山西省四校2011届高三年级第四次联考数学(理)试题

山西省四校2011届高三年级第四次联考

数学（理）试题

命题：忻州一中 临汾一中 康杰中学 长治二中

本试卷分必考题和选考题两部分第1题～第21题为必考题，每个试题学生都必须做答，第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．共150分,考试时间为120分钟.

第 I 卷（选择题 共60分）

一．选择题：（本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.若集合{|0},,A y y A B B =≥= 则集合B 不可能是（ ）

A. {|x y =

B. 1

{|(),}2

x

y y x R =∈

C. {|lg ,0}y y x x =>

D. ? 2.已知a 为实数，若

1+232

i a i

>+，则a 等于（ ）

A. 1

B.

12

C.13

D.-2

3. 已知αβ、、γ是三个互不重合的平面，l 是一条直线，下列命题中正确命题是（ ）

A ．若ββα⊥⊥l ,，则α//l

B ．若l 上有两个点到α的距离相等，则α//l

C ．若βα//,l l ⊥，则βα⊥

D ．若γαβα⊥⊥,，则βγ⊥

4.已知命题：2:,12p x R x x ?∈+<；命题2

:10q m x m x --<若恒成立，则40m -<<，那么

（ ）

A ．""p ?是假命题

B ．q 是真命题

C ．“p 或q”为真命题

D ．“p 且q”为假命题

5.已知随机变量X 服从正态分布2

(,)N μσ，且(22)0.9544P X μσμσ-<≤+=，

()0.6826P X μσμσ-<≤+=，若4μ=，1σ=, 则(56)P X <<=( )

A. 0.1358 B ．0.1359 C ．0.2716 D ．0.2718 6 若一几何体的正视图与侧视图均为边长是1的正方形，且其体积为12

，则该几何体

（

A B C D

7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2

530

1(2)2

a a x dx =?+

?，

则95

S S =（ ）

A. 9 B ．

259

C ．2

D ．

925

8．已知a 为如图所示的程序框图输出的结果，

则二项式6

?

?

的展开式中常数项是( )

A. -20

B. 5

2

C. -192

D. -160

9.已知||1O A =

, ||O B = 0OA OB = ，30AOC ∠=

,设(,)O C m O A nO B m n R =+∈

,则

m n

= ( )

A.3

B. 3

C. 33

D. 13

10．已知函数()f x 在(]

0,3上的解析式为(](]

2

1,1,1

()1|2|,1,3x x f x x x ?-∈-?=?--∈??，则函数

3

()l o g y f x x =-

在(]0,3上的零点的个数为 （ ） A.4 B.3

C.2

D.1

11.已知12,F F 分别为双曲线222

2

1(0,0)x y a b a

b

-=>>的左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，满足

212PF =F F ，直线1PF 与圆222x y a +=相切，则双曲线离心率e 为（ ）

A. 53

B.

C.

D. 2

12．定义方程()()f x f x '=的实根x 叫做函数)(x f 的“新驻点”，若函数

()g x x =,()ln(1)h x x =+, 3

()1x x φ=-的“新驻点”分别为,,αβγ，则,,αβγ的大小关系为

( )

A. αβγ>>

B. βαγ>>

C. βγα>>

D. γα

β>>

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.设数列{}n a 的前项和为n S ，且111,3()n n a a S n N ++==∈，则410log S =

14．＝…．若,a t

均为正实数），类比以上等式，可推测,a t 的值，则a t += 。

15.某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中随机抽测了100根棉花纤维的长度(棉

花纤维的长度是棉花质量的重要指标)，所得数据均在区间[5,40]中，其频率

分布直方图如图所示，估计这批棉花纤维的长度的众数与平均数之和 16．实数[][]1,1,0,2a b ∈-∈.设函数3

2

11()32

f x x ax bx =-

+

+的两个极值点

为12,x x ,现向点(),a b 所在平面区域投掷一个飞镖,则飞镖恰好落入使11x ≤-且x 2≥1的区域的概率为

三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或步骤） 17. (本小题满分12分)

已知函数2

1()cos cos ,2

f x x x x x R =

--

∈．

(Ⅰ) 求函数)(x f 的最小值和最小正周期；

（Ⅱ）已知A B C ?内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且3,()0c f C ==，若

向量(1,sin )m A = 与(2,sin )n B =

共线，求a b 、的值．

18. (本小题满分12分)

如图，已知三棱柱

111ABC A B C -的侧棱与底面

垂直，11AA AB AC ===，A B A C ⊥，

M 是1C C 的中点，N 是B C 的中点，点P 在11A B 上，且满足.111B A P A λ=

(1)证明：P N A M ⊥．

(2)当λ取何值时，直线P N 与平面A B C 所成的角θ最大？并求该角最大值的余弦值．

19．（本小题满分12分）

第26届世界大学生夏季运动会将于2011年8月12日到23日在深圳举行 ，为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者。将这30名志愿者的身高编成如右图所示的茎叶图（单位：cm ）：若身高在175cm 以上（包括175cm ）定义为“高个子”，身高在175cm 以下（不包括175cm ）定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”。 （1）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中提取5人，若从这5

人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？

（2）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐的人数，试写

出ξ的分布列，并求ξ的数学期望。

20．(本题满分15分) 设椭圆C 1：

222

2

1(0)x y a b a

b

+

=>>的左、右焦点分别是F 1、F 2，下顶点为

A ，线段OA 的中点为

B （O 为坐标原点），如图．若抛物线

C 2：21y x =-与y 轴的交点为B ，且经过F 1，F 2点． （Ⅰ）求椭圆C 1的方程； （Ⅱ）设4

(0,)5M -，N 为抛物线C 2上的一动点，过点N 作抛物线

C 2的切线交椭圆C 1于P 、Q 两点，求MPQ ?面积的最大值．

21.（本小题满分12分）已知函数x a x x f ln 1)(--=（R a ∈）

（1）若曲线)(x f y =在1=x 处的切线方程为033=--y x 求实数a 的值； （2）求证：0)(≥x f 恒成立的充要条件是a =1；

（3）若a <0且对任意x 1, x 2∈(]1,0,都有2

1

21114)()(x x x f x f -≤- ，求实数a 的取值

范围。

选做题（本小题满分10分。请考生在第22，23，24三题中任选一题作答，作答时在所

选题号后的方框内划“√”。） 选修4-1：几何证明选讲 22．（本小题满分10分）

在直径是AB 的半圆上有两点,M N ,设A N 与BM 的交点是P . 求证:2AP AN BP BM AB ?+?=。

选修4-4：坐标系与参数方程

23．（本小题满分10分）

曲线1C 的参数方程为4cos 2sin x y θθ=??=?

（θ为参数），曲线2C 的极坐标方程为

2cos 4sin ρθθ=-．

（1）化曲线1C 、2C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

（2）设曲线1C 与x 轴的一个交点的坐标为(,0)(0)P m m >，经过点P 作曲线2C 的切线l ，求切线l 的方程．

选修4—5：不等式选讲 24．（本题满分10分）

设函数2

()23f x x x =-+，2

()g x x x =- （1）解不等式()()2011f x g x -≥；

（2）若()2f x a -<恒成立的充分条件是12x ≤≤,求实数a 的取值范围.

参考答案

A N

B

M

P

一．选择题：（本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

18．(1)证明 如图，以AB ，AC ，AA 1分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系A －xyz .

则P (λ，0,1)，N (12，1

2，0)，…………………1分

从而PN →＝(12－λ，12，－1)，AM →＝(0,1，12． PN →·AM →

＝(12λ)×0＋12×1－1×12

＝0，

∴PN ⊥AM . ……………………………4分

(2)解 平面ABC 的一个法向量为n →

＝(0,0,1)，………5分

则sin θ＝|cos

>|=|PN →·n →||PN →||n →|＝1(λ－12)2＋

54

(*)……8分

而θ∈[0，π2]，当θ最大时，sin θ最大， (θ＝π

2

)，

由(*)式，当λ＝12时，(sin θ)max ＝255，此时cos θ＝5

5……11分

因此当λ＝12PN 与平面ABC 所成的角θ最大。其余弦值为5

5

……12分

19.（1）根据茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人，…………1分

用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是6

130

5=

， ………………2分

所以选中的“高个子”有26

112=?

人，“非高个子”有36

118=?

人．…………3分

用事件A 表示“至少有一名“高个子”被选中”，则它的对立事件A 表示“没有一名 “高个子”被选中”， 则()P A =-

125

2

3C

C 10

710

31=

-

=． …………………5分

因此，至少有一人是“高个子”的概率是10

7． ………………6分

（２）依题意，ξ的取值为0,1,2,3． ………………7分

55

14C

C )0(312

3

8=

=

=ξP ， 5528C

C C )1(312

2

814=

=

=ξP ，

55

12C C C )2(3

12

1

824=

=

=ξP ， 55

1C C )3(3

12

3

4==

=ξP ． …………………9分

因此，ξ的分布列如下：

155

1355

12255

28155

140=?+?

+?

+?

=ξ∴E ． …………12分

20．(Ⅰ）解：由题意可知B （0，-1），则A （0，-2），故b =2．

令y =0得2

10x -=即1x =±，则F 1(-1，0)，F 2（1，0），故c =1．

所以222

5a b c =+=．于是椭圆C 1的方程为：

2

2

15

4

x

y

+

=．…………3分

（Ⅱ）设N （2

,1t t -），由于'2y x =知直线PQ 的方程为：

2(1)2()y t t x t --=-． 即2

21y tx t =--．……………………………4分

代入椭圆方程整理得：222224(15)20(1)5(1)200t x t t x t +-+++-=,

222222400(1)80(15)[(1)4]t t t t ?=+-++-=42

80(183)t t -++,

2

122

5(1)15t t x x t

++=

+ , 22

122

5(1)204(15)

t x x t +-=

+,

故12PQ x =-=

2

3

15t

=

+．………………………………8分

设点M 到直线PQ 的距离为d

，则d ==

．…………………9分

所以，MPQ ?的面积S 12

P Q d =

?2

2

112

15t t

+=

?

+

=

=

5

≤

=

…………11分

当3t =±时取到“=”，经检验此时0?>，满足题意．

综上可知，MPQ ?

的面积的最大值为

5

．…………………………12分

21. 解，（1）因为a f x

a x f -=∴-=1)1(',1)('得曲线)(x f y =在1=x 处的切线的斜率为1-a ，

由已知 )(x f y =在1=x 处的切线方程为033=--y x 从而

1-a =3

2

-=∴a ……分

（2） 充分性： a =1

当∴ 1>x 时，∴>,0)('x f 函数)(x f 在（1，+∞）是增函数

当 10<

)1()(=≥∴f x f ……

分

必要性： 由0,1)('>-

=x x

a x f

当0≤a 时∴>,0)('x f 函数)(x f 在（0，+∞）是增函数而0)1(=f 当10<

≤∴a 时

当0>a 时，a x > 时∴>,0)('x f 函数)(x f 在（a ，+∞）是增函数 当a x <<0时∴<,0)('x f 函数)(x f 在（0，a ）是减函数 a a a a f x f ln 1)()(--=≥∴ ∴=.0)1(f 当1

≠a 时0)1()(=

综上，0)(≥x f 恒成立的充要条件是a =1；…………8分

22．

证明:作PE AB ⊥于E AB 为直径, 90ANB AMB ∴∠=∠=

（2分）

,,,P E B N ∴四点共圆,,,,P E A M 四点共圆. （6分）

(1),(2)A E A B A P A N B E A B

B P B M

?=

??=?（8分） (1)+(2)得()AB AE BE AP AN BP BM +=?+?（9分） 即2AP AN BP BM AB ?+?=（10分） 23．解：（1）曲线1C ：

2

2

1164

x

y

+

=；曲线2C ：22

(1)(2)5x y -++=；……4分曲线1C 为中心

是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是4，短半轴长是2的椭圆；曲线2C 为圆心为(1,2)-，半

……6分

（2）曲线1C ：

2

2

1164

x

y

+

=与x 轴的交点坐标为(4,0)-和(4,0)，因为0m >，所以点P 的

坐标为(4,0)，……8分 显然切线l 的斜率存在，设为k ，则切线l 的方程为(4)y k x =-，由

曲线

2C 为圆心为(1,2)-，= ，解得32

k ±

=

，所以切线l

的方程为4)2y x =

-…10分

24. （10分）解：（1）由201132011)()(≥+-≥-x x g x f 得，即20113≥-x ，所以2011320113-≤-≥-x x 或，解得20082014-≤≥x x 或…………………4分

（2）依题意知：当2)(21<-≤≤a x f ，x 时恒成立，所以当2)(221<-<-≤≤a x f ，x 时恒成立，即2)(2)(+<<-x f a x f 恒成立。

由于当2)1(32)(212

2

+-=+-=≤≤x x x x ，f x 时的最大值为3，最小值为2，因此

2223+<<-a ，即41<

w w w x sx o

m