习题1.1
1. 下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？如果是命题，指出它的真值。
⑴中国有四大发明。
⑵计算机有空吗?
⑶不存在最大素数。
⑷ 21+3＜5。
⑸老王是山东人或河北人。
⑹ 2与3都是偶数。
⑺小李在宿舍里。
⑻这朵玫瑰花多美丽呀!
⑼请勿随地吐痰!
⑽圆的面积等于半径的平方乘以p。
⑾只有6是偶数，3才能是2的倍数。
⑿雪是黑色的当且仅当太阳从东方升起。
⒀如果天下大雨，他就乘班车上班。
解：⑴⑶⑷⑸⑹⑺⑽⑾⑿⒀是命题，其中⑴⑶⑽⑾是真命题，⑷⑹⑿是假命题，⑸⑺⒀的真值目前无法确定；⑵⑻⑼不是命题。
2. 将下列复合命题分成若干原子命题。
⑴李辛与李末是兄弟。
⑵因为天气冷，所以我穿了羽绒服。
⑶天正在下雨或湿度很高。
⑷刘英与李进上山。
⑸王强与刘威都学过法语。
⑹如果你不看电影，那么我也不看电影。
⑺我既不看电视也不外出，我在睡觉。
⑻除非天下大雨，否则他不乘班车上班。
解：⑴本命题为原子命题；
⑵p：天气冷；q：我穿羽绒服；
⑶p：天在下雨；q：湿度很高；
⑷p：刘英上山；q：李进上山；
⑸p：王强学过法语；q：刘威学过法语；
⑹p：你看电影；q：我看电影；
⑺p：我看电视；q：我外出；r：我睡觉；
⑻p：天下大雨；q：他乘班车上班。
3. 将下列命题符号化。
⑴他一面吃饭，一面听音乐。
⑵ 3是素数或2是素数。
⑶若地球上没有树木，则人类不能生存。
⑷ 8是偶数的充分必要条件是8能被3整除。
⑸停机的原因在于语法错误或程序错误。
⑹四边形ABCD是平行四边形当且仅当它的对边平行。
⑺如果a和b是偶数，则a+b是偶数。
解：⑴p：他吃饭；q：他听音乐；原命题符号化为：p∧q
⑵p：3是素数；q：2是素数；原命题符号化为：p∨q
⑶p：地球上有树木；q：人类能生存；原命题符号化为：p→q
⑷p：8是偶数；q：8能被3整除；原命题符号化为：p?q
⑸p：停机；q：语法错误；r：程序错误；原命题符号化为：q∨r→p
⑹p：四边形ABCD是平行四边形；q：四边形ABCD的对边平行；原命题符号化为：p?q。
⑺p：a是偶数；q：b是偶数；r：a+b是偶数；原命题符号化为：p∧q→r
4. 将下列命题符号化，并指出各复合命题的真值。
⑴如果3+3=6，则雪是白的。
⑵如果3+3≠6，则雪是白的。
⑶如果3+3=6，则雪不是白的。
⑷如果3+3≠6，则雪不是白的。
⑸3是无理数当且仅当加拿大位于亚洲。
⑹ 2+3=5的充要条件是3是无理数。(假定是10进制)
⑺若两圆O1，O2的面积相等，则它们的半径相等，反之亦然。
⑻当王小红心情愉快时，她就唱歌，反之，当她唱歌时，一定心情愉快。
解：设p：3＋3＝6。q：雪是白的。
⑴原命题符号化为：p→q；该命题是真命题。
⑵原命题符号化为：p→q；该命题是真命题。
⑶原命题符号化为：p→q；该命题是假命题。
⑷原命题符号化为：p→q；该命题是真命题。
⑸p：3是无理数；q：加拿大位于亚洲；原命题符号化为：p?q；该命题是假命题。
⑹p：2+3＝5；q：3是无理数；原命题符号化为：p?q；该命题是真命题。
⑺p：两圆O1,O2的面积相等；q：两圆O1,O2的半径相等；原命题符号化为：p?q；该命题是真命题。
⑻p：王小红心情愉快；q：王小红唱歌；原命题符号化为：p?q；该命题是真命题。
习题1.2
1.判断下列公式哪些是合式公式，哪些不是合式公式。
⑴ (p∧q→r)
⑵ (p∧(q→r)
⑶ ((?p→q)?(r∨s))
⑷ (p∧q→rs)
⑸ ((p→(q→r))→((q→p)?q∨r))。
解：⑴⑶⑸是合式公式；⑵⑷不是合式公式。
2.设p：天下雪。
q：我将进城。
r：我有时间。
将下列命题符号化。
⑴天没有下雪，我也没有进城。
⑵如果我有时间，我将进城。
⑶如果天不下雪而我又有时间的话，我将进城。
解：⑴p∧q
⑵r→q
⑶p∧r→q
3.设p、q、r所表示的命题与上题相同，试把下列公式译成自然语言。
⑴r∧q
⑵? (r∨q)
⑶q? (r∧? p)
⑷ (q→r)∧(r→q)
解：⑴我有时间并且我将进城。
⑵我没有时间并且我也没有进城。
⑶我进城，当且仅当我有时间并且天不下雪。
⑷如果我有时间，那么我将进城，反之亦然。
4. 试把原子命题表示为p、q、r等，将下列命题符号化。
⑴或者你没有给我写信，或者它在途中丢失了。
⑵如果张三和李四都不去，他就去。
⑶我们不能既划船又跑步。
⑷如果你来了，那末他唱不唱歌将看你是否伴奏而定。
解：⑴p：你给我写信；q：信在途中丢失；原命题符号化为：(p∧q)∨(p∧q)。
⑵p：张三去；q：李四去；r：他去；原命题符号化为：p∧q→r。
⑶p：我们划船；q：我们跑步；原命题符号化为：（p∧q）。
⑷p：你来了；q：他唱歌；r：你伴奏；原命题符号化为：p→（q?r）。
5. 用符号形式写出下列命题。
⑴假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书或看报。
⑵我今天进城，除非下雨。
⑶仅当你走，我将留下。
解：⑴p：上午下雨；q：我去看电影；r：我在家读书；s：我在家看报；原命题符号化为：（p→q）∧（p→r∨s）。
⑵p：我今天进城；q：天下雨；原命题符号化为：q→p。
⑶p：你走；q：我留下；原命题符号化为：q→p。
习题1.3
1.设A、B、C是任意命题公式，证明：
⑴A A
⑵若A B，则B A
⑶若A B，B C，则A C
证明：⑴由双条件的定义可知A?A是一个永真式，由等价式的定义可知A A成立。
⑵因为A B，由等价的定义可知A?B是一个永真式，再由双条件的定义可知B?A也是一个永真式，所以，B A成立。
⑶对A、B、C的任一赋值，因为A B，则A?B是永真式，即A与B具有相同的真值，又因为B C，则B?C是永真式，即B与C也具有相同的真值，所以A与C也具有相同的真值；即A C成立。
2.设A、B、C是任意命题公式，
⑴若A∨C?B∨C, A?B一定成立吗？
⑵若A∧C?B∧C, A?B一定成立吗？
⑶若?A??B，A?B一定成立吗？
解：⑴不一定有A B。若A为真，B为假，C为真，则A∨C B∨C成立，但A B不成立。
⑵不一定有A B。若A为真，B为假，C为假，则A∧C B∧C成立，但A B不成立。
⑶一定有A B。
3.构造下列命题公式的真值表，并求成真赋值和成假赋值。
⑴q∧(p→q)→p
⑵p→(q∨r)
⑶ (p∨q)?(q∨p)
⑷ (p∧?q)∨(r∧q)→r
⑸ ((?p→(p∧?q))→r)∨(q∧?r)
解：⑴q∧(p→q)→p的真值表如表1.24所示。
表1.24
p q p→q q∧(p→q)q∧(p→q)→p
00101
01110
10001
11111
使得公式q∧(p→q)→p成真的赋值是：00，10，11，使得公式q∧(p→q)→p成假的赋值是：01。
⑵p→(q∨r) 的真值表如表1.25所示。
表1.25
p q r q∨r p→(q∨r)
00001
00111
01011
01111
10000
10111
11011
11111
使得公式p→(q∨r)成真的赋值是：000，001，010，011，101，110，111，使得公式p→(q∨r)成假的赋值是：100。
⑶(p∨q)?(q∨p) 的真值表如表1.26所示。
表1.26
p q p∨q q∨p (p∨q)?(q∨p)
00001
01111
10111
11111
所有的赋值均使得公式(p∨q)?(q∨p)成真，即(p∨q)?(q∨p)是一个永真式。
⑷(p∧q)∨(r∧q)→r的真值表如表1.27所示。
表1.27
p q r q p∧q r∧q(p∧q)∨(r∧q) (p∧q)∨(r∧q)→r
000100 0 1
001100 0 1
010000 0 1
01100 1 1 1
100110 1 0
1 0 1 1 1 0 1 1 1
1
1
1 1 1 0 0 1 1 1
使得公式(p ∧q )∨(r ∧q )→r 成真的赋值是：000，001，010，011，101，110，111，使得公式(p ∧q )∨(r ∧q )→r 成假的赋值是：100。
⑸((p →(p ∧q ))→r )∨(q ∧r ) 的真值表如表1.28所示。
使得公式((p →(p ∧q ))→r )∨(q ∧r )成真的赋值是：000，001，010，011，101，110，111，使得公式((p →(p ∧q ))→r )∨(q ∧r )成假的赋值是：100。
4.用真值表证明下列等价式： ⑴(p →q )p ∧q
证明：证明(p →q )p ∧q 的真值表如表1.29所示。
表1.29
p
q
p →q
(p →
q )
q p ∧q
1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1
1
由上表可见：(p →q )和p ∧q 的真值表完全相同，所以(p →q )p ∧q 。
⑵p →q q →p 证明：证明p →q q →p 的真值表如表1.30所示。
表1.30
表1.28
p
q
r
p ∧q
p →(p ∧q )
(p →(p ∧q ))→r
q ∧r
((p →(p ∧q ))→r )∨(q
∧r )
0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1
1
1
1
1
1
p q p→q p q q→p
00 1 1 1 1
0 1 1 1 0 1
1 0 0 0 1 0
1 1 1 0 0 1
由上表可见：p→q和q→p的真值表完全相同，所以p→q q→p。
⑶(p?q)p?q
证明：证明(p?q)和p?q的真值表如表1.31所示。
表1.31
p q p?q(p?q) q p?q
00 1 0 1 0
0 1 0 1 0 1
1 0 0 1 1 1
1 1 1 0 0 0
由上表可见：(p?q)和p?q的真值表完全相同，所以(p?q)p?q。
⑷p→(q→r)(p∧q)→r
证明：证明p→(q→r)和(p∧q)→r的真值表如表1.32所示。
表1.32
p q r q→r p→(q→r) p∧q (p∧q)→r
000 1 1 01
0 0 1 1 1 01
0100101
0111101
1001101
1011101
1 1 0 0 0 10
1 1 1 1 1 11
由上表可见：p→(→)和(∧)→的真值表完全相同，所以p→(q→r)(p∧q)→r。
⑸p→(q→p)p→(p→q)
证明：证明p→(q→p)和p→(p→q)的真值表如表1.33所示。
表1.33
p q
q→p p→(q→p) p q p→
q p→(p→q)
00 1 1 1 111
0 1 0 1 1 011
1 0 1 1 0 111
1 1 1 1 0 001
由上表可见：p→(q→p)和p→(p→q)的真值表完全相同，且都是永真式，所以p →(q→p)p→(p→q)。
⑹(p?q)(p∨q)∧(p∧q)
证明：证明(p?q)和(p∨q)∧(p∧q)的真值表如表1.34所示。
表1.34
p q
p?q(p?q) p∨q p∧q (p∧
q)
(p∨q)∧(p∧
q)
00 1 00 010
0 1 0 1 1 011
1 0 0 1 1 011
1 1 1 0 1 100
由上表可见：(p?q)和(p∨q)∧(p∧q)的真值表完全相同，所以(p?q)(p∨q)∧(p∧q)
⑺(p?q)(p∧q)∨(p∧q)
证明：证明(p?q)和(p∧q)∨(p∧q)的真值表如表1.35所示。
表1.35
p q
p?q(p?q) p∧
q p∧q (p∧q)∨(p∧q)
00 1 00 00
0 1 0 1 0 11
1 0 0 1 1 01
1 1 1 0 0 00
由上表可见：(p?q)和(p∧q)∨(p∧q)的真值表完全相同，所以(p?q)(p ∧q)∨(p∧q)。
⑻p→(q∨r)(p∧q)→r
证明：证明p→(q∨r)和(p∧q)→r的真值表如表1.36所示。
表1.36
p q
r q∨r p→(q∨r) q p∧q (p∧q)
→r
000 0 1 101
0 0 1 1 1 101
01011001
01111001
10000110
10111111
1 1 0 1 1 001
1 1 1 1 1 001
由上表可见：p→(q∨r)和(p∧q)→r的真值表完全相同，所以p→(q∨r)(p∧q)→r。
5. 用等价演算证明习题4中的等价式。
⑴(p→q)
(p∨q) (条件等价式)
p∧q (德·摩根律)
⑵q→p
q∨p (条件等价式)
q∨p (双重否定律)
p∨q (交换律)
p→q (条件等价式)
⑶(p?q)
((p→q)∧(q→p)) (双条件等价式)
((p∨q)∧(q∨p)) (条件等价式)
(p∧q)∨(q∧p) (德·摩根律)
((p∧q)∨q)∧((p∧q)∨p) (分配律)
(p∨q)∧(q∨p) (分配律)
(p∨q)∧(q∨p) (交换律)
(p→q)∧(q→p) (条件等价式)
p?q (双条件等价式)
⑷p→(q→r)
p∨(q∨r) (条件等价式)
(p∨q)∨r (结合律)
(p∧q)∨r (德·摩根律)
(p∧q)→r (条件等价式)
⑸p→(q→p)
p∨(q∨p) (条件等价式) T
p→(p→q)
p∨(p∨q) (条件等价式) T
所以p→(q→p)p→(p→q)
⑹(p?q)
((p∧q)∨(p∧q)) (例1.17)
(p∨q)∧(p∨q) (德·摩根律) (p∨q)∧(p∧q) (德·摩根律)所以(p?q)(p∨q)∧(p∧q)
⑺(p?q)
((p→q)∧(q→p)) (双条件等价式) ((p∨q)∧(q∨p)) (条件等价式) (p∧q)∨(p∧q) (德·摩根律)⑻p→(q∨r)
p∨(q∨r) (条件等价式) (p∨q)∨r (结合律)
(p∧q)∨r (德·摩根律) (p∧q)→r (条件等价式)
6.试用真值表证明下列命题定律。
⑴结合律：(p∨q)∨r p∨(q∨r)，(p∧q)∧r p∧(q∧r)
证明：证明结合律的真值表如表1.37和表1.38所示。
表1.37
p q r p∨q (p∨q)∨r q∨r p∨(q∨r)
000 0 0 00
0 0 1 0 1 11
0101111
0111111
1001101
1011111
1 1 0 1 1 11
1 1 1 1 1 11
表1.38
p q r p∧q (p∧q)∧r q∧r p∧(q∧r)
0000000
0010000
0100000
0110010
1000000
1010000
1101000
1111111
由真值表可知结合律成立。
⑵分配律：p∧(q∨r)(p∧q)∨(p∧r)，
p∨(q∧r)(p∨q)∧(p∨r)
证明：证明合取对析取的分配律的真值表如表1.39所示，析取对合取的的分配律的真值表如表1.40所示。
表1.39
p q r q∨r p∧(q∨r) p∧q p∧r (p∧q)∨(p∧r)
000 0 0 000
0 0 1 1 0 000
01010000
01110000
10000000
10111011
1 1 0 1 1 101
1 1 1 1 1 111
表1.40
p q r q∧r p∨(q∧r) p∨q p∨r (p∨q)∧(p∨r)
00000000
00100010
01000100
01111111
10001111
10101111
11001111
11111111
由真值表可知分配律成立。
⑶假言易位式：p→q q→p
证明：证明假言易位式的真值表如表1.41所示。
表1.41
p q p→q q p q→p
001111
011011
100100
111001
由真值表可知假言易位律成立。
⑷双条件否定等价式：p?q p?q
证明：证明双条件否定的真值表如表1.42所示。
表1.42
p q p?q p q p?q
001111
010100
100010
111001
由真值表可知双条件否定等价式成立。
习题 1.4
1.用真值表或等价演算判断下列命题公式的类型。
⑴(p∨q)→q
(p∨q)∨q （条件等价式）
(p∧q)∨q （德·摩根律）
q （可满足式）（吸收律）
⑵(p→q)∧q
(p∨q)∧q （条件等价式）
(p∧q)∧q （德·摩根律）
F（永假式）（结合律、矛盾律）⑶(p→q)∧p→q
(p∨q)∧p→q （条件等价式）
(p∧p)∨(q∧p)→q （分配律）
(q∧p)→q （同一律、矛盾律）(q∧p)∨q （条件等价式）
(q∨p)∨q （德·摩根律）
T(永真式) （零律、排中律）⑷(p→q)∧q
(p∨q)∧q （条件等价式）
q（可满足式）（吸收律）
⑸(p→q)→(q→p)
(p→q)→(p→q) （假言易位式）
T(永真式)
⑹((p→q)∧(q→r))→(p→r)
((p∨q)∧(q∨r))∨(p∨r) （条件等价式）
(p∧q)∨(q∧r)∨(p∨r) （德·摩根律）
(p∧q)∨((p∨q∨r)∧(p∨r∨r)) （分配律）
(p∧q)∨(p∨q∨r) （同一律、排中律、零律）(p∨q∨r∨p)∧(p∨q∨r∨q) （分配律）
T(永真式)
⑺p→(p→q)
p∨(p∨q) （条件等价式）
T(永真式)
⑻p→(p∨q∨r)
p∨(p∨q∨r) （条件等价式）
T(永真式)
2.用真值表证明下列命题公式是重言式。
⑴(p∧(p→q))→q
(p∧(p→q))→q的真值表如表1.43所示。由表1.43可以看出(p∧(p→q))→q是重言式。
表1.43
p q
p→q p∧(p→q) (p∧(p→q))→
q
00101
01101
10001
11111
⑵(q∧(p→q))→p
(q∧(p→q))→p的真值表如表1.44所示。由表1.44可以看出(q∧(p→q))→p是重言式。
表1.44
p q
p→q q q∧(p→
q) p
(q∧(p→q))→
p
0011111
0110011
1001001
1110001
⑶(p∧(p∨q))→q
(p∧(p∨q))→q的真值表如表1.45所示。由表1.45可以看出(p∧(p∨q))→q 是重言式。
表1.45
p p∧(p∨
q) (p∧(p∨q))→q
⑷((p→q)∧(q→r))→(p→r)
((p→q)∧(q→r))→(p→r)的真值表如表1.46所示。由表1.46可以看出((p→q)∧(q→r))→(p→r)是重言式。
表1.46
⑸((p∨q)∧(p→r)∧(q→r))→r
((p∨q)∧(p→r)∧(q→r))→r的真值表如表1.47所示。由表1.47可以看出((p∨q)∧(p→r)∧(q→r))→r是重言式。
表1.47
⑹((p→q)∧(r→s))→((p∧r)→(q∧s))
((p→q)∧(r→s))→((p∧r)→(q∧s))的真值表如表1.48所示。由表1.48可以看出((p→q)∧(r→s))→((p∧r)→(q∧s))是重言式。
表1.48
11001110011
11011110111
11101001001
11111111111
⑺((p?q)∧(q?r))→(p?r)
((p?q)∧(q?r))→(p?r)的真值表如表1.49所示。由表1.49可以看出((p?q)∧(q?r))→(p?r)是重言式。
表1.49
p q r p?q q?r(p?q)∧(q?r)p?r((p?q)∧(q?r))→(p?r)
00011111
00110001
01000011
01101001
10001001
10100011
11010001
11111111
3. 用等价演算证明题2中的命题公式是重言式。
⑴(p∧(p→q))→q
(p∧(p∨q))∨q
(p∨(p∧q))∨q
((p∨p)∧(p∨q))∨q
(p∨q)∨q
T
⑵(q∧(p→q))→p
(q∧(p∨q))→p
(q∧(p∨q))∨p
(q∨(p∧q))∨p
(p∨q)∨(p∧q)
(p∧q)∨(p∧q)
T
⑶(p∧(p∨q))→q
(p∧q)→q
(p∧q)∨q
p∨q∨q
T
⑷((p→q)∧(q→r))→(p→r)
((p∨q)∧(q∨r))∨(p∨r)
(p∧q)∨(q∧r)∨(p∨r)
(p∧q)∨((p∨q∨r)∧(p∨r∨r))
(p∧q)∨(p∨q∨r)
(p∨q∨r∨p)∧(p∨q∨r∨q)
T
⑸((p∨q)∧(p→r)∧(q→r))→r
((p∨q)∧(p∨r)∧(q∨r))→r
((p∨q)∧((p∨q)∨r))→r
((p∨q)∧r)→r
((p∨q)∧r)∨r
(p∨q)∨r∨r
T
⑹((p→q)∧(r→s))→((p∧r)→(q∧s))
((p∨q)∧(r∨s))∨((p∧r)∨(q∧s))
((p∧q)∨(r∧s))∨((p∨r)∨(q∧s))
((p∧q)∨(r∧s))∨((p∨r∨q)∧(p∨r∨s))
((p∧q)∨(r∧s)∨(p∨r∨q))∧((p∧q)∨(r∧s)∨(p∨r∨s))
((r∧s)∨((p∨r∨q∨p)∧(p∨r∨q∨q)))∧((r∧s)∨
((p∨r∨s∨p)∧(p∨r∨s∨q)))
((r∧s)∨T)∧((r∧s)∨(p∨q∨r∨s))
(r∧s)∨(p∨q∨r∨s)
(p∨q∨r∨s∨r)∧(p∨q∨r∨s∨s)
T
⑺((p?q)∧(q?r))→(p?r)
((p∨q)∧(q∨p)∧(q∨r)∧(r∨q))→(p?r)
((p∨q)∧(q∨p)∧(q∨r)∧(r∨q))∨(p∧r)∨(p∧r)
(p∧q)∨(p∧r)∨(r∧q)∨(q∧r)∨(q∧p)∨(p∧r)
((p∧(q∨r))∨(q∨r))∨(r∧q)∨(q∧p)∨(p∧r)
(((q∨r)∨(q∨r))∧(p∨(q∨r)))∨(r∧q)∨(q∧p)∨(p∧r)
(T∧(p∨(q∨r)))∨(r∧q)∨(q∧p)∨(p∧r)
p∨(q∧r)∨(r∧q)∨(q∧p)∨(p∧r)
p∨(q∧r)∨((q∧p)∨(p∧r))∨(r∧q)
p∨(q∧r)∨((p∧(q∨r))∨(q∨r))
p∨(q∧r)∨p∨(q∧r)
T
4.证明下列等价式：
⑴((p→r)∧(q→r))
(p∨r)∧(q∨r)
(p∧q)∨r
(p∨q)∨r
(p∨q)→r
⑵(p→q)∧(p→q)
(p∨q)∧(p∨q)
p∨(q∧q)
p∨F
p
⑶p∧(p→q)
p∧(p∨q)
(p∧p)∨(p∧q)
F∨(p∧q)
p∧q
习题 1.5
1.求下列命题公式的析取范式。
⑴(p∧q)→r
(p∧q)∨r
p∨q∨r
⑵(p→q)→r
(p∨q)∨r
(p∨q)∨r
p∨q∨r
⑶p∧(p→q)
p∧(p∨q)
(p∧p)∨(p∧q)
p∧q
⑷(p→q)∧(q∨r)
(p∨q)∧(q∨r)
离散数学作业7 离散数学数理逻辑部分形成性考核书面作业 本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。本次形考书面作业是第三次作业，大家要认真及时地完成数理逻辑部分的综合练习作业。 要求：将此作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，要求2010年12月19日前完成并上交任课教师（不收电子稿）。并在07任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮，以便教师评分。 一、填空题 1．命题公式()P Q P →∨的真值是 1 ． 2．设P ：他生病了，Q ：他出差了．R ：我同意他不参加学习. 则命题“如果他生病或出差了，我就同意他不参加学习”符号化的结果为 (PQ)R ． 3．含有三个命题变项P ，Q ，R 的命题公式PQ 的主析取范式是 (PQR) (PQR) ． 4．设P(x)：x 是人，Q(x)：x 去上课，则命题“有人去上课．” 可符号化为 (x)(P(x) →Q(x)) ． 5．设个体域D ＝{a, b},那么谓词公式)()(y yB x xA ?∨?消去量词后的等值式为 (A(a) A(b)) (B(a) B(b)) ． 6．设个体域D ＝{1, 2, 3}，A(x)为“x 大于3”，则谓词公式(x)A(x) 的真值为 ． 7．谓词命题公式(x)((A(x)B(x)) C(y))中的自由变元为 ． 8．谓词命题公式(x)(P(x) Q(x) R(x ，y))中的约束变元为 X ． 三、公式翻译题 1．请将语句“今天是天晴”翻译成命题公式． 1．解：设P ：今天是天晴； 则 P ． 2．请将语句“小王去旅游，小李也去旅游．”翻译成命题公式． 解：设P ：小王去旅游，Q ：小李去旅游， 则 PQ ． 3．请将语句“如果明天天下雪，那么我就去滑雪”翻译成命题公式． 解：设P:明天天下雪 。 Q:我去滑雪 则 P Q ． 4．请将语句“他去旅游，仅当他有时间．”翻译成命题公式． 7．解：设 P ：他去旅游，Q ：他有时间， 则 P Q ． 5．请将语句 “有人不去工作”翻译成谓词公式． 11．解：设P(x)：x 是人，Q(x)：x 去工作，
《离散数学》题库答案 一、选择或填空 (数理逻辑部分) 1、下列哪些公式为永真蕴含式？( ) (1)?Q=>Q →P (2)?Q=>P →Q (3)P=>P →Q (4)?P ∧(P ∨Q)=>?P 答:(1),(4) 2、下列公式中哪些就是永真式？( ) (1)(┐P ∧Q)→(Q →?R) (2)P →(Q →Q) (3)(P ∧Q)→P (4)P →(P ∨Q) 答:(2),(3),(4) 3、设有下列公式,请问哪几个就是永真蕴涵式?( ) (1)P=>P ∧Q (2) P ∧Q=>P (3) P ∧Q=>P ∨Q (4)P ∧(P →Q)=>Q (5) ?(P →Q)=>P (6) ?P ∧(P ∨Q)=>?P 答:(2),(3),(4),(5),(6) 4、公式?x((A(x)→B(y,x))∧ ?z C(y,z))→D(x)中,自由变元就是( ),约束变元就是( )。 答:x,y, x,z 5、判断下列语句就是不就是命题。若就是,给出命题的真值。( ) (1) 北京就是中华人民共与国的首都。 (2) 陕西师大就是一座工厂。 (3) 您喜欢唱歌不？ (4) 若7+8＞18,则三角形有4条边。 (5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！ 答:(1) 就是,T (2) 就是,F (3) 不就是 (4) 就是,T (5) 不就是 (6) 不就是 6、命题“存在一些人就是大学生”的否定就是( ),而命题“所有的人都就是要死的”的否定就是( )。 答:所有人都不就是大学生,有些人不会死 7、设P:我生病,Q:我去学校,则下列命题可符号化为( )。 (1) 只有在生病时,我才不去学校 (2) 若我生病,则我不去学校 (3) 当且仅当我生病时,我才不去学校(4) 若我不生病,则我一定去学校 答:(1) P Q →? (2) Q P ?→ (3) Q P ?? (4)Q P →? 8、设个体域为整数集,则下列公式的意义就是( )。 (1) ?x ?y(x+y=0) (2) ?y ?x(x+y=0) 答:(1)对任一整数x 存在整数 y 满足x+y=0(2)存在整数y 对任一整数x 满足x+y=0 9、设全体域D 就是正整数集合,确定下列命题的真值: (1) ?x ?y (xy=y) ( ) (2) ?x ?y(x+y=y) ( ) (3) ?x ?y(x+y=x) ( ) (4) ?x ?y(y=2x) ( ) 答:(1) F (2) F (3)F (4)T 10、设谓词P(x):x 就是奇数,Q(x):x 就是偶数,谓词公式 ?x(P(x)∨Q(x))在哪个个体域中为真?( ) (1) 自然数 (2) 实数 (3) 复数 (4) (1)--(3)均成立 答:(1) 11、命题“2就是偶数或-3就是负数”的否定就是( )。 答:2不就是偶数且-3不就是负数。 12、永真式的否定就是( ) (1) 永真式 (2) 永假式 (3) 可满足式 (4) (1)--(3)均有可能
#include
N=N/2; } while(!Empty(S)) { Pop(S,&e); printf("%d ",e); } } void main() { int n; printf("请输入待转换的值n：\n"); scanf ("%d",&n); conversion(n); }习题 1.判断下列语句是否是命题，为什么？若是命题，判断是简单命题还是复合命题？ (1)离散数学是计算机专业的一门必修课。 (2)李梅能歌善舞。 (3)这朵花真美丽！ (4)３＋２＞６。 (5)只要我有时间，我就来看你。 (6)x＝５。 (7)尽管他有病，但他仍坚持工作。 (8)太阳系外有宇宙人。 (9)小王和小张是同桌。 (10)不存在最大的素数。 解在上述10个句子中，(3)是感叹句，因此它不是命题。(6)虽然是陈述句，但它没有确定的值，因此它也不是命题。其余语句都是可判断真假的陈述句，所以都是命题。其中：(1)、(4) 、(8) 、(9) 、是简单命题，、(2) 、(5) 、(7)、(10) 是复合命题。 2.判断下列各式是否是命题公式，为什么？ (1)(P→(P∨Q))。 (2)(?P→Q)→(Q→P)))。 (3)((?P→Q)→(Q→P))。 (4)(Q→R∧S)。 (5)(P∨QR)→S。 (6)((R→(Q→R)→(P→Q))。 解 (1)是命题公式。 (2)不是命题公式，因为括号不配对。 (3)是命题公式。 (4)是命题公式。
数理逻辑部分 选择、填空及判断 ?下列语句不就是命题的( A )。 (A) 您打算考硕士研究生不？ (B) 太阳系以外的星球上有生物。 (C) 离散数学就是计算机系的一门必修课。 (D) 雪就是黑色的。 ?命题公式P→(P∨?P)的类型就是( A ) (A) 永真式(B) 矛盾式 (C) 非永真式的可满足式(D) 析取范式 ?A就是重言式,那么A的否定式就是( A ) A、矛盾式 B、重言式 C、可满足式 D、不能确定 ?以下命题公式中,为永假式的就是( C ) A、p→(p∨q∨r) B、(p→┐p)→┐p C、┐(q→q)∧p D、┐(q∨┐p)→(p∧┐p) ?命题公式P→Q的成假赋值就是( D ) A、 00,11 B、 00,01,11 C、10,11 D、 10 ?谓词公式) x xP∧ ?中,变元x就是 ( B ) R , ( x ) (y A、自由变元 B、既就是自由变元也就是约束变元 C、约束变元 D、既不就是自由变元也不就是约束变元 ?命题公式P→(Q∨?Q)的类型就是( A )。 (A) 永真式 (B) 矛盾式 (C) 非永真式的可满足式 (D) 析取范式 ?设B不含变元x,) x x→ ?等值于( A ) A ) ( (B A、B (D、B x xA→ x ?) ( ( ?C、B x∧ A ?) (B、) ?) xA→ x ) ( A x (B x∨ ?下列语句中就是真命题的就是( D )。 A.您就是杰克不？ B.凡石头都可练成金。 C.如果2+2=4,那么雪就是黑的。 D.如果1+2=4,那么雪就是黑的。 ?从集合分类的角度瞧,命题公式可分为( B ) A、永真式、矛盾式 B、永真式、可满足式、矛盾式 C、可满足式、矛盾式 D、永真式、可满足式 ?命题公式﹁p∨﹁q等价于( D )。 A、﹁p∨q B、﹁(p∨q) C、﹁p∧q D、 p→﹁q ?一个公式在等价意义下,下面写法唯一的就是( D )。 (A) 范式 (B) 析取范式 (C) 合取范式 (D) 主析取范式 ?下列含有命题p,q,r的公式中,就是主析取范式的就是( D )。
离散数学作业7 离散数学数理逻辑部分形成性考核书面作业 本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、 数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型(除单项选择题外) 安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。本次形考书面作业是第三次作业，大家要认真及时地完成数理逻辑部分的综合练习作业。 要求：将此作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，要求本学期第17周末前完成并上交任课教师(不收电子稿)。并在07任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮，以便教师评分。 一、填空题 1 .命题公式P (Q P)的真值是T或1 ______ . 2?设P:他生病了，Q:他出差了. R:我同意他不参加学习.则命题“如果他生病或出差了，我就同意他不参加学习”符号化的结果为(P V Q)-R 3. ____________________________________________________________ 含有三个命题变项P，Q，R的命题公式P Q的主析取范式是__________________ _(P Q R) (P Q R)_ 4. 设P(x): x是人，Q(x): x去上课，则命题“有人去上课.” 可符号化为— x(P(x) Q(x))_ 5. 设个体域D = {a, b},那么谓词公式xA(x) yB(y)消去量词后的等值式为 (A(a) A(b)) (B(a) B(b))_ 6 .设个体域D = {1,2, 3}，A(x)为“x大于3”，则谓词公式(x)A(x)的真值为F 或0 ________________ . 7.谓词命题公式(x)((A(x) B(x)) C(y))中的自由变元为 ________ . 8 .谓词命题公式(x)(P(x) Q(x) R(x，y))中的约束变元为x _______ . 三、公式翻译题 1 .请将语句“今天是天晴”翻译成命题公式
《离散数学》题库与答案 一、选择或填空 （数理逻辑部分） 1、下列哪些公式为永真蕴含式？( A ) (1)?Q=>Q→P (2)?Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)?P∧(P∨Q)=>?P 答：在第三章里面有公式（1）是附加律，（4）可以由第二章的蕴含等值式求出（注意与吸收律区别） 2、下列公式中哪些是永真式？( ) (1)(┐P∧Q)→(Q→?R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P (4)P→(P∨Q) 答：（2），（3），（4）可用蕴含等值式证明 3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( ) (1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q (4)P∧(P→Q)=>Q (5) ?(P→Q)=>P (6) ?P∧(P∨Q)=>?P 答：（2）是第三章的化简律，（3）类似附加律，（4）是假言推理，（3），（5），（6）都可以用蕴含等值式来证明出是永真蕴含式 4、公式x((A(x)B(y，x))z C(y，z))D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。 答：x,y, x,z（考察定义在公式x A和x A中，称x为指导变元，A为量词的辖域。在x A和x A的辖域中，x的所有出现都称为约束出现，即称x为约束变元，A中不是约束出现的其他变项则称为自由变元。于是A(x)、B(y，x)和z C(y，z)中y为自由变元，x和z为约束变元，在D(x)中x为自由变元） 5、判断下列语句是不是命题。若是，给出命题的真值。( )
(1)北京是中华人民共和国的首都。(2) 陕西师大是一座工厂。 (3) 你喜欢唱歌吗？(4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。 (5) 前进！(6) 给我一杯水吧！ 答：（1）是，T （2）是，F （3）不是（4）是，T （5）不是（6）不是（命题必须满足是陈述句，不能是疑问句或者祈使句。） 6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。 答：所有人都不是大学生，有些人不会死（命题的否定就是把命题前提中的量词“换成存在，换成”，然后将命题的结论否定，“且变或或变且”） 7、设P：我生病，Q：我去学校，则下列命题可符号化为( )。 (1) 只有在生病时，我才不去学校(2) 若我生病，则我不去学校 (3) 当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校答：（1）P ?（注意“只有……才……”和“除非……就……”两者都是一个 Q→ 形式的）（2）Q P→ ? P? ?（4）Q P? →（3）Q 8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。 (1) x y(x+y=0) (2) y x(x+y=0) 答：（1）对任一整数x存在整数y满足x+y=0 （2）存在整数y对任一整数x满足x+y=0 9、设全体域D是正整数集合，确定下列命题的真值： (1) x y (xy=y) ( ) (2) x y(x+y=y) ( ) (3) x y(x+y=x) ( ) (4) x y(y=2x) ( ) 答：（1）F (反证法：假若存在，则（x- 1）*y=0 对所有的x都成立，显然这个与前提条件相矛盾) （2）F （同理）（3）F （同理）（4）T（对任一整数x存在整数y满足条件y=2x 很明显是正确的）
第一章习题 1.1&1.2 判断下列语句是否为命题,若是命题请指出是简单命题还 是复合命题.并将命题符号化,并讨论它们的真值. (1) √2是无理数. 是命题,简单命题.p:√2是无理数.真值:1 (2) 5能被2整除. 是命题,简单命题.p:5能被2整除.真值:0 (3)现在在开会吗? 不是命题. (4)x+5>0. 不是命题. (5) 这朵花真好看呀! 不是命题. (6) 2是素数当且仅当三角形有3条边. 是命题,复合命题.p:2是素数.q:三角形有3条边.p?q真值:1 (7) 雪是黑色的当且仅当太阳从东方升起. 是命题,复合命题.p:雪是黑色的.q:太阳从东方升起. p?q真值:0 (8) 2008年10月1日天气晴好. 是命题,简单命题.p:2008年10月1日天气晴好.真值唯 一. (9) 太阳系以外的星球上有生物. 是命题,简单命题.p:太阳系以外的星球上有生物.真值唯一. (10) 小李在宿舍里. 是命题,简单命题.P:小李在宿舍里.真值唯一. (11) 全体起立! 不是命题. (12) 4是2的倍数或是3的倍数. 是命题,复合命题.p:4是2的倍数.q:4是3的倍数.p∨q 真值:1 (13) 4是偶数且是奇数.
是命题,复合命题.P:4是偶数.q:4是奇数.p∧q真值:0 (14) 李明与王华是同学. 是命题,简单命题.p: 李明与王华是同学.真值唯一. (15) 蓝色和黄色可以调配成绿色. 是命题,简单命题.p: 蓝色和黄色可以调配成绿色.真值:1 1.3 判断下列各命题的真值. (1)若 2+2=4,则 3+3=6. (2)若 2+2=4,则 3+3≠6. (3)若 2+2≠4,则 3+3=6. (4)若 2+2≠4,则 3+3≠6. (5)2+2=4当且仅当3+3=6. (6)2+2=4当且仅当3+3≠6. (7)2+2≠4当且仅当3+3=6. (8)2+2≠4当且仅当3+3≠6. 答案: 设p:2+2=4,q:3+3=6,则p,q都是真命题. (1)p→q,真值为1. (2)p→┐q,真值为0. (3)┐p→q,真值为1. (4)┐p→┐q,真值为1. (5)p?q,真值为1. (6)p?┐q,真值为0. (7)┐p?q,真值为0. (8)┐p?┐q,真值为1. 1．4将下列命题符号化，并讨论其真值。 （1）如果今天是1号，则明天是2号。 p:今天是1号。 q:明天是2号。 符号化为：p→q 真值为：1 （2）如果今天是1号，则明天是3号。 p:今天是1号。
试卷二试题与参考答案 一、填空 1、 P:您努力,Q:您失败。 2、 “除非您努力,否则您将失败”符号化为 ; “虽然您努力了,但还就是失败了”符号化为 。 2、论域D={1,2},指定谓词P P (1,1) P (1,2) P (2,1) P (2,2) T T F F 则公式x ??真值为 。 3设A={2,3,4,5,6}上的二元关系}|,{是质数x y x y x R ∨<><=,则 R= (列举法)。 R 的关系矩阵M R = 。 4、设A={1,2,3},则A 上既不就是对称的又不就是反对称的关系 R= ;A 上既就是对称的又就是反对称的关系R= 。 5、设代数系统
二、选择 1、在下述公式中就是重言式为( ) A.)()(Q P Q P ∨→∧; B.))()(()(P Q Q P Q P →∧→??; C.Q Q P ∧→?)(; D.)(Q P P ∨→。 2、命题公式 )()(P Q Q P ∨?→→? 中极小项的个数为( ),成真赋值的个数为 ( )。 A.0; B.1; C.2; D.3 。 3、设}}2,1{},1{,{Φ=S ,则 S 2 有( )个元素。 A.3; B.6; C.7; D.8 。 4、设} 3 ,2 ,1 {=S ,定义S S ?上的等价关系 },,,, | ,,,{c b d a S S d c S S b a d c b a R +=+?>∈∈<><><<=则由 R 产 生的S S ?上一个划分共有( )个分块。 A.4; B.5; C.6; D.9 。 5、设} 3 ,2 ,1 {=S ,S 上关系R 的关系图为 则R 具有( )性质。 A.自反性、对称性、传递性; B.反自反性、反对称性; C.反自反性、反对称性、传递性; D.自反性 。 6、设 ο,+ 为普通加法与乘法,则( )>+<ο,,S 就是域。 A.},,3|{Q b a b a x x S ∈+== B.},,2|{Z b a n x x S ∈== C.},12|{Z n n x x S ∈+== D.}0|{≥∧∈=x Z x x S = N 。 7、下面偏序集( )能构成格。
第二章命题逻辑 §2.2 主要解题方法 2.2.1 证明命题公式恒真或恒假 主要有如下方法： 方法一.真值表方法。即列出公式的真值表，若表中对应公式所在列的每一取值全为1，这说明该公式在它的所有解释下都是真，因此是恒真的；若表中对应公式所在列的每
一取值全为0，这说明该公式在它的所有解释下都为假，因此是恒假的。 真值表法比较烦琐，但只要认真仔细，不会出错。 例2.2.1 说明G= (P∧Q→R)∧(P→Q)→(P→R)是恒真、恒假还是可满足。 解：该公式的真值表如下： 表2.2.1 由于表2.2.1中对应公式G所在列的每一取值全为1，故
G恒真。 方法二.以基本等价式为基础，通过反复对一个公式的等价代换，使之最后转化为一个恒真式或恒假式，从而实现公式恒真或恒假的证明。 例2.2.2 说明G= ((P→R) ∨? R)→ (? (Q→P) ∧ P)是恒真、恒假还是可满足。 解：由(P→R) ∨? R=?P∨ R∨? R=1，以及 ? (Q→P) ∧ P= ?（?Q∨ P）∧ P = Q∧? P∧ P=0 知，((P→R) ∨? R)→ (? (Q→P) ∧ P)=0，故G恒假。 方法三.设命题公式G含n个原子，若求得G的主析取范式包含所有2n个极小项，则G是恒真的；若求得G的主合取范式包含所有2n个极大项，则G是恒假的。 方法四. 对任给要判定的命题公式G，设其中有原子P1，P2，…，P n，令P1取1值，求G的真值，或为1，或为0，或成为新公式G1且其中只有原子P2，…，P n，再令P1取0值，求G真值，如此继续，到最终只含0或1为止，若最终结果全为1，则公式G恒真，若最终结果全为0，则公式G
本科高等数学离散数学试题及答案 一、填空题 1设集合A,B，其中A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B＝____________________; ρ(A) - ρ(B)＝__________________________ . 2. 设有限集合A, |A| = n, 则|ρ(A×A)| = __________________________. 3.设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是__________________________ _____________, 其中双射的是__________________________. 4. 已知命题公式G＝?(P→Q)∧R，则G的主析取范式是_______________________________ __________________________________________________________. 5.设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为__________，分枝点数为________________. 6设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A?B＝_________________________; A?B＝_________________________;A－B＝_____________________ . 7. 设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是______________________, ________________________, _______________________________. 8. 设命题公式G＝?(P→(Q∧R))，则使公式G为真的解释有__________________________，_____________________________, __________________________. 9. 设集合A＝{1,2,3,4}, A上的关系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R1 = {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则 R1?R2 = ________________________,R2?R1 =____________________________, R12 =________________________. 10. 设有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 则| |ρ(A?B)| = _____________________________. 11设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A = {x | -1≤x≤1, x∈R}, B = {x | 0≤x < 2, x∈R},则A-B = __________________________ , B-A = __________________________ , A∩B = __________________________ , . 13.设集合A＝{2, 3, 4, 5, 6}，R是A上的整除，则R以集合形式(列举法)记为___________ _______________________________________________________. 14. 设一阶逻辑公式G = ?xP(x)→?xQ(x)，则G的前束范式是__________________________ _____. 15.设G是具有8个顶点的树，则G中增加_________条边才能把G变成完全图。
第一章部分课后习题参考答案 16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。 （1）p∨(q∧r)0∨(0∧1) 0 （2）（p?r）∧(﹁q∨s) （0?1）∧(1∨1) 0∧10. （3）（p∧q∧r）?(p∧q∧﹁r) （1∧1∧1）? (0∧0∧0)0 (4)（r∧s）→(p∧q) （0∧1）→(1∧0) 0→0 1 17．判断下面一段论述是否为真：“是无理数。并且，如果3是无理数，则也是无理数。另外6能被2整除，6才能被4整除。” 答：p: 是无理数 1 q: 3是无理数0 r: 是无理数 1 s:6能被2整除 1 t: 6能被4整除0 命题符号化为：p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。 19．用真值表判断下列公式的类型： （4）(p→q) →(q→p) （5）(p∧r) (p∧q) （6）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r) 答：（4） p q p→q q p q→p (p→q)→(q→p) 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 所以公式类型为永真式 （5）公式类型为可满足式（方法如上例） （6）公式类型为永真式（方法如上例） 第二章部分课后习题参考答案 3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值. (1) (p∧q→q) (2)(p→(p∨q))∨(p→r) (3)(p∨q)→(p∧r) 答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)(p∨(p∨q))∨(p∨r)p∨p∨q∨r1
所以公式类型为永真式 (3)P q r p∨q p∧r （p∨q）→(p∧r) 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 所以公式类型为可满足式 4.用等值演算法证明下面等值式： (2)(p→q)∧(p→r)(p→(q∧r)) (4)(p∧q)∨(p∧q)(p∨q) ∧(p∧q) 证明（2）(p→q)∧(p→r) (p∨q)∧(p∨r) p∨(q∧r)) p→(q∧r) （4）(p∧q)∨(p∧q)(p∨(p∧q)) ∧(q∨(p∧q) (p∨p)∧(p∨q)∧(q∨p) ∧(q∨q) 1∧(p∨q)∧(p∧q)∧1 (p∨q)∧(p∧q) 5.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值 (1)(p→q)→(q∨p) (2)(p→q)∧q∧r (3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r) 解： （1）主析取范式 (p→q)→(q p) (p q)(q p) (p q)(q p) (p q)(q p)(q p)(p q)(p q) (p q)(p q)(p q) ∑(0,2,3) 主合取范式： (p→q)→(q p) (p q)(q p)
作业参考答案——10-特殊图 1.(a)(c)(d)是欧拉图，(a)(b)(c)(d)(e)可以一笔画，(a)(b)(c)(d)(e)(f)(g)是 哈密顿图。 2.根据给定条件建立一个无向图G=
数至少为2，而V2中的每个结点度数至多为2，从而它满足t条件t=1，因此存在从V1到V2的匹配，故可分配。 5.此平面图具有五个面，如下图所示。 a b c d e f g r1r2 r3 r4 r5 ?r1，边界为abca，D(r1)=3; ?r2，边界为acga，D(r2)=3; ?r3，边界为cegc，D(r3)=3; ?r4，边界为cdec，D(r4)=3; ?r5，边界为abcdefega，D(r5)=8;无限面 6.设该连通简单平面图的面数为r，由欧拉公式可得，6?12+r=2，所以 r=8，其8个面分别设为r1,r2,r3,r4,r5,r6,r7,r8。因是简单图，故每个面至少由3条边围成。只要有一个面是由多于3条边所围成的，那就有所有面的次数之和 8∑ i=1 D(r i)>3×8=24。但是，已知所有面的次数之和等于边数的两倍，即2×12=24。因此每个面只能由3条边围成。 2
《离散数学》期末复习题 一、填空题（每空2分，共20分） 1、集合A上的偏序关系的三个性质是、 和。 2、一个集合的幂集是指。 3、集合A={b,c}，B={a,b,c,d,e}，则A?B= 。 4、集合A={1,2,3,4}，B={1,3,5,7,9}，则A?B= 。 5、若A是2元集合, 则2A有个元素。 6、集合A={1,2,3｝，A上的二元运算定义为：a* b = a和b两者的最大值，则 2*3= 。 7、设A={a, b,c,d }, 则∣A∣= 。 8、对实数的普通加法和乘法，是加法的幂等元， 是乘法的幂等元。 9、设a,b,c是阿贝尔群
19、代数系统是指由及其上的或 组成的系统。 20、设
P10 1对下面每个集合，判断2和{2}是否它的一个元素。 (1){x∈R | x是大于1的整数} (2){x∈R | x是某些整数的平方} (3){2, {2}} (4){{2},{{2}}} (5){{2}, {2,{2}}} (6){{{2}}} 解： {2}是(3)，(4)，(5)的元素。2是(1)，(3)的元素。 3 下列哪些命题成立？哪些不成立？为什么？ （1）φ∈{φ,{φ}} （2）φ?{φ,{φ}} （3）{φ}?{φ,{φ}} （4）{{φ}}?{φ,{φ}} 解： （1）成立 （2）成立 （3）成立 （4）成立 5 设A集合={a,b,{a,b},φ}。下列集合由哪些元素组成？ (1)A-{a,b}; (2){{a.b}}-A; (3){a,b}-A; (4)A--φ; (5)φ-A; (6)A-{φ}. 解： (1){{a,b},φ} (2)φ (3)φ (4) A (5)φ (6){a,b,{a,b}} 6 假定A是ECNU二年级的学生集合，B是ECNU必须学离散数学的学生的集合。请用A 和B表示ECNU不必学习离散数学的二年级的学生的集合。 解：A∩B 7 设A,B和C是任意集合，判断下列命题是否成立，并说明理由。
(1)若A?B,C?D，则A∪C?B∪D,A∩C?B∩D； (2)若ADB,CDD，则A∪CDB∪D,A∩CDB∩D； (3)若A∪B=A∪C，则B=C； (4)若A∩B=A∩C，则B=C； 解： (1)成立 (2)不一定成立 (3)不一定成立 (4)不一定成立 11（5）设A、B和C是集合，请给出(A-B)?(A-C)=φ成立的充要条件。解：错误！未找到引用源。A?B∪C 13试求： (1)P(φ); (2)P(P(φ)); (3)P({φ,a,{a}}) 解： (1){φ} (2){φ，{φ}} (3){φ，{φ}，{a}，{{a}}} 15 设A是集合，下列命题是否必定成立? （1）A∈P(A) （2）A?P(A) （3）{A}∈P(A) （4）{A}?P(A) 解： (1)成立 (2)不一定成立 (3)不一定成立 (4)成立 18设A＝{a,b}，B={b,c},下列集合由哪些元素组成？ (1)A×{a}×B; (2)P(A)×B; (3)(B×B) ×B; 解： (1){(a,a,b),(a,a,c),(b,a,b),(b,a,c)} (2){(φ,c),(φ,b),({a},c),({a},b),({b},c),({b},b),({a,b},c),({a,b},b)} (3){((b,b),c),((b,b),b),((b,c),c),((b,c),b),((c,b),c),((c,b),b),((c,c),c),((c,c),b)} 19 设A是任意集合，A3=(A×A)×A=A×(A×A)是否成立？为什么？ 解：不成立。
离散数学试题及答案 一、填空题 1设集合A,B，其中A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B＝____________________; ρ(A) - ρ(B)＝__________________________ . 2. 设有限集合A, |A| = n, 则|ρ(A×A)| = __________________________. 3.设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是__________________________ _____________, 其中双射的是__________________________. 4. 已知命题公式G＝?(P→Q)∧R，则G的主析取范式是_______________________________ __________________________________________________________. 5.设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为__________，分枝点数为________________. 6设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A?B＝_________________________; A?B ＝_________________________;A－B＝_____________________ . 7. 设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是______________________, ________________________, _______________________________. 8. 设命题公式G＝?(P→(Q∧R))，则使公式G为真的解释有__________________________， _____________________________, __________________________. 9. 设集合A＝{1,2,3,4}, A上的关系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R1 = {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则 R1?R2 = ________________________,R2?R1 =____________________________, R12 =________________________. 10. 设有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 则| |ρ(A?B)| = _____________________________. 11设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A = {x | -1≤x≤1, x∈R}, B = {x | 0≤x < 2, x∈R},则A-B = __________________________ , B-A = __________________________ , A∩B = __________________________ , . 13.设集合A＝{2, 3, 4, 5, 6}，R是A上的整除，则R以集合形式(列举法)记为___________ _______________________________________________________. 14. 设一阶逻辑公式G = ?xP(x)→?xQ(x)，则G的前束范式是__________________________ _____. 15.设G是具有8个顶点的树，则G中增加_________条边才能把G变成完全图。
第一章 1.假定A是ECNU二年级的学生集合，B是ECNU必须学离散数学的学生的集合。请用A 和B表示ECNU不必学习离散数学的二年级的学生的集合。 2.试求： (1)P(φ) (2)P(P(φ)) (3)P(P(P(φ))) 3.在1~200的正整数中，能被3或5整除，但不能被15整除的正整数共有多少个？ 能被5整除的有40个， 能被15整除的有13个， ∴能被3或5整除，但不能被15整除的正整数共有 66-13+40-13=80个。 第三章 1.下列语句是命题吗？ (1)2是正数吗？ (2)x2+x+1=0。 (3)我要上学。 (4)明年2月1日下雨。 (5)如果股票涨了，那么我就赚钱。 2.请用自然语言表达命题(p?→r)∨(q?→r)，其中p、q、r为如下命题： p：你得流感了 q：你错过了最后的考试
3.通过真值表求p→(p∧(q→p))的主析取范式和主合取范式。 4.给出p→(q→s),q,p∨?r?r→s的形式证明。 第四章 1.将?x(C(x)∨?y(C(y)∧F(x,y)))翻译成汉语，其中C(x)表示x有电脑，F(x,y) 表示x和y是同 班同学，个体域是学校全体学生的集合。 解： 学校的全体学生要么自己有电脑，要么其同班同学有电脑。 2.构造?x(P(x)∨Q(x)),?x(Q(x)→?R(x)),?xR(x)??xP(x)的形式证明。 解： ①?xR(x) 前提引入 ②R(e) ①US规则 ③?x(Q(x)→?R(x)) 前提引入 ④Q(e) →?R(e) ③US规则 ⑤?Q (e) ②④析取三段论 ⑥?x(P(x)∨Q(x)) 前提引入 ⑦P(e) ∨Q(e) ⑥US规则 ⑧P(e) ⑤⑦析取三段论 ⑨?x (P(x)) ⑧EG规则 第五章
《离散数学》题库答案 一、选择或填空 （数理逻辑部分） 1、下列哪些公式为永真蕴含式？( ) (1)?Q=>Q →P (2)?Q=>P →Q (3)P=>P →Q (4)?P ∧(P ∨Q)=>?P 答：（1），（4） 2、下列公式中哪些是永真式？( ) (1)(┐P ∧Q)→(Q →?R) (2)P →(Q →Q) (3)(P ∧Q)→P (4)P →(P ∨Q) 答：（2），（3），（4） 3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( ) (1)P=>P ∧Q (2) P ∧Q=>P (3) P ∧Q=>P ∨Q (4)P ∧(P →Q)=>Q (5) ?(P →Q)=>P (6) ?P ∧(P ∨Q)=>?P 答：（2），（3），（4），（5），（6） 4、公式 x((A(x) B(y ，x)) z C(y ，z))D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。 答：x,y, x,z 5、判断下列语句是不是命题。若是，给出命题的真值。( ) (1) 北京是中华人民共和国的首都。 (2) 陕西师大是一座工厂。 (3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。 (5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！ 答：（1） 是，T （2） 是，F （3） 不是 （4） 是，T （5） 不是 （6） 不是 6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。 答：所有人都不是大学生，有些人不会死 7、设P ：我生病，Q ：我去学校，则下列命题可符号化为( )。 (1) 只有在生病时，我才不去学校 (2) 若我生病，则我不去学校 (3) 当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校 答：（1） P Q →? （2） Q P ?→ （3） Q P ?? （4）Q P →? 8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。 (1) x y(x+y=0) (2) y x(x+y=0) 答：（1）对任一整数x 存在整数 y 满足x+y=0（2）存在整数y 对任一整数x 满足x+y=0 9、设全体域D 是正整数集合，确定下列命题的真值： (1) x y (xy=y) ( ) (2) x y(x+y=y) ( ) (3) x y(x+y=x) ( ) (4) x y(y=2x) ( ) 答：（1） F （2） F （3）F （4）T 10、设谓词P(x)：x 是奇数，Q(x)：x 是偶数，谓词公式 x(P(x)Q(x))在哪个个体域中为真?( ) (1) 自然数 (2) 实数 (3) 复数 (4) (1)--(3)均成立 答：（1） 11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（ ）。 答：2不是偶数且-3不是负数。 12、永真式的否定是（ ） (1) 永真式 (2) 永假式 (3) 可满足式 (4) (1)--(3)均有可能 答：（2） 13、公式(?P ∧Q)∨(?P ∧?Q)化简为（ ），公式 Q →(P ∨(P ∧Q))可化简为（ ）。 答：?P ，Q →P