数系的扩充与复数的引入
[知识能否忆起]
一、复数的有关概念
1.复数的概念:形如a +b i(a ,b ∈R )的数叫复数,其中a ,b 分别是它的实部和虚部.若b =0,则a +b i 为实数;若b ≠0,则a +b i 为虚数;若a =0,b ≠0,则a +b i 为纯虚数.
2.复数相等:a +b i =c +d i ?a =c ,b =d (a ,b ,c ,d ∈R ).
3.共轭复数:a +b i 与c +d i 共轭?a =c ,b +d =0(a ,b ,c ,d ∈R ).
4.复数的模:向量OZ ―→的长度叫做复数z =a +b i 的模,记作|z |或|a +b i|,即|z |=|a +b i|=a 2+b 2.
二、复数的几何意义
复数z =a +b i ―→复平面内的点Z (a ,b )―→平面向量OZ . 三、复数的运算
1.复数的加、减、乘、除运算法则
设z 1=a +b i ,z 2=c +d i(a ,b ,c ,d ∈R ),则: (1)加法:z 1+z 2=(a +b i)+(c +d i)=(a +c )+(b +d )i ; (2)减法:z 1-z 2=(a +b i)-(c +d i)=(a -c )+(b -d )i ; (3)乘法:z 1·z 2=(a +b i)·(c +d i)=(ac -bd )+(ad +bc )i ; (4)除法:z 1z 2=a +b i c +d i =(a +b i )(c -d i )(c +d i )(c -d i )
=
(ac +bd )+(bc -ad )i
c 2+
d 2
(c +d i ≠0).
2.复数加法、乘法的运算律
对任意z 1,z 2,z 3∈C ,有z 1+z 2=z 2+z 1,(z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3);z 1·z 2=z 2·z 1,(z 1·z 2)·z 3
=z 1·(z 2·z 3),z 1(z 2+z 3)=z 1z 2+z 1z 3.
[小题能否全取]
1.(教材习题改编)已知a ∈R ,i 为虚数单位,若(1-2i)(a +i)为纯虚数,则a 的值等于( )
A .-6
B .-2
C .2
D .6
解析:选B 由(1-2i)(a +i)=(a +2)+(1-2a )i 是纯虚数,得?
????
a +2=0,
1-2a ≠0,由此解得a
=-2.
2.若a ,b ∈R ,i 为虚数单位,且(a +i)i =b +i ,则( ) A .a =1,b =1
B .a =-1,b =1
C .a =-1,b =-1
D .a =1,b =-1
解析:选D 由(a +i)i =b +i ,得-1+a i =b +i ,根据两复数相等的充要条件得a =1,b =-1.
3.i 是虚数单位,复数5+3i
4-i =( )
A .1-i
B .-1+i
C .1+i
D .-1-i
解析:选C 5+3i 4-i =(5+3i )(4+i )(4-i )(4+i )=20+5i +12i +3i 216-i 2=17+17i
17=1+i.
4.若复数z 满足z
1+i =2i ,则z 对应的点位于第________象限.
解析:z =2i(1+i)=-2+2i ,因此z 对应的点为(-2,2),在第二象限内. 答案:二
5.若复数z 满足z +i =3+i
i ,则|z |=________.
解析:因为z =3+i
i -i =1-3i -i =1-4i ,则|z |=17.
答案:17 1.复数的几何意义
除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外,还要注意 (1)|z |=|z -0|=a (a >0)表示复数z 对应的点到原点的距离为a ; (2)|z -z 0|表示复数z 对应的点与复数z 0对应的点之间的距离. 2.复数中的解题策略
(1)证明复数是实数的策略:①z =a +b i ∈R ?b =0(a ,b ∈R );②z ∈R ?z =z . (2)证明复数是纯虚数的策略:①z =a +b i 为纯虚数?a =0,b ≠0(a ,b ∈R ); ②b ≠0时,z -z =2b i 为纯虚数;③z 是纯虚数?z +z =0且z ≠0.
典题导入
[例1] (1)设a ,b ∈R ,i 是虚数单位,则“ab =0”是“复数a +b
i 为纯虚数”的( )
A .充分不必要条件
B .必要不充分条件
C .充分必要条件
D .既不充分也不必要条件
(2)如果复数2-b i
1+2i (其中i 为虚数单位,b 为实数)的实部和虚部互为相反数,那么b 等于
( )
A .-2
3
B.23
C. 2
D .2
[自主解答] (1)若复数a +b
i =a -b i 为纯虚数,则a =0,b ≠0,ab =0;而ab =0时a
=0或b =0,a +b i 不一定是纯虚数,故“ab =0”是“复数a +b
i 为纯虚数”的必要不充分条
件.
(2)2-b i 1+2i =(2-b i )(1-2i )(1+2i )(1-2i )=(2-2b )-(4+b )i
5,
依题意有2-2b =4+b ,解得b =-2
3.
[答案] (1)B (2)A
由题悟法
处理有关复数的基本概念问题,关键是找准复数的实部和虚部,从定义出发,把复数问题转化成实数问题来处理.由于复数z =a +b i(a ,b ∈R )由它的实部与虚部唯一确定,故复数z 与点Z (a ,b )相对应.
以题试法
1.已知
x
1+i
=1-y i ,其中x ,y 是实数,i 是虚数单位,则x +y i 的共轭复数为( ) A .1+2i B .1-2i C .2+i
D .2-i
解析:选D 依题意得x =(1+i)(1-y i)=(1+y )+(1-y )i ;又x ,y ∈R ,于是有
?
????
x =1+y ,1-y =0,解得x =2,y =1.
x +y i =2+i ,因此x +y i 的共轭复数是2-i.
典题导入
[例2] 已知复数z 的实部为-1,虚部为2,则2-i
z (i 为虚部单位)在复平面内对应的点
所在的象限为( )
A .第一象限
B .第二象限
C .第三象限
D .第四象限
[自主解答] 选C 依题意得2-i z =2-i -1+2i =(2-i )(-1-2i )(-1+2i )(-1-2i )=-4-3i
5,因此该复数
在复平面内对应的点的坐标是????-45
,-3
5,位于第三象限.
由题悟法
复数与复平面内的点是一一对应的,复数和复平面内以原点为起点的向量也是一一对应的,因此复数加减法的几何意义可按平面向量加减法理解,利用平行四边形法则或三角形法则解决问题.
以题试法
2.(1)在复平面内,复数6+5i ,-2+3i 对应的点分别为A ,B ,若C 为线段AB 的中点,则点C 对应的复数是( )
A .4+8i
B .8+2i
C .2+4i
D .4+i
(2)已知复数z 1=-1+2i ,z 2=1-i ,z 3=3-4i ,它们在复平面上对应的点分别为A ,B ,C ,若OC =λOA +μOB ,(λ,μ∈R ),则λ+μ的值是________.
解析:(1)复数6+5i 对应的点为A (6,5),复数-2+3i 对应的点为B (-2,3).利用中点坐标公式得线段AB 的中点C (2,4),故点C 对应的复数为2+4i.
(2)由条件得OC =(3,-4),OA =(-1,2),OB =(1,-1), 根据OC =λOA +μOB 得
(3,-4)=λ(-1,2)+μ(1,-1)=(-λ+μ,2λ-μ),
∴????? -λ+μ=3,2λ-μ=-4,解得?????
λ=-1,
μ=2.
∴λ+μ=1. 答案:(1)C (2)1
典题导入
[例3] (1)若复数z 满足z (2-i)=11+7i(i 为虚数单位),则z 为( ) A .3+5i B .3-5i C .-3+5i
D .-3-5i
(2)复数i 2+i 3+i 4
1-i =( )
A .-12-12i
B .-12+12i
C.12-12
i
D.12+12
i [自主解答] (1)z =11+7i 2-i =(11+7i )(2+i )(2-i )(2+i )=15+25i
5=3+5i.
(2)i 2+i 3+i 41-i =(-1)+(-i )+11-i =-i
1-i
=
-i (1+i )(1-i )(1+i )
=1-i 2=12-1
2i.
[答案] (1)A (2)C
由题悟法
1.复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算,除法运算是分子分母同乘以分母的共轭复数,注意要把i 的幂写成最简形式.
2.记住以下结论,可提高运算速度:
①(1±i)2=±2i ;②1+i 1-i =i ;③1-i 1+i =-i ;④a +b i i =b -a i ;⑤i 4n =1,i 4n +1=i ,i 4n +
2=-
1,i 4n +
3=-i(n ∈N ).
以题试法
3.(1)设复数z 的共轭复数为z ,若z =1-i(i 为虚数单位),则z z
+z 2的值为( )
A .-3i
B .-2i
C .i
D .-i
(2)i 为虚数单位,? ??
?
?1+i 1-i 4=________.
解析:(1)依题意得z
z +z 2
=1+i 1-i +(1-i)2=-i 2
+i 1-i
-2i =i -2i =-i.
(2)? ????1+i 1-i 4=
????(1+i )2
24=i 4=1. 答案:(1)D (2)1
1.若复数z =1+i(i 为虚数单位),z 是z 的共轭复数,则z 2+z 2的虚部为( ) A .0 B .-1 C .1
D .-2
解析:选A ∵z =1+i ,∴z =1-i ,∴z 2+z 2=(z +z )2-2z z =4-4=0,∴z 2+z
2
的虚部为0.
2.在复平面内,复数10i
3+i 对应的点的坐标为( )
A .(1,3)
B .(3,1)
C .(-1,3)
D .(3,-1)
解析:选A 由10i
3+i =10i (3-i )(3+i )(3-i )=10(1+3i )10=1+3i 得,该复数对应的点为(1,3).
3.若复数(a +i)2在复平面内对应的点在y 轴负半轴上,则实数a 的值是( ) A .1 B .-1 C. 2
D .- 2
解析:选B 因为复数(a +i)2=(a 2-1)+2a i ,所以其在复平面内对应的点的坐标是(a 2
-1,2a ),又因为该点在y 轴负半轴上,所以有?????
a 2-1=0,
2a <0,
解得a =-1.
4.复数(1+2i )(2+i )
(1-i )2等于( )
A.52 B .-52
C.52
i
D .-52
i
解析:选B (1+2i )(2+i )(1-i )2
=2+4i +i +2i 2-2i =5i -2i =-5
2. 5.已知i 为虚数单位,复数z =2+i 1-2i
,则|z |+1
z =( )
A .i
B .1-i
C .1+i
D .-i
解析:选B 由已知得z =2+i 1-2i =-2i 2+i 1-2i =i (1-2i )1-2i =i ,|z |+1z =|i|+1
i =1-i.
6.设复数z 的共轭复数为z ,若(2+i)z =3-i ,则z ·z 的值为( ) A .1 B .2 C. 2
D .4
解析:选B 设z =a +b i(a ,b ∈R ),代入(2+i)z =3-i ,得(2a -b )+(2b +a )i =3-i ,从而可得a =1,b =-1,那么z ·z =(1-i)(1+i)=2.
7.已知集合M =?
???
??
i ,i 2,1i ,
(1+i )
2
i ,i 是虚数单位,Z 为整数集,则集合Z ∩M 中的元素个数是( )
A .3个
B .2个
C .1个
D .0个
解析:选B 由已知得M ={i ,-1,-i,2},Z 为整数集,∴Z ∩M ={-1,2},即集合Z ∩M 中有2个元素.
8.定义:若z 2=a +b i(a ,b ∈R ,i 为虚数单位),则称复数z 是复数a +b i 的平方根.根据定义,则复数-3+4i 的平方根是( )
A .1-2i 或-1+2i
B .1+2i 或-1-2i
C .-7-24i
D .7+24i
解析:选B 设(x +y i)2
=-3+4i(x ,y ∈R ),则?
????
x 2-y 2=-3,xy =2, 解得????? x =1,y =2,或?
????
x =-1,
y =-2.
9.在复平面内,复数1+i 与-1+3i 分别对应向量OA 和OB ,其中O 为坐标原点,则|AB |=________.
解析:由题意知A (1,1),B (-1,3), 故|AB |=(-1-1)2+(3-1)2=2 2. 答案:2 2
10.已知复数z =1-i ,则z 2-2z z -1
=________.
解析:z 2-2z z -1=(z -1)2-1z -1=z -1-1z -1=(-i)-1-i =-i -i -i·i =-2i.
答案:-2i
11.设复数z 满足|z |=5且(3+4i)z 是纯虚数,则z =________. 解析:设z =a +b i(a ,b ∈R ),则有a 2+b 2=5.
于是(3+4i)z =(3a -4b )+(4a +3b )i.
由题设得????? 3a -4b =04a +3b ≠0得b =34a 代入得a 2+????34a 2=25,a =±4,∴????? a =4,b =3或?
????
a =-4,
b =-3.
∴z =4-3i 或z =-4+3i. 答案:±(4-3i)
12.(-1+i )(2+i )
i 3
=________.
解析:(-1+i )(2+i )i 3=-3+i -i =-1-3i.
答案:-1-3i
13.已知复数z 1满足(z 1-2)(1+i)=1-i(i 为虚数单位),复数z 2的虚部为2,且z 1·z 2是实数,则z 2=________.
解析:(z 1-2)(1+i)=1-i ?z 1=2-i. 设z 2=a +2i ,a ∈R . 则z 1·z 2=(2-i)(a +2i) =(2a +2)+(4-a )i.
∵z 1·z 2∈R ,∴a =4.∴z 2=4+2i. 答案:4+2i
14.若复数z =a 2-1+(a +1)i(a ∈R )是纯虚数,则1
z +a
的虚部为________.
解析:由题意得?
????
a 2-1=0,a +1≠0,所以a =1,所以1z +a =11+2i =1-2i (1+2i )(1-2i )=15-2
5i ,根
据虚部的概念,可得
1z +a
的虚部为-25.
答案:-2
5
1.在复数集C 上的函数f (x )满足f (x )=????
?
1+x ,x ∈R ,(1-i )x ,x ?R ,
则f (1+i)等于( )
A .2+i
B .-2
C .0
D .2
解析:选D ∵1+i ?R ,∴f (1+i)=(1-i)(1+i)=2.
2.已知i 为虚数单位,a 为实数,复数z =(1-2i)(a +i)在复平面内对应的点为M ,则“a >1
2
”是“点M 在第四象限”的( )
A .充分而不必要条件
B .必要而不充分条件
C .充要条件
D .既不充分也不必要条件
解析:选C z =(1-2i)(a +i)=(a +2)+(1-2a )i ,若其对应的点在第四象限,则a +2>0,且1-2a <0,解得a >12.即“a >1
2
”是“点M 在第四象限”的充要条件.
3.已知复数z =x +y i(x ,y ∈R ),且|z -2|=3,则y
x 的最大值为________.
解析:|z -2|=(x -2)2+y 2=3,
∴(x -2)2+y 2=3. 由图可知????y x max =3
1= 3. 答案: 3
4.复数z =(m 2+5m +6)+(m 2-2m -15)i ,与复数12+16i 互为共轭复数,则实数m =________.
解析:根据共轭复数的定义得
?
????
m 2+5m +6=12,m 2-2m -15=-16. 解之得m =1. 答案:1
5.已知z 是复数,z +2i ,z 2-i 均为实数(i 为虚数单位),且复数(z +a i)2在复平面上对应
的点在第一象限,求实数a 的取值范围.
解:设z =x +y i(x ,y ∈R ),
则z +2i =x +(y +2)i ,由题意得y =-2. ∵
z 2-i =x -2i 2-i =15
(x -2i)(2+i) =15(2x +2)+1
5(x -4)i. 由题意得x =4,∴z =4-2i. ∴(z +a i)2=(12+4a -a 2)+8(a -2)i.
由于(z +a i)2在复平面上对应的点在第一象限,
∴?
????
12+4a -a 2>0,8(a -2)>0,解得2 6.设z 是虚数,ω=z +1 z ,且-1<ω<2. (1)求|z |的值及z 的实部的取值范围; (2)设u =1-z 1+z ,求证:u 为纯虚数. 解:(1)设z =a +b i(a ,b ∈R ,b ≠0), ω=a +b i +1 a + b i =????a +a a 2+b 2+????b -b a 2+b 2i , ∵ω是实数,∴b -b a 2+b 2=0. 又b ≠0,∴a 2+b 2=1.∴|z |=1,ω=2a . ∵-1<ω<2,∴-1 2 即z 的实部的取值范围是??? ?-1 2,1. (2)u =1-z 1+z =1-a -b i 1+a +b i =1-a 2-b 2-2b i (1+a )2+b 2=-b a +1i. ∵-1 2