n n n n n n n n 考点 1 等比数列的通项与前 n 项和
题型 1 已知等比数列的某些项，求某项
【例 1】已知
{a n }为等比数列， a 2 = 2, a 6 = 162 ，则 a 10 =
题型 2 已知前n 项和 S n 及其某项，求项数.
【例 2】⑴已知 S n 为等比数列{a n }前 n 项和， S n = 93 ， a n = 48 ，公比 q = 2 ，则项数 n = .
⑵已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为37 ，中间两数之和为36 ，求这四个数. 题型 3 求等比数列前 n 项和
【例 3】等比数列1,2,4,8, 中从第 5 项到第 10 项的和.
【例 4】已知 S 为等比数列{a }前 n 项和， a = 1 + 3 + 32 + 33 + + 3n -1 ，求 S
【例 5】已知 S 为等比数列{a }前 n 项和， a = (2n - 1) ? 3n ，求 S .
【新题导练】
1.已知{a n }为等比数列， a 1 + a 2 + a 3 = 3, a 6 + a 7 + a 8 = 6 ，求 a 11 + a 12 + a 13 的值.
2. 如果将 20,50,100 依次加上同一个常数后组成一个等比数列，则这个等比数列的公比为
. 3. 已知 S n 为等比数列
{a n }的前 n 项和， a 2 = 3, a 6 = 243, S n = 364 ，则 n = ； 4. 已知等比数列{a n }中， a 2 = 1，则其前 3 项的和 S 3 的取值范围是
. 5. 已知 S n 为等比数列{a n }前 n 项和， a n > 0 ， S n = 80 ， S 2n = 6560 ，前 n 项中的数值最大的项为 54，求 S 100 .
考点 2 证明数列是等比数列
【例 6】已知数列{a }和{b }满足： a
= ， a = 2 a + n - 4 ， b = (-1)n (a - 3n + 21) ，其中为实数，
n ∈ N + .
n n 1 n +1 3 n n n ⑴ 对任意实数，证明数列{a n }不是等比数列；
⑵ 试判断数列{b n }是否为等比数列，并证明你的结论.
【新题导练】
2
2a n 1 6.已知数列{a n }的首项 a 1 = 3 ， a n +1 = a +1 ， n = 1, 2, 3, …．证明：数列{a -1}是等比数列；
考点 3 等比数列的性质
【例 7】已知 S n 为等比数列
{a n }前 n 项和， S n = 54 ， S 2n = 60 ，则 S 3n = . 【新题导练】 7.已知等比数列
{a n }中， a n > 0, (2a 4 + a 2 + a 6 )a 4 = 36 ，则 a 3 + a 5 = . 考点 4 等比数列与其它知识的综合 【例 8】设 S 为数列{a }的前 n 项和，已知ba - 2n = (b -1) S
n ⑴证明：当b = 2 时，
{a n n n - n ? 2n -1} 是等比数列； n ⑵求{a n } 的通项公式
【新题导练】
8.设 S n 为数列{a n }的前 n 项和， a 1 = a ， a n +1 = S n + 3n ，
n ∈ N * . ⑴ 设b = S - 3n ，求数列{b } 的通项公式；
n n n ⑵ 若 a n +1 ≥ a n (n ∈ N + ) ，求 a 的取值范围．
7. 等差数列{a n } 中， a 4 = 10 且 a 3，a 6，a 10 成等比数列，求数列{a n } 前 20 项的和 S 20 ．
8. 已知数列
{a } 的前 n 项和为 S ， S = 1 (a -1) (n ∈ N * ) ；
n ⑴求 a 1 ， a 2 的值；
n n 3 n ⑵证明数列{a n } 是等比数列，并求 S n ．
n n
==y x y x 那么 如果.52.2n p q m A = .q n m p B =.p n m q C =.q p n m D = . 比例的合比性质：如果d c b a =,那么d d c b b a ±= ±； 比例的等比性质： 如果 d c b a ==…=n m （b +d +…+n ≠0）,那么 b a n d b m c a =++++++ 【基础练习2】 1、把mn=pq 写成比例式写错的是( ) 3若3=y x ，求y y x +的值。 （你会的方法越多越好啊！快来试一试！） 7、若 75 3 z y x = = ,则z y x z y x -++-=________. 8、若65 432+==+c b a ,且2a －b+3c=21. 则a ∶b ∶c.= 9、若 f e d c b a ===2，则 =++++f d b e c a __________;=+-+-f d b e c a 22______________ 10、若 z y x y z x x z y +=+=+，求z y x +的值。 平行线分线段成比例 平行线分线段成比例定理 如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则 BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB AC DE DF = . l 3 l 2l 1F E D C B A A B C D E E D C B A 2. 平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则AD AE DE AB AC BC == 3. 平行的判定定理：如上图，如果有 BC DE AC AE AB AD = =，那么DE ∥BC 。 _______ ,344=+=b b a b a 、则已知______;,9175==+y x y y x 、则若____,3,2 16=++=++===f d b e c a f e d c b a 、则且已知d kd c b kb a ±=±d c c b a a ±=±
第2课时 等比性质 【知识与技能】 1.能用比例的基本性质推出等比性质. 2.学会用设“k ”法解答比例的相关题目. 【过程与方法】 经历等比性质的推导过程，掌握并灵活运用等比性质解决相关问题. 【情感态度】 培养学生分析、解决问题的能力，增强数学应用意识，体会数学与现实的紧密联系. 【教学重点】 理解并掌握等比性质. 【教学难点】 等比性质的实际应用. 一、情境导入，初步认识 如图，已知2====AB BC CD AD HE EF FG HG ，你能求出++++++AB BC CD AD HE EF FG HG 的值吗？由此你能得出什么结论？ 【教学说明】让学生以小组为单位进行思考、探讨和交流，教师采用巡视的方式参与到学生的交流活动中.教师巡视时可关注：①学生的研究方法，发现好的方法时，可在适当时间让其和同学们一起交流分享.②还有哪些小组的同学研究有困难，此时教师可抓住分分秒秒对其进行讲解，争取不让任何一个学生掉队. 二、思考探究，获取新知 已知a ，b ，c ，d ，e ，f 六个数，如果a c e m b d f n ===?==k ，（b =d =f ≠0），
那么a c e m b d f n +++?+ +++?+ =k成立吗？为什么？ 【归纳结论】 如果a c e m b d f n ===?==k，（b=d=f≠0），那么 a c e m b d f n +++?+ +++?+ =k 【教学说明】理解比例的性质可以由等式的基本性质推出. 三、运用新知，深化理解 1.已知 2 5 === a c e b d f （b+d+f≠0），求 ++ ++ a c e b d f 的值. 分析：根据等比性质， ∵ 2 , 5 === a c e b d f ∴ 2 5 ++ = ++ a c e b d f . 2.已知a b = c d =3， a b b - = c d d - 成立吗？ 分析：由a b = c d =3，得a=3b，c=3d.所以 a b b - = 3b b b - =2， c d d - = 3d d d - =2， 因此a b b - = c d d - . 3.已知a∶b∶c=4∶3∶2，且a+3b-3c=1 4. （1）求a、b、c； （2）求4a-3b+c的值. 解：（1）设a=4k，b=3k，c=2k. ∵a+3b-3c=14， ∴4k+9k-6k=14， ∴7k=14， ∴k=2， ∴a=8，b=6，c=4. （2）4a-3b+c=32-18+4=18. 4.已知a∶b∶c=3∶4∶5，求23 -+ a b c a 的值.
考点1等比数列的通项与前n 项和 题型1已知等比数列的某些项，求某项 【例1】已知{}n a 为等比数列，162,262==a a ，则=10a 题型2 已知前n 项和n S 及其某项，求项数. 【例2】⑴已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，93=n S ，48=n a ，公比2=q ，则项数=n . ⑵已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为37，中间两数之和为36，求这四个数. 题型3 求等比数列前n 项和 【例3】等比数列Λ,8,4,2,1中从第5项到第10项的和. 【例4】已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，13233331-+++++=n n a Λ，求n S 【例5】已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，n n n a 3)12(?-=，求n S . 【新题导练】 1.已知{}n a 为等比数列，6,3876321=++=++a a a a a a ，求131211a a a ++的值. 2.如果将100,50,20依次加上同一个常数后组成一个等比数列，则这个等比数列的公比为 . 3.已知n S 为等比数列 {}n a 的前n 项和，364,243,362===n S a a ，则=n ； 4.已知等比数列{}n a 中，21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是 . 5.已知n S 为等比数列 {}n a 前n 项和，0>n a ，80=n S ，65602=n S ，前n 项中的数值最大的项为54，求100S . 考点2 证明数列是等比数列 【例6】已知数列{}n a 和{}n b 满足：λ=1a ，4321-+=+n a a n n ，)213()1(+--=n a b n n n ，其中λ为实数，+∈N n . ⑴ 对任意实数λ，证明数列{}n a 不是等比数列； ⑵ 试判断数列 {}n b 是否为等比数列，并证明你的结论.
板块 考试要求 A 级要求 B 级要求 C 级要求 相似三角形 了解相似三角形 掌握相似三角形的概念，判定及性质，以及掌 握相关的模型 会运用相似三角形相关的知识解决有关问题 一、相似的有关概念 1．相似形 具有相同形状的图形叫做相似形．相似形仅是形状相同，大小不一定相同．相似图形之间的互相变换称为相似变换． 2．相似图形的特性 两个相似图形的对应边成比例，对应角相等． 3．相似比 两个相似图形的对应角相等，对应边成比例． 二、相似三角形的概念 1．相似三角形的定义 对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形． 如图，ABC △与A B C '''△相似，记作ABC A B C '''△∽△，符号∽读作“相似于”． 知识点睛 中考要求 相似三角形的性质及判定
A ' B ' C ' C B A 2．相似比 相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1．“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”． 三、相似三角形的性质 1．相似三角形的对应角相等 如图，ABC △与A B C '''△相似，则有A A B B C C '''∠=∠∠=∠∠=∠，，． A ' B ' C ' C B A 2．相似三角形的对应边成比例 ABC △与A B C '''△相似，则有 AB BC AC k A B B C A C ==='''''' （k 为相似比） ． 3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比． 如图1，ABC △与A B C '''△相似，AM 是ABC △中BC 边上的中线，A M ''是A B C '''△中B C ''边上的中线，则有 AB BC AC AM k A B B C A C A M ==== '''''''' （k 为相似比）． M ' M A ' B ' C 'C B A 图1 如图2，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有 AB BC AC AH k A B B C A C A H ==== ''''''''（k 为相似比）．
等差等比数列的性质总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
一、等差数列 1.等差数列的定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）； 2．等差数列通项公式： *11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ， 首项:1a ，公差:d ，末项:n a 推广： d m n a a m n )(-+=． 从而m n a a d m n --=； 3．等差中项 （1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2 b a A += 或b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式： 1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22 d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项 ()()()12121121212 n n n n a a S n a +++++= = +（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间 项） 5．等差数列的判定方法 （1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列． （2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a ． ⑶数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=（其中b k ,是常数）。 （4）数列{}n a 是等差数列?2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 6．等差数列的证明方法 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列． 7.提醒： （1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。 （2）设项技巧： ①一般可设通项1(1)n a a n d =+- ②奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）； ③偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（注意；公差为2d ） 8..等差数列的性质： （1）当公差0d ≠时， 等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ； 前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0.
等比数列 一、基本概念与公式： 1、等比数列的定义； ;) ,*∈N n m 的正比例式)； 1、等比数列 {}n a 中，若),,,(*∈+=+N q p n m q p n m ，则q p n m a a a a ?=? 注意：由n S 求n a 时应注意什么？ 1n =时，11a S =； 2n ≥时，1 n n n a S S -=-. 2、等比数列 {}n a 中的任意“等距离”的项构成的数列仍为等比数列． 3、公比为q 的等比数列{}n a 中的任意连续m 项的和构成的数列S m 、S 2m -S m 、S 3m -S 2m 、S 4m - S 3m 、……（S m ≠0）仍为等 比数列，公比为m q . 4、若{}n a 与{}n b 为两等比数列，则数列{}n ka 、{}k n a 、{}n n b a ?、? ?? ?? ?n n b a （0≠k ，k 为常数）仍成等比数列． 5、若 {}n a 为等差数列，则{}n a c (c>0)是等比数列． 6、在等比数列{}n a 中： （1）若项数为n 2，则 q S S =奇 偶 （2）若项数为12+n ，则 q S a S =-偶 奇1 8、数列{}n a 是公比不为1的等比数列?数列{}n a 前n 项和S n =, (1,0)n A q A q A ?-≠≠ 9、等比数列的判定方法 （1）、a n =a n －1·q（n≥2），q 是不为零的常数，a n －1≠0{a n }是等比数列. （2）、a n 2 =a n －1·a n ＋1（n≥2, a n －1,a n ,a n ＋1≠0）{a n }是等比数列. （3）、a n =c·q n （c ，q 均是不为零的常数） {a n }是等比数列
等比数列的概念与性质练习题 1.已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =22 5a ，2a =1，则1a = A. 2 1 B. 22 C. 2 D.2 2. 如果1,,,,9a b c --成等比数列，那么（ ） A 、3,9b ac == B 、3,9b ac =-= C 、3,9b ac ==- D 、3,9b ac =-=- 3、若数列}{n a 的通项公式是1210(1)(32),n n a n a a a =--+++=则 （A ）15 （B ）12 （C ）-12 D ）-15 4.在等比数列{a n }中，a 2＝8，a 5＝64，，则公比q 为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 5.．若等比数列{a n }满足a n a n +1=16n ，则公比为 A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 6.若互不相等的实数,,a b c 成等差数列，,,c a b 成等比数列，且310a b c ++=，则a = A ．4 B ．2 C ．－2 D ．－4 7.公比为32等比数列{}n a 的各项都是正数，且31116a a =，则162log a =（ ） A.4 B.5 C.6 D.7 8.在等比数列{}n a 中，5,6144117=+=?a a a a ，则 =10 20 a a （ ） A. 32 B.23 C. 32或23 D. －32或－23 9.等比数列{}n a 中，已知121264a a a =，则46a a 的值为（ ） A ．16 B ．24 C ．48 D ．128 10.实数12345,,,,a a a a a 依次成等比数列，其中1a =2，5a =8，则3a 的值为（ ） A. －4 B.4 C. ±4 D. 5 11.等比数列 {}n a 的各项均为正数，且5647a a a a +＝18，则3132310log log log a a a ++ +＝ A ．12 B ．10 C ．8 D ．2＋3log 5 12. 设函数()()() * 2 ,311N n x n x x f ∈≤≤-+-=的最小值为n a ，最大值为n b ，则2n n n n c b a b =-是( ) A.公差不为零的等差数列 B.公比不为1的等比数列 C.常数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 13. 三个数c b a ,,成等比数列，且0,>=++m m c b a ，则b 的取值范围是（ ） A. ??????3, 0m B. ??????--3,m m C . ??? ??3,0m D. [)?? ? ???-3,00,m m 14.已知等差数列}{n a 的公差0≠d ，且931,,a a a 成等比数列，则 10 429 31a a a a a a ++++的值为 ． 15.已知1, a 1, a 2, 4成等差数列，1, b 1, b 2, b 3, 4成等比数列，则 =+2 2 1b a a ______．
一、等差数列 1.等差数列的定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）； 2．等差数列通项公式： * 11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ， 首项:1a ，公差:d ，末项:n a 推广： d m n a a m n )(-+=． 从而m n a a d m n --=； 3．等差中项 （1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2 b a A += 或b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式： 1()2n n n a a S += 1(1)2n n na d -=+211 ()22 d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项 ()()()12121121212 n n n n a a S n a +++++= = +（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项） 5．等差数列的判定方法 （1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数* ∈N n )? {}n a 是等差数列． （2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a ． ⑶数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=（其中b k ,是常数）。 （4）数列{}n a 是等差数列?2 n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 6．等差数列的证明方法 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数* ∈N n )? {}n a 是等差数列． 7.提醒： （1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。 （2）设项技巧： ①一般可设通项1(1)n a a n d =+- ②奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）； ③偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（注意；公差为2d ） 8..等差数列的性质： （1）当公差0d ≠时， 等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ； 前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+ =+-是关于n 的二次函数且常数项为0. （2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。 （3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=. 注：12132n n n a a a a a a --+=+=+=???，
第四章图形的相似 1．成比例线段（二） 一、学生知识状况分析 学生的知识技能基础： 这节课是“成比例线段”的第二课时，学生已经通过第一节课的学习，观察了大量的图片，列举了许多现实生活中的情境，认识了线段的比的知识，知道了选用同一单位长度量线段的长度，从而求出两条线段的比。也学会了运用比例线段的基本性质解决实际问题，并通过图片创设的问题情境，重现了现实生活中的比例模型，初步掌握了解决有关比的问题的方法。在这个基础上，进一步来学习成比例线段的有关性质，学生不会感到陌生，反而容易接受本节课的继续学习。学生活动经验基础： 上一节课，学生已经收集了一些相似图形的图片，如大小不同的两张中国地图、国旗，同底相片等。已经感受了数学知识源于生活，用于生活。各小组展示并讨论过线段比的事例，具有了一定的合作交流的基础和能力。 难点处理： 比例的基本性质的推理是本节课的难点，教学中要尽量让学生发扬小组合作的精神，在小组中展开讨论，教师参与指点。 二、教学任务分析 教科书在学生认识线段的比的基础上，进一步提出了本节课的具体要求：理解并掌握比例的基本性质及其简单应用。学好了本节课，既承接了全等三角形的内容，又为本章的后续学习相似三角形和相似多边形奠定了基础。在知识技能方面，要求学生了解线段的比和成比例线段；理解并掌握比例的基本性质及其简单应用；发展学生从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的能力。学生经历运用线段的比解决问题的过程，在观察、计算、讨论、想象等活动中获取知识。通过本节课的教学，培养学生的数学应用意识，体会数学与现实生活的密切联系。 教学目标： （一）知识目标：了解线比例线段的基本性质；理解并掌握比例的基本性质及其简单应用；发展学生从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的能力。
比例的合比性质：如果d c b a =,那么d d c b b a ±= ±； 比例的等比性质： 如果 d c b a ==…=n m （b +d +…+n ≠0）,那么 b a n d b m c a =++++++ΛΛ 【基础练习2】 1、把mn=pq 写成比例式写错的是() 3若 3=y x ，求y y x +的值。（你会的方法越多越好啊！快来试一试！） 7、若 753z y x ==,则z y x z y x -++-=________. 8、若65 432+==+c b a ,且2a －b+3c=21.则a ∶b ∶c.= 9、若 f e d c b a ===2，则 =++++f d b e c a __________;=+-+-f d b e c a 22______________ 10、若 z y x y z x x z y +=+=+，求z y x +的值。 平行线分线段成比例 平行线分线段成比例定理 如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则 BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB AC DE DF = . 2.平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则AD AE DE AB AC BC == 3.平行的判定定理：如上图，如果有 BC DE AC AE AB AD = =，那么DE ∥BC 。 【例1】 如图，DE BC ∥，且DB AE =,若510AB AC ==，，求AE 的长。 【例2】 如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证：111c a b =+. 【巩固】如图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B 、D ，AC 和 BD 相交于点E ，EF BD ⊥，垂足为F .证明： 111 AB CD EF += . 专题二、定理及推论与中点有关的问题 d kd c b kb a ±= ±d c c b a a ±= ±
等比数列知识点总结与典型例题 1、等比数列的定义：()()*1 2,n n a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比 2、通项公式： ()11110,0n n n n a a a q q A B a q A B q -== =??≠?≠，首项：1a ；公比：q 推广：n m n m n n n m m a a a q q q a --=?=?=3、等比中项： （1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即：2A ab =或A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（ （2）数列{}n a 是等比数列211n n n a a a -+?=? 4、等比数列的前n 项和n S 公式： （1）当1q =时，1n S na = （2）当1q ≠时，()11111n n n a q a a q S q q --= = -- 11''11n n n a a q A A B A B A q q = -=-?=---（,,','A B A B 为常数） 5、等比数列的判定方法： （1）用定义：对任意的n ，都有1 1(0){}n n n n n n a a qa q q a a a ++==≠?或 为常数，为等比数列 （2）等比中项：21111(0){}n n n n n n a a a a a a +-+-=≠?为等比数列 （3）通项公式：()0{}n n n a A B A B a =??≠?为等比数列 6、等比数列的证明方法： 依据定义：若 ()()*1 2,n n a q q n n N a -=≠≥∈0且或1{}n n n a qa a +=?为等比数列 7、等比数列的性质： （2）对任何*,m n N ∈，在等比数列{}n a 中，有n m n m a a q -=。 （3）若* (,,,) m n s t m n s t N +=+∈，则n m s t a a a a ?=?。特别的，当2m n k +=时，得2n m k a a a ?= 注：12132n n n a a a a a a --?=?=??? 等差和等比数列比较：
相似形与比例线段 内容分析 放缩与相似形是九年级上学期第一章第一节的内容，主要对相似多边形的概念和性质进行讲解，重点是理解相似形的相关概念和相似多边形性质的运用．通过对相似多边形的学习，为后面学习相似三角形的知识奠定基础．比例线段是九年级上学期第一章第二节的内容，主要对比例线段的有关概念和性质进行讲解，重点是理解不同概念和性质之间的联系和区别，熟练比例线段之间的转换，并能结合具体图形，运用比例线段的性质进行解题．通过对比例线段的学习，一方面为之后学习平行线分线段成比例做好准备，另一方面服务于之后相似三角形知识的学习． 知识结构
1、相似形的概念 相似形：我们把形状相同的两个图形称为相似的图形，简称相似形． 2、相似多边形的性质 如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例．当两个相似的多边形是全等形时，它们对应边的长度的比值为1． 【例1】相似的图形，它们的形状相同，它们的大小相同．（选填“一定”或“不一定”或“一定不”） 【难度】★ 【答案】一定，不一定． 【解析】相似图形是形状相同的两个图形，由其定义可得出结论． 【总结】考查相似图形的概念，注意全等图形是特殊的相似图形． 【例2】在下边的方格图中，分别画出ABC 和四边形ABCD的一个相似图形． 【难度】★ 【答案】略． 【解析】答案不唯一．如图 是其中一种． 【总结】考查对于相似图形 定义的把握，可以采用全等 是特殊的相似画图，若要画 比例选段，将各边长分别在 横向和纵向等比例分解即可． 模块一：相似形的概念及性质 知识精讲 例题解析 A D A
【例3】下列给出的图形中，不是相似形的是（） （A）由同一张底片印出来大小不同的照片 （B）一张巨幅画像和用照相机把它拍出来的照片 （C）小明在平面镜和在哈哈镜里看到的他自己的像 （D）五星红旗上的大五角星和小五角星 【难度】★ 【答案】C 【解析】哈哈镜反映人像及物件的扭曲面貌，呈现出与原物不同的像，即不是相似形．【总结】考查相似图形的特征，形状完全相同． 【例4】下列说法不一定正确的是（） （A）所有的等边三角形都相似（B）有一个角是100 的等腰三角形都相似 （C）所有等腰直角三角形都相似（D）所有的直角三角形都相似 【难度】★★ 【答案】D 【解析】直角三角形两个锐角角度不固定，形状不一定相同． 【总结】对于三角形而言，只要三角形的角大小都相同，三角形即相似． 【例5】下列各组中的两个图形一定相似的有（） （1）两个等腰三角形；（2）两个直角三角形；（3）两个等腰直角三角形； （4）两个等边三角形；（5）两个矩形；（6）两个菱形； （7）两个正方形；（8）两个等腰梯形；（9）两个圆． （A）3组（B）4组（C）5组（D）6组 【难度】★★ 【答案】B 【解析】相似的是（3）（4）（7）（9） 【总结】考查相似图形的特征，形状完全相同，对于三角形来说，三个角大小相等即可，对于其它多边形来说，除了考虑角的大小，还要考虑边的大小对应．
高考数学复习总结归纳点拨 1 等比数列的性质及应用 与等差数列一样，等比数列也有根据其概念或通项得出的一些重要性质，运用其性质可以使解题更为简便． 一、若项数为3n 的等比数列(1)q ≠-前n 项和与前n 项积分别为n S '与n T '，次n 项和与次n 项积分别为2 n S '与2n T '，最后n 项和与最后n 项积分别为3n S '与3n T '，则n S '，2n S '，3n S '成等比数列，n T '，2n T '，3n T '亦成等比数列． 例1 已知一个等比数列的前n 项和为12，前2n 项和为48，求其前3n 项和． 解：由题设，可知12n S '=，2481236n S '=-=， 22 233610812 n n n S S S ''∴==='． 故该数列前3n 项的和为10848156+=． 例2 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10301070S S ==，，求40S ． 解：Q {}n a 成等比数列，10201030204030S S S S S S S ∴---，，，也成等比数列， 即22010103020()()S S S S S -=-，解得2030S =或2020S =-（不合题意，舍去）． 2 302040302010 ()150S S S S S S +∴=+=-． 二、一般地，如果t k p m n r ，，，…，，，，…皆为自然数， 且t k p m n r +++=+++……（两边的自然数个数相等），那么当{}n a 为等比数列时， 有t k p m n r a a a a a a =···…···…． 例3 在等比数列{}n a 中，若9912 3992a a a a =···…·，求50a ． 解：1992 9849515050a a a a a a a a ====Q ··…··， 999912 399502a a a a a ∴==···…·，502a ∴=．
2.4.2 从容说课 这节课师生将进一步探究等比数列的知识，以教材练习中提供的问题作为基本材料，认识等比数列的 一些基本性质及内在的联系，理解并掌握一些常见结论，进一步能用来解决一些实际问题.通过一些问题的探究与解决，渗透重要的数学思想方法.如类比思想、归纳思想、数形结合思想、算法思想、方程思想以及 一般到特殊的思想方法等 教学中以师生合作探究为主要形式，充分调动学生的学习积极性 教学重点 1.探究等比数列更多的性质 2.解决生活实际中的等比数列的问题 教学难点渗透重要的数学思想 教具准备多媒体课件、投影胶片、投影仪等 三维目标 一、知识与技能 1.了解等比数列更多的性质 2.能将学过的知识和思想方法运用于对等比数列性质的进一步思考和有关等比数列的实际问题的解决 中 3.能在生活实际的问题情境中，抽象出等比数列关系，并能用有关的知识解决相应的实际问题 二、过程与方法 1.继续采用观察、思考、类比、归纳、探究、得出结论的方法进行教学 2.对生活实际中的问题采用合作交流的方法，发挥学生的主体作用，引导学生探究问题的解决方法， 经历解决问题的全过程 3.当好学生学习的合作者的角色
三、情感态度与价值观 1.通过对等比数列更多性质的探究，培养学生的良好的思维品质和思维习惯，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力 2.通过生活实际中有关问题的分析和解决，培养学生认识社会、了解社会的意识，更多地知道数学的社会价值和应用价值 教学过程 导入新课 师教材中第59页练习第3题、第4题，请学生课外进行活动探究，现在请同学们把你们的探究结果展示一下 生由学习小组汇报探究结果 师对各组的汇报给予评价 师出示多媒体幻灯片一：第3题、第4题详细解答： 第3题解答： (1)将数列{a n }的前k 项去掉，剩余的数列为a k+1，a k+2,…．令b i =a k+i 则数列a k+1,a k+2,…，可视为b 1,b 2， 因为q a a b b i k i k i i 1 1(i ≥1), 所以，{b n }是等比数列，即a k+1，a k+2,…是等比数列 (2){a n }中每隔10项取出一项组成的数列是a 1,a 11,a 21，…，则 10 9 101 10 1121111......q a a a a a a k k 所以数列a 1,a 11,a 21,…是以a 1为首项，q 10 为公比的等比数列 猜想：在数列{a n }中每隔m(m 是一个正整数)取出一项，组成一个新数列，这个数列是以a 1为首项、q m 为 公比的等比数列 ◇本题可以让学生认识到，等比数列中下标为等差数列的子数列也构成等比数列，可以让学生再探究几种
等差数列与等比数列总结 一、等差数列： 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用小写字母d 表示； 等差中项，如果2 b a A += ，那么A 叫做a 与b 的等差中项；如果三个数成等差数列，那么等差中项等于另两项的算术平均数； 等差数列}{a n 的通项公式：）N n （d ）1-n （a a 1n *∈+=； 等差数列}{a n 的递推公式：）2n （d a a 1n n ≥+=-； 等差数列}{a n 的前n 项和公式：n S =2n ）a a （n 1?+=d 2）1-n （n na 1?+ = 中12na n ）2d -a （n ）2d （=?+?； 【等差数列的性质】 1、d ）1-n （a a m n += 【说明】n 11m a d ）1-n （a d ）m -n （d ）1-m （a d ）m -n （a =+=++=+ 2、若m 、n 、p 、q *∈N ，且m+n=p+q ，则有q p n m a a a a +=+ 【说明】q p 11n m a a ）2-q p （a 2d ）2-n m （a 2a a +=++=++=+ 3、md 成等差数列，公差为、 a 、a 、a m 2k m k k ??++ 【说明】md a -a a -a m k m 2k k m k =??==+++ 4、k ）1-n （nk k 2k 3k k 2k S -S S -S ，S -S ，S ??成等差数列，公差为d n 2 【说明】d n ）a a a （-）a a a （S -）S -S （2n 21n 22n 1n n n n 2=+??+++??++=++， ） a a a （-）a a a （）S -S （-）S -S （n 22n 1n n 32n 21n 2n 2n n 2n 3+??+++??++=++++??=，d n 2 5、数列}{a n 成等差数列Bn An S ，a a a 2， q pn a 2n 1n 1-n n n +=+=+=?+
第1讲相似图形与成比例线段 【学习目标】 1、从生活中形状相同的图形的实例中认识图形的相似,理解相似图形概念。 2、了解成比例线段的概念，会确定线段的比。 【学习重点】相似图形的概念与成比例线段的概念。 【学习难点】成比例线段概念。 【学习过程】 知识点一：比例线段 定义：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们长度的比）与另外两 条线段的比，如果a c b d =，那么就说这四条线段a、b、c、d叫做成比例线 段，简称比例线段。 例：如四条线段的长度分别是4cm、8cm、3cm、6cm判断这四条线段是否成比例？ 解： 练习一： 1、如图所示：（1）求线段比AB BC、 CD DE、 AC BE、 AC CD （2）试指出图中成比例线段 2、线段a、b、c、d的长度分别是30mm、2cm、0.8cm、12mm判断这四条线段是否成比例？ 3、线段a、b、c、d的长度分别是2、3、2、6判断这四条线段是否成比例？ 4、已知A、B两地的实际距离是250m若画在图上的距离是5cm，则图上距离与实际距离的比是___________ 5、已知线段a=1 2 、b =23 +、c=23 -、若 a c b x =，则x=_________若()0 b y y y c =>，
则y =__________ 6、下列四组线段中，不成比例的是 （ ） A a=3 b=6 c=2 d=4 C a=4 b=6 c=5 d=10 知识点二：比例线段的性质 比例性质是根据等式的性质得到的，推理过程如下： （1） 基本性质：如果 a c b d =，那么ad bc =（两边同乘bd ，0bd ≠） 在0abcd ≠的情况下，还有以下几种变形 b d a c =、a b c d =、c d a b = （2） 合比性质：如果 a c b d =，那么a b c d b d ±±= （3） 等比性质：如果 a c e m b d f n ====()0b d f n ++++≠，那么 a c e m a b d f n b ++++=+++ + 例2 填空： 如果23a b =，则a = 2a = 、 a b b += 、 a b b -= 练习二： 1、已知35a b =，求a b a b +- 2、若 234a b c ==，则23a b c a ++=_________ 3、已知mx ny =，则下列各式中不正确的是（ ） A m x n y = B m n y x = C y m x n = D x y n m = 4、已知570x y -=，则 x y =_______ 5、已知 345 x y z ==，求x y z x y z +++-=________
第六讲：等差、等比数列的运用 1. 等差数列的定义与性质 定义：1n n a a d +-=（d 为常数），()11n a a n d =+- 等差中项：x A y ，，成等差数列2A x y ?=+ 前n 项和()() 1112 2 n n a a n n n S na d +-= =+ 性质：{}n a 是等差数列 m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+； {}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列，232n n n n n S S S S S --，，……仍为等差数列，公差为d n 2； a d a a d -+，， n n a b ，是等差数列，且前n 项和分别为n n S T ，，则 21 21 m m m m a S b T --= }n a 为等差数列2n S an bn ?=+（a b ，为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数） n S 的最值可求二次函数2n S an bn =+的最值；或者求出{}n a 中的正、负分界项， 即：当100a d ><，，解不等式组10 0n n a a +≥??≤?可得n S 达到最大值时的n 值. 当 100a d <>，，由1 0n n a a +≤??≥?可得n S 达到最小值时的n 值. 项数为偶数n 2的等差数列{} n a ， 有 ),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a a n a a n S nd S S =-奇偶， 1 += n n a a S S 偶 奇. 12-n 的等差数列{} n a ，有 )()12(12为中间项n n n a a n S -=-，
等比数列的性质 班级：____________ 姓名：__________________ 1．等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( ) A ．－24 B ．0 C ．12 D ．24 2．对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( ) A ．a 1，a 3，a 9成等比数列 B ．a 2，a 3，a 6成等比数列 C ．a 2，a 4，a 8成等比数列 D ．a 3，a 6，a 9成等比数列 3．在等比数列{a n }中，T n 表示前n 项的积，若T 5＝1，则( ) A ．a 1＝1 B ．a 3＝1 C ．a 4＝1 D ．a 5＝1 4．已知等比数列{a n }中，a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9等于( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 5．已知数列{a n }为等差数列，a 1，a 2，a 3成等比数列，a 1＝1，则a 2 016＝( ) A ．5 B ．1 C ．0 D ．－1 6．在正项等比数列{a n }中，a n ＋1
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