不同点是什么？如何理解小波变换的“变
焦”功能？
24. 1）描述正交小波变换快速算法
(Mallat)的分解与重构过程及小波级数系数的
内涵；2）说明小波变换去噪原理，并利用
MATLAB 编程举例。
25. 在MATLAB 环境下，加载sumsin 信号，1)绘制原始信号波形，2）使用“db4”小波进行5尺度的一维小波分解，绘制各尺度下低频部分的系数曲线，观察其消噪效果。
26. 基于Gabor 函数，证明STFT 的中测不准原理：4
/1f
t
27. 对于线性可分问题，证明单层感知器的收敛性。
28. 设计一BP 神经网络，用BP 算法和S 函数研究下列函数的逼近问题。
（1）x y /1，100
1x （2）x y
sin ，2
/0
x 设计两组输入数据，一组作为训练集，一组作为测试集。采用MATLAB
编程，1）研究隐层神经元个数对逼近效果的影响，2）检验泛化性能（内插值
性能和外插值性能）29. 用BP 算法拟合函数2
x
e
y
，
10x
。在y 函数曲线上均匀取n 个采样点，
利用这些样本对BP 网络进行训练。其中，隐含层采用S 型激活函数，而输出层
采用线性激活函数。
1）推导信息的正向传递和误差的反向传播公式2）编程分析曲线逼近效果。
1w 2w 10
w 1
v 2v 10
v x
y