1．如图，正方体1111ABCD A BC D -中，
E ，
F 分别为 棱1DD ，AB 上的点. 已知下列判断：
①1AC ^平面1B EF ；②1B EF D 在侧面11BCC B 上 的正投影是面积为定值的三角形；③在平面
1111A B C D 内总存在与平面1B EF 平行的直线；④平
面1B EF 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）的大小与点E 的位置有关，与点F 的位 置无关. 其中正确判断的个数有
（A ）1个 （B ）2个
（C ）3个 （D ）4个（B ） 2.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点,F 是侧面CDD 1C 1上的动点，且B 1F//面A 1BE ，则B 1F 与平面CDD 1C 1 所成角的正切值构成的集合是 C
A. {}2
B.
C.
{|22
}t t ≤≤
D. {|2}t t ≤≤ 3. 如图，四面体OABC 的三条棱OC OB OA ,,两两垂直，2==OB OA ,3=OC ，D 为四
面体OABC 外一点.给出下列命题.
①不存在点D ,使四面体ABCD 有三个面是直角三角形 ②不存在点D ,使四面体ABCD 是正三棱锥 ③存在点D ,使CD 与AB 垂直并且相等
④存在无数个点D ,使点O 在四面体ABCD 的外接球面上 其中真命题的序号是D
（A ）①② （B ）②③ （C ）③ （D ）③④
4. 在一个正方体1111ABCD A BC D -中，
P 为正方形1111A B C D 四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心，
,M N 分别为,AB BC 中点，点Q 为平面ABCD 内一点，线
段1D Q 与OP 互相平分，则满足MQ MN λ=的实数λ的值
有 C
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个
5.
空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫做
A
B
C
D
E
1A 1
D 1
B
1
C O
A
B
D
C
A 1
D 1
A 1
C 1
B D
C
B O
P
N
M
Q
M B
A
图1 图2 图3
这个点到这个平面的距离．平面α，β，γ两两互相垂直，点A∈α，点A到平面β，γ的距离都是3，点P是α
上的动点，且满足P到β的距离是P到点A距离的2倍，则点P到平面γ的距离的最大值是C
（A
）3（B）3（C）3（D）6
6.已知函数)
(x
f的定义域为R，若存在常数0
>
m，对任意x∈R，有|()|||
f x m x
<，则称)
(x
f为F函数．给出下列函数：①2
)
(x
x
f=；②x
x
x
f c o s
si n
)
(+
=；③1
)
(
2+
+
=
x
x
x
x
f；④)
(x
f是定义在R上的奇函数，且满足对一切实数
2
1
,x
x均有
2
1
2
1
2
)
(
)
(x
x
x
f
x
f-
≤
-．其中是F函数的序号为 C
（A）②④（B）①③
（C）③④（D）①②
7.定义区间(,)
a b，[,)
a b，(,]
a b，[,]
a b的长度均为d
b a
=-，多个区间并集的长度
为各区间长度之和，例如, (1, 2)[3, 5)的长度(21)(53)3
d=-+-=. 用[]x表示不超过x的最大整数，记{}[]
x x x
=-，其中x∈R. 设()[]{}
f x x x
=?，()1
g x x
=-，
若用
123
,,
d d d分别表示不等式()()
f x
g x
>，方程()()
f x
g x
=，不等式()()
f x
g x
<解集区间的长度，则当02011
x
≤≤时，有 B
（A）
123
1,2,2008
d d d
===（B）
123
1,1,2009
d d d
===
（C）
123
3,5,2003
d d d
===（D）
123
2,3,2006
d d d
===
8. 下图展示了一个由区间(0,1)到实数集R的映射过程：区间(0,1)中的实数m对应数轴上
的点M（如图1）；将线段AB围成一个圆，使两端点A、B恰好重合（从A到B是逆时针，如图2）；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为(0,1)（如图3），图3中直线AM与x轴交于点(),0
N n，则m的象就是n，记作()
f m n
=．
则下列命题中正确的是（）C
A ．114f ??
=
???
B ．()f x 是奇函数
C ．()f x 在其定义域上单调递增
D ．()f x 的图象关于y 轴对称
9. 用max{}a b ，
表示a ，b
两个数中的最大数，设2()max{f x x =1
()4
x ≥，那么由函数()y f x =的图象、x 轴、直线1
4
x =
和直线2x =所围成的封闭图形的面积是A A ．3512 B ．
5924 C ．578
D ．9112
10. 对于定义域和值域均为[0，1]的函数f (x )，定义1()()f x f x =，21()(())f x f f x =，…，
1()(())n n f x f f x -=，n =1，2，3，…．满足()n f x x =的点x ∈[0，1]称为f 的n 阶周期点．设
12,0,2
()122,1,2
x x f x x x ?
≤≤??=??-<≤?? 则f 的n 阶周期点的个数是C
(A) 2n
(B) 2(2n -1)
(C) 2n
(D) 2n 2
11. 定义在R 上的函数)(x f 满足1)4(=f ，()f x '为)(x f 的导函数，已知)('x f y =的图象如图所示，若两个正数a ，b 满足1)2(<+b a f ，则1
1
++a b 的取值范围是（ C ）
12.对于函数①1
()45f x x x
=+
-，②21()l o g ()
2
f x x =-，③x
，
判断如下两个命题的真假：
命题甲：()f x 在区间(1,2)上是增函数；
命题乙：()f x 在区间(0,)+∞上恰有两个零点12,x x ，且121x x <.
能使命题甲、乙均为真的函数的序号是D
（A ）① （B ）② （C ）①③ （D ）①②
13. 已知函数2
()2f x x x =-，()2g x ax =+(a >0)，若1[1,2]x ?∈-，2[1,2]x ?∈-，使得f (x 1)= g (x 2)，则实数a 的取值范围是 D
A ．)31,51(
B ．1
(,)(5,)3
-∞+∞
C ．)5,3
1
(
D ．)3,(-∞
(A) 1(0,]2
(B) 1[,3]2
(C) (0,3] (D) [3,)+∞
14.已知函数21,
0,
()log ,0,
x x f x x x +≤?=?
>?则函数1)]([+=x f f y 的零点个数是 A
（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1
15. 已知点P 是ABC ?的中位线EF 上任意一点，且//EF BC ，实数x ，y 满足
PA xPB yPC ++=0．设ABC ?，PBC ?，PCA ?，PAB ?的面积分别为S ，1S ，2S ，3S ， 记
11S S λ=，22S
S λ=，33S S λ=．则23λλ?取最大值时，2x y +的值为 A
（A ）
32 （B ）1
2
（C ） 1 （D ）2 16. 已知抛物线M ：24y x =，圆N ：222)1(r y x =+-（其中r 为常数，0>r ）.过点（1，0）的直线l 交圆N 于C 、D 两点，交抛物线M 于A 、B 两点，且满足BD AC =的直线l 只有三条的必要条件是 D
A ．(0,1]r ∈
B ．(1,2]r ∈
C ．3
(,4)2r ∈ D ．3[,)2
r ∈+∞ 17. 设点(1,0)A ，(2,1)B ，如果直线1ax by +=与线段AB 有一个公共点，那么2
2
a b +（A ）
（A ）最小值为
15 （B
（C ）最大值为
15 （D
18. 已知数列*
{} ()n a n ?N 满足：*1log (2) ()n n a n n N +=+∈，定义使123......k a a a a ????
为整数的数*
()k k N ∈叫做企盼数，则区间[1, 2011]内所有的企盼数的和为 . 2026
19. 在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点.定义()11,P x y 、()22,Q x y 两点之间的“直角距离”为1212(,)d P Q x x y y =-+-.若点()1,3A -，则(,)d A O = ；已知点()1,0B ，点M 是直线30(0)kx y k k -++=>上的动点，(,)d B M 的最小值
为 . 4 32 (1)
2 3 (01)
k k
k k ?
+≥???+<
20. 在平面直角坐标系中，定义1212(,)d P Q x x y y =-+-为两点11(,)P x y ,22(,)Q x y 之
间的“折线距离”. 则
坐标原点O
与直线20x y +-上一点的“折线距离”的最小值是____； 圆221x y +=
上一点与直线20x y +-=上一点的“折线距离”的最小值是
____.
2
5
21. 已知函数2)1ln()(x x a x f -+=，在区间)1,0(内任取两个实数,p q ，且q p ≠，不等式
1)
1()1(>-+-+q
p q f p f 恒成立，则实数a 的取值范围是 ．[15,)+∞
22. 定义方程()()f x f x '=的实数根x 0叫做函数()f x 的“新驻点”，如果函数()g x x =，
()ln(1)h x x =+，()cos x x ?=（()x π
∈π2
，）的“新驻点”分别为α，β，γ，那么α，β，γ的大小关系是 ．γ>α>β
23．将全体正奇数排成一个三角形数阵： 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 ……
按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3个数为 ．
24.已知函数399)(+=x x x f ，则(0)(1)f f += ，若112()()k S f f k k -=+
3
1
()()(2,k f f k k k
k
-++
+≥∈Z)，则1k S -= （用含有k 的代数式表示）．1，
1
2
k - 25.已知数列{}n a 的各项均为正整数，对于???=,3,2,1n ，有
1135,2
n n n n
n n k k a a a a a a +++??
=???为奇数为偶数.其中为使为奇数的正整数，, 当111a =时，100a =______；
若存在*
m ∈N ，当n m >且n a 为奇数时，n a 恒为常数p ，则p 的值为______.62；1或5
26.已知数列{}n a ，满足：123451,2,3,4,5a a a a a =====，且当5n ≥时，
112
1n n a a a a +=-，若数列{}n b 满足对任意*n ∈N ，
有22
2
12
12n n n
b a a a a a a =---
-，则5b = ；当5n ≥时，=n b ． 65 n -70
27．数列{}n a 满足11a =，11
n n n a a n λ
+-=
+，其中λ∈R ， 12n =，，．
①当0λ=时，20a =_____；
②若存在正整数m ，当n m >时总有0n a <，则λ的取值范围是_____.
1
20
；(21,2),k k k -∈*N 28．函数)0(2>=x x y 的图象在点2(,)n n a a 处的切线与x 轴交点的横坐标为1n a +，n N *
∈，
若161=a ，则=+53a a ，数列{}n a 的通项公式为 ．5， 52n
-
29.对任意x ∈R ，函数
()f x 满
足1
(1()]2
f x
x ++，设)()]([2n f n f a n -=，数列}{n a 的前15项的和为3116
-，则(15)f = ．3
4
30. 如图，线段AB =8，点C 在线段AB 上，且AC =2，P 为线段CB 上一动点，点A 绕点C 旋转后与点B 绕点P 旋转后重合于点D .设CP =x ， △CPD 的面积为()f x .则()f x 的
定义域为 ； '
()f x 的零点是 . (2,4); 3
31.已知函数sin ()x f x x
=
（1）判断下列三个命题的真假：
①()f x 是偶函数；②()1f x < ；③当3
2
x π=
时，()f x 取得极小值. 其中真命题有____________________；（写出所有真命题的序号） （2）满足(
)()666
n n f f πππ
<+的正整数n 的最小值为___________.①② , 9 32．如图所示，∠AOB =1rad ，点A l ，A 2，…在OA 上，点B 1，B 2，…在OB 上，其中的每
一个实线段和虚线段的长均为1个长度单位，一个动点M 从O 点出发，沿着实线段和以O 为圆心的圆弧匀速运动，速度为l 长度单位／秒，则质点M 到达A 3点处所需要的时间为__
A
C
P B
D
秒，质点M 到达A n 点处所需要的时间为__秒．6，(1)
,2
(3),2
n n n n a n n n +???=?+???为奇数，为偶数.
33．已知函数2
()(1)1f x ax b x b =+++-，且(0, 3)a ∈，则对于任意 的b ∈R ，函数()()F x f x x =-总有两个不同的零点的概率是 .
1
3
34. 对于各数互不相等的整数数组),,,,(321n i i i i (n 是不小于3的正整数)，对于任意的
,{1,2,3,
,}p q n ∈，当q p <时有q p i i >，则称p i ，q i 是该数组的一个“逆序”，
一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”，则数组（2，4，3，1）中的逆序数等于 ；若数组123(,,,,)n i i i i 中的逆序数为n ，则数组11(,,,)
n n i i i -中的逆序数为 .4；232
n n -
35. 已知集合},,,{21n a a a A =中的元素都是正整数，且n a a a <<< 21，对任意的
,,A y x ∈且x y ≠，有25
xy
y x ≥
-． （Ⅰ）求证：
25
1
111-≥
-n a a n ； （Ⅱ）求证：9≤n ；
（Ⅲ）对于9=n ，试给出一个满足条件的集合A ． (Ⅰ) 证明：依题意有)1,,2,1(25
1
1-=≥-++n i a a a a i i i i ，又n a a a <<< 21， 因此)1,,2,1(25
1
1-=≥
-++n i a a a a i i i i ． O
A 1
A 2 A 3 A 4
B 1 B 2 B 3 B 4 A
B
可得
)1,,2,1(251111-=≥-+n i a a i i ． 所以
1223
1
1111111111
25
i i n n n a a a a a a a a +---+-+-++
-≥
． 即
25
1
111-≥
-n a a n ． …………………4分 （Ⅱ）证明：由(Ⅰ)可得
25
1
11->
n a ． 又11≥a ，可得25
1
1->n ，因此26 2511i n a a n i -≥-，可知25 1i n a i -> ． 又i a i ≥，可得 25 1i n i ->， 所以)1,,2,1(25)(-=<-n i i n i 均成立． 当10≥n 时，取5=i ，则25)5(5)(≥-=-n i n i ， 可知10 又当9≤n 时，25)2 ()2( )(22<=-+≤-n i n i i n i ． 所以9≤n ． …………………9分 （Ⅲ）解：对于任意n j i ≤<≤1，j i i a a a ≤<+1， 由 )1,,2,1(25 1 111-=≥-+n i a a i i 可知， 25 1 11111≥ -≥-+i i j i a a a a ，即25j i j i a a a a ≥-． 因此，只需对n i <≤1， 25 1 111≥ -+i i a a 成立即可． 因为251211≥- ；2513121≥-；2514131≥-；25 15141≥-， 因此可设11=a ；22=a ；33=a ；44=a ；55=a ． 由 25 1 1165≥ -a a ，可得4256≥a ，取76=a ． 由 25 1 1176≥ -a a ，可得181757≥a ，取107=a ． 由 25 1 1187≥ -a a ，可得3508≥a ，取208=a ． 由 25 1 1198≥ -a a ，可得1009≥a ，取1009=a ． 所以满足条件的一个集合{}100,20,10,7,5,4,3,2,1=A ．……………14分 36. 已知集合{}1,2,3, ,2A n =*()n N ∈.对于A 的一个子集S ， 若存在不大于n 的正整数m ，使得对于S 中的任意一对元素12,s s ，都有12s s m -≠，则称S 具有性质P. （Ⅰ）当10n =时，试判断集合{}9B x A x =∈>和{} *31,C x A x k k N =∈=-∈是否具有性质P ？并说明理由. （Ⅱ）若1000n =时 ① 若集合S 具有性质P ，那么集合{}2001T x x S =-∈是否一定具有性质P ？并说明理由； ②若集合S 具有性质P ，求集合S 中元素个数的最大值． 解：（Ⅰ）当10n =时，集合{}1,2,3, ,19,20A =, {}{}910,11,12,,19,20B x A x =∈>=不具有性质P ． ...................................1分 因为对任意不大于10的正整数m ， 都可以找到该集合中两个元素110b =与210b m =+，使得12b b m -=成立．...............2分 集合{} *31,C x A x k k N =∈=-∈具有性质P ． ................................................3分 因为可取110m =<，对于该集合中任意一对元素112231,31c k c k =-=-，*12,k k N ∈ 都有121231c c k k -=-≠． .....................................................................4分 （Ⅱ）当1000n =时，则{}1,2,3, ,1999,2000A = ①若集合S 具有性质P ，那么集合{}2001T x x S =-∈一定具有性质P ．...................5分 首先因为{}2001T x x S =-∈，任取02001,t x T =-∈ 其中0x S ∈， 因为S A ?，所以0{1,2,3,...,2000}x ∈， 从而0120012000x ≤-≤，即,t A ∈所以T A ?. ...........................6分 由S 具有性质P ，可知存在不大于1000的正整数m ， 使得对S 中的任意一对元素12,s s ，都有12s s m -≠． 对于上述正整数m ， 从集合{}2001T x x S =-∈中任取一对元素11222001,2001t x t x =-=-，其中12,x x S ∈， 则有1212t t x x m -=-≠, 所以集合{}2001T x x S =-∈具有性质P ． .............................8分 ②设集合S 有k 个元素．由第①问知，若集合S 具有性质P ，那么集合{}2001T x x S =-∈一定具有性质P ． 任给x S ∈，12000x ≤≤，则x 与2001x -中必有一个不超过1000， 所以集合S 与T 中必有一个集合中至少存在一半元素不超过1000， 不妨设S 中有t 2k t ? ?≥ ?? ?个元素12,, ,t b b b 不超过1000． 由集合S 具有性质P ，可知存在正整数1000m ≤， 使得对S 中任意两个元素12,s s ，都有12s s m -≠， 所以一定有12,, ,t b m b m b m S +++?. 又100010002000i b m +≤+=，故12,,,t b m b m b m A +++∈, 即集合A 中至少有t 个元素不在子集S 中， 因此2k k + ≤2000k t +≤，所以20002 k k +≤，得1333k ≤， 当{}1,2, ,665,666,1334, ,1999,2000S =时， 取667m =，则易知对集合S 中任意两个元素12,y y ， 都有12||667y y -≠，即集合S 具有性质P ， 而此时集合Ｓ中有1333个元素． 因此集合S 元素个数的最大值是1333． .....................................14分 37. 已知函数2()1f x x =+ ，数列{}n a 中，1a a =，1()n n a f a +=* ()n ∈N ．当a 取不同的值时，得到不同的数列{}n a ，如当1a =时，得到无穷数列1，3，53，11 5 ，…；当2 a =时，得到常数列2，2，2，…；当2a =-时，得到有穷数列2-，0． （Ⅰ）若30a =，求a 的值； （Ⅱ）设数列{}n b 满足12b =-，1()n n b f b +=* ()n ∈N ．求证：不论a 取{}n b 中的任何数，都可以得到一个有穷数列{}n a ； （Ⅲ）若当2n ≥时，都有 5 33 n a <<，求a 的取值范围． 解：（Ⅰ）因为 30a =，且32 2 1a a =+ ， 所以 22a =-． 同 理 可 得 123 a =- ，即 2 3 a =-． ………………………3分 （Ⅱ）证明：假设a 为数列{}n b 中的第*()i i ∈N 项，即1i a a b ==；则 211()()i i a f a f b b -===； 3212()()i i a f a f b b --===； ……… 121()()2i i a f a f b b -====-； 12 ()10i i i a f a a +==+ =， 即1()(2)0i i a f a f +==-=。 故不论a 取{}n b 中的任何数，都可以得到一个有穷数列{}n a ． …………8分 （Ⅲ）因为212 ()()1a f a f a a ===+ ，且2533a <<， 所以 31< 533n a <<时， 5211 1335 n a <+<<， 即 15 33 n a +<<， 所以 当31< 5 33 n a <<． ………………………13分 38. 已知数列}{n a ，{}n b 满足n n n a a b -=+1，其中1,2,3,n =. （Ⅰ）若11,n a b n ==，求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）若11(2)n n n b b b n +-=≥，且121,2b b ==. （ⅰ）记)1(16≥=-n a c n n ，求证：数列}{n c 为等差数列； （ⅱ）若数列}{ n a n 中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次. 求首项1a 应满足的条件. （Ⅰ）解：当2≥n 时，有 121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++-1121n a b b b -=++++ …………2分 2(1)11222 n n n n -?=+=-+. ………………3分 又因为11=a 也满足上式，所以数列}{n a 的通项为2122 n n n a = -+.………………4分 （Ⅱ）（ⅰ）证明：因为对任意的n ∈* N 有516432 1n n n n n n n b b b b b b b ++++++====，……………5分 所以 1656161661626364n n n n n n n n n n c c a a b b b b b b ++--++++-=-=+++++ 11 1221722 =+++++=(1)n ≥， 所以数列}{n c 为等差数列. ………………7分 （ⅱ）解：对于数列6{}n i a +，（0n ≥，i 为常数且}6,5,4,3,2,1{∈i ），有 666661626364657(0)n i n i n i n i n i n i n i n i a a b b b b b b n ++++++++++++++-=+++++=≥ 所以数列}{6i n a +均为以7为公差的等差数列. ……………8分 设6777(6)7766666666i i k i i k i i i k a a a a k f k i i k i k i k +++-- +====+++++，（0k ≥）， 所以，当76i i a =时，对任意的i k n +=6有n a n 7 6=； ……………9分 当76 i i a ≠时， 17771166()()6(1)666(1)6i i k k i i i a a i f f a k i k i k i k i +-- -=-=--++++++ 76()()6[6(1)](6) i i a k i k i -=-+++ ①若76i i a >，则对任意的k ∈N 有k k f f <+1，所以数列}6{6i k a i k ++为单调减数列； ②若76i i a <，则对任意的k ∈N 有k k f f >+1，所以数列}6{6i k a i k ++为单调增数列； ………………11分 综上：设集合741111{}{}{}{}{}{}632362B =--74111 {,,,,}63236=--， 当B a ∈1时，数列}{n a n 中必有某数重复出现无数次. 当B a ?1时，}6{6i k a i k ++ )6,5,4,3,2,1(=i 均为单调数列，任意一个数在这6个数列中最 多出现一次，所以数列}{n a n 中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次. ………13分 39. 如图111(,)P x y ，222(,)P x y ，，(,)n n n P x y ，12(0,)n y y y n N * <<<<∈ 是曲线2 :3(0)C y x y =≥上的n 个点，点(,0)(1,2,3, ,)i i A a i n =在x 轴的正半轴上， 1i i i A A P -?是正三角形(0A 是坐标原点) . （Ⅰ）求123,,a a a ； （Ⅱ）求出点n A (,0)(*)n a n N ∈的横坐标n a 关于n 的表达式； 解：（Ⅰ）1232,6,12a a a ===. …………………………… 3分 （Ⅱ）依题意11(,0),(,0)n n n n A a A a --，则 12n n n a a x -+= ，n y =在正三角形1n n n P A A -中，有 11||)n n n n n y A A a a --==- . 1)n n a a -=-. ………………………… 5分 1n n a a -∴-= 2211122()(2,*)n n n n n n a a a a a a n n N ---∴-+=+≥∈ ①， 同理可得2211122()(*)n n n n n n a a a a a a n N +++-+=+∈ ②. ②-①并变形得 1111()(22)0(2,*)n n n n n a a a a a n n N +-+--+--=≥∈ 11n n a a +->，11220n n n a a a +-∴+--= 11()()2(2,*)n n n n a a a a n n N +-∴---=≥∈ . ∴数列{}1n n a a +-是以214a a -=为首项，公差为2的等差数列. 12(1),(*)n n a a n n N +∴-=+∈ ， n a ∴12132431()()()()n n a a a a a a a a a -=+-+-+-+ +-， 2(123)n =+++ +2n n =+.(1)(*)n a n n n N ∴=+∈ …………… 8分 （Ⅲ）∵123 2111 1 (*)n n n n n b n N a a a a +++= ++++ ∈， ∴12 3 422 1111(*)n n n n n b n N a a a a +++++= + + ++ ∈. 121 22 1 11 1n n n n n b b a a a ++++∴-= + - 111 (21)(22)(22)(23)(1)(2) n n n n n n = +-++++++ 22(221) (21)(22)(23)(2) n n n n n n -+-= ++++. ∴当*n N ∈时，上式恒为负值， ∴当*n N ∈时，1n n b b +<，∴数列{}n b 是递减数列. n b ∴的最大值为1211 6 b a = =. ……………… 12分 若对任意正整数n ，当[]1,1m ∈-时，不等式2 1 26 n t mt b -+>恒成立， 则不等式2 11 266 t mt -+ >在[]1,1m ∈-时恒成立， 即不等式2 20t mt ->在[]1,1m ∈-时恒成立. 设2 ()2f m t mt =-，则(1)0f >且(1)0f ->， ∴222020 t t t t ?->??+>?? 解之，得 2t <-或2t >， 即t 的取值范围是(,2)(2,)-∞-?+∞. …………………… 14分 （Ⅲ）设123 2111 1 n n n n n b a a a a +++= ++++ ，若对任意正整数n ，当[]1,1m ∈-时，不等式2 1 26 n t mt b -+ >恒成立，求实数t 的取值范围. 40. 已知每项均是正整数的数列A ：123,,, ,n a a a a ， 其中等于i 的项有i k 个(1,2,3)i =???， 设 j j k k k b +++= 21 (1,2,3) j =， 12()m g m b b b nm =++ +- (1,2,3)m =???. （Ⅰ）设数列:1,2,1,4A ，求(1),(2),(3),(4),(5)g g g g g ； （Ⅱ）若数列A 满足12100n a a a n ++ +-=，求函数)(m g 的最小值. 解：（1）根据题设中有关字母的定义， 12342,1,0,1,0(5,6,7)j k k k k k j ====== 12342,213,2103,4,4(5,6,7,)m b b b b b m ==+==++==== 112123123412345(1)412(2)423,(3)434,(4)444, (5)45 4.g b g b b g b b b g b b b b g b b b b b =-?=-=+-?=-=++-?=-=+++-?=-=++++-?=- （2）一方面，1(1)()m g m g m b n ++-=-，根据“数列A 含有n 项”及j b 的含义知1m b n +≤， 故0)()1(≤-+m g m g ，即)1()(+≥m g m g ① …………………7分 另一方面，设整数{}12max ,,,n M a a a =，则当m M ≥时必有m b n =， 所以(1)(2)(1)()(1)g g g M g M g M ≥≥ ≥-==+= 所以()g m 的最小值为(1)g M -. …………………9分 下面计算(1)g M -的值： 1231(1)(1)M g M b b b b n M --=++++-- 1231()()()()M b n b n b n b n -=-+-+-++- 233445()()()()M M M M k k k k k k k k k k =----+----+--- -+ +- 23[2(1)]M k k M k =-++ +- 12312(23)()M M k k k Mk k k k =-++++++++ 123()n M a a a a b =-+++++ 123()n a a a a n =-+++ ++ …………………12分 ∵123100n a a a a n +++ +-= ， ∴(1)100,g M -=- ∴()g m 最小值为100-. …………………13分 41. 定义=),,,(21n a a a τ12231||||||n n a a a a a a --+-++-为有限项数列{}n a 的波 动强度. （Ⅰ）当(1)n n a =-时，求12100(,, ,)a a a τ； （Ⅱ）若数列,,,a b c d 满足()()0a b b c -->，求证：(,,,)(,,,)a b c d a c b d ττ≤； （Ⅲ）设{}n a 各项均不相等，且交换数列{}n a 中任何相邻两项的位置，都会使数列的波动强度增加，求证：数列{}n a 一定是递增数列或递减数列. 42. 对于)2(≥∈n n * N ，定义一个如下数阵： 1112121 2221 2 n n nn n n nn a a a a a a A a a a ?? ? ? = ? ??? ， 其中对任意的n i ≤≤1，n j ≤≤1，当i 能整除j 时，1=ij a ；当i 不能整除j 时， 0=ij a ．设nj j j n i ij a a a a j t +++==∑= 211 )(． （Ⅰ）当6=n 时，试写出数阵66A 并计算 ∑=6 1 )(j j t ； （Ⅱ）若][x 表示不超过x 的最大整数，求证： ∑=n j j t 1 )(∑==n i i n 1 ][ ； （Ⅲ）若∑==n j j t n n f 1 )(1)(，dx x n g n ?=11)(，求证：()1()()1g n f n g n -<<+． （Ⅰ）解：依题意可得， ?????? ?? ? ? ? ?=100000010000001000100100 101010111111 66A ． 14423221)(6 1 =+++++=∑=j j t ． ………………4分 （Ⅱ）解：由题意可知，)(j t 是数阵nn A 的第j 列的和， 因此 ∑=n j j t 1 )(是数阵nn A 所有数的和． 而数阵nn A 所有数的和也可以考虑按行相加． 对任意的n i ≤≤1，不超过n 的倍数有i 1，i 2，…，i i n ][． 因此数阵nn A 的第i 行中有][i n 个１，其余是0，即第i 行的和为][i n ． 所以 ∑=n j j t 1 )(∑==n i i n 1 ][ ． ………………9分 （Ⅲ）证明：由][x 的定义可知， i n i n i n ≤<-][1， 所以∑∑∑===≤<-n i n i n i i n i n n i n 111][． 所以∑∑==≤<-n i n i i n f i 111 )(11． 考查定积分 dx x n ? 1 1 ， 将区间],1[n 分成1-n 等分，则 dx x n ? 1 1的不足近似值为∑=n i i 21， dx x n ? 1 1的过剩近似值为∑-=1 11n i i ． 所以∑=n i i 21dx x n ?<11∑-=<111 n i i ． 所以111-∑=n i i )(n g <∑= i i 11 ． 所以<-1)(n g ∑=<-n i n f i 1)(11<≤∑=n i i 11 1)(+n g ． 所以()1()()1g n f n g n -<<+． ………………14分 43. 有n 个首项都是1的等差数列，设第m 个数列的第k 项为 mk a (,1,2,3,,,m k n n =≥，公差为m d ，并且123,,,,n n n nn a a a a 成等差数列． （Ⅰ）证明1122m d p d p d =+ （3m n ≤≤，12,p p 是m 的多项式），并求12p p +的值； （Ⅱ）当121, 3d d ==时，将数列{}m d 分组如下： 123456789(), (,,), (,,,,), d d d d d d d d d (每组数的个数构成等差数列)． 设前m 组中所有数之和为4 ()(0)m m c c >，求数列{2}m c m d 的前n 项和n S ． （Ⅲ）设N 是不超过20的正整数，当n N >时，对于（Ⅱ）中的n S ，求使得不等式 1 (6)50 n n S d ->成立的所有N 的值． 解：（Ⅰ）由题意知1(1)mn m a n d =+-． 212121[1(1)][1(1)](1)()n n a a n d n d n d d -=+--+-=--， 同理，3232(1)()n n a a n d d -=--，4343(1)()n n a a n d d -=--，…， ( 1)1(1)()n n n n n n a a n d d ---=--． 又因为123,,,,n n n nn a a a a 成等差数列，所以2132(1)n n n n nn n n a a a a a a --=-= =-. 故21321n n d d d d d d --=-= =-，即{}n d 是公差为21d d -的等差数列． 所以，12112(1)()(2)(1)m d d m d d m d m d =+--=-+-． 令122,1p m p m =-=-，则1122m d p d p d =+，此时121p p +=． …………4分 （Ⅱ）当121, 3d d ==时，*2 1 ()m d m m =-∈N ． 数列{}m d 分组如下：123456789(), (,,), (,,,,),d d d d d d d d d ． 按分组规律，第m 组中有21m -个奇数， 所以第1组到第m 组共有2135(21)m m ++++-=个奇数． 注意到前k 个奇数的和为2135(21)k k +++ +-=， 所以前2 m 个奇数的和为224 ()m m =. 即前m 组中所有数之和为4 m ，所以44()m c m =． 因为0m c >，所以m c m =，从而 *2(21)2()m c m m d m m =-?∈N ． 所以 234112325272(23)2(21)2n n n S n n -=?+?+?+?+ +-?+-?. 23412123252(23)2(21)2n n n S n n +=?+?+?+ +-?+-?. 故2341222222222(21)2n n n S n +-=+?+?+?+ +?--? 2312(2222)2(21)2n n n +=++++---? 12(21) 22(21)221 n n n +-=?---?-1(32)26n n +=--. 所以 1 (23)2 6n n S n +=-+． …………………………………9分 （Ⅲ）由（Ⅱ）得*2 1 ()n d n n =-∈N ，1 (23)2 6n n S n +=-+* ()n ∈N . 绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将 试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =U D ．A B =?I 2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A ．14 B ．π8 C ． 12 D ． π4 3．设有下面四个命题 1p ：若复数z 满足1 z ∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 1．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为 棱1DD ，AB 上的点. 已知下列判断： ①1 AC ^平面1B EF ；②1B EF D 在侧面11BCC B 上 的正投影是面积为定值的三角形；③在平面 1111A B C D 内总存在与平面1B EF 平行的直线；④平 面1B EF 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）的大小与点E 的位置有关，与点F 的位 置无关. 其中正确判断的个数有 （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个（B ） 2.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点,F 是侧面CDD 1C 1上的动点，且B 1F//面A 1BE ，则B 1F 与平面CDD 1C 1 所成角的正切值构成的集合是 C A. {}2 B. 255?? ? ??? C. {|222}t t ≤≤ D. 2 {|52}5 t t ≤≤ 3. 如图，四面体OABC 的三条棱OC OB OA ,,两两垂直，2==OB OA ,3=OC ，D 为四 面体OABC 外一点.给出下列命题. ①不存在点D ,使四面体ABCD 有三个面是直角三角形 ②不存在点D ,使四面体ABCD 是正三棱锥 ③存在点D ,使CD 与AB 垂直并且相等 ④存在无数个点D ,使点O 在四面体ABCD 的外接球面上 其中真命题的序号是D （A ）①② （B ）②③ （C ）③ （D ）③④ 4. 在一个正方体1111ABCD A B C D -中，P 为正方形 1111A B C D 四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心， ,M N 分别为,AB BC 中点，点Q 为平面ABCD 内一点，线段1D Q 与OP 互相平分，则满足MQ MN λ=u u u u r u u u u r 的实数λ的值 有 C A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 5. 空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫做 A B C D E 1A 1 D 1 B 1 C O A B D C A 1 D 1 A 1 C 1 B D C B O P N M Q 高考数学压轴题解题思路 一、数学归纳法的工具显神通. 案例一 下面是：2016年北京理科高考数学压轴题。 设数列A ：1a ，2a ,…N a (N ≥2)。如果对小于n(2≤n ≤N)的每个正整数k 都有k a ＜n a ，则称n 是数列A 的一个“G 时刻”。记“G （A ）是数列A 的所有“G 时刻”组成的集合. （I ）对数列A ：-2，2，-1，1，3，写出G （A ）的所有元素； (I I)证明：若数列A 中存在n a 使得n a >1a ，则G （A ）≠ ? ； (I I I ）证明：若数列A 满足n a -1n a - ≤1（n=2,3, …,N ）,则G （A ）的元素个数不小于1a a N -. 仅证第三小问. 分析：(I I I ）记|)|A G （表示集合中元素个数. （1）2=n 时，当1|)(|,12=>A G a a ，又112≤-a a ，则.|(|12a a A G -≥） 当0|)(|012=≤-A G a a ，显然，，）12|(|a a A G -≥2=∴n 成立. （2）假设k n =成立,如何利用k n =去证1+=k n 成立是个难点.首先对k n =成立的理解.其实质是k 个元素，k b b b ,,21.如果),2.(11k n b b n n =≤--,则)(A G 元素个数不小于1b b k -，k b b b ,,21,可能是k a a a ,,21，也可能是 n a a a ,,21中任k 个元素组成的数列，只要新数列后一项减去前一项不超过1，就可以利用归纳假设.在利用k n =来证1+=k n 成立时.必须对121,+k a a a 减少一个元素，减少谁呢？显然，根据“G 时刻定义”，去掉最大或最小元素对处理G 时刻增加或减少较好处理. 选择最小元素所在位置为分类标准. ①在121,+k a a a 中如果最小元素是1+k a ，011≤-+a a k 显然成立. ②如果最小元素是1a ，去掉1a 后，12+k a a ，)1,,3,11+=≤--k n a a n n （符合k n =成立的条件.令12+k a a 的G 时刻组成的集合为)A G （，则.|(|21a a A G k -≥+）因为1a 是最小元素，121,+k a a a 的G 时刻元素个数为 1、（本小题满分14分） 已知函数． （1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围； （2）当时，试比较与的大小； （3）求证：（）． 2、设函数，其中为常数． （Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性； （Ⅱ）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点； （Ⅲ）当且时，求证：． 3、在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原 点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直 线于点. （Ⅰ）求的最小值； （Ⅱ）若?，（i）求证：直线过定点； （ii ）试问点，能否关于轴对称？若能，求出 此时 的外接圆方程；若不能，请说明理由. 二、计算题 （每空？ 分，共？ 分） 4 、设函数 的图象在点处的切线的斜率 为 ，且函数为偶函数．若函数 满足下列条件：①；② 对一切实数 ，不等式恒成立． （Ⅰ）求函数的表达式； （Ⅱ）求证： ． 5 、已知函数： （1 ）讨论函数的单调性； （2） 若函数 的图像在点 处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值 时，函数 在区间上总存在极值？ (3)求证：． 6、已知函数=，. (Ⅰ)求函数在区间上的值域； （Ⅱ）是否存在实数，对任意给定的，在区间上都存在两个不同的， 使得成立.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由； （Ⅲ）给出如下定义：对于函数图象上任意不同的两点，如果对 于函数图象上的点（其中总能使得 成立，则称函数具备性质“”，试判断函数是不是具 备性质“”，并说明理由. 7、已知函数 （Ⅰ）若函数是定义域上的单调函数，求实数的最小值； （Ⅱ）方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围； （Ⅲ）在函数的图象上是否存在不同两点，线段的中点的横坐标 为，有成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 8、已知函数： ⑴讨论函数的单调性；2017年高考全国1卷理科数学试题和答案解析
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