11.2 数系的扩充与复数的引入
[知识梳理]
1．复数的有关概念
2．复数的几何意义
复数集C 和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C 与复平面内所有以原点O 为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即
(1)复数z ＝a ＋bi 复平面内的点Z(a ，b)(a ，b ∈R)．
(2)复数z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)平面向量OZ →
.
3．复数代数形式的四则运算 (1)运算法则
设z 1＝a ＋bi ，z 2＝c ＋di(a ，b ，c ，d ∈R)，则
(2)复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2
＋z 3)．
(3)复数乘法的运算定律
复数的乘法满足交换律、结合律、分配律，即对于任意z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1·z 2＝z 2·z 1，(z 1·z 2)·z 3
＝z 1·(z 2·z 3)，z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 3.
(4)复数加、减法的几何意义
①复数加法的几何意义：若复数z 1，z 2对应的向量OZ 1→，OZ 2→不共线，则复数z 1＋z 2是以OZ 1→，OZ 2→
为两邻边的平行四边形的对角线OZ →
所对应的复数．
②复数减法的几何意义：复数z 1－z 2是OZ 1→－OZ 2→＝Z 2Z 1→
所对应的复数．
4．模的运算性质：①|z|2＝|z |2
＝z·z ；②|z 1·z 2|＝|z 1||z 2|；③??????z 1z 2＝
|z 1||z 2|
. [诊断自测] 1．概念思辨
(1)关于x 的方程ax 2
＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c ∈R 且a ≠0)一定有两个根．( ) (2)若复数a ＋bi 中a ＝0，则此复数必是纯虚数．( ) (3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( )
(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．( ) 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√ 2．教材衍化
(1)(选修A1－2P 63A 组T 1(3))在复平面内，复数z ＝1
2＋i
(i 为虚数单位)对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案 D
解析 z ＝12＋i ＝2－i (2＋i )(2－i )＝25－15i ，其对应的点为? ????2
5
，－15，在第四象限．故选D.
(2)(选修A1－2P 61A 组T 3)在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B.若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )
A ．4＋8i
B ．8＋2i
C ．2＋4i
D ．4＋i 答案 C
解析 ∵A(6,5)，B(－2,3)，∴线段AB 的中点C(2,4)，则点C 对应的复数为z ＝2＋4i.故选C. 3．小题热身
(1)(2017·全国卷Ⅱ)3＋i
1＋i ＝( )
A ．1＋2i
B ．1－2i
C ．2＋i
D ．2－i 答案 D 解析
3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝4－2i
2
＝2－i.故选D. (2)(2015·全国卷Ⅰ)设复数z 满足1＋z
1－z ＝i ，则|z|＝( )
A ．1 B. 2 C. 3 D ．2 答案 A
解析 由已知1＋z 1－z ＝i ，可得z ＝i －1i ＋1＝(i －1)2
(i ＋1)(i －1)＝－2i
－2
＝i ，∴|z|＝|i|＝1，故选A.
题型1 复数的有关概念
典例
已知x ，y 为共轭复数，且(x ＋y)2
－3xyi ＝4－6i ，求x ，y.
复数问题实数化．
解 设x ＝a ＋bi(a ，b ∈R)， 则y ＝a －bi ，x ＋y ＝2a ，xy ＝a 2
＋b 2
， 代入原式，得(2a)2
－3(a 2
＋b 2
)i ＝4－6i ，
根据复数相等得?????
4a 2＝4，
－3(a 2＋b 2
)＝－6，
解得?
??
??
a ＝1，
b ＝1或?
??
??
a ＝1，
b ＝－1或?
??
??
a ＝－1，
b ＝1或?
??
??
a ＝－1，
b ＝－1.
故所求复数为?
??
??
x ＝1＋i ，
y ＝1－i ，或?
??
??
x ＝1－i ，y ＝1＋i 或?
??
??
x ＝－1＋i ，y ＝－1－i 或?
??
??
x ＝－1－i ，
y ＝－1＋i.
方法技巧
有关复数的基本概念问题的关键
因为复数的分类、相等、模、共轭复数等问题都与实部与虚部有关，所以处理复数有关基本概念问题的关键是找准复数的实部和虚部，即转化为a ＋bi(a ，b ∈R)的形式，再从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．见典例．
冲关针对训练
(2018·山西四校联考)i 是虚数单位，若2＋i
1＋i ＝a ＋bi(a ，b ∈R)，则lg (a ＋b)的值是( )
A ．－2
B ．－1
C ．0 D.1
2
答案 C
解析 因为2＋i 1＋i ＝(2＋i )(1－i )2＝32－i 2，所以a ＝32，b ＝－1
2，a ＋b ＝1，所以lg (a ＋b)＝0，故选C.
题型2 复数的几何意义
典例1 (2016·全国卷Ⅱ)已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )
A ．(－3,1)
B ．(－1,3)
C ．(1，＋∞)
D ．(－∞，－3)
根据复数z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)的几何意义，写出不等式求解．
答案 A
解析 由已知可得???
?
?
m ＋3>0，m －1<0
?????
?
m>－3，m<1
?－3 [条件探究1] 若将典例1中条件“z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限”变为“复数z 的共轭复数z － ＝1＋2i(i 为虚数单位)”，则复数z 在复平面内对应的点在第几象限？ 解 由条件知z ＝1－2i ，其在复平面内对应的点为(1，－2)，在第四象限． [条件探究2] 若将典例1中条件变为“复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限”，求实数a 的取值范围． 解 ∵复数(1－i)(a ＋i)＝a ＋1＋(1－a)i 在复平面内对应的点在第二象限，∴? ?? ?? a ＋1<0， 1－a>1，∴a<－ 1.即实数a 的取值范围是(－∞，－1)． 典例2 (2017·全国卷Ⅲ)设复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则|z|＝( ) A.12 B.2 2 C. 2 D ．2 先求z 的代数形式，再求|z|. 答案 C 解析 由(1＋i)z ＝2i 得z ＝2i 1＋i ＝1＋i ， ∴|z|＝ 2.故选C. 方法技巧 复数几何意义及应用 1．复数z 、复平面上的点Z 及向量OZ →相互联系，即z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)?Z(a ，b)?OZ → .见典例1. 2．由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观． 3．|z|的几何意义：令z ＝x ＋yi(x ，y ∈R)，则|z|＝x 2 ＋y 2 ，由此可知表示复数z 的点到原点的距离就是|z|的几何意义；|z 1－z 2|的几何意义是复平面内表示复数z 1，z 2的两点之间的距离．见典例2. 冲关针对训练 1．(2014·全国卷Ⅱ)设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝( ) A ．－5 B ．5 C ．－4＋i D ．－4－i 答案 A 解析 由题意得z 2＝－2＋i ，∴z 1z 2＝(2＋i)(－2＋i)＝－5，故选A. 2．若复数z 满足①|z|≥1；②|z ＋i|≤|－1－2i|，则z 在复平面内所对应的图形的面积为________． 答案 4π 解析 设z ＝x ＋yi(x ，y ∈R)，由|z|≥1及|z ＋i|≤|－1－2i|易得x 2 ＋y 2 ≥1及x 2 ＋(y ＋1)2 ≤5知z 在复平面内对应图形的面积为5π－π＝4π. 题型3 复数的代数运算 典例 (2016·全国卷Ⅲ)若z ＝1＋2i ，则4i z z －1＝( ) A ．1 B ．－1 C ．i D ．－i 先作乘法z·z 运算，然后作除法运算． 答案 C 解析 ∵z z ＝(1＋2i)(1－2i)＝5，∴4i z z －1＝4i 4＝i ，故选C. 方法技巧 1．加减乘除运算法则 (1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i 的幂写成最简形式． (2)记住以下结论，可提高运算速度： ①(1±i)2＝±2i；②1＋i 1－i ＝i ；③1－i 1＋i ＝－i ；④a ＋bi i ＝b －ai ；⑤i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋ 3 ＝－i(n ∈N)． 2．复数方程要求解，运用概念相等来解决 解决复数与三角函数、方程等综合问题，关键是抓住复数的实部、虚部，运用好复数的概念来解决问 题． 冲关针对训练 －23＋i 1＋23i ＋? ?? ??21－i 2018 ＝________. 答案 2i 解析 原式＝i (1＋23i )1＋23i ＋??????? ????21－i 21009 ＝i ＋? ?? ??2－2i 1009＝i ＋i 1009＝i ＋i 4×252＋1＝i ＋i ＝2i. 1．(2017·全国卷Ⅰ)设有下面四个命题 p 1：若复数z 满足1 z ∈R ，则z ∈R ； p 2：若复数z 满足z 2 ∈R ，则z ∈R ； p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z 2； p 4：若复数z ∈R ，则z ∈R. 其中的真命题为( ) A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 2，p 3 D ．p 2，p 4 答案 B 解析 设z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)，z 1＝a 1＋b 1i(a 1，b 1∈R)，z 2＝a 2＋b 2i(a 2，b 2∈R)． 对于p 1，若1z ∈R ，即1a ＋bi ＝a －bi a 2＋ b 2∈R ，则b ＝0且a ≠0?z ＝a ＋bi ＝a ∈R ，所以p 1为真命题． 对于p 2，若z 2 ∈R ，即(a ＋bi)2 ＝a 2 ＋2abi －b 2 ∈R ，则ab ＝0.当a ＝0，b ≠0时，z ＝a ＋bi ＝bi ∈/ R ，所以p 2为假命题． 对于p 3，若z 1z 2∈R ，即(a 1＋b 1i)(a 2＋b 2i)＝(a 1a 2－b 1b 2)＋(a 1b 2＋a 2b 1)i ∈R ，则a 1b 2＋a 2b 1＝0.而z 1＝z 2 ，即a 1＋b 1i ＝a 2－b 2i ?a 1＝a 2，b 1＝－b 2.因为a 1b 2＋a 2b 1＝0?/ a 1＝a 2，b 1＝－b 2，所以p 3为假命题． 对于p 4，若z ∈R ，即a ＋bi ∈R ，则b ＝0?z ＝a －bi ＝a ∈R ，所以p 4为真命题．故选B. 2．(2018·安徽安庆模拟)设i 是虚数单位，如果复数a ＋i 2－i 的实部与虚部相等，那么实数a 的值为( ) A.13 B ．－1 3 C ．3 D ．－3 答案 C 解析 a ＋i 2－i ＝2a －1＋(a ＋2)i 5 ，由题意知2a －1＝a ＋2，解之得a ＝3.故选C. 3．(2017·浙江高考)已知a ，b ∈R ，(a ＋bi)2 ＝3＋4i(i 是虚数单位)，则a 2 ＋b 2 ＝________，ab ＝________. 答案 5 2 解析 (a ＋bi)2 ＝a 2 －b 2 ＋2abi. 由(a ＋bi)2 ＝3＋4i ，得? ?? ?? a 2 －b 2 ＝3，ab ＝2.解得a 2＝4，b 2 ＝1. 所以a 2＋b 2 ＝5，ab ＝2. 4．(2017·天津高考)已知a ∈R ，i 为虚数单位，若a －i 2＋i 为实数，则a 的值为________． 答案 －2 解析 ∵a ∈R ，a －i 2＋i ＝(a －i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝2a －1－(a ＋2)i 5＝2a －15－a ＋25i 为实数，∴－a ＋2 5＝0，∴a ＝－ 2. [基础送分提速狂刷练] 一、选择题 1．(2018·湖南长沙四县联考)i 是虚数单位，若复数z 满足zi ＝－1＋i ，则复数z 的实部与虚部的和是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 C 解析 复数z 满足zi ＝－1＋i ，可得z ＝－1＋i i ＝(－1＋i )i i·i ＝1＋i.故复数z 的实部与虚部的和是1 ＋1＝2，故选C. 2．(2018·湖北优质高中联考)已知复数z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z －z 2 的共轭复数是( ) A ．－1＋3i B ．1＋3i C ．1－3i D ．－1－3i 答案 B 解析 2z －z 2＝21＋i －(1＋i)2 ＝2(1－i )(1＋i )(1－i )－2i ＝1－i －2i ＝1－3i ，其共轭复数是1＋3i ，故选B. 3．(2017·河南洛阳模拟)设复数z 满足z － ＝|1－i|＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( ) A.2－i B.2＋i C ．1 D ．－1－2i 答案 A 解析 复数z 满足z － ＝|1－i|＋i ＝2＋i ，则复数z ＝2－i.故选A. 4．(2018·广东测试)若z ＝(a －2)＋ai 为纯虚数，其中a ∈R ，则a ＋i 7 1＋ai ＝( ) A ．i B ．1 C ．－i D ．－1 答案 C 解析 ∵z 为纯虚数，∴?? ? a －2＝0， a ≠0， ∴a ＝2， ∴a ＋i 7 1＋ai ＝2－i 1＋2i ＝(2－i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝－3i 3 ＝－i.故选C. 5．(2018·安徽江南十校联考)若复数z 满足z(1－i)＝|1－i|＋i ，则z 的实部为( ) A. 2－12 B.2－1 C ．1 D.2＋1 2 答案 A 解析 由z(1－i)＝|1－i|＋i ，得z ＝2＋i 1－i ＝(2＋i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝2－12＋2＋12i ，z 的实部为2－1 2 ，故选A. 6．(2017·安徽十校联考)若z ＝2－i 2＋i ，则|z|＝( ) A.1 5 B ．1 C ．5 D ．25 答案 B 解析 解法一：z ＝2－i 2＋i ＝(2－i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝35－4 5i ，故|z|＝1.故选B. 解法二：|z|＝?? ??? ?2－i 2＋i ＝|2－i||2＋i|＝55 ＝1.故选B. 7．(2017·河南百校联盟模拟)已知复数z 的共轭复数为z －，若? ? ????3z 2＋z －2(1－22i)＝5－2i(i 为虚 数单位)，则在复平面内，复数z 对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案 A 解析 依题意，设z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)，则3z 2＋z －2＝2a ＋bi ，故2a ＋bi ＝5－2i 1－22i ＝1＋2i ， 故a ＝12，b ＝2，则在复平面内，复数z 对应的点为? ?? ??12，2，位于第一象限．故选A. 8．(2018·新乡、许昌、平顶山调研)复数z 1，z 2满足z 1＝m ＋(4－m 2 )i ，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(m ，λ，θ∈R)，并且z 1＝z 2，则λ的取值范围是( ) A.[]－1，1 B.??????－916，1 C.??????－916，7 D.???? ??916，7 答案 C 解析 由复数相等的充要条件，可得 ????? m ＝2cos θ，4－m 2＝λ＋3sin θ， 化简得4－4cos 2 θ＝λ＋3sin θ，由此可得λ＝－4cos 2 θ－3sin θ＋4＝－4(1－sin 2 θ)－3sin θ＋4＝4sin 2 θ－3sin θ＝4? ????sin θ－382－916，因为sin θ∈[－1,1]，所以λ∈???? ??－916，7.故选C. 9．对于复数z 1，z 2，若(z 1－i)z 2＝1，则称z 1是z 2的“错位共轭”复数，则复数32－1 2 i 的“错位共轭”复数为( ) A ．－36－12i B ．－32＋3 2 i C. 36＋12i D.32＋32 i 答案 D 解析 由(z －i)? ???? 32－12i ＝1，可得z －i ＝ 132－1 2 i ＝32＋12i ，所以z ＝32＋32i.故选D. 10．已知z ＝a ＋bi(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)，z 1，z 2∈C ，定义：D(z)＝||z||＝|a|＋|b|，D(z 1，z 2)＝||z 1－z 2||，给出下列命题： (1)对任意z ∈C ，都有D(z)>0； (2)若z 是复数z 的共轭复数，则D(z )＝D(z)恒成立； (3)若D(z 1)＝D(z 2)(z 1，z 2∈C)，则z 1＝z 2； (4)对任意z 1，z 2，z 3∈C ，结论D(z 1，z 3)≤D(z 1，z 2)＋D(z 2，z 3)恒成立． 其中真命题为( ) A ．(1)(2)(3)(4) B ．(2)(3)(4) C ．(2)(4) D ．(2)(3) 答案 C 解析 对于(1)，由定义知当z ＝0时，D(z)＝0，故(1)错误，排除A ；对于(2)，由于共轭复数的实部相等而虚部互为相反数，所以D(z )＝D(z)恒成立，故(2)正确；对于(3)，两个复数的实部与虚部的绝对值之和相等并不能得到实部与虚部分别相等，所以两个复数也不一定相等，故(3)错误，排除B ，D ，故选C. 二、填空题 11．(2017·江苏高考)已知复数z ＝(1＋i)(1＋2i)，其中i 是虚数单位，则z 的模是________． 答案 10 解析 解法一：∵z ＝(1＋i)(1＋2i)＝1＋2i ＋i －2＝－1＋3i ， ∴|z|＝(－1)2 ＋32 ＝10. 解法二：|z|＝|1＋i||1＋2i| ＝2×5＝10. 12．(2016·天津高考)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(1＋i)(1－bi)＝a ，则a b 的值为________． 答案 2 解析 由(1＋i)(1－bi)＝a 得1＋b ＋(1－b)i ＝a ，则? ?? ?? b ＋1＝a ， 1－b ＝0，解得? ?? ?? a ＝2， b ＝1，所以a b ＝2. 13．(2016·北京高考)设a ∈R.若复数(1＋i)(a ＋i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a ＝________. 答案 －1 解析 (1＋i)(a ＋i)＝(a －1)＋(a ＋1)i ， ∵a ∈R ，该复数在复平面内对应的点位于实轴上， ∴a ＋1＝0，∴a ＝－1. 14．若虚数z 同时满足下列两个条件：①z ＋5 z 是实数；②z ＋3的实部与虚部互为相反数．则z ＝ ________. 答案 －1－2i 或－2－i 解析 设z ＝a ＋bi(a ，b ∈R ，b ≠0)， 则z ＋5z ＝a ＋bi ＋5a ＋bi ＝a ? ????1＋ 5a 2 ＋b 2＋b ? ?? ??1－5a 2＋b 2i. 又z ＋3＝a ＋3＋bi 实部与虚部互为相反数，z ＋5 z 是实数，根据题意有????? b ? ?? ??1－5a 2＋b 2＝0，a ＋3＝－b ， 因为b ≠0，所以? ?? ?? a 2 ＋b 2 ＝5， a ＝－ b －3，解得? ?? ?? a ＝－1， b ＝－2或? ?? ?? a ＝－2， b ＝－1. 所以z ＝－1－2i 或z ＝－2－i. 三、解答题 15．(2017·徐汇区校级模拟)已知z 是复数，z ＋2i 与z 2－i 均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋ai)2 在复平面上对应点在第一象限． (1)求z 的值； (2)求实数a 的取值范围． 解 (1)设z ＝x ＋yi(x ，y ∈R)， 又z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i 为实数，∴y ＋2＝0，解得y ＝－2. ∴z 2－i ＝x －2i 2－i ＝(x －2i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝(2x ＋2)＋(x －4)i 5， ∵ z 2－i 为实数，∴x －4 5 ＝0，解得x ＝4. ∴z ＝4－2i. (2)∵复数(z ＋ai)2 ＝[4＋(a －2)i]2 ＝16－(a －2)2 ＋8(a －2)i ＝(12＋4a －a 2 )＋(8a －16)i ， ∴? ?? ?? 12＋4a －a 2 >0，8a －16>0，解得2 即实数a 的取值范围是(2,6)． 16．(2017·孝感期末)已知复数z ＝(m －1)＋(2m ＋1)i(m ∈R)． (1)若z 为纯虚数，求实数m 的值； (2)若z 在复平面内的对应点位于第二象限，求实数m 的取值范围及|z|的最小值． 解 (1)∵z ＝(m －1)＋(2m ＋1)i(m ∈R)为纯虚数， ∴m －1＝0且2m ＋1≠0，∴m ＝1. (2)z 在复平面内的对应点为(m －1,2m ＋1)． 由题意得??? ?? m －1<0，2m ＋1>0， ∴－1 2 即实数m 的取值范围是? ?? ??－12，1. 而|z|＝(m －1)2 ＋(2m ＋1)2 ＝5m 2 ＋2m ＋2＝5? ????m ＋152＋95 ， 当m ＝－15∈? ???? －12，1时，|z|min ＝ 95＝355 . 2019高考数学复习计划（含时间表） xx年高考数学复习计划 一、学情分析： 暑假过后，文科及艺体班和理科班开始高考第一轮复习复习，体育理科班尚有部分选修没有结束。由于今年我省规范办学，教学时间略显紧张，特别是学理科的学生。为顺利完成教学任务，积极组织教学，决胜高考特制定如下方案。 二、指导思想 以校领导、年级组精神为指导，集思广益踏踏实实搞好集体备课；2、以新的高考方案为指导，稳扎稳打钻研《考试说明》备好每一节课；3、以重读课本例题、重做课本练习，做实基础为指导，步步为营上好每一节课，不留死角、盲点，落实好每一个知识点； 三、文、理科班复习方案 带领学生重读教材，重做练习。重点例题重点研究，多做变式探讨；重点习题反复做，变式做。每周集中时间做一份12题左右的综合题试卷。 2、精心编写学案。在上课前认真做好每一题，做到上课时决不照本宣科；对基础知识梳理部分，要做到查漏补缺形成知识系统；对例题习题尽量做到一题多解，又要注重通法的总结；适当补充最新考试信息题，以便紧跟形势；认真 组织单元练习，要限定时间认真监考，仔细批阅按标准量分，力争准确检测学生的学习效果。 3、密切关注最新高考信息，随时调整复习方案。 四、体育理班复习方案 尽快结束选修课的教学，争取在8月中旬开始进入第一轮复习。 2、深入研究《考试说明》，不补充难度大的例题习题，以完成书本内容为主。 3、每周做一次10题的小测试，以促进学生学习并检测学习效果。 五、复习计划 具体安排 第一轮复习 第一轮复习(八月初到二月底),基础知识复习阶段。在这一阶段,老师将带领同学科重温高中阶段所学的课程,但这绝不只是对以前所学知识的简单重复,而是站在更高的角度,对旧知识产生全新认识的重要过程。因为在第一次学习时,老师是以知识点为主线索,依次传授讲解的,由于后面的相关知识还没有学到,不能进行纵向联系,所以,大家学到的往往是零碎的、散乱的知识点。而在第一轮复习时,老师的主线索是知识的纵向联系与横向联系相结合,以章节为单位,将那些零碎的、散乱的知识点串联起来,并将它们系统化、 参数方程 【考点梳理】 1．曲线的参数方程 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数 ? ?? ?? x ＝f t ，y ＝g t 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲 线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数． 2．参数方程与普通方程的互化 通过消去参数从参数方程得到普通方程，如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例 如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么? ?? ?? x ＝f t ，y ＝g t 就是曲线的参数方程．在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致． 3．常见曲线的参数方程和普通方程 点的轨迹 普通方程 参数方程 直线 y －y 0＝tan α(x －x 0) ? ?? ?? x ＝x 0＋t cos α， y ＝y 0＋t sin α(t 为参数) 圆 x 2＋y 2＝r 2 ? ?? ?? x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数) 椭圆 x 2a 2＋y 2 b 2 ＝1(a >b >0) ? ?? ?? x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数) 考点一、参数方程与普通方程的互化 【例1】已知曲线C 1：?????x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t (t 为参数)，C 2：? ????x ＝8cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数). (1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； (2)若C 1上的点P 对应的参数为t ＝π 2 ，Q 为C 2上的动点，求PQ 的中点M 到直线C 3： 2019年高考复习计划-学习计划 进入新高三总复习之后，可以预见学生的学习时间越来越少了，绝大多数学校或同学给自己悬上了高考倒计时。但大多数同学们在这个阶段普遍感到比较茫然，无从下手。新高三马上要进入第一轮复习了，所以我们也应该利用好这一年的时间，有针对性的解决现在存在的问题，为自己赢得迈向成功起点的机会。 下面说一下常规的备考阶段和学习目标，以及当前我们务必要做的几件事： 高三三轮复习按时间大致分为： (一)第一轮复习(9月3月初)基础能力过关时期 一边是高中三年课程的回顾，一边是知识遗漏的查找，这也是为高考总复习知识系统化、能力化做好准备的时期。高考是考三年的内容，而在高一高二落下的知识很多，而高考的其中的一个黄金定律8020法则，就是指高考试题的80%是基础知识，20%是稍难点的综合题，把这部分的基础做好的话，就可以上一所不错的大学。所以必须把这两年的基础知识补上，避免高考时这些知识变成失分点，自己通过做大量的题来找漏洞效果不明显而且又浪费了时间。最后以致于信心受挫，决定放弃学习了。这是学习中的最可怕的现象。我们做题不贵多而贵精。应该做囊括高考的重点、难点、考点的题和通过对照老师讲的具体内容检测出漏洞。 显然大部分学生已经完成了这个阶段，如果少部分学生基础没有掌握牢固的话，还是老老实实的按照第一轮的思想去备考，因为整个高考中，基础及中等难度的分数比例非常之高，抓好基础将能获取更多的分数。 (二)第二轮复习(3月初5月中)综合能力突破时期 1、进行典型题训练，提升实战能力。高考黄金定律二就是典型题法则，其实如果我们把高考的方向把握准了，高考的出题模式弄清楚，我们在平时的学习会很轻松。不只是在数学、物理这样的理科有典型题，文科的东西也是遵循这一原则的，比如语文的作文，一篇文章好的结构、好的句子，我们都可以用来模仿，比如诚信是小朋友将拾到的一分钱放在警察叔叔手里时脸上的笑容，是少先队员宣誓时眼中的闪光。诚信是焦裕禄推开乡亲柴门送去的那一阵春风，它是孔繁森将藏族老妈妈冻伤的双脚捂进怀中的深情。这是关于诚信的比喻，那我们就可以借鉴一下，仿造句子。如：诚信是开国领袖面对新中国第一缕曙光作出的中国人民从此站起来了的召唤。诚信是继往开来的领路人俯瞰西部作出的中国要实现伟大复兴的决定。学习就是一个由模仿到驾驭的过程，我们在借鉴别人精彩点的同时也是积累知识的过程，最终由量变到质变，使我们成为一个出口成章、才华横溢的人，所谓熟读唐诗三百首，不会做诗也会吟。 2、构建知识体系，进行专项练习。体系是综合的根本，专题是提高的保证。我们在回忆信息过程中会出现的暂时性的遗忘。高三学生在考试时经常答案就在嘴边就是写不出来这种情况就是我们所说 高考数学备考心得体会 高考数学备考心得体会篇一 这一学期的拓展课是“高中数学思想学习的方法好研究”。老师最少的题量为我们分析讲解最典型和常见的题型，帮助我们摆脱题海之苦，提高数学成绩。 通过本学期拓展课的学习，我能大概了解、掌握了部分的高中数学的学习方法。多层次、多角度、多交叉、多广度，深度上对知识加以拓展和提高，并且能在平日学习数学的过程中有所拓宽和发展，对课堂内容知识的归纳，总结，梳理等方面有进步，培养了自己对数学学习的兴趣好良好的习惯。 在学习到解决数学问题的方法和思路的同时，对一些在课堂上或是平时不懂、迷惑的地方进行探讨，更好地加强了对知识点的理解和应用。例如数学思想中的“分类讨论”，“函数数学在不等式中的应用”，“参数问题”等有了深一步的研究好拓展，便于让我在今后的数学学习中加以应用和解答。臂如：①对于参数问题的学习，我们通过学习不同的例题，通过研究、分析得到解决这一问题的主要方法与途径------分离参数，变换主元等常用的解题方法。②对分类讨论这一问题的研究：引起分类讨论的原因主要是由于存在不确定的元素及公式，概念的分类……，并研究了基本步骤等等。 总之进入高中以后，数学学习的方法好内容都有了很大 转变，题目的难易程度也比以前有了很大的提高，及时消化吸收新知识，复习巩固旧知识也成了我的困扰。但通过此次学习，我发现数学学习其实是有径可循。对于一些问题要予以归纳总结，并作一些相配套的练习，以达到巩固效果。一学期来，我收获了很多，尤其在学习方法上有了系统的概念，能够更好地高中的数学学习。 高考数学备考心得体会篇二 一直以来，我都在不断反思、探索，寻觅一条如何才能使学生学好数学，通向高考成功之路。在一段时期的实践中，我发现学生在学习过程中存在着几点问题： 空间向量及其运算 【考点梳理】 1．空间向量的有关概念 名称 定义 空间向量 在空间中，具有大小和方向的量 相等向量 方向相同且模相等的向量 相反向量 方向相反且模相等的向量 共线向量 (或平行向量) 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 共面向量 平行于同一个平面的向量 (1)共线向量定理：对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb . (2)共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b . (3)空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ，其中，{a ，b ，c }叫做空间的一个基底. 3．空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角 已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB → ＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是[0，π]，若〈a ，b 〉＝π 2 ，则称a 与b 互相垂直，记作a ⊥b . ②非零向量a ，b 的数量积a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉. (2)空间向量数量积的运算律： ①结合律：(λa )·b ＝λ(a·b )； ②交换律：a·b ＝b·a ； ③分配律：a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c . 4．空间向量的坐标表示及其应用 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3). 向量表示 坐标表示 数量积 a·b a 1 b 1＋a 2b 2＋a 3b 3 共线 a ＝λb (b ≠0，λ∈R ) a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3 垂直 a·b ＝0(a ≠0，b ≠0) a 1 b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0 模 |a | a 21＋a 22＋a 2 3 夹角 〈a ，b 〉(a ≠0，b ≠0) cos 〈a ，b 〉＝ a 1 b 1＋a 2b 2＋a 3b 3 a 21＋a 22＋a 23· b 21＋b 22＋b 2 3 考点一、空间向量的线性运算 【例1】如图所示，在空间几何体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，各面为平行四边形，设AA 1→＝a ，AB → ＝b ，AD → ＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量： (1)AP →；(2)MP →＋NC 1→. [解析] (1)因为P 是C 1D 1的中点，所以AP →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →＝a ＋AD →＋12D 1C 1→ ＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋c ＋1 2 b . (2)因为M 是AA 1的中点，所以MP →＝MA →＋AP → ＝12 A 1A →＋AP → ＝－12a ＋? ? ???a ＋c ＋12b ＝12a ＋12b ＋c . 又NC 1→＝NC →＋CC 1→＝12BC →＋AA 1→ 2019届高三理科数学一轮复习计划 目录 一、背景分析 (1) 三、目标要求 (1) 四、具体计划 (2) （一）总体要求 (2) （二）要解决的问题 (2) （三）总体思路设计 (3) 五、测试制度 (3) （一）周测 (3) （二）单元测试 (3) （三）月测 (3) （四）备注 (3) 六、课程分类 (4) （一）知识梳理课 (4) （二）能力提高课 (4) （三）章节复习课 (4) （四）试卷讲评课 (5) 七、一轮复习进度计划具体安排如下 (5) 2019届高三理科数学一轮复习计划 一、背景分析 近几年来的高考数学试题逐步做到科学化、规化，坚持了稳中求改、稳中创新的原则。考试题不但坚持了考查全面、比例适当，布局合理的特点，也突出体现了变知识立意为能力立意这一举措。更加注重考查学生进入高校学习所需的基本数学素养，这些变化应引起我们在教学中的关注和重视。 二、指导思想 在全面推行素质教育的背景下，努力提高课堂复习效率是高三数学复习的重要任务。通过复习，让学生更好地学会从事社会生产和进一步学习所必需的数学基础知识，从而培养学生思维能力，激发学生学习数学的兴趣，使学生树立学好数学的信心。老师要在教学过程中不断了解新的教学信息，更新教育观念，探求新的教学模式，准确把握课程标准和考试说明的各项基本要求，立足基本知识、基本技能、基本思想和基本方法教学，针对学生实际，指导学法，着力培养学生的创新能力和运用数学的意识和能力。 三、目标要求 第一轮复习要结合高考考点，紧扣教材，以加强双基教学为主线，以提高学生能力为目标，加强学生对知识的理解、联系、应用，同时结合高考题型强化训练，提高学生的解题能力。为此，确立一轮复习的总体目标：通过梳理考点，培养学生分析问题、解决问题的能力；使学生养成思考严谨、分析条理、解答正确、书写规的良好习惯，为二轮复习乃至高考奠定坚实的基础。具体要求如下： 1、第一轮复习必须面向全体学生，降低复习起点，在夯实双基的前提下，注重培养学生的能力，包括：空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力。提高学生对实际问题的阅读理解、思考判断能力；以及数学地提出、分析和解决问题的能力，数学表达和交流的能力，发展独立获取数学知识的能力。 2、在将基础问题学实学活的同时，重视数学思想方法的复习。一定要把复习容中反映出来的数学思想方法的教学体现在第一轮复习的全过程中，使学生真正领悟到如何灵活运用数学思想方法解题。必须让学生明白复习的最终目标是新题会解，而不是单单立足于题的熟练。 3、要强化运算能力、表达能力和阅读能力的训练，课堂教学时要有意识安排时间让学生进行完整的规的解题训练，对解题过程和书写表达提出明确具体的要求，培养学生良好的解题习惯，提高解题的成功率和得分率。同时要加强处理信息与数据和寻求设计合理、简捷的运算途径方面的训练，提高阅读理解的水平和运算技能。落实网上阅卷对解题规、书写轻重、表达完整等新的要求。 导数与函数的单调性 【考点梳理】 函数的导数与单调性的关系 函数y ＝f (x )在某个区间内可导，则 (1)若f ′(x )＞0，则f (x )在这个区间内单调递增； (2)若f ′(x )＜0，则f (x )在这个区间内单调递减； (3)若f ′(x )＝0，则f (x )在这个区间内是常数函数． 【考点突破】 考点一、判断或证明函数的单调性 【例1】已知函数已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )，讨论f (x )的单调性. [解析] f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a . 若a ≤0，则f ′(x )>0恒成立， 所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增. 若a >0，则当x ∈??? ?0，1a 时，f ′(x )>0； x ∈??? ?1a ，＋∞时，f ′(x )<0， 所以f (x )在? ????0，1a 上单调递增，在? ?? ??1a ，＋∞上单调递减. 【类题通法】 用导数判断或证明函数f (x )在(a ，b )内的单调性的步骤 (1)一求．求f ′(x )； (2)二定．确认f ′(x )在(a ，b )内的符号； (3)三结论．作出结论：f ′(x )＞0时为增函数；f ′(x )＜0时为减函数． 【对点训练】 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋b (a ，b ∈R)，试讨论f (x )的单调性． [解析] f ′(x )＝3x 2 ＋2ax ，令f ′(x )＝0， 解得x 1＝0，x 2＝－2a 3 . 当a ＝0时，因为f ′(x )＝3x 2≥0，所以函数f (x ) 在(－∞，＋∞)上单调递增； 当a ＞0时，x ∈? ????－∞，－2a 3∪(0，＋∞)时，f ′(x )＞0， 函数的图象 【考点梳理】 1．利用描点法作函数的图象 方法步骤：(1)确定函数的定义域； (2)化简函数的解析式； (3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等)； (4)描点连线． 2．利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换 (2)对称变换 ①y ＝f (x )的图象―――――→关于x 轴对称 y ＝－f (x )的图象； ②y ＝f (x )的图象――――――→关于y 轴对称 y ＝f (－x )的图象； ③y ＝f (x )的图象――――――→关于原点对称 y ＝－f (－x )的图象； ④y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的图象――――――――→关于直线y ＝x 对称 y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图象． (3)伸缩变换 ①y ＝f (x )的图象 y ＝f (ax )的图象； ②y ＝f (x )的图象 ―――――――――――――――――――――→a ＞1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变 0＜a ＜1，纵坐标缩短为原来的a ，横坐标不变y ＝af (x )的图象． (4)翻转变换 ①y ＝f (x )的图象―――――――――――→x 轴下方部分翻折到上方 x 轴及上方部分不变y ＝|f (x )|的图象； ②y ＝f (x )的图象―――――――――――――→y 轴右侧部分翻折到左侧 原y 轴左侧部分去掉，右侧不变y ＝f (|x |)的图象． 【考点突破】 考点一、作函数的图象 【例1】作出下列函数的图象： (1)y ＝|lg(x －1)|；(2)y ＝2x ＋1 －1； (3)y ＝x 2－|x |－2. [解析] (1)首先作出y ＝lg x 的图象C 1，然后将C 1向右平移1个单位，得到y ＝lg(x －1)的图象C 2，再把C 2在x 轴下方的图象作关于x 轴对称的图象，即为所求图象C 3：y ＝|lg(x －1)|.如图①所示(实线部分)． (2)y ＝2 x ＋1 －1的图象可由y ＝2x 的图象向左平移1个单位，得y ＝2 x ＋1 的图象，再向下 平移一个单位得到，如图②所示． (3)y ＝x 2 －|x |－2＝? ???? x 2 －x －2x ≥0，x 2 ＋x －2x <0， 其图象如图③所示． 【类题通法】 画函数图象的一般方法 (1)直接法．当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征直接作出； (2)图象变换法．若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出． 【对点训练】 分别画出下列函数的图象： (1)y ＝|log 2(x ＋1)|；(2)y ＝|x －1|，x ∈R ；(3)y ＝2x －1 x －1 . [解析] (1)将函数y ＝log 2x 的图象向左平移一个单位，再将x 轴下方的部分沿x 轴翻折上去，即可得到函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，如图①. (2)可先作出y ＝x －1的图象，将x 轴下方的图象沿x 轴翻折到x 轴上方，x 轴上方的图象保持不变可得y ＝|x －1|的图象．如图②中实线部分所示． (3)∵y ＝2＋ 1x －1，故函数图象可由y ＝1 x 图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位 2019届高考复习计划 高三年级生物备课组 本阶段为高三上学期，复习内容按必修一、三(前两章)、二的各章节顺序进行，以教材为主，让学生扎扎实实掌握基础知识，准确掌握重要概念、原理、过程等，并辅以适量的训练题,学生在完成一轮复习后能够理清知识点，构建完整和系统的知识框架，在复习的同时对以前学习的不足进行修补，而且阶段性的复习总结要跟上，及时检测学生学习效果，在高考全国卷中,除了基础知识的考查外，还重视能力的考查,如理解能力、实验与探究能力、获取信息的能力、综合运用能力、科学表述生物学现象及原理，这些能力需要在一轮复习中通过回归教材、知识的讲解和习题的分析训练来培养和加强，恢复参加高考全国3卷考试已有三年全国卷试题整体较稳定。但又体现了一定的变化趋势.只有深入研究历年全国卷考试特点，并充分了解学情和教情,实施正确的策略,方能决胜高考： 一、准确把握学生的学情 1、学生普遍存在以下问题: 基础知识遗忘率高,主干知识把握不清，反思总结习惯缺失、解题盲目、效率低，对理综考试经验不足、时间分配不合理、应试技巧弱。 2、态度决定高度，思维影响行动，端正学生的学习态度是关键，多和学生交流，关注学生各阶段学习过程中的学习情绪，因势利导，帮助学生化解负面情绪，激发其学习的积极性和主动性。 二、明确一轮复习教学目标 1、准确掌握重要概念：名词术语、本质属性(内涵)、使用条件及范围(外延)、例证(正例、反例、特例)、错误概念等、原理过程等。把握知识间的内在联系，形成知识的网络结构。 2、能用文字、图表以及数学方式等多种表达形式准确地描述生物学概念和原理。 3、能对生物的结构和功能、部分和整体、生物与环境的一些关系问题进行分析和解答。 4、能选用恰当的方法验证简单的生物学事实、探究简单的生物学问题，并对实验信息进行处理和分析。 5、能运用所学知识与观点，通过比较、分析与综合等方法对某些生物学问题进行解释、推理、做出合理的判断或得出正确的结论。 2019年高考备考：如何成功拿下高考数学数学要想在高考考场上考出优异的成绩，不但需要扎实的基础知识、较高的数学解题能力做基础，临场考试的技巧更是无数学子圆梦所必备的。针对数学学科特点，谈高考答题技巧，仅供参考: 1.调整好状态，控制好自我。 (1)保持清醒。数学的考试时间在下午，建议同学们中午最好休息半个小时或一个小时，其间尽量放松自己，从心理上暗示自己:只有静心休息才能确保考试时清醒。 (2)按时到位。今年的答题卡不再单独发放，要求答在答题卷上，但发卷时间应在开考前5-10分钟内。建议同学们提前15-20分钟到达考场。 2.通览试卷，树立自信。 刚拿到试卷，一般心情比较紧张，此时不易匆忙作答，应从头到尾、通览全卷，哪些是一定会做的题要心中有数，先易后难，稳定情绪。答题时，见到简单题，要细心，莫忘乎所以。面对偏难的题，要耐心，不能急。 3.提高解选择题的速度、填空题的准确度。 数学选择题是知识灵活运用，解题要求是只要结果、不要过程。因此，逆代法、估算法、特例法、排除法、数形结合法……尽显威力。12个选择题，若能把握得好，容易的一分钟一题，难题也不超过五分钟。由于选择题的特殊性，由此提出解选 择题要求“快、准、巧”，忌讳“小题大做”。填空题也是只要结果、不要过程，因此要力求“完整、严密”。 4.审题要慢，做题要快，下手要准。 题目本身就是破解这道题的信息源，所以审题一定要逐字逐句看清楚，只有细致地审题才能从题目本身获得尽可能多的信息。 找到解题方法后，书写要简明扼要，快速规范，不拖泥带水，牢记高考评分标准是按步给分，关键步骤不能丢，但允许合理省略非关键步骤。答题时，尽量使用数学语言、符号，这比文字叙述要节省而严谨。 5.保质保量拿下中下等题目。 中下题目通常占全卷的80%以上，是试题的主要部分，是考生得分的主要来源。谁能保质保量地拿下这些题目，就已算是打了个胜仗，有了胜利在握的心理，对攻克高难题会更放得开。 6.要牢记分段得分的原则，规范答题。 会做的题目要特别注意表达的准确、考虑的周密、书写的规范、语言的科学，防止被“分段扣点分”。 难题要学会: (1)缺步解答:聪明的解题策略是，将它们分解为一系列的步骤，或者是一个个小问题，能解决多少就解决多少，能演算几步就写几步。特别是那些解题层次明显的题目，或者是已 平面向量的数量积 【考点梳理】 1．平面向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)．规定：零向量与任一向量的数量积为0. (2)几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 2．平面向量数量积的运算律 (1)交换律：a ·b ＝b ·a ； (2)数乘结合律：(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )； (3)分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c . 3．平面向量数量积的性质及其坐标表示 设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ＝〈a ，b 〉. 考点一、平面向量数量积的运算 【例1】(1)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC → 的值为( ) A ．－58 B ．18 C ．14 D ．118 (2)已知点P 在圆x 2 ＋y 2 ＝1上，点A 的坐标为(－2，0)，O 为原点，则AO →·AP → 的最大值为________. [答案](1)B (2) 6 [解析](1)如图所示，AF →＝AD →＋DF →. 又D ，E 分别为AB ，BC 的中点， 且DE ＝2EF ，所以AD →＝12AB →，DF →＝12AC →＋14AC →＝34AC → ， 所以AF →＝12AB →＋34AC → . 又BC →＝AC →－AB → ， 则AF →·BC →＝? ????12AB →＋34AC →·(AC →－AB →) ＝12AB →·AC →－12AB →2＋34AC →2－34AC →·AB → ＝34AC →2－12AB →2－14 AC →·AB →. 又|AB →|＝|AC → |＝1，∠BAC ＝60°， 故AF →·BC →＝34－12－14×1×1×12＝1 8.故选B. (2)设P (cos α，sin α)， ∴AP → ＝(cos α＋2，sin α)， ∴AO →·AP → ＝(2，0)·(cos α＋2，sin α)＝2cos α＋4≤6， 当且仅当cos α＝1时取等号. 【类题通法】 1.求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义. 2.解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，可先利用向量的加减运算或数量积的运算律化简再运算.但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补. 【对点训练】 1．线段AD ，BE 分别是边长为2的等边三角形ABC 在边BC ，AC 边上的高，则AD →·BE → ＝() A ．－32B ．32 C ．－332 D ．332 [答案]A [解析]由等边三角形的性质得|AD →|＝|BE →|＝3，〈AD →，BE →〉＝120°，所以AD →·BE →＝|AD →||BE →|cos 〈AD → ，BE →〉＝3×3×? ?? ??－12＝－32，故选A. 2019届高三数学一轮复习方案 为备战2019年高考，合理有效利用各种资源科学备考，特制定本方案，来完成高三数学一轮复习； 一、指导思想 立足课本，以纵向为主，顺序整理，真正落实“低起点，勤反复、滚动式复习”，抓牢三基，重视展现和训练思维过程，总结和完善解题程序，渗透和提炼数学思想方法，加强章节知识过关，为二轮（条件允许可进行三轮）复习打下坚实的基础，大约在2019年年初结束。 二、复习要求 1、在一轮复习中，指导学生对基础知识、基本技能进行梳理，使之达到系统化、结构化、完整化；通过对基础题的系统训练和规范训练，使学生准确理解每一个概念，能从不同角度把握所学的每一个知识点、所有可能考查到的题型，熟练掌握各种典型问题的通法。 2、一轮复习必须面向全体学生，降低复习起点，在夯实“双基”的前提下，注重培养学生的能力，包括：空间想象、运算求解、推理论证、数据处理等基本能力。复习教学要充分考虑到本班学生的实际水平，坚决反对脱离学生实际的任意拔高和只抓几个“优生”放弃大部分“差生”的不良做法，不做或少做无效劳动，加大分层教学和个别指导的力度，狠抓复习的针对性、实效性，提高复习效果。 3、在将基础问题学实学活的同时，重视数学思想方法的复习。 一定要把复习内容中反映出来的数学思想方法的教学体现在一轮复习的全过程中，使学生真正领悟到如何灵活运用数学思想方法解题。必须让学生明白复习的最终目标是新题会解，而不是单单立足于陈旧题目的熟练。 三、一轮复习进度表 1、理科 日期一轮复习主要内容用卷 8月1日--8月7日第1讲集合 第2讲命题及重要条件 第3讲 逻辑联结词与全称命题、特称命题 限时小 题训练 8月8日--9月28日第4讲函数概念及其表示 第5讲函数的单调性与最值（二次） 第6讲函数的奇偶性与周期性 第7讲二次函数与幂函数 第8讲指数与指数函数 第9讲对数与对数函数 第10讲函数的图象 第11讲函数与方程 第13讲变化率与导数、导数的运算 第14讲导数在研究函数中的应用 第15讲定积分与微积分基本定理 限时小 题训练 导数强 化练习 复习卷 集合 【考点梳理】 1．元素与集合 (1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和?． (3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、Venn图法． 2．集合间的基本关系 (1)子集：若对任意x∈A，都有x∈B，则A?B或B?A． (2)真子集：若A?B，但集合B中至少有一个元素不属于集合A，则A?≠B或B?≠A． (3)相等：若A?B，且B?A，则A＝B． (4)空集的性质：?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 3．集合的基本运算 并集交集补集 图形表示 符号表示A∪B A∩B ?U A 意义{x|x∈A或x∈B} {x|x∈A且x∈B}{x|x∈U且x?A} 4. (1)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个． (2)子集的传递性：A?B，B?C?A?C. (3)A?B?A∩B＝A?A∪B＝B. (4)?U(A∩B)＝(?U A)∪(?U B)，?U(A∪B)＝(?U A)∩(?U B)． 【考点突破】 考点一、集合的基本概念 【例1】(1)已知集合M＝{1,2}，N＝{3,4,5}，P＝{x|x＝a＋b，a∈M，b∈N}，则集合P 的元素个数为( ) A．3 B．4 C．5 D．6 (2)若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝( ) A ．92 B ．98 C ．0 D ．0或9 8 [答案] (1) B (2) D [解析] (1) 因为a ∈M ，b ∈N ，所以a ＝1或2，b ＝3或4或5.当a ＝1时，若b ＝3，则x ＝4；若b ＝4，则x ＝5；若b ＝5，则x ＝6.同理，当a ＝2时，若b ＝3，则x ＝5；若b ＝4，则 x ＝6；若b ＝5，则x ＝7，由集合中元素的特性知P ＝{4,5,6,7}，则P 中的元素共有4个． (2)若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2 －3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根． 当a ＝0时，x ＝2 3 ，符合题意； 当a ≠0时，由Δ＝(－3)2 －8a ＝0得a ＝98， 所以a 的取值为0或9 8. 【类题通法】 与集合中的元素有关的解题策略 (1)确定集合中的代表元素是什么，即集合是数集还是点集． (2)看这些元素满足什么限制条件． (3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性． 【对点训练】 1. 已知集合A ＝{(x ，y )|x 2 ＋y 2 ＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 [答案] B [解析] 因为A 表示圆x 2 ＋y 2＝1上的点的集合，B 表示直线y ＝x 上的点的集合，直线y ＝x 与圆x 2 ＋y 2 ＝1有两个交点，所以A ∩B 中元素的个数为2. 2. 已知集合A ＝{x ∈R|ax 2 ＋3x －2＝0}，若A ＝?，则实数a 的取值范围为________. [答案] ? ????－∞，－98 [解析] ∵A ＝?，∴方程ax 2＋3x －2＝0无实根， 二项分布与正态分布 【考点梳理】 ．条件概率 ．事件的相互独立性 ()定义：设，为两个事件，如果()＝()()，则称事件与事件相互独立. ()性质：若事件与相互独立，则与，与，与也都相互独立，()＝()，()＝(). ．独立重复试验与二项分布 ()独立重复试验 在相同条件下重复做的次试验称为次独立重复试验，其中(＝，，…，)是第次试验结果，则(…)＝()()()…(). ()二项分布 在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，则(＝)＝(－)－(＝，，，…，)，此时称随机变量服从二项分布，记作～(，)，并称为成功概率. ．正态分布 ()正态分布的定义 如果对于任何实数，(＜)，随机变量满足(＜≤)＝φμ，σ()，则称随机变量服从正态分布，记为～(μ，σ).其中φμ，σ()＝(σ>). ()正态曲线的性质 ①曲线位于轴上方，与轴不相交，与轴之间的面积为； ②曲线是单峰的，它关于直线＝μ对称； ③曲线在＝μ处达到峰值； ④当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散. ()正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 ①(μ－σ<≤μ＋σ)＝； ②(μ－σ<≤μ＋σ)＝； ③(μ－σ<≤μ＋σ)＝. 【考点突破】 考点一、条件概率 【例】()如图，是以为圆心，半径为的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用表示事件“豆子落在正方形内”，表示事件“豆子落在扇形(阴影部分)内”，则()＝. ()某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为，两次闭合后都出现红灯的概率为，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为( ) ．．．． [答案]()() [解析]()由题意可得，事件发生的概率()＝＝＝.事件表示“豆子落在△内”，则()＝＝＝.故()＝＝＝. ()设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件，“第二次闭合后出现红灯”为事件，则由题意可得()＝，()＝，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合出现红灯的概率是()＝＝＝.故选. 【类题通法】 . 利用定义，分别求()和()，得()＝，这是求条件概率的通法. . 借助古典概型概率公式，先求事件包含的基本事件数()，再求事件与事件的交事件中包含的基本事件数()，得()＝. 【对点训练】 ．从，，，，中任取个不同的数，事件＝“取到的个数之和为偶数”，事件＝“取到的个数均为偶数”，则()＝( ) ．．．． [答案] 长江高中2019年高考数学备考计划 张向荣 一.背景分析 近年来的高考数学试题逐步做到科学化、规范化，坚持了稳中求改、稳中创新的原则。考试题不但坚持了考查全面，比例适当，布局合理的特点，也突出体现了变知识立意为能力立意这一举措。更加注重考查考生进入高校学习所需的基本素养，这些问题应引起我们在教学中的关注和重视。 1 试题题型平稳突出对主干知识的考查重视对新增内容的考查 2 充分考虑文、理科考生的思维水平与不同的学习要求，体现出良好的层次性 3 重视对数学思想方法的考查 4 深化能力立意，考查考生的学习潜能 5 重视基础，以教材为本 6 重视应用题设计，考查考生数学应用意识 二、学情分析 本届学生学习态度较好，但水平差异较大，更多学生基础知识比较薄弱，遗忘率高，知识漏洞多。因此我们在复习课中加强双基训练，并注意蕴含在基础知识中的能力培养，特别是要求学生要学会把基础知识放在新情境中去分析、应用。把复习的重点放在教材 中典型例题、习题上，放在体现通性、通法的例题、习题上，放在各部分知识网络之间的内在联系上，抓好课堂教学质量以及课后辅导。 三、教学计划与要求 （一）第一轮复习第一轮复习(2018年8月到2019年3月中旬),为基础知识复习阶段。在这一阶段,重温高中阶段所学的数学知识,但这绝不只是对以前所学知识的简单重复,而是站在更高的角度,对旧知识产生全新认识的重要过程。因为在高一高二学习时,是以知识点为主线索,依次传授讲解的,由于后面的相关知识还没有学到,不能进行纵向联系,所以,大家学到的往往是零碎的、散乱的知识点。而在第一轮复习时,主线索是知识的纵向联系与横向联系相结合,以章节为单位,将那些零碎的、散乱的知识点串联起来,并将它们系统化、综合化,侧重点在各个知识点之间的融会贯通。 所以在复习过程中1.立足课本,快速理清学过的各个知识点,加深对知识点的理解,特别是知识点交汇分析，其次要把书上的例题、习题再做一遍,很多数学高考题就是由这些题目演变而来的。有针对性的“回归”课本,夯实基础,熟练掌握解题的通性、通法,提高解题速度。2.注意所做题目知识点覆盖范围的变化,有意识地引导思考、研究这些知识点在课本中所处的地位和相互之间的联系。3.明确课本从前到后的知识结构,将整个知识体系框架化、网络化。4.将常用的知识点总结起来,研究重点知识所在章节,并了解各章节在课本中的地位和作用。5.在这一阶段适当做一些高考真题,这样既可以明确 几何概型 【考点梳理】 1．几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型． 2．几何概型的两个基本特点 (1)无限性：在一次试验中可能出现的结果有无限多个． (2)等可能性：每个试验结果的发生具有等可能性． 3．几何概型的概率公式 P (A )＝ 构成事件A 的区域长度面积或体积 试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积 . 【考点突破】 考点一、与长度(角度)有关的几何概型 【例1】(1)在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ， CB 的长，则该矩形的面积大于20 cm 2的概率为( ) A ．16 B ．13 C ．23 D ．45 (2)如图所示，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，在∠DAB 内作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为________． [答案] (1) C (2) 1 3 [解析] (1)设|AC |＝x ，则|BC |＝12－x ，所以x (12－x )>20，解得2 P ′在C ''B 上发生”． 又在Rt△ABC 中，易求∠BAC ＝∠B ′AC ′＝π 6 . 故所求事件的概率P ＝ C D l l ''B 'B ＝π6·1π2 ·1＝13 . 【类题通法】 1．解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考查对象和对象的活动范围，当考查对象为点，且点的活动范围在线段上时，用“线段长度”为测度计算概率，求解的核心是确定点的边界位置． 2．当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角对应的弧长的大小作为区域度量来计算概率．事实上，当半径一定时，曲线弧长之比等于其所对应的圆心角的弧度数之比． 【对点训练】 1．某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( ) A ．1 3 B ．12 C ．23 D ．34 [答案] B [解析] 如图，7：50至8：30之间的时间长度为40分钟，而小明等车时间不超过10分钟是指小明在7：50至8：00之间或8：20至8：30之间到达发车站，此两种情况下的时间长度之和为20分钟，由几何概型概率公式知所求概率为P ＝2040＝1 2 .故选 B. 2．如图所示，在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部任作一条射线CM ，与 AB 交于点M ，则AM 2019届高三数学复习备考计划 一、指导思想 按照新课程标准的要求，根据数学高考试题“稳中求变，变中求新，新中求活，活中求能”的特点和本校学生的实际，在高三数学复习中我们以潜心钻研新课标、仔细研究新考纲、有效落实双基、科学组织备考为指导思想，更新复习理念，优化复习过程，提高复习效益，以加强双基教学为主线，以提高学生数学能力为目标，加强学生对知识的有效理解、联系应用，同时，结合高考题型强化训练，提高学生的解题能力。 二、复习依据 根据新课程指导实施意见，以人教社新教材、普通高等学校招生全国统一考试大纲（数学）为复习依据，仔细阅读研究新课程标准，同时参考近几年高考试题及新课程标准和教材。 三、复习计划 1、一轮基础复习（2018年8月初-----2019年3月上旬）【以《创新大课堂》为蓝本】 第一阶段复习，基础知识复习阶段，要体现基础性、全面性、熟练性，有效性。 （1）基础性：根据数学新课程标准，强调复习内容应是数学课程标准要求的数学基础知识，它包括数学基础知识、基本技能和基本方法。 （2）全面性：根据考纲的要求，对高中数学中的每个知识点进行全面的复习，对常用数学方法进行全面的总结。 （3）熟练性：即指通过复习，学生对数学基础知识和基本数学方法要熟练地掌握和运用，要加强运算求解、数据处理的能力，为以后进一步复习打下扎实的基础。 （4）有效性：即指通过复习，学生能够科学有效的解答试题，得到试卷的有效分数。 要到达目的： （1）深化对“双基”的掌握和运用； （2）形成有效的知识模块 （3）归纳总结常用的数学思想方法； （4）帮助学生积累解题经验，提高解题水平； （5）训练学生的数学运算求解、数据处理能力，特别是有条理的书面表达能力。 具体做法：按照资料章节讲练，安排见附表。 2、二轮专题复习（2019年3月中旬-----2019年5月初）【专题和试题】 第二阶段复习注意必考点，关注热点，立足得分点，分析易错点，把握准确无失误。同时要重点研究新的考纲，严格落实考纲对知识点的要求，要体现“深刻性、拓展性和发散性”。 高考专题突破三 高考中的数列问题 【考点自测】 1．(2017·洛阳模拟)已知等差数列{a n }的公差和首项都不等于0，且a 2，a 4，a 8成等比数列，则 a 1＋a 5＋a 9 a 2＋a 3 等于( ) A ．2 B ．3 C ．5 D ．7 答案 B 解析 ∵在等差数列{a n }中，a 2，a 4，a 8成等比数列，∴a 2 4＝a 2a 8，∴(a 1＋3d )2 ＝(a 1＋d )(a 1＋7d )，∴d 2 ＝a 1d ， ∵d ≠0，∴d ＝a 1，∴ a 1＋a 5＋a 9a 2＋a 3＝15a 1 5a 1 ＝3.故选B. 2．(2018·衡水调研)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列???? ?? 1a n a n ＋1的前 100项和为( ) A.100 101 B.99101 C.99100 D.101100 答案 A 解析 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d . ∵a 5＝5，S 5＝15，∴? ??? ? a 1＋4d ＝5，5a 1＋5×(5－1) 2d ＝15，∴? ?? ?? a 1＝1， d ＝1， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n . ∴ 1 a n a n ＋1 ＝ 1n (n ＋1)＝1n －1 n ＋1 ， ∴数列???? ??1a n a n ＋1的前100项和为? ????1－12＋? ????12－13＋…＋? ????1100－1101＝1－1101＝100101. 3．若a ，b 是函数f (x )＝x 2 －px ＋q (p ＞0，q ＞0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 答案 D 解析 由题意知a ＋b ＝p ，ab ＝q ，∵p ＞0，q ＞0，∴a ＞0，b ＞0.在a ，b ，－2这三个数的6种排序中，成等差数列的情况有：a ，b ，－2；b ，a ，－2；－2，a ，b ；－2，b ，a ；成等比数列的情况有：a ，－2，b ；b ，－2，a . ∴? ?? ?? ab ＝4，2b ＝a －2或? ?? ?? ab ＝4， 2a ＝b －2，解得? ?? ?? a ＝4， b ＝1或? ?? ?? a ＝1， b ＝4. ∴p ＝5，q ＝4，∴p ＋q ＝9，故选D. 4．(2017·江西高安中学等九校联考)已知数列{a n }是等比数列，数列{b n }是等差数列，若 a 1·a 6·a 11＝33， b 1＋b 6＋b 11＝7π，则tan b 3＋b 9 1－a 4·a 8 的值是( ) A ．1 B.22 C ．－ 2 2 D ．－ 3 答案 D 解析 {a n }是等比数列，{b n }是等差数列，且a 1·a 6·a 11＝33，b 1＋b 6＋b 11＝7π，∴a 3 6＝(3)3, 3b 6＝7π，∴a 6＝3，b 6＝ 7π3 ， ∴tan b 3＋b 91－a 4·a 8＝tan 2b 6 1－a 26＝tan 2× 7π 3 1－(3) 2 ＝tan ? ????－7π3＝tan ? ????－2π－π3＝－tan π3＝－ 3. 5．(2018·保定模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意n ∈N * 都有S n ＝23a n －13 ，若12019高考数学复习计划(含时间表)
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