⑶三角形不等式:
平面向量知识点整理
1、概念
（1） 向量：既有大小，又有方向的量. 有向线
段的三要素：起点、方向、长度.
（2） 单位向量：长度等于 1个单位的向量.
（3） 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行. 提醒：
① 相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；
② 两个向量平行与两条直线平行是不同的两个概念： 两个向量平行包含两个向量共线
但两条直线平行不包含两条直线重合；
③ 平行向量无传递性！（因为有零向量） ④三点A B 、C 共线=AB 、AC 共线 长度相等且方向相同的向量.
长度相等方向相反的向量。 a 的相反向量是-a
数量：只有大小，没有方向的量.
(4) (5) 相等向量: 相反向量: (6) 向量表示: 几何表示法 AB ;字母a 表示；坐标表示：a = xi +y j =（x , y ）. (7)
向量的模: 设OA=α ,则有向线段QA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作:
|a|.
(8) (| a ,X 2 ? y 2, a? =| a |2 = X 2 ■ y 2。
零向量：长度为 O 的向量。a = O= I a I= O.
【例题】1.下列命题：（1）若 它们的起点相同，终点相同。
（3）若
ABCD 是平行四边形，则I
AB =DC o （5）若a=bb 毛，则a =C 。 则a 〃C 。其中正确的是 __________ Ub ,则a=b 0（2）两个向量相等的充要条件是 B
AB=DC ,则ABC^是平行四边形。（4）-若
6）若 a"b,b∕ c , 4
耳
2.已知a,b 均为单位向量，它们的夹角为60 ,那么|a 3b| （答:（4）（5））
（答: .13）；
2、向量加法运算
⑴三角形法则的特点：首尾相连.
⑵平行四边形法则的特点：
共起点.
J+? = AB÷BC = AC J+^=. AB+AΓ = A?
a -七兰肾
⑷运算性质：①交换律：a b a；②结合律：a，"亠c=a，b^c ；
③ a 0=0 a=a.
⑸坐标运算：设a = χ1,y1 , b = x2, y2 ,贝U a x1 x2, y< y2 .
3、向量减法运算：
⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量.
⑵坐标运算：设a = Xι,yι , b = X2,y2 ,贝U W -b = x1 - x2,y1 - y2 .
、——一
设二、一m两点的坐标分别为χ∣,y1 , χ2, y2,则一二M =χ1-
χ2,y1-y2.
【例题】—一一.一
(1)① AB+BC+CD= ;② AB—AD—DC= ;
T —I -H-=?-- T r 4
③(AB _CDJ_(AC _BD) = ___________ (答：① AD ;② CB ;③ 0);
(2)若正方形ABCD 的边长为 1, AB = a,BC =b,AC =C ,则 |a b c| = __________
(答:2 2 );
(3)已知作用在点A(1,1)的三个力F1 = (3,4),F2 =(2, —5),W =(3,1),则合力
F3的终点坐标是_________
(答：(9,1))
4、向量数乘运算：
⑴实数■与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作■ a .
① a =■ ∣∣a ;
②当■ 0时，a的方向与a的方向相同；
4 4 T 呻
当■ ：：：0时，a的方向与a的方向相反；当■ =0时，?a=0 .
⑵运算律：①'总；②声攸Y a—a」a:③，a b = a b.
⑶坐标运算：设 a=[.x,y ,则■ a =?[x,y [：i ；.x, ■ y .
--■ 1 」
【例题】(1)若M (-3, -2), N (6, -1),且MP—3 MN,则点P的坐标为____________
3
(答：(-6,-7));
3
5、向量共线定理：向量a a=0与b共线，当且仅当有唯一一个实数■,使
2 2
b「a .设 a = X1,y1 , b =他皿,(^Z O )二(a b) =(|a||b|) 0
【例题】 ⑴ 若向量2 = (x,1)j = (4,x),当X = _____ 时a 与b 共线且方向相同
Ht
片 I
L i L -
(答：2);
(2)已知 a =(1,1)b =(4, x) , u=α^2b , 3 = 2a+b ,且 UlIG ,贝U X= _______
(答：4);
,_ _ .
4 4 H ? √ ? 4
6 向量垂直： a _ b= a b = 0：= Iabl=Ia - bI ：= x 1x 2
y 1y 2
=0 .
【例题】 ⑴ 已知 O^ = (-1,2),O^≡(3,m),若 _OB ,则 m= ______________
(答:-)；
2
(2) 以原点O 和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形 OAB ,N B=90 则点B 的坐标是 _________
斗
胡 T * 」答：(1,3)或(3,-1));
(3) 已知暑=(a,b),向量n 丄m ,且d ，则m 的坐标是 ______________
(答:(b,—a)或(―b,a))
7、平面向量的数量积：
⑴a b=；a”bcose （2≠0,）.零向量与任一向量的数量积为o.
⑵性质：设a 和b 都是非零向量，则①a_b= a ?b =O .②当a 与b 同向时，
a 2 =?Q 2 或 a=J a ‘a .③
⑶运算律：①a b = b a ;②］L a b a b =
⑷坐标运算：设两个非零向量 a = x 1, y 1 , b = x 2,y 2 ,则Qb = x 1x< y 1y 2.
设a = x 1, y 1 , b = x 2,y 2 ,贝U a ⊥b= a 〃 b = 0= x 1x 2+ y 1y 2= 0
?
贝V a // b ：= a = λ b(b≠ 0)：= x 1y 2= x 2y 1.
两点间的距离：若A(X lf y I ),B(x 2i y 2 )f 贝9 ABA J(x
2-码『+(乃一Hr
设a 、b 都是非零向量，a=x ∣,y 1 , b=X 2,y 2 ,二是a 与b 的夹角，则 -X ^ 絆 2 ； (注 ∣a ?b μ∣a ∣∣b ∣)
% y 1 ；X2 y 2
若 a = X, y ,贝U =x 2
y 2, 或 a =pχ2 + y 2
.
;当a 与b 反向时，a b = -；a| b ; b
≤∣a%ι.
a ■
b ;③ a b
c = a c b c .
COST = a
【例题】
(1)△ ABC 中，I ~AB?=3 , ∣'AC∣=4,∣"BC∣=5 ,则 ABB^= _______
(答：一9);
(2)已知 a = (1,l),b =(0, -1),c = a kb,d =a -b , C 与 d 的夹角为—，则k 等
2 2 4
于____ I* (答：1)；
(3)_____________________________________ 已知∣α=2,b=5,a[b-,则a+b∣等于
_________________________________________________ .(答：何)；
(4)已知a,b是两个非零向量，且a=b=a_b ,则a与a?的夹角为___________
(答：30)
(5)已知a'c,2?) , b =(3? ,2),如果a与b的夹角为锐角，贝U ■的取值
4 1
范围是(答:扎 <一一或扎> 0且丸丰—)；
3 3
(6)已知向量 a =(SinX, COSX) , b =(SinX, SinX) , C =(— 1, 0)。(1)
Tr T?T>
若X =',求向量a、C的夹角；(答：150°);
3
8、b在a上的投影：即\b\cosr ,它是一个实数，但不一定大于 0
| b |= 5 ,且a ?b =12 ,则向量a在向量b上的投影为
十.向量中一些常用的结论；
(1) 一个封闭图形苜屋谆接而成的向量和为零向量，要注意运用；
￠2) IIal-Ii∣?a±b ?a+∣?∣(特别地?当弘万同向或有6 OI N+引=∣6∣+ ∣引
≥ Ial-IfrIH d-b∣ 1 当反向或有6 o ?a-h?=?a?+ ISfeII5 0=∏ 厶+ 亦I 当丘&
不共镇
OIla μ f ?4±M4 -H極些和实数比较类似)?
(3 )在MBC中，①若A{^y1)i B^y2)i C(x i,y.) i则耳重心的塑标为G( j?+ j?+眄FL 划十旳)S
3 ： 3 Γ
? PG = ^(PA+PB+PC) OG 为MBC 的重心，特别地PΛ + PB + PC=6c^P^^4BC的重
心］
? RiPB = PB-PC=走刀OF为氐4RC r的垂心；
■ ■?
⑥向t X +竺)U工0)所在直线应AABC的内心(是ΛBA C的角平分线所在亘线)S
?ΛB? IJCl _ _ _【例题】已知|a| = 3 ,