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2014届高考数学一轮复习教学案数系的扩充与复数的引入 2

2014届高考数学一轮复习教学案数系的扩充与复数的引入 2
2014届高考数学一轮复习教学案数系的扩充与复数的引入 2

数系的扩充与复数的引入

[知识能否忆起]

一、复数的有关概念

1.复数的概念:形如a +b i(a ,b ∈R )的数叫复数,其中a ,b 分别是它的实部和虚部.若b =0,则a +b i 为实数;若b ≠0,则a +b i 为虚数;若a =0,b ≠0,则a +b i 为纯虚数.

2.复数相等:a +b i =c +d i ?a =c ,b =d (a ,b ,c ,d ∈R ).

3.共轭复数:a +b i 与c +d i 共轭?a =c ,b +d =0(a ,b ,c ,d ∈R ).

4.复数的模:向量OZ ―→的长度叫做复数z =a +b i 的模,记作|z |或|a +b i|,即|z |=|a +b i|=a 2+b 2.

二、复数的几何意义

复数z =a +b i ―→复平面内的点Z (a ,b )―→平面向量OZ . 三、复数的运算

1.复数的加、减、乘、除运算法则

设z 1=a +b i ,z 2=c +d i(a ,b ,c ,d ∈R ),则: (1)加法:z 1+z 2=(a +b i)+(c +d i)=(a +c )+(b +d )i ; (2)减法:z 1-z 2=(a +b i)-(c +d i)=(a -c )+(b -d )i ; (3)乘法:z 1·z 2=(a +b i)·(c +d i)=(ac -bd )+(ad +bc )i ; (4)除法:z 1z 2=a +b i c +d i =(a +b i )(c -d i )(c +d i )(c -d i )

(ac +bd )+(bc -ad )i

c 2+

d 2

(c +d i ≠0).

2.复数加法、乘法的运算律

对任意z 1,z 2,z 3∈C ,有z 1+z 2=z 2+z 1,(z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3);z 1·z 2=z 2·z 1,(z 1·z 2)·z 3

=z 1·(z 2·z 3),z 1(z 2+z 3)=z 1z 2+z 1z 3.

[小题能否全取]

1.(教材习题改编)已知a ∈R ,i 为虚数单位,若(1-2i)(a +i)为纯虚数,则a 的值等于( )

A .-6

B .-2

C .2

D .6

解析:选B 由(1-2i)(a +i)=(a +2)+(1-2a )i 是纯虚数,得?

????

a +2=0,

1-2a ≠0,由此解得a

=-2.

2.若a ,b ∈R ,i 为虚数单位,且(a +i)i =b +i ,则( ) A .a =1,b =1

B .a =-1,b =1

C .a =-1,b =-1

D .a =1,b =-1

解析:选D 由(a +i)i =b +i ,得-1+a i =b +i ,根据两复数相等的充要条件得a =1,b =-1.

3.i 是虚数单位,复数5+3i

4-i =( )

A .1-i

B .-1+i

C .1+i

D .-1-i

解析:选C 5+3i 4-i =(5+3i )(4+i )(4-i )(4+i )=20+5i +12i +3i 216-i 2=17+17i

17=1+i.

4.若复数z 满足z

1+i =2i ,则z 对应的点位于第________象限.

解析:z =2i(1+i)=-2+2i ,因此z 对应的点为(-2,2),在第二象限内. 答案:二

5.若复数z 满足z +i =3+i

i ,则|z |=________.

解析:因为z =3+i

i -i =1-3i -i =1-4i ,则|z |=17.

答案:17 1.复数的几何意义

除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外,还要注意 (1)|z |=|z -0|=a (a >0)表示复数z 对应的点到原点的距离为a ; (2)|z -z 0|表示复数z 对应的点与复数z 0对应的点之间的距离. 2.复数中的解题策略

(1)证明复数是实数的策略:①z =a +b i ∈R ?b =0(a ,b ∈R );②z ∈R ?z =z . (2)证明复数是纯虚数的策略:①z =a +b i 为纯虚数?a =0,b ≠0(a ,b ∈R ); ②b ≠0时,z -z =2b i 为纯虚数;③z 是纯虚数?z +z =0且z ≠0.

典题导入

[例1] (1)设a ,b ∈R ,i 是虚数单位,则“ab =0”是“复数a +b

i 为纯虚数”的( )

A .充分不必要条件

B .必要不充分条件

C .充分必要条件

D .既不充分也不必要条件

(2)如果复数2-b i

1+2i (其中i 为虚数单位,b 为实数)的实部和虚部互为相反数,那么b 等于

( )

A .-2

3

B.23

C. 2

D .2

[自主解答] (1)若复数a +b

i =a -b i 为纯虚数,则a =0,b ≠0,ab =0;而ab =0时a

=0或b =0,a +b i 不一定是纯虚数,故“ab =0”是“复数a +b

i 为纯虚数”的必要不充分条

件.

(2)2-b i 1+2i =(2-b i )(1-2i )(1+2i )(1-2i )=(2-2b )-(4+b )i

5,

依题意有2-2b =4+b ,解得b =-2

3.

[答案] (1)B (2)A

由题悟法

处理有关复数的基本概念问题,关键是找准复数的实部和虚部,从定义出发,把复数问题转化成实数问题来处理.由于复数z =a +b i(a ,b ∈R )由它的实部与虚部唯一确定,故复数z 与点Z (a ,b )相对应.

以题试法

1.已知

x

1+i

=1-y i ,其中x ,y 是实数,i 是虚数单位,则x +y i 的共轭复数为( ) A .1+2i B .1-2i C .2+i

D .2-i

解析:选D 依题意得x =(1+i)(1-y i)=(1+y )+(1-y )i ;又x ,y ∈R ,于是有

?

????

x =1+y ,1-y =0,解得x =2,y =1.

x +y i =2+i ,因此x +y i 的共轭复数是2-i.

典题导入

[例2] 已知复数z 的实部为-1,虚部为2,则2-i

z (i 为虚部单位)在复平面内对应的点

所在的象限为( )

A .第一象限

B .第二象限

C .第三象限

D .第四象限

[自主解答] 选C 依题意得2-i z =2-i -1+2i =(2-i )(-1-2i )(-1+2i )(-1-2i )=-4-3i

5,因此该复数

在复平面内对应的点的坐标是????-45

,-3

5,位于第三象限.

由题悟法

复数与复平面内的点是一一对应的,复数和复平面内以原点为起点的向量也是一一对应的,因此复数加减法的几何意义可按平面向量加减法理解,利用平行四边形法则或三角形法则解决问题.

以题试法

2.(1)在复平面内,复数6+5i ,-2+3i 对应的点分别为A ,B ,若C 为线段AB 的中点,则点C 对应的复数是( )

A .4+8i

B .8+2i

C .2+4i

D .4+i

(2)已知复数z 1=-1+2i ,z 2=1-i ,z 3=3-4i ,它们在复平面上对应的点分别为A ,B ,C ,若OC =λOA +μOB ,(λ,μ∈R ),则λ+μ的值是________.

解析:(1)复数6+5i 对应的点为A (6,5),复数-2+3i 对应的点为B (-2,3).利用中点坐标公式得线段AB 的中点C (2,4),故点C 对应的复数为2+4i.

(2)由条件得OC =(3,-4),OA =(-1,2),OB =(1,-1), 根据OC =λOA +μOB 得

(3,-4)=λ(-1,2)+μ(1,-1)=(-λ+μ,2λ-μ),

∴????? -λ+μ=3,2λ-μ=-4,解得?????

λ=-1,

μ=2.

∴λ+μ=1. 答案:(1)C (2)1

典题导入

[例3] (1)若复数z 满足z (2-i)=11+7i(i 为虚数单位),则z 为( ) A .3+5i B .3-5i C .-3+5i

D .-3-5i

(2)复数i 2+i 3+i 4

1-i =( )

A .-12-12i

B .-12+12i

C.12-12

i

D.12+12

i [自主解答] (1)z =11+7i 2-i =(11+7i )(2+i )(2-i )(2+i )=15+25i

5=3+5i.

(2)i 2+i 3+i 41-i =(-1)+(-i )+11-i =-i

1-i

-i (1+i )(1-i )(1+i )

=1-i 2=12-1

2i.

[答案] (1)A (2)C

由题悟法

1.复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算,除法运算是分子分母同乘以分母的共轭复数,注意要把i 的幂写成最简形式.

2.记住以下结论,可提高运算速度:

①(1±i)2=±2i ;②1+i 1-i =i ;③1-i 1+i =-i ;④a +b i i =b -a i ;⑤i 4n =1,i 4n +1=i ,i 4n +

2=-

1,i 4n +

3=-i(n ∈N ).

以题试法

3.(1)设复数z 的共轭复数为z ,若z =1-i(i 为虚数单位),则z z

+z 2的值为( )

A .-3i

B .-2i

C .i

D .-i

(2)i 为虚数单位,? ??

?

?1+i 1-i 4=________.

解析:(1)依题意得z

z +z 2

=1+i 1-i +(1-i)2=-i 2

+i 1-i

-2i =i -2i =-i.

(2)? ????1+i 1-i 4=

????(1+i )2

24=i 4=1. 答案:(1)D (2)1

1.若复数z =1+i(i 为虚数单位),z 是z 的共轭复数,则z 2+z 2的虚部为( ) A .0 B .-1 C .1

D .-2

解析:选A ∵z =1+i ,∴z =1-i ,∴z 2+z 2=(z +z )2-2z z =4-4=0,∴z 2+z

2

的虚部为0.

2.在复平面内,复数10i

3+i 对应的点的坐标为( )

A .(1,3)

B .(3,1)

C .(-1,3)

D .(3,-1)

解析:选A 由10i

3+i =10i (3-i )(3+i )(3-i )=10(1+3i )10=1+3i 得,该复数对应的点为(1,3).

3.若复数(a +i)2在复平面内对应的点在y 轴负半轴上,则实数a 的值是( ) A .1 B .-1 C. 2

D .- 2

解析:选B 因为复数(a +i)2=(a 2-1)+2a i ,所以其在复平面内对应的点的坐标是(a 2

-1,2a ),又因为该点在y 轴负半轴上,所以有?????

a 2-1=0,

2a <0,

解得a =-1.

4.复数(1+2i )(2+i )

(1-i )2等于( )

A.52 B .-52

C.52

i

D .-52

i

解析:选B (1+2i )(2+i )(1-i )2

=2+4i +i +2i 2-2i =5i -2i =-5

2. 5.已知i 为虚数单位,复数z =2+i 1-2i

,则|z |+1

z =( )

A .i

B .1-i

C .1+i

D .-i

解析:选B 由已知得z =2+i 1-2i =-2i 2+i 1-2i =i (1-2i )1-2i =i ,|z |+1z =|i|+1

i =1-i.

6.设复数z 的共轭复数为z ,若(2+i)z =3-i ,则z ·z 的值为( ) A .1 B .2 C. 2

D .4

解析:选B 设z =a +b i(a ,b ∈R ),代入(2+i)z =3-i ,得(2a -b )+(2b +a )i =3-i ,从而可得a =1,b =-1,那么z ·z =(1-i)(1+i)=2.

7.已知集合M =?

???

??

i ,i 2,1i ,

(1+i )

2

i ,i 是虚数单位,Z 为整数集,则集合Z ∩M 中的元素个数是( )

A .3个

B .2个

C .1个

D .0个

解析:选B 由已知得M ={i ,-1,-i,2},Z 为整数集,∴Z ∩M ={-1,2},即集合Z ∩M 中有2个元素.

8.定义:若z 2=a +b i(a ,b ∈R ,i 为虚数单位),则称复数z 是复数a +b i 的平方根.根据定义,则复数-3+4i 的平方根是( )

A .1-2i 或-1+2i

B .1+2i 或-1-2i

C .-7-24i

D .7+24i

解析:选B 设(x +y i)2

=-3+4i(x ,y ∈R ),则?

????

x 2-y 2=-3,xy =2, 解得????? x =1,y =2,或?

????

x =-1,

y =-2.

9.在复平面内,复数1+i 与-1+3i 分别对应向量OA 和OB ,其中O 为坐标原点,则|AB |=________.

解析:由题意知A (1,1),B (-1,3), 故|AB |=(-1-1)2+(3-1)2=2 2. 答案:2 2

10.已知复数z =1-i ,则z 2-2z z -1

=________.

解析:z 2-2z z -1=(z -1)2-1z -1=z -1-1z -1=(-i)-1-i =-i -i -i·i =-2i.

答案:-2i

11.设复数z 满足|z |=5且(3+4i)z 是纯虚数,则z =________. 解析:设z =a +b i(a ,b ∈R ),则有a 2+b 2=5.

于是(3+4i)z =(3a -4b )+(4a +3b )i.

由题设得????? 3a -4b =04a +3b ≠0得b =34a 代入得a 2+????34a 2=25,a =±4,∴????? a =4,b =3或?

????

a =-4,

b =-3.

∴z =4-3i 或z =-4+3i. 答案:±(4-3i)

12.(-1+i )(2+i )

i 3

=________.

解析:(-1+i )(2+i )i 3=-3+i -i =-1-3i.

答案:-1-3i

13.已知复数z 1满足(z 1-2)(1+i)=1-i(i 为虚数单位),复数z 2的虚部为2,且z 1·z 2是实数,则z 2=________.

解析:(z 1-2)(1+i)=1-i ?z 1=2-i. 设z 2=a +2i ,a ∈R . 则z 1·z 2=(2-i)(a +2i) =(2a +2)+(4-a )i.

∵z 1·z 2∈R ,∴a =4.∴z 2=4+2i. 答案:4+2i

14.若复数z =a 2-1+(a +1)i(a ∈R )是纯虚数,则1

z +a

的虚部为________.

解析:由题意得?

????

a 2-1=0,a +1≠0,所以a =1,所以1z +a =11+2i =1-2i (1+2i )(1-2i )=15-2

5i ,根

据虚部的概念,可得

1z +a

的虚部为-25.

答案:-2

5

1.在复数集C 上的函数f (x )满足f (x )=????

?

1+x ,x ∈R ,(1-i )x ,x ?R ,

则f (1+i)等于( )

A .2+i

B .-2

C .0

D .2

解析:选D ∵1+i ?R ,∴f (1+i)=(1-i)(1+i)=2.

2.已知i 为虚数单位,a 为实数,复数z =(1-2i)(a +i)在复平面内对应的点为M ,则“a >1

2

”是“点M 在第四象限”的( )

A .充分而不必要条件

B .必要而不充分条件

C .充要条件

D .既不充分也不必要条件

解析:选C z =(1-2i)(a +i)=(a +2)+(1-2a )i ,若其对应的点在第四象限,则a +2>0,且1-2a <0,解得a >12.即“a >1

2

”是“点M 在第四象限”的充要条件.

3.已知复数z =x +y i(x ,y ∈R ),且|z -2|=3,则y

x 的最大值为________.

解析:|z -2|=(x -2)2+y 2=3,

∴(x -2)2+y 2=3. 由图可知????y x max =3

1= 3. 答案: 3

4.复数z =(m 2+5m +6)+(m 2-2m -15)i ,与复数12+16i 互为共轭复数,则实数m =________.

解析:根据共轭复数的定义得

?

????

m 2+5m +6=12,m 2-2m -15=-16. 解之得m =1. 答案:1

5.已知z 是复数,z +2i ,z 2-i 均为实数(i 为虚数单位),且复数(z +a i)2在复平面上对应

的点在第一象限,求实数a 的取值范围.

解:设z =x +y i(x ,y ∈R ),

则z +2i =x +(y +2)i ,由题意得y =-2. ∵

z 2-i =x -2i 2-i =15

(x -2i)(2+i) =15(2x +2)+1

5(x -4)i. 由题意得x =4,∴z =4-2i. ∴(z +a i)2=(12+4a -a 2)+8(a -2)i.

由于(z +a i)2在复平面上对应的点在第一象限,

∴?

????

12+4a -a 2>0,8(a -2)>0,解得2

6.设z 是虚数,ω=z +1

z ,且-1<ω<2.

(1)求|z |的值及z 的实部的取值范围;

(2)设u =1-z

1+z ,求证:u 为纯虚数.

解:(1)设z =a +b i(a ,b ∈R ,b ≠0),

ω=a +b i +1

a +

b i =????a +a a 2+b 2+????b -b a 2+b 2i ,

∵ω是实数,∴b -b

a 2+b

2=0.

又b ≠0,∴a 2+b 2=1.∴|z |=1,ω=2a . ∵-1<ω<2,∴-1

2

即z 的实部的取值范围是???

?-1

2,1. (2)u =1-z 1+z =1-a -b i 1+a +b i =1-a 2-b 2-2b i (1+a )2+b 2=-b

a +1i. ∵-1

2

1.已知a +2i

i =b +i(a ,b ∈R ),其中i 为虚数单位,则a +b =( )

A .-1

B .1

C .2

D .3

解析:选B a +2i i =i (a +2i )

i 2

=2-a i =b +i ,由复数相等的条件得b =2,a =-1,则a +b =1.

2.对任意复数z =x +y i(x ,y ∈R ),i 为虚数单位,则下列结论正确的是( ) A .|z -z |=2y B .z 2=x 2+y 2 C .|z -z |≥2x

D .|z |≤|x |+|y |

解析:选D ∵z -z =2y i ,∴|z -z |=2|y |,选项A 、C 错误;而z 2=(x +y i)2=x 2-y 2

+2xy i ,选项B 错误;而|z |=x 2+y 2,|z |2=x 2+y 2,(|x |+|y |)2=x 2+y 2+2|xy |≥x 2+y 2,因此|z |≤|x |+|y |.

3.已知虚数z ,使得z 1=z 1+z 2和z 2=z 2

1+z 都为实数,求z .

解:设z =x +y i(x ,y ∈R ,且y ≠0),则

z 2

=x 2

-y 2

+2xy i ,∴z 1=x (x 2+y 2+1)+y (1-x 2-y 2)i

(x 2-y 2+1)2+4x 2y 2

∵z 1∈R ,又y ≠0,∴x 2+y 2=1,

同理,由z 2

∈R 得x 2

+2x +y 2

=0,解得???

x =-12

y =±3

2.

∴z =-12±3

2i.

三角函数、解三角形 平面向量、数系的扩充与复数的引入

一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分) 1.复数z =-3+i

2+i 的共轭复数是( )

A .2+i

B .2-i

C .-1+i

D .-1-i

解析:选D z =-3+i 2+i =(-3+i )(2-i )

(2+i )(2-i )=-1+i ,所以z =-1-i.

2.已知x ∈????-π2,0,cos x =4

5,则tan 2x =( ) A.7

24 B .-724

C.24

7

D .-247

解析:选D 依题意得sin x =-1-cos 2x =-35,tan x =sin x cos x =-3

4,所以tan 2x =

2tan x

1-tan 2x

2×???

?-341-????-342=-247. 3.设复数z 1=1-3i ,z 2=3-2i ,则z 1

z 2在复平面内对应的点在( )

A .第一象限

B .第二象限

C .第三象限

D .第四象限

解析:选D 因为z 1z 2=1-3i 3-2i =(1-3i )(3+2i )(3-2i )(3+2i )=9-7i 13,所以z 1

z 2

在复平面内对应的点为

????913

,-713,在第四象限.

4.已知a =(1,sin 2x ),b =(2,sin 2x ),其中x ∈(0,π).若|a ·b |=|a ||b |,则tan x 的值等于( )

A .1

B .-1 C. 3

D.22

解析:选A 由|a ·b |=|a ||b |知, a ∥b ,所以sin 2x =2sin 2x ,

即2sin x cos x =2sin 2x ,而x ∈(0,π), 所以sin x =cos x ,tan x =1.

5.“cos α=35”是“cos 2α=-7

25”的( )

A .充分而不必要条件

B .必要而不充分条件

C .充要条件

D .既不充分也不必要条件

解析:选A ∵cos α=35,∴cos 2α=2cos 2α-1=2×925-1=-725,∴由cos α=3

5可推

出cos 2α=-7

25

.

由cos 2α=-725得cos α=±35,∴由cos 2α=-725不能推出cos α=3

5.

综上,“cos α=35”是“cos 2α=-7

25”的充分而不必要条件.

6.若函数f (x )=sin x +φ

3(φ∈[0,2π])是偶函数,则φ=( ) A.π

2

B.2π3

C.3π

2

D.5π3

解析:选C ∵f (x )为偶函数,∴φ3=k π+π

2(k ∈Z ),

∴φ=3k π+32π(k ∈Z ).又∵φ∈[0,2π],∴φ=3

2

π.

7.在△ABC 中,a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 所对的边,若c cos A =b ,则△ABC ( ) A .一定是锐角三角形 B .一定是钝角三角形 C .一定是直角三角形 D .一定是斜三角形

解析:选C 在△ABC 中,因为c cos A =b ,根据余弦定理,得c ·b 2+c 2-a 2

2bc =b ,故c 2

=a 2+b 2,因此△ABC 一定是直角三角形.

8.设点A (2,0),B (4,2),若点P 在直线AB 上,且|AB |=2|AP |,则点P 的坐标为( ) A .(3,1)

B .(1,-1)

C .(3,1)或(1,-1)

D .无数多个

解析:选C 设P (x ,y ),则由|AB |=2|AP |,得AB =2AP 或AB =-2AP .

AB =(2,2),AP =(x -2,y ),即(2,2)=2(x -2,y ),x =3,y =1,P (3,1),或(2,2)=-

2(x -2,y ),x =1,y =-1,P (1,-1).

9.将函数f (x )=sin 2x (x ∈R )的图象向右平移π

4个单位后,所得到的图象对应的函数的一

个单调递增区间是( )

A.????-π

4,0 B.????0,π

2 C.????π2,3π4

D.????3π4,π

解析:选B 将函数f (x )=sin 2x (x ∈R )的图象向右平移π

4个单位后得到函数g (x )=

sin2????x -π4=-cos 2x 的图象,则函数g (x )的单调递增区间为????k π,k π+π

2,k ∈Z ,而满足条件的只有B.

10.已知tan β=43,sin(α+β)=5

13,且α,β∈(0,π),则sin α的值为( )

A.63

65 B.1365 C.33

65

D.6365或3365

解析:选A 依题意得sin β=45,cos β=35;注意到sin(α+β)=513

π

2(否则,若α+β≤π2,则有0<β<α+β≤π

2,0

cos(α+β)=-1213,sin α=sin[(α+β)-β]=sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β=63

65

.

11.在△ABC 中,三个内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且b 2=a 2-ac +c 2,C -A =90°,则cos A cos C =( )

A.1

4

B.

24

C .-14

D .-

24

解析:选C 依题意得a 2

+c 2

-b 2

=ac ,cos B =a 2+c 2-b 22ac =ac 2ac =1

2.又0°

以B =60°,C +A =120°.又C -A =90°,

所以C =90°+A ,A =15°,cos A cos C =cos A cos(90°+A )=-12sin 2A =-12sin 30°=-1

4

.

12.对任意两个非零的平面向量α和β,定义α°β=α·β

β·β.若两个非零的平面向量a ,b

满足a 与b 的夹角θ∈???

?π4,π2,且a °b 和b °a 都在集合?

???

??

n 2|n ∈Z 中,则a °b =( ) A.5

2

B.32 C .1

D.12

解析:选D a °b =a ·b b ·b =|a ||b|cos θ|b |2=|a |cos θ

|b |,①

b °a =b ·a a ·a =|b ||a |cos θ|a |2=|b |cos θ

|a |.②

∵θ∈????π4,π2,∴0

. ①×②得(a °b )(b °a )=cos 2θ∈???

?0,1

2. 因为a °b 和b °a 都在集合????

??n 2|n ∈Z 中,设a °b =n 1

2,

b °a =n 22(n 1,n 2∈Z ),即(a °b )·(b °a )=cos 2θ=n 1n 2

4,所以0

均为1,故a °b =n 12=1

2

.

二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)

13.△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ,已知a =2,b =3,则

sin A

sin (A +C )=________.

解析:sin A sin (A +C )=sin A sin B =a b =2

3.

答案:23

14.设向量a =(1,2m ),b =(m +1,1),c =(2,m ).若(a +c )⊥b ,则|a |=________. 解析:a +c =(1,2m )+(2,m )=(3,3m ). ∵(a +c )⊥b ,

∴(a +c )·b =(3,3m )·(m +1,1)=6m +3=0. ∴m =-12

.

∴a =(1,-1).∴|a |= 2. 答案: 2

15.如图,在坡度为15°的观礼台上,某一列座位所在直线AB

与旗杆所在直线MN 共面,在该列的第一个座位A 和最后一个座

位B 测得旗杆顶端N 的仰角分别为60°和30°,且座位A 、B 的距离为106米,则旗杆的高度为________米.

解析:由题可知∠BAN =105°,∠BNA =30°,由正弦定理得AN sin 45°=106

sin 30°,解得AN

=203(米),在Rt △AMN 中,MN =203sin 60°=30(米).故旗杆的高度为30米.

答案:30

16.已知函数f (x )=2sin 2????

π4+x -3cos 2x -1,x ∈R ,若函数h (x )=f (x +α)的图象关于点???

?-π

3,0对称,且α∈(0,π),则α的值为________. 解析:∵f (x )=2sin 2????π4+x -3cos 2x -1=2sin ????2x -π

3,∴h (x )=f (x +α)=2sin ?

???2x +2α-π

3. ∵函数h (x )的图象的对称中心为????-π3,0∴-2π3+2α-π

3=k π.∴α=(k +1)π2,k ∈z .又α∈(0,π),∴α=π

2

.

答案:π2

三、解答题(本题共6小题,共70分)

17.(本小题满分10分)(2012·广州二测)已知函数f (x )=A sin ????ωx -π

3(A >0,ω>0)在某一个周期内的图象的最高点和最低点的坐标分别为????5π12,2,????11π12,-2.

(1)求A 和ω的值;

(2)已知α∈????0,π2,且sin α=4

5

,求f (α)的值. 解:(1)∵函数f (x )在某一周期内的图象的最高坐标为????

5π12,2, ∴A =2,得函数f (x )的周期T =2???11π12-5π12=π, ∴ω=2πT

=2.

(2)由(1)知f (x )=2sin ????2x -π3. ∵α∈????0,π2,且sin α=4

5, ∴cos α=1-sin 2α=35

∴sin 2α=2sin αcos α=2425,cos 2α=cos 2α-sin 2α=-7

25

.

∴f (α)=2sin ????2α-π3=2????sin 2αcos π3-cos 2αsin π3 =2???

?2425×12+725×32=24+73

25.

18.(本小题满分12分)(2012·天津高考)已知函数f (x )=sin ????2x +π3+sin ????2x -π

3+2cos 2x -1,x ∈R .

(1)求函数f (x )的最小正周期;

(2)求函数f (x )在区间???

?-π4,π

4上的最大值和最小值. 解:(1)f (x )=sin 2x ·cos π3+cos 2x ·sin π3+sin 2x ·cos π3-cos 2x ·sin π

3+cos 2x =sin 2x +cos

2x =2sin ?

???2x +π

4. 所以f (x )的最小正周期T =2π2

=π.

(2)因为f (x )在区间????-π4,π8上是增函数,在区间????π8,π4上是减函数,又f ????-π4=-1,f ????π8=2,f ???π4=1,故函数f (x )在区间???

?-π4,π4上的最大值为2,最小值为-1. 19.(本小题满分12分)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且满足(2a -c )cos B =b cos C .

(1)求角B 的大小;

(2)设m =(sin A ,cos 2A ),n =(4k,1)(k >1),且m ·n 的最大值是5,求k 的值.

解:(1)因为(2a -c )cos B =b cos C ,所以在△ABC 中,由正弦定理,得(2sin A -sin C )cos B =sin B cos C ,

所以2sin A cos B =sin B cos C +cos B sin C , 即2sin A cos B =sin A .

又在△ABC 中,sin A >0,B ∈(0,π),所以cos B =12.所以B =π

3.

(2)因为m =(sin A ,cos 2A ),n =(4k,1)(k >1), 所以m ·n =4k sin A +cos 2A =-2sin 2A +4k sin A +1, 即m ·n =-2(sin A -k )2+2k 2+1.

又B =π

3,所以A ∈????0,2π3.所以sin A ∈(0,1]. 所以当sin A =1????A =π

2时,m ·n 的最大值为4k -1. 又m ·n 的最大值是5,所以4k -1=5.所以k =3

2

.

20.(本小题满分12分)已知复数z 1=sin 2x +t i ,z 2=m +(m -3cos 2x )i(i 为虚数单位,t ,m ,x ∈R ),且z 1=z 2.

(1)若t =0且0

(2)设t =f (x ),已知当x =α时,t =1

2

,试求cos ????4α+π3的值. 解:(1)因为z 1=z 2,所以???

sin 2x =m ,

t =m -3cos 2x ,

即t =sin 2x -3cos 2x .

若t =0,则sin 2x -3cos 2x =0,得tan 2x = 3. 因为0

3,

所以x =π6或x =2π

3

.

(2)因为t =f (x )=sin 2x -3cos 2x =2sin ????2x -π

3, 因为当x =α时,t =1

2,所以2sin ????2α-π3=12, sin ????π3-2α=-1

4

, 所以cos ???4α+π3=cos 2????2α+π6=2cos 2???2α+π6-1=2sin 2????π3-2α-1=2???-1

42-1=-7

8

. 21.(本小题满分12分)(2012·长春调研)如图,在平面直角坐标

系中,锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A ,B 两点.

(1)如果A ,B 两点的纵坐标分别为45,12

13,求cos α和sin β;

(2)在(1)的条件下,求cos(β-α)的值;

(3)已知点C (-1,3),求函数f (α)=OA ·

OC 的值域. 解:(1)根据三角函数的定义,得sin α=45,sin β=12

13.

又α是锐角,所以cos α=3

5.

(2)由(1)知sin β=12

13

.

因为β是钝角,所以cos β=-5

13.

所以cos(β-α)=cos βcos α+sin βsin α =????-513×35+1213×45=3365

.

(3)由题意可知,OA =(cos α,sin α),OC =(-1,3). 所以f (α)=OA ·OC =3sin α-cos α=2sin ????α-π6, 因为0<α<π2,所以-π6<α-π6<π

3

所以-12

2,从而-1

22.(本小题满分12分)在△ABC 中,a ,b ,c 分别是∠A ,∠B ,∠C 的对边长,已知 2sin A =3cos A .

(1)若a 2-c 2=b 2-mbc ,求实数m 的值; (2)若a =3,求△ABC 面积的最大值.

解:(1)由2sin A =3cos A 两边平方得2sin 2A =3cos A 即(2cos A -1)(cos A +2)=0,解得cos A =1

2

或cos A =-2(舍).

而a 2

-c 2

=b 2

-mbc 可以变形为b 2+c 2-a 22bc =m

2

即cos A =m 2=1

2,所以m =1.

(2)由(1)知 cos A =12,则sin A =3

2.

又b 2+c 2-a 22bc =1

2

所以bc =b 2+c 2-a 2≥2bc -a 2,即bc ≤a 2.当且仅当b =c 时等号成立.故S △ABC =bc 2sin

A ≤a 22·32=334.

数系的扩充和复数的引入教学设计

《数系的扩充与复数的引入》第1课时教案设计学校:江西省抚州市临川二中姓名:黄志彬联系方式: 学情分析: “数系的扩充与复数的引入”是北师大版选修2-2第五章第一节内容,是在学生已经学习了 x+=没有实数解,但实际需要要求此方程的解,实数以及实数有关的运算,知道方程210 所以有必要引出复数的概念以及复数的有关运算,建立新的数系。 ●教学理念: 本着“以学生为主体,教师为主导”的理念,采用探究式教学方法,按照提出问题,思考、交流进而分析得出结论的方法进行启发式教学。 教学目标: 知识技能: 1.了解数系发展原因,数集的扩展过程; 2.理解复数的有关概念以及符号表示; 过程与方法:经历了数系的扩充过程,体验了复数引入的必要,探究了复数相等的概念,领悟了类比的思想方法. 情感态度与价值观:在问题情境中了解数系的扩充过程,体会实际需求;在数系扩充过程中的作用,感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系. ●教学重难点: 重点:对引入复数的必要性的认识,理解复数的基本概念 难点:虚数单位的引入以及复数概念的生成. ●设计思路: 本节课主要采用“问题发现”与“讨论探究”等方式组织教学,凸显学生的主体地位,让教师成为活动的组织者、引导者、合作者,课堂展示学生的研究过程来激发学生的探索勇气。并灵活运用多媒体辅助教学,增强教学的直观性,激发学生的学习兴趣。 教学过程: 以问题为载体,以学生思考为主线 创设情境→建构知识→知识运用→归纳总结→作业布置→课后探究 1.提出问题,探究新知:以一分四十秒数学史录音视频开始,提出问题:自然数集,整数集,有理数集,实数集的关系,继续提出问题:数集扩充到实数集之后,是不是所有的方

高考文科数学二轮专题复习:11 复数

专题11 复数 本章内容主要是复数的概念、复数的运算.引入虚数,这是中学阶段对数集的最终扩充.需要掌握复数的概念、弄清实数与复数的关系,掌握复数代数形式的运算(包括加、减、乘、除),了解复数的几何表示.由于向量已经单独学习,因此复数的向量形式与三角形式就不作要求,主要解决代数形式. 【知识要点】 1.复数的概念中,重要的是复数相等的概念.明确利用“转化”的思想,把虚数问题转化为实数问题加以解决,而这种“转化”的思想是通过解实数的方程(组)的方法加以实现. 2.复数的代数形式:z =a +bi (a ,b ∈R ).应该注意到a ,b ∈R 是与z =a +bi 为一个整体,解决虚数问题实际上是通过a ,b ∈R 在实数集内解决实数问题. 3.复数的代数形式的运算实际上是复数中实部、虚部(都是实数)的运算. 【复习要求】 1.了解数系的扩充过程.理解复数的基本概念与复数相等的充要条件. 2.了解复数的代数表示法及其几何意义. 3.能进行复数代数形式的四则运算,了解复数代数形式的加、减运算的几何意义. 【例题分析】 例1 m (m ∈R )取什么值时,复数z =(m 2-3m -4)+(m 2-5m -6)i 是(1)实数?(2)纯虚数?(3)零? 【分析】此类问题可以应用复数的定义加以解决. 解:(1)当m 2-5m -6=0,即m =-1或m =6时,复数z 为实数; (2)当,即m =4时,复数z 为纯虚数; (3)当,即m =-1时,复数z 为零. 【评析】本题主要考查实数、纯虚数的定义,需要对复数的实部、虚部加以研究.应该注意到复数的实部、虚部都是实数,解决复数的问题时实际上是在进行实数运算.这一点大家在后面的运算中更加能够体会到. 例2 判断下列命题的对错: ?????= /--=--06504322m m m m ?????=--=--0 6504322m m m m

高中数学复数专题知识点整理

专题二 复数 【1】复数的基本概念 (1)形如a + b i 的数叫做复数(其中R b a ∈,);复数的单位为i ,它的平方等于-1,即1i 2-=.其中a 叫做复数的实部,b 叫做虚部 实数:当b = 0时复数a + b i 为实数 虚数:当0≠b 时的复数a + b i 为虚数; 纯虚数:当a = 0且0≠b 时的复数a + b i 为纯虚数 (2)两个复数相等的定义: 00==?=+∈==?+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a )特别地,,,,(其中,且 (3)共轭复数:z a bi =+的共轭记作z a bi =-; (4)复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面;z a bi =+,对应点坐标为(),p a b ;(象限的复习) (5)复数的模:对于复数z a bi =+,把z =z 的模; 【2】复数的基本运算 设111z a b i =+,222z a b i =+ (1) 加法:()()121212z z a a b b i +=+++; (2) 减法:()()121212z z a a b b i -=-+-; (3) 乘法:()()1212122112z z a a b b a b a b i ?=-++ 特别22z z a b ?=+。 (4)幂运算:1i i =21i =-3i i =-41i =5i i =61i =-?????? 【3】复数的化简 c di z a bi +=+(,a b 是均不为0的实数);的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数:()()22ac bd ad bc i c di c di a bi z a bi a bi a bi a b ++-++-==?=++-+ 对于()0c di z a b a bi +=?≠+,当c d a b =时z 为实数;当z 为纯虚数是z 可设为c di z xi a bi +==+进一步建立方程求解

最新数系的扩充和复数的概念教案

§3.1.1数系的扩充和复数的概念 教案 李 志 文 【教学目标】 知识与技能:1.了解数系的扩充过程;2.理解复数的基本概念 过程与方法:1.通过回顾数系扩充的历史,让学生体会数系扩充的一般性方法. 2.类比前几次数系的扩充,让学生了解数系扩充后,实数运算律均可应用于 新数系中,在此基础上,理解复数的基本概念. 情感态度与价值观: 1、虚数单位的引入,产生复数集,让学生体会在这个过程中蕴含的创 新精神和实践能力,感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系; 2、初步学会运用矛盾转化,分与合,实与虚等辩证唯物主义观点看待和 处理问题。 【重点难点】 重点: 理解虚数单位i 的引进的必要性及复数的有关概念. 难点:复数的有关概念及应用. 【学法指导】 1、回顾以前学习数的范围扩充过程,体会数系扩充的必要性及现实意义; 2、思考数系扩充后需考虑的因素,譬如运算法则、运算律、符号表示等问题,为本节学习奠定方法基础. 【知识链接】 前两个学段学习的数系的扩充: 但是,数集扩到实数集R 以后,像x 2=-1这样的方程还是无解的,因为在实数范围内,没有一个实数的平方等于负数.联系从自然数到实数系的扩充过程,你能设想一种方法,使这个方程有解吗? Q N Z R 人们在狩猎、采集果实等劳动中,由于计数的需要,就产生了1,2,3,4等数以及表示“没有”的数0.自然数 的全体构成自然数集N 为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要,人们又引进了负整,将数系扩充至整数集Z. 为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题, 人们引进了分数,将数系扩充至有理数集Q. 用方形的边长去度量它的对角线所得的结果,无法用有 理数表示,为了解决这个矛盾,人们又引进了无理数.有 理数集与无理数集合并在一起,构成实数集R . N x 2=-1,x =?

高考数学复数专题复习(专题训练)百度文库

一、复数选择题 1.复数2 1i =+( ) A .1i -- B .1i -+ C .1i - D .1i + 2.在复平面内,复数534i i -(i 为虚数单位)对应的点的坐标为( ) A .()3,4 B .()4,3- C .43,55??- ?? ? D .43,55?? - ??? 3.复数()1z i i =?+在复平面上对应的点位于( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 4.已知复数()123z i i +=- (其中i 是虚数单位),则z 在复平面内对应点在( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 5.已知复数5i 5i 2i z =+-,则z =( ) A B .C .D .6.设1z 是虚数,211 1 z z z =+是实数,且211z -≤≤,则1z 的实部取值范围是( ) A .[]1,1- B .11,22?? - ??? ? C .[]22-, D .11,00,22 ????-?? ????? ? 7.设2i z i +=,则||z =( ) A B C .2 D .5 8.若复数2i 1i a -+(a ∈R )为纯虚数,则1i a -=( ) A B C .3 D .5 9.在复平面内,复数z 对应的点为(,)x y ,若2 2 (2)4x y ++=,则( ) A .22z += B .22z i += C .24z += D .24z i += 10.已知i 是虚数单位,a 为实数,且3i 1i 2i a -=-+,则a =( ) A .2 B .1 C .-2 D .-1 11.复数()()212z i i =-+在复平面内对应的点位于( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 12.已知i 是虚数单位,2i z i ?=+,则复数z 的共轭复数的模是( ) A .5 B C D .3

浙江省名校协作体高考数学复数专题复习(专题训练)

一、复数选择题 1.已知复数1=-i z i ,其中i 为虚数单位,则||z =( ) A . 12 B . 22 C .2 D .2 2.已知复数()2m m m i z i --=为纯虚数,则实数m =( ) A .-1 B .0 C .1 D .0或1 3.如图所示,在复平面内,网格中的每个小正方形的边长都为1,点A ,B 对应的复数分别是1z ,2z ,则12z z -=( ) A 2 B .2 C .2 D .8 4.已知复数5i 5i 2i z =+-,则z =( ) A 5B .52C .32D .255.已知复数5 12z i =+,则z =( ) A .1 B 5 C 5 D .5 6.若复数z 满足421i z i +=+,则z =( ) A .13i + B .13i - C .3i + D .3i - 7.设复数z 满足方程4z z z z ?+?=,其中z 为复数z 的共轭复数,若z 2,则z 为( ) A .1 B 2 C .2 D .4 8.若复数()4 1i 34i z += +,则z =( ) A . 4 5 B . 35 C . 25 D . 25 9.若1i i z ,则2z z i ?-=( )

A . B .4 C . D .8 10.设复数z 满足41i z i =+,则z 的共轭复数z 在复平面内的对应点位于( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 11.已知(),a bi a b R +∈是()()112i i +-的共轭复数,则a b +=( ) A .4 B .2 C .0 D .1- 12.复数z 对应的向量OZ 与(3,4)a =共线,对应的点在第三象限,且10z =,则z =( ) A .68i + B .68i - C .68i -- D .68i -+ 13.已知i 是虚数单位,设复数22i a bi i -+=+,其中,a b ∈R ,则+a b 的值为( ) A .7 5 B .75- C . 15 D .15 - 14.若i 为虚数单位,,a b ∈R ,且2a i b i i +=+,则复数a bi -的模等于( ) A B C D 15.题目文 件丢失! 二、多选题 16.已知复数2020 11i z i += -(i 为虚数单位),则下列说法错误的是( ) A .z 的实部为2 B .z 的虚部为1 C .z i = D .||z =17.已知复数z 满足2 20z z +=,则z 可能为( ). A .0 B .2- C .2i D .2i+1- 18.已知复数z 满足2 20z z +=,则z 可能为( ) A .0 B .2- C .2i D .2i - 19.下面是关于复数2 1i z =-+的四个命题,其中真命题是( ) A .||z = B .22z i = C .z 的共轭复数为1i -+ D .z 的虚部为1- 20.已知复数12z =-,则下列结论正确的有( ) A .1z z ?= B .2z z = C .31z =- D .2020122 z =- + 21.已知复数(),z x yi x y R =+∈,则( ) A .2 0z B .z 的虚部是yi

数系的扩充与复数的引入知识点总结

数系的扩充与复数的引入知识点总结 一.数系的扩充和复数的概念 1.复数的概念 (1) 复数:形如(,)a bi a R b R +∈∈的数叫做复数,a 和b 分别叫它的实部和虚部. (2) 分类:复数(,)a bi a R b R +∈∈中,当0b =,就是实数; 0b ≠,叫做虚数;当0,0a b =≠时,叫做纯虚数. (3) 复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等. 即:如果:,,,a b c d R ∈,那么:=+=+b=d a c a bi c di ????,特别地: . (4) 共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数. 即:=+=-(,)z a bi z a bi a b R ∈的共轭复数是 2.复数的几何意义 (1)数()可用点表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的 平面叫做复平面,也叫高斯平面, 轴叫做实轴,轴叫做虚轴. 实轴上的点都表示实数.除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数. 复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系,即复数 复平面内的点每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应;反过来,复平面内的每一个点,有唯一的一个复数和它对应,这就是复数的一种几何意义,也就是复数的另一种表示方法,即几何表示方法. (2)复数的几何意义 坐标表示:在复平面内以点表示复数(); 向量表示:以原点 为起点,点为终点的向量表示复数. 向量的长度叫做复数的模,记作 .即. 3.复数的运算 (1)复数的加,减,乘,除按以下法则进行 设12,(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈则 12()()z z a c b d i ±=±+±

高考数学复数专题

高考专题:复 数 1、 已知0

数系的扩充与复数的引入知识点总结

数系的扩充与复数的引入知识点总结 一。数系的扩充和复数的概念 1.复数的概念 (1) 复数:形如(,)a bi a R b R +∈∈的数叫做复数,a 和b 分别叫它的实部和虚部. (2) 分类:复数(,)a bi a R b R +∈∈中,当0b =,就是实数; 0b ≠,叫做虚数;当0,0a b =≠时,叫做纯虚数. (3) 复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等. 即:如果:,,,a b c d R ∈,那么:=+=+b=d a c a bi c di ????,特别地: 。 (4) 共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数。 即:=+=-(,)z a bi z a bi a b R ∈的共轭复数是 2。复数的几何意义 (1)数()可用点表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的平 面叫做复平面,也叫高斯平面, 轴叫做实轴,轴叫做虚轴. 实轴上的点都表示实数.除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数. 复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系,即复数 复平面内的点每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应;反过来,复平面内的每一个点,有唯一的一个复数和它对应,这就是复数的一种几何意义,也就是复数的另一种表示方法,即几何表示方法. (2)复数的几何意义 坐标表示:在复平面内以点表示复数(); 向量表示:以原点为起点,点为终点的向量表示复数. 向量的长度叫做复数的模,记作.即 . 3.复数的运算 (1)复数的加,减,乘,除按以下法则进行 设12,(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈则 12()()z z a c b d i ±=±+±

高考数学压轴专题最新备战高考《复数》真题汇编及答案

【最新】数学《复数》高考复习知识点(1) 一、选择题 1.已知为虚数单位, m R ∈,复数()()22288z m m m m =-+++-,若z 为负实数, 则m 的取值集合为( ) A .{}0 B .{}8 C .()2,4- D .()4,2- 【答案】B 【解析】由题设可得2280{280 m m m m -=-++<,解之得8m =,应选答案B 。 2.如图所示,在复平面内,OP uuu v 对应的复数是1-i ,将OP uuu v 向左平移一个单位后得到00 O P u u u u v ,则P 0对应的复数为( ) A .1-i B .1-2i C .-1-i D .-i 【答案】D 【解析】 【分析】 要求P 0对应的复数,根据题意,只需知道0OP u u u v ,而0000 OP OO O P =+u u u v u u u u v u u u u v ,从而可求P 0对应的复数 【详解】 因为00O P OP =u u u u v u u u v ,0OO u u u u v 对应的复数是-1, 所以P 0对应的复数, 即0 OP u u u v 对应的复数是()11i i -+-=-,故选D. 【点睛】 本题考查复数的代数表示法及其几何意义,复平面内复数、向量及点的对应关系,是基础题. 3.在复平面内,若复数z 满足|z +1|=|1+i z |,则z 在复平面内对应点的轨迹是( ) A .直线 B .圆 C .椭圆 D .抛物线 【答案】A 【解析】 【分析】

设()z x yi x y R =+∈、,代入11z iz +=+,求模后整理得z 在复平面内对应点的轨迹是直线. 【详解】 设()z x yi x y R =+∈、, 1x yi ++= ,()11iz i x yi +=++= y x =-, 所以复数z x yi =+对应点的轨迹为直线,故选A. 【点睛】 本题考查复数的代数表示法及其几何意义,考查复数模的求法,动点的轨迹问题,是基础题. 4.已知复数z 满足()1z i i =-,(i 为虚数单位),则z =( ) A B C .2 D .3 【答案】A 【解析】 () 11z i i i =-=+,故z = A. 5.已知复数z 的模为2,则z i -的最大值为:( ) A .1 B .2 C D .3 【答案】D 【解析】 因为z i -213z i ≤+-=+= ,所以最大值为3,选D. 6.已知复数z 满足()1i z i += ,i 为虚数单位,则z 等于( ) A .1i - B .1i + C .1122i - D .1122i + 【答案】A 【解析】 因为|2(1)11(1)(1) i i z i i i i -===-++-,所以应选答案A . 7.欧拉公式e i x =cos x +isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里非常重要,被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知,e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于

高考数学复习 专题17 复数(解析版)

专题17 复数 考纲解读三年高考分析 1.复数的概念(1)理解复数的基本概念. (2)理解复数相等的充要条件. (3)了解复数的代数表示法及其几何意义. 2.复数的四则运算 (1)会进行复数代数形式的四则运算. (2)了解复数代数形式的加、减运算的几何意义. 复数的运算是考查的重点,解题时常用到复 数的运算法则、复数的模的计算、共轭复数的概 念,考查学生的数学数学运算能力,题型以选择 题,较小难度. 主要考查复数的基本概念(复数的实部、虚部、 共轭复数、复数的模等),复数相等的充要条件, 考查复数的代数形式的四则运算,重点考查复数 的除法运算,与向量结合考查复数及其加法、减 法的几何意义,突出考查运算能力与数形结合思 想.一般以选择题、填空题形式出现,难度为低 档. 1.【2019年新课标3理科02】若z(1+i)=2i,则z=() A .﹣1﹣i B.﹣1+i C.1﹣i D.1+i 【解答】解:由z(1+i)=2i,得 z =1+i. 故选:D. 2.【2019年全国新课标2理科02】设z=﹣3+2i,则在复平面内对应的点位于() A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 【解答】解:∵z=﹣3+2i, ∴, ∴在复平面内对应的点为(﹣3,﹣2),在第三象限. 故选:C.

3.【2019年新课标1理科02】设复数z满足|z﹣i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则()A.(x+1)2+y2=1 B.(x﹣1)2+y2=1 C.x2+(y﹣1)2=1 D.x2+(y+1)2=1 【解答】解:∵z在复平面内对应的点为(x,y), ∴z=x+yi, ∴z﹣i=x+(y﹣1)i, ∴|z﹣i|, ∴x2+(y﹣1)2=1, 故选:C. 4.【2019年北京理科01】已知复数z=2+i,则z?() A.B.C.3 D.5 【解答】解:∵z=2+i, ∴z?. 故选:D. 5.【2018年新课标1理科01】设z2i,则|z|=() A.0 B.C.1 D. 【解答】解:z2i2i=﹣i+2i=i, 则|z|=1. 故选:C. 6.【2018年新课标2理科01】() A.i B.C.D. 【解答】解:. 故选:D. 7.【2018年新课标3理科02】(1+i)(2﹣i)=() A.﹣3﹣i B.﹣3+i C.3﹣i D.3+i 【解答】解:(1+i)(2﹣i)=3+i. 故选:D.

高考数学专题讲解:复数

高考数学专题讲解:复数 第一部分:n i 和 n i 1的题型 【题型一】:计算n i 。 第一种类型:当n 为偶数时: 2 22 2)(n n n i i i ==?,2 222)1()(1n n n i i i -==?-=。 第一种:当2n 为奇数:1)1(1)1(22-=-=?-=-n n n i 。 第二种:当2n 为偶数:1)1(1)1(22=-=?=-n n n i 。 第二种类型:当n 为奇数时: i i i i i i i n n n n ?=?=?=--? -2 12 2 121 ) (,i i i i i n n n ?-=?=?-=--2 12 12 2) 1() (1。 第一种:当21 -n 为奇数:i i i i n n n -=?-=?-=?-=---1)1(1) 1(2 12 1。 第二种:当21 -n 为偶数:i i i i n n n =?=?-=?=---1) 1(1) 1(2 12 1。 例题一:化简:2020i 。 本题解析:1)1()(101010102101022 202022020 =-====?? i i i i 。 例题二:化简:999i 。 本题解析:i i i i i i i i i i i i -=?-=?-=?=?=?=?=?? 1)1()(499499249922 9982998 999 。 【训练】:化简下列复数关系式。 (Ⅰ)1482i ;(Ⅱ)383i ;(Ⅲ)1405i ;(Ⅳ)88i 。 【训练参考答案】:(Ⅰ)1)1()(741741274122 1482 21482 -=-====?? i i i i ; (Ⅱ)i i i i i i i i i i i i -=?-=?-=?=?=?=?=?? 1)1()(191191219122 3822382 383 ;

数系的扩充与复数的引入知识点总结

数系的扩充与复数的引入知 识点总结 -标准化文件发布号:(9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

数系的扩充与复数的引入知识点总结 一.数系的扩充和复数的概念 1.复数的概念 (1) 复数:形如(,)a bi a R b R +∈∈的数叫做复数,a 和b 分别叫它的实部和虚部. (2) 分类:复数(,)a bi a R b R +∈∈中,当0b =,就是实数; 0b ≠,叫做虚数;当0,0a b =≠时, 叫做纯虚数. (3) 复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等. 即:如果:,,,a b c d R ∈,那么:=+=+b=d a c a bi c di ???? ,特别地: . (4) 共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数. 即:=+=-(,)z a bi z a bi a b R ∈的共轭复数是 2.复数的几何意义 (1)数()可用点表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,也叫高斯平面,轴叫做实轴,轴叫做虚轴. 实轴上的点都表示实数.除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数. 复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系,即复数复平面内的点每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对 应;反过来,复平面内的每一个点,有唯一的一个复数和它对应,这就是复数 的一种几何意义,也就是复数的另一种表示方法,即几何表示方法. (2)复数的几何意义

坐标表示:在复平面内以点表示复数(); 向量表示:以原点为起点,点为终点的向量表示复数. 向量的长度叫做复数的模,记作 .即. 3.复数的运算 (1)复数的加,减,乘,除按以下法则进行 设12,(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈则 12()()z z a c b d i ±=±+± 12()()z z ac bd ad bc i ?=-++ 1222 2()()(0)z ac bd ad bc i z z c d -++=≠+ (2)几个重要的结论 2222121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+ 22||||z z z z ?== 若z 为虚数,则22||z z ≠ (3)运算律 m n m n z z z +?= ()m n mn z z = 1212()(,)n n n z z z z m n R ?=?∈ (4)关于虚数单位i 的一些固定结论: 21i =- 3i i =- 41i = 2340n n n n i i i i ++++++= 注:(1)两个复数不能比较大小,但是两个复数的模可以比较大小

3.1.1数系的扩充和复数的概念教案

第3章数系的扩充与复数的引入 §3.1.1数系的扩充和复数的概念 【教学目标】 1.了解解方程等实际需要也是数系发展的一个主要原因,数集的扩展过程以及复数的分类表; 2.理解复数的有关概念以及符号表示; 3.掌握复数的代数表示形式及其有关概念; 4.在问题情境中了解数系得扩充过程,体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算规则、方程求根)在数系扩充过程中的作用,感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系. 【教学重点】引进虚数单位i 的必要性、对i 的规定以及复数的有关概念. 【教学难点】复数概念的理解. 【教学过程】 1.对数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充的过程进行概括(教师引导学生进行简明扼要的概括和总结) 自然数 整数有理数无理数实数2.提出问题 我们知道,对于实系数一元二次方程012x ,没有实数根.我们能否将实数集进行扩充,使得在新的数集中,该问题能得到圆满解决呢? 3.组织讨论,研究问题 我们说,实系数一元二次方程012x 没有实数根.实际上,就是在实数范围内,没有一个实数的平方会等于负数. 解决这一问题,其本质就是解决一个 什么问题呢?组织学生讨论,引导学生研究,最后得出结论:最根本的问题是要解决-1的开平方问题.即一个什么样的数,它的平方会等于- 1.4.引入新数i ,并给出它的两条性质 根据前面讨论结果,我们引入一个新数 i ,i 叫做虚数单位,并规定:(1)12i ;

(2)实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有的加、乘运算律仍然成立. 有了前面的讨论,引入新数i ,可以说是水到渠成的事.这样,就可以解决前面提出的问题(-1可以开平方,而且-1的平方根是i ). 5.提出复数的概念 根据虚数单位i 的第(2)条性质,i 可以与实数b 相乘,再与实数a 相加.由于满足乘法交换律及加法交换律,从而可以把结果写成bi a 这样,数的范围又扩充了,出现了形如),(R b a bi a 的数,我们把它们叫做复数. 全体复数所形成的集合叫做复数集,一般用字母C 表示,显然有: N*N Z Q R C . 【巩固练习】 下列数中,哪些是复数,哪些是实数,哪些是虚数,哪些是纯虚数?并分别指出这些复数的实部与虚部各是什么? 例1.实数m 分别取什么值时,复数z =m+1+(m-1)i 是(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数? 分析:因为m ∈R ,所以m+1,m-1都是实数,由复数z =a +bi 是实、虚数、纯 虚数与零的条件可以确定实数m 的值. . 1,010 131,0121011为纯虚数时,即)当(为虚数; 时,即)当(为实数; 时,,即)当解(z m m m z m m z m m 6.提出两个复数相等的定义,即两个复数相等的充要条件是它们的实部与虚部 分别对应相等.也就是 由此容易得出: 6 cos 6sin ,,0,2,7212i i i i )纯虚数 )虚数;(是(为何值时,复数当且练习:已知复数21,)()1(2z m R m i m i m z

高考数学《复数》专项练习(含答案).doc

《复数》专项练习参考答案 1.(2016全国Ⅰ卷,文2,5分)设(12i)(i)a ++的实部与虚部相等,其中a 为实数,则a =( ) (A )?3 (B )?2 (C )2 (D )3 【答案】A 【解析】(12i)(i)2(12)i a a a ++=-++,由已知,得a a 212+=-,解得3-=a ,选A . 2.(2016全国Ⅰ卷,理2,5分)设(1i)1i x y +=+,其中x ,y 是实数,则i =x y +( ) (A )1 (B )2 (C )3 (D )2 【答案】B 【解析】因为(1i)=1+i,x y +所以i=1+i,=1,1,|i |=|1+i |2,x x y x y x x y +==+=所以故故 选B . 3.(2016全国Ⅱ卷,文2,5分)设复数z 满足i 3i z +=-,则z =( ) (A )12i -+ (B )12i - (C )32i + (D )32i - 【答案】C 【解析】由i 3i z +=-得32i z =-,所以32i z =+,故选C . 4.(2016全国Ⅱ卷,理1,5分)已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限, 则实数m 的取值范围是( ) (A )(31) -, (B )(13)-, (C )(1,)∞+ (D )(3)∞--, 5.(2016全国Ⅲ卷,文2,5分)若43i z =+,则|| z z =( ) (A )1 (B )1- (C )43i 55+ (D )43 i 55 - 【答案】D 【解析】∵43i z =+,∴z =4-3i ,|z |=2234+.则2243i ||5543 z z ==-+,故选D . 6.(2016全国Ⅲ卷,理2,5分)若z =1+2i ,则 4i 1 zz =-( ) (A)1 (B)?1 (C)i (D)?i 【答案】C 【解析】∵z =1+2i ,∴z =1-2i ,则 4i 4i i (12i)(12i)1 1zz ==+---,故选C . 7.(2015全国Ⅰ卷,文3,5分)已知复数z 满足(z -1)i =1+i ,则z =( ) A .-2-i B .-2+i C .2-i D .2+i 【答案】C 【解析一】(z -1)i =1+i ? zi -i =1+i ? zi =1+2i ? z == = 2-i .故选C . 【解析二】(z -1)i =1+i ? z -1= ? z = +1 ?z = +1=2-i .故

高中数学复数专题知识点整理和总结人教版

【1】复数的基本概念 (1)形如a + bi 的数叫做复数(其中);复数的单位为i,它的平方等于-1,即.其中a 叫做复数的实部,b叫做虚部 实数:当b = 0时复数a + bi 为实数 虚数:当时的复数a + b i 为虚数; 纯虚数:当a = 0且时的复数a + bi为纯虚数 (2)两个复数相等的定义: (3)共轭复数:z a bi =+的共轭记作z a bi =-; (4)复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面;z a bi =+,对应点坐标为(),p a b ;(象限的复习) (5)复数的模:对于复数z a bi =+ ,把z = 【2】复数的基本运算 设111z a b i =+,222z a b i =+ (1) 加法:()()121212z z a a b b i +=+++; (2) 减法:()()121212z z a a b b i -=-+-; (3) 乘法:()()1212122112z z a a b b a b a b i ?=-++ 特别22z z a b ?=+。 (4)幂运算:1i i =21i =-3i i =-41i =5i i =61i =-?????? 【3】复数的化简 c di z a bi +=+(,a b 是均不为0的实数);的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数:()()22 ac bd ad bc i c di c di a bi z a bi a bi a bi a b ++-++-==?=++-+ 对于()0c di z a b a bi += ?≠+,当c d a b =时z 为实数;当z 为纯虚数是z可设为c di z xi a bi +==+进一步建立方程求解 【例4】 若复数()312a i z a R i +=∈-(i 为虚数单位), R b a ∈,1i 2-=0≠b 0≠b 00==?=+∈==?+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a )特别地,,,,(其中,且

高考数学复数专题复习(专题训练)百度文库

一、复数选择题 1.若20212zi i =+,则z =( ) A .12i -+ B .12i -- C .12i - D .12i + 2.已知复数()2m m m i z i --=为纯虚数,则实数m =( ) A .-1 B .0 C .1 D .0或1 3.若复数1z i i ?=-+,则复数z 的虚部为( ) A .-1 B .1 C .-i D .i 4.已知i 为虚数单位,则复数23i i -+的虚部是( ) A . 35 B .35i - C .15 - D .1 5 i - 5.已知复数3 1i z i -=,则z 的虚部为( ) A .1 B .1- C .i D .i - 6.已知复数5i 5i 2i z =+-,则z =( ) A B .C .D .7.设1z 是虚数,211 1 z z z =+是实数,且211z -≤≤,则1z 的实部取值范围是( ) A .[]1,1- B .11,22?? - ??? ? C .[]22-, D .11,00,22 ????-?? ????? ? 8.若复数z 满足()322i z i i -+=+,则复数z 的虚部为( ) A . 35 B .35i - C .35 D .35 i 9.若(1)2z i i -=,则在复平面内z 对应的点位于( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 10.若复数2i 1i a -+(a ∈R )为纯虚数,则1i a -=( ) A B C .3 D .5 11.若1i i z ,则2z z i ?-=( ) A . B .4 C . D .8 12.已知2021(2)i z i -=,则复平面内与z 对应的点在( )

2019年高考数学真题分类汇编-专题15-复数-理科及答案

专题十五 复数 1.【2015高考新课标2,理2】若a 为实数且(2)(2)4ai a i i +-=-,则a =( ) A .1- B .0 C .1 D .2 【答案】B 【解析】由已知得24(4)4a a i i +-=-,所以240,44a a =-=-,解得0a =,故选B . 【考点定位】复数的运算. 【名师点睛】本题考查复数的运算,要利用复数相等列方程求解,属于基础题. 2.【2015高考四川,理2】设i 是虚数单位,则复数32i i -( ) (A )-i (B )-3i (C )i. (D )3i 【答案】C 【解析】 32222i i i i i i i i -=--=-+=,选C. 【考点定位】复数的基本运算. 【名师点睛】复数的概念及运算也是高考的热点,几乎是每年必考内容,属于容易题.一般来说,掌握复数的基本概念及四则运算即可. 3.【2015高考广东,理2】若复数()32z i i =- ( i 是虚数单位 ),则z =( ) A .32i - B .32i + C .23i + D .23i - 【答案】D . 【解析】因为()3223z i i i =-=+,所以z =23i -,故选D . 【考点定位】复数的基本运算,共轭复数的概念. 【名师点睛】本题主要考查复数的乘法运算,共轭复数的概念和运算求解能力,属于容易题;复数的乘法运算应该是简单易解,但学生容易忘记和混淆共轭复数的概念,z a bi =+的共轭复数为z a bi =-. 4.【2015高考新课标1,理1】设复数z 满足11z z +-=i ,则|z|=( ) (A )1 (B (C (D )2 【答案】A

高考数学专题 复数

第91炼 复数 一、基础知识: 复数题目通常在高考中有所涉及,题目不难,通常是复数的四则运算1、复数z 的代数形式为(),z a bi a b R =+∈,其中a 称为z 的实部,b 称为z 的虚部(而不是bi ), 2、几类特殊的复数: (1)纯虚数:0,0a b =≠ 例如:5i ,i 等 (2)实数: 0b = 3、复数的运算:设()12,,,,z a bi z c di a b c d R =+=+∈ (1)2 1i =- (2)()()12z z a c b d i ±=+++ (3)()()()()212z z a bi c di ac adi bci bdi ac bd ad bc i ?=+?+=+++=-++ 注:乘法运算可以把i 理解为字母,进行分配率的运算。只是结果一方面要化成标准形式,另一方面要计算21i =- (4)()()()()()()122 2a bi c di ac bd bc ad i z a bi z c di c di c di c d +-++-+===++-+ 注:除法不要死记公式而要理解方法:由于复数的标准形式是(),z a bi a b R =+∈,所以不允许分母带有i ,那么利用平方差公式及21i =的特点分子分母同时乘以2z 的共轭复数即可。 4、共轭复数:z a bi =-, 对于z 而言,实部相同,虚部相反 5、复数的模:22z a b =+ 2z z z =? (2 2z z ≠) 6、两个复数相等:实部虚部对应相等 7、复平面:我们知道实数与数轴上的点一一对应,推广到复数,每一个复数(),a bi a b R +∈都与平面直角坐标系上的点(),a b 一一对应,将这个平面称为复平面。横坐标代表复数的实部,横轴称为实轴,纵轴称为虚轴。 8、处理复数要注意的几点: (1)在处理复数问题时,一定要先把复数化简为标准形式,即(),z a bi a b R =+∈ (2)在实数集的一些多项式公式及展开在复数中也同样适用。例如:平方差公式,立方和差公式,二项式定理等 二、典型例题

高中数学人教版 选修1-2(文科) 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充和复数的概念(

高中数学人教版选修1-2(文科)第三章数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充和复数的概念(包括3.1.1数系的扩充和复数的概念,3.1.2 复数的几何意义)C 卷 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、选择题 (共8题;共16分) 1. (2分) (2018高二下·西宁期末) 已知i为虚数单位,则复数i(i-1)对应的点位于() A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限 2. (2分)若复数(其中是虚数单位),则a+b=() A . -2 B . -1 C . 1 D . 2 3. (2分) (2018高一下·河南月考) 已知 ,则() A . B . C . D .

4. (2分)已知圆:,则下列命题:①圆上的点到的最短距离的最小值为;②圆上有且只有一点到点的距离与到直线的距离相等;③已知,在圆上有且只有一点,使得以为直径的圆与直线相切.真命题的个数为 A . B . C . D . 5. (2分)已知i为虚数单位,复数z满足1﹣i=,则z的共轭复数等于() A . 1﹣i B . 1+i C . +i D . ﹣﹣i 6. (2分)若复数z满足(z﹣3)(2﹣i)=5(i为虚数单位),则z为() A . 2﹣i B . 2+i C . 5﹣i D . 5+i 7. (2分)(2017·诸暨模拟) 已知复数z满足z(1+i)=2i,则z的共轭复数等于() A . 1+i B . 1﹣i

C . ﹣1+i D . ﹣1﹣i 8. (2分)已知i是虚数单位,复数z=(3+i)(1﹣i)对应的点在第()象限. A . 一 B . 二 C . 三 D . 四 二、填空题 (共3题;共3分) 9. (1分) (2018高二下·如东月考) 若复数满足(为虚数单位),则 ________. 10. (1分) (2018高二下·聊城期中) 已知复数,,且,则 ________. 11. (1分)若(a﹣2i)i=b﹣i,其中a,b∈R,i是虚数单位,复数a+bi=________. 三、解答题 (共3题;共25分) 12. (5分) (2018高二下·张家口期末) 已知复数,是的共轭复数,且为纯虚数,在复平面内所对应的点在第二象限,求 . 13. (5分) (2019高二下·嘉兴期中) 已知复数,其中为虚数单位, . (Ⅰ)若,求实数的值; (Ⅱ)若在复平面内对应的点位于第一象限,求实数的取值范围. 14. (15分) (2019高二下·江门月考) 当为何实数时,复数,求: (1)实数; (2)虚数;

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