山东省济南市2019届高三下学期第一次模拟考试数学（理）试题
第I 卷（共50分）
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{}{}
2230,,M x x x N x x a M N =--<=>?若，则实数a 的取值范围是 A.(],1-∞- B.(),1-∞-
C.[)3,+∞
D.()3,+∞
2.若12i
z i
-=
（i 为虚数单位），则z 的共轭复数是 A.2i -- B.2i - C.2i +
D.2i -+
3.类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可得出空间内的下列结论： ①垂直于同一个平面的两条直线互相平行； ②垂直于同一条直线的两条直线互相平行； ③垂直于同一个平面的两个平面互相平行； ④垂直于同一条直线的两个平面互相平行；
A.①②
B.②③
C.③④
D.①④ 4.“1cos 2α=
”是“3
π
α=”的 A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.执行如图所示的程序框图，输出的k 值为 A.7 B.9 C.11 D.13
6.某餐厅的原料费支出x 与销售额y （单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出
y 与x 的
线性回归方程为8.57.5y x =+$
，则表中的m 的值为
A.50
B.55
C.60
D.65
7.已知12,F F 是双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的两个焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线一个交点
是P ，且12F PF ?的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是
C.2
D.5
8.在椭圆22
1169
x y +=内，通过点()1,1M 且被这点平分的弦所在的直线方程为
A.91670x y -+=
B.169250x y +-=
C.916250x y +-=
D.16970x y --=
9.将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，若只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法总数有 A.48种 B.72种 C.96种 D.108种 10.若至少存在一个()0x x ≥，使得关于x 的不等式2
42x x m ≤--成立，则实数m 的取值范围为
A.[]4,5-
B.[]5,5-
C.[]4,5
D.[]5,4-
第II 卷（共100分）
二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.
11.100名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图
如图所示，则测试成绩落在[)60,80中的学生人数是_________. 12.函数()
f x =
的定义域是
_________.
13.某圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是中心角
为
3
π
的扇形，则该几何体的体积为__________.
14.设,,a b c r r r
是单位向量，且()()
0a b a c b c
?=+?+r r r r r r ，则的最大值为
________.
15.设函数()f x 的定义域为R ，若存在常数
()f x 为“条
()0f x x ωω>≤，使对一切实数x 均成立，则称
件约束函数”.现给出下列函数：
①()4f x x =；②()2
2f x x =+；③()2
225
x
f x x x =
-+； ④()f x 是定义在实数集R 上的奇函数，且对一切12,x x 均有()()12124f x f x x x -≤-.其中是“条件约束函数”的序号是________（写出符合条件的全部序号）.
三、解答题：本大题共6小题，共75分. 16.（本小题满分12分）
在ABC ?中，边a,b,c 的对角分别为A,B,C ；且4,3
b A π
==，面积S =.
（I ）求a 的值；
（II ）设()()2cos sin cos cos f x C x A x =-，将()f x 图象上所有点的横坐标变为原来的1
2
（纵坐标不变）得到()g x 的图象，求()g x 的单调增区间.
17. （本小题满分12分）
某校为了普及环保知识，增强学生的环保意识，在全校组织了一次有关环保知识的竞赛.经过初赛、复赛，甲、乙两个代表队（每队3人）进入了决赛，规定每人回答一个问题，答对为本队赢得10分，答错得0分.假设甲队中每人答对的概率均为
34，乙队中3人答对的概率分别为45，34，2
3
，且各人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示乙队的总得分. （I ）求ξ的分布列和数学期望；
（II ）求甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率.
18. （本小题满分12分）
直三棱柱111ABC A B C -中，10,8,6AB AC BC ===，
18AA =，点D 在线段AB 上.
（I ）若1//AC 平面1B CD ，确定D 点的位置并证明；
（II ）当
1
3
BD AB =时，求二面角1B CD B --的余弦值.
19. （本小题满分12分）
已知数列{}n a 满足()
12111,3,32,2n n n a a a a a n N n *+-===-∈≥， （I ）证明：数列{}1n n a a +-是等比数列，并求出{}n a 的通项公式； （II ）设数列
{}n b 满足()
2
42log 1n n b a =+，证明：对一切正整数
222121111
,1112
n n b b b ++???+<
---有
.
20. （本小题满分13分）
已知抛物C 的标准方程为()2
20y px p =>，M 为抛物线C 上一动点，()(),00A a a ≠为其对称轴
上一点，直线MA 与抛物线C 的另一个交点为N.当A 为抛物线C 的焦点且直线MA 与其对称轴垂直时，MON ?的面积为
92
. （I ）求抛物线C 的标准方程； （II ）记11t AM AN
=
+，若t 值与M 点位置无关，则称此时的点A 为“稳定点”，试求出所有“稳定点”，若没有，请说明理由.
21. （本小题满分14分） 已知关于x 函数()()()()22
ln ,g x a x a R f x x g x x
=
-∈=+， （I ）试求函数()g x 的单调区间；
（II ）若()f x 在区间()0,1内有极值，试求a 的取值范围； （III ）0a >时，若()f x 有唯一的零点0x ，试求[]0x .
（注：[]x 为取整函数，表示不超过x 的最大整数，如[][][]0.30,2.62, 1.42==-=-；以下数据供
====）参考：ln20.6931,ln3 1.099,ln5 1.609,ln7 1.946
又∵0B π<<∴2
B π
=
6
C π
=
……6分
∴(()2cos sin cos cos )2sin()6
f x C x A x x π
=-=-，………… 8分
将()f x 图象上所有点的横坐标变为原来的12，得到()2sin(2)6
g x x π
=-，…………9分 所以()g x 的单调增区间为222,2
6
2
k x k π
π
π
ππ-≤-
≤+
…………10分
即,()6
3
k x k k Z π
π
ππ-
≤≤+
∈…………11分
()g x 的单调区间为,,()63k k k Z ππππ?
?-+∈???
?…………12分
（17）解：（Ⅰ）由题意知，ξ的所有可能取值为0，10，20，30．…………1分
1111
(=0)54360
41113111293
(=10)=5435435436020
4314121322613
(=20)=5435435436030432242
(=30)==.5543605
P P P P ξξξξ=??==??+??+??==??+??+??==??????，
，
，
分
ξ的分布列为：
…………6分
所以 AC 1∥平面B 1CD ． ………………………………………4分 （Ⅱ） 由6,8,10===BC AC AB ，得AC ⊥BC ，
以C 为原点建立如图所示的空间直角坐标系C -xyz ． 则B (6, 0, 0)，A (0, 8, 0)，A 1(0, 8,8)，B 1(6, 0, 8)．
设D (a , b , 0)（0a >，0b >），…………………5分 因为 点D 在线段AB 上，且
13BD AB =， 即1
3
BD BA =． 所以8
4,3
a b ==．…………………7分
所以1(6,0,8)B C =--，8
(4,,0)3
CD =．
平面BCD 的法向量为1(0,0,1)n =．
设平面B 1CD 的法向量为2(,,1)n x y =，
由 120B C n ?=，20CD n ?=， 得 6808
403x x y --=??
?+=??
， 所以4,23x y =-
=，24
(,2,1)3
n =-． …………………10分 设二面角1B CD B --的大小为θ， 361
cos 61
a b a b
?=
所以二面角1B CD B --．……………………………12分 （19）解：()Ⅰ由1132n n n a a a +-=- ，可得112(),n n n n a a a a +--=-…………2分 212,a a -={}1n n a a +∴- 是首项为2，公比为2的等比数列，
即1=2.n n n a a +- …………3分
()()()-1-1-2211
1
2
=-+-+-12=2
2
2112
21,
6n n n n n n
n n n a a a a a a a a --∴+-++
++=-=-????+分
()()()24222221222
122log (2)2.
7111111=.914121212212111
111111
1+
=111
1233521211111.221211
1,+
11
n n n n b n b n n n n n b b b n n n n b b ==??????
==-???? ?---+-+????????
??∴
++-+-++- ? ? ???----+????
????
??=-< ?+??∴++--Ⅱ由题意得分分
对一切正整数有
2
1
.1212
n b
（20）(I)由题意,2
922221||||212==??=??=?p p p MN OA S MON
3=∴p
抛物线C 的方程为x y 62=---------------------------------------------------------------------3分 (II) 设),(),(2211y x N y x M ，,直线MN 的方程为a my x +=
联立???=+=x y a my x 62
得0662
=--a my y
024362>+=?a m
m y y 621=+,a y y 621-=,-----------------------------------------------------------------6分 由对称性,不妨设0>m ,
又||11
||11||1||12212y m y m AN AM t ++
+=+= )11
1(1363611)()(112
222222122122
m
a a m m y y y y m t +-=+=++=∴ 不论a 取何值,t 均与m 有关,即0a 时, 0621<-=a y y , 21y y ，∴异号,
又|
|11
||11||1||12212y m y m AN AM t ++
+=+= 2
212
1221222122122
)(4)(11)()-(11y y y y y y m y y y y m t -+?
+=?+=∴ )1132
1(1
36243611222
2
2m
a a a a m m +-+=+?+= 所以,仅当0132=-a ,即2
3
=a 时,t 与m 无关,此时A 即抛物线C 的焦点,即抛物线C 对称轴上
仅有焦点这一个“稳定点”. ------------------------------------------------------------13分
（21）解：（I ）由题意)(x g 的定义域为),0(+∞
2
22
2-
)(x ax x a x x g +-
=-=' （i ）若0≥a ，则0)('
=x g 得a x 2 - =， )2,0(a x -∈时，0)(' (+∞-∈a x 时，0)('>x g ， 所以)2 ,0(a -为其单调递减区间；),2(+∞-a 为其单调递增区间；-----------------------4分 （II ）)()(2 x g x x f += 所以)(x f 的定义域也为),0(+∞，且 2 32' ' 2' 2 222)()()(x ax x x ax x x g x x f --=+-=+= 令),0[,22)(3 +∞∈--=x ax x x h (*) 则a x x h -6)(2 ' = (**)----------------------------------------------------------------------------6分