常州市第一中学2020-2021学年高考数学押题试卷含解析
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．为得到的图象，只需要将的图象（ ）
A ．向左平移个单位
B ．向左平移个单位
C ．向右平移个单位
D ．向右平移个单位
2．要得到函数2sin 26y x π?
?=+ ???
的图象，只需将函数2cos2y x =的图象 A ．向左平移
3
π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度 C ．向左平移
6π个单位长度 D ．向右平移6
π个单位长度 3．已知集合A ＝{0，1}，B ＝{0，1，2}，则满足A ∪C ＝B 的集合C 的个数为（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
4．已知,αβ是空间中两个不同的平面，,m n 是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是（ ） A ．若,m n αβ??，且αβ⊥，则 m n ⊥
B ．若,m n αα??，且//,//m n ββ，则//αβ
C ．若,//m n αβ⊥，且αβ⊥，则 m n ⊥
D ．若,//m n αβ⊥，且//αβ，则m n ⊥
5．已知数列{}n a 是公比为2的正项等比数列，若m a 、n a 满足21024n m n a a a <<，则()21m n -+的最小值为（ ）
A ．3
B ．5
C ．6
D ．10
6．将函数()cos2f x x =图象上所有点向左平移4
π个单位长度后得到函数()g x 的图象，如果()g x 在区间[]0,a 上单调递减，那么实数a 的最大值为（ ）
A ．8π
B ．4
π C ．2π D ．34π 7．若函数()222y sin x ??π?
?
< ??+?=的图象经过点012π?? ???
，，则函数()()()22f x sin x cos x ??=-+-图象的一条对称轴的方程可以为( )
A ．24x π
=- B ．3724x π= C ．1724x π= D ．1324
x π=- 8．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5632a a a +=+，则7S =（ ）
A ．28
B ．14
C ．7
D ．2
9．已知定义在[
)1,+∞上的函数()f x 满足()()33f x f x =，且当13x ≤≤时，()12f x x =--，则方程()()2019f x f =的最小实根的值为（ ）
A ．168
B ．249
C ．411
D ．561 10．设12,F F 分别为双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点，过点1F 作圆222x y a +=的切线，与双曲线的左、右两支分别交于点,P Q ，若2||QF PQ =，则双曲线渐近线的斜率为（ ）
A ．±1
B ．)1±
C ．)1±
D ．11．设集合U =R （R 为实数集），{}|0A x x =>，{}|1B x x =≥，则U A
C B =（ ） A ．{}1|0x x << B ．{}|01x x <≤ C ．{}|1x x ≥
D ．{}|0x x >
12．已知纯虚数z 满足()122i z ai -=+，其中i 为虚数单位，则实数a 等于（ ）
A ．1-
B ．1
C ．2-
D ．2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在ABC 中，AB =AC =
90BAC ∠=?，则ABC 绕BC 所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积为______________.
14．若4sin 45
πα?
?-= ???，则sin 2α=__________. 15．点(2,1)到直线340x y +=的距离为________
16．已知sin cos 0αα-=，则cos(2)2π
α+=__________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知1AB =，12BB =.
（1）求异面直线1A C 与直线1AD 所成的角的大小；
（2）求点C 到平面11AB D 的距离.
18．（12分）如图，在直角AOB ?中，2OA OB ==，AOC ?通过AOB ?以直线OA 为轴顺时针旋转120?得到（120BOC ∠=?）.点D 为斜边AB 上一点.点M 为线段BC 上一点，且433MB =.
（1）证明：MO ⊥平面AOB ；
（2）当直线MD 与平面AOB 所成的角取最大值时，求二面角B CD O --的正弦值.
19．（12分）已知a ，b ，c 分别是ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，cos 3sin a C c A b c +=+． （1）求A ；
（2）若3a =，3b c +=，求b ，c ．
20．（12分）已知函数()212
x e x f x x =-+. （1）若12x x ≠，且()()12f x f x =，求证：12
02x x f +??'<
???； （2）若x ∈R 时，恒有()212
f x x ax b ≥++，求ab b +的最大值. 21．（12分）在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，AC BD O =，1A O ⊥平面ABCD ．
（1）证明：1//A O 平面11B CD ；
（2）若1AB AA =，求二面角111D AB A --的余弦值．
22．（10分）某房地产开发商在其开发的某小区前修建了一个弓形景观湖．如图，该弓形所在的圆是以AB 为直径的圆，且300AB =米，景观湖边界CD 与AB 平行且它们间的距离为502米．开发商计划从A 点出发建一座景观桥（假定建成的景观桥的桥面与地面和水面均平行），桥面在湖面上的部分记作PQ ．设2AOP θ∠=．
（1）用θ表示线段,PQ 并确定sin 2θ的范围；
（2）为了使小区居民可以充分地欣赏湖景，所以要将PQ 的长度设计到最长，求PQ 的最大值．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
试题分析：因为，所以为得到的图象，只需要将的图象向右平移个单位；故选D ．
考点：三角函数的图像变换．
2、D
【解析】
【分析】
先将2sin 26y x π??=+ ???化为2cos 26π????=- ??????
?y x ，根据函数图像的平移原则，即可得出结果. 【详解】
因为2sin 22cos 22cos 2636y x x x πππ???
?????=+=-=- ? ? ????????
???， 所以只需将2cos2y x =的图象向右平移
6π个单位. 【点睛】
本题主要考查三角函数的平移，熟记函数平移原则即可，属于基础题型.
3、A
【解析】
【分析】
由A C B ?=可确定集合C 中元素一定有的元素，然后列出满足题意的情况，得到答案.
【详解】
由A C B ?=可知集合C 中一定有元素2，所以符合要求的集合C 有{}{}{}{}2,2,0,2,1,2,0,1，共4种情况，所以选A 项.
【点睛】
考查集合并集运算，属于简单题.
4、D
【解析】
【分析】
利用线面平行和垂直的判定定理和性质定理,对选项做出判断，举出反例排除.
【详解】
解：对于A ，当,m n αβ??，且αβ⊥，则m 与n 的位置关系不定，故错；
对于B ，当//m n 时，不能判定//αβ，故错；
对于C ，若,//m n αβ⊥，且αβ⊥，则m 与n 的位置关系不定，故错；
对于D ，由,//m βαα⊥可得m β⊥，又//n β，则m n ⊥故正确．
故选：D ．
【点睛】
本题考查空间线面位置关系.判断线面位置位置关系利用好线面平行和垂直的判定定理和性质定理. 一般可借助正方体模型，以正方体为主线直观感知并准确判断．
5、B
【解析】
【分析】
利用等比数列的通项公式和指数幂的运算法则、指数函数的单调性求得110m n <-<再根据此范围求
()21m n -+的最小值．
【详解】
数列{}n a 是公比为2的正项等比数列，m a 、n a 满足21024n m n a a a <<，
由等比数列的通项公式得11111122210242n m n a a a ---?
10222m n -∴<<，可得110m n <-<，且m 、n 都是正整数，
求()2
1m n -+的最小值即求在110m n <-<，且m 、n 都是正整数范围下求1m -最小值和n 的最小值，讨论m 、n 取值. ∴当3m =且1n =时，()21m n -+的最小值为()23115-+=.
故选：B ．
【点睛】
本题考查等比数列的通项公式和指数幂的运算法则、指数函数性质等基础知识，考查数学运算求解能力和分类讨论思想，是中等题．
6、B
【解析】
【分析】
根据条件先求出()g x 的解析式，结合三角函数的单调性进行求解即可.
【详解】
将函数()cos2f x x =图象上所有点向左平移4
π个单位长度后得到函数()g x 的图象， 则()cos 2cos 242g x x x ππ????=+=+ ? ????
?， 设22
x πθ=+， 则当0x a <≤时，022x a <≤，22222x a π
π
π
<+≤+， 即222
a ππθ<≤+， 要使()g x 在区间[]0,a 上单调递减， 则22a π
π+≤得22a π
≤，得4a π
≤，
即实数a 的最大值为
4
π， 故选：B.
【点睛】 本小题主要考查三角函数图象变换，考查根据三角函数的单调性求参数，属于中档题.
7、B
【解析】
【分析】 由点012π?? ???
，求得?的值，化简()f x 解析式，根据三角函数对称轴的求法，求得()f x 的对称轴，由此确定正确选项.
【详解】 由题可知220,122sin ππ?????+=< ???.6π?=-
所以()2cos 266f x sin x x ππ????=+
++ ? ?????5226412x x πππ????=++=+ ? ????? 令52,122
x k k Z πππ+=+∈， 得,242
k x k Z ππ=+∈ 令3k =，得3724
x π= 故选：B
【点睛】
本小题主要考查根据三角函数图象上点的坐标求参数，考查三角恒等变换，考查三角函数对称轴的求法，属于中档题.
8、B
【解析】
【分析】
根据等差数列的性质6345a a a a +=+并结合已知可求出4a ，再利用等差数列性质可得
1774()772
a a S a +==，即可求出结果． 【详解】
因为6345a a a a +=+，所以5452a a a +=+，所以42a =， 所以17747()7142
a a S a +===，
故选：B
【点睛】
本题主要考查等差数列的性质及前n 项和公式，属于基础题．
9、C
【解析】
【分析】
先确定解析式求出(2019)f 的函数值，然后判断出方程()()2019f x f =的最小实根的范围结合此时的5()3f x x =-，通过计算即可得到答案.
【详解】
当1x ≥时，()()33f x f x =，所以22()3()3()33x
x f x f f ===3()3
n n x f =，故当 +133n n x ≤≤时，[1,3]3n x ∈，所以()13,233(12)33,23n n n n n n x x x f x x x +?-≥?=--=?-
，而 672019[3,3]∈，所以662019(2019)3(12)3
f =--=732109168-=，又当13x ≤≤时， ()f x 的极大值为1，所以当+133n n x ≤≤时，()f x 的极大值为3n ，设方程()168f x =
的最小实根为t ，45168[3,3]∈，则565
33(3,)2t +∈，即(243,468)t ∈，此时5()3f x x =- 令5
()3168f x x =-=，得243168411t =+=，所以最小实根为411.
故选：C.
【点睛】
本题考查函数与方程的根的最小值问题，涉及函数极大值、函数解析式的求法等知识，本题有一定的难度及高度，是一道有较好区分度的压轴选这题.
10、C
【解析】
【分析】 如图所示：切点为M ，连接OM ，作PN x ⊥轴于N ，计算12PF a =，24PF a =，2
2a PN c =，12ab F N c
=，根据勾股定理计算得到答案. 【详解】
如图所示：切点为M ，连接OM ，作PN x ⊥轴于N ，
121212QF QF QP PF QF PF a -=+-==，故24PF a =，
在1Rt MOF ?中，1sin a MFO c ∠=，故1cos b MFO c ∠=，故2
2a PN c
=，12ab F N c =， 根据勾股定理：2
42242162a ab a c c c ??=+- ???，解得31b a =+. 故选：C .
【点睛】
本题考查了双曲线的渐近线斜率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
11、A
【解析】
【分析】
根据集合交集与补集运算,即可求得U A C B ?.
【详解】
集合U =R ,{}|0A x x =>,{}|1B x x =≥
所以{}1U C B x x =<
所以{}{}{}
0101U A C B x x x x x x ?=?<=<<
故选:A
【点睛】
本题考查了集合交集与补集的混合运算,属于基础题.
12、B
【解析】
【分析】
先根据复数的除法表示出z ，然后根据z 是纯虚数求解出对应的a 的值即可.
【详解】
因为()122i z ai -=+，所以()()()()()21222421212125
ai i a a i ai z i i i ++-+++===--+， 又因为z 是纯虚数，所以220a -=，所以1a =.
故选：B.
【点睛】
本题考查复数的除法运算以及根据复数是纯虚数求解参数值，难度较易.若复数z a bi =+为纯虚数，则有0,0a b =≠.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、65π
【解析】
【分析】
由题知该旋转体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，根据圆锥侧面积S rl π=计算公式可得.
【详解】
解：由题知该旋转体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，
在ABC 中，25AB =，5AC =，90BAC ∠=?，如下图所示，
底面圆的半径为()()22255
2255r AD ?===+，
则所形成的几何体的表面积为()()
12225565S r l l πππ=+=??+=.
故答案为：65π.
【点睛】
本题考查旋转体的表面积计算问题，属于基础题.
14、725
- 【解析】
【分析】