熹李节尿莫型-及其应用
?高考明方向
1. 了解指数函数、对数函数、幕函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类
型增长的含义.
2. 了解函数模型（如指数函数、对数函数、幕函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用?
★备考知考情
1. 利用函数图象刻画实际问题及建立函数模型解决实际问题，是咼考命题的热点.
2. 常与函数的图象、单调性、最值以及基本不等式、导数的应用交汇命题，考查建模能力及分析问题和解决问题的能力.
3. 选择题、填空题、解答题三种题型都有考查，但以解答题为主.
一、知识梳理《名师一号》P35 知识点一几类函数模型
知识点二三种增长型函数之间增长速度的比较
1. 指数函数y= a x(a> 1)与幕函数y= x n(n> 0)：
在区间(0,+x )上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内a x会小于x n,但由于
a x的增长快于x n的增长，因而总存在一个x o,当x>x o时，有a x>x n.
2. 对数函数y= log a x(a> 1)与幕函数y= x n(n>0)：
对数函数y= log a x(a> 1)的增长速度，不论a与n值的大小如何，总会慢于y= x n 的增长速度，因而在定义域内总存在一个实数x o，当x >x o时，有log a x v x n
由1、2可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上，因此在(0, +^) 上，总会存在一个X0，当x>X0时，有a x>x n>
log a x.
注意：《名师一号》P36问题探究问题1、2
问题1解决实际应用问题的一般步骤是什么？
⑴审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系, 初步选择数学模型；
(2) 建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转
化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
(3) 求模：求解数学模型，得出数学结论；
(4) 还原：将数学问题还原为实际问题.
以上过程用框图表示如下：
彳建立函数模型|
敷学1T赢
—|数学结果|
问题2在解决实际应用问题时应注意哪些易错的问题？
(1)函数模型应用不当，是常见的解题错误?所以，要理解题意，选择适当的函数模型.
⑵要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域.
(3)注意问题反馈，在解决函数模型后，必须验证这个数学解对实际问题的合理性.
二、例题分析：
(一)三种函数模型增长速度的比较例1?《名师一号》P36对点自测5、6
5?判断下面结论是否正确(请在括号中打“V”或“X”)
(1)函数二2的函数值比y= x2的函数值大.()
⑵幕函数增长比直线增长更快.()
(3) 不存在x o,使a x0vx n (4) f(x) = x2, g(x)= 2、h(x)= log2x, 当x€ (4,+x )时，恒有h(x) 答案⑴X ⑵X ⑶X ⑷V 思考：如何证明：任意x € (4,+x), x2<2x恒成立。 6 ?在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据?现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是 A.y= 2x B. y= log2x C. y=2（x2—1） D - y= 2.61cosx 解析由表格知当x = 3时，y= 1.59,而A中y = 23= 8, 1 不合要求，B中尸Iog23€ (1,2)接近，C中y=二?2—1) = 4, 不合要求，D中y= 2.61cos3<0,不合要求，故选B. (二)函数模型应用题 例1?《名师一号》P36对点自测1 1.一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时 间t(h)的函数关系用图象表示为图中 ABCD 解析由题意知h= 20—5t(0W t<4),故选B. 例2?《名师一号》P36高频考点例1 (2014武汉调研)在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为：Mf(x) = f(x + 1)—f(x) ?某公司每月生产x台某种产品的收入为R(x)元，成本为C(x)元，且R(x)= 3 000x—20x2, C(x) = 500x + 4 000(x€ N*).现已知该公司每月生产该产品不超过100台. (1) 求利润函数P(x)以及它的边际利润函数MP(x); (2) 求利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差. 解析：(1)由题意，得x€ [1,100],且x € N*. P(x) = R(x) —C(x) = (3 000x —20x2) —(500x + 4 000) =—20x2+ 2 500x —4 000, MP(x) = P(x + 1)—P(x) =[—20(x+ 1)2+ 2 500(x + 1) —4 000] —(—20x2+ 2 500x—4 000)= 2 480- 40x. 125 2 (2)P(x) = —20 x —兀2+ 74 125, 当x= 62或x = 63时，P(x)取得最大值74 120元；因为MP(x) = 2 480-40x是减函数，所以当x = 1时, MP(x)取得最大值2 440元. 故利润函数的最大值与边际利润函数的最大值 之差为71 680元. 注意：《名师一号》P36高频考点例1规律方法二次函数是 我们比较熟悉的基本函数，建立二次函数模型可以求出函数 的最值，解决实际中的最优化问题，值得注意的是：一定要 注意自变量的取值范围 根据图象的对称轴与定义域在数轴上表示的区间之间的位置关系讨论求解. 例3?《名师一号》P36高频考点例2 一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积 的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是 1 io年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的4, 已知到今年为止，森林剩余面积为原来的今. (1)求每年砍伐面积的百分比； (2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ 解析： 1 ⑴设每年降低的百分比为x(Ovxvl),则a(1 —x)1°=2a， 丄 1 i io 即(1—x)1o=2,解得x二1—2 . J2 (2)设经过m年剩余面积为原来的三"， 则a(1—x)m^2^a，即 1 写出2015年第x个月的旅游人数f(x)(单位：人) 与x的函数关系式；
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