第三讲空间向量与立体几何
1．直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法
设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)．平面α，β的法向量分别为μ＝(a2，b2，c2)，v ＝(a3，b3，c3)(以下相同)．
(1)线面平行
l∥α?a⊥μ?a·μ＝0?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.
(2)线面垂直
l⊥α?a∥μ?a＝kμ?a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2.
(3)面面平行
α∥β?μ∥v?μ＝λv?a2＝λa3，b2＝λb3，c2＝λc3.
(4)面面垂直
α⊥β?μ⊥v?μ·v＝0?a2a3＋b2b3＋c2c3＝0.
2．空间角的计算
(1)两条异面直线所成角的求法
设直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为θ，则
cos φ＝|cos θ|＝|a·b|
|a||b|(其中φ为异面直线a，b所成的角)．
(2)直线和平面所成角的求法
如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角
为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝|e·n| |e||n|.
(3)二面角的求法
①利用向量求二面角的大小，可以不作出平面角，如图所示，〈m，n〉即为所求二面角的平面角．
②对于易于建立空间直角坐标系的几何体，求二面角的大小时，可以利用这两个平面的法向量的夹角来求．
如图所示，二面角α－l－β，平面α的法向量为n1，平面β的法向量为n2，〈n1，n2〉
＝θ，则二面角α－l －β的大小为θ或π－θ.
1． (2012·陕西)如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，CA ＝CC 1＝
2CB ，则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为
( )
A.5
5 B.
53 C.255
D.35 答案 A
解析 不妨令CB ＝1，则CA ＝CC 1＝2.
可得O (0,0,0)，B (0,0,1)，C 1(0,2,0)，A (2,0,0)，B 1(0,2,1)， ∴BC →1＝(0,2，－1)，AB →
1＝(－2,2,1)，
∴cos 〈BC →1，AB →
1〉＝BC →1·AB →
1|BC →1||AB →1|
＝4－15×9＝15＝55>0.
∴BC →1与AB →
1的夹角即为直线BC 1与直线AB 1的夹角，
∴直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为5
5
.
2． (2013·辽宁)如图，AB 是圆的直径，P A 垂直圆所在的平面，C 是圆上的点．
(1)求证：平面P AC ⊥平面PBC ；
(2)若AB ＝2，AC ＝1，P A ＝1，求二面角C －PB －A 的余弦值． (1)证明 由AB 是圆的直径，得AC ⊥BC ， 由P A ⊥平面ABC ，BC ?平面ABC ，得P A ⊥BC . 又P A ∩AC ＝A ，P A ?平面P AC ，AC ?平面P AC ， 所以BC ⊥平面P AC . 因为BC ?平面PBC ， 所以平面PBC ⊥平面P AC .
(2)解 方法一 过C 作CM ∥AP ，则CM ⊥平面ABC .
如图，以点C 为坐标原点，分别以直线CB 、CA 、CM 为x 轴，y
轴，z 轴建立空间直角坐标系．
在Rt △ABC 中，因为AB ＝2，AC ＝1，所以BC ＝ 3. 因为P A ＝1，所以A (0,1,0)，B (3，0,0)，P (0,1,1)． 故C B →＝(3，0,0)，C P →
＝(0,1,1)． 设平面BCP 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，
则?????
C B →·n 1＝0，C P →·
n 1＝0，所以???
3x 1＝0，y 1＋z 1＝0，
不妨令y 1＝1，则n 1＝(0,1，－1)． 因为A P →＝(0,0,1)，A B →
＝(3，－1,0)， 设平面ABP 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，
则?????
A P →·n 2＝0，A
B →·
n 2＝0，
所以???
z 2＝0，3x 2－y 2＝0，
不妨令x 2＝1，则n 2＝(1，3，0)．
于是cos 〈n 1，n 2〉＝322＝6
4
.
所以由题意可知二面角C －PB －A 的余弦值为
64
. 方法二 过C 作CM ⊥AB 于M ，因为P A ⊥平面ABC ，CM ?平面ABC ， 所以P A ⊥CM ，又P A ∩AB ＝A ，故CM ⊥平面P AB .所以CM ⊥PB . 过M 作MN ⊥PB 于N ，连接NC ， 所以PB ⊥面MNC ，所以CN ⊥PB ， 所以∠CNM 为二面角C －PB －A 的平面角． 在Rt △ABC 中，由AB ＝2，AC ＝1，
得BC ＝3，CM ＝32，BM ＝3
2
，
在Rt △P AB 中，由AB ＝2，P A ＝1，得PB ＝ 5. 因为Rt △BNM ∽Rt △BAP ，
所以MN 1＝ 32 5，故MN ＝35
10.
又在Rt △CNM 中，CN ＝305
， 故cos ∠CNM ＝
6
4
.
所以二面角C －PB －A 的余弦值为
64
.
题型一 利用空间向量证明平行与垂直
例1 如图所示，平面P AC ⊥平面ABC ，△ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，E 、F 、
O 分别为P A 、PB 、AC 的中点，AC ＝16，P A ＝PC ＝10.
(1)设G 是OC 的中点，证明：FG ∥平面BOE ； (2)证明：在△ABO 内存在一点M ，使FM ⊥平面BOE .
审题破题 以O 点为原点，OB 、OC 、OP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法可求解．
(1)证明 如图所示，连接OP ，以O 为坐标原点，分别以OB ，
OC ，OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系
O —xyz ，则O (0,0,0)，A (0，－8，0)，B (8,0,0)，C (0,8,0)，P (0，
0,6)，E (0，－4,3)，F (4,0,3)，由题意得，G (0,4,0)，因OB →
＝
(8,0,0)，OE →＝(0，－4,3)，因此平面BOE 的一个法向量n ＝(0,3,4)，FG →
＝(－4,4，－3)，
得n ·FG →＝0，又直线FG 不在平面BOE 内，因此有FG ∥平面BOE . (2)设点M 的坐标为(x 0，y 0,0)， 则FM →
＝(x 0－4，y 0，－3)，
因为FM ⊥平面BOE ，所以有FM →
∥n ，
因此有x 0＝4，y 0＝－9
4，
即点M 的坐标为?
???4，－9
4，0， 在平面直角坐标系xOy 中，△AOB 的内部区域可表示为不等式组????
?
x >0y <0x －y <8，经检验，
点M 的坐标满足上述不等式组，
所以，在△ABO 内存在一点M ，使FM ⊥平面BOE .
反思归纳 (1)空间中线面的平行与垂直的证明有两种思路：一是利用相应的判定定理和性质定理去解决；二是利用空间向量法来论证．
(2)用向量法来证明平行与垂直，避免了繁杂的推理论证，直接计算就行了，把几何问题代数化．尤其是在正方体、长方体、直四棱柱中相关问题的证明用向量法更简捷，但
是向量法要求计算必须准确无误．
变式训练1 如图，在直三棱柱ADE —BCF 中，面ABFE 和面ABCD 都是正方形且互相垂
直，M 为AB 的中点，O 为DF 的中点．运用向量方法证明：
(1)OM ∥平面BCF ； (2)平面MDF ⊥平面EFCD .
证明 (1)由题意，AB ，AD ，AE 两两垂直，以A 为原点建立如
图所示的空间直角坐标系．
设正方形边长为1，则A (0,0,0)，B (1，0,0)，C (1,1,0)，D (0,1,0)，
F (1,0,1)，M ????12，0，0，
O ????12，12，12.
(1)OM →＝???0，－12，－12，BA →
＝(－1,0,0)， ∴OM →·BA →＝0, ∴OM →⊥BA →. ∵棱柱ADE —BCF 是直三棱柱，
∴AB ⊥平面BCF ，∴BA →
是平面BCF 的一个法向量， 且OM ?平面BCF ，∴OM ∥平面BCF .
(2)设平面MDF 与平面EFCD 的一个法向量分别为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，n 2＝(x 2，y 2，z 2)．
∵DF →＝(1，－1,1)，DM →＝???
?12，－1，0，DC →
＝(1,0,0)， 由n 1·DF →＝n 1·DM →＝0，
得?????
x 1－y 1＋z 1＝0，12x 1－y 1＝0，
令x 1＝1，则n 1＝????1，12
，－12. 同理可得n 2＝(0,1,1)．
∵n 1·n 2＝0，∴平面MDF ⊥平面EFCD . 题型二 利用向量求空间角
例2 如图，三棱锥P －ABC 中，PB ⊥平面ABC .PB ＝BC ＝CA ＝4，∠BCA ＝90°，E 为PC
的中点．
(1)求证：BE ⊥平面P AC ； (2)求二面角E －AB －C 的余弦值．
审题破题 本题的关键是在平面ABC 内找到两条互相垂直的直线，可以过点B 作BC 的垂线BT ，分别以BC ，BT ，BP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系． (1)证明
?????PB ⊥面ABC ?PB ⊥AC BC ⊥AC ?
?
????AC ⊥面PBC ?AC ⊥BE PB ＝BC ，E 为中点?BE ⊥PC
?BE ⊥面P AC .
(2)解 如图，在平面ABC 内过点B 作BT ⊥BC ，分别以BC ，BT ，BP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则B (0,0,0)，C (4,0,0)，
A (4,4,0)，P (0,0,4)，E (2,0,2)，则BA →＝(4,4,0)，BE →
＝(2,0,2)，平面ABC 的法向量为n 1＝(0,0,1)，设平面ABE 的法向量为n 2＝(x ，y ，z )．
则BA →·n 2＝0，BE →
·n 2＝0，即?
????
4x ＋4y ＝02x ＋2z ＝0.
令z ＝1，得x ＝－1，y ＝1，即n 2＝(－1,1,1)．
设二面角E －AB －C 为θ，则cos θ＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝3
3
.
反思归纳 利用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤为：(1)建立恰当的空间直角坐标系．(2)求出相关点的坐标．(3)写出向量坐标．(4)结合公式进行论证、计算．(5)转化为几何结论．
变式训练2 (2012·课标全国)如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝1
2
AA 1，D 是棱AA 1
的中点，DC 1⊥BD .
(1)证明：DC 1⊥BC ；
(2)求二面角A 1－BD －C 1的大小．
(1)证明 由题设知，三棱柱的侧面为矩形．由于D 为AA 1的中点，故DC ＝DC 1.
又AC ＝12AA 1，可得DC 2
1＋DC 2＝CC 21，所以DC 1⊥DC .而DC 1⊥BD ，CD ∩BD ＝D ，所以DC 1⊥平面BCD .
因为BC ?平面BCD ，所以DC 1⊥BC .
(2)解 由(1)知BC ⊥DC 1，且BC ⊥CC 1，则BC ⊥平面ACC 1A 1，所以CA ，CB ，CC 1两两相互垂直．
以C 为坐标原点，CA →的方向为x 轴的正方向，|CA →
|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C －xyz .
由题意知A 1(1,0,2)，B (0,1,0)，D (1,0,1)，C 1(0,0,2)． 则A 1D →＝(0,0，－1)，BD →＝(1，－1，1)，DC 1→
＝(－1,0,1)． 设n ＝(x ，y ，z )是平面A 1B 1BD 的法向量，则
?????
n ·BD →＝0，n ·
A 1D →＝0，即?????
x －y ＋z ＝0，z ＝0，
可取n ＝(1,1,0)．
同理，设m ＝(x ，y ，z )是平面C 1BD 的法向量，
则?????
m ·BD →＝0，m ·
DC 1→＝0，即????
?
x －y ＋z ＝0，－x ＋z ＝0，
可取m ＝(1,2,1)．
从而cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n |·|m |＝3
2.
故二面角A 1－BD －C 1的大小为30°. 题型三 利用向量求空间距离
例3 如图所示，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，BA ＝BC ＝2，BA →·BC →
＝0，异面直线A 1B 与
AC 成60°的角，点O 、E 分别是棱AC 和BB 1的中点，点F 是棱B 1C 1上的动点．
(1)求证：A 1E ⊥OF ； (2)求点E 到面AB 1C 的距离； (3)求二面角B 1—A 1C —C 1的大小．
审题破题 在已知三棱柱中，直线BA ，BC ，BB 1两两垂直，已有空间直角坐标系的框架．
(1)证明 设棱柱的高为h ，以B 为坐标原点，以BA 、BC 、BB 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则B (0,0,0)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，O (1,1,0)，A 1(2,0，h )，
∴BA 1→＝(2,0，h )，CA →
＝(2，－2,0)，
∴cos 〈BA 1→，CA →
〉＝BA 1→·CA →|BA 1→||CA →|
＝422×4＋h 2，
即cos 60°＝12＝4
22×4＋h 2
，解得h ＝2.
∴E (0,0,1)，A 1(2,0,2)，∴A 1E →
＝(－2,0，－1)． ∵F 是B 1C 1上的动点，
∴设F (0，y,2)，∴OF →
＝(－1，y －1,2)， ∴A 1E →·OF →＝(－2,0，－1)·(－1，y －1,2)＝0， ∴A 1E →⊥OF →
， 即A 1E ⊥OF .
(2)解 易求面AB 1C 的法向量为n ＝(1,1,1)， EA →
＝(2,0，－1)，
所以E 到面AB 1C 的距离为d ＝|n ·EA →||n |＝13＝3
3
.
(3)解 ∵平面A 1CC 1的一个法向量是BO →
＝(1,1,0)． 设平面A 1B 1C 的一个法向量是
n ＝(x ，y ，z )，A 1C →＝(－2,2，－2)，A 1B 1→
＝(－2,0,0)，
则n ·A 1C →＝(x ，y ，z )·(－2,2，－2) ＝－2x ＋2y －2z ＝0， ① n ·A 1B 1→＝(x ，y ，z )·(－2,0,0)＝－2x ＝0，∴x ＝0.
②
代入①并令z ＝1得y ＝1，∴n ＝(0,1,1)，
∴cos 〈n ，BO →
〉＝n ·BO →|n |·|BO →|
＝12×2＝12，
∴〈n ，BO →
〉＝60°，即二面角B 1—A 1C —C 1的大小为60°.
反思归纳 求点面距的常用方法：①直接法：即寻找或作出与该距离相对应的垂线段，此法的关键是确定垂足的位置，然后借助于直角三角形求解；②等体积法：把所求的距离转化为三棱锥的高，再通过变换三棱锥的顶点，由同一棱锥的体积是不变的，求出相应的距离．
变式训练3 如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，平面PBC ⊥
底面ABCD ，且PB ＝PC ＝ 5.
(1)求证：AB ⊥CP ；
(2)求点B 到平面P AD 的距离；
(3)设面P AD 与面PBC 的交线为l ，求二面角A －l －B 的大小．
(1)证明 以BC 的中点O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则B (1,0,0)，A (1，－2,0)，C (－1,0,0)，P (0,0,2)，D (－1，－2,0)． AB →＝(0,2,0)，CP →
＝(1,0,2)，
则有AB →·CP →＝0，∴AB →⊥CP →. 即AB ⊥CP .
(2)解 设平面P AD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， PD →＝(－1，－2，－2)，AD →
＝(－2,0,0)，
则由?????
n ·PD →＝0，n ·
AD →＝0， 得?????
－x －2y －2z ＝0，
－2x ＝0.
则x ＝0，令z ＝1＝－y ，得n ＝(0，－1,1)，
又BP →
＝(－1,0,2)，
∴点B 到平面P AD 的距离d ＝|BP →·n ||n |＝|0＋0＋2|
2＝ 2.
(3)解 由(2)知平面P AD 的法向量n ＝(0，－1,1)， 而平面PBC ⊥平面ABCD ，
∴平面PBC 的法向量m ＝(0,1,0)． ∴二面角A －l －B 的余弦值为|m ·n ||m ||n |＝2
2.
由图形知二面角A －l －B 为锐二面角， ∴二面角A －l －B 的大小为45°.
典例 (12分)如图，在三棱锥P —ABC 中，AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，AP ＝BP ＝AB ，
PC ⊥AC ，点D 为BC 的中点．
(1)求二面角A —PD —B 的余弦值；
(2)在直线AB 上是否存在点M ，使得PM 与平面P AD 所成角的正弦值为1
6，若存在，求
出点M 的位置；若不存在，说明理由． 规范解答
解 (1)∵AC ＝BC ，P A ＝PB ，PC ＝PC ，∴△PCA ≌△PCB ， ∴∠PCA ＝∠PCB ， ∵PC ⊥AC ，∴PC ⊥CB ， 又AC ∩CB ＝C ，
∴PC ⊥平面ACB ，且PC ，CA ，CB 两两垂直，
[2分]
故以C 为坐标原点，分别以CB ，CA ，CP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则C (0,0,0)，A (0,2,0)，D (1,0,0)，
P (0,0,2)，∴AD →＝(1，－2,0)，PD →
＝(1,0，－2)， [3分]
设平面P AD 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，
∴?????
n ·AD →＝0n ·
PD →＝0，即?????
x －2y ＝0，x －2z ＝0，∴取n ＝(2,1,1)，
平面PDB 的一个法向量为CA →
＝(0,2,0)，
[5分]
∴cos 〈n ，CA →
〉＝66
，
设二面角A —PD —B 的平面角为θ，且θ为钝角，
∴cos θ＝－66，∴二面角A —PD —B 的余弦值为－6
6.
[6分] (2)方法一 存在，M 是AB 的中点或A 是MB 的中点．
[7分] 设M (x,2－x,0) (x ∈R )，∴PM →
＝(x,2－x ，－2)，
[8分]
∴|cos 〈PM →
，n 〉|＝|x |x 2＋(2－x )2＋4·6＝16，
解得x ＝1或x ＝－2，∴M (1,1,0)或M (－2,4,0)，
[10分]
∴在直线AB 上存在点M ，且M 是AB 的中点或A 是MB 的中点，使得PM 与平面P AD
所成角的正弦值为1
6.
[12分]
方法二 存在，M 是AB 的中点或A 是MB 的中点．
[7分]
设AM →＝λAB →， 则AM →
＝λ(2，－2,0)＝(2λ，－2λ，0) (λ∈R )， ∴PM →＝P A →＋AM →
＝(2λ，2－2λ，－2)，
[8分]
∴|cos 〈PM →
，n 〉|＝|2λ|(2λ)2＋(2－2λ)2＋4·6＝16
.
解得λ＝1
2或λ＝－1.
[10分]
∴M 是AB 的中点或A 是MB 的中点．
∴在直线AB 上存在点M ，且M 是AB 的中点或A 是MB 的中点，使得PM 与平面P AD
所成角的正弦值为1
6. [12分]
评分细则 (1)没有指明CA 、CB 、CD 两两垂直，直接建系的扣1分；(2)求出平面的法
向量给1分；法向量写成其他形式不扣分；(3)二面角余弦值写成6
6
的扣1分；(4)第(2)问最后不写结论的扣1分．
阅卷老师提醒 (1)利用空间向量求二面角的平面角时，应注意观察二面角是锐角还是钝角．如果两个平面的法向量分别是m ，n ，两个平面所成的锐二面角的大小为θ，则
cos θ＝|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n |
|m ||n |.在一般的二面角大小计算中要根据这个二面角的实际大小，
确定其余弦值的正、负号的选取． (2)探索性问题一定要写出结论．
1． 在空间中，已知AB →＝(2,4,0)，DC →
＝(－1,3,0)，则异面直线AB 与DC 所成角θ的大小为
( )
A ．45°
B ．90°
C ．120°
D ．135°
答案 A
解析 ∵AB →＝(2,4,0)，DC →
＝(－1,3,0)，
cos 〈AB →，DC →
〉＝AB →·DC →
|AB →||DC →
|＝12－225·10
＝22.
∵〈AB →，DC →〉∈(0°，90°]，∴〈AB →，DC →〉＝45°. 故选A.
2． 在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝AA 1，则AC 1与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为( )
A.22
B.155
C.64
D.63
答案 C
解析 建立如图所示的空间直角坐标系，设AB ＝2，则C 1(3，1,0)，
A (0,0,2)，AC 1→
＝(3，1，－2)，平面BB 1C 1C 的一个法向量为n ＝
(1,0,0)，所以AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角的正弦值为|AC 1→·n ||AC 1→||n |
＝3
8＝
6
4
.故选C. 3．如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M
＝AN ＝2
3
a ，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是 ( )
A ．相交
B ．平行
C ．垂直
D ．不能确定
答案 B
解析 分别以C
1B 1、C 1D 1、C 1C 所在直线为x ，y ，z 轴，建立
空间直角坐标系，如图所示．
∵A 1M ＝AN ＝2
3a ，
∴M ????a ，23a ，a 3， N ????23a ，23a ，a ，∴MN →
＝????－a 3
，0，23a . 又C 1(0,0,0)，D 1(0，a,0)，∴C 1D 1→
＝(0，a,0)， ∴MN →·C 1D 1→＝0，∴MN →⊥C 1D 1→.
∵C 1D 1→
是平面BB 1C 1C 的法向量，且MN ?平面BB 1C 1C ，∴MN ∥平面BB 1C 1C . 4． 在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D 是侧面BB 1C 1C 的中
心，则AD 与平面BB 1C 1C 所成角的大小是
( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
答案 C
解析 取BC 中点E ，连接AE ，则AE ⊥平面BCC 1B 1，故∠ADE 为
直线AD 与平面BB 1C 1C 所成的角．设各棱长为a ，则AE ＝3
2
a ，DE
＝1
2a .∴tan ∠ADE ＝ 3. ∴∠ADE ＝60°.
5． 在一直角坐标系中已知A (－1,6)，B (3，－8)，现沿x 轴将坐标平面折成60°的二面角，
则折叠后A 、B 两点间的距离为________． 答案 217
解析 如图为折叠后的图形，其中作AC ⊥CD ，BD ⊥CD ， 则AC ＝6，BD ＝8，CD ＝4， 两异面直线AC 、BD 所成的角为60°，
故由AB →＝AC →＋CD →＋DB →， 得|AB →|2＝|AC →＋CD →＋DB →
|2＝68， ∴|AB →
|＝217.
6． 已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为C 1D 1的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余
弦值为________．
答案 23
解析 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AD ∥BC ，所以AE 与BC 所成的角即为AD 与
AE 所成的角，即是∠EAD .连接DE ，在Rt △ADE 中，设AD ＝a ，则DE ＝5
2
a ，tan ∠EAD ＝
DE AD ＝52，cos ∠EAD ＝23，所以异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为23
. 专题限时规范训练
一、选择题
1． 已知点G 是△ABC 的重心，O 是空间任一点，若OA →＋OB →＋OC →＝λOG →，则λ的值为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
答案 C
解析 OA →＋OB →＋OC →＝λOG →?OG →＝1λOA →＋1λOB →＋1λ
OC →
，具体表示
出向量OG →
后，比较即可．如图所示．
OG →＝OA →＋AG →＝OA →＋23AE →＝OA →＋13
(AB →＋AC →)
＝OA →＋13
[(OB →－OA →)＋(OC →－OA →)]
＝OA →＋13OB →＋13OC →－23OA →
＝13OB →＋13OC →＋13OA → ＝1λOA →＋1λOB →＋1λOC →， 所以λ＝3.
2． 若不同直线l 1，l 2的方向向量分别为μ，ν，则下列直线l 1，l 2中既不平行也不垂直的是
( )
A ．μ＝(1,2，－1)，ν＝(0,2,4)
B ．μ＝(3,0，－1)，ν＝(0,0,2)
C ．μ＝(0,2，－3)，ν＝(0，－2,3)
D ．μ＝(1,6,0)，ν＝(0,0，－4) 答案 B
解析 A 项中μ·ν＝0＋4－4＝0，∴l 1⊥l 2； C 项中μ＝－ν，∴μ，ν共线，故l 1∥l 2； D 项中，μ·ν＝0＋0＋0＝0，∴l 1⊥l 2，故选B.
3． 在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥平面ABCD ，AB ＝PD ＝a .点
E 为侧棱PC 的中点，又作D
F ⊥PB 交PB 于点F .则PB 与平面EFD 所成角为
( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
答案 D
解析 建立如图所示的空间直角坐标系D —xyz ，D 为坐标原
点．则P (0,0，a )，B (a ，a,0)，PB →
＝(a ，a ，－a )，
又DE →
＝????0，a 2，a 2， PB →·DE →
＝0＋a 22－a 22＝0，
所以PB ⊥DE ，由已知DF ⊥PB ，且DF ∩DE ＝D ， 所以PB ⊥平面EFD ，所以PB 与平面EFD 所成角为90°.
4． 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，AA 1＝2，AC ＝BC ＝1，则异面直线
A 1
B 与A
C 所成角的余弦值是
( )
A.
6
3
B.
6
6
C.
3
3
D.
22
答案 B
解析 以C 为坐标原点，CA 、CB 、CC 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，A 1(1,0,2)，B (0,1,0)，A (1,0,0)，C (0,0,0)， 则A 1B →
＝(－1,1，－2)， AC →
＝(－1,0,0)，
cos 〈A 1B →，AC →
〉＝A 1B →·AC →|A 1B →||AC →|
＝11＋1＋4＝66.
5． 已知a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,3)，且k a ＋b 与2a －b 垂直，则k 的值为
( ) A.12
5 B ．1 C.75
D ．2
答案 A
解析 k a ＋b ＝(k －1，k,3)，2a －b ＝(3,2，－3)，依题意，得：(k －1)×3＋k ×2＋3×(－
3)＝0，解得k ＝12
5.
6． 如图，过正方形ABCD 的顶点A ，引P A ⊥平面ABCD .若P A ＝BA ，则平面ABP 和平面
CDP 所成的二面角的大小是
( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
答案 B
解析 建立如图所示的空间直角坐标系，不难求出平面APB 与平
面PCD 的法向量分别为n 1＝(0,1,0)，n 2＝(0,1,1)，故平面ABP 与
平面CDP 所成二面角(锐角)的余弦值为|n 1·n 2||n 1||n 2|＝2
2，
故所求的二面角的大小是45°.
7． 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在AC 1上且AM →＝12
MC 1→
，N 为B 1B 的中点，
则 |MN →
|为
( )
A.216a
B.6
6
a
C.156
a
D.153
a
答案 A
解析 以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，
则A (a,0,0)，C 1(0，a ，a )，
N ?
???a ，a ，a 2. 设M (x ，y ，z )．
∵点M 在AC 1上且AM →＝12
MC 1→，
∴(x －a ，y ，z )＝1
2
(－x ，a －y ，a －z )
∴x ＝23a ，y ＝a 3，z ＝a
3.∴M ????2a 3，a 3，a 3， ∴|MN →|＝ ????a －23a 2＋????a －a 32＋????a 2－a 32＝216
a . 8． 将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A －BD －C ，则下面结论错误的为 ( )
A ．AC ⊥BD
B ．△ACD 是等边三角形
C ．AB 与平面BC
D 所成的角为60° D ．AB 与CD 所成的角为60° 答案 C
解析 取BD 中点O ，连接AO 、CO ，
则AO ⊥BD ，CO ⊥BD ， ∴BD ⊥平面AOC ，
∴AC ⊥BD ，又AC ＝2AO ＝AD ＝CD ， ∴△ACD 是等边三角形，
而∠ABD 是AB 与平面BCD 所成的角，应为45°.
又AC →＝AB →＋BD →＋DC →
(设AB ＝a )，
则a 2＝a 2＋2a 2＋a 2＋2·a ·2a ·(－2
2
)
＋2a ·2a ·(－22
)＋2a 2cos 〈AB →，DC →
〉，
∴cos 〈AB →，DC →
〉＝12，∴AB 与CD 所成的角为60°.
二、填空题
9． 到正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的三条棱AB 、CC 1、A 1D 1所在直线的距离相等的点：①有
且只有1个；②有且只有2个；③有且只有3个；④有无数个．其中正确答案的序号是________． 答案 ④
解析 注意到正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的对角线B 1D 上的每一点到直线AB ，CC 1，A 1D 1的距离都相等，因此到ABCD －A 1B 1C 1D 1的三条棱AB ，CC 1，A 1D 1所在直线距离相等的点有无数个，其中正确答案的序号是④.
10．如图所示，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，
点E 、F 分别是棱AB 、BB 1的中点，则直线EF 和BC 1所成的角是________．
答案 60°
解析 以BC 为x 轴，BA 为y 轴，BB 1为z 轴，建立空间直角坐标系． 设AB ＝BC ＝AA 1＝2，
则C 1(2,0,2)，E (0,1,0)，F (0,0,1)， 则EF →＝(0，－1,1)，BC 1→
＝(2,0,2)， ∴EF →·BC 1→＝2，
∴cos 〈EF →，BC 1→
〉＝22×22＝12，
∴EF 和BC 1所成的角为60°.
11．在四面体P －ABC 中，P A ，PB ，PC 两两垂直，设P A ＝PB ＝PC ＝a ，则点P 到平面ABC
的距离为________．
答案 3
3
a
解析 根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系P —xyz ， 则P (0,0,0)，A (a,0,0)，B (0，a,0)，C (0,0，a )．
过点P 作PH ⊥平面ABC ，交平面ABC 于点H ，则PH 的长即为点 P 到平面ABC 的距离．
∵P A ＝PB ＝PC ，∴H 为△ABC 的外心．
又∵△ABC 为正三角形，∴H 为△ABC 的重心，可得H 点的坐标为????
a 3，a 3，a 3. ∴PH ＝
????0－a 32＋????0－a 32＋????0－a 32＝33
a .
12．底面是正方形的四棱锥A －BCDE 中，AE ⊥底面BCDE ，且AE ＝CD ＝a ，G 、H 分别是
BE 、ED 的中点，则GH 到平面ABD 的距离是________．
答案 3a
6
解析 建立如图所示的坐标系，则有A (0,0，a )，B (a,0,0)， G ????a
2，0，0，D (0，a,0)． 设平面ABD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． 由题意知，GH ∥BD ，则有GH ∥平面ABD ，
d .
∴GH 到平面ABD 的距离等于G 点到平面ABD 的距离，设为
∵AB →＝(a,0，－a )，BD →＝(－a ，a,0)，GB →
＝????a 2，0，0， 由?????
n ·AB →＝0，n ·
BD →＝0得?????
ax －az ＝0，
－ax ＋ay ＝0，
∴n ＝(1,1,1)．
∴d ＝|GB →
·n ||n |＝????a 23＝a 23
＝3a 6.
三、解答题
13．如图所示，已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，
且AB ＝AA 1，D 、E 、F 分别为B 1A 、C 1C 、BC 的中点．
求证：(1)DE ∥平面ABC ； (2)B 1F ⊥平面AEF .
证明 如图建立空间直角坐标系A —xyz ，令AB ＝AA 1＝4，
则A (0,0,0)，E (0,4,2)，F (2,2,0)，B (4,0,0)，B 1(4,0,4)． (1)取AB 中点为N ，连接CN ， 则N (2,0,0)， C (0,4,0)，D (2,0,2)， ∴DE →
＝(－2,4,0)，
NC →
＝(－2,4,0)， ∴DE →＝NC →
，∴DE ∥NC ，又∵NC ?平面ABC ，
DE ?平面ABC .故DE ∥平面ABC . (2)B 1F →＝(－2,2，－4)，EF →＝(2，－2，－2)，AF →
＝(2,2,0)． B 1F →·EF →＝(－2)×2＋2×(－2)＋(－4)×(－2)＝0， B 1F →·AF →＝(－2)×2＋2×2＋(－4)×0＝0. ∴B 1F →⊥EF →，B 1F →⊥AF →
，即B 1F ⊥EF ，B 1F ⊥AF ， 又∵AF ∩EF ＝F ，∴B 1F ⊥平面AEF .
14．(2013·重庆)如图，四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，BC ＝CD ＝2，AC ＝4，∠ACB
＝∠ACD ＝π
3
，F 为PC 的中点，AF ⊥PB .
(1)求P A 的长；
(2)求二面角B －AF －D 的正弦值． 解 (1)如图，连接BD 交AC 于点O ，
因为BC ＝CD ，即△BCD 为等腰三角形，
又AC 平分∠BCD ，故AC ⊥BD .
以O 为坐标原点，OB →，OC →，AP →
的方向分别为x 轴，y 轴， z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O －xyz ，
则OC ＝CD cos π
3＝1，
而AC ＝4，得AO ＝AC －OC ＝3，
又OD ＝CD sin π
3
＝ 3.
故A (0，－3,0)，B (3，0,0)，C (0,1,0)，D (－3，0,0)．
因为P A ⊥底面ABCD ，可设P (0，－3，z )，
因为F 为PC 的中点，所以F ?
???0，－1，z
2. 又AF →＝?
???0，2，z 2，PB →
＝(3，3，－z )， 因为AF ⊥PB ，故AF →·PB →
＝0，
即6－z
22＝0，z ＝23(舍去－23)，
所以|P A →
|＝23，所以P A 的长为2 3.
(2)由(1)知，AD →＝(－3，3,0)，AB →＝(3，3,0)，AF →
＝(0,2，3)．
B
A
设平面F AD 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面F AB 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)．
由n 1·AD →＝0，n 1·AF →＝0得
??
?
－3x 1＋3y 1＝0，
2y 1＋3z 1＝0，
因此可取n 1＝(3，3，－2)． 由n 2·AB →＝0，n 2·AF →＝0得
??
?
3x 2＋3y 2＝0，
2y 2＋3z 2＝0，
故可取n 2＝(3，－3，2)． 从而法向量n 1，n 2的夹角的余弦值为
cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝1
8
.
故二面角B －AF －D 的正弦值为37
8
.
15．如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形， ∠DAB=60°,AB=2AD,PD ⊥底面ABCD.
(Ⅰ)证明：PA ⊥BD ；
(Ⅱ)若PD=AD ，求二面角A-PB-C 的余弦值。
一、选择题 1．若把空间平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的始点放置在同一点，则这些向量的终点构成的图形是（ ） Ａ．一个圆 Ｂ．一个点 Ｃ．半圆 Ｄ．平行四边形 答案：Ａ 2．在长方体1111ABCD A B C D -中，下列关于1AC 的表达中错误的一个是（ ） Ａ．11111AA A B A D ++ Ｂ．111AB DD D C ++ Ｃ．111AD CC D C ++ Ｄ．11111 ()2 AB CD AC ++ 答案：Ｂ 3．若，，a b c 为任意向量，∈R m ，下列等式不一定成立的是（ ） Ａ．()()a b c a b c ++=++ Ｂ．()a b c a c b c +=+··· Ｃ．()a b a b +=+m m m Ｄ．()()a b c a b c =···· 答案：Ｄ 4．若三点，，A B C 共线，P 为空间任意一点，且PA PB PC αβ+=，则αβ-的值为（ ） Ａ．1 Ｂ．1- Ｃ． 1 2 Ｄ．2- 答案：Ｂ 5．设(43)(32)a b ==，，，，，x z ，且∥a b ，则xz 等于（ ） Ａ．4- Ｂ．9 Ｃ．9- Ｄ． 649 答案：Ｂ 6．已知非零向量12e e ，不共线，如果1222122833e e e e e e =+=+=-， ，AB AC AD ，则四点，，，A B C D （ ） Ａ．一定共圆 Ｂ．恰是空间四边形的四个顶点心 Ｃ．一定共面 Ｄ．肯定不共面 答案：Ｃ 7．如图1，空间四边形ABCD 的四条边及对 角线长都是a ，点E F G ，，分别是AB AD CD ，，
的中点，则2a 等于（ ） Ａ．2BA AC · Ｂ．2AD BD · Ｃ．2FG CA · Ｄ．2EF CB · 答案：Ｂ 8．若123123123=++=-+=+-，，a e e e b e e e c e e e ，12323d e e e =++，且x y z =++d a b c ，则，，x y z 的值分别为（ ） Ａ．51122--，， Ｂ．51122 -，， Ｃ．51122 --，， Ｄ．51122 ，， 答案：Ａ 9．若向量(12)λ=，，a 与(212)=-， ，b 的夹角的余弦值为8 9，则λ=（ ） Ａ．2 Ｂ．2- Ｃ．2-或 255 Ｄ．2或255 - 答案：Ｃ 10．已知ABCD 为平行四边形，且(413)(251)(375)A B C --，，，，，，，，，则顶点D 的坐标为（ ） Ａ．7412??- ???，， Ｂ．(241)，， Ｃ．(2141)-，， Ｄ．(5133)-，， 答案：Ｄ 11．在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为AC BD ，的交点，则1C O 与1A D 所成角的（ ） Ａ．60° Ｂ．90° Ｃ．3arccos 3 Ｄ．3arccos 6 答案：Ｄ 12．给出下列命题： ①已知⊥a b ，则()()a b c c b a b c ++-=···； ②，，，A B M N 为空间四点，若BA BM BN ，，不构成空间的一个基底，那么A B M N ，，，共面； ③已知⊥a b ，则，a b 与任何向量都不构成空间的一个基底； ④若，a b 共线，则，a b 所在直线或者平行或者重合． 正确的结论的个数为（ ） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 答案：Ｃ 二、填空题 13．已知(315)(123)==-，，，，，a b ，向量c 与z 轴垂直，且满足94==-，··c a c b ，则c = ． 答案：2221055?? - ??? ，，
(三)立体几何与空间向量 1.如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为正方形，P A⊥平面ABCD，P A＝AB，M是PC上一点，且BM⊥PC. (1)求证：PC⊥平面MBD； (2)求直线PB与平面MBD所成角的正弦值. (1)证明连接AC，由P A⊥平面ABCD， BD?平面ABCD，得BD⊥P A， 又BD⊥AC，P A∩AC＝A， P A，AC?平面P AC， ∴BD⊥平面P AC，又PC?平面P AC，∴PC⊥BD. 又PC⊥BM，BD∩BM＝B， BD，BM?平面MBD， ∴PC⊥平面MBD. (2)解方法一由(1)知PC⊥平面MBD， 即∠PBM是直线PB与平面MBD所成的角. 不妨设P A＝1，则BC＝1，PC＝3，PB＝ 2. ∴PC2＝PB2＋BC2，∴PB⊥BC，又BM⊥PC， ∴sin∠PBM＝cos∠BPC＝PB PC＝2 3 ＝ 6 3， 故直线PB与平面MBD所成角的正弦值为 6 3. 方法二以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A－xyz(如图所示)，
不妨设P A ＝AB ＝1， 则P (0,0,1)，B (1,0,0)，C (1,1,0). 由(1)知平面MBD 的一个法向量为PC → ＝(1,1，－1)， 而PB → ＝(1,0，－1). ∴cos 〈PB →，PC → 〉＝(1，0，－1)·(1，1，－1)2×3＝63， 故直线PB 与平面MBD 所成角的正弦值为 63 . 2.如图，已知△DEF 与△ABC 分别是边长为1与2的正三角形，AC ∥DF ，四边形BCDE 为直角梯形，且DE ∥BC ，BC ⊥CD ，点G 为△ABC 的重心，N 为AB 的中点，AG ⊥平面BCDE ，M 为线段AF 上靠近点F 的三等分点. (1)求证：GM ∥平面DFN ； (2)若二面角M －BC －D 的余弦值为 7 4 ，试求异面直线MN 与CD 所成角的余弦值. (1)证明 延长AG 交BC 于点O ，连接ON ，OF . 因为点G 为△ABC 的重心， 所以AG AO ＝2 3，且O 为BC 的中点. 又由题意知，AM →＝23AF → ， 所以AG AO ＝AM AF ＝23， 所以GM ∥OF . 因为点N 为AB 的中点，
空间向量与立体几何 一、知识网络： 二．考纲要求： （1）空间向量及其运算 ① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程； ② 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示； ③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示； ④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 （2）空间向量的应用 ① 理解直线的方向向量与平面的法向量； ② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系； ③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）； ④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。 三、命题走向 本章内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本章是立体几何的核心内容，高考对本章的考查形式为：以客观题形式考查空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离。 预测10年高考对本章内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处
理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。 第一课时 空间向量及其运算 一、复习目标：1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘； 2．了解空间向量的基本定理； 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 二、重难点：理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法 三、教学方法：探析类比归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、谈最新考纲要求及新课标高考命题考查情况，促使积极参与。 学生阅读复资P128页，教师点评，增强目标和参与意识。 （二）、知识梳理，方法定位。（学生完成复资P128页填空题，教师准对问题讲评）。 1．空间向量的概念 向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。 说明：①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。 2．向量运算和运算率 说明：①引导学生利用右图验证加法交换率，然后推广到首尾相接的若干向量之和；②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。 3．平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量 叫做共线向量或平行向量。a 平行于b 记作a ∥b 。 注意：当我们说a 、b 共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平行直线；当 我们说a 、b 平行时，也具有同样的意义。 共线向量定理：对空间任意两个向量a （a ≠）、b ，a ∥b 的充要条件是存在实数λ使b ＝λa （1）对于确定的λ和a ，b ＝λa 表示空间与a 平行或共线，长度为 |λa |，当λ>0时与a 同向， 当λ<0时与a 反向的所有向量。 （3）若直线l ∥a ，l A ∈，P 为l 上任一点，O 为空间任一点，下面根据上述定理来推导的表达式。
立体几何 例1.在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，,6,8AB AC AB AC ⊥==，D 是线段AC 上一点，且3AD DC =.三棱锥P ABC -的各个顶点都在球O 表面上，过点D 作球O 的截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为16π，则球O 的表面积为（ ） A ．72π B ．86π C ．112π D ．128π 2.三视图 例2.某简单组合体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．164+π B ．484π+ C ．4812π+ D ．4816π+ 3.常见几何体的体积计算公式 例3.已知直角三角形 ABC 两直角边长之和为3，将ABC ?绕其中一条直角边旋转一周，所形成旋转体体积的最大值为__________，此时该旋转体外接球的表面积为___________. 例4.如图，三棱锥的顶点，，，都在同一球面上，过球心且，是边长为等边三角形，点、分别为线段，上的动点（不含端点），且 ，则三棱锥体积的最大值为__________． 例5.如图，在几何体中，平面底面ABC ， 四边形是正方形，，Q 是的中点，且，． 求证：平面； 求二面角 的余弦值．
例6.如图几何体中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ， //EC PD ，且22PD AD EC ===.（1）求证：//BE 平面PDA ； （2）求PA 与平面PBD 所成角的大小. 例7．已知三棱锥A BCD -的棱长均为6，其内有n 个小球，球1O 与三棱锥A BCD -的四个面都 相切，球2O 与三棱锥A BCD -的三个面和球1O 都相切，如此类推，…，球n O 与三棱锥A BCD -的 三个面和球1n O -都相切（2n ≥，且n *∈N ），则球1O 的体积等于__________，球n O 的表面积等于__________. 例8.如图所示，在等腰梯形ABCD 中，，，E ，F 为AB 的三等分点，且将和分别沿DE 、CF 折起到A 、B 两点重合，记为点P ． 证明：平面 平面PEF ； 若，求PD 与平面PFC 所成角的正弦值．
向量法解立体几何 立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。 一、基本工具 1.数量积： cos a b a b θ?= 2.射影公式：向量a 在b 上的射影为 a b b ? 3.直线0Ax By C ++=的法向量为 (),A B ，方向向量为 (),B A - 4.平面的法向量（略） 二、用向量法解空间位置关系 1.平行关系 线线平行?两线的方向向量平行 线面平行?线的方向向量与面的法向量垂直 面面平行?两面的法向量平行 2.垂直关系 线线垂直（共面与异面）?两线的方向向量垂直 线面垂直?线与面的法向量平行 面面垂直?两面的法向量垂直 三、用向量法解空间距离 1.点点距离
点()111,,P x y z 与()222,,Q x y z 的 距离为PQ =u u u r 2.点线距离 求点()00,P x y 到直线:l 0Ax By C ++=的距离： 方法：在直线上取一点(),Q x y ， 则向量PQ u u u r 在法向量(),n A B =上的射影 PQ n n ?u u u r = 即为点P 到l 的距离. 3.点面距离 求点()00,P x y 到平面α的距离： 方法：在平面α上去一点(),Q x y ，得向量PQ u u u r ， 计算平面α的法向量n ， 计算PQ u u u r 在α上的射影，即为点P 到面α的距离. 四、用向量法解空间角 1.线线夹角（共面与异面） 线线夹角?两线的方向向量的夹角或夹角的补角 2.线面夹角 求线面夹角的步骤： ① 先求线的方向向量与面的法向量的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角； ②再求其余角，即是线面的夹角. 3.面面夹角（二面角） 若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量的夹角；法
空间向量 一、向量的基本概念与运算 1.定义：在空间内，把具有大小和方向的量叫空间向量，可用有向线段来表示．用同向且 等长的有向线段表示同一向量或相等的向量． 2.零向量：起点与终点重合的向量叫做零向量，记为0或0． 3.书写：在手写向量时，在字母上方加上箭头，如a ，AB ． 4.模：表示向量a 的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作||a 5.方向：有向线段的方向表示向量的方向． 6.基线：有向线段所在的直线叫做向量的基线． 7.平行向量：如果空间中一些向量的基线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平 行向量．a 平行于b 记为a b ∥． 8.向量运算：与平面向量类似； 二、空间向量的基本定理 1.共线向量定理：对空间两个向量a ，b （0b ≠），a b ∥的充要条件是存在实数x ，使a xb =． 2.共面向量：通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量． 3.共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，则向量c 与向量a ，b 共面的充要条件是， 存在唯一的一对实数x ，y ，使c xa yb =+． 4.空间向量分解定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一 个唯一的有序实数组x ，y ，z ，使p xa yb zc =++．表达式xa yb zc ++，叫做向量a ，b ，c 的线性表示式或线性组合．
注：上述定理中，a ，b ，c 叫做空间的一个基底，记作{}a b c ， ，，其中a b c ，，都叫做基向量． 由此定理知，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底． 三、向量的数量积 1.两个向量的夹角 已知两个非零向量a b ，，在空间任取一点O ，作OA a =，OB b =，则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角，记作a b ??， ．通常规定0πa b ??≤，≤．在这个规定下，两个向量的夹角就被唯一确定了，并且a b b a ??=??， ，．如果90a b ??=，°，则称a 与b 互相垂直，记作a b ⊥． 2.两个向量的数量积 已知空间两个向量a ，b ，定义它们的数量积（或内积）为：||||cos a b a b a b ?=??， 空间两个向量的数量积具有如下性质： 1）||cos a e a a e ?=??，；（2）0a b a b ??=； （3）2||a a a =?；（4）a b a b ?||≤||||． 空间两个向量的数量积满足如下运算律： 1）()()a b a b λλ?=?；（2）a b b a ?=?；（3）()a b c a c b c +?=?+?． 四、空间向量的直角坐标运算 前提：建立空间直角坐标系Oxyz ，分别沿x 轴，y 轴，z 轴的正方向引单位向量i j k ，，，这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底{}i j k ，，，这个基底叫做单位正交基底． 空间直角坐标系Oxyz ，也常说成空间直角坐标系[]O i j k ；， ，． 1.坐标 在空间直角坐标系中，已知任一向量a ，根据空间向量分解定理，存在唯一数组123()a a a ，，，使123a a i a j a k =++，1a i ，2a j ，3a k 分别叫做向量a 在i j k ，， 方向上的分量，有序实数组123()a a a ，，叫做向量a 在此直角坐标系中的坐标．上式可以简记作123()a a a a =，，． 若123()a a a a =， ，，123()b b b b =，，， 则：112233()a b a b a b a b +=+++， ，；112233()a b a b a b a b -=---，，；
高中数学必背公式——立体几何与空间向量 知识点复习： 1. 空间几何体的三视图“长对正、高平齐、宽相等”的规律。 2. 在计算空间几何体体积时注意割补法的应用。 3. 空间平行与垂直关系的关系的证明要注意转化： 线线平行 线面平行 面面平行，线线垂直 线面垂直 面面垂直。 4．求角：（1）异面直线所成的角： 可平移至同一平面；也可利用空间向量：cos |cos ,|a b θ=<>= 1212122 222 2 2 1 1 1 222 |||||| a b a b x y z x y z ?= ?++?++（其中θ（090θ<≤）为异面直线a b ,所成角，,a b 分别表示异面直线a b ,的方向向量）。 （2）直线与平面所成的角： 在斜线上找到任意一点，过该点向平面作垂线，找到斜线在该平面上的射影，则斜线和射影所成的角便是直线与平面所成的角；也可利用空间向量，直线AB 与平面所成角sin |||| AB m AB m β?= (m 为平面α的法向量). （3）二面角： 方法一：常见的方法有三垂线定理法和垂面法； 方法二：向量法：二面角l αβ--的平面角cos |||| m n arc m n θ?=或cos ||||m n arc m n π?- （m ，n 为平面α，β 的法向量）. 5. 求空间距离： （1）点与点的距离、点到直线的距离，一般用三垂线定理“定性”； （2）两条异面直线的距离：|| || AB n d n ?= （n 同时垂直于两直线，A 、B 分别在两直线上）； （3）求点面距： || || AB n d n ?= （n 为平面α的法向量，AB 是经过面α的一条斜线，A α∈）； （3）线面距、面面距都转化为点面距。 题型一：空间几何体的三视图、体积与表面积 例1：已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体，
空间向量与立体几何知识点归纳总结 一．知识要点。 1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：（1 ）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。 （2）向量具有平移不变性 2. 空间向量的运算。 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。 OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈ 运算律：⑴加法交换律：a b b a +=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++ ⑶数乘分配律：b a b a λλλ+=+)( 运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。 （1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共 线向量或平行向量，a 平行于b ，记作b a //。 （2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 存在实数λ，使a ＝λb 。 （3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>λ= <=>)1(=++=y x OB y OA x OC 其中 （4）与共线的单位向量为a ± 4. 共面向量 （1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是共面的。 （2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数 ,x y 使p xa yb =+。 （3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>y x AP += <=>)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 其中 5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一 个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++。
已知两异面直线 b a,，,,, A B a C D b ∈∈，则异面直线所成的角θ为：cos AB CD AB CD θ? = u u u r u u u r u u u r u u u r 例题 【空间向量基本定理】 例1.已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，M、N分别为PC、PD上的点，且M分成定比2，N分PD成定比1，求满足的实数x、y、z的值。 分析;结合图形，从向量出发，利用向量运算法则不断进行分解，直到全部向量都用、、表示出来，即可求出x、y、z的值。 如图所示，取PC的中点E，连接NE，则。 点评：选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的一项基本功，要结合已知和所求，观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量。再对照目标，将不符合目标要求的向量当作新的所需向量，如此继续下去，直到所有向量都符合目标要求为止，这就是向量的分解。有分解才有组合，组合是分解的表现形式。空间向量基本定理恰好说明，用空间三个不共面的向量组可以表示出空间任意一个向量，而且a,b,c的系数是惟一的。 【利用空间向量证明平行、垂直问题】 例2.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB于点F。 （1）证明：PA方形ABCD—中，E、F分别是，的中点，求：（1）异面直线AE与CF所成角的余弦值； （2）二面角C—AE—F的余弦值的大小。
点评：（1）两条异面直线所成的角可以借助这两条直线的方向向量的夹角求得，即。 （2）直线与平面所成的角主要可以通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角求得，即 或 （3）二面角的大小可以通过该二面角的两个面的法向量的夹角求得，它等于两法向量的夹角或其补角。 【用空间向量求距离】 例4.长方体ABCD —中，AB=4，AD=6，，M 是A 1C 1的中点，P 在线段BC 上，且|CP|=2，Q 是DD 1的中点， 求： （1）异面直线AM 与PQ 所成角的余弦值； （2）M 到直线PQ 的距离； （3）M 到平面AB 1P 的距离。 本题用纯几何方法求解有一定难度，因此考虑建立空间直角坐标系，运用向量坐标法来解决。利用向量的模和夹角求空间的线段长和两直线的夹角，在新高考试题中已多次出现，但是利用向量的数量积来求空间的线与线之间的夹角和距离，线与面、面与面之间所成的角和距离还涉及不深，随着新教材的推广使用，这一系列问题必将成为高考命题的一个新的热点。现列出几类问题的解决方法。 （1）平面的法向量的求法：设，利用n 与平面内的两个向量a ，b 垂直，其数量积为零，列出两个三元 一次方程，联立后取其一组解。 （2）线面角的求法：设n 是平面的一个法向量，AB 是平面 的斜线l 的一个方向向量，则直线与平面 所成 角为n AB n AB ??= θθsin 则 （3）二面角的求法：①AB，CD 分别是二面角 的两个面内与棱l 垂直的异面直线，则二面角的大小为
空间向量及其运算 基础知识梳理 1.空间向量的有关概念 (1)空间向量：在空间中，具有________和________的量叫做空间向量. (2)相等向量：方向________且模________的向量. (3)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相______________的向量. (4)共面向量：________________________________的向量. 2.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理 (1)共线向量定理 对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是________________________. 推论 如图所示，点P 在l 上的充要条件是： OP →＝OA →＋t a ①其中a 叫直线l 的方向向量，t ∈R ，在l 上取AB →＝a ， 则①可化为OP →＝________或OP →＝(1－t )OA →＋tOB →. (2)共面向量定理的向量表达式：p ＝____________，其中x ，y ∈R ，a ， b 为不共线向量，推论的表达式为MP →＝xMA →＋yMB →或对空间任意一点 O ，有OP →＝____________或OP →＝xOM →＋yOA →＋zOB →，其中x ＋y ＋z ＝ ______. (3)空间向量基本定理 如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝____________，把{a ，b ，c }叫做空间的一个基底. 3.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角 已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向 量a 与b 的夹角，记作____________，其范围是____________，若〈a ，b 〉＝π2 ，则称a 与b __________，记作a ⊥b . ②两向量的数量积 已知空间两个非零向量a ，b ，则____________叫做向量a ，b 的数量积，记作__________，即__________________. (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa )·b ＝____________；②交换律：a·b ＝__________； ③分配律：a·(b ＋c )＝__________. 4.空间向量的坐标表示及应用 (1)数量积的坐标运算 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a·b ＝________________. (2)共线与垂直的坐标表示 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则a ∥b ?______________?____________，____________，______________， a ⊥b ?__________?________________________(a ，b 均为非零向量). (3)模、夹角和距离公式 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则|a |＝a·a ＝__________________，
中档大题规范练2 立体几何与空间向量 1．如图，在四棱锥P —ABCD 中，侧面P AD ⊥底面ABCD ，侧棱P A ＝PD ＝2，P A ⊥PD ，底面ABCD 为直角梯形，其中BC ∥AD ，AB ⊥AD ，AB ＝BC ＝1，O 为AD 的中点． (1)求证：PO ⊥平面ABCD ； (2)求B 点到平面PCD 的距离； (3)线段PD 上是否存在一点Q ，使得二面角Q —AC —D 的余弦值为 63？若存在，求出PQ QD 的值；若不存在，请说明理由． (1)证明 因为P A ＝PD ＝2，O 为AD 的中点， 所以PO ⊥AD ，因为侧面P AD ⊥底面ABCD ， 所以PO ⊥平面ABCD . (2)解 以O 为原点，OC ，OD ，OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系O －xyz ，则B (1，－1,0)，C (1,0,0)，D (0,1,0)，P (0,0,1)． PB →＝(1，－1，－1)，设平面PDC 的法向量为u ＝(x ，y ，z )，CP →＝(－1,0,1)，PD →＝(0,1，－ 1)． 则????? u · CP →＝－x ＋z ＝0，u · PD →＝y －z ＝0，取z ＝1，得u ＝(1,1,1)， B 点到平面PDC 的距离d ＝|BP →·u ||u |＝33 . (3)解 假设存在，则设PQ →＝λPD → (0<λ<1)， 因为PD →＝(0,1，－1)，所以Q (0，λ，1－λ)， 设平面CAQ 的法向量为m ＝(a ，b ，c )，
则????? m ·AC →＝0，m ·AQ →＝0，即????? a ＋ b ＝0， (λ＋1)b ＋(1－λ)c ＝0， 所以取m ＝(1－λ，λ－1，λ＋1)， 平面CAD 的法向量n ＝(0,0,1)， 因为二面角Q —AC —D 的余弦值为 63 ， 所以|m·n||m||n |＝63 ， 所以3λ2－10λ＋3＝0， 所以λ＝13或λ＝3(舍去)，所以PQ QD ＝12 . 2．如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ＝2AD ＝2，E 为AB 的中点，F 为D 1E 上的一点，D 1F ＝2FE . (1)证明：平面DFC ⊥平面D 1EC ； (2)求二面角A —DF —C 的大小． (1)证明 以D 为原点，分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系， 则A (1,0,0)，B (1,2,0)，C (0,2,0)，D 1(0,0,2)． ∵E 为AB 的中点， ∴E 点坐标为(1,1,0)， ∵D 1F ＝2FE ， ∴D 1F →＝23D 1E →＝23 (1,1，－2) ＝(23，23，－43 )， DF →＝DD 1→＋D 1F →＝(0,0,2)＋(23，23，－43 )
立体几何空间向量知识点总结 知识网络： 知识点拨： 1、空间向量的概念及其运算与平面向量类似，向量加、减法的平行四边形法则，三角形法则以及相关的运算律仍然成立．空间向量的数量积运算、共线向量定理、共面向量定理都是平面向量在空间中的推广，空间向量基本定理则是向量由二维到三维的推广． 2、当a 、b 为非零向量时．0a b a b ?=?⊥是数形结合的纽带之一，这是运用空间向量研究线线、线面、面面垂直的关键，通常可以与向量的运算法则、有关运算律联系来解决垂直的论证问题． 3、公式 cos ,a b a b a b ?<>= ?是应用空间向量求空间中各种角的基础，用这个公式可以求 两异面直线所成的角（但要注意两异面直线所成角与两向量的夹角在取值范围上的区别），再结合平面的法向量，可以求直线与平面所成的角和二面角等． 4、直线的方向向量与平面的法向量是用来描述空间中直线和平面的相对位置的重要概念，通过研究方向向量与法向量之间的关系，可以确定直线与直线、直线与平面、平面与平面等的位置关系以及有关的计算问题． 5、用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法 （1）线线平行 证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量． （2）线线垂直 证明两条直线垂直，只需证明两条直线的方向向量垂直，即0a b a b ?=?⊥．
（3）线面平行 用向量证明线面平行的方法主要有： ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直； ②证明可在平面内找到一个向量与直线方向向量是共线向量； ③利用共面向量定理，即证明可在平面内找到两不共线向量来线性表示直线的方向向量． （4）线面垂直 用向量证明线面垂直的方法主要有： ①证明直线方向向量与平面法向量平行； ②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题． （5）面面平行 ①证明两个平面的法向量平行（即是共线向量）； ②转化为线面平行、线线平行问题． （6）面面垂直 ①证明两个平面的法向量互相垂直； ②转化为线面垂直、线线垂直问题． 6、运用空间向量求空间角 （1）求两异面直线所成角 利用公式cos, a b a b a b ? <>= ? ， 但务必注意两异面直线所成角θ的范围是 0, 2 π ?? ???， 故实质上应有：cos cos,a b θ=<> ． （2）求线面角 求直线与平面所成角时，一种方法是先求出直线及射影直线的方向向量，通过数量积求出直线与平面所成角；另一种方法是借助平面的法向量，先求出直线方向向量与平面法向量的夹角φ，即可求出直线与平面所成的角θ，其关系是sinθ＝| cosφ|． （3）求二面角 用向量法求二面角也有两种方法：一种方法是利用平面角的定义，在两个面内先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量，然后求出这两个方向向量的夹角，由此可求出二面角的大小；另一种方法是转化为求二面角的两个面的法向量的夹角，它与二面角的大小相等或互补． 7、运用空间向量求空间距离 空间中的各种距离一般都可以转化为求点与点、点与线、点与面的距离． （1）点与点的距离 点与点之间的距离就是这两点间线段的长度，因此也就是这两点对应向量的模． （2）点与面的距离 点面距离的求解步骤是： ①求出该平面的一个法向量； ②求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即得要求的点面距
一、知识梳理 【高考考情解读】 高考对本节知识的考查以解答题的形式为主：1.以多面体(特别是棱柱、棱锥或其组合体)为载体，考查空间中平行与垂直的证明、空间角(主要是线面角和二面角)的计算.2.以已知结论寻求成立的条件(或是否存在问题)的探索性问题，考查逻辑推理能力、空间想象能力以及探索能力，是近几年高考命题的新亮点，属中高档问题． 1． 直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法 设直线l 的方向向量为a ＝(a 1，b 1，c 1)．平面α，β的法向量分别为μ＝(a 2，b 2，c 2)，v ＝(a 3，b 3，c 3)(以下相同)． (1)线面平行：l ∥α?a ⊥μ?a ·μ＝0?a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0. (2)线面垂直：l ⊥α?a ∥μ?a ＝k μ?a 1＝ka 2，b 1＝kb 2，c 1＝kc 2. (3)面面平行：α∥β?μ∥v ?μ＝λv ?a 2＝λa 3，b 2＝λb 3，c 2＝λc 3. (4)面面垂直：α⊥β?μ⊥v ?μ·v ＝0?a 3a 4＋b 3b 4＋c 3c 4＝0. 2． 直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算 设直线l ，m 的方向向量分别为a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)．平面α，β的法向量分别为μ＝(a 3，b 3，c 3)，v ＝(a 4，b 4，c 4)(以下相同)． (1)线线夹角：设l ，m 的夹角为θ(0≤θ≤π2)，则cos θ＝|a ·b ||a ||b |＝|a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2|a 21＋b 21＋c 21a 22＋b 22＋c 22 . (2)线面夹角：设直线l 与平面α的夹角为θ(0≤θ≤π2)，则sin θ＝|a ·μ||a ||μ| ＝|cos 〈a ，μ〉|. (3)面面夹角：设平面α、β的夹角为θ(0≤θ<π)，则|cos θ|＝|μ·v ||μ||v | ＝|cos 〈μ，v 〉|. 提醒 求二面角时，两法向量的夹角有可能是二面角的补角，要注意从图中分析． 3． 求空间距离 直线到平面的距离，两平行平面的距离均可转化为点到平面的距离，点P 到平面α的距 离：d ＝|PM →·n ||n | (其中n 为α的法向量，M 为α内任一点). 二、课前预习 1．平面α的法向量为m ，向量a 、b 是平面α之外的两条不同的直线的方向向量，给出三个论断：①a ⊥m ；②a ⊥b ；③m ∥b .以其中的两个论断作为条件，余下一个论断作为结论， 写出所有正确的命题______________________． 2.如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面△ABC 中，CA ＝CB ＝1， ∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，则cos 〈BA 1→，CB 1→〉的值为________． 3．如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，
10 第七部分 立体几何与空间向量 一、知识梳理 （一）基本知识梳理：见《步步高》文科P123—124 ;理科P135—137 . （二）要点梳理： 1。平面的基本性质是高考中立体几何的重点容.要掌握平面的基本性质，特别注意：不共线的三点确定一个平面.考察点和平面的位置关系时，要注意讨论点在平面的同侧还是两侧，会根据不同的情况作出相应的图形. ［例］已知线段AB 长为3，A 、B 两点到平面α的距离分别为1与2，则AB 所在直线与平面α所成角的大小为＿＿＿＿＿； 解析：要注意到点A 、B 是平面α同侧还是在平面α的两侧的情况.当A 、B 在平面α的同侧时，AB 所在直线与平面α所成角大小为31arcsin ；当A 、B 在平面α的两侧时，AB 所在直线与平面α所成角为 2 π. 2。线面关系中三类平行的共同点是“无公共点”；三类垂直的共同点是“成角90°”.线面平行、面面平行，最终化归为线线平行；线面垂直、面面垂直，最终化归为线线垂直. ［例］已知平面βα,，直线b a ,.有下列命题：（1） βαβα////a a ?????；（2）αββα//a a ?? ?? ⊥⊥ （3）βαβα////??????⊥⊥b a b a ；（4）βαβα////??? ? ?? ??b a b a .其中正确的命题序号是＿＿＿＿＿＿. 解析：立体几何中的符号语言所描述的问题是高考命题中的重点，基本上每年的高考在选择或填空题中都会有涉及，要充分理解符号语言所体现的几何意义.（1）体现的是两平面平行的一个性质：若两平面平行，则一个平面的任一直线与另一平面平行.（2）要注意的是直线a 可能在平面α.（3）注意到直线与平面之间的关系：若两平行直线中的一条与一个平面垂直，则另一条也与这个平面垂直.且垂直于同一直线的两个平面平行.（4）根据两平面平行的判定知，一个平面两相交直线与另一个平面平行，两平面才平行.由此知：正确的命题是（1）与（3）. 3。直线与平面所成角的围是]2, 0[π ；两异面直线所成角的围是]2 ,0(π .一般情况下，求二面角往往是指定 的二面角，若是求两平面所成二面角只要求出它们的锐角（直角）情况即可. ［例］设A 、B 、C 、D 分别表示下列角的取值围：（1）A 是直线倾斜角的取值围；（2）B 是锐角；（3）C 是直线与平面所成角的取值围；（4）D 是两异面直线所成角的取值围.用“?”把集合A 、B 、C 、D 连接起来得到＿＿＿. （答案：A C D B ???） 4。立体几何中的计算主要是角、距离、体积、面积的计算.两异面直线所成角、直线与平面所成角的计算是重点.求两异面直线所成角可以利用平移的方法将角转化到三角形中去求解，也可以利用空间向量的方法，特别要注意的是两异面直线所成角的围.当求出的余弦值为a 时，其所成角的大小应为||arccos a . ［例］正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是AB 中点，则异面直线DE 与BD 1所成角的大小为＿＿＿＿＿. （答案：515 arccos ） 特别需要注意的是：两向量所成的角是两向量方向所成的角，它与两向量所在的异面直线所成角的概念是 不一样的.本题中的向量1BD 与所成的角大小是两异面直线DE 与BD 1所成角的补角. 5。直线与平面所成角的求解过程中，要抓住直线在平面上的射影，转化到直角三角形中去求解.点到平面的距离的求解可以利用垂线法，也可以利用三棱锥的体积转化. C A 1 B 1 C 1 E
A B C A 1 B 1 C 1 M y z A B C D E F x y z M N A 1 x D 1 B 1 A D B C C 1 y z E F 高三数学复习专题 空间向量与立体几何考点系统复习 一、利用向量处理平行与垂直问题（特别是探索性问题） 例1、 在直三棱柱111C B A ABC -中，090=∠ACB , 030=∠BAC ,M A A BC ,6,11==是 1CC 得中点。求证：AM B A ⊥1 练习：棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，在棱DD 1上是否存在点P 使B 1D ⊥面P AC ？ 例 2 如图，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在平面互相垂直，点N M ,分别在对角线 AE BD ,上，且AE AN BD BM 3 1 ,31==,求证：//MN 平面CDE 练习1、在正方体1111D C B A ABCD -中,E,F 分别是BB 1,,CD 中点，求证：D 1F ⊥平面ADE A B C D A 1 B 1 C 1 D 1P x z y
A B C D E P x y z F A 1 x D 1 B 1 A D B C C 1 y z E 1 F 1 H G A 1 x D 1 B 1 A D B C C 1 y z E 1 F A 1 D 1 B 1 C 1 z 2、如图，在底面是菱形的四棱锥P —ABCD 中, ?=∠60ABC ， ,2,a PD PB a AC PA ====点E 在PD 上,且PE :ED = 2: 1.在棱PC 上是否存在一点F, 使 BF ∥平面AEC?证明你的结论. 二、利用空间向量求空间的角的问题 例 1 在正方体1111D C B A ABCD -中,E 1，F 1分别在A 1B 1,,C 1D 1上，且E 1B 1=4 1 A 1 B 1，D 1F 1=4 1 D 1C 1，求B E 1与D F 1所成的角的大小。 例2 在正方体1111D C B A ABCD -中, F 分别是BC 的中点，点E 在D 1C 1上,且=11E D 4 1 D 1C 1,试求直线 E 1 F 与平面D 1AC 所成角的大小 例3 在正方体1111D C B A ABCD -中,求二面角11C BD A --的大小。
向量法解立体几何 引言 立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。教材上讲的比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角，而如何用向量证明线面平行，计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多，给老师对这部分内容的教学及学生解有关这部分内容的题目造成一定的困难，下面主要就这几方面问题谈一下自己的想法，起到一个抛砖引玉的作用。 一、基本工具 1.数量积： cos a b a b θ?= 2.射影公式：向量a 在b 上的射影为 a b b ? 3.直线0Ax By C ++=的法向量为 (),A B ，方向向量为 (),B A - 4.平面的法向量（略） 二、用向量法解空间位置关系 1.平行关系 线线平行?两线的方向向量平行 线面平行?线的方向向量与面的法向量垂直 面面平行?两面的法向量平行 2.垂直关系
线线垂直（共面与异面）?两线的方向向量垂直 线面垂直?线与面的法向量平行 面面垂直?两面的法向量垂直 三、用向量法解空间距离 1.点点距离 点()111,,P x y z 与()222,,Q x y z 的 距离为(PQ x =2.点线距离 求点()00,P x y 到直线:l 0Ax By C ++=的距离： 方法：在直线上取一点(),Q x y ， 则向量PQ 在法向量 (),n A B =上的射影PQ n n ?= 即为点P 到l 的距离. 3.点面距离 求点()00,P x y 到平面α的距离： 方法：在平面α上去一点(),Q x y ，得向量PQ ， 计算平面α的法向量n ， 计算PQ 在α上的射影，即为点P 到面α的距离. 四、用向量法解空间角 1.线线夹角（共面与异面） 线线夹角?两线的方向向量的夹角或夹角的补角 2.线面夹角 求线面夹角的步骤：