《高等数学》
专业 ____________ 年级 ____________ 学号_________ 姓名 ___________
一、判断题.将“或＞填入相应的括号内?(每题2分，共20分) ()1?收敛的数列必有界?
()2.无穷大量与有界量之积是无穷大量?
()3?闭区间上的间断函数必无界?
()4.单调函数的导函数也是单调函数?
()5.若f (x)在X。点可导，则f(X )也在X。点可导?
()6?若连续函数y f (x)在x0点不可导，则曲线y f (x)在(x0, f (x0))点没有切
线?
()7.若f (x)在［a,b］上可积，则f (x)在［a,b］上连续?
()8.若z f (x, y)在(x0, y0)处的两个一阶偏导数存在，则函数z f (x, y)在
(X o,y。)处可微.
()9.微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解
( )10.设偶函数f(x)在区间(1,1 )内具有二阶导数，且 f (0) f (0) 1,则
f (0)为f (x)的一个极小值.
二、填空题?(每题2分，共20分)
2
1. 设f(x 1) X ,贝y f (x 1) _______ ?
1
2X 1
2. 若f(x) 1 ，贝U lim ______________ .
x 0
2X 1
3. 设单调可微函数f (x)的反函数为g(x) , f (1) 3, f (1) 2, f (3) 6则
g (3) --------------
x ,
4. 设u xy ,贝U du ________________
y
6. 设f(x)为可导函数，f(1) 1,F(x) f(-) f(x2),则F (1) ___________
x
f(
X) 2 2
7. 若t dt x (1 x),则f (2)
8. f (x) x 2 x在［0,4］上的最大值为___________________ .
9.广义积分0 e2x dx -----------------------------
三、计算题（每题5分，共40 分）
4.计算定积分?. sin3x sin5xdx.
5.求函数f (x, y) x3 4x2 2xy y2的极值.
6. 设平面区域D是由y x, y
sin y
x围成，计算dxdy .
1, xy 2,y
D y 匚
7. 计算由曲线xy x, y 、3x围成的平面图形在第一象限的面积
8. 求微分方程y 2x厶…” y 的
通解
y
四、证明题（每题10分，共20 分）
1.证明：arc tanx
x
(). 2
10.设D为圆形区域x y21, y .1 x5dxdy
D
1. 计算lim(A
n n2
1
(n 1)2
).
2 3
2. 求y (x 1)(x 2) (x 3)
10
（x 10）在（0, + ）内的导数
3.求不定积分一dx.
x)
1
2.设f(x)在闭区间［a,b ］上连续，且f(x) 0,
证明：方程F(x)
x F(x) 0 f (t)dt
0在区间(a,b)内有且仅有
x
dt
b
f(t)
个实根
《高等数学》参考答案
、判断题. 1.V ； 2.x 将"或X 填入相应的括号内(每题
;3.X ； 4.X ;5. x ； 6. x ； 7. X ; 2分，共20分)
8.x ； 9";
(每题2分, 共 20 分) 1. x 2
4x 2. 1； 3. 1/2; 4.(y
1/ y)dx
(x
x/ y 2
)dy ； 5. 2/3 ; 6. 1 ； 7. 3 36 ; 8. 9. 1/2
10. 0.
三、计算题(每题 1.解：因为
5分，共40分) 丄
~2 n n 1
2
(2n)
1
(n
1)2 1 2
(2n)
由迫敛性定理知:
In
2.解：先求对数 1 y y y (x
1
(2n)2
丄 n 2 lim n n
lim (
n
ln(x 1 1
lim
n
1)
(x 1
(n 1)2
1) 2ln(x 2 2
10)(
3
.解:原式=2 J" x"x
=2 --------------- d x
1 ( x)2
—)=0
(2n)2 2)
10l n(x
10 10
10)
10 x 10)
4?解: 5?解:
=2 arcs in、x c
原式=0 sin 3xco s2xdx
3
2cosxsin2xdx
3
2 sin 2 xd sin x
2
=_[sin
5
5
2x]2
=4/5
(0,
3x2
3
cosxsin2xdx
2
3
sin2xdsinx
2
5[sin
8x 2y
(8) ( 2)
0)为极大值点
；时f"2)
4 ( 2)
6?解:D= (x,y) 0 y i,y
sin y dxdy 1
dy
0 7
2x
sin
y
2 y
22
D
x]_
2
y 2x
8 , f yy(0,0)
2y
f xy(0,0) 2 220 且A= 8
f(0,0) 0
f yy(2,2)
无法判断
f xy(2,2) 2
y dx =
y
0晳心
0 y dy
1
=[ 0(sin y
cosy]0 =1 cosl ysin y)dy
1 0
yd cos y
[ycos y]0
1 0
cos ydy
=
1
sinl
7 ?解：令 u xy ,
X u y u
2
8?解：令 y 由微分公式知:
四?证明题（每题10分, 1?解：设 f (x)
f(x) f(0)
2X/
e (
1
2^uv 2v￡v
1 寸v 罷
2v
2亦
v'v
v'3 1 ——In J 3
1
2v
2u 4x
2dx 2dx
1 y v
2
du 1 知
（u ）
( dx c)
4xe u 2
X v v ■. 3
4xe 2x dx c)
2x
2x
e (2xe e
共 20 分)
f(x)
x 2
arcta n
x
2x 、
c)
arcsin ——
V 1 x
2
x 1 x 2
1 x 2
2
x
1 x
2 1 x =0
即：原式成立。
2?解：
F(x)在［a,b ］上连续
a 1
b F(a) b 帀址心)a f (t )dt >0
故方程F(x) 0在(a,b)上至少有一个实根
F (x) 2
F(x)在区间［a,b ］上单调递增 F(x)在区间(a,b)上有且仅有一个实根
《高等数学》
专业__________________ 学号 _______________ 姓名 ___________
、判断题(对的打V,错的打X ；每题 2分，共10分)
1. f (x)在点X 。处有定义是f (x)在点X o 处连续的必要条件?
2?若y f(x)在点X 。不可导，则曲线y f (x)在(X o , f(x 。))处一定没有切线?
3. 若f (x)在［a, b ］上可积，g(x)在［a, b ］上不可积，则f(x) g(x)在［a, b ］上必不可 积.
4. 方程xyz 0和x 2 y 2 z 2 0在空间直角坐标系中分别表示三个坐标轴和一个点 .
5.
设y *是一阶线性非齐次微分方程的一个特
解，
y 是其所对应的齐次方程的通解，则
y y y *为一阶线性微分方程的通解.
二、填空题(每题2分，共20分)
1. 设 f(3x)
、2x 1 , f (a)
5,则 a ___________ .
ln(1 2x)
2. 设f(x)
，当f(0) _____ 时，f (x)在点x 0连续.
arcs in3x
F (x) f(x)
f (x) 0