食品安全指数（FSI）数学建模与评价
王琬芜1，张浩淼2，马士良2，何美珍3
（1.浙江大学信息科学与工程学院，杭州 310058；2.浙江大学材化学院，杭州 310058；3.西安电子科技大学，西安 710071）
摘 要：论文针对为不同种类的食品建立综合食品安全指数的问题，分析并确定了影响食品安全指数（Food Safety
Index）的三个基本要素，即食品卫生检测合格率、食品有害物质影响和食品营养价值。在此基础上建立了食品安全
指数模型。首先，用分层次建模的方法建立了一个基本的线性分式模型。然后利用现有统计数据进行定量分析，遵
循同类相比原则，体现各指标的相对性，从而使得不同种类食品之间的安全程度能够纵向比较。其次，引入权重系
数，对该线性分式模型的参数进行计算估计和改进。再次，根据标准化原则，在计算某种食品的标准安全指数时只
需把其影响因素值和其权重系数相乘，便可以使得对不同类型食品的评价建立在一个公平的基础上。论文提出的模
型可以根据不同人群的需要进行变动，从而应用范围更为广泛。最后，论文用量化因子乘以安全指数作为修正项对
模型进行修正，既考虑了各个因素之间的相互影响，也准确地体现出反馈效应对模型系统的影响。
关键词：食品安全指数；食品安全检测；民生指数；食品不安全因素；食品卫生检测合格率
The Mathematic Modeling and the Evaluation of Food Safety Index
Abstract: In order to design a modeling of “Food Safety Index” which can be used to evaluate the safety of different kinds of
food, this paper analyze and define three basic factors which can effluence the “Food Safety Index”－the eligible percentage of
salutary food which are examined, the effluence of nocuous material and the nutrition of the food and design the mathematic modeling of “Food Safety Index” based on these three factors. Firstly, design a basic linear fraction modeling by stratification.
Then quantitative analyze the statistic and follow the principle of homogeneous comparison in order to embody the relativity of
each index. Hence, the Food Safety Index makes it possible to evaluate of safety of different kinds of food by only one modeling. Secondly, design the weigh coefficient to account, evaluate and improve the parameter of the faction modeling. Thirdly, according
the principle of standardization，only multiple the effluence value with the weigh coefficient when accounting the “Food Safety
Index” can evaluate the safety and nutrition value of different kinds of food on a fair basis. The mathematic modeling can
redesign according different need of different people, consequently this modeling can be used widely. Last but not least, the
writers revise the modeling by multiplying the quantitative index with safety index. In this way, the writers not only consider the
effluences among the different factors but also express the effluence of feedback on the modeling.
Keywords: Food Safe Index; the inspect of food safety; livehihood index; food unsafe factor; the eligible percentage of salutary food which are examined
1 问题的提出
近年来，食品安全问题越来越受到全社会的关注。“民以食为天”，食品安全关系人民群众生活，关系社会稳定和谐。食品安全重大事件甚至可能损害国家形象、影响对外交往及经济的发展。所以，如何提高食品的安全程度，让民众吃得放心，已成为当前各级政府及相关部门急待解决的民生问题之一，也是实现科学发展观的重要举措。
为了能客观、定量、通俗、概括性地反映某地区的食品安全现状，及时发现食品安全领域中存在的问题，收稿日期：2009-06-05
帮助居民合理选择安全卫生的食品，保障公众安全健康，笔者在大量研究现有食品安全评价体系的基础上提出了一种食品安全指数（Food Safety Index－FSI）数学模型，力求通用简单地反映食品安全中的主要问题且为管理部门和大众容易接受，为政府及相关管理机构建立科学的食品安全信息发布和预警体系提供科学的规律与方法，为政府定期发布权威的“食品安全指数” 提供决策依据，加强对有毒有害物质的预警和食品安全重大事件的防御，利用这一指数控制食品风险并提高生活质量。使它成为和消费者物价指数（CPI），空气污染指数那样有较大影响和指导意义的“民生指数”。有关部门可以定期或不定期对主要食品的质量和所含有毒有害物质进行常规抽检，获取与食品安全有关的相关数据，利用本文提出的数学模型，计算出食品安全指数，定期向社会公布。为政府、企业、消费者提供科学权威的食品安全指数是本论文的主旨所在。
2 问题的分析
广义的食品安全综合评价指数包括食品数量安全指数、食品质量安全指数和食品可持续安全指数。其中食品数量安全指数包括人均热能日摄入量、粮食总产量波动系数、粮食自给率、年人均粮食占有率和低收入阶层食品安全保障水平；食品可持续安全指数包括人均耕地、人均水资源量、水土流失面积增加和森林覆盖率。可以看出以上两种均属于国家调控的范围，属于国家战略安全问题，而本文仅需要对产品本身的安全给以关注，关心食品本身的质量从而指导消费者合理正确的购买，因此，本文所述的食品安全就是指食品的质量安全。为了叙述方便，对食品安全研究中的相关术语给出定义。
食品安全：对食品按其原定用途进行制作和食用时不会使消费者健康受到损害的一种担保。包括食品卫生检测总体合格率、食品有害物质影响以及食品营养价值。
食品卫生检测总体合格率：食品卫生抽检合格数与总抽检数之比。从总体上反应了食品的卫生状况，是食品质量安全的一个基本指标。
食品不安全因素：即食品有害物质，主要分为两类，即化学性危害因素和生物性危害因素。
化学性有害物质包括：
环境污染：无机物污染如汞，镉，铅等重金属以及一些放射性物质。有机物污噁
染如二英，多环芳烃，多氯联苯等工业化合物及副产品。
农药、兽药残留：农药，兽药，饲料添加剂中含有的对人类健康构成威胁的或者微量无害过量有害的有机物。
食品添加剂：为了有助于加工，包装，运输，储藏过程中保持食品的营养成分，增强食品的感官性状，适当使用一些食品添加剂是必要的，但是如果大于最低有效水平，则会给食品带来毒性，影响食品的安全性，危害人体健康。
生物性有害物质包括：
各种生物因素直接或间接地引起食品的危害，主要包括各种生物材料甚至是食品加工的原料的某些有害成分，由于处理不当，残留在食品中，影响食品质量或造成安全危害，各种有害微生物，寄生虫等，尤其是食品源病原菌或某些真菌的毒素等污染食品，引起食品安全危害。
食品营养价值：食品本身含有对人体有益的物质。包括动物性食品提供热能比和优质蛋白质所占总蛋白质比重。动物性食品提供热能比是动物性食品提供的热能占总热能的比重；优质蛋白质所占总蛋白质的比重可以反应出膳食结构中蛋白质的水平。
平衡膳食：强调由多种天然食物组成的膳食，可提供人体基本的营养需要，在支持正常发育、保持合适体重、预防营养不良的同时，减少同营养过剩相关疾病的发生。平衡膳食理论特别强调要避免过量消费在慢性非传染性疾病的发生中有潜在不良影响的食品与营养素。
通过阅读大量的资料，我们获知，影响食品安全的主要因素有：食品卫生监测合格率，致病病原菌抽检合格率，工业源污染物抽检合格率，各种毒素类抽检合格率，食品添加剂抽检合格率，化学农药、兽药残留抽检或普查合格率，热能适宜摄入值，优质蛋白质所占比重，脂肪所占热能比以及各微量元素的适宜摄入量
等等。在如此多的因素中，本论文的研究思路是：通过聚类分析，把其中的因素按属性进行合并，从而得出食品卫生监测合格率、食品有害物质影响和食品营养价值为定量计算食品安全指数的三个基本要素。在下文中，我们将首先考虑各个因素的决定情况以及它们之间相互的影响来加权分析从而得出食品安全指数。再通过膳食结构的研究，从而确定更加综合的食品安全指数。
3 模型假设
（1）本文所研究的有毒有害物质指的是对人体影响很大或者在食品中相对含量较大的物质，忽略对人体影响很小或者在食品中含量很少的物质。
（2）假设居民平均日摄入量不发生剧大变化，即相当长一段时间内居民的饮食结构不发生大的变化。
（3）假设各种有毒物质对人体的伤害不存在相互促进性，即某几种物质同时存在，并不会引起某种得毒性比其单独存在时的毒性强很多。
4 模型的建立与求解
4.1 食品安全指数模型相关因素分析
为了研究的方便，我们把食品卫生监测合格率、食品有害物质和食品营养价值作为定量计算食品安全指数的三个基本要素，并详细研究哪些指标又影响这三个基本因素，进而统筹分析，建立合理的模型。
（1）食品卫生安全合格率的分析
在食品投放市场之前，质检部门都会对一定样本数量的食品进行抽检，国家相关法律规定，食品被抽检的合格率要不低于国家标准的的合格率才能上市销售，因此，食品的质检合格率是衡量食品安全指数的一个重要指标。
食品卫生检测总体合格率即实测食品合格率：食品卫生抽检合格数与总抽检数之比，从总体上反应了食品的卫生状况，是食品质量安全的一个基本指标。
（1）
但是，由于食品的种属不同，其产品规定合格率会有所差异，也就是说直接用不同种类食品（如蔬菜和肉类）的合格率来横向比较没有太大实际意义，因此，我们引入食品质检相对合格率的概念，定义如下：
用符号来表示，即：
（2）
公式（2）比公式（1）更合理，因为它将原本不具有横向可比性的两个合格率，通过作比值的一系列处理，而变成了横向可比的相对量。而且通过数据大小分析可以得出（注：只有合格率达标的才会在市场上流通）。这样，我们用所得出的相对质检合格率来进行横向比较，即不同种类食品间的比较，就有了意义。因此，我们可以用此指标来衡量不同种类食品间的优劣，其相对质检合格率越大，食品的安全指数也应该成正增长，说明了二者之间具有某种正相关关系。用表1中的统计数据来说明这样设计的好处:
表1 4类食品合格率统计数据
项 目 大豆 鱼、肉 水果类（苹果） 水果类（梨） 实测质检合格率QR 85.7% 88.5% 95.1% 95.5%
相对质检合格率RR 28.5% 23.3% 51.0% 55.0%
国家标准合格率SR 80.0% 85.0% 90.0% 90.0%
摘自《食品安全控制技术》【1】。
由表中数据不难看出，由于国家标准不同，比如苹果合格率要在90%以上才能上市，而大豆只要80%就可以，所以比较苹果和大豆的抽检合格率大小没有意义，而我们用相对值表示偏离程度，就可以用来比较，说明苹果的55%确实比大豆的28.5%要好。
（2）有害物质含量的分析
如上所述，有害物质主要分为两类：即化学类和生物类。化学类有害物质包括化学农药残留、兽药残留和添加的各种有害化学物质(如添加剂)等，生物类有害物质主要包括细菌类毒素、真菌类毒素以及某些植物毒素等。
对化学类有害物质影响的分析，需规范如下术语的定义：
残留，指食物中非食品本身固有的各种化学物质的微量存在；
残留监控，是一个国家或地区对其消费者所食用的各种食品中残留情况进行调查，在此基础上采取相应措施对残留进行控制的行动；
由于化学污染物的毒害作用与其进入人体的绝对量有关，因此评价食品安全时用检测中某种污染物的实际残留量与国家允许最高残留量来比较更为科学合理，在这样一种理论背景下，导出可以用来评价食品中某种化学物质残留对消费者健康影响的算式。
首先，我们定义了化学有害物质影响率这一概念，公式如下：
（3）
其中是化学物质i的实际检测残留量（mg·kg-1）；
为化学毒物i的国家允许最高残留量（mg·kg-1）；
显然可以发现，在全面考虑了某一种食品中各种可能存在的化学有害残留物后，加上的各项具有可加性，因此值就可以很好的衡量在化学有害物质的影响下的食品安全状况。
由的计算公式可以看到，其分子分母都是性质完全相同的数据，故其比值没有任何单位，仅表示摄入量的比，不包含任何其它信息的数值。因此，食品中的值采取加和取平均是完全合理的。
（4）
之所以这里写成矩阵的形式有两个好处，首先可以看得更清晰，很直观的把常量与变量区分开来；另外这也阐明了化学性毒物和下文论述的生物性毒物对目标因素贡献的相似性，在形式上也便于理解。我们把称为标准摄入矩阵，称为摄入判断矩阵。
通过对数据值的大小进行分析，可以得到，它的取值范围和我们的食品质检相对合格率的
范围相同，这样可以使我们所研究的每个因素的值都在一个区间（0，1）内，从而使我们提出的模型终值有着比较明确的意义。
用表2统计数据来说明：表2中数据为国家允许的该有毒化学物质在各类食品中存在的最大值。基于有毒化学物质众多，我们在此只研究国家明确要求必须检验的四种毒性最大的化学元素，至于其他毒性较小或含量较少的元素我们可以认为其无显著影响，或者在研究特定类食品时予以考虑，比如在研究卷心菜时要考虑元素钼的含量。但是由于我们的模型是以算术平均值的形式给出，所以加上其它元素应不影响我们结果的合理性。
表2 国家允许的该有毒化学物质在各类食品中存在的最大值
项目 镉/mg·kg-1铅/mg·kg-1汞/mg·kg-1砷/mg·kg-1
大豆 0.2 0.2 0.01 0.1
肉类 0.1 0.2 0.05 0.05
苹果 0.05 0.1 0.01 0.05
鱼类 0.1 0.5 0.05 0.1
摘自《食品卫生与安全控制学》【2】。
因为不同元素含量的数量级不同，因此没有横向比较的意义，通过我们的模型无量纲化以后，计算得的
是没有任何单位的数值，便产生了横向比较的价值，下面我们引入权重系数，可使得值对食品安全指数的影响能够合理显现出来。
同样的道理，对于生物类毒素，由于其毒害作用也与其进入人体的绝对量有关，因此评价食品安全时同样用人体对各类生物毒素的实际摄入量与其安全摄入量来比较，在同样的理论背景下，导出可以用来评价食品中生物毒素残留对消费者健康影响：
（5）
其中
是生物毒素k的实际检测残留量（mg·kg-1）；为生物毒素k的国家允许最高残留量（mg·kg-1）；
（6）
综合化学类与生物类有害物质的分析，我们在模型中均采用差值形式减掉有害物质的含量来求得其相对含量，可以预见，当有害物质含量越小时，或的值都会越大，这样和都与食品安全指数成正相关关系，与我们先前分析的相对质检合格率的影响是一致的，而且通对数值大小的分析可以同样得出：
这样我们通过巧妙设计算法，就可以把本来不相同的各个因素统一到一种形式下来分析，并且使它们的作用一致，就可以很好的实现我们的目标。
（3）有益物质影响的分析
对食品中有益物质的测定（或称营养价值的评定）主要由以下两个基础评价指标完成，即热能比和优质蛋白质比，从操作性上讲它们都具有可测性、可比性、可获得性等特点；从营养学上讲它们所涉及的有益物质都是人体正常生理活动能量的提供者、即是基本保证，可以从本质上反映有益物质各部分的状况。
查阅文献我们知道，热能比一项主要包括脂肪提供的热能占总的热能的比重和动物性食物提供的热能占总热能的比重两大类，其它形式的热能比因为其在数量和质量两方面的微弱影响我们可以在此忽略不计。因此我们用脂肪热能比和动物性食物提供的热能比两项相乘作为热能比的相对值，即：
（7）
而观另一影响因子，由于在所有蛋白质中优质蛋白质的种类是确定的，即不存在特异性，因此其值便可以直接在不同食品之间进行横向比较，其大小情况便可以反映其蛋白质类对食品安全指数的贡献。
因此，我们可以用的值即来反映有益物质对我们要建立的食品安全指数模型的贡献。
表3 食品成分表
项 目 大 豆 牛 肉 苹 果 带 鱼 总热能比ER 0.355 0.460 0.028 0.521
优质蛋白质比PR 0.363 0.201 0.003 0.181
本表摘自中国医学科学院卫生研究所：《食品成分表》【3】。
由表3中数据可以看出，鱼、肉类含有的优质蛋白质和脂肪与大豆差异不大，但却远远高于苹果，因此，仅凭此一项来判断食品安全程度是不科学的。所以，我们只把有益物质的分析列为完整食品安全指数的一个指标，通过下文对模型的建立，我们可以通过适当的权重系数使本项指标更加合理的在食品安全指数中体现出来。
4.2 食品安全指数模型的建立
根据我们的分析，是食品的相对质检合格率、有害物质和有益物质共同影响食品安全指数。因此我们用综合指数法将各个因素的控制因素累乘，然后按权值相加，从而最后计算得出食品安全的综合评价指数。
为此，我们采取同类相比、综合考虑的原则，首先做出以下假设：各因素的子因素之间地位等同，不分优劣，即等权重。
从而，我们提出以下的数学模型公式
（8）
其中，分别为质检相对合格率的权重系数、有害物质影响的权重系数、有益物质影响的权重系数，它们的具体求法将在下文给出。
我们知道，一种食品的安全指数是由这种食品的三个属性来共同决定，那么此食品的值自然是由各种影响因素按其贡献程度叠加而成，属于线性叠加。也就表现为我们上面的加权和形式。之所以加权，是因为考虑到各个影响因素对于整个食品的安全指数的贡献程度不同，有两方面的原因：一是由于各个因素之间有着很大的差异，例如食品的质检合格率和食品的有害物质影响对其安全指数的影响显然是不能等同的；二是其有益物质与有害物质所占的比重也不同，自然贡献成分也有所不同。
但这样的模型仍然稍有不足，即各个因素的子因素我们认为是等同的，比如在有害物质影响里，我们认为化学性毒物和生物性毒物这两个子因素对有害物质这个因素的影响是等危害的，而实际中，显然它们是不能等同的，例如有些化学毒物在体内显示累加效应，即含量超过一定值后才有显著危险；而有些生物性毒物虽然含量微小但足以致命。因此，二者之间仍有显著不同。对有益物质的分析也是一样，脂肪和蛋白质同为人体正常生理活动所必需的物质，但脂肪大量贮藏，易再生；而蛋白质作为结构的组成部分，一旦不足将影响新陈代谢。所以这二者也有显著区别。
为了使模型更具有一般性，我们再一次进行改进，即我们充分考虑各个因素的子因素对其的决定关系，也按照其贡献程度进行加权。由于各子因素之间是乘积的形式，于是我们考虑把权重系数加在指数上。
接下来，我们给出以下数学模型：
（9）
这样我们得到的模型较之前面更为深入了一步，而且更为合理了一些，依次为化学有害物质影响率的权重系数、生物有害物质影响率的权重系数、脂肪比影响率的权重系数以及优质蛋白质比影响率的权重系数。它们的具体算法将随后给出。
这样，从各个子影响指标来看我们按其权值累乘来分析是合理的，从三个直接影响指标来看，我们按其权值累加分析也是合理的。
事实上，我们在得到上面的几个公式时，都是在假定影响本食品安全指数的三要素是相互不影响的，而实际情况中，这三要素之间是有一定联系的，比如若食品中有害化学物质含量一多必然会引起质检合格率的降低，而上述模型不能体现这一点，因此我们做出以下改进。
首先，我们做出以下假设：
食品安全指数是用我们上面所得的公式来衡量的，在上面的公式中，我们考虑这三个影响因素之间是没有相互作用的。
用原方法计算时，由于有益物质、有害物质的含量均会影响到质检合格率，所以就表现为原式计算出来的食品安全指数又反过来影响了三要素中的质检合格率。这其实是一种反馈效应。
为此我们再次进行修正计算，既使得第二迭代计算食品安全指数时又要考虑到第一次算法中食品安全指数对质检合格率的影响。但各因素自身的算法是不变的。
假设食品安全指数和质检合格率是成最基本的线性关系，即食品安全指数越高，该食品的质检合格率就越高；而食品安全指数越低，该食品的质检合格率就越低。
这也是一种最简易而又最显然的关系。
考虑食品安全指数与质检合格率有关，于是我们定义质检合格率因素对食品安全指数的修正因子，那么有
（10）
（11）
这样计算出来的食品安全指数值显然要比用式（9）计算出来的值更合理些，因为我们在这里进一步考虑了质检合格率和食品安全指数之间的作用关系，控制了反馈效应对结果的扰动，属于对已有模型的进一步优化。当然公式确实变得更为复杂了，为了在形式上进一步简化，我们可以把上面的公式用前面定义的符号进一步化为：
（12）
其中：
4.3 模型中各个权重系数的确定
在的模型中,权重系数可分为两类。一类是不同指标累加时的权重系数，另一类则是不同
指标累乘时的权重系数，我们分类给出其求解方法。
比较了常用的求权重系数的方法如层次分析法、模糊评判法后，我们发现层次分析法主观性太强，求得
的权重系数抗干扰性很差；而模糊评判法则需要回收专家给出的权值来统计分析，因此一般也认为这种方法具有一定的主观性，为此，我们设计了一种基于数据来分析求解权重的比较公正、客观的求解方法。
首先，我们从内层权重系数开始求起，即先求，（取）因为
所以我们先求，用同样的方法类比，我们也可以求得，选用表4中的数据，设计算法如下：
表4 4类食品热能、蛋白质比
项 目 大 豆 牛 肉 苹 果 带 鱼 总热能比ER 0.355 0.460 0.028 0.521
优质蛋白质比PR 0.363 0.201 0.003 0.181
摘自《食品工程》【4】
－
因为各个项都是处于区间（0，1）上的，故将其取对数后，再取其相反数，这样可以保证各个数都是正值，比较便于处理。
首先，确定的值。我们选用大豆、牛肉、苹果和带鱼四种不同属性的食品进行研究，易发现没有加权时它们的值显著不同，因此也具有分析的价值。具体算法为，定义，从，取上述四种截然不同种属的食品为对象，算出它们的四条曲线值，从曲线中找到使得四条曲线的平均比值最小。
其中，若有n种食品，则商数的值为m=2n C
根据上述算法通过MATLAB软件模拟计算得出下列曲线：
再用MATLAB语言编程找出最佳的使平均比值最小值为。采用类似的方法，取
我们可以来确定的值（略）。
我们通过采集到的数据，得出了权数如表5：
表5 参数权数
项 目
修订前 1 1.8 1 3.2
修订后 0.3571 0.6429 0.2381 0.7619 为了使我们的式子能更好地符合实际情况，由于以上四个权数都是出现在指数上的，如果指数过大，那么显然即使某一个数较大，但是也会由于乘方太多而使数值太小，从而使结果有些偏颇，为此我们采用如下方法进行标准化：
（13）
则可得修订后的各个权数，见表5。
通过上面的权重系数，我们可以分别求出各食品的以下值：
项 目 大 豆 肉 类 苹 果 鱼 类
0.4216 0.4905 0.5841 0.4848
0.3578 0.3423 0.0126 0.3572
最后，采用类似的方法，可求得:
确定的值。先忽略从，取大豆，肉类，苹果以及鱼类四种未加权值时值显著不同的不同种属的食品为对象，算出它们的四条曲线值，从曲线中找到使得四条曲线的平均比值最小。
根据以上的值可以求得：。
由以的数据便可以得到，如下表所示：
项目 大豆 肉类 苹果 鱼类
0.6005 0.6616 0.5904 0.6634
再由以上数据，便可以求出系数
最后，我们用类似的方法对三个权数进行标准化可以得到：
可以看出，我们得标准化方法不会影响的正相关关系，而能把数据归一化为（0，1）之间，从而产生比较的价值。
量化因子确定
在确定了前面两类权重系数后，我们也采取对遍历取值的方法来确定。根据以上求出的权数
我们便可以得最终的食品安全指数和量化因子为直线关系，对于不同的食品，其直线并不相同。再用相
同的做法我们可以得到，。
根据算出的所有数据我们可以得到，各种食品的最终食品安全指数为：
项 目 大 豆 肉 类 苹 果 鱼 类 食品安全指数 0.46 0.52 0.63 0.53
我们选取安全指数相差不多的食品的数据来求解，这样对于模型系统而言已求出的的
值就是恒定的，从而适用于其它相差较大数据的分析，使得本来相近的数据更相近，相差大的数据相差更大，从而显著的区分开来。
通过两次修正我们发现，模型二要比模型一好很多，而模型三则略优于模型二，使得不同种类食品的安全系数能在同一平台上比较，从而实现我们的目的。
4 模型的分析评价
本文提出的食品安全指数模型在充分考虑了各种因素的基础上，通过对对多种因素进行了分类及综合处理，合并同类因素，简化了影响因子。模型考虑了生物化学因素以及有益因素对合格率地影响，并用量化因子乘以安全指数作为修正项来进行修正，既考虑了各个因素之间的相互影响，也能准取地体现出反馈效应对模型系统的影响。本文提出的模型可以作为食品安全状态的量化指标有着横向和竖向可比性。横向是指不同地区（消费人群）间的比较，竖向是指同一地区（消费人群）不同时期的比较。模型的取值处在0%－100%之间，因此量化也比较明显。数值越高说明安全状态越好，或者数值升高说明安全状态好转。另外，由于我们在处理数据中都是采用了各个不同的标准，因此，对于不同时期不同范围的人群，只要将它们各自不同的标准代入公式，进行计算，就可得出其相应的安全指数，因此，模型适用范围很广。
由于我们安全指数是一个综合的指标，因此，仅仅用它来衡量是否可能会产生某些可能产生的有毒有害物质造成食品安全危险并不合理，于是我们特别引入了食品危害性指数来对这一因素进行专门地预警，这样，通过两个数据的相互结合可以使我们对于食品安全有更好的预测及预防能力，这也使得我们的模型更加有实用价值。
参考文献：
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[4]郗伟东，石玉月，田 巍. 国内外食品安全评价综述[J]，食品工程，2007，（2）：3-5.
常见评价模型简介 评价类数学模型是全国数学建模竞赛中经常出现的一类模型，如2005年全国赛A题长江水质的评价问题，2008年B题高校学费标准评价体系问题等。主要介绍三种比较常用的评价模型：层次分析模型，模糊综合评价模型，灰色关联分析模型，以期帮助大家了解不同背景下不同评价方法的应用。 层次分析模型 层次分析法(AHP)是根据问题的性质和要求，将所包含的因素进行分类，一般按目标层、准则层和子准则层排列，构成一个层次结构，对同层次内诸因素采用两两比较的方法确定出相对于上一层目标的权重，这样层层分析下去，直到最后一层，给出所有因素相对于总目标而言，按重要性程度的一个排序。其主要特征是，它合理地将定性与定量决策结合起来，按照思维、心理的规律把决策过程层次化、数量化。 运用层次分析法进行决策，可以分为以下四个步骤： 步骤1 建立层次分析结构模型 深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层(目标—准则或指标—方案或对象)，上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立。 步骤2构造成对比较阵 对于同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两比较，借助1~9尺度，构造比较矩阵； 步骤3计算权向量并作一致性检验 由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重，并进行一致性检验，若通过，则最大特征根对应的特征向量做为权向量。
步骤4计算组合权向量(作组合一致性检验) 组合权向量可作为决策的定量依据 通过一个具体的例子介绍层次分析模型的应用。 例(选择旅游地决策问题)如何在桂林、黄山、北戴河3个目的地中按照景色、费用、居住条件、饮食、旅途条件等因素进行选择。 步骤1 建立系统的递阶层次结构 将决策问题分为3个层次：目标层O，准则层C，方案层P；每层有若干元素，各层元素间的关系用相连的直线表示。
所谓指标就就是用来评价系统的参量.例如,在校学生规模、教学质量、师资结构、科研水平等,就可以作为评价高等院校综合水平的主要指标.一般说来,任何—个指标都反映与刻画事物的—个侧面. 从指标值的特征瞧,指标可以分为定性指标与定量指标.定性指标就是用定性的语言作为指标描述值,定量指标就是用具体数据作为指标值.例如,旅游景区质量等级有5A 、4A 、3A 、2A 与1A 之分,则旅游景区质量等级就是定性指标;而景区年旅客接待量、门票收入等就就是定量指标. 从指标值的变化对评价目的的影响来瞧,可以将指标分为以下四类: (1)极大型指标(又称为效益型指标)就是指标值越大越好的指标; (2)极小型指标(又称为成本型指标)就是指标值越小越好的指标; (3)居中型指标就是指标值既不就是越大越好,也不就是越小越好,而就是适中为最好的指标; (4) 区间型指标就是指标值取在某个区间内为最好的指标. 例如,在评价企业的经济效益时,利润作为指标,其值越大,经济效益就越好,这就就是效益型指标;而管理费用作为指标,其值越小,经济效益就越好,所以管理费用就是成本型指标.再如建筑工程招标中,投标报价既不能太高又不能太低,其值的变化范围一般就是 (10%,5%)-+× 标的价,超过此范围的都将被淘汰,因此投标报价为区间型指标.投标工期既不能太长又不能太短,就就是居中型指标. 在实际中,不论按什么方式对指标进行分类,不同类型的指标可以通过相应的数学方法进行相互转换 8、2、4 评价指标的预处理方法 一般情况下,在综合评价指标中,各指标值可能属于不同类型、不同单位或不同数量级,从而使得各指标之间存在着不可公度性,给综合评价带来了诸多不便.为了尽可能地反映实际情况,消除由于各项指标间的这些差别带来的影响,避免出现不合理的评价结果,就需要对评价指标进行一定的预处理,包括对指标的一致化处理与无量纲化处理. 1.指标的一致化处理 所谓一致化处理就就是将评价指标的类型进行统一.一般来说,在评价指标体系中,可能会同时存在极大型指标、极小型指标、居中型指标与区间型指标,它们都具有不同的特点.如产量、利润、成绩等极大型指标就是希望取值越大越好;而成本、费用、缺陷等极小型指标则就是希望取值越小越好;对于室内温度、空气湿度等居中型指标就是既不期望取值太大,也不期望取值太小,而就是居中为好.若指标体系中存在不同类型的指标,必须在综合评价之前将评价指标的类型做一致化处理.例如,将各类指标都转化为极大型指标,或极小型指标.一般的做法就是将非极大型指标转化为极大型指标.但就是,在不同的指标权重确定方法与评价模型中,指标一致化处理也有差异. (1) 极小型指标化为极大型指标 对极小型指标j x ,将其转化为极大型指标时,只需对指标j x 取倒数: 1j j x x '= , 或做平移变换: j j j x M x '=-,
研究人们对食品安全的认知及评价的问卷调查 尊敬的先生和女士: 你们对我们如今的食品安全有多少的认识呢?你们了解如今我们吃的和喝的安全吗? 你们知道如今的安全食品隐患都是怎么出现的吗?你们对如今的社会食品安全有什么想法吗?请填写如下的问卷调查, 在你认为你的选项上打√ 。 一:基本资料 1:您的出生地点—— 2:您的现在年龄—— 3:您的现在学历: <1>小学文化程度 <2>初中文化程度 <3>高中文化程度 <4>大学及以上文化程度 4:您现在如今所在城市—— 二:对食品安全的认识和了解 1:您平时经常购物吗? (1很少(2经常(3频繁 2:您购物出现过食品安全问题吗? (1 从来没有(2偶尔出现(3经常出现 3:您是否了解什么叫食品安全? (1是 (2不是 (3含糊不清 4:您认为现在食品安全问题严重吗? (1 一点不严重(2有点严重(3很严重(4非常严重
5:您了解如今现在中国食品现状吗??是怎么样的—— (1 不了解(2有点了解(3了解(4深入分析了解过 6:您一般通过那些渠道了解食品安全问题?(多选 (1 电视 (2新闻 (3广播 (4收音机 (5电脑 (6现实生活 (7报纸(8其他—— 7:您认为现在主要面临那些食品安全问题很严重:(多选 (1 一些蔬菜、水果中普遍残存化肥、农药等物质 (2 食品加工中超量使用食品添加剂和其他化学用品 (3 制造、加工食品的过程中使用劣质原料 (4 食品中的重金属污染严重 (5 其他—— 8:在你生活周围出现过食品安全问题吗? (1 出现过(2没有 9:你怎么看待这些食品安全问题? (1 很不放心(2关心,但是自己的食品没问题就不在乎(3很关心(4很是在乎, 必须严厉查办 10:你认为出现食品问题最主要的原因是: (1监管疏漏(2法律力度执行不力(3欠缺考证盲目定论(4、益驱动逃避责任(5 政策法规不健全(6媒体误导草木皆兵(7标准滞后(8其他—— 11:您是否对如今的食品放心?
８ 《商场现代化》２００６年７月（中旬刊）总第４７３期 ２０世纪８０年代初，汪培庄提出了对绿色供应链绩效进行评价的模糊综合评价模型，此模型以它简单实用的特点迅速波及到国民经济和工农业生产的方方面面，广大实际工作者运用此模型取得了一个又一个的成果。本文简单介绍模糊综合评价法的数学模型方法。 一、构造评价指标体系 模糊综合评价的第一步就是根据具体情况建立评价指标体系的层次结构图，如图所示： 二、确定评价指标体系的权重 确定各指标的权重是模糊综合评价法的步骤之一。本文根据绿色供应链评价体系的层次结构特点，采用层次分析法确定其权重。尽管层次分析法中也选用了专家调查法，具有一定的主观性，但是由于本文在使用该方法的过程中，对多位专家的调查进行了数学处理，并对处理后的结果进行了一致性检验，笔者认为，运用层次分析法能够从很大程度上消除主观因素带来的影响，使权重的确定更加具有客观性，也更加符合实际情况。 在此设各级指标的权重都用百分数表示，且第一级指标各指标的权重为Ｗｉ，ｉ＝１，２，…，ｎ，ｎ为一级指标个数。一级指标权重向量为： Ｗ＝（Ｗ１，…，Ｗｉ，…Ｗｎ） 各一级指标所包含的二级指标权重向量为： Ｗ＝（Ｗｉ１，…，Ｗｉｓ，…Ｗｉｍ），ｍ为各一级指标所包含的二级指标个数，ｓ＝１，２，…，ｍ。 各二级指标所包含的三级指标权重向量为： Ｗｉｓ＝（Ｗｉｓ１，…Ｗｉｓ２，…Ｗｉｍｑ），ｑ为各二级指标所包含的三级指标个数。三、确定评价指标体系的权重建立模糊综合评价因素集将因素集Ｘ作一种划分，即把Ｘ分为ｎ个因素子集Ｘ１，Ｘ２，…Ｘｎ，并且必须满足： 同时，对于任意的ｉ≠ｊ，ｉ，ｊ＝１，２，…，均有 即对因素Ｘ的划分既要把因素集的诸评价指标分完，而任一个评 价指标又应只在一个子因素集Ｘｉ中。 再以Ｘｉ表示的第ｉ个子因素指标集又有ｋｉ个评价指标即：Ｘｉ＝｛Ｘｉ１，Ｘｉ２，…，ＸｉＫｉ｝，ｉ＝１，２，…，ｎ 这样，由于每个Ｘｉ含有Ｋｉ个评价指标，于是总因素指标集Ｘ其有 个评价指标。 四、 进行单因素评价，建立模糊关系矩阵Ｒ 在上一步构造了模糊子集后，需要对评价目标从每个因素集Ｘｉ上进行量化，即确定从单因素来看评价目标对各模糊子集的隶属度，进而得到模糊关系矩阵： 其中ｓｉ（ｉ＝１，２，…，ｍ）表示第ｉ个方案，而矩阵Ｒ中第ｈ行第ｊ列元素ｒｈｊ表示指标Ｘｉｈ在方案ｓｊ下的隶属度。对于隶属度的确定可分为两种 情况：定量指标和定性指标。 （１）定量指标隶属度的确定 对于成本型评价因素可以用下式计算： 对于效益型评价因素可以用下式计算：对于区间型评价因素可以用下式计算：上面三个式子中：ｆ（ｘ）为特征值，ｓｕｐ（ｆ），ｉｎｆ（ｆ）分别为对应于同一个指标的所有特征值的上下界，即是同一指标特征值的最大值和最小 模糊综合评价法的数学建模方法简介 任丽华 东营职业学院 ［摘 要］ 本文一种数学模型方法构造了一种对绿色供应链绩效进行评价的模糊综合评价法，主要从构造评价指标体系，确定评价指标体系的权重，确定评价指标体系的权重，建立模糊综合评价因素集，进行单因素评价、建立模糊关系矩阵Ｒ，计算模糊评价结果向量Ｂ等五个方面介绍这种评价方法。 ［关键词］ 绿色供应链绩效评价 模糊综合评价法 数学模型方法 流通论坛
精品文档 模型的评价和推广 7.1 模型的评价 7.1.1模型的优点： （1）在数据处理方面，我们详细分析了视频数据，引用了标准车当量数（PCU），引用了通流量，规范了数据的格式和可用性，为下一步解题提供了简洁的数据资料。 （2）在视频数据统计方面，我们实行分阶段定点查数，在每隔30秒的时间内取值，符合上游路口信号配时，并满足了第一相位、第二相位的地理性。 （3）模型在图像处理和显示上，我们采用SPSS和MA TLAB双重作图，拟合数据的变化趋势及正态Q-Q图，使问题结果更加清晰、条理和直观。 （4）从数据中筛选出发生堵车时的合理数据，融合排队论模型的核心思想，给出科学直观的显示结果。 （5）在模型建立上，提取了排队论模型和交通波模型的理论架构，同时简化了无用的模型公式，尽量贴近数学建模“用最简单的方法解决最难问题“的思想。 7.1.2 模型的缺点 （1）在视频数据采样上，采用的是人工读取，虽然大大提高了灵活性，但也容易使数据出现人为的偏差和不精确；视频中从小区从进入到道路上的车辆并没有进行确切的统计。 （2）在问题一中，只采用了一种分析方法，结果比较单一，没有系统和全面地分析横断面通行能力的变化过程。 （3）问题三的所建立的关系模型中没有明确体现横断面实际通行能力，这也就使我们的关系模型不能准确地反应变量之间的关系。 （4）在统计完全堵车时的汽车数量时没有明确的标准规定，只是单纯地用主观认识确定完全交通拥堵。 7.2 模型的推广 依据题目中提供的视频数据和附录，建立了车祸横截面通行能力的通行量模型，并利用排队法的相关知识，确定了车辆排队长度、事故排队时间、路段上游车流量的函数关系，对城市中交通事故的处理方面有一定的参考价值。 模型中分析问题、解决问题的一些独到方法，排队法数据取样的总体思想，对其他数学问题及一般模型仍可使用。
学科评价模型（模糊综合评价法） 摘要：该模型研究的是某高校学科的评价的问题，基于所给的学科统计数据作出综合分析。基于此对未来学科的发展提供理论上的依据。 对于问题1、采用层次分析法，通过建立对比矩阵，得出影响评价值各因素的所占的权重。然后将各因素值进行标准化。在可共度的基础上求出所对应学科的评价值，最后确定学科的综合排名。（将问题1中的部分结果进行阐述） （或者是先对二级评价因素运用层次分析法得出其对应的各因素的权重（只选取一组代表性的即可），然后再次运用层次分析法或者是模糊层次分析法对每一学科进行计算，得出其权重系数）。通过利用matlab确定的各二级评价因素的比较矩阵的特征根分别为：4.2433、2、4.1407、3.0858、10.7434、7.3738、3.0246、1 对于问题2、基于问题一中已经获得的对学科的评价值，为了更加明了的展现各一级因素的作用，采用求解相关性系数的显著性，找出对学科评价有显著性作用的一级评价因素。同时鉴于从文献中已经有的获得的已经有的权重分配，对比通过模型求得的数值，来验证所建模型和求解过程是否合理。 对于问题3、主成份分析法，由于在此种情况下考虑的是科研型或者教学型的高校，因此在评价因素中势必会有很大的差别和区分。所以在求解评价值的时候不能够等同问题1中的方法和结果，需要重新建立模型，消除或者忽略某些因素的影响和作用（将问题三的部分结果进行阐述）。 一、问题重述
学科的水平、地位是评价高等学校层次的一个重要指标，而学科间水平的评价对于学科本身的发展有着极其重要的作用。而一个显著的方面就是在录取学生方面，通常情况下一个好的专业可以录取到相对起点较高的学生，而且它还可以使得各学科能更加深入的了解到本学科的地位和不足之处，可以更好的促进该学科的发展。学科的评价是为了恰当的学科竞争，而学科间的竞争是高等教育发展的动力，所以合理评价学科的竞争力有着极其重要的作用。鉴于学科评价的两种方法：因素分析法和内涵解析法。本模型基于某大学（科研与教学并重型高校）的13个学科在某一时期内的调查数据，包括各种建设成效数据和前期投入的数据。 通过计算每一级、每一个评价因素所占的权重，确定某一学科在评价是各因素所占的比重，构建评价等级所对应的函数。通过数值分析得出学科的评价值。需要解决一下几个问题： 1、根据已给数据建立学科评价模型，要求必要的数据分析及建模过程。 2、模型分析，给出建立模型的适用性、合理性分析。 3、假设数据来自于某科研型祸教学型高校，请给出相应的学科评价模 型。 二、符号说明与基本假设 2.1符号说明 符号说明 S——评价数（评价所依据的最终数值） X——影响评价数值的一级因素所构成的矩阵
2016江西财经大学数学建模竞赛 A题 城市交通模型分析 参赛队员: 黄汉秦、乐晨阳、金霞 参赛队编号：2016018 2016年5月20日~5月25日
承诺书 我们仔细阅读了江西财经大学数学建模竞赛的竞赛章程。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C中选择一项填写）： A 我们的参赛队编号为2016018 参赛队员(打印并签名) ： 队员1. 姓名专业班级计算机141 队员2. 姓名专业班级计算机141 队员3. 姓名专业班级计算机141 日期： 2016 年 5 月 25 日
编号和阅卷专用页 江西财经大学数学建模竞赛组委会 2016年5月15日制定
城市交通模型分析 摘要 随着国民经济的高速发展和城市化进程的加快，我国机动车保有量及道路交通流量急剧增加，交通出行结构发生了根本变化，城市道路交通拥挤堵塞问题已成为制约经济发展、降低人民生活质量、削弱经济活力的瓶颈之一。本篇论文针对道路拥挤的问题采用层次分析法进行数学建模分析，讨论拥堵的深层次问题及解决方案。 首先建立绩效评价指标的层次结构模型，确定了目标层，准则层（一级指标），子准则层（二级指标）。 其次，建立评价集V=(优，良，中，差)。对于目标层下每个一级评价指标下相对于第m 个评价等级的隶属程度由专家的百分数u 评判给出，即U ＝[0,100]应用模糊统计建立它们的隶属函数A(u)， B(u)， C(u) ，D(u)，最后得出目标层的评价矩阵Ri ，（i=1,2,3,4,5）。利用A,B 两城相互比较法，根据实际数据建立二级指标对于相应一级指标的模糊判断矩阵P i （i=1,2,3,4,5） 然后，我们经过N 次试验调查，明确了各层元素相对于上层指标的重要性排序，构造模糊判断矩阵P ，利用公式 1 ,ij ij n kj k u u u == ∑ 1 ,n i ij j w u ==∑ 1 ,i i n j j w w w == ∑ []R W R W R W R W R W W R W O 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 ,,,,==计算出权重值，经过一致性检验公式 RI CI CR = 检验后，均有0.1CR <，由此得出各层次的权向量()12,,T n W W W W =K 。然后后， 给出建立绩效评价模型（其中O 是评价结果向量），应用模糊数学中最大隶属度原则，对被评价城市交通的绩效进行分级评价。 接着在改进方案中，我们具体以交叉口为中心建立模型，其中包括道路长度、宽度、车辆平均长度、车速等等考虑因素。通过车辆排队长度可以间接判断交通拥堵情况，不需要测量车速、时间等因素而浪费的人力物力和财力，有效的提高了工作成本和效率。为管理城市交通要道提供了良好的模型和依据。 【关键字】交通拥堵 层次分析法 模糊综合评判 绩效评价 隶属度
数学建模——如何正确、合理的评价学生成绩 我们仔细阅读了曲阜师范大学大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们 将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是B/观、合理地评价学生的学习状况 参赛队员：***0710601079（07级应数一班） ***0710601144（07级应数一班） ***0710601002（07级应数一班） 日期 2009 年 5 月 28 日 客观、合理地评价学生的学习状况 本文以学生的四个学期的考试成绩为依据，从考试的排名的估计和排名的方法两个方面对学生的学习成绩进行了探讨并对学生下个学期的考试成绩进行了预测。在文章的前半部分，借助了概率统计、运筹学和决策论的相关知识和理论对学生的学习成绩进行了分析；文章的后半部分运用概率统计的次序统计 量对学生的下个学期的成绩进行了预测。 关键词：平均值、数学期望、方差、标准分数 符号引入：i表示第个i学生； NUM(i,j)表示第个i学生的第j学期成绩； AVE(i)表示第i个学生的四学期成绩平均数； VAR(i)表示第i个学生四学期学习成绩标准差； 客观、合理地评价学生的学习状况 评价学生学习状况的目的是激励优秀学生努力学习取得更好的成绩，同时鼓励基础相对薄弱的学生树立信心，不断进步。然而，现行的评价方式单纯的根据“绝对分数”评价学生的学习状况，忽略了基础条件的差异；只对基础条件较好的学生起到促进作用，对基础条件相对薄弱的学生很难起到鼓励作用。 假定四次考试试题难易适当，并且每个学生都发挥出应有水平。 公式简述：
教师评价模型_数学建 模
教师评价模型 一、摘要 学校是一个充满着评价人的场所，每时每刻都在对各个人进行评价。毫不 夸张地说评价教师是学校里每个人的“日常功课”。 由于教师职业劳动的特殊性，它是复杂劳动。不能仅仅用工作量来评价 教师的劳动，同时评价教师的人员纷繁复杂，方式多种多样。评价教师的标准 往往束缚着学校的教学质量，教师教学的积极性。所以教师评价的确定就显的 很重要。 新课程强调：评价的功能应从注重甄别与选拔转向激励、反馈与调整；评 价内容应从过分注重学业成绩转向注重多方面发展的潜能；评价主体应从单一 转向多元。 那么如何公正、客观地评价教师的同时，有效地保护教师的教学积极性和 帮助提高学校的办学水平呢？ 此模型的建立改变了以往同类模型的多种弊端，从另一角度更加合理地分析、评价，就是为了更公平，公正地对教师做出合理的评价，从而促进学生发 展和教师提高。 本模型主要用了模糊数学模型和对各项评价付权重的方法进行建模分析。 从（1）教师对自己的评价，（2）学生对教师的评价；（3）由专家组对教师的评价的角度出发，通过量化，加权，得出结果。然后确定三方面的比重来评价 教师。同时通过确定教师自评与他人评价的比值范围，而确定这次评价是否有效。 在各个方面采用的数学模型如下：
1、教师对自己的评价： 教师对自己的满意度，既体现教师的主人翁意识也保护教师的教学积 极性。 16 1160i i i P Q D ( i ∈[1,16]) (Q 表示教师自评的得分 Pi 表示教师对自己各项符合度而打的分数 Di 表示对教师自评要求各项所加给的权重 ) 2、学生对教师的评价： 表明以学生为主体，体现了模型的客观性，公平、公开的原则。 90j i ij i d c a ij a =ij n u ij a =A （U ，V ） （ U 为评价的主要因素， V 为评价因素分等。 C i 为学生对教师的各项评价要求所付的权重 N 为填写有效调查表的人数） 3、由专家组成通过听课对教师的评价： 表明专家对教师指导性，帮助教师提高教学水平。体现了评价的权威 性，真实性。同时也是作为教师提拔的一个方面。 （1）建立综合评价矩阵51ij ij ik k c g c （2）综合评价 B=A ⊕R=（b 1,b 2,……，b m ）
所谓指标就是用来评价系统的参量?例如，在校学生规模、教学质量、师资结构、科研水平等，就可以作为评价高等院校综合水平的主要指标?一般说来，任一个指标都 反映和刻画事物的一个侧面. 从指标值的特征看，指标可以分为定性指标和定量指标.定性指标是用定性的语言作为指标描述值，定量指标是用具体数据作为指标值?例如，旅游景区质量等级有5A、4A、3A、2A和1A之分，则旅游景区质量等级是定性指标；而景区年旅客接待量、门票收入等就是定量指标. 从指标值的变化对评价目的的影响来看，可以将指标分为以下四类： (1)极大型指标(又称为效益型指标)是指标值越大越好的指标； (2)极小型指标(又称为成本型指标)是指标值越小越好的指标； (3)居中型指标是指标值既不是越大越好，也不是越小越好，而是适中为最好的指标； (4)区间型指标是指标值取在某个区间为最好的指标. 例如，在评价企业的经济效益时，利润作为指标，其值越大，经济效益就越好，这就是效益型指标；而管理费用作为指标，其值越小，经济效益就越好，所以管理费用是成本型指标.再如建筑工程招标中，投标报价既不能太高又不能太低，其值的变化围一般是(10%, 5%) X标的价，超过此围的都将被淘汰，因此投标报价为区间型指标.投标工期既不能太长又不能太短，就是居中型指标. 在实际中，不论按什么式对指标进行分类，不同类型的指标可以通过相应的数学法进行相互转换8.2.4评价指标的预处理法 一般情况下，在综合评价指标中，各指标值可能属于不同类型、不同单位或不同数量级，从而使得各指标之间存在着不可公度性，给综合评价带来了诸多不便.为了尽可能地反映实际情况，消除由于各项指标间的这些差别带来的影响，避免出现不合理的评价结果，就需要对评价指标进行一定的预处理，包 括对指标的一致化处理和无量纲化处理. 1.指标的一致化处理 所谓一致化处理就是将评价指标的类型进行统一.一般来说，在评价指标体系中，可能会同时存在 极大型指标、极小型指标、居中型指标和区间型指标，它们都具有不同的特点.如产量、利润、成绩等极大型指标是希望取值越大越好；而成本、费用、缺陷等极小型指标则是希望取值越小越好；对于室温 度、空气湿度等居中型指标是既不期望取值太大，也不期望取值太小，而是居中为好.若指标体系中存在不同类型的指标，必须在综合评价之前将评价指标的类型做一致化处理.例如，将各类指标都转化为极大型指标，或极小型指标.一般的做法是将非极大型指标转化为极大型指标.但是，在不同的指标权重确定法和评价模型中，指标一致化处理也有差异. (1)极小型指标化为极大型指标 对极小型指标X j，将其转化为极大型指标时，只需对指标X j取倒数：
答卷编号（参赛学校填写）： 答卷编号（竞赛组委会填写）： 论文题目：学科评价模型(A) 组别：本科生 参赛队员信息(必填)： 姓名专业班级及学号联系电话参赛队员1 08生物技术一班0886 参赛队员2 08生物技术一班1680 参赛队员3 08生物技术一班0698
答卷编号（参赛学校填写）： 答卷编号（竞赛组委会填写）： 评阅情况（学校评阅专家填写）：学校评阅1. 学校评阅2. 学校评阅3. 评阅情况（省赛评阅专家填写）：省赛评阅1. 省赛评阅2. 省赛评阅3.
学科评价模型 摘要本学科评价模型采用了指标体系法，其所具有的客观公正性使之成为目前大学学科评价的主流方法。学科评价一方面取决于指标体系本身设计是否科学，另一方面则取决于原始数据和指标的可比性。由于本题目并没有给出具体的哪13个学科，而不同学科之间在某些方面存在着不同程度上的差异性。所以，我们采用层次分析法分配权重以及灰色多层次分析法处理数据，从而使评价结果更加客观公正。学科评价应分类别、分层次进行，不同的类别和层次适用于不同的情形。比如科研教学并重型高校的学科评价模型与科研型或者教学型高校的学科评价模型会有所区别。同时，在学科评价体系中，指标分级是必要的，我们将题目所给的指标分为三级。通过模型的建立及求解，我们得出了各学科各指标的评价结果，以及各学科的综合实力评价结果，并对结果进行横向分析和纵向分析，为大学学科评估及资源优化提供了较为合理的依据。 关键词层次分析法，权重, 灰色多层次分析法，关联度
一 问题的重述 学科的水平、地位是高等学校的一个重要指标，而学科间水平的评价对于学科的发展有着重要的作用，它可以使得各学科能更加深入的了解本学科(与其他学科相比较)的地位及不足之处，可以更好的促进该学科的发展。因此，如何给出合理的学科评价体系或模型一直是学科发展研究的热点问题。现有某大学（科研与教学并重型高校）的13个学科在一段时期内的调查数据，包括各种建设成效数据和前期投入的数据。 1、根据已给数据建立学科评价模型，要求必要的数据分析及建模过程。 2、模型分析，给出建立模型的适用性、合理性分析。 3、假设数据来自于某科研型或教学型高校，请给出相应的学科评价模型。 二 合理的假设 1、假设各学科所属领域以及学科特点的差异不对本评估体系产生影响 2、假设某些权威杂志对特定的学科没有偏重 3、假设国家和社会对各学科没有任何偏重 4、假设各学科培养出的人才素质没有差异 5、假设专家对学科各指标相对重要性的评判合理、客观、全面。 三 符号的说明 ijk C ：各级指标 ik C :(i=1,2,3····n;k=1,2,····m)第i 个参评学科中第k 个指标的原始数据 *k C :最优指标集 S ：综合分析评价值 A ：目标向量 ij D ：表示i D 对j D 的相对重要性数值 ij P ：判断矩阵)3,2,1,m 3,2,1(n j i ：特征向量 max ：最大特征值 CR ：判断矩阵的随机一致性比率 CI ：判断矩阵的一般一致性指标 RI ：平均随机一致性指标 i W ：各个分向量的权重系数 *W :第三指标权重分配矩阵
四类基本模型 1 优化模型 1.1 数学规划模型 线性规划、整数线性规划、非线性规划、多目标规划、动态规划。 1.2 微分方程组模型 阻滞增长模型、SARS 传播模型。 1.3 图论与网络优化问题 最短路径问题、网络最大流问题、最小费用最大流问题、最小生成树问题(MST)、旅行商问题(TSP)、图的着色问题。 1.4 概率模型 决策模型、随机存储模型、随机人口模型、报童问题、Markov 链模型。 1.5 组合优化经典问题 ● 多维背包问题(MKP) 背包问题：n 个物品，对物品i ，体积为i w ，背包容量为W 。如何将尽可能多的物品装入背包。 多维背包问题：n 个物品，对物品i ，价值为i p ，体积为i w ，背包容量为W 。如何选取物品装入背包，是背包中物品的总价值最大。 多维背包问题在实际中的应用有：资源分配、货物装载和存储分配等问题。该问题属于NP 难问题。 ● 二维指派问题(QAP) 工作指派问题：n 个工作可以由n 个工人分别完成。工人i 完成工作j 的时间为ij d 。如何安排使总工作时间最小。 二维指派问题（常以机器布局问题为例）：n 台机器要布置在n 个地方，机器i 与k 之间的物流量为ik f ，位置j 与l 之间的距离为jl d ，如何布置使费用最小。 二维指派问题在实际中的应用有：校园建筑物的布局、医院科室的安排、成组技术中加工中心的组成问题等。 ● 旅行商问题(TSP) 旅行商问题：有n 个城市，城市i 与j 之间的距离为ij d ，找一条经过n 个城市的巡回（每个城市经过且只经过一次，最后回到出发点），使得总路程最小。 ● 车辆路径问题(VRP) 车辆路径问题（也称车辆计划）：已知n 个客户的位置坐标和货物需求，在
所谓指标就是用来评价系统的参量．例如，在校学生规模、教学质量、师资结构、科研水平等，就可以作为评价高等院校综合水平的主要指标．一般说来，任何—个指标都反映和刻画事物的—个侧面． 从指标值的特征看，指标可以分为定性指标和定量指标．定性指标是用定性的语言作为指标描述值，定量指标是用具体数据作为指标值．例如，旅游景区质量等级有5A 、4A 、3A 、2A 和1A 之分，则旅游景区质量等级是定性指标；而景区年旅客接待量、门票收入等就是定量指标． 从指标值的变化对评价目的的影响来看，可以将指标分为以下四类： (1)极大型指标(又称为效益型指标)是指标值越大越好的指标； (2)极小型指标(又称为成本型指标)是指标值越小越好的指标； (3)居中型指标是指标值既不是越大越好，也不是越小越好，而是适中为最好的指标； (4) 区间型指标是指标值取在某个区间内为最好的指标． 例如，在评价企业的经济效益时，利润作为指标，其值越大，经济效益就越好，这就是效益型指标；而管理费用作为指标，其值越小，经济效益就越好，所以管理费用是成本型指标．再如建筑工程招标中，投标报价既不能太高又不能太低，其值的变化范围一般是(10%,5%)-+×标的价，超过此范围的都将被淘汰，因此投标报价为区间型指标．投标工期既不能太长又不能太短，就是居中型指标． * 在实际中，不论按什么方式对指标进行分类，不同类型的指标可以通过相应的数学方法进行相互转换 评价指标的预处理方法 一般情况下，在综合评价指标中，各指标值可能属于不同类型、不同单位或不同数量级，从而使得各指标之间存在着不可公度性，给综合评价带来了诸多不便．为了尽可能地反映实际情况，消除由于各项指标间的这些差别带来的影响，避免出现不合理的评价结果，就需要对评价指标进行一定的预处理，包括对指标的一致化处理和无量纲化处理． 1．指标的一致化处理 所谓一致化处理就是将评价指标的类型进行统一．一般来说，在评价指标体系中，可能会同时存在极大型指标、极小型指标、居中型指标和区间型指标，它们都具有不同的特点．如产量、利润、成绩等极大型指标是希望取值越大越好；而成本、费用、缺陷等极小型指标则是希望取值越小越好；对于室内温度、空气湿度等居中型指标是既不期望取值太大，也不期望取值太小，而是居中为好．若指标体系中存在不同类型的指标，必须在综合评价之前将评价指标的类型做一致化处理．例如，将各类指标都转化为极大型指标，或极小型指标．一般的做法是将非极大型指标转化为极大型指标．但是，在不同的指标权重确定方法和评价模型中，指标一致化处理也有差异． (1) 极小型指标化为极大型指标 对极小型指标j x ，将其转化为极大型指标时，只需对指标j x 取倒数： 1j j x x '= ，
一、模糊评价 模糊评价法是应用模糊理论和模糊关系合成的原理,通过多个因素对被评 价事物隶属等级状况进行综合性评价的一种方法。运用模糊评价法,通过多因素 或多指标,既对被评价事物的变化区间作出某种划分,又对事物属于各评价等级 的程度作出分析,从而更深入和客观地对被评价事物进行描述。 特点： ①模糊评价法的结果是一个向量,而不是一个数值,即被评价事物的状况是通过被评价事物的等级隶属度来表示。 ②模糊评价法可以是一种多层的评价,即可以先对被评价事物的某一层面进行模糊评价,再将各层面的模糊评价结果进行模糊合成,得出总的模糊评价结果。 ③模糊评价法具有指标或因素的自然可综合性。由于模糊评价法只需确定各指标的等级隶属度,既可用于主观指标,又可用于客观指标,以此而无需专门对指标进行无量纲处理。 1.1模糊评价的应用 ①人事考核中的应用， ②单位员工的年终评定， ③昆山公安信息化建设效绩的评估（下载文档）， ④我国商业银行内部控制评价体系研究（下载文档）， ⑤石化行业业绩评价（下载文档）等。 1.2一级模糊综合评判模型的建立步骤 ①确定因素集及评语集 确定被评价对象的因素集U ，{}12=,, ,n U u u u ，评语集{}12,,,m V v v v =； ②构造模糊关系矩阵R ，进行单因素评判。 用ij r 表示U 中的因素i u 对应于V 中等级j v 的隶属关系，则有 ③确定各因素的权重 用i a 表示第i 个因素的权重，11n i i a ==∑，则评价因素权向量A 为 ()12,,,n A a a a =。 ④综合评判 由模糊关系矩阵R 得到一个模糊变换为 则评判的综合结果为 () 11121212221212,,,m m n n n nm r r r r r r B A R a a a r r r ?? ? ? == ? ??? 。 1.3多层次模糊综合评判模型的建立步骤
建模参考资料 综合评价方法 一、关于评价指标 所谓指标就是用来评价系统的参量．例如，在校学生规模、教学质量、师资结构、科研水平等，就可以作为评价高等院校综合水平的主要指标．一般说来，任何—个指标都反映和刻画事物的—个侧面． 从指标值的特征看，指标可以分为定性指标和定量指标．定性指标是用定性的语言作为指标描述值，定量指标是用具体数据作为指标值．例如，旅游景区质量等级有5A 、4A 、3A 、2A 和1A 之分，则旅游景区质量等级是定性指标；而景区年旅客接待量、门票收入等就是定量指标． 从指标值的变化对评价目的的影响来看，可以将指标分为以下四类： (1)极大型指标(又称为效益型指标)是指标值越大越好的指标； (2)极小型指标(又称为成本型指标)是指标值越小越好的指标； (3)居中型指标是指标值既不是越大越好，也不是越小越好，而是适中为最好的指标； (4) 区间型指标是指标值取在某个区间内为最好的指标． 例如，在评价企业的经济效益时，利润作为指标，其值越大，经济效益就越好，这就是效益型指标；而管理费用作为指标，其值越小，经济效益就越好，所以管理费用是成本型指标．再如建筑工程招标中，投标报价既不能太高又不能太低，其值的变化范围一般是(10%,5%)-+×标的价，超过此范围的都将被淘汰，因此投标报价为区间型指标．投标工期既不能太长又不能太短，就是居中型指标． 在实际中，不论按什么方式对指标进行分类，不同类型的指标可以通过相应的数学方法进行相互转换 1 评价指标的处理方法 一般情况下，在综合评价指标中，各指标值可能属于不同类型、不同单位或不同数量级，从而使得各指标之间存在着不可公度性，给综合评价带来了诸多不便．为了尽可能地反映实际情况，消除由于各项指标间的这些差别带来的影响，避免出现不合理的评价结果，就需要对评价指标进行一定的预处理，包括对指标的一致化处理和无量纲化处理． 1．指标的一致化处理 所谓一致化处理就是将评价指标的类型进行统一．一般来说，在评价指标体系中，可能会同时存在极大型指标、极小型指标、居中型指标和区间型指标，它们都具有不同的特点．如产量、利润、成绩等极大型指标是希望取值越大越好；而成本、费用、缺陷等极小型指标则是希望取值越小越好；对于室内温度、空气湿度等居中型指标是既不期望取值太大，也不期望取值太小，而是居中为好．若指标体系中存在不同类型的指标，必须在综合评价之前将评价指标的类型做一致化处理．例如，将各类指标都转化为极大型指标，或极小型指标．一般的做法是将非极大型指标转化为极大型指标．但是，在不同的指标权重确定方法和评价模型中，指标一致化处理也有差异． (1) 极小型指标化为极大型指标 对极小型指标j x ，将其转化为极大型指标时，只需对指标j x 取倒数：
第八章 模糊数学方法建模 1965年,美国自动控制学家首先提出了用“模糊集合”描述模糊事物的数学模型。它的理论和方法从上个世纪七十年代开始受到重视并得到迅速发展，特别是愈来愈广泛地应用于解决生产实际问题。模糊数学的理论和方法解决了许多经典数学和统计数学难以解决的问题，这里，我们通过几个例子介绍模糊综合评判、模糊模式识别、模糊聚类、模糊控制等最常用方法的应用。而相应的理论和算法这里不作详细介绍，请参阅有关的书籍。 §1 模糊综合评判及其应用 一、模糊综合评判 在我们的日常生活和工作中，无论是产品质量的评级，科技成果的鉴定，还是干部、学生的评优等等，都属于评判的范畴。如果考虑的因素只有一个，评判就很简单，只要给对象一个评价分数，按分数的高低，就可将评判的对象排出优劣的次序。但是一个事物往往具有多种属性，评价事物必须同时考虑各种因素，这就是综合评判问题。所谓综合评判，就是对受到多种因素制约的事物或对象，作出一个总的评价。 综合评判最简单的方法有两种方式： 一种是总分法，设评判对象有m 个因素，我们对每一个因素给出一个评分i s ，计算出评判对象取得的分数总和 ∑== m i i s S 1 按S 的大小给评判对象排出名次。例如体育比赛中五项全能的评判，就是采用这种方法。 另一种是采用加权的方法，根据不同因素的重要程度，赋以一定的权重，令i a 表示对第i 个因素的权重，并规定 ∑==m i i a 1 1，于是用 ∑== m i i i s a S 1 按S 的大小给评判对象排出名次。 以上两种方法所得结果都用一个总分值表示，在处理简单问题时容易做到，而多数情况下评判是难以用一个简单的数值表示的，这时就应该采用模糊综合评判。 由于在很多问题上，我们对事物的评价常常带有模糊性，因此，应用模糊数学的方法进行综合评判将会取得更好的实际效果。 模糊综合评判的数学模型可分为一级模型和多级模型两类，这里仅介绍一级模型。 应用一级模型进行综合评判，一般可归纳为以下几个步骤： （1）建立评判对象的因素集},,,{21n u u u U =。因素就是对象的各种属性或性能，在不同场合，
什么是综合评价法？ 运用多个指标对多个参评单位进行评价的方法，称为多变量综合评价方法，或简称综合评价方法。其基本思想是将多个指标转化为一个能够反映综合情况的指标来进行评价。如不同国家经济实力，不同地区社会发展水平，小康生活水平达标进程，企业经济效益评价等，都可以应用这种方法。编辑本段综合评价方法的种类 现代综合评价方法包括主成分分析法、数据包络分析法、模糊评价法等。(1)主成分分析法。主成分分析是多元统计分析的一个分支。是将其分量相关的原随机向量，借助于一个正交变换，转化成其分量不相关的新随机向量，并以方差作为信息量的测度，对新随机向量进行降维处理。再通过构造适当的价值函数，进一步做系统转化。(2)数据包络分析法。它是创建人以其名字命名的DEA模型——CR模型。DEA法不仅可对同一类型各决策单元的相对有效性做出评价与排序，而且还可进一步分析各决策单元非DE有效的原因及其改进方向，从而为决策者提供重要的管理决策信息。 (3)模糊评价法。模糊评价法奠基于模糊数学。它不仅可对评价对象按综合分值的大小进行评价和排序，而且还可根据模糊评价集上的值按最大隶属度原则去评定对象的等级。 编辑本段综合评价法的特点 综合评价法的特点表现为：（1）评价过程不是逐个指标顺次完成的，而是通过一些特殊方法将多个指标的评价同时完成的；（2）在综合评价过程中，一般要根据指标的重要性进行加权处理；（3）评价结果不再是具有具体含义的统计指标，而是以指数或分值表示参评单位"综合状况"的排序。 编辑本段综合评价法的要素 构成综合评价的要素主要有：1．评价者。评价者可以是某个人或某团体。评价目的的给定、评价指标的建立、评价模型的选择、权重系数的确定都与评价者有关。因此，评价者在评价过程的作用是不可轻视的。2．被评价对象。随着综合评价技术理论的开展与实践活动，评价的领域也从最初的各行各业经济统计综合评价拓展到后来的技术水平、生活质量、小康水平、社会发展、环境质量、竞争能力、综合国力、绩效考评等方面。这些都能构成被评价对象。3．评价指标。评价指标体系是从多个视角和层次反映特定评价客体数量规模与数量水平的。它是一个“具体一抽象一具体”的辩证逻辑思维过程，是人们对现象总体数量特征的认识逐步深化、求精、完善、系统化的过程。4．权重系数。相对于某种评价目的来说，评价指标相对重要性是不同的。权重系数确定的合理与否，关系到综合评价结果的可信程度。5．综合评价模型。所谓多指标综合评价，就是指通过一定的数学模型将多个评价指标值“合成”为一个整体性的综合评价值。 编辑本段综合评价法的步骤 1、确定综合评价指标体系，这是综合评价的基础和依据。 2、收集数据，并对不同计量单位的指标数据进行同度量处理。 3、确定指标体系中各指标的权数，以保证评价的科学性。 4、对经过处理后的指标在进行汇总计算出综合评价指数或综合评价分值。 5、根据评价指数或分值对参评单位进行排序，并由此得出结论。 编辑本段综合评价分析指标值的计算方法 主要有打分综合法、打分排队法、综合指数法、功效系数法等。 编辑本段综合评价法的案例分析 案例一：综合评价法在电网工程后评价中的应用[1] 项目后评价的理论基础是现代系统控制与反馈控制的管理理论，后评价是完全建立在实际数据的基础上，如何选择合适的评价体系和指标，正确处理和应用这些数据是成功实施后评价的核心。 1.后评价的总体实施方法电网工程项目后评价主要需要解决三个问题:一是项目的原定目标和目的是否可能达到，目标是否需要调整;三是项目的原定效益是否可能实现以及实现的程度:三是项目运营可持续性，下一步会有什么风险，有多大风险。由于上述三个问题涉及到较多的定量和定性的分析，在实际操作中，可以使用综合评价陆对电网项目实施后评价，可分解为项目建设过程评价、项目经济效益评价、电网项目社会经济的影响评价、可持续性评价、决定性因素评价五个一级评价目标，根据其不同的特点选用不同的评价方陆，同时还需要根据工程特点有侧重地分解二级或三级评价目标，从而进行定性或定量分析。设项目实施过程评价为P1，项目效益评价为P2，项目影响评价为P3，项目可持续性评价为P4，其各自所占的权重为 4 ?4，则项目的后评价总评分P的计算方法为: 其中， 4 ?4是各项所占的权重，该数值可通过搜集权威专家的集体意见，对一级评价目标中四