2020-2021学年湖北省重点高中联考协作体高二下学期期中
考试数学（文）试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．抛物线2
4y x =的焦点坐标是（ ） A ．()0,1 B ．()0,2 C ．10,8?? ??? D ．10,
16??
???
2．设,a b R ∈，则“22a b >”是“0a b >>”的 （ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充
分也不必要条件
3．已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为4，则双曲线C 的渐近线方
程为（ ）
A ．y =
B ．12y x =±
C ．y =
D ．3
y x =± 4．某厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时，原油温
度（单位： 0C ）为()()3
218243
f x x x x =-+≤≤，那么原油温度的瞬时变化率的最小值为（ ）
A ．
20
3
B ．0
C ．-1
D ．8 5．天气预报显示，在今后的三天中，每一天下雨的概率为40%，现用随机模拟
的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0--9之间整数值的随机数，并制定用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨，再以每3个随机数作为一组，代表三天的天气情况，产生了如下20组随机数 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 则这三天中恰有两天下雨的概率近似为（ ）
A ．
23 B ．14 C ．415 D ．15
6．我国古代数学名著《九章算术》中的更相减损术的思路与下面的程序框图相
似，执行该程序框图，若输入的,a b 分别为15，27，则输出的a 等于（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
7．椭圆
22
116x y m
+=的焦距为m 的值为（ ）
A B ．44 C ．9或23 D ．16或16+8．若函数()2
2ln f x x x =-在其定义域内的一个子区间[]
1,1k k -+内不是单调函
数，则实数k 的取值范围是（ ）
A ．[
)1,2 B ．()1,2 C ．31,
2?????? D ．31,2??
???
9．已知函数()f x 的图像如图所示， ()f x '就()f x 的导函数，则下列数值排序
正确的是（ ）
A ．()()()()224224f f f f <-'<'
B ．()()()()242242f f f f '<<-'
C ．()()()()222442f f f f '<<-'
D ．()()()()422422f f f f '<'-< 10．已知两圆C 1：（x -4）2+y 2=169，C 2：（x +4）2+y 2=9.动圆M 在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程是（ ）
A ．22
16448x y -=
B ．22
14864x y +=
C ．22
14864
x y -=
D ．22
16448
x y +=
11．如果方程x 2
?p +y 2q
=1表示双曲线，那么下列椭圆中，与这个双曲线共焦点的是（ ）
A ．x 2
2q+p +y 2q =1 B ．x 22q+p +y 2p =?1 C ．x 22p+q +
y 2q =1
D ．
x 2
2p+q
+
y 2p
=?1
12．定义在R 上的函数()f x 满足()11f =，且对任意x R ∈都有()1
2
f x '>
，则不等式()1
2
x f x +>
的解集为（ ） A ．()1,2 B ．()0,1 C ．()1,+∞ D ．(),1-∞
二、填空题
13．命题“2
000,10x R x x ?∈++≤”的否定形式为__________．
14．口袋中装有4个形状大小完全相同的小球，小球的编号分别为1，2，3，4，
甲、乙依次有放回地随机抽取1个小球，取到小球的编号分别为,a b .在一次抽取中，若有两人抽取的编号相同，则称这两人为“好朋友”，则甲、乙两人成为“好朋友”的概率为__________．
15．函数()ln a
g x x x
=-
有两个零点，则实数a 的取值范围为__________．
16．已知双曲线()222:410x C y a a -=>的右顶点到其一条渐近线的距离等于4
，抛
物线2
:2E y px =的焦点与双曲线C 的右焦点重合，则抛物线E 上的动点M 到直线
1:4360l x y -+=和2:1l x =-的距离之和的最小值为__________．
三、解答题
17．已知0m ≠，命题:p 曲线22
13x y m +=表示的是焦点在y 轴上的椭圆，命题:
q 对k R ?∈，直线210kx y -+=与圆222x y m +=恒有公共点.若命题“p q ∧”是假命题，命题“p q ∨”是真命题，求实数m 的取值范围.
18．已知函数()1x
f x e ax =--.
（1）若函数()f x 在区间()0,+∞单调递增，求实数a 的取值范围； （2）证明： ()10x e x x >+≠恒成立.
19．某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本
的频率分布直方图，每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[)1000,1500.
（1）求居民收入在[)2500,3000的频率；
（2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数、平均数及其众数； （3）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，从这10000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则应月收入为[)2500,3000的人中抽取多少人？
20．某商品每件成本5元，售价14元，每星期卖出75件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值（单位：元，）的平
方成正比，已知商品单价降低1元时，一星期多卖出5件． （1）将一星期的商品销售利润表示成的函数； （2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？
21．已知椭圆C 的方程为22221x y a b +=，函数()()2
6f x x x =-在x b =处有极大值
2a ，点()0,2D . （1）求椭圆C 的方程；
（2）设直线:l y x m =+，是否存在实数m ，使直线l 与椭圆C 有两个不同的交点,E F ，且DE DF =，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.
22．设函数()ln f x x ax =-， ()f x '表示()f x 导函数.
（1）当1a =时，求函数()f x 在点()()2,2f 处的切线方程； （2）讨论函数()f x 的单调区间；
（3）对于曲线():C y f x =上的不同两点()()112212,,,,A x y B x y x x <，求证：存在唯一的()012,x x x ∈，使直线AB 的斜率等于()0f x '.
参考答案
1．D
【解析】解：抛物线的标准方程为： 214x y = ，据此可知，抛物线的焦点坐标为： 10,16??
???
. 本题选择D 选项.
点睛：求抛物线的焦点坐标时，首先要把抛物线方程化为标准方程.抛物线方程中，字母p 的几何意义是抛物线的焦点F 到准线的距离， 2
p
等于焦点到抛物线顶点的距离．牢记它对解题非常有益． 2．B
【解析】解：若0a b >> ，则22a b > ，必要性成立，
当22a b > 时，不妨取2,1a b =-= ，此时不满足0a b >>，即必要性不成立， 综上可得：“22a b >”是“0a b >>”的必要而不充分条件.
本题选择B 选项.
3．A
【解析】解：由题意可知： 22222224,16,15,c c a b b b
e a a a a a
+==∴=
=?==，
双曲线的焦点位于x 轴上，则渐近线方程为： b
y x a
=±= . 本题选择A 选项. 4．B
【解析】解：由题意可知，温度的瞬间变化率为： ()()2
'224f x x x x =-≤≤ ，
结合二次函数的性质可知，
当2x = 时，原油温度的瞬时变化率的最小值为()'20f = .
本题选择B 选项.
5．B
【解析】解：阅读随机数表可知，满足题意的数据为： 191,271,932,812,393 , 据此可知：这三天中恰有两天下雨的概率近似为51204
p =
= . 本题选择B 选项.
【解析】解：阅读流程图可知，该流程图求解输入的两数,a b 的最大公约数， 据此可知，输出值为15,27 的最大公约数3 . 本题选择B 选项. 7．C
【解析】解：由题意可知：
c =
，
当椭圆的焦点位于x 轴上时： 167,9m m -=∴= ， 当椭圆的焦点位于y 轴上时： 167,23m m -=∴= ， 综上可得： m 的值为9或23.
本题选择C 选项.
8．D
【解析】解： ()2141
'4x f x x x x
-=-= ，
结合函数的定义域可知函数()f x 在区间10,2?
? ??? 上单调递减，在区间1,2??
+∞ ???
上单调递增，据此可得不等式组：
1
012{112
k k <-<
+>
，求解不等式组可得：
312k << ，
即实数k 的取值范围是31,
2??
???
. 本题选择D 选项.
9．A
【解析】解：观察所给的函数图象可知： ()()()()42'2'442
f f f f -<<- ，
整理可得： ()()()()224224f f f f <-'<' . 本题选择A 选项.
【分析】
由两圆外切和内切，得出圆心距与两圆的半径和差的关系，设出动圆的半径r ，消去r ，再由圆锥曲线的定义，可得动圆的圆心M 的轨迹，进一步求出其方程. 【详解】
设动圆的圆心(),M x y ，半径为r
圆M 与圆1C :()2
24169x y -+=内切，与C 2：()2
249x y ++=外切. 所以1213,3MC r MC r =-=+.
1212+168MC MC C C =>=
由椭圆的定义，M 的轨迹是以12,C C 为焦点，长轴为16的椭圆. 则8,4a c ==，所以2228448b =-=
动圆的圆心M 的轨迹方程为：22
16448
x y +=
故选：D 【点睛】
本题考查两圆的位置关系以及判断方法和动点的轨迹方程，椭圆的定义，属于中档题. 11．D 【解析】
试题分析：由方程x 2
?p +
y 2q
=1(p <0,q <0)表示双曲线，可得c=√-p -q ，判断出A ，C 不表
示椭圆，再求出B ，D 中的c ，即可得出结论． 考点：双曲线与椭圆的标准方程. 12．C
【解析】解：结合题意，不妨设()f x x = ，则所求解的不等式为： 1
2
x x +> ， 解得： 1x > ，即不等式的解集为： ()1,+∞ . 本题选择C 选项.
点睛：特例检验是用特殊值（或特殊图形，特殊位置），代替题设普通条件，得出特殊结论，再对各个选项进行检验，从而做出正确的选择，常用的特例，有特殊数值，特殊数列，特殊
函数，特殊图形，特殊角，特殊位置等。通过选取特定的方式可以提高解题速度，题中一般情况必须满足我们所取值的特殊情况，因而我们根据题意，选取适当的特殊值，可以快速帮我们排除错误答案，得到正确答案。 13．2
,10x R x x ?∈++>
【解析】解：特称命题的否定为全称命题，则：命题“2
000,10x R x x ?∈++≤”的否定形
式为“2,10x R x x ?∈++>”.
14．
14
【解析】解：由题意可知，两人取球的概率空间为： (1,1 ),(1,2 ),(1,3 ),(1,4 ), (2,1 ),(2,2 ),(2,3 ),(2,4 ), (3,1 ),(3,2 ),(3,3 ),(3,4 ), (4,1 ),(4,2 ),(4,3 ),(4,4 ),
共有16种可能的取值，其中满足两人为“好朋友”的共有4种情况，
由古典概型公式可知，甲、乙两人成为“好朋友”的概率为41164
p =
= . 点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，有时可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用. 15．1
,0e ??- ???
【解析】解：函数的零点满足： ln 0,ln a
x a x x x
-
=?= ， 满足题意时，函数y a = 与函数ln y x x = 有两个交点，
令()ln f x x x = ，则： ()'ln 1f x x =+ ，结合原函数与导函数的关系可知 函数()f x 在区间10,e ?? ??? 上单调递减，在区间1,e ??+∞ ???
上单调递增，
且： ()0
11,lim 0x f f x e e
→??=-= ???
，
据此可知，实数a 的取值范围为1,0e ??- ???
. 16．2 【解析】 【详解】
解：双曲线的渐近线方程为2x y a
=±
，
右顶点(a ,0)到其一条渐近线的距离等于
4
，
=
2
a =，即有c =1， 由题意可得
12
p
=，解得p =2， 即有抛物线的方程为y 2=4x ， 如图,过点M 作MA ⊥l 1于点A ， 作MB ⊥准线l 2:x =?1于点C ，
连接MF ，根据抛物线的定义得MA +MC =MA +MF ， 设M 到l 1的距离为d 1,M 到直线l 2的距离为d 2， ∴d 1+d 2=MA +MC =MA +MF ，
根据平面几何知识，可得当M 、A . F 三点共线时，MA +MF 有最小值。
∵F (1,0)到直线l 1:4x ?3y +6=02=.
∴MA +MF 的最小值是2， 由此可得所求距离和的最小值为2. 故答案为2.
17．(]()[
),10,13,m ∈-∞-??+∞ 【解析】试题分析：
首先讨论,p q 分别为真命题时m 的取值范围，然后结合题意使得,p q 一真一假即可求
得最终结果.
试题解析：
P 真： 03m <<，
直线210kx y -+=过定点()0,1A ， q 真： 22201m +≤， 1m ∴≥或1m ≤- 命题 “p q ∧”是假命题，命题 “p q ∨”是真命题， p ∴和q 一真一假 当p 真q 假时， ()0,1m ∈
当p 假q 真时， ][(),13,m ∈-∞-?+∞ 综上所述， (]()[),10,13,m ∈-∞-??+∞
18．（1）1a ≤（2）见解析 【解析】试题分析：
(1)满足题意时()0f x '>在区间()0,+∞恒成立，据此求解实数a 的取值范围即可； (2)结合(1)的结论，去1a = ，即可证得结论. 试题解析：
（1）()x f x e a '=-， ()f x 在区间()0,+∞单调递增，
()0f x ∴'>在区间()0,+∞恒成立，即()
min
x
a e <而函数x y e =在区间()0,+∞单调递增， 1a ∴≤
（2）由（1）得，当1a =时()1x f x e x =--,()1x f x e '=- (),0-∞时, ()f x 单调
递减，在区间()0,+∞单调递增， ()()00f x f ∴≥=，（当且仅当0x =时等号成立）又()0,0.x f x ≠∴>即1x e x >+.
点睛：(1)准确求函数的导数然后将问题转化为恒成立问题是本题求解的关键；第(2)问构造新函数，将不等式的问题进行转换，进而运用导数研究，体现了函数思想与转化思想的应用． 19．（1）25%（2）2250,2750.（3）25 【解析】试题分析：
(1)利用频率分布直方图的性质求解频率即可 (2)读图求解中位数、平均数及其众数即可；
(3)利用分层抽样的结论求解应月收入为[
)2500,3000的人中抽取多少人即可. 试题解析：
（1）居民收入在[)2500,3000的频率为0.000550025%?=. (2)中位数为4
200050024005+?=， 平
均
数
为
125010%175020%225025%275025%325015%37505%2400?+?+?+?+?+?=， 其众数2250,2750.
（3）在月收入为[)2500,3000的人中抽取25人.
20．（1）3
2
54575675y x x x ∴=-+-+；（2）当即商品每件定价为9元时，可
使一个星期的商品销售利润最大
.
【解析】试题分析：（1）先写出多卖的商品数，则可计算出商品在一个星期的获利数，再依题意：“商品单价降低1元时，一星期多卖出5件”求出比例系数，即可得一个星期的商品销售利润表示成x 的函数；（2）根据（1）中得到的函数，利用导数研究其极值，也就是求出函数的极大值，从而得出定价为多少元时，能使一个星期的商品销售利润最大. 试题解析：（1）依题意，设
，由已知有
，从而
（2）
由得，由得或可知函数在上递减，在递增，在上
递减从而函数取得最大值的可能位置为或是
，
当时，
答：商品每件定价为元时，可使一个星期的商品销售利润最大. 考点：1.函数模型及其应用；2.导数的实际应用.
21．（1）221324x y +
=（2）18
7
m =- 【解析】试题分析：
(1)利用原函数与导函数的关系求得极值即可求得实数,a b 的值，进一步得出椭圆方程即可； (2)假设所求解的点存在，设出点的坐标，结合中点坐标公式求解实数m 的值即可. 试题解析：
（1）∴ ()()2
6f x x x =-， ()()()326f x x x -'=-， 区间()(),2,6,-∞+∞单调递增，在区间()2,6单调递减， ()()232f x f ∴==极大值，即得22,32b a ==，即椭圆
C 的方程为22
1324
x y +
=. 设H 为EF 的中点， ()()()112200,,,,,E x y F x y H x y ，依题意知22
111324
x y +
=， 2222
1324
x y +=，两式相减得
()()120120
032
4
x x x y y y --+=，而
012001201,88x y y x y x x y -=-=∴=--，又点H 在直线:l y x m =+上， 8,99m m H -??∴ ???
若DE DF =， DH EF ∴⊥,即1DH k =-，得18
7
m =-，此时点H 在椭圆内，满足题意，即存在实数18
7
m =-
满足题意. 点睛：本题第一问属于常规题目，第二问属于探索性问题, 探索性问题答题模板如下： 第一步：假设结论存在．
第二步：结合已知条件进行推理求解．
第三步：若能推出合理结果，经验证成立即可肯定正确；若推出矛盾，即否定假设． 第四步：反思回顾，查看关键点、易错点及解题规范． 22．（1）22ln220x y +-+=（2）见解析（3）见解析 【解析】试题分析：
(1)将1a = 代入函数的方程，结合导函数与函数切线的关系求解函数的切线方程即可； (2)首先求得()'f x ，然后结合导函数的性质分类讨论实数a 的取值范围即可得出函数的单调区间；
(3)首先证明点0x 存在，然后利用一次函数的单调性证明0x 的唯一性即可. 试题解析：
（1）1a =时()ln f x x x =-，
()11f x x '=-， ()1
22
f '=-， ()2ln22f =-， ()f x ∴在点()()2,2f 处的切线方程为22ln220x y +-+=； （2）()1
f x a x
'=
-， ()f x 的定义域为()0,+∞
当0a ≤时， ()f x 在区间()0,+∞单调递增；
当0a >时， ()f x 在区间10,a ?? ???单调递增，在区间1,a ??
+∞ ???单调递减.
（3）∵()0AB f x k '=，∴
1122120ln ln 1x ax x ax a x x x --+=--，化简得12120
ln ln 1
x x x x x -=-
即()020112012ln ln 0,,x x x x x x x x x -+-=∈，且0x 唯一．
设()2112ln ln g x x x x x x x =-+-，则()1121112ln ln g x x x x x x x =-+-， 再设()22ln ln h x x x x x x x =-+-， 20x x <<，∴()2ln ln 0h x x x '=->， ∴()22ln ln h x x x x x x x =-+-在20x x <<是增函数， ∴()()()1120g x h x h x =<=，同理()20g x >，
∴方程2112ln ln 0x x x x x x -+-=在()012,x x x ∈有解． ∵一次函数在()12,x x ()()2112ln ln g x x x x x x =-+-是增函数，
∴方程2112ln ln 0x x x x x x -+-=在()012,x x x ∈有唯一解，命题成立．