导数的几何意义、曲线的切线方程： 一、框架 1.命题分析：本题型在高考解答题主要是在第(1)问中出现，也有可能在选择题或填空题中出现，若为解答题，主要考点为：(1)导数的几何意义;(2)直线与函数图象相切的条件。 2.几何意义：函数()x f 在0x 处的导数就是曲线()x f y =在点()()00,x f x 处的切线的斜率，即斜率为()0'x f . 3.物理意义：函数()s f t =在0t 处的导数就是曲线()s f t =在0t 时刻的速度. 4.曲线)(x f y =上在点())(,00x f x 处的切线方程为))(()(00'0x x x f x f y -=-. 5.切线方程的求解方程问题： 第一步：判切点：求曲线的切线方程时先分清是“在点处”的切线方程还是“过点”的切线方程。切点已知直接求，切点未知设切点； 第二步：求斜率（导数）：通常若切点为())(,00x f x ，则在该点处曲线的斜率为()0'x f ； 第三步：用公式：所对应的曲线)(x f y =上在点())(,00x f x 处的切线方程为))(()(00'0x x x f x f y -=-。 6.利用切线方程（或切线的性质）判断参数的值（或取值范围） 第一步：求斜率（导数）：求出函数()x f y =在0=x x 处的导数()0'x f ，即函数()x f y =的图象在点 ())(,00x f x 处切线的斜率； 第二步：列关系式：根据已知条件，列出关于参数的关系式； 第三步：求解即可得出结论。 7.注意点：求曲线的切线方程时先分清是“在点处”的切线方程还是“过点”的切线方程。切点已知直接求，切点未知设切点。 二、方法诠释 类型一：在某点的切线方程 例1．求曲线y ＝x 3－2x ＋1在点(1,0)处的切线方程。 解： y ′＝3x 2－2，∴k ＝y ′|x ＝1＝3－2＝1，∴切线方程为y ＝x －1. 类型二：过某点(某点不在曲线上)的切线方程 例2．求过点(2,0)且与曲线y ＝x 3相切的直线方程． 解：点(2,0)不在曲线y ＝x 3上，可令切点坐标为(x 0，x 30)．由题意， 所求直线方程的斜率k ＝x 3 0－0x 0－2＝y ′|x ＝x 0＝3x 2 0，即x 30x 0－2 ＝3x 20，解得x 0＝0或x 0＝3. 当x 0＝0时，得切点坐标是(0,0)，斜率k ＝0，则所求直线方程是y ＝0； 当x 0＝3时，得切点坐标是(3,27)，斜率k ＝27，则所求直线方程是y －27＝27(x －3)， 即27x －y －54＝0. 综上，所求的直线方程为y ＝0或27x －y －54＝0. 类型三：过某点(某点在曲线上)的切线方程,例如例3的第(2)问 例3．(1)求曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 在原点(0,0)处的切线方程。 (2)求过原点(0,0)且与曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 相切的切线方程． 解：(1)f ′(x )＝3x 2－6x ＋2，设切线的斜率为k ，k ＝f ′(0)＝2，f (0)＝0，所求的切线方程为y ＝2x . (2)当切点是原点时k ＝f ′(0)＝2，f (0)＝0，所求的切线方程为y ＝2x . 当切点不是原点时，设切点是(x 0，y 0)(x 0≠0)，则有y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，k ＝f ′(x 0)＝3x 2 0－6x 0＋2，①又k ＝y 0x 0 ＝x 2 0－3x 0＋2，② 由①②得x 0＝32，k ＝y 0x 0＝－14. 所以所求曲线的切线方程为y ＝2x 或y ＝－14x . 三、巩固训练
圆的切点弦方程 222001.,(,)x y r M x y +=已知圆的方程求经过圆上一点的切线方程。 22220000(,)x y r M x y xx yy r +=+=【结论1】过圆上一点的切线方程:。 【方法】1.设出直线，再求解； 2.利用轨迹思想，用向量或平面几何知识求解。 【问题】对于坐标平面内任一点),(00y x M ，直线L ：200r y y x x =+与圆O ：222r y x =+究竟是什么关系呢下面我们进行探究： 一、当点M 在圆O 上时，直线L 是圆的切线。 二、当点M 在圆O 外时， 1.直线L 不是圆O 的切线，下面证明之： ∵圆心O 到L 的距离为2 22y x r d += ,由),(00y x M 在圆O 外,得r y x >+2 020 ∴ r d <，故直线L 与圆O 相交. 2.此时直线L 与过点M 的圆的切线又是什么关系呢 首先研究L 的特征： 易知：OM ⊥L 。 2 2 0r x = 2,OA ON OM ∴=?(N 为L 与OM 的交点) 从而OA ⊥MA ，MA 为圆的一条切线， 故直线L 为过点M 的圆的两条切线的两个切点所在的直线。 事实上（另证）， 如图1，设过点M 的圆O 的两条切线为L 1,L 2,切点分别为A 、B, 则直线MA:2 11r y y x x =+，直线MB:2 22r y y x x =+. ∵点M 的坐标),(00y x 满足直线MA 与MB 的方程,
∴?????=+=+2 01022 0101r y y x x r y y x x , 由此可见A 、B 的坐标均满足方程2 00r y y x x =+， 由于两点确定一条直线 ∴直线AB 的方程为2 00r y y x x =+。 所以此时的直线L 是经过点P 的切点弦AB 所在直线的方程，而不是圆O 的切线。 【注】上述点M 、直线L 实质上是射影几何中的极点和极线。 特别的，当M 在圆上时，极线即为切线。 三、当点M 在圆O 内时， 1.直线L 也不是圆O 的切线。下面给出证明： ∵圆心O 到L 的距离为2 22y x r d += ，由),(00y x M 在圆O 内,得r y x <+2 020 ∴ r d > 故直线L 与圆O 相离. 2.此时直线L 与圆的切线的关系又如何呢 首先研究L 的特征： 由上述探讨过程易知， 直线L ⊥OM ， 此外，L 一定过点P （P 为两切线的交点，AB ⊥OM ）， 从而L 就在图2中过点P 且与AB 平行的位置处。 事实上（另证）， ∵直线L 的斜率00y x k l -=，而直线OM 的斜率0 0x y k om =， ∴OM L ⊥ 一方面，过点M 与OM 垂直的直线0L 方程为,0)()(0000=-+-y y y x x x 即2 02 000y x y y x x +=+
.. . … 中点弦问题专题练习 一．选择题（共8小题） 1．已知椭圆，以及椭圆一点P（4，2），则以P为中点的弦所在直线的斜率为（）A．B．C．2D．﹣2 2．已知A（1，2）为椭圆一点，则以A为中点的椭圆的弦所在的直线方程为（） A．x+2y+4=0 B．x+2y﹣4=0 C．2x+y+4=0 D．2x+y﹣4=0 3．AB是椭圆（a＞b＞0）的任意一条与x轴不垂直的弦，O是椭圆的中心，e为椭圆的离心率，M为AB的中点，则K AB?K OM的值为（） A．e﹣1 B．1﹣e C． e2﹣1 D． 1﹣e2 4．椭圆4x2+9y2=144有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为（） A．3x+2y﹣12=0 B．2x+3y﹣12=0 C．4x+9y﹣144=0 D．9x+4y﹣144=0 5．若椭圆的弦中点（4，2），则此弦所在直线的斜率是（） A．2B．﹣2 C．D． 6．已知椭圆的一条弦所在直线方程是x﹣y+3=0，弦的中点坐标是（﹣2，1），则椭圆的离心率是（）A．B．C．D． 7．直线y=x+1被椭圆x2+2y2=4所截得的弦的中点坐标是（） A．（）B．（﹣，）C．（，﹣）D．（﹣，） 8．以椭圆一点M（1，1）为中点的弦所在的直线方程为（） A．4x﹣3y﹣3=0 B．x﹣4y+3=0 C．4x+y﹣5=0 D．x+4y﹣5=0 二．填空题（共9小题） 9．过椭圆一点M（2，0）引椭圆的动弦AB，则弦AB的中点N的轨迹方程是_________ ．
10．已知点（1，1）是椭圆某条弦的中点，则此弦所在的直线方程为：_________ ． 11．椭圆4x2+9y2=144有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的斜率为_________ ，直线方程为_________ ． 12．椭圆4x2+9y2=144有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为_________ ． 13．过椭圆=1一定点（1，0）作弦，则弦中点的轨迹方程为_________ ． 14．设AB是椭圆的不垂直于对称轴的弦，M为AB的中点，O为坐标原点，则k AB?k OM= _________ ． 15．以椭圆的点M（1，1）为中点的弦所在直线方程为_________ ． 16．在椭圆+=1以点P（﹣2，1）为中点的弦所在的直线方程为_________ ． 17．直线y=x+2被椭圆x2+2y2=4截得的线段的中点坐标是_________ ． 三．解答题（共13小题） 18．求以坐标轴为对称轴，一焦点为且截直线y=3x﹣2所得弦的中点的横坐标为的椭圆方程．19．已知M（4，2）是直线l被椭圆x2+4y2=36所截的弦AB的中点，其直线l的方程． 20．已知一直线与椭圆4x2+9y2=36相交于A、B两点，弦AB的中点坐标为M（1，1），求直线AB的方程．21．已知椭圆，求以点P（2，﹣1）为中点的弦AB所在的直线方程． 22．已知椭圆与双曲线2x2﹣2y2=1共焦点，且过（） （1）求椭圆的标准方程． （2）求斜率为2的一组平行弦的中点轨迹方程． 23．直线l：x﹣2y﹣4=0与椭圆x2+my2=16相交于A、B两点，弦AB的中点为P（2，﹣1）．（1）求m的值；（2）设椭圆的中心为O，求△AOB的面积．
求曲线方程的几种常用方法 求曲线的方程，是学习解析几何的基础，求曲线的方程常用的方法主要有： 1．直接法：就是课本中主要介绍的方法。若命题中所求曲线上的动点与已知条件能直接发生关系，这时，设曲线上动点坐标为（,x y ）后，就可根据命题中的已知条件，研究动点形成的几何特征，在此基础上运用几何或代数的基本公式、定理等列出含有,x y 的关系式。从而得到轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称作直接法。 例1：在直角△ABC 中，斜边是定长2a (0)a >，求直角顶点C 的轨迹方程。 解法一：由于未给定坐标系，为此，首先建立直角坐标系，取AB 所在的直线为x 轴，AB 的有中点O 为坐标原点，过O 与AB 垂直的直线为y 轴(如图)．则A (,0)a -，B (,0)a 。 设动点C 为(,)x y ， ∵222||||||AC BC AB +=， ∴2 224a +=， 即222x y a +=． 由于C 点到达A 、B 位置时直角三角形ABC 不存在，轨迹中应除去A 、B 两点， 故所求方程为222x y a +=（x a ≠±）。 解法二：如解法一建立直角坐标系，设A (,0)a -，B (,0)a ，C (,)x y ∵1AC BC k k =-， （1） ∴1y y x a x a =-+- ， （2） 化简得：222 x y a += ， （3） 由于在x a ≠±时方程（2）与（3）不等价，故所求轨迹方程为222x y a +=（x a ≠±）。 解法三：如解法一建立直角坐标系，设A (,0)a -，B (,0)a ，且设动点C (,)x y 。 ∵1||||2 CO AB =， a =，即222x y a +=。 轨迹中应除去A 、B 两点(理由同解法一)，故所求轨迹方程为222x y a +=（x a ≠±）。 说明：利用这种方法求曲线方程的一般方法步骤：
用导数求切线方程的四种类型 浙江 曾安雄 求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00()P x y ，及斜率，其求法为：设00()P x y ，是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线 方程为：000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(())P x f x ，的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =． 下面例析四种常见的类型及解法． 类型一：已知切点，求曲线的切线方程 此类题较为简单，只须求出曲线的导数()f x '，并代入点斜式方程即可． 例1 曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程为（ ） Ａ．34y x =- Ｂ．32y x =-+ Ｃ．43y x =-+ Ｄ．45y x =- 解：由2 ()36f x x x '=-则在点(11)-，处斜率(1)3k f '==-，故所求的切线方程为 (1)3(1)y x --=--，即32y x =-+，因而选Ｂ． 类型二：已知斜率，求曲线的切线方程 此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决． 例2 与直线240x y -+=的平行的抛物线2y x =的切线方程是（ ） Ａ．230x y -+= Ｂ．230x y --= Ｃ．210x y -+= Ｄ．210x y --= 解：设00()P x y ，为切点，则切点的斜率为0022x x y x ='==|． 01x =∴． 由此得到切点(11)，．故切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=，故选Ｄ． 评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用?法加以解决，即设切线方程为2y x b =+，代入2y x =，得220x x b --=，又因为0?=，得1b =-，故选Ｄ． 类型三：已知过曲线上一点，求切线方程 过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法． 例3 求过曲线32y x x =-上的点(11)-，的切线方程． 解：设想00()P x y ，为切点，则切线的斜率为02032x x y x ='=-|． ∴切线方程为2000(32)()y y x x x -=--．
2.2 常见曲线的参数方程 第一节 圆锥曲线的参数方程 一椭圆的参数方程 1、中心在坐标原点，焦点在x 轴上，标准方程是22 221(0)x y a b a b +=>>的椭圆的参数方程 为cos (sin x a y b ? ??=??=? 为参数） 同样，中心在坐标原点，焦点在y 轴上，标准方程是22 221(0)y x a b a b +=>>的椭圆的参 数方程为cos (sin x b y a ? ??=??=? 为参数） 2、椭圆参数方程的推导 如图，以原点O 为圆心，,()a b a b o >>为半径分别作两个同心圆，设A 为大圆上的任一点，连接OA ，和小圆交于点B ，过点,A B 分别作x 轴，y 轴的垂线，两垂线交于点M 。 设以Ox 为始边，OA 为终边的角为?，点M 的坐标是(,)x y 。那么点A 的横坐标为x ，点B 的纵坐标为y 。由于点,A B 都在角?的终边上，由三角函数的定义有 cos cos ,sin sin x OA a y OB b ????==== 3 当半径OA 绕点O 旋转一周时，就得到了点M 的轨迹，它的参数方程是cos (sin x a y b ? ?? =??=?为 参数） 这是中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆的参数方程。 3、椭圆的参数方程中参数?的意义 圆的参数方程cos (sin x r y r θ θθ =?? =?为参数）中的参数θ是动点(,)M x y 的旋转角，但在椭圆 的参数方程cos (sin x a y b ? ?? =?? =?为参数）中的参数?不是动点(,)M x y 的旋转角，它是动点 (,)M x y 所对应的圆的半径OA （或OB ）的旋转角，称为点M 的离心角，不是OM 的旋 转角，通常规定[)0,2?π∈ 4、椭圆参数方程和普通方程的互化
圆的切点弦方程的解法探究 在理解概念熟记公式的基础上，如何正确地多角度观察、分析问题，再运用所学知识解决问题，是解题的关键所在。本文仅通过一个例题，圆的部分的基本题型之一，分别从不同角度进行观察，用不同的知识点和九种不同的解法，以达到介绍如何观察、分析、解决关于圆的切点弦的问题。 一、预备知识： 1、在标准方程 2 22)()r b y a x =-+-（下过圆上一点),00y x P （的切线方程为： 200))(())r b y b y a x a x =--+--（（ ； 在一般方程02 2 =++++F Ey Dx y x （042 2>-+F E D ） 下过圆上 一点),00y x P （的切线方程为： 02 20 000=++++++F y y E x x D yy xx 。 2、两相交圆01112 2=++++F y E x D y x （0412 12 1>-+F E D ）与 022222=++++F y E x D y x （0422 22 2>-+F E D ） 的公共弦所在的直线方程为：0)()()(212121=-+-+-F F y E E x D D 。 3、过圆02 2 =++++F Ey Dx y x （042 2>-+F E D ）外一点 ),11y x P （作圆的切线，其切线长公式为：F Ey Dx y x PA ++++=112121||。 4、过圆02 2 =++++F Ey Dx y x （042 2>-+F E D ）外一点 ),11y x P （作圆的切线，切点弦AB 所在直线的方程为：211))(())r b y b y a x a x =--+--（（（在圆的标准方程下的形式）； 0221 111=++++++F y y E x x D yy xx （在圆的一般方程下的形式） 。 二、题目 已知圆04422 2=---+y x y x 外一点P （-4，-1），过点P 作圆 的切线PA 、PB ，求过切点A 、B 的直线方程。 三、解法 解法一：用判别式法求切线的斜率 如图示1，设要求的切线的斜率为k （当切线的斜率存在时），那么过点P （-4，-1）的切线方程为：)]4([)1(--=--x k y 即 014=-+-k y kx 由 ???=---+=-+-0 4420 142 2y x y x k y kx 消去y 并整 理得 0)12416()268()1(2222=+-+--++k k x k k x k ① 令 0)12416)(1(4)268(2 2 2 2 =+-+---=?k k k k k ② 解②得 0=k 或8 15= k
用点差法解圆锥曲线的中点弦问题 与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。 解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。 若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。 一、 以定点为中点的弦所在直线的方程 例1、过椭圆14 162 2=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。 解：设直线与椭圆的交点为),(11y x A 、),(22y x B Θ )1,2(M 为AB 的中点 ∴421=+x x 221=+y y Θ又A 、B 两点在椭圆上，则1642121=+y x ，1642 222=+y x 两式相减得0)(4)(22212221=-+-y y x x 于是0))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x ∴ 2 1244)(421212121-=?-=++-=--y y x x x x y y 即21-=AB k ，故所求直线的方程为)2(2 11--=-x y ，即042=-+y x 。 例2、已知双曲线12 2 2=-y x ，经过点)1,1(M 能否作一条直线l ，使l 与双曲线交于A 、B ，且点M 是线段AB 的中点。若存在这样的直线l ，求出它的方程，若不存在，说明理由。 策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线 ，然后验证它是否满足题设的条件。 本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。 解：设存在被点M 平分的弦AB ，且),(11y x A 、),(22y x B 则221=+x x ，221=+y y 122121=-y x ，122 222=-y x 两式相减，得 0))((2 1))((21212121=-+--+y y y y x x x x ∴22121 =--=x x y y k AB 故直线)1(21:-=-x y AB 由?? ???=--=-12)1(2122y x x y 消去y ，得03422=+-x x ∴ 08324)4(2<-=??--=? 这说明直线AB 与双曲线不相交，故被点M 平分的弦不存在，即不存在这样的直线l 。 评述：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。由此题可看到中点弦问题中判断点的M 位置非常重要。（1）若中点M 在圆锥曲线内，则被点M 平分的弦一般存在；（2）若中点M 在圆锥曲线外，则被点M 平分的弦可能不存在。 二、 过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹 例3、已知椭圆1257522=+x y 的一条弦的斜率为3，它与直线2 1=x 的交点恰为这条弦的中点M ，求点M 的坐标。
求曲线方程的常用方法 1． 直接法——若动点的运动规律就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确易于表 达，则可根据已知（或可求）的等量关系直接列出方程的方法。 2． 定义法——利用二次曲线的定义求轨迹方程。 （1） 若平面上的动点P(x,y)满足条件：11||||PF PF +=定长2a ，且122||a F F >(F 1F 2 为定点)，那么P 点的轨迹为以F 1、F 2为焦点的椭圆。故只须选择恰当的坐标系， 就可直接写出椭圆的方程。 （2） 若平面上的动点P(x,y)满足条件：11||||||PF PF -=定长2a ，且122||a F F <(F 1F 2 为定点)，那么P 点的轨迹为以F 1、F 2为焦点的双曲线。当122||a F F =时，P 点的轨迹为射线；如果不含绝对值，那么轨迹是一支双曲线或一条射线。故只 须选择恰当的坐标系，依双曲线的定义，就可直接写出椭圆的方程。 3． 代入法（或称相关点法）——有时动点P 所满足的几何条件不易求出，但它随另一动点 P ’的运动而运动，称之为相关点，若相关点P ’满足的条件简单、明确（或P ’的轨迹方程已知），就可以用动点P 的坐标表示出相关点P ’的坐标，再用条件把相关满足的轨迹方程表示出来（或将相关点坐标代入已知轨迹方程）就可得所求动点的轨迹方程的方法。 4． 几何法——利用平面几何的有关知识找出所求动点满足的几何条件，并写出其方程的方 法。 5． 参数法——有时很难直接找出动点的横纵坐标间的关系，可选择一个（有时已给出）与 所求动点的坐标x,y 都相关的参数，并用这个参数把x,y 表示出来，然后再消去参数的方法。 如：遇求两动直线的交点的轨迹方程问题，可适当引进参数（如斜率、截距等），写出两动直线的方程，然后消去参数就得到所求的两动直线的交点的轨迹方程，这种方法又称交轨法，其关键有二：一是选参，要容易写出动直线的方程；二是消参，消参的途径灵活多变，有时分别从两个方程中解出参数，再消参；有时分别解出x,y ，再消参；有时直接或适当变形后，通过加、减、乘、除，求平方和，求平方差等方法整体消参。 5．定义法—— 注意点：求动点轨迹方程在掌握一般步骤的基础上还要注意以下两点，一选建适当的坐标系，以简化运算；二是要注意曲线图形的范围，即根据条件限定方程中变量x,y 的取值范围，将方程中不适合题意的解去掉。 思路方法技巧： 1．“直接法”求动点的轨迹方程 例1． 在正三角形ABC 内有一动点P ，已知P 到三个顶点的距离分别为|PA|、|PB|、|PC| 且满足22||||||P A P B P C =+，求动点P 的轨迹方程。 222()4(0(2)x y a y +=<≤ 例2． 互相垂直的两条直线1l 、2l 的交点为P(a,b)，长为2r 的线段MN 的两端点分别在1l 、 2l 上滑动，求线段MN 的中点Q 的轨迹。 （|PQ|=1/2|MN|222()()x a y b r -+-=） 例3． 已知一条曲线在x 轴的上方，它上面的每一个点到A(0,2) 的距离减去它到x 轴的
切线方程与切点弦方程 一、圆的切线方程 一、圆的方程为:(x - a)2+ (y - b)2= r2 1. 已知：圆的方程为:(x - a)2+ (y - b)2= r2, 圆上一点P(x0, y0)。 求过点P的切线方程 解：圆心C(a, b)；直线CP的斜率：k1 = ( y0- b) / ( x0- a) 因为直线CP与切线垂直, 所以切线的斜率：k2 = -1/k1 = - (x0 - a) / (y0 - b) 根据点斜式, 求得切线方程： y - y0 = k2 (x - x0) y - y0 = [- (x0 - a) / (y0 - b)] (x - x0) 整理得：(x - x0)(x0 - a) + (y - y0)(y0 - b) = 0 (切线方程公式) 展开后: x0x - ax + ax0 + y0y - by + by0 - x02- y02= 0 (1) 因为点P在圆上, 所以它的坐标满足方程： (x0 - a)2+ (y0 - b)2= r2 化简: x02- 2ax0 + a2+ y02- 2by0 + b2= r2 移项: - x02- y02= -2ax0 - 2by0 + a2+ b2- r2(2) 由(2)代入(1), 得：x0x - ax + ax0 + y0y - by + by0 + (-2ax0 - 2by0 + a2+ b2- r2) = 0 化简：(x0x - ax - ax0 + a2) + (y0y - yb- by0 + b2) = r2 整理：(x0 - a)(x - a) + (y0 - b)(y - b) = r2 变式-1 已知:圆的方程为:(x - a)2+ (y - b)2= r2, 圆外一点P(x0, y0) 二、对于圆的一般方程:x2+ y2+ Dx + Ey + F = 0, 过圆上的点的切线方程. 2.已知:圆的方程为:x2+ y2+ Dx + Ey + F = 0, 圆上一点P(x0, y0) 解：圆心C( -D/2, -E/2 ) 直线CP的斜率:k1 = (y0 + E/2) / (x0 + D/2) 因为直线CP与切线垂直, 所以切线的斜率:k2 = -1/k1 = - (x0 + D/2) / (y0 + E/2) 根据点斜式, 求得切线方程： y - y0 = k2 (x - x0) y - y0 = [- (x0 + D/2) / (y0 + E/2)] (x - x0) 整理得:x0x + y0y + Dx/2 + Ey/2 - Dx0/2 - Ey0/2 -x02- y02= 0 (3) 因为点P在圆上, 所以它的坐标满足方程： x02+ y02+ Dx0 + Ey0 + F = 0 移项: - x02- y02= Dx0 + Ey0 + F (4)
关于圆锥曲线的中点弦问题 直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何中的重要内容之一，也是高考的一个热点问题。这类问题一般有以下三种类型： （1）求中点弦所在直线方程问题； （2）求弦中点的轨迹方程问题； （3）求弦中点的坐标问题。其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法及中心对称变换法等。 一、求中点弦所在直线方程问题 例1 过椭圆14 162 2=+y x 内一点M （2，1）引一条弦，使弦被点M 平分，求这条弦所在的直线方程。 解法一：设所求直线方程为y-1=k(x-2)，代入椭圆方程并整理得： 016)12(4)2(8)14(2222=--+--+k x k k x k 又设直线与椭圆的交点为A(11,y x )，B （22,y x ），则21,x x 是方程的两个根，于是 1 4) 2(82 221+-=+k k k x x ， 又M 为AB 的中点，所以21 4) 2(422 221=+-=+k k k x x ， 解得2 1 -=k ， 故所求直线方程为042=-+y x 。 解法二：设直线与椭圆的交点为A(11,y x )，B （22,y x ），M （2，1）为AB 的中点， 所以421=+x x ，221=+y y ， 又A 、B 两点在椭圆上，则1642 12 1=+y x ，1642 22 2=+y x ， 两式相减得0)(4)(2 22 12 22 1=-+-y y x x ， 所以 21)(421212121-=++-=--y y x x x x y y ，即21 -=AB k ， 故所求直线方程为042=-+y x 。 解法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A(y x ,)，由于中点为M （2，1）， 则另一个交点为B(4-y x -2,)， 因为A 、B 两点在椭圆上，所以有???=-+-=+16 )2(4)4(1642 222y x y x ， 两式相减得042=-+y x ， 由于过A 、B 的直线只有一条， 故所求直线方程为042=-+y x 。 二、求弦中点的轨迹方程问题 例2 过椭圆 136 642 2=+y x 上一点P （-8，0）作直线交椭圆于Q 点，求PQ 中点的轨迹方程。 解法一：设弦PQ 中点M （y x ,），弦端点P （11,y x ），Q （22,y x ），
圆锥曲线的切线方程及切点弦方程的应用 张生 引例 给定圆2 22)()(r b y a x =-+-和点),(00y x P ，证明： （1）若点P 在圆上，则过点P 的圆的切线方程为2 00))(())((r b y b y a x a x =--+--； （2）若点P 在圆外，设过点P 所作圆的两条切线的切点分别为B A ,，则直线AB 的方程为2 00))(())((r b y b y a x a x =--+--。 高考链接 3. (2011江西)若椭圆22221x y a b +=的焦点在x 轴上，过点（1，12 ）作圆22 +=1x y 的切线， 切点分别为A,B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 【答案】22 154 x y += （2013山东）过点(3,1)作圆 22 (1)1x y -+=的两条切线,切点分别为A ,B ,则直线AB 的方程为 （ ） A ．230x y +-= B ．230x y --= C ．430x y --= D ．430x y +-= 【答案】A 过点)4,3(P 作圆1:2 2 =+y x O 的两条切线，切点分别为B A ,，点)0,0)(,(>>b a b a M 在直线AB 上，则b a 2 1+的最小值为 。6411+ 过椭圆14 92 2=+y x 上点P 作圆2:22=+y x O 的两条切线，切点分别为B A ,，过B A ,的直线l 与x 轴y 轴分别交于点Q P ,两点，则POQ ?的面积的最小值为 。 3 2 已知椭圆)1(12222>>=+b a b y a x ，圆2 22:b y x O =+，过椭圆上任一与顶点不重合的点P
求曲线方程的几种常见方法 案场各岗位服务流程 销售大厅服务岗： 1、销售大厅服务岗岗位职责： 1)为来访客户提供全程的休息区域及饮品; 2)保持销售区域台面整洁; 3)及时补足销售大厅物资,如糖果或杂志等; 4)收集客户意见、建议及现场问题点； 2、销售大厅服务岗工作及服务流程 阶段工作及服务流程 班前阶段1）自检仪容仪表以饱满的精神面貌进入工作区域 2）检查使用工具及销售大厅物资情况，异常情况及时登记并报告上级。 班中工作程序服务 流程 行为 规范 迎接 指引 递阅 资料 上饮品 （糕点） 添加茶水 工作 要求 1）眼神关注客人，当客人距3米距离 时，应主动跨出自己的位置迎宾，然后 侯客迎询问客户送客户
注意事项 15度鞠躬微笑问候：“您好！欢迎光临！”2）在客人前方1-2米距离领位，指引请客人向休息区，在客人入座后问客人对座位是否满意：“您好！请问坐这儿可以吗？”得到同意后为客人拉椅入座“好的，请入座！” 3）若客人无置业顾问陪同，可询问：请问您有专属的置业顾问吗？，为客人取阅项目资料，并礼貌的告知请客人稍等，置业顾问会很快过来介绍，同时请置业顾问关注该客人； 4）问候的起始语应为“先生-小姐-女士早上好，这里是XX销售中心，这边请”5）问候时间段为8:30-11:30 早上好11:30-14:30 中午好 14:30-18:00下午好 6）关注客人物品，如物品较多，则主动询问是否需要帮助（如拾到物品须两名人员在场方能打开，提示客人注意贵重物品）； 7）在满座位的情况下，须先向客人致歉，在请其到沙盘区进行观摩稍作等
待； 阶段工作及服务流程 班中工作程序工作 要求 注意 事项 饮料（糕点服务） 1）在所有饮料（糕点）服务中必须使用 托盘； 2）所有饮料服务均已“对不起，打扰一 下，请问您需要什么饮品”为起始； 3）服务方向：从客人的右面服务； 4）当客人的饮料杯中只剩三分之一时， 必须询问客人是否需要再添一杯，在二 次服务中特别注意瓶口绝对不可以与 客人使用的杯子接触； 5）在客人再次需要饮料时必须更换杯 子； 下班程 序1）检查使用的工具及销售案场物资情况，异常情况及时记录并报告上级领导； 2）填写物资领用申请表并整理客户意见；3）参加班后总结会； 4）积极配合销售人员的接待工作，如果下班时间已经到，必须待客人离开后下班；
过一点求曲线的切线方程的三种类型 舒云水 过一点求曲线的切线方程有三种不同的类型，下面举例说明﹒ 1.已知曲线)(x f y =上一点))(,(00x f x P ，求曲线在该点处的切线方程﹒ 这是求曲线的切线方程的基本类型，课本上的例、习题都是这种类型﹒其求法为：先求出函数)(x f 的导数)(x f '，再将0x 代入)(x f '求出)(0x f '，即得切线的斜率，后写出切线方程)(0x f y -=)(0x f ')(0x x -，并化简﹒ 例1 求曲线33)(23+-=x x x f 在点)1,1(P 处的切线方程﹒ 解：由题设知点P 在曲线上， ∵x x y 632-='，∴曲线在点)1,1(P 处的切线斜率为3)1(-='f ，所求的切线方程为)1(31--=-x y ，即43+-=x y ﹒ 2. 已知曲线)(x f y =上一点))(,(11x f x A ，求过点A 的曲线的切线方程﹒ 这种类型容易出错，一般学生误认为点A 一定为切点，事实上可能存在过点A 而点A 不是切点的切线，如下面例2，这不同于以前学过的圆、椭圆等二次曲线的情况，要引起注意，这类题型的求法为：设切点为))(,(00x f x P ，先求出函数)(x f 的导数)(x f '，再将0x 代入)(x f '求出)(0x f '，即得切线的斜率（用0x 表示），写出切线方程 )(0x f y -=)(0x f ')(0x x -，再将点A 坐标),(11y x 代入切线方程得)(01x f y -=)(0x f ')(01x x -，求出0x ，最后将0x 代入方程
)(0x f y -=)(0x f ')(0x x -求出切线方程﹒ 例2 求过曲线x x y 23-=上的点)1,1(-的切线方程﹒ 解：设切点为点)2,(0300x x x -，232-='x y ，切线斜率为2320-x ， 切线方程为))(23()2(020030x x x x x y --=--﹒ 又知切线过点)1,1(-，把它代入上述方程，得 )1)(23()2(100030x x x x --=---﹒ 解得10=x ，或2 10-=x ﹒ 所求切线方程为)1)(23()21(--=--x y ，或)21)(243()181(+-=+--x y ，即02=--y x ，或0145=-+y x ﹒ 上面所求出的两条直线中，直线02=--y x 是以)1,1(-为切点的切线，而切线0145=-+y x 并不以)1,1(-为切点，实际上它是经过了点)1,1(-且以)87,21(-为切点的直线，如下图所示﹒这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点﹒ 3. 已知曲线)(x f y =外一点))(,(11x f x A ，求过点A 作的曲线的切线方程﹒ 这种类型的题目的解法同上面第二种类型﹒ 例3 过原点O 作曲线6324+-=x x y 的切线，求切线方程﹒（2009年全国卷Ⅰ文21题改编 ）
高中数学第2章参数方程2.4一些常见曲线的参数方程讲义新人 教B 版选修44 学习目标：1.了解圆的渐开线和摆线的参数方程．(重点)2.了解渐开线与摆线的参数方程的推导过程．(难点) 1．摆线 (1)定义 一圆周沿一直线作无滑动滚动时，圆周上的一定点M 的轨迹称为摆线． (2)参数方程 ????? x ＝a (t －sin t )y ＝a (1－cos t ) (t 是参数)． 2．圆的渐开线 (1)定义 把一条没有弹性的细绳绕在一个固定不动的圆盘的侧面上，把绳拉紧逐渐展开，绳的外端点随之移动，且绳的拉直部分始终和圆相切．绳的端点移动的轨迹就是一条圆的渐开线，固定的圆称为渐开线的基圆． (2)参数方程 ? ?? ?? x ＝a (cos t ＋t sin t )y ＝a (sin t －t cos t )(t 是参数)． 思考：圆的渐开线和摆线的参数方程中，参数t 的几何意义是什么？ [提示] 根据渐开线的定义和求解参数方程的过程，可知其中的字母a 是指基圆的半径，而参数t 是指绳子外端运动时绳子与基圆的切点B 转过的角度，如图，其中的∠AOB 即是角 t .显然点M 由参数t 惟一确定．在我们解决有关问题时可以适当利用其几何意义，把点的坐 标转化为与三角函数有关的问题，使求解过程更加简单． 同样，根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程，可知其中的字母a 是指定圆的半径，参数t 是指圆上定点相对于定直线与圆的切点所张开的角度．参数的几何意义可以在解决问题中加以引用，简化运算过程．当然这个几何意义还不是很明显，直接使用还要注意其取值的具体情况．
1．关于渐开线和摆线的叙述，正确的是( ) A ．只有圆才有渐开线 B ．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才得到了不同的图形 C ．正方形也可以有渐开线 D ．对于同一个圆，如果建立的平面直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同 [解析] 不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆、正方形也有渐开线；渐开线和摆线的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同；对于同一个圆不论在什么地方建立平面直角坐标系，画出的图形的大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同． [答案] C 2．半径为3的圆的摆线上某点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( ) A ．π B ．2π C ．12π D ．14π [解析] 根据条件可知圆的摆线的参数方程为? ?? ?? x ＝3t －3sin t y ＝3－3cos t (t 为参数)，把y ＝0代 入可得cos t ＝1，所以t ＝2k π(k ∈Z )．而x ＝3t －3sin t ＝6k π(k ∈Z )．根据选项可知应选C. [答案] C 3．半径为4的圆的渐开线的参数方程是________． [解析] 将a ＝4代入圆的渐开线方程即可． [答案] ? ?? ?? x ＝4(cos t ＋t sin t ) y ＝4(sin t －t cos t ) 4．给出某渐开线的参数方程? ?? ?? x ＝3cos t ＋3t sin t y ＝3sin t －3t cos t (t 为参数)，根据参数方程可以看 出该渐开线的基圆半径是______，当参数t 取π 2 时，对应的曲线上的点的坐标是________． [解析] 与渐开线的参数方程进行对照可知，a ＝3，即基圆半径是3，然后把t ＝π 2代入， 可得????? x ＝3π2，y ＝3. [答案] (3π 2 ，3)
2 圆的切点弦方程 1已知圆的方程x 2 y 2 r 2,求经过圆上一点 M （x °,y °）的切线方程。 【方法】1.设出直线，再求解; 2. 利用轨迹思想，用向量或平面几何知识求解。 究竟是什么关系呢下面我们进行探究: ???点M 的坐标（X o , y o ）满足直线MA 与 MB 的方程, 、当点M 在圆 O 上时，直线L 是圆的切线。 二、当点M 在圆 O 外时, 1.直线 L 不是圆 O 的切线, F 面证明之: ???圆心 O 到L 的距离为d .2 2 ,由M （X o , y o ）在圆O 外，得 一 x °2 X y 2 y o r ,故直线L 与圆0相交. 2.此时直线L 与过点M 的圆的切线又是什么关系呢 首先研究L 的特征: 易知: OM L 。 r 2 2 r 2 2 y o 2 OA ON OM ,（N 为 L 与 OM 的交点） 从而OA MA MA 为圆的一条切线, 故直线L 为过点M 的圆的两条切线的两个切点所在的直线。 事实上（另证）， 如图1,设过点M 的圆O 的两条切线为L i ,L 2,切点分别为 A B, 则直线MA IXM y^ r 2，直线 MB:X 2X y 2y r 2 【结论1】过圆x 2 y 2 r 2上一点M （X 。，y 。）的切线方程 :XX o yy o r 。 【问题】对于坐标平面内任一点 M （x o , y o ）,直线L : X o X y o y 2 2 r 与圆O ： x
2 X i X。y』o r … 2， X2X0 y i y o r 由此可见A B的坐标均满足方程x0x y0y r2, 由于两点确定一条直线 ???直线AB的方程为X o X y o y r2。 所以此时的直线L是经过点P的切点弦AB所在直线的方程，而不是圆0的切线。 【注】上述点M直线L实质上是射影几何中的极点和极线。 特别的，当M在圆上时，极线即为切线。 三、当点M在圆0内时， 1.直线L也不是圆0的切线。下面给出证明： 2 ___________________________________________________________ ???圆心0到L的距离为d , r，由M(X o,y°)在圆0内，得Jx°2 y。2 r ..X2 y2 d r故直线L与圆0相离. 丿 2.此时直线L与圆的切线的关系又如何呢y V L o 首先研究L的特征： 由上述探讨过程易知， 直线L 0M 图2 此外，L 一定过点P ( P为两切线的交点，AB 0M, 从而L就在图2中过点P且与AB平行的位置处。 事实上(另证)， ???直线L的斜率k i 匹，而直线0M勺斜率k om 山, y o X o ? L 0M 一方面，过点M与OM垂直的直线L0方程为(x x0)x0 (y y0)y0 0, 即X0X y°y X02y。2