三角形面积公式的向量形式及其应用举例

最全面的三角形面积公式

最全面的三角形面积公式 一提到三角形面积公式，大家都知道。 ① 已知三角形的底边长为a , 高为h ，则 三角形面积S= 底 ? 高 ÷2 2 ah = B 实际上，三角形面积公式太多啦，上面得公式是最基本的公式，根据条件不同，三角形面积公式也不同。 ②已知三角形的周长为l ，内切圆半径为r ，则三角形面积2 lr S = ③已知三角形的三边长的乘积为L ，外接圆半径为R ，则三角形面积4L S R = ④已知三角形AOB 中，向量 OA a =uu r r ，OB b =u u u r r ，则三角形面积S = 此公式也适用于空间三角形求面积。 ⑤已知在平面直角坐标系中，三角形ABC 的三顶点坐标分别为，11(,)A x y ，22(,)B x y ， 33C(,)x y , 则三角形面积1 1223 31 1121 x y S x y x y = 的绝对值1223311321321 2 x y x y x y x y x y x y =++---。

特别地，当(0,0)C ，或经过平移后(0,0)C ，此时，三角形面积12211 2S x y x y =-。 ⑥海伦（Heran ）公式，已知△ABC 中，1 ,,,()2 AB c BC a CA b p a b c ====++，则 三角形面积S 我国宋朝时期也有类似的三角形面积公式，即秦九韶公式，也叫三斜求积公式。 S = ⑦已知三角形两边及夹角，则三角形面积公式为 111 sin sin sin 222 S ab C bc A ca B = == ⑧已知三角形两角及夹边，则三角形面积公式为 222sin sin sin sin sin sin 2sin()2sin()2sin() c A B b A C a B C S A B A C B C === +++ ⑨已知三角形两角A 、B 及其中一边的对边a ，则三角形面积公式为 2sin()sin 2sin a A B B S A += ⑩已知空间三角形ABC 的顶点111222333(,,), (,,),(,,)A x y z B x y z C x y z 。 则三角形面积212121313131 11 22 i j k S AB AC x x y y z z x x y y z z =?=------ 的绝对值

三角形面积的向量方法

三角形面积的向量方法 向量是一个有力的工具,具有代数形式和几何形式的”双重身份”,向量在几何中以得到广泛应 用．三角形是平面几何中最基本、最重要的图形．向量的模与数量积运算具有鲜明的几何背景． 公式 ABC ?中，若向量CB a = ，CA b = ，则ABC S ?= 证明 1sin ,2ABC S a b a b ?=<> == １．利用公式求三角形的面积． 例1．已知ABC ?，点(1,1)A ，(4,2)B ，(3,5)C ，求ABC ?的面积． 解：∵(3,1)AB = ，(2,4)AC = ，∴210AB = ，220AC = ，10AB AC ?= ， ∴ABC S ?=5==． 例2．已知ABC ?中，向量00 (cos23,cos67)BA = ，00(2cos68,2cos22)BC = ，求ABC ?的 面积． 解：由已知，得00(cos23,sin 23)BA = ，00 (2sin 22,2cos22)BC = ，∴1BA = ，2BC = ， ∴00002(sin 22cos23cos22sin 23)BC BA ?=+ 0 2sin 45== ∴ABC S ?==． ２．利用公式和三角函数的性质求三角形面积最值． 例3．平面直角坐标系内有点(sin ,cos )P x x ，(cos ,sin )Q x x ，[,]2412 x ππ ∈-，O 为坐标原点，求OPQ ?面积的最值． 解：OPQ S ?===1 cos 22 x =．

∵[, ]2412x ππ ∈-， ∴当12 x π = 时，OPQ ? 面积的最小值为 4 ；当0x =时，OPQ ?面积的最大值为 12 ． ３．利用公式和均值不等式求三角形面积最值． 例4.已知OAB ?中,OA a = ，OB b = ，且3,2a b a b +=-= ，求OAB ?面积的最大值． 解：∵3,2a b a b +=-= ，∴2229a a b b +?+= ，22 24a a b b -?+= ，解得54 a b ?= ， 22132a b += ，∴OAB S ?= = ≤3 2=， 当且仅当a b == 时，取“=”号． 例 5.已知向量(cos ,sin )OA a αα== ，(cos ,sin )OB b ββ== ，a 与b 之间有关系 式 ka b kb +=- ，（0k > ，且2k ≠，O 为坐标原点，求AOB ?面积的最大值，并求 此时a 与b 的夹角θ． 解：将ka b kb +=- 两边平方，得222222 23(2)k a ka b b a ka b k b +?+=-?+ ∵1a b == ，∴2 2213(12)k ka b ka b k +?+=-?+ ，又∵0k >，∴111()42a b k k ?=+≥ ， 当且仅当1k =时取“= ”号．∴AOB S ?= = ≤ 4= ∴AOB ? 此时12a b ?= ，∴1c o s 2 a b a b θ?== ，∵000180θ<<，∴0 60θ=．

三角形、平行四边形面积的向量公式

1 三角形、平行四边形面积的向量公式 提到三角形的面积，C ab ah S sin 2 121==应该算最为简捷的两个，尤其是后者，在已知三角形的两边 及其夹角（正弦值）的条件下求三角形面积，常常与正、余弦定理互动也是情理之中的事．下面我们通过 一道高考题，伺机请出三角形面积公式的向量代言人． 引例 （2010年高考辽宁卷8）平面上B A O ,,三点不共线，设=OA a ，=OB b ，则OAB ?的面积等 于（ ） A ．222)(||||b a b a ?- B ．222)(||||b a b a ?+ C ．222)(||||21b a b a ?- D ．222)(||||2 1b a b a ?+ 解：)cos 1(21sin 21222C OB OA C OB OA S OABC -=?=?=-=C b a b a 22222cos ||||||||2 1 222)(||||2 1b a b a ?-．选C ． 因为2222||,||b b a a ==，所以上述公式还可以化为222)(2 1b a b a ?-，意识到没有，之所以写成选项中的形式，可能是怕有同学误认为222)(ab b a =，随手接着一化，得OAB ?的面积等于0！然后开始怀疑人生． 其实这道高考题是有渊源的，现在让它卸了妆，它就变成这样子：已知ABC ?中，=a ，=b ，试用b a ,的向量运算式子表示ABC ?的面积，即=?ABC S ____________________．它是谁？它是2004年全国高中数学联赛湖南预赛第12题．好尴尬呀，说出去的话泼出去的水，悔不该揭它老底儿！ 上述公式便是三角形面积的向量代言人之一，当题目含有公式需要的向量条件时，可考虑让它出手． 例1 （2012年全国高中数学联赛5）在ABC ?中，若7=? 6=-，则ABC ?面积的最大值为 ． 分析：因为7=?，所以只需求出||||?的最大值即可. 解：6=-两边平方，得362||||22=?-+，所以50||||22=+，所以(2 1||||≤?25)||||22=+，当且仅当5||||==时，等号成立． 所以ABC ?面积的最大值为127252 122=-． 评注：本例还可以用几何法求解：记BC 的中点为M ，则() +=21,

向量方法和解三角形

向量方法和解三角形 一、向量方法 1．已知ABC ?，若对任意R t ∈，BA tBC AC -≥ ，则ABC ?一定为 A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．斜三角形 2．已知,a b 是单位向量，且,a b 的夹角为3 π，若向量c 满足|2|2c a b -+= ，则||c 的最大值为（ ） A.2 2 2 2 3．M 是ABC ?所在平面上的一点，且D ,23 23=++是AC 中点， 的值为（ ） A. 13 B.1 2 C.1 D.2 4．如图所示，A 、B 、C 是圆O 上的三点，CO 的延长线与线段AB 交于圆内一点D ，若OC = xOA yOB + ，则 （ ） A.01x y <+< B.1x y +> C.1x y +<- D.10x y -<+< 5．在圆O 中，若弦6AB =，弦10AC =，则AO ·BC 的值是 A.－16 B ．－2 C ．32 D ．16 6．在四边形ABCD 中，13 DC AB = ，E 为BC 的中点，且AE x AB y AD =?+? ， 则32x y -= . 7．如图，ABC ? 是边长为P 是以C 为圆心，1为半径的圆上 的任意一点，则AP BP = 8．在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 为以A 为圆心，AB 为半径的圆弧上的任 意一点，设向量的最小值为则μλμλ++=,AP DE AC . 9．已知点P 在△ABC 所在的平面内，若2PA ＋3PB ＋4PC ＝3AB ，则△PAB 与 △PBC 的面积的比值为__________． 10．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ,1,3AD CD AB ===，动点P 在BCD 内运动（含边界），设AP AD AB αβ=+ ，则αβ+的最大值是 ． E D C B A P B A C

三角形的面积计算公式

三角形的面积计算公式 三角形的面积计算公式1.已知三角形底a，高h，则 S＝ah/22.已知三角形三边a,b,c，则（海伦公式）（p=(a+b+c)/2）S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]=（1/4）√[(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)]3.已知三角形两边a,b,这两边夹角C，则S＝1/2 * absinC4.设三角形三边分别为a、b、c，内切圆半径为r则三角形面积=(a+b+c)r/25.设三角形三边分别为a、b、c，外接圆半径为R则三角形面积=a bc/4R6.S△=1/2 *| a b 1 || c d 1 || e f 1 || a b 1 || c d 1 | 为三阶行列式,此三角形ABC在平面直角坐标系内A(a,b),B(c,d), C(e,f),这里ABC| e f 1 |选区取最好按逆时针顺序从右上角开始取，因为这样取得出的结果一般都为正值，如果不按这个规则取，可能会得到负值，但不要紧，只要取绝对值就可以了，不会影响三角形面积的大小！7.海伦--秦九韶三角形中线面积公式:S=√[(Ma+Mb+Mc)*(Mb+Mc-Ma)*(Mc+Ma-Mb)*(Ma+Mb-Mc)]/3其中Ma,Mb,Mc为三角形的中线长.8.根据三角函数求面积S= &frac12;ab sinC=2R&sup2; sinAsinBsinC= a&sup2;sinBsinC/2sinA注:其中R为外切圆半径。9.根据向量求面积SΔ)= &frac12;√(|AB|*|AC|)&sup2;-（AB*AC）

由向量形式的三角形面积公式得到的坐标式三角形面积公式及其应用 (2019高考)数学考点分类解析

由向量形式的三角形面积公式得到的坐标式三角形面积公式及其应用 高考题1 (2010年高考辽宁卷理科第8题)平面上B A O ,,三点不共线，设b OB a OA ==,，则OAB ?的面积等于( ) A.2 2 2)(b a b a ?- B.2 2 2)(b a b a ?+ C.22 2)(21b a b a ?- D. 22 2)(2 1 b a b a ?+ 答案：C. 这道高考题的结论就是向量形式的三角形面积公式： 定理1 若三点B A O ,,不共线，则22 2)(2 1 OB OA OB OA S OAB ?-=?. 证明 22 22)(2 1cos 121OB OA OB OA AOB OB OA S OAB ?-=∠-= ?. 由此结论，还可证得 定理2 若三点B A O ,,不共线，且点O 是坐标原点，点B A ,的坐标分别是 ),(),,(2211y x y x ，则12212 1 y x y x S OAB -= ?. 证法1 由定理1，得 1221221212 22221212 1)())((21y x y x y y x x y x y x S OAB -=+-++= ? 证法2 可得直线AB 的方程是 0)()()(12212121=-+---y x y x y x x x y y 所以坐标原点O 到直线AB 的距离是 AB y x y x 1 221-，进而可得AOB ?的面积是 122112212121 y x y x AB y x y x AB S OAB -=-?= ?. 下面用定理2来简解10道高考题. 高考题2 (2014年高考四川卷理科第10题)已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB → ＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( ) A ．2 B ．3 C.172 8 D.10 解 B.得?? ? ??0,41F ，可不妨设)0)(,(),,(212211y y y x B y x A >>. 由2212 2212121=+=+=?y y y y y y x x OB OA ，可得221-=y y ，所以由定理2，得 2121212112 222112212 12121y y y y y y y y y y y y y x y x S ABO -=-=-?=-=-= ? 所以

最全面的三角形面积公式

最全面的三角形面积公式 河北邯郸 贾敬堂 一提到三角形面积公式，大家都知道。 ① 已知三角形的底边长为a , 高为h ，则 三角形面积S= 底 ? 高 ÷2 2 ah = B 实际上，三角形面积公式太多啦，上面得公式是最基本的公式，根据条件不同，三角形面积公式也不同。 ②已知三角形的周长为l ，内切圆半径为r ，则三角形面积2 lr S = ③已知三角形的三边长的乘积为L ，外接圆半径为R ，则三角形面积4L S R = ④已知三角形AO B 中，向量 O A a =uur r ，O B b =uu u r r ，则三角形面积S = 此公式也适用于空间三角形求面积。 ⑤已知在平面直角坐标系中，三角形ABC 的三顶点坐标分别为，11(,)A x y ，22(,)B x y ， 33C(,)x y ,

则三角形面积11223 3 1 112 1 x y S x y x y = 的绝对值12233113213212 x y x y x y x y x y x y =++---。 特别地，当(0,0)C ，或经过平移后(0,0)C ，此时，三角形面积122112S x y x y = -。 ⑥海伦（Heran ）公式，已知△ABC 中，1 ,,,()2 A B c B C a C A b p a b c ====++，则 三角形面积S = 。 我国宋朝时期也有类似的三角形面积公式，即秦九韶公式，也叫三斜求积公式。 S = ⑦已知三角形两边及夹角，则三角形面积公式为 111sin sin sin 2 2 2 S ab C bc A ca B = = = ⑧已知三角形两角及夹边，则三角形面积公式为 2 2 2 sin sin sin sin sin sin 2sin() 2sin() 2sin() c A B b A C a B C S A B A C B C = = = +++ ⑨已知三角形两角A 、B 及其中一边的对边a ，则三角形面积公式为 2 sin()sin 2sin a A B B S A += ⑩已知空间三角形ABC 的顶点111222333(,,), (,,),(,,)A x y z B x y z C x y z 。 则三角形面积212121313131 11 22 i j k S AB AC x x y y z z x x y y z z =?=------ 的绝对值

浅谈用向量法求三角形面积

浅谈用平面向量求三角形面积 新编中学数学教材在内容上增加了平面向量，这就给中学数学增加了一个全新的解题工具和方法，平面向量具有代数形式和几何形式的“双重身份”，平面向量作为数学知识网络的一个交汇点，它是联系众多知训的桥梁，因此以平面向量为工具成为高考的一个亮点，本文就结合实例谈谈如何应用平面向量解决三角形面积： 结论1：在ABC ?中，()11,y x =，()22,y x =，则三角形ABC 的面积： 12212 1 y x y x S ABC -= ? 证明：由()11,y x =，()22,y x = 22 2221 21 2121cos y x y x y y x x A +++= = π<

已知三角形三点坐标求三角形的面积的各种方法

已知三角形三点坐标,求三角形的面积 先介绍一下三维中的两点之间距离之式，和二维的几乎一样： d=sqrt((x0-x1)^2+ (y0-y1)^2 + (z0-z1)^2) 再介绍叉乘，中心内容！叉乘在定义上有： 两个向量进行叉乘得到的是一个向量，方向垂直于这两个向量构成的平面，大小等于这两个向量组成的平行四边形的面积。 在直角座标系[O;i,j,k]中，i、j、k分别为X轴、Y轴、Z轴上向量的单位向量。 设P0(0,0,0)，P1(x1,y1,z1)，P2(x2,y2,z2)。因为是从原点出发，所以向量 P0P1可简记为P1，向量P0P2可简记为P2。依定义有： |i j k | P1×P2 = |x1 y1 z1| |x2 y2 z2| 展开，得到： 上式= iy1z2 + jz1x2 + kx1y2 - ky1x2 - jx1z2 - iz1y2 = (y1z2 - y2z1)i + (x2z1 - x1z2)j + (x1y2 - x2y1)k 按规定，有： 单位向量的模为1。可得叉积的模为： |P1×P2| = y1z2- y2z1 + x2z1 - x1z2 + x1y2 - x2y1 = (y1z2 + x2z1 + x1y2) - (y2z1 + x1z2 + x2y1) 开始正式内容。我们设三角形的三个顶点为A(x0,y0,z0)，B(x1,y1,z1)， C(x2,y2,z2)。我们将三角形的两条边AB和AC看成是向量。然后，我们以A为原点，进行坐标平移，得到向量B(x1-x0,y1-y0,z1-z0)，向量

C(x2-x0,y2-y0,z2-z0)。 ①在三维的情况下，直接代入公式，可得向量B和向量C叉乘结果的模为： |B×C| = ((y1-y0)*(z2-z0) + (z1-z0)*(x2-x0) + (x1-x0)*(y2-y0)) -((y2-y0)*(z1-z0) + (z2-z0)*(x1-x0) + (x2-x0)*(y1-y0))| 1 1 1 | = |x1-x0 y1-y0 z1-z0| |x2-x0 y2-y0 z2-z0| 它的一半即为所要求的三角形面积S。还有一种比较简单的写法。将向量AB和AC平移至原点后，设向量B为(x1,y1,z1)，向量C为(x2,y2,z2)，则他们的叉乘所得向量P为(x,y,z)，其中： |y1 z1| |z1 x1| |x1 y1| x = | | y = | | z = | | |y2 z2| |z2 x2| |x2 y2| 然后用三维中的两点之间距离公式，求出(x,y,z)与(0,0,0)的距离，即为向量P 的模，它的一半就是所要求的面积了。 以上公式都很好记： x分量由y，z分量组成，y分量由z，x分量组成，z分量由x，y分量组成，恰好是循环的。坐标平移一下就好了。 ②在二维的情况下，我们可以取z = 0这个平面，即令z1 = z2 = 0，且 |P1×P2| = x1y2- x2y1 |x1 y1| = | | |x2 y2| 所以：

探究三角形面积公式的向量表示

探究三角形面积的向量表示 陕西省洛南中学 殷冬生 一、问题提出 三角形面积公式的表示形式有多种，常见形式有 公式1：111222ABC a b c S ah bh ch ?===（,,a b c h h h 依次是a ，b ，c 边上的高） 公式2：111 sin sin sin 222ABC S ab C ac B bc A ?=== 公式3：4ABC abc S R ?=（R 是ABC ?的外接圆圆半径） 公式4：1 ()2 ABC S a b c r ?=++（r 是ABC ?的内切圆半径） 公式5 ：ABC S ?=1 ()2 p a b c =++是ABC ?的内切圆半径） 高中数学中引入了平面向量后，三角形的面积又可以用向量的坐标表示。在北师大版教材高中《数学5(必修)》中，第48面的例3给出了用平面向量的坐标表示的三角形面积公式，并给出了证明过程。具体如下： 例3如图2-8,在ABC ?中,(,),(,),AB x y AC u υ== 求证：ABC ?的面积1 ||2 S x yu υ=-. 分析：已知向量的坐标，可以求出三角形的两边 长度及夹角余弦，于是可依据上述三角形面积公式2进行证明. 证明：22211||||sin |||| sin 2S AB AC A AB AC =?=? 221 ||||(||||cos ) AB AC AB AC A = =?-? 因为(,),(,),AB x y AC u υ==所以 1||2 S x yu υ===-. 这就得到了用平面向量的坐标表示的三角形面积公式：

公式6：在ABC ?中，若1122(,),(,),AB x y AC x y ==则12211 ||2 ABC S x y x y ?=-. 学生思考：1.上述三角形面积公式6推导过程中使用了哪些数学知识？公式推导的依据是什么？ 2.学习了空间向量后，你能用空间向量的坐标表示三角形的面积吗？ 二、师生探究 1.公式6的推导过程中用到了三角形的面积公式2、向量的数量积的定义、性质极坐标表示。公式6推导的依据是三角形的面积公式 2. 2.可以仿照平面向量表示三角形的面积公式的方法，用空间向量的坐标表示三角形的面积. 三、问题解决 在ABC ?中，若111222(,,),(,,),AB x y z AC x y z ==求ABC ?的面积S. 解析： 22211||||sin ||||sin 2S AB AC A AB AC = ?=? 221||||(||||cos )AB AC AB AC A ==?-? ∵111222(,,),(,,),AB x y z AC x y z == ∴S = = = 即ABC S ?= 公式7：在ABC ?中，若111222(,,),(,,),AB x y z AC x y z ==则ABC ?的面积为 ABC S ?=. 四、应用举例

三角形面积公式

1.已知三角形底a，高h，则S＝ah/2 2.已知三角形三边a,b,c，则 （海伦公式）（p=(a+b+c)/2） S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] =（1/4）√[(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)] 3.已知三角形两边a,b,这两边夹角C，则S＝1/2 * absinC 根据正弦定理推出来的： S三角形ABC=absinC/2 S三角形ABC=acsinB/2 S三角形ABC=bcsinA/2 4.设三角形三边分别为a、b、c，内切圆半径为r 则三角形面积=(a+b+c)r/2 5.设三角形三边分别为a、b、c，外接圆半径为R 则三角形面积=abc/4R 6.S△=1/2 * | a b 1 | | c d 1 | | e f 1 | | a b 1 | | c d 1 | 为三阶行列式,此三角形ABC在平面直角坐标系内A(a,b),B(c,d), C(e, f),这里ABC | e f 1 | 选区取最好按逆时针顺序从右上角开始取，因为这样取得出的结果一般都为正值，如果不按这个规则取，可能会得到负值，但不要紧，只要取绝对值就可以了，不会影响三角形面积的大小！ 7.海伦——秦九韶三角形中线面积公式: S=√[(Ma+Mb+Mc)*(Mb+Mc-Ma)*(Mc+Ma-Mb)*(Ma+Mb-Mc)]/3 其中Ma,Mb,Mc为三角形的中线长. 8.根据三角函数求面积： S= ½ab sinC=2R² sinAsinBsinC= a²sinBsinC/2sinA 注:其中R为外切圆半径。 9.根据向量求面积： SΔ)= ½√(|AB|*|AC|)²-（AB*AC）²

浅谈高中数学三角形面积向量求法

浅谈三角形面积的向量求法 向量是中学数学中的一个有力的工具,具有代数形式和几何形式的”双重身份”,向量在几何中以得到广 泛应用．三角形是平面几何中最基本、最重要的图形，向量与三角形的交汇问题已成为近几年高考的热点问题．向量的模与数量积运算具有鲜明的几何背景，下面笔者用向量的模与数量积表示三角形的面积公式并例谈其应用． 公式 ABC ?中，若向量CB a =，CA b =，则22 2()ABC S a b a b ?=-?． 证明 1 sin ,2 ABC S a b a b ?= <>22 2(1cos ,)a b a b = -<>2 2 2()a b a b = -?． １．利用公式求三角形的面积． 例1．已知ABC ?，点(1,1)A ，(4,2)B ，(3,5)C ，求ABC ?的面积． 解：∵(3,1)AB =，(2,4)AC =，∴2 10AB =，2 20AC =，10AB AC ?=， ∴22 2()ABC S AB AC AB AC ?=-?5= =． 例2．已知ABC ?中，向量00(cos 23,cos 67)BA =，00 (2cos 68,2cos 22)BC =，求ABC ?的面积． 解：由已知，得00(cos 23,sin 23)BA =，00 (2sin 22,2cos 22)BC =，∴1BA =，2BC =， ∴0000 2(sin 22cos 23cos 22sin 23)BC BA ?=+02sin 45== ∴22 2()ABC S BC BA BC BA ?=-?= ２．利用公式和三角函数的性质求三角形面积最值． 例3．平面直角坐标系内有点(sin ,cos )P x x ，(cos ,sin )Q x x ，[,]2412 x ππ ∈-，O 为坐标原点，求OPQ ?面积的最值． 解：22 2()OPQ S OP OQ OP OQ ?=-?= =1cos 22 x =． ∵[, ]2412x ππ ∈- ， ∴当12 x π = 时，OPQ ?面积的最小值为 4；当0x =时，OPQ ?面积的最大值为1 2 ． ３．利用公式和均值不等式求三角形面积最值． 例4.已知OAB ?中,OA a =，OB b =，且3,2a b a b +=-=，求OAB ?面积的最大值．

例谈三角形面积的向量方法

例谈三角形面积的向量方法 向量是中学数学中的一个有力的工具,具有代数形式和几何形式的”双重身份”,向量在几何中以 得到广泛应用．三角形是平面几何中最基本、最重要的图形，向量与三角形的交汇问题已成为近几年高考的热点问题．向量的模与数量积运算具有鲜明的几何背景，下面笔者用向量的模与数量积表示三角形的面积公式并例谈其应用． 公式 A B C ?中，若向量CB a = ，C A b = ，则ABC S ?= 证明 1sin ,2A B C S a b a b ?=<> == ． １．利用公式求三角形的面积． 例1．已知A B C ?，点(1,1)A ，(4,2)B ，(3,5)C ，求A B C ?的面积． 解：∵(3,1)A B = ，(2,4)AC = ，∴2 10AB = ，2 20AC = ，10AB AC ?= ， ∴ABC S ?= 5= =． 例 2．已知A B C ?中，向量00 (cos 23,cos 67)B A = ，00(2cos 68,2cos 22)B C = ，求A B C ?的 面积． 解：由已知，得00(cos 23,sin 23)B A = ，00 (2sin 22,2cos 22)BC = ，∴1B A = ，2BC = ， ∴0000 2(sin 22cos 23cos 22sin 23)BC BA ?=+ 02sin 45== ∴ABC S ?= 2 = ． ２．利用公式和三角函数的性质求三角形面积最值． 例3．平面直角坐标系内有点(sin ,cos )P x x ，(cos ,sin )Q x x ，[, ]2412 x π π ∈- ，O 为坐标原点， 求OPQ ?面积的最值． 解：OPQ S ?= = = 1cos 22 x = ．

巧妙利用三角形的重心的向量式证明三角形的面积比

E D B A C 巧妙利用三角形的重心的向量式证明三角形的面积比 我们知道在ABC ?中，若O 是其重心，则有0=++OC OB OA ，反之亦成立。教学中我们遇到过很多习题，都是有关重心的应用问题，一类求面积比的习题引起笔者的注意。通过几个小题把这个问题展现的淋漓尽致。给同学们留下了深刻的印象。思维得到了锻炼。下面是此问题解决的具体过程。仅供参考。 习题1、已知点O 在ABC ?内部，且有02=++OC OB OA 。 求AOC ?与AOB ?的面积比。 解析：如图D 是AB 的中点，由平行四边形法则得： ==+2，由题意知2-=+， 所以O 是CD 的中点，即OC=OD ，由平面几何知识得 OAB ABC S S ??=2，AOC ADC ABC S S S ???==42，因此AOC ?与AOB ?的面积比为1:2 习题2已知点O 在ABC ?内部，且有32=++，求BOC ?与AOB ?的面积比 解析：把032=++OC OB OA 变形得() OC OB OC OA +=+2 如图再由平行四边形法则得，点O 在三角形ABC 的中位线DE 上， 且2=由平面几何知识得OAB ABC S S ??=2，又因为 OAB BOC AOC S S S ???=+且BOC AOC S S ??=2因此OBC ABC S S ??=6 所以BOC ?与AOB ?的面积比为1:3 习题3已知点O 在ABC ?内部，且有42=++，求OAB ?与OBC ?的面积比。 分析：此题与上两题的区别是系数不容易分配，从共线的角度入手很难。而下面的方法恰好弥补了 上述解法的不足 解析：如图O 是三角形ADE 的重心，取B 为OD 的中点，C 为 OE 的四等分点，这样才有42=++成立，不妨设三角形 ADE 的面积为24，由重心的性质知8===???EOA DOE AOD S S S 所以 4,1,2===???OAB BOC AOC S S S ，所以OAB ?与OBC ?的面积比4:1 通过上述三道习题的展示，我们不难发现面积比与系数有很大的联系，于是大胆的猜想 面积比就是对应的系数比，下面用重心的向量式来证明： 已知点O 在ABC ?内部，且有321=++λλλ不妨设321,,λλλ均大于1

三角形面积公式

三角形面积公式 三角形面积公式 1.已知三角形底a，高h，则S＝ah/2 2.已知三角形三边a,b,c，则 （海伦公式）（p=(a+b+c)/2） S=sqrt[p(p-a)(p-b)(p-c)] =sqrt[(1/2)(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)] =√2/2sqrt[(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)] 3.已知三角形两边a,b,这两边夹角C，则S＝1/2 * absinC，即两夹边之积乘夹角的正弦值。 4.设三角形三边分别为a、b、c，内切圆半径为r 则三角形面积=(a+b+c)r/2 5.设三角形三边分别为a、b、c，外接圆半径为R 则三角形面积=abc/4R 6.S△=1/2 * | a b 1 | | c d 1 | | e f 1 | | a b 1 | | c d 1 | 为三阶行列式,此三角形ABC在平面直角坐标系内A(a,b),B(c,d), C(e,f),这里ABC | e f 1 | 选区取最好按逆时针顺序从右上角开始取，因为这样取得出的结果一般都为正值，如果不按这个规则取，可能会得到负值，但不要紧，只要取绝对值就可以了，不会影响三角形面积的大小！ 7.海伦——秦九韶三角形中线面积公式: S=√[(Ma+Mb+Mc)*(Mb+Mc-Ma)*(Mc+Ma-Mb)*(Ma+Mb-Mc)]/3 其中Ma,Mb,Mc为三角形的中线长. 8.根据三角函数求面积： S= &frac12;ab sinC=2R&sup2; sinAsinBsinC= a&sup2;sinBsinC/2sinA 注:其中R为外切圆半径。 9.根据向量求面积： SΔ)= &frac12;√(|AB|*|AC|)&sup2;-（AB*AC）&sup2 . 10.在直角坐标系中，三角形ABC面积为 S=|AB×AC|/2 即面积S等于向量AB与AC向量积的模的一半 扩展阅读： 1.根据正弦定理推出来的：

平面向量、三角形“四心”与三角形面积的关系及其证明

一、知识要点 1、若O 为ABC ?内一点，则m n r S S S OC r OB n OA m OBC OAC OAB ::::0=?=++???→ → → 2、若O 为ABC ?的重心，则ABC OBC OAC OAB S S S S ????= ==3 1 3、若O 为ABC ?的垂心，则A B C S S S OBC OAC OAB tan :tan :tan ::=???， 故0tan tan tan =?+?+?→ → → OA A OB B OC C 4、若O 为ABC ?的内心，则a b c S S S OBC OAC OAB ::::=???， 故0 =?+?+?→ → → OA a OB b OC c 5、若O 为ABC ?的外心， A B C BOC AOC AOB S S S OBC OAC OAB 2sin :2sin :2sin sin :sin :sin ::==???故02sin 2sin 2sin =?+?+?→ → → OA A OB B OC C 二、要点证明 1、若O 为ABC ?内一点，则m n r S S S OC r OB n OA m OBC OAC OAB ::::0=?=++???→ → → 证明：先证充分性，即已知0 =++→ →→OC r OB n OA m ，求证m n r S S S OBC OAC OAB ::::=??? 如图所示，分别在射线OA ，OB 上去点1A ，1B ，使得→ → =OA m OA 1， →→=OB n OB 1，并以→ →11,OB OA 为邻边作平行四边形11DB OA ，连接OD ，11B A 故→ → → → → → -=+=+=OC r nOB OA m OB OA OD 11，因此OC r OD =。 设S S DB OA 211=，则S S S S S DB A B OA ODB D OA ====111111， mn S OB A n OB m OA AOB OB OA S OAB =?=??=1111sin 21sin 21，同理mr S S nr S S OAC OBC = =,。 所以m n r S S S OBC OAC OAB ::::=??? 再证必要性，即已知则m n r S S S OBC OAC OAB ::::=???求证0 =++→ → → OC r OB n OA m 如图所示分别在射线OA ，OB 上去点1A ，1B ，使得→ → =OA m OA 1，