平行四边形全章复习课 一、知识结构图： 二、平行四边形的性质 边角对角线平行四边形对边平行且相等对角相等，邻角互补对角线互相平分矩形对边平行且相等四个角都是直角对角线相等且互相平分 菱形对边平行，四边相等对角相等,邻角互补对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角 正方形对边平行，四边相等四个角都是直角对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组 对角 三、平行四边形的常用判定方法 平行四边形1) 两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 2) 两组对边分别相等的四边形； 3) 一组对边平行且相等的；4）两组对角分别相等的四边形 5) 对角线互相平分的四边形； 矩形1）有一个角是直角的平行四边形是矩形； 2）有三个角是直角的四边形是矩形；3）对角线相等的平行四边形是矩形。 4）对角线平分且相等的四边形是矩形 菱形1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形； 2）四条边都相等的四边形是菱形；3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 4）对角线平分且垂直的四边形是菱形 正方形1)有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形是正方形； 2）有一组邻边相等的矩形是正方形； 3）有一个角是直角的菱形是正方形。
1.三角形的中位线平行且等于第三边的一半 2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 3.菱形的面积公式： 对角线乘积的一半 练习题： 1．不能判定四边形ABCD 为平行四边形的题设是（ ） （A ）AB 平行且等于CD 。 （B ）∠A=∠C ，∠B=∠D 。 （C ）AB=AD ，BC=CD 。 （D ）AB=CD ，AD=BC 。 2．下面性质中菱形有而矩形没有的是（ ） （A ）邻角互补（B ）内角和为360°（C ）对角线相等 （D ）对角线互相垂直 3．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） （A ）四条边相等 （B ）对角线互相垂直平分 （C ）对角线平分一组对角 （D ）对角线相等 4、顺次连结任意四边形四边中点所得的四边形一定是（ ） A 、平行四边形 B 、矩形 C 、菱形 D 、正方形 5.如图,□ABCD 中,∠C=108°,BE 平分∠ABC,则∠ABE 等于( ) A.18° B.36° C.72° D.108° 6．下列命题中，真命题是（ ） A 、有两边相等的平行四边形是菱形 B 、对角线垂直的四边形是菱形 C 、四个角相等的菱形是正方形 D 、两条对角线相等的四边形是矩形 7、□ABCD 中，∠A =50°，则∠B =__________，∠C =__________。 8．已知菱形两条对角线的长分别为5cm 和8cm ，则这个菱形的面积是______cm ． 9、菱形ABCD 的周长为36，其相邻两内角的度数比为1:5，则 此菱形的面积为_________。 10、对角线长为22的正方形的周长为___________，面积为__________。 11．如图，过矩形ABCD 的对角线BD 上一点K 分别作矩形两边的平行线MN 与PQ ，那么图中矩形AMKP 的面积 S 1与矩形QCNK 的面积S 2的关系是S 1 S 2（填“＞”或“＜”或“＝” ） E D C B A
平行四边形的图形变换 一、选择题（共4小题；共20分） 1. 如图，将平行四边形 绕点逆时针 旋转，得到平行四 边形，若点 恰好落在边上， 则的度数为 A. B. C. D. 2. 如图，菱形 中，对角线， 相交于点， 为边的中点，若 菱形的周长 为，则的长为 A. B. C. D. 3. 下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是 A. 对角线相等 B. 对角线相互平分 C. 对角线相互垂直 D. 邻边相互垂直 4. 如图，已知菱形 的顶点， ．若菱形绕点 逆时针旋转，每秒旋转 ，则第时，菱形 的对角线交点的坐标 为 A. B. C. D. 二、填空题（共2小题；共10分） 5. 如图，在矩形 中，，对角线 ，相交于点， 垂直平分于点 ，则的长为． 6. 如图，在四边形中，对角线 ，垂足为，点，，，分别为边，，，的中点．若 ，，则四边形的面积为． 三、解答题（共8小题；共104分） 7. 如图，在平行四边形中，点是边 的中点，连接并延长，交延长线于点 ，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，则当 时，四边形是矩形．
8. 已知：如图，四边形中，， ，是对角线上一点，且 ． （1）求证：四边形是菱形； （2）如果，且 ，求证：四边形 是正方形． 9. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，过点作对角线的垂线交 的延长线于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求的周长． 10. 在一次课题学习中，老师让同学们合作编题．某 学习小组受赵爽弦图的启发，编写了下面的这道题，请你来解一解． 如图，将矩形的四边，，，分别延长至，，，，使得 ，，连接，，，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若矩形是边长为的正方形，且 ，，求的长． 11. 如图，将一张矩形纸片沿着对角线 向上折叠，顶点落到点处，交 于点．
平行四边形知识结构及知识点 1、知识结构 2、对称性： ①平行四边形是中心对称图形，其对称中心是两条对角线的交点； ②等腰梯形是轴对称图形，其对称轴是过上、下两底的中点的直线； ③矩形、菱形、正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形。 3、相关定理： ①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； ②如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 ③平行四边形的面积公式：S = 底?高；菱形的面积公式：S = 两条对角线积的一半。 ④梯形的面积公式：S =（上底+下底）?高÷2 = 中位线长?高 4、注意： ⑴四边形中常见的基本图形 ⑵梯形问题中辅助线的常用方法(目的：转化为三角形和平行四边形或构造全等三角形)
特殊四边形 性质判定 边角对角线边角对角线 平行 四边形 对边 平行 且相等对角相等 邻角互补 对角线 互相平分 1、两组对边分别平 行的四边形是平行 四边形 2、两组对边分别相 等的四边形是平行 四边形 3、一组对边平行且 相等的四边形是平 行四边形 4、两组对角 分别相等的 四边形是平 行四边形 5、两条对角 线互相平分 的四边形是 平行四边形 矩形 对边平行且相等 四个角 都是直角 对角线 互相平分 且相等 1、有一个角 是直角的平 行四边形是 矩形 2、三个角是 直角的四边 形是矩形 3、对角线 相等的平行 四边形是 矩形 菱形四边 相等对角相等 邻角互补 对角线 互相垂直 平分, 且每条对 角线平分 一组对角 1、一组邻边相等的 平行四边形是菱形 2、四边相等的四边 形是菱形 3、对角线 互相垂直的 平行四边形 是菱形 正方形 四边 相等 四个角 都是直角 对角线 互相垂直 平分且 相等, 每条对角 线平分 一组对角 1、有一组邻边相等 且有一个角是直角 的平行四边形是正 方形。 2、有一组邻边相等 的矩形是正方形。 3、有一个角 是直角的菱 形是正方形。 4、对角线 相等的菱形 是正方形。 5、对角线互 相垂直的矩 形是正方形。 等腰梯形两底 平行 两腰 相等 同一底 上的两个 底角相等 对角线 相等 1、两腰相等的 梯形是等腰梯形。 2、在同一底 上的两个底 角相等的梯 形是等腰梯 形。 3、对角线 相等的梯形 是等腰梯形
平行四边形知识点归纳和题型归类【知识网络】 【要点梳理】 要点一、平行四边形 1．定义：的四边形叫做平行四边形. 2．性质：（1）； （2）； （3）； （4）中心对称图形. 3．面积： 4．判定：边：（1）的四边形是平行四边形； （2）的四边形是平行四边形； （3）的四边形是平行四边形． 角：（4）的四边形是平行四边形； 对角线：的四边形是平行四边形. 要点诠释：平行线的性质： （1）平行线间的距离都； （2）等底等高的平行四边形面积 . 要点二、矩形 1．定义：的平行四边形叫做矩形. 2．性质：（1）边：； （2）角：； （3）对角线：； （4）是中心对称图形，也是轴对称图形. 3．面积： ４．判定：（1) 的平行四边形是矩形. （2）的平行四边形是矩形. （3）的四边形是矩形. 要点诠释：由矩形得直角三角形的性质： （1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的； （2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的． 高 底 平行四边形 ? = S 宽 ＝长 矩形 ? S
要点三、菱形 1. 定义： 的平行四边形叫做菱形. 2．性质：（1）边： ； （2）角： ； （3）对角线： ； （4）是中心对称图形，也是轴对称图形. 3．面积： 4．判定：（1） 的平行四边形是菱形； （2） 的平行四边形是菱形； （3） 的四边形是菱形. 要点四、正方形 1. 定义：四条边都 ，四个角都是 的 形叫做正方形. 2．性质：（（1）边： ； （2）角： ； （3）对角线： ； （4）是中心对称图形，也是轴对称图形. （5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形； 3．面积：=S 正方形边长×边长＝ 1 2 ×对角线×对角线 4．判定：（1） 的菱形是正方形； （2） 的矩形是正方形； （3） 的菱形是正方形； （4） 的矩形是正方形； （5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形； （6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形. 中点四边形（拓展） 原四边形 一般四边形 矩形 菱形 正方形 图示 顺次连接 各边中点 所得的四 边形 平行四边形 菱形 矩形 正方形 2 对角线 对角线高＝ ＝底菱形??S M G F E D C B A C D E F M G B A B E A C G M F D A F G M B D E C
在坐标系中构造平行四边形 一．知识复习： （一）平行四边形的定义 （二）平行四边形的性质 （三）平行四边形的判定: 二．在坐标系中构造平行四边形 （一）．三个定点，一个动点 1． 已知A 、B ，在坐标平面内确定一个点P ，使得以O 、A 、B 、P 为顶点的四边形是平行四边 形 （1）A （2,0），B （0,1） （2）A （2,0），B （1,1） 2. 已知A （2，-1）、B （1,1），C （3,3）， 在坐标平面内确定一个点P ，使得以A 、B 、 C 、P 为顶点的四边形是平行四边形 （二）．两个定点，两个动点（对动点的位置有要求） 1. 两个动点均在直线上 （1）已知：点B （2,0）和直线3y x =-+，点C 在y 轴上，点P 在直线3y x =-+上，若以O 、B 、C 、P 为顶点的四边形是平行四边形，求出符合条件的点P 的坐标。
（2） 已知：点A （2,0）、B （0,1）和直线3y x =-+，点C 在坐标轴上，点P 在直线3y x =-+上，若以O 、B 、C 、P 为顶点的四边形是平行四边形，求出符合条件的点P 的坐标。 2. 一个动点在直线上，另一个动点在抛物线上 （1） 已知：抛物线232y x x =-+与x 轴交于A 、B 两点（ 点在B P 、P 为顶点的四P 的坐标。 （2）已知：抛物线243y x x =-+与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点的左侧），与y 轴交于点D ，点C 在抛物线的对称轴上，点P 在抛物线上，若以D 、B 、C 、P 为顶点的四边形是平行四边形，求出符合条件的点P 的坐标。 （3）已知：抛物线245y x x =--与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点的左侧），与y 轴交于
对行 为一一为一四边形 两 组边平 一个 内角R t ∠一个内角为Rt ∠, 一组邻边相等组邻 边相等 组 对边平 行 且另一组对边 不平 行 一 个内角R t ∠组邻 边相等 四边形知识与题型总结 一.本章知识要求和结构 1. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念，了解它们之 间的内在关系. （1）演变关系图： （2）从属关系 （依据演变关系图，将四边形，平行四边形，梯形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形，直角梯形填入下面的从属关系图中，其中每一个圆代表 一种图形） 平行四边形
图2 F E D C B A 图1 F E D C B A 2. 探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的有关性质和常用判别方法，并能运用这些知识进行有关的证明和计算. 名称 平行四边形 矩形 菱形 正方形 定 义 的四边形是平行四边形 的平行四边形是矩形 的平行四边形是菱形 的平行四边形是正方形 性 质 边 角 对角线 对 称性 判 定 边 角 对角线 面 积 周 长 3. （1）平行四边形的面积等于它的底和该底上的高的积. 如图1， ABCD S =BC·AE=CD·BF
30? 60? 60? （2）同底(等底)同高（等高）的平行四边形面积相等.如图2， ABCD S =BCFE S 4.三角形中位线定理 定义: 叫做三角形中位线（与中线的区分）; 定理: 作用:可以证明两条直线平行;线段的相等或倍分. 拓展:三角形共有三条中位线，并且它们将原三角形分割成四个 的小三角形，其面积和周长分别为原三角形面积和周长的 和 ; （4）直角三角形的性质 定理: 直角三角形斜边上的中线 5.正方形： （1）对角线：若正方形的边长为a ，则对角线的长为2a ; 正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两个端点的距离相等 （3）面积：正方形的面积等于边长的平方; 等于两条对角线的乘积的 一半. 周长相等的四边形中， 正方形的面积最大. 6. ※梯形的中位线 （1）定义:连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线 （2）梯形的中位线定理:梯形的中位线平行于两底，且等于两底和的一半. （3）梯形的面积S=12 ×（上底+下底）×高=中位线×高 7.几种特殊四边形的对角线 ① 矩形对角线交角为60?(120?)时,可得： 等边三角形和含30?角直角三角形 （① 图） ② 菱形有一个角为60?时, 可得： ③ 正方形中可得： 含30?角的四个全等直角三角形 四大四小等腰直角三角形
创作编号：GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 判别平行四边形的基本方法 如何判别一个四边形是平行四边形呢?下面举例予以说明. 一、运用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”判别 例1 如图1,在平行四边形ABCD 中,E 、F 在对角线AC 上,且AE =CF ,试说明四边形DEBF 是平行四边形. 分析:由于已知条件与对角线有关，故考虑运用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”进行判别.为此,需连接BD . 解：连接BD 交AC 于点O . 因为四边形ABCD 是平行四边形, 所以AO =CO ,BO =DO . 又AE =CF , 所以AO -AE =CO -CF ,即EO =FO . 所以四边形DEBF 是平行四边形. 二、运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”判别 例2 如图2，是由九根完全一样的小木棒搭成的图形，请你指出图中所有的平行四边形，并说明理由. 分析:设每根木棒的长为1个单位长度，则图中各四边形的边长便可求得，故应考虑运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”进 行判别. 解：设每根木棒的长为1个单位长度，则AF =BC =1,AB =FC =1, 所以四边形ABCF 是平行四边形. 同样可知四边形FCDE 、四边形ACDF 都是平行四四边形. 因为AE =DB =2,AB =DE =1,所以四边形ABDE 也是平行四边形. 三、运用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判别 例3 如图3，E 、F 是四边形ABCD 的对角线AC 上的两点，AE =CF ,DF =BE ,DF ∥BE ，试说明四边形ABCD 是平行四边形. 分析: 题目给出的条件都不能直接判别四边形ABCD 是平行四边 图1 图2 A B C D E F
一、平行四边形知识结构及要点小结 平行四边形定义：有两组对边分别平行的四边开形是平行四边形。性质：1、平行四边形的两组对边分别平行。 2、平行四边形的两组对边分别相等 3、平行四边形的两组对角分别相等 4、平行四边形的两条对角线互相平分。 判定方法：1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 3、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 4、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。 5、两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线。 定理；三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。 二、解题方法及技巧小结： 证明线段相等或角相等的问题用过去所学的全等知识也可完成，但相对比而言，应用平行四边形的性质求证较为简单。另外平行四边形对角线是很重要的基本图形，应用它的性质解题可开辟新的途径。
特殊的平行四边形知识结构及要点小结 矩形：定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 性质：1、具有平行四边形的所有性质。 2、矩形有四个角都是直角。 3、矩形有对角线相等。 4、矩形是轴对称图形，有两条对称轴。 判定方法：1、定义 2、对角线相等的平行四边形是矩形。 3、有三个角是直角的四边形是矩形。 菱形：定义：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形。 性质；1、具有平行四边形所有性质。 2、菱形有四条边都相等。 3、菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 4、菱形是轴对称图形。 判定方法：1、定义 2、对角线互相垂直的平行四边形 3、四边相等的四边形 正方形：定义；一组邻边相等的矩形 性质：具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质 判定：1、定义 2、有一个内角是直角的菱形 3、对角线相等的菱形 4、对角线互相垂直的矩形 解题方法及技巧小结 菱形、矩形、正方形都是特殊的平行四边形。它们的性质既有区别又有联系，它们的判定方法虽然不同，但有许多相似之处，因此要用类比的思想，将学到的知识总结出相关规律。
为 四边形两 组 对 边 平 行 一个 内角 R t∠ 一个内角为Rt∠, 一组邻边相等 一组邻 边相等 一组 对边 平行 且另 一组 对边 不平 行一个 内角 为R t∠ 一组邻 边相等 四边形知识与题型总结 一.本章知识要求和结构 1. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念，了解它们之间的内在关系. （1）演变关系图： （2）从属关系 （依据演变关系图，将四边形，平行四边形，梯形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形，直角梯形填入下面的从属关系图中，其中每一个圆代表一种图形）
2. 探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的有关性质和 常用判别方法，并能运用这些知识进行有关的证明和计算. 名称平行四边形矩形菱形正方形定 义的四边形是平行四 边形的平行四边形是矩 形 的平行四边形是 菱形 的平行四边形是 正方形 性质边 角对角线 判定边 角对角线 面积周长
图2 F E D C B A 图1 F E D C B A 3. （1）平行四边形的面积等于它的底和该底上的高的积. 如图1， ABCD S =BC· AE=CD·BF （2）同底(等底)同高（等高）的平行四边形面积相等.如图2， ABCD S = BCFE S 4.三角形中位线定理 定义: 叫做三角形中位线（与中线的区分）; 定理: 作用:可以证明两条直线平行;线段的相等或倍分. 拓展:三角形共有三条中位线，并且它们将原三角形分割成四个 的 小三角形，其面积和周长分别为原三角形面积和周长的 和 ; （4）直角三角形的性质 定理: 直角三角形斜边上的中线
60? 60? A D C B F E 30? 60? 60? 5.正方形： （1）对角线：若正方形的边长为a，则对角线的长为2a; 正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两个端点的距离相等（3）面积：正方形的面积等于边长的平方; 等于两条对角线的乘积的一半. 周长相等的四边形中，正方形的面积最大. 6. ※梯形的中位线 （1）定义:连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线 （2）梯形的中位线定理:梯形的中位线平行于两底，且等于两底和的一半. （3）梯形的面积S= 1 2 ×（上底+下底）×高=中位线×高 7.几种特殊四边形的对角线 ①矩形对角线交角为60?(120?)时,可得： 等边三角形和含30?角直角三角形（①图）②菱形有一个角为60?时, 可得：③正方形中可得： 含30?角的四个全等直角三角形四大四小等腰直角三角形 （②图）（③图） ④对角线互相垂直的梯形, ⑤对角线互相垂直的等腰梯形平移腰可得：双垂图可得：等腰直角三角形 （④图）（⑤图）
一、画一画。 1.在钉子图上围一个平行四边形、一个正方形、一个长方形。 2.把三角形改成平行四边形。 3.把下列图形改成平行四边形。 4.画一个和图中一样的平行四边形
5. 在格子图上画一个平行四边形、一个正方形、一个长方形。 二、用心推敲后再选择（将正确答案的序号填在括号内） 1、6克重的口香糖和6克重的棉花糖（）A、口香糖重B、棉花糖重C、一样重。 2、要称一元硬币的重量，应该选用（）来称。A、磅秤B、天平C、弹簧秤 3、一辆汽车的速度约为每小时（）千米A、40 B、400 C、4000 4、一袋洗衣粉重500克，2袋洗衣粉的重量是（）。A、500克B、1千克C、1克 5、一只鹅重3千克，2只鹅的重量等于3只鸡的重量，一只鸡重（）。 A、4千克 B、3千克 C、2千克 6、小张身高（） A.140厘米B.140分米C.140毫米 三、想一想，算一算，填空： 1、2米－7分米=（）分米8000米+5000米=（）千米6厘米=（）毫米 2、四边形有（）条边，（）个角。1吨－600千克＝（）千克3．一只枕套长6分米，宽4分米，如果在它的四周镶上花边，至少需要（）分米的花边。 4、绕着一个边长为500米的正方形人工湖走一圈，走的路程是（）米，合（）千米。 5、周长是36厘米的正方形，边长是（）厘米。 6、周长是28厘米的长方形，长与宽的和是( ) 厘米. 五、判断。
1、平行四边形的对边（平行且相等），对角（相等）。 2、一个长方形的宽是3厘米，长是宽的2倍，它的周长是（18厘米）。 3、一个正方形的周长是28分米，它的边长是（7分米）。 4、一个平行四边形的一组邻边的和是16厘米，这个平行四边形的周长是（32 ）厘米。 二、判断： （1）四个角都是直角的四边形一定是正方形。（错） （2）平行四边形容易变形。（对） （3）长方形的周长一定比正方形的周长大。（错） （4）用一根长12厘米的铁丝围成一个长方形，只有一种围法。（错） 三、选择： （1）把一个长方形拉成一个平行四边形，周长（ A ）。A、不变B、改变C、无法确定（2）右图中一共有（）个平行四边形。 A、3 B、4 C、5 （3）用一张长10厘米、宽6厘米的长方形纸折成一个最大的正方形，正方形的边长是（C）厘米。 A、10 B、4 C、6 （4）一个长方形枕套，长40厘米、宽30厘米，四周围上花边，至少要用多少厘米的花边？列式不对的是（B ）。 A、（40+30）×2 B、30+40×2 C、40×2+30×2 （5）右图哪一部分的周长大？（） A、阴影部分 B、空白部分 C、一样大。
平行四边形 一、 基础知识平行四边形 二、1、三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三遍的一半。 2、由矩形的性质得到直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 三、例题 例1、如图1，平行四边形ABCD 中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E 、F. 求证：∠BAE =∠DCF. 例2、如图2，矩形ABCD 中，AC 与BD 交于O 点，BE⊥AC 于E ，CF⊥BD 于F. 求证：BE = CF. 例3、已知：如图3，在梯形ABCD 中，AD∥BC，AB = DC ，点E 、F 分别在AB 、CD 上，且BE = 2EA ， CF = 2FD. 求证：∠BEC =∠CFB. （图1） B O A B C D E F （图2）
例4、如图6，E 、F 分别是 ABCD 的AD 、BC 边上的点，且AE = CF. （1 （2）若、N 分别是BE 、DF 的中点，连结MF 、EN ，试判断四边形MFNE 是怎样的四边 形，并证明你的结论. 例5、如图的对角线AC 的垂直平分线与边AD ，BC 分别相交于点E ，F.，求证：四边形AFCE 是菱形. 例6、如图8，四边形ABCD 是平行四边形，O 是它的中心，E 、F 是对角线AC 上的点. （1）如果 ，则△DEC≌△BFA（请你填上一个能使结论成立的一个条件）； （2）证明你的结论. 例7、如图9，已知在梯形ABCD 中，AD∥BC，AB = DC ，对角线AC 和BD 相交于点O ，E 是BC 边上一个动点（点E 不与B 、C 两点重合），EF∥BD 交AC 于点F ，EG∥AC 交BD 于点C. （1）求证：四边形EFOG 的周长等于2OB ； （2）请你将上述题目的条件“梯形ABCD 中，AD∥BC，AB = DC”改为另一种四边形，其他条件不变，使得结论，“四边形EFOG 的周长等于2OB”仍成立，并将改编后的题目画出图形，写出已知、求证、不必证明. 例8、有一块梯形形状的土地，现要平均分给两个农户种植（即将梯形的面积两等分），试设计两种方案（平分方案画在备用图13(1)、(2)上），并给予合理的解释. A D B C E F (图M N 备用图（1） 备用图（2） B C B
平行四边形知识结构图1 一、知识结构图： 二、平行四边形的性质 三、平行四边形的常用判定方法 1. 三角形的中位线平行且等于第三边的一半 2. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 3. 菱形的面积公式：对角线乘积的一半 1 练习题： 1．不能判定四边形ABCD 为平行四边形的题设是（）（A ）AB 平行且等于CD 。（B ）∠A=∠C ，∠B=∠D 。（C ）AB=AD，BC=CD。（D ）AB=CD，AD=BC。 2．下面性质中菱形有而矩形没有的是（） （A ）邻角互补（B ）内角和为360°（C ）对角线相等（D ）对角线互相垂直3．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）（A ）四条边相等（B ）对角线互相垂直平分（C ）对角线平分一组对角（D ）对角线相等 4、顺次连结任意四边形四边中点所得的四边形一定是（） A 、平行四边形 B、矩形 C、菱形 D、正方形 5. 如图, □ABCD 中, ∠C=108°,BE 平分∠ABC, 则∠ABE 等于( ) A.18° B.36° C.72° D.108° 6．下列命题中，真命题是（） A 、有两边相等的平行四边形是菱形 B、对角线垂直的四边形是菱形 C 、四个角相等的菱形是正方形 D、两条对角线相等的四边形是矩形 7、□ABCD 中，∠A =50°，则 ∠B =__________，∠C =__________。 8．已知菱形两条对角线的长分别为5cm 和8cm ，则这个菱形的面积是______cm． 9、菱形ABCD 的周长为36，其相邻两内角的度数比为1:5，则此菱形的面积为 _________。 10、对角线长为22的正方形的周长为___________，面积为__________。 11．如图，过矩形ABCD 的对角线BD 上一点K 分别作矩形两边的平行线MN 与PQ ，那么图中矩形AMKP 的面积 S 1与矩形QCNK 的面积S 2的关系是S 1 S2（填“＞”或“＜”或“＝” ） D
第十八章 规律总结“构造平行四边形” 大堡中学 郭平 规律描述：三角形的中位线定理是指：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。在证明这个定理的时候用到做辅助线“构造平行四边形”，利用平行四边形的性质来证明，我把这个方法叫做“倍长构造平行四边形”，这个倍长作辅助线的方法在后面证明直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的时候也用到。 知识点： 平行四边形的性质： 平行四边形的对边平行且相等。 平行四边形的判定： 1.对角线互相平分的四边形是平 行四边形； 2. 一组对边平行且相等的四边形 是平行四边形； 例1 已知：如图，点D 、E 、分别为△ABC 边AB 、AC 的中点， 求证：DE ∥BC 且 DE=2 1BC ． 分析：所证明的结论既有平行关系，又有数量关系，联想已学过的知 识，可以把要证明的内容转化到一个平行四边形中，利用平行四边形的对边平行且相等的性质来证明结论成立，从而使问题得到解决，这就需要添加适当的辅助线来构造平行四边形． 方法1：如图（1），延长DE 到F ，使EF=DE ，连接CF ，由△ADE ≌△CFE ，可得AD ∥FC ，且AD=FC ，因此有BD ∥FC ，BD=FC ，所以四边形BCFD 是平行四边形．所以DF ∥BC ，DF=BC ，因为DE=21DF ，所以DE ∥BC 且DE=2 1BC ． （也可以过点C 作CF ∥AB 交DE 的延长线于F 点，证明方法与上面大体相同）
方法2：如图（2），延长DE 到F ，使EF=DE ，连接CF 、CD 和AF ，又AE=EC ，所以四边形ADCF 是平行四边形．所以AD ∥FC ，且AD=FC ．因为AD=BD ，所以BD ∥FC ，且BD=FC ．所以四边形ADCF 是平行四边形．所以DF ∥BC ，且DF=BC ，因为DE= 21DF ，所以DE ∥BC 且DE= 2 1BC ． 例2 如图，在矩形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，我们观察 Rt ?ABC,在Rt ?ABC 中，BO 是斜边AC 上的中线，BO 与AC 有什么关系？ OB 与AC 的数量关系是：OB=2 1AC 分析：此题也是通过延长BO 一倍，构造矩形，来证明要证的结论。 归纳： 直角三角形的一个性质： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 例3 习题18.2 的16题也是用构造平行四边形的方法证明要得的结论。
平行四边形与多边形主题单元教学设计主题单元标题平行四边形与多边形 作者姓名所属单位 联系地址联系电话 电子邮箱邮政编码 学科领域（在□内打2表示主属学科，打+表示相关学科） □思想品德 □音乐 □化学 □信息技术 □劳动与技术 口其他（请列出）：□语文 □美术口生物□科学 数学 □外语 □历史 口社区服务 □体育 □物理 □地理 □社会实践 适用年级七年级 所需时间共计8课时 主题单元学习概述 “平行四边形与多边形”主题单元结构包括“平行四边形的性质与判定”、“特殊平行 四边形的性质与判定及多边形的内角和与外角和”、“简单应用”三部分，这样安排的目的 主要是，学生对平行四边形比较熟悉，而身边的平行四边形也很多，这样容易让学生很快探索出平行四边形的性质与判定，利于下面的学习。然后利用多媒体和模型，逐渐把一个平行四边形进行变形，逐渐变成菱形、矩形、正方形，这样就能让学生知道后面这些特殊图形仍然是在平行四边形的基础上演变而来的，只是产生一定的小变化，只要找到变化之处，就是新的知识，从而，将这些内容紧密联系，层层递进，易于激发学生的学习兴趣也有利于帮助学生理解知识之间的联系，展示数学知识的整体性，对于多边形的内角和与外
角和的学习安排，主要是学生已经有了三角形和四边形的学习基础，由此设计了这节内容, 让学生去探索，方便后面课题的学习。专题三的简单应用学以致用的一个环节，平面图形的密铺会用到三角形及多边形的内角和，而且学生可以经历从实际问题抽象出数学问题，建立数学模型，应用已有知识解决问题的过程，从而加深对相关知识的理解，提高思维能力。 主题单元规划思维导图（说明：将主题单元规划的思维导图导岀为jpeg文件后，粘贴在这里） 平行四边形和多边形 主题单元学习目标 知识技能： 1、掌握平行四边形、菱形、矩形、正方形的概念，了解他们之间的关系; 2、掌握平行四边形及特殊平行四边形的性质与判定; a. 科■?_ X Jhi mi ■石! ■4*1 r-W> ] ni J?i - l-lMfr ■ m冷亠1 W? A 1 HJft-ditB T ntiut