一次函数压轴题训练
典型例题
题型一、A 卷压轴题
一、A 卷中涉及到的面积问题
例1、如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数12
23
y x =-
+与x 轴、y 轴分别相交于点A 和点B ，直线2 (0)y kx b
k =+≠经过点C （1，0）且与线段AB 交于点P ，并把△ABO 分成两部分．
（1）求△ABO 的面积； （2）若△ABO 被直线CP 分成的两部分的面积相等，求点P 的坐标及直线CP 的函数表达式。
练习1、如图，直线1l 过点A （0，4），点D （C ，两直线1l ，2l 相交于点B 。
（1）、求直线1l 的解析式和点B 的坐标； （2）、求△ABC 的面积。
二、A卷中涉及到的平移问题
例2、正方形ABCD的边长为4，将此正方形置于平面直角坐标系中，使AB边落在X轴的正半轴上，且A点的坐标是（1，0）。
①直线y=
4
3
x-
8
3
经过点C，且与x轴交与点E，求四边形AECD的面积；
②若直线l经过点E且将正方形ABCD分成面积相等的两部分求直线l的解析式，
③若直线
1
l经过点F?
?
?
?
?
-0.
2
3
且与直线y=3x平行,将②中直线l沿着y轴向上平移
3
2
个单位交x轴于点M,交直线1l于点N,求NMF
?的面积.
练习1、如图，在平面直角坐标系中，直线1l：x
y
3
4
=与直线
2
l：b
kx
y+
=相交于
点A，点A的横坐标为3，直线
2
l交y轴于点B，且OB
OA
2
1
=。
（1）试求直线
2
l函数表达式。（6分）
（2）若将直线
1
l沿着x轴向左平移3个单位，交y轴
于点C，交直线
2
l于点D；试求△BCD的面积。（4分）。
x
A
1
l
1
1
y L
2
题型二、B 卷压轴题
一、一次函数与特殊四边形
例1、如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 分别在x 轴、y 轴上，线段OA 、OB 的长(0A ?=+-=6 32y x y x 的解，点C 是直线x y 2=与直线 AB 的交点，点D 在线段OC 上，OD=52 (1)求点C 的坐标； (2)求直线AD 的解析式； (3)P 是直线AD 上的点，在平面内是否存在点Q ，使以0、A 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形?若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 练习1、.如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知直线PA 是一次函数y=x+m (m>0)的图象,直线PB 是一次函数n n x y (3+-=>m )的图象,点P 是两直线的交点,点A 、B 、C 、Q 分别是两条直线与坐标轴的交点。 （1）用m 、n 分别表示点A 、B 、P 的坐标及∠PAB 的度数； （2）若四边形PQOB 的面积是 2 11 ，且CQ:AO=1:2，试求点P 的坐标，并求出直线PA 与PB 的函数表达式； （3）在（2）的条件下，是否存在一点D ，使以A 、B 、P 、D 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由。 P Q C y 2、（2011?玉溪）如图，在Rt △OAB 中，∠A=90°，∠ABO=30°，OB= 83 ，边AB 的垂直平分线CD 分别与AB 、x 轴、y 轴交于点C 、G 、D ． （1）求点G 的坐标； （2）求直线CD 的解析式； （3）在直线CD 上和平面内是否分别存在点Q 、P ，使得以O 、D 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q 得坐标；若不存在，请说明理由． 二、一次函数与三角形 例2、如图,矩形OABC 在平面直角坐标系内(O 为坐标原点),点A 在x 轴上,点C 在y 轴上,点B 的坐标为(-2,32),点E 是BC 的中点,点H 在OA 上,且AH= 2 1 ,过点H 且平行于y 轴的HG 与EB 交于点G,现将矩形折叠,使顶点C 落在HG 上 ,并与HG 上的点D 重合,折痕为EF,点F 为折痕与y 轴的交点. (1)求∠CEF 的度数和点D 的坐标;(3分) (2)求折痕EF 所在直线的函数表达式;(2分) (3)若点P 在直线EF 上,当△PFD 为等腰三角形时,试问满足条件的点P 有几个,请求出点P 的坐标,并写出解答过程.(5分) 练习1、（2011?漳州）如图，直线y=-2x+2与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，将△OAB 绕点O 逆时针方向旋转90°后得到△OCD ． （1）填空：点C 的坐标是（ ， ），点D 的坐标是（ ，）； （2）设直线CD 与AB 交于点M ，求线段BM 的长； （3）在y 轴上是否存在点P ，使得△BMP 是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 2、（2010?黑河）如图，在平面直角坐标系中，函数y=2x+12的图象分别交x 轴，y 轴于A ，B 两点过点A 的直线交y 轴正半轴与点M ，且点M 为线段OB 的中点． （1）求直线AM 的函数解析式． （2）试在直线AM 上找一点P ，使得S △ABP =S △AOB ，请直接写出点P 的坐标． x y F C E B G A H O D x y F C E B G A H O D （3）若点H 为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点H ，使以A ，B ，M ，H 为顶点的四边形是等腰梯形？若存在，请直接写出点H 的坐标；若不存在，请说明理由 三、重叠面积问题 例3、已知如图，直线33y x =-+与x 轴相交于点A ，与直线3y x =相交于点P ． ①求点P 的坐标． ②请判断OPA ?的形状并说明理由． ③动点E 从原点O 出发，以每秒1个单位的速度沿着O →P →A 的路线向点A 匀速运动（E 不与点O 、A 重合），过点E 分别作EF ⊥x 轴于F ，EB ⊥y 轴于B ．设运动t 秒时，矩形EBOF 与△OPA 重叠部分的面积为S ．求： S 与t 之间的函数关系式． 练习1、如图，已知直线1l :2+-=x y 与直线2l ：82+=x y 相交于点F ，1l 、2l 分别交x 轴 于点E 、G ，矩形ABCD 顶点C 、D 分别在直线1l 、2l ，顶点A 、B 都在x 轴上，且点B 与 F y O A x P E B 点G 重合。 （1）、求点F 的坐标和∠GEF 的度数； （2）、求矩形ABCD 的边DC 与BC 的长； （3）、若矩形ABCD 从原地出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为t ()60≤≤t 秒，矩形ABCD 与△GEF 重叠部分的面积为s ，求s 关于t 的函数关系式，并写出相应的t 的取值范围。 2、如图，过A （8，0）、B （0，83 ）两点的直线与直线x y 3= 交于点C ．平行于y 轴的 直线l 从原点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿x 轴向右平移，到C 点时停止；l 分 别交线段BC 、OC 于点D 、E ，以DE 为边向左侧作等边△DEF ，设△DEF 与△BCO 重叠部分的面积为S （平方单位），直线l 的运动时间为t （秒）． （1）直接写出C 点坐标和t 的取值范围； （2）求S 与t 的函数关系式； （3）设直线l 与x 轴交于点P ，是否存在这样的点P ，使得以P 、O 、F 为顶点的三角形 为等腰三角形，若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 3、（衡阳市）如图，直线4+-=x y 与两坐标轴分别相交于A.B 点，点M 是线段AB 上任意一点（A.B 两点除外），过M 分别作MC ⊥OA 于点C ，MD ⊥OB 于D ． （1）当点M 在AB 上运动时，你认为四边形OCMD 的周长是否发生变化？并说明理由； （2）当点M 运动到什么位置时，四边形OCMD 的面积有最大值？最大值是多少？ A B C D E F G O x y 1l 2l （3）当四边形OCMD 为正方形时，将四边形OCMD 沿着x 轴的正方向移动，设平移的距离为 )40< 出该函数的图象． 四、关系式问题 例4、如图，已知直线的解析式 为 图（1） 图（2） 图（3） ，直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，直线经过B、 C两点，点C的坐标为（8，0），又已知点P在x轴上从点A向点C移动，点Q在直线 从点C向点B移动.点P、Q同时出发，且移动的速度都为每秒1个单位长度，设移动时间为t秒 （）. （1）求直线的解析式. （2）设△PCQ的面积为S，请求出S关于t的函数关系式. 练习1、（2011?鸡西）已知直线y=x+4与x轴、y轴分别 交于A、B两点，∠ABC=60°，BC与x轴交于点C． （1）试确定直线BC的解析式． （2）若动点P从A点出发沿AC向点C运动（不与A、C重合），同时动点Q从C点出发沿CBA向点A运动（不与C、A重合），动点P的运动速度是每秒1个单位长度，动点Q的运动速度是每秒2个单位长度．设△APQ的面积为S，P点的运动时间为t秒，求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围． （3）在（2）的条件下，当△APQ的面积最大时，y轴上有一点M，平面内是否存在一点N，使以A、Q、M、N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由． A B C O y 2 y 1 x y P 2、（2011?河池）已知直线l 经过A （6，0）和B （0，12）两点，且与直线y=x 交于点C ． （1）求直线l 的解析式； （2）若点P （x ，0）在线段OA 上运动，过点P 作l 的平行线交直线y=x 于D ，求△PCD 的面积S 与x 的函数关系式；S 有最大值吗？若有，求出当S 最大时x 的值； （3）若点P （x ，0）在x 轴上运动，是否存在点P ，使得△PCA 成为等腰三角形？若存在，请写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 一次函数压轴题训练 典型例题 题型一、A 卷压轴题 一、A 卷中涉及到的面积问题 例1、如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数12 23 y x =- +与x 轴、y 轴分别相交于点A 和点B ，直线2 (0)y kx b k =+≠经过点C （1，0）且与线段AB 交于点P ，并把△ABO 分成两部分． （1）求△ABO 的面积； （2）若△ABO 被直线CP 分成的两部分的面积相等，求点P 的坐标及直线CP 的函数表达式。 练习1、如图，直线1l 过点A （0，4），点D （4，0），直线2l ：12 1 +=x y 与x 轴交于点C ，两直线1l ，2l 相交于点B 。 （1）、求直线1l 的解析式和点B 的坐标； （2）、求△ABC 的面积。 二、A 卷中涉及到的平移问题 例2、 正方形ABCD 的边长为4，将此正方形置于平面直角坐标系中，使AB 边落在X 轴的正半轴上，且A 点的坐标是（1，0）。 ①直线y=43x-8 3 经过点C ，且与x 轴交与点E ，求四边形AECD 的面积； ②若直线l 经过点E 且将正方形ABCD 分成面积相等的两部分求直线l 的解析式， ③若直线1l 经过点F ?? ? ??- 0.23且与直线y=3x 平行,将②中直线l 沿着y 轴向上平移32个单位 交x 轴于点M ,交直线1l 于点N ,求NMF ?的面积. A B C O D x y 1 l 2 l 练习1、如图，在平面直角坐标系中，直线1l ：x y 3 4 = 与直线2l ：b kx y += 相交于点A ，点A 的横坐标为3，直线2l 交y 轴于点B ，且OB OA 2 1 =。 （1）试求直线2l 函数表达式。（6分） （2）若将直线1l 沿着x 轴向左平移3个单位，交 y 轴于点C ，交直线2l 于点D ；试求 △BCD 的面积。（4分）。 题型二、B 卷压轴题 一、一次函数与特殊四边形 例1、如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 分别在x 轴、y 轴上，线段OA 、OB 的长(0A 是方程组? ??=+-=632y x y x 的解，点C 是直线x y 2=与直线AB 的交点，点D 在线段OC 上， OD=52 (1)求点C 的坐标； (2)求直线AD 的解析式； (3)P 是直线AD 上的点，在平面内是否存在点Q ，使以0、A 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形?若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 练习1、.如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知直线PA 是一次函数y=x+m (m>0)的图象,直线PB 是一次函数n n x y (3+-=>m )的图象,点P 是两直线的交点,点A 、B 、C 、Q 分别是两条直线与坐标轴的交点。 （1）用m 、n 分别表示点A 、B 、P 的坐标及∠PAB 的度数； （2）若四边形PQOB 的面积是 2 11 ，且CQ:AO=1:2，试求点P 的坐标，并求出直线PA 与PB 的函数表达式； （3）在（2）的条件下，是否存在一点D ，使以A 、B 、P 、D 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由。 2、（2011?玉溪）如图，在Rt △OAB 中，∠A=90°，∠ABO=30°，OB= 83 3 ，边AB 的垂直平分线CD 分别与AB 、x 轴、y 轴交于点C 、G 、D ． （1）求点G 的坐标； （2）求直线CD 的解析式； （3）在直线CD 上和平面内是否分别存在点Q 、P ，使得以O 、D 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q 得坐标；若不存在，请说明理由． x A O B P Q C y 二、一次函数与三角形 例2、如图,矩形OABC 在平面直角坐标系内(O 为坐标原点),点A 在x 轴上,点C 在y 轴上,点B 的坐标为(-2,32),点E 是BC 的中点,点H 在OA 上,且AH= 2 1 ,过点H 且平行于y 轴的HG 与EB 交于点G,现将矩形折叠,使顶点C 落在HG 上 ,并与HG 上的点D 重合,折痕为EF,点F 为折痕与y 轴的交点. (1)求∠CEF 的度数和点D 的坐标;(3分) (2)求折痕EF 所在直线的函数表达式;(2分) (3)若点P 在直线EF 上,当△PFD 为等腰三角形时,试问满足条件的点P 有几个,请求出点P 的坐标,并写出解答过程.(5分) 练习1、（2011?漳州）如图，直线y=-2x+2与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，将△OAB 绕点O 逆时针方向旋转90°后得到△OCD ． （1）填空：点C 的坐标是（ ， ），点D 的坐标是（ ，）； （2）设直线CD 与AB 交于点M ，求线段BM 的长； （3）在y 轴上是否存在点P ，使得△BMP 是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由． x y F C E B G A H O D x y F C E B G A H O D 3、（2010?黑河）如图，在平面直角坐标系中，函数y=2x+12的图象分别交x轴，y轴于A，B两点过点A的直线交y轴正半轴与点M，且点M为线段OB的中点． （1）求直线AM的函数解析式． （2）试在直线AM上找一点P，使得S△ABP=S△AOB，请直接写出点P的坐标． （3）若点H为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点H，使以A，B，M，H 为顶点的四边形是等腰梯形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由 三、重叠面积问题 例3、已知如图，直线33 y x =-+与x轴相交于点A，与直线3 y x =相交于点P． ①求点P的坐标． ②请判断OPA ?的形状并说明理由． ③动点E从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿着O→P→A的路线向点A匀速运动（E不与点O、A重合），过点E分别作EF⊥x轴于F，EB⊥y轴于B．设运动t秒时，矩形EBOF与△OPA重叠部分的面积为S．求：S与t之间的函数关系式．y P E B 练习1、如图，已知直线1l :2+-=x y 与直线2l ：82+=x y 相交于点F ，1l 、2l 分别交x 轴 于点E 、G ，矩形ABCD 顶点C 、D 分别在直线1l 、2l ，顶点A 、B 都在x 轴上，且点B 与点G 重合。 （1）、求点F 的坐标和∠GEF 的度数； （2）、求矩形ABCD 的边DC 与BC 的长； （3）、若矩形ABCD 从原地出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为t ()60≤≤t 秒，矩形ABCD 与△GEF 重叠部分的面积为s ，求s 关于t 的函数关系式，并写出相应的t 的取值范围。 2、如图，过A （8，0）、B （0，83 ）两点的直线与直线x y 3= 交于点C ．平行于y 轴的 直线l 从原点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿x 轴向右平移，到C 点时停止；l 分 别交线段BC 、OC 于点D 、E ，以DE 为边向左侧作等边△DEF ，设△DEF 与△BCO 重叠部分的面积为S （平方单位），直线l 的运动时间为t （秒）． （1）直接写出C 点坐标和t 的取值范围； （2）求S 与t 的函数关系式； （3）设直线l 与x 轴交于点P ，是否存在这样的点P ，使得以P 、O 、F 为顶点的三角形 为等腰三角形，若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． A B C D E F G O x y 1l 2l 3、（衡阳市）如图，直线4+-=x y 与两坐标轴分别相交于A.B 点，点M 是线段AB 上任意一点（A.B 两点除外），过M 分别作MC ⊥OA 于点C ，MD ⊥OB 于D ． （1）当点M 在AB 上运动时，你认为四边形OCMD 的周长是否发生变化？并说明理由； （2）当点M 运动到什么位置时，四边形OCMD 的面积有最大值？最大值是多少？ （3）当四边形OCMD 为正方形时，将四边形OCMD 沿着x 轴的正方向移动，设平移的距离为 )40< 出该函数的图象． 四、关系式问题 图（1） 图（2） 图（3） 例4、如图，已知直线的解析式为 ，直线 与x轴、y轴分别相交于A、B两点，直线
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