§8.4直线、平面平行的判定与性质
2014高考会这样考 1.考查空间平行关系的判定及性质有关命题的判定；2.解答题中证明或探索空间的平行关系．
复习备考要这样做 1.熟练掌握线面平行、面面平行的判定定理和性质，会把空间问题转化为平面问题，解答过程的叙述步骤要完整，避免因条件书写不全而失分；2.学会应用“化归思想”进行“线线问题、线面问题、面面问题”的互相转化，牢记解决问题的根源在“定理”．
1．直线与平面平行的判定与性质
2.
[
1．证明线面平行是高考中常见的问题，常用的方法就是证明这条线与平面内的某条直线平行．但一定要说明一条直线在平面外，一条直线在平面内．
2．在判定和证明直线与平面的位置关系时，除熟练运用判定定理和性质定理外，切不可丢弃定义，因为定义既可作判定定理使用，亦可作性质定理使用．
3．辅助线(面)是解(证)线面平行的关键．为了能利用线面平行的判定定理及性质定理，往往需要作辅助线(面)．
1．已知不重合的直线a，b和平面α，
①若a∥α，b?α，则a∥b；
②若a∥α，b∥α，则a∥b；
③若a∥b，b?α，则a∥α；
④若a∥b，a∥α，则b∥α或b?α.
上面命题中正确的是________(填序号)．
答案④
解析①若a∥α，b?α，则a，b平行或异面；②若a∥α，b∥α，则a，b平行、相交、异面都有可能；③若a∥b，b?α，则a∥α或a?α.
2．已知α、β是不同的两个平面，直线a?α，直线b?β，命题p：a与b没有公共点；命题q：α∥β，则p是q的____________条件．
答案必要不充分
解析∵a与b没有公共点，不能推出α∥β，
而α∥β时，a与b一定没有公共点，
即pD?/q，q?p，∴p是q的必要不充分条件．
3．已知平面α∥平面β，直线a?α，有下列命题：
①a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；③a与β内的任意一条直线都
不垂直．
其中真命题的序号是________．
答案②
解析因为α∥β，a?α，所以a∥β，在平面β内存在无数条直线与直线a平行，但不是所有直线都与直线a平行，故命题②为真命题，命题①为假命题．在平面β内存在无数条直线与直线a垂直，故命题③为假命题．
4．(2011·浙江)若直线l不平行于平面α，且l?α，则() A．α内的所有直线与l异面
B．α内不存在与l平行的直线
C．α内存在唯一的直线与l平行
D．α内的直线与l都相交
答案 B
解析由题意知，直线l与平面α相交，则直线l与平面α内的直线只有相交和异面两种位置关系，因而只有选项B是正确的．
5．(2012·四川)下列命题正确的是() A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行
答案 C
解析利用线面位置关系的判定和性质解答．
A错误，如圆锥的任意两条母线与底面所成的角相等，但两条母线相交；
B错误，△ABC的三个顶点中，A、B在α的同侧，而点C在α的另一侧，且AB平行于α，此时可有A、B、C三点到平面α的距离相等，但两平面相交；
D 错误，如教室中两个相邻墙面都与地面垂直，但这两个面相交，故选C.
题型一 直线与平面平行的判定与性质
例1 正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面相交于AB ，在AE 、BD 上各有一点P 、Q ，且
AP ＝DQ .求证：PQ ∥平面BCE .
思维启迪：证明直线与平面平行可以利用直线与平面平行的判定定理，也可利用面面平行的性质．
证明 方法一 如图所示． 作PM ∥AB 交BE 于M ， 作QN ∥AB 交BC 于N ， 连接MN .
∵正方形ABCD 和正方形ABEF 有公共边AB ，∴AE ＝BD . 又AP ＝DQ ，∴PE ＝QB ，
又PM ∥AB ∥QN ，∴PM AB ＝PE AE ＝QB BD ＝QN
DC ，
∴
PM AB ＝QN DC
， ∴PM 綊QN ，即四边形PMNQ 为平行四边形， ∴PQ ∥MN .
又MN ?平面BCE ，PQ ?平面BCE ， ∴PQ ∥平面BCE .
方法二 如图，连接AQ ，并延长交BC 延长线于K ，连接EK ， ∵AE ＝BD ，AP ＝DQ ， ∴PE ＝BQ ，∴AP PE ＝DQ
BQ ，
又AD ∥BK ，∴DQ BQ ＝AQ
QK ，
∴
AP PE ＝AQ
QK
，∴PQ ∥EK . 又PQ ?平面BCE ，EK ?平面BCE ， ∴PQ ∥平面BCE .
方法三 如图，在平面ABEF 内，过点P 作PM ∥BE ，交AB 于点M ， 连接QM .
∴PM ∥平面BCE ，
又∵平面ABEF ∩平面BCE ＝BE ， ∴PM ∥BE ，∴AP PE ＝AM MB
，
又AE ＝BD ，AP ＝DQ ，∴PE ＝BQ ， ∴
AP PE ＝DQ BQ ，∴AM MB ＝DQ QB
， ∴MQ ∥AD ，又AD ∥BC ， ∴MQ ∥BC ，∴MQ ∥平面BCE ， 又PM ∩MQ ＝M ，BE ∩BC ＝B ，
∴平面PMQ ∥平面BCE ，又PQ ?平面PMQ . ∴PQ ∥平面BCE .
探究提高 判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a ?α，b ?α，a ∥b ?a ∥α)；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a ?α?a ∥β)；(4)利用面面平行的性质(α∥β，a ?β，a ∥α?a ∥β)．
如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是菱形，
∠BAD ＝60°，AB ＝2，P A ＝1，P A ⊥平面ABCD ，E 是PC 的中点，F 是AB 的中点．求证：BE ∥平面PDF .
证明 取PD 中点为M ，连接ME ，MF ，
∵E 是PC 的中点， ∴ME 是△PCD 的中位线， ∴ME 綊12
CD .
∵F 是AB 的中点且四边形ABCD 是菱形，AB 綊CD ， ∴ME 綊FB ，∴四边形MEBF 是平行四边形，∴BE ∥MF . ∵BE ?平面PDF ，MF ?平面PDF ，∴BE ∥平面PDF . 题型二 平面与平面平行的判定与性质
例2 如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，
A 1
B 1，A 1
C 1的中点，求证： (1)B ，C ，H ，G 四点共面； (2)平面EF A 1∥平面BCHG .
思维启迪：要证四点共面，只需证GH ∥BC ；要证面面平行，可证一个 平面内的两条相交直线和另一个平面平行．
证明 (1)∵GH 是△A 1B 1C 1的中位线，∴GH ∥B 1C 1. 又∵B 1C 1∥BC ，∴GH ∥BC ， ∴B ，C ，H ，G 四点共面．
(2)∵E 、F 分别为AB 、AC 的中点，∴EF ∥BC ， ∵EF ?平面BCHG ，BC ?平面BCHG ， ∴EF ∥平面BCHG . ∵A 1G 綊EB ，
∴四边形A 1EBG 是平行四边形，∴A 1E ∥GB .
∵A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG.
∴A1E∥平面BCHG.
∵A1E∩EF＝E，∴平面EF A1∥平面BCHG.
探究提高证明面面平行的方法：
(1)面面平行的定义；
(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这
两个平面平行；
(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；
(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；
(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化．
证明：若一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线平行于两个平面的交线．
解已知：直线a∥平面α，直线a∥平面β，α∩β＝b.
求证：a∥b.
证明：如图所示，过直线a作平面γ，δ分别交平面α，β于直线m，
n(m，n不同于交线b)，由直线与平面平行的性质定理，得a∥m，a∥n，
由平行线的传递性，得m∥n，由于n?α，m?α，故n∥平面α.又n
?β，α∩β＝b，故n∥b.又a∥n，故a∥b.
题型三平行关系的综合应用
例3如图所示，在四面体ABCD中，截面EFGH平行于对棱AB和CD，
试问截面在什么位置时其截面面积最大？
思维启迪：利用线面平行的性质可以得到线线平行，可以先确定截
面形状，再建立目标函数求最值．
解∵AB∥平面EFGH，
平面EFGH与平面ABC和平面ABD分别交于FG、EH.
∴AB∥FG，AB∥EH，
∴FG ∥EH ，同理可证EF ∥GH ， ∴截面EFGH 是平行四边形．
设AB ＝a ，CD ＝b ，∠FGH ＝α (α即为异面直线AB 和CD 所成的角或其补角)． 又设FG ＝x ，GH ＝y ，则由平面几何知识可得x a ＝CG BC ，y b ＝BG BC ，两式相加得x a ＋y
b ＝1，即
y ＝b
a
(a －x )， ∴S ?EFGH ＝FG ·GH ·sin α
＝x ·b a ·(a －x )·sin α＝b sin αa x (a －x )．
∵x >0，a －x >0且x ＋(a －x )＝a 为定值，
∴当且仅当x ＝a －x 时，b sin αa x (a －x )＝ab sin α4，此时x ＝a 2，y ＝b 2
.
即当截面EFGH 的顶点E 、F 、G 、H 为棱AD 、AC 、BC 、BD 的中点时截面面积最大． 探究提高 利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决．
如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD
的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，问：当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ ∥平面P AO?
解 当Q 为CC 1的中点时，平面D 1BQ ∥平面P AO .证明如下： ∵Q 为CC 1的中点，P 为DD 1的中点， ∴QB ∥P A .
∵P 、O 分别为DD 1、DB 的中点，∴D 1B ∥PO . 又∵D 1B ?平面P AO ，PO ?平面P AO ， QB ?平面P AO ，P A ?平面P AO ， ∴D 1B ∥平面P AO ，QB ∥平面P AO ， 又D 1B ∩QB ＝B ，D 1B 、QB ?平面D 1BQ ， ∴平面D 1BQ ∥平面P AO .
立体几何中的探索性问题
典例：(14分)如图所示，在正方体ABCD —A
1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的
中点．
(1)求直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角的正弦值；
(2)在棱C 1D 1上是否存在一点F ，使B 1F ∥平面A 1BE ？证明你的结论．
审题视角 (1)可过E 作平面ABB 1A 1的垂线、作线面角；(2)先探求出点F ，再进行证明B 1F ∥平面A 1BE .注意解题的方向性． 规范解答
解 (1)如图(a)所示，取AA 1的中点M ，连接EM ，BM .因为E 是DD 1的中点，四边形ADD 1A 1为正方形，所以EM ∥AD .[2分] 又在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AD ⊥平面ABB 1A 1，
所以EM ⊥平面ABB 1A 1，从而BM 为直线BE 在平面ABB 1A 1上的射影，∠EBM 为BE 和平面ABB 1A 1所成的角．[4分]
图(a)
设正方体的棱长为2，
则EM ＝AD ＝2，BE ＝22＋22＋12＝3.
于是，在Rt △BEM 中，sin ∠EBM ＝EM BE ＝2
3，[6分]
即直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角的正弦值为2
3.[7分]
(2)在棱C 1D 1上存在点F ，使B 1F ∥平面A 1BE .
事实上，如图(b)所示，分别取C 1D 1和CD 的中点F ，G ，连接B 1F ，EG ，BG ，CD 1，FG .
因A 1D 1∥B 1C 1∥BC ，且A 1D 1＝BC ，所以四边形A 1BCD 1是平行四边形，因此D 1C ∥A 1B .
又E，G分别为D1D，CD的中点，图(b)
所以EG∥D1C，从而EG∥A1B.
这说明A1，B，G，E四点共面．所以BG?平面A1BE.[10分]
因四边形C1CDD1与B1BCC1皆为正方形，F，G分别为C1D1和CD的中点，
所以FG∥C1C∥B1B，且FG＝C1C＝B1B，
因此四边形B1BGF是平行四边形，
所以B1F∥BG，[12分]
而B1F?平面A1BE，BG?平面A1BE，
故B1F∥平面A1BE.[14分]
答题模板
对于探索类问题，书写步骤的格式有两种：一种：第一步：探求出点的位置．
第二步：证明符合要求．
第三步：给出明确答案．
第四步：反思回顾．查看关键点，易错点和答题规范．
另一种：从结论出发，“要使什么成立”，“只需使什么成立”，寻求使结论成立的充分条件，类似于分析法．
温馨提醒(1)本题属立体几何中的综合题，重点考查推理能力和计算能力．(2)第(1)问常见错误是无法作出平面ABB1A1的垂线，以致无法确定线面角．(3)第(2)问为探索性问题，找不到解决问题的切入口，入手较难．(4)书写格式混乱，不条理，思路不清晰．
方法与技巧
1．平行问题的转化关系
2．直线与平面平行的主要判定方法
(1)定义法；(2)判定定理；(3)面与面平行的性质．
3．平面与平面平行的主要判定方法
(1)定义法；(2)判定定理；(3)推论；(4)a⊥α，a⊥β?α∥β.
失误与防范
1．在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误．
2．在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”．
3．解题中注意符号语言的规范应用．
A组专项基础训练
(时间：35分钟，满分：57分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．若直线m?平面α，则条件甲：“直线l∥α”是条件乙：“l∥m”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案 D
2．已知直线a，b，c及平面α，β，下列条件中，能使a∥b成立的是() A．a∥α，b?αB．a∥α，b∥α
C．a∥c，b∥c D．a∥α，α∩β＝b
答案 C
解析由平行公理知C正确，A中a与b可能异面．B中a，b可能相交或异面，D中a，b可能异面．
3． 在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ?平面α，CD ?平面α，则直线CD 与平面α内的直线的
位置关系只能是
( )
A ．平行
B ．平行和异面
C ．平行和相交
D ．异面和相交
答案 B
解析 ∵
?
????
AB ∥CD AB ?αCD ?α
?CD ∥α， ∴CD 和平面α内的直线没有公共点．
4． 设m 、n 表示不同直线，α、β表示不同平面，则下列结论中正确的是
( )
A ．若m ∥α，m ∥n ，则n ∥α
B ．若m ?α，n ?β，m ∥β，n ∥α，则α∥β
C ．若α∥β，m ∥α，m ∥n ，则n ∥β
D ．若α∥β，m ∥α，n ∥m ，n ?β，则n ∥β 答案 D
解析 D 中，易知m ∥β或m ?β， 若m ?β，又n ∥m ，n ?β，∴n ∥β，
若m ∥β，过m 作平面γ交平面β于直线p ，则m ∥p ，又n ∥m ，∴n ∥p ，又n ?β，p ?β，∴n ∥β.
二、填空题(每小题5分，共15分)
5． 过三棱柱ABC —A 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB 1A 1平行的直线共
有________条． 答案 6
解析 过三棱柱ABC —A 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线，记AC ，BC ，A 1C 1，B 1C 1的中点分别为E ，F ，E 1，F 1，则直线EF ，E 1F 1，EE 1，FF 1，E 1F ，EF 1均与平面ABB 1A 1平行，故符合题意的直线共6条．
6. 如图所示，ABCD —A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M 、N 分别是下
底面的棱A 1B 1、B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a
3，
过P 、M 、N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝________. 答案
22
3
a 解析 ∵平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，
∴MN ∥PQ .∵M 、N 分别是A 1B 1、B 1C 1的中点，AP ＝a
3，
∴CQ ＝a 3，从而DP ＝DQ ＝2a 3，∴PQ ＝22
3
a .
7. 如图所示，在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是
棱CC 1、C 1D 1、D 1D 、DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边 形EFGH 及其内部运动，则M 满足条件______________时，有 MN ∥平面B 1BDD 1. 答案 M ∈线段HF
解析 由题意，得HN ∥面B 1BDD 1，FH ∥面B 1BDD 1. ∵HN ∩FH ＝H ，∴面NHF ∥面B 1BDD 1.
∴当M 在线段HF 上运动时，有MN ∥面B 1BDD 1. 三、解答题(共22分)
8． (10分)如图，四边形ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，
M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面，交平面BDM 于GH . 求证：P A ∥GH .
证明 如图，连接AC 交BD 于点O ，连接MO ，
∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴O 是AC 的中点，又M 是PC 的中点， ∴AP ∥OM .
则有P A∥平面BMD.
∵平面P AHG∩平面BMD＝GH，
∴P A∥GH.
9. (12分)如图，已知平行四边形ABCD中，BC＝6，正方形ADEF所在
平面与平面ABCD垂直，G，H分别是DF，BE的中点．
(1)求证：GH∥平面CDE；
(2)若CD＝2，DB＝42，求四棱锥F—ABCD的体积．
(1)证明方法一∵EF∥AD，AD∥BC，∴EF∥BC.
又EF＝AD＝BC，∴四边形EFBC是平行四边形，
∴H为FC的中点．
又∵G是FD的中点，∴HG∥CD.
∵HG?平面CDE，CD?平面CDE，
∴GH∥平面CDE.
方法二连接EA，∵ADEF是正方形，∴G是AE的中点．
∴在△EAB中，GH∥AB.
又∵AB∥CD，∴GH∥CD.
∵HG?平面CDE，CD?平面CDE，
∴GH∥平面CDE.
(2)解∵平面ADEF⊥平面ABCD，交线为AD，
且F A⊥AD，∴F A⊥平面ABCD.
∵AD＝BC＝6，∴F A＝AD＝6.
又∵CD＝2，DB＝42，CD2＋DB2＝BC2，∴BD⊥CD.
∵S
?ABCD
＝CD·BD＝82，
∴V F—ABCD＝1
3S?ABCD·F A＝
1
3×82×6＝16 2.
B组专项能力提升
(时间：25分钟，满分：43分)
一、选择题(每小题5分，共15分)
1．设m，n是平面α内的两条不同直线；l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是() A．m∥β且l1∥αB．m∥l1且n∥l2
C．m∥β且n∥βD．m∥β且n∥l2
答案 B
解析对于选项A，不合题意；对于选项B，由于l1与l2是相交直线，而且由l1∥m可得l1∥α，同理可得l2∥α，故可得α∥β，充分性成立，而由α∥β不一定能得到l1∥m，它们也可以异面，故必要性不成立，故选B；对于选项C，由于m，n不一定相交，故是必要非充分条件；对于选项D，由于n∥l2可转化为n∥β，同选项C，故不符合题意．综上选B.
2．下面四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是()
A．①②B．①④C．②③D．③④
答案 A
解析由线面平行的判定定理知图①②可得出AB∥平面MNP.
3．给出下列关于互不相同的直线l、m、n和平面α、β、γ的三个命题：
①若l 与m 为异面直线，l ?α，m ?β，则α∥β； ②若α∥β，l ?α，m ?β，则l ∥m ；
③若α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，l ∥γ，则m ∥n . 其中真命题的个数为
( )
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
答案 C
解析 ①中当α与β不平行时，也能存在符合题意的l 、m . ②中l 与m 也可能异面．
③中
?
???
?l ∥γ
l ?ββ∩γ＝m ?l ∥m ，同理l ∥n ，则m ∥n ，正确． 二、填空题(每小题5分，共15分)
4． 已知平面α∥平面β，P 是α、β外一点，过点P 的直线m 与α、β分别交于A 、C ，过点
P 的直线n 与α、β分别交于B 、D 且P A ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则BD 的长为________． 答案 24或24
5
解析 根据题意可得到以下如图两种情况：
可求出BD 的长分别为24
5
或24.
5. 一个正方体的展开图如图所示，B 、C 、D 为原正方体的顶点，A 为
原正方体一条棱的中点．在原来的正方体中，CD 与AB 所成角的 余弦值为________． 答案
1010
解析 还原为正方体如图所示，BE ∥CD ，则∠
EBA 就是异面直线
CD
与AB 所成的角或所成角的补角． 设正方体棱长为2，则BE ＝22， BA ＝5，AE ＝3.
所以在△ABE 中，由余弦定理得 cos ∠EBA ＝8＋5－9410
＝10
10.
6． 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，下列结论中，正确的结论是________(只填序号)．
①AD 1∥BC 1；②平面AB 1D 1∥平面BDC 1； ③AD 1∥DC 1；④AD 1∥平面BDC 1. 答案 ①②④ 三、解答题
7． (13分)如图，四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为
矩形，PD ＝DC ＝4，AD ＝2，E 为PC 的中点． (1)求三棱锥A —PDE 的体积；
(2)AC 边上是否存在一点M ，使得P A ∥平面EDM ？若存在，求出AM 的长；若不存
在，请说明理由．
解 (1)因为PD ⊥平面ABCD ，所以PD ⊥AD . 又因ABCD 是矩形，所以AD ⊥CD . 因PD ∩CD ＝D ，所以AD ⊥平面PCD ， 所以AD 是三棱锥A —PDE 的高． 因为E 为PC 的中点，且PD ＝DC ＝4， 所以S △PDE ＝12S △PDC ＝12×????1
2
×4×4＝4. 又AD ＝2，所以V A —PDE ＝13AD ·S △PDE ＝13×2×4＝8
3
.
(2)取AC 中点M ，连接EM ，DM ，因为E 为PC 的中点，M 是AC 的中点，所以EM ∥P A .
又因为EM ?平面EDM ，P A ?平面EDM ， 所以P A ∥平面EDM . 所以AM ＝1
2
AC ＝ 5.
即在AC 边上存在一点M ，使得P A ∥平面EDM ，AM 的长为 5.
高考前重点知识 第一章?集合 （一）、集合：集合元素的特征：确定性、互异性.无序性. 工集合的性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为A胃A ; ②空集是任何集合的子集，记为。包A ； ③空集是任何非空集合的真子集； ①〃个元素的子集有2〃个.〃个元素的真子集有2〃 -1个.〃个元素的非空真子集有2〃-2个. ［注］①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.否命题。逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真.原命题。逆否命题. 交：A,且x e B} 2、集合运算：交、并、补产AU6Q{xlxeA或xe* 未卜：或A o {% ￡ （/, 且x任A} （三）简易逻辑 构成复合命题的形式：p或q （记作〃pvq〃）； p且q （记作〃p 八q〃）；mEp（i己作、q〃） o 工〃或〃‘〃且"、"非"的真假判断 种命题的形式及相互关系: 原命题：若P则q；逆命题：若q则p； 否命题：若1 P则1 q ；逆否命题：若1 q则］Po ④、原命题为真，它的逆命题不一定为真。 i命题为真它的否命题不一定为真。
@、原命题为真，它的逆否命题一定为真。 6、如果已知p=q那么我们说，P是q的充分条件，q是P的必要条 件。 若p=q且q = p,则称p是q的充要条件，记为p<=>q. 一.函数的性质 (工)定义域：(2)值域: (3)奇偶性：(在整个定义域内考虑) ①定义：①偶函数：/(—x) = /(x),②奇函数：/(—x) = -/(X) ②判断方法步骤：a.求出定义域；b.判断定义域是否关于原点 对称；c.求/(-X)；&比较/(T)与/(X)或/(T)与—/(X)的关系。 (4 )函数的单调性 定义：对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值X1f X2, 。语当X1VX2时，都有f(XT)Vf(X2),则说f(X)在这个区间上是增函数； (2语当X1
高中数学必修+选修知识点归纳新课标人教A版 一、集合 1、把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无序性。 2、只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。 3、常见集合：正整数集合： 或 ，整数集合： ，有理数集合： ，实数集合： . 4、集合的表示方法：列举法、描述法. §1.1.2、集合间的基本关系 1、一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称集合A是集合B的子集。记作 .
2、如果集合 ，但存在元素 ，且 ，则称集合A是集合B的真子集.记作：A B. 3、把不含任何元素的集合叫做空集.记作： .并规定：空集合是任何集合的子集. 4、如果集合A中含有n个元素，则集合A有 个子集， 个真子集. §1.1.3、集合间的基本运算 1、一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集.记作： . 2、一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集.记作： . 3、全集、补集？ §1.2.1、函数的概念
1、设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 ，使对于集合A中的任意一个数 ，在集合B中都有惟一确定的数 和它对应，那么就称 为集合A到集合B的一个函数，记作： . 2、一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法 1、函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. §1.3.1、单调性与最大（小）值 1、注意函数单调性的证明方法： (1)定义法：设 那么 上是增函数； 上是减函数. 步骤：取值—作差—变形—定号—判断 格式：解：设
第一章 集合与简易逻辑 第一节 集 合 ? 基础知识 1. 集合的有关概念 1.1.集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性． 1. 2.集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法． 1.3.元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为?. 1.4.五个特定的集合及其关系图： N *或N ＋表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集． 2. 集合间的基本关系 2.1.子集：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称A 是B 的子集，记作A ?B(或B ?A)． 2.2.真子集：如果集合A 是集合B 的子集，但集合B 中至少有一个元素不属于A ，则称A 是B 的真子集，记作AB 或B A. A B ?? ???? A ? B ，A≠B.既要说明A 中任何一个元素都属于B ，也要说明B 中存在一个元素不属于A. 2.3.集合相等：如果A ?B ，并且B ?A ，则A ＝B. 两集合相等：A ＝B ?? ??? ? A ? B ，A ?B.A 中任意一个元素都符合B 中元素的特性，B 中任意一个元素也符合A 中元素的特性． 2.4.空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合A 的子集，是任何非空集合B 的真子集．记作?. ?∈{?}，??{?}，0??，0?{?},0∈{0}，??{0}．
3. 集合间的基本运算 (1)交集：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集，记作A∩B ，即A∩B ＝{x|x ∈A ，且x ∈B}． (2)并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为A 与B 的并集，记作A ∪B ，即A ∪B ＝{x|x ∈A ，或x ∈B}． (3)补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作?U A ，即?U A ＝{x |x ∈U ，且x ?A }． 求集合A 的补集的前提是“A 是全集U 的子集”，集合A 其实是给定的条件.从全集U 中取出集合A 的全部元素，剩下的元素构成的集合即为?U A . ? 常用结论 (1)子集的性质：A ?A ，??A ，A ∩B ?A ，A ∩B ?B . (2)交集的性质：A ∩A ＝A ，A ∩?＝?，A ∩B ＝B ∩A . (3)并集的性质：A ∪B ＝B ∪A ，A ∪B ?A ，A ∪B ?B ，A ∪A ＝A ，A ∪?＝?∪A ＝A . (4)补集的性质：A ∪?U A ＝U ，A ∩?U A ＝?，?U (?U A )＝A ，?A A ＝?，?A ?＝A . (5)含有n 个元素的集合共有2n 个子集，其中有2n －1个真子集，2n －1个非空子集． (6)等价关系：A ∩B ＝A ?A ?B ；A ∪B ＝A ?A ?B . 考点一 集合的基本概念 [典例] 1. (2017·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 2. 已知a ，b ∈R ，若? ?? ? ??a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 019＋b 2 019的值为( ) A ．1 B ．0 C ．－1 D ．±1 [解析] (1)因为A 表示圆x 2＋y 2＝1上的点的集合，B 表示直线y ＝x 上的点的集合，直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1有两个交点，所以A ∩B 中元素的个数为2. (2)由已知得a ≠0，则b a ＝0，所以 b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1.又根据集合中元素的互异性可 知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a 2 019＋b 2 019＝(－1)2 019＋02 019＝－1. [答案] (1)B (2)C [提醒] 集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意． [题组训练]
高考重点知识回顾 第一章-集合 （一）、集合：集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 1、集合的性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ?； ②空集是任何集合的子集，记为A ?φ ； ③空集是任何非空集合的真子集； ①n 个元素的子集有2n 个. n 个元素的真子集有2n －1个. n 个元素的非空真子集有2n －2个. [注]①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.否命题?逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题?逆否命题. 2、集合运算：交、并、补. {|,}{|} {,} A B x x A x B A B x x A x B A x U x A ?∈∈?∈∈?∈?U 交：且并：或补：且C （三）简易逻辑 构成复合命题的形式：p 或q(记作“p ∨q ” )；p 且q(记作“p ∧q ” )；非p(记作“┑q ” ) 。 1、“或”、 “且”、 “非”的真假判断 4、四种命题的形式及相互关系： 原命题：若P 则q ； 逆命题：若q 则p ； 否命题：若┑P 则┑q ；逆否命题：若┑q 则┑p 。 ①、原命题为真，它的逆命题不一定为真。 ②、原命题为真，它的否命题不一定为真。 ③、原命题为真，它的逆否命题一定为真。
6、如果已知p ?q 那么我们说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。 若p ?q 且q ?p,则称p 是q 的充要条件，记为p ?q. 第二章-函数 一、函数的性质 （1）定义域： （2）值域： （3）奇偶性：（在整个定义域内考虑） ①定义：①偶函数：)()(x f x f =-，②奇函数：)()(x f x f -=- ②判断方法步骤：a.求出定义域；b.判断定义域是否关于原点对称；c.求 )(x f -；d.比较)()(x f x f 与-或)()(x f x f --与的关系。 （4）函数的单调性 定义：对于函数f(x)的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1,x 2, ⑴若当x 1
高中数学 必修1知识点 第一章 集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示 （1）集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法 N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集. （3）集合与元素间的关系 对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ?，两者必居其一. （4）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?). 【1.1.2】集合间的基本关系 （6）子集、真子集、集合相等 （7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集， 它有2 2n -非空真子集.
【1.1.3】集合的基本运算 （8）交集、并集、补集 名称记号意义性质示意图 交集A B {|, x x A ∈且 } x B ∈ （1）A A A = （2）A?=? （3）A B A ? A B B ? B A 并集A B {|, x x A ∈或 } x B ∈ （1）A A A = （2）A A ?= （3）A B A ? A B B ? B A 补集 U A{|,} x x U x A ∈? 且 1() U A A=?2() U A A U = 【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法 （1）含绝对值的不等式的解法 不等式解集 ||(0) x a a <>{|} x a x a -<< ||(0) x a a >>|x x a <-或} x a > ||,||(0) ax b c ax b c c +<+>> 把ax b+看成一个整体，化成||x a<， ||(0) x a a >>型不等式来求解 判别式 24 b ac ?=- ?>0 ?=0 ?<二次函数 2(0) y ax bx c a =++> 的图象O 一元二次方程 20(0) ax bx c a ++=> 的根 2 1,2 4 2 b b ac x a -±- = （其中 12 ) x x < 122 b x x a ==-无实根 ()()() U U U A B A B = ()()() U U U A B A B =
高中数学概念总结 一、 函数 1、 若集合A 中有n )(N n ∈个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为n 2，所有非空真子集的个数是22-n 。 二次函数c bx ax y ++=2的图象的对称轴方程是a b x 2-=，顶点坐标是??? ? ? ?--a b ac a b 4422，。用待定系数法求二次函数的解析式时，解析式的设法有三种形式，即（一般式）c bx ax x f ++=2)(，（零点式）)()()(21x x x x a x f -?-=和n m x a x f +-=2)()( （顶点式）。 2、 幂函数n m x y = ，当n 为正奇数，m 为正偶数， m ),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，则sin α= r y ，cos α=r x ，tg α=x y ，ctg α=y x ，sec α=x r ，csc α=y r 。 2、同角三角函数的关系中，平方关系是：1cos sin 2 2 =+αα，αα22sec 1=+tg ，αα22csc 1=+ctg ； 倒数关系是：1=?ααctg tg ，1csc sin =?αα，1sec cos =?αα； 相除关系是：αααcos sin = tg ，α α αsin cos =ctg 。 3、诱导公式可用十个字概括为：奇变偶不变，符号看象限。如：=-)23sin( απαcos -，)2 15(απ -ctg =αtg ，=-)3(απtg αtg -。 4、 函数B x A y ++=)sin(?ω），（其中00>>ωA 的最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ω π 2= T ，频 率是πω2= f ，相位是?ω+x ，初相是?；其图象的对称轴是直线)(2 Z k k x ∈+=+π π?ω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心。 5、 三角函数的单调区间： x y s i n =的递增区间是??? ?? ? + -222 2πππ πk k ，)(Z k ∈，递减区间是????? ? ++23222ππππk k ，)(Z k ∈；x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，-)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈，tgx y =的递增区间是 ??? ? ? +-22ππππk k ，)(Z k ∈，ctgx y =的递减区间是()πππ+k k ，)(Z k ∈。 6、=±)sin(βαβαβαsin cos cos sin ± =±)c o s (βαβαβαs i n s i n c o s c o s = ±)(βαtg β αβ αtg tg tg tg ?± 1 7、二倍角公式是：sin2α=ααcos sin 2? cos2α=αα2 2 sin cos -=1cos 22 -α=α2 sin 21- tg2α= α α 2 12tg tg -。 高考数学必考知识点总结归纳 1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么？ 2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。?注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 {} {}如：集合，A x x x B x ax =--===||22301 若，则实数的值构成的集合为 B A a ? （答：，，）-??? ??? 1013 3. 注意下列性质： {} （）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n （3）德摩根定律： ()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B Y I I Y ==， 4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 的取值范围。 5. 可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”，“且”和()()∨∧“非”().? 若为真，当且仅当、均为真p q p q ∧ 若为真，当且仅当、至少有一个为真 ∨ p q p q ?p p 若为真，当且仅当为假 6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题。） 原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。 7. 对映射的概念了解吗？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？ （一对一，多对一，允许B中有元素无原象。） 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域） 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？ 10. 如何求复合函数的定义域？ [] 0义域是_。 >->=+- f x a b b a F(x f x f x 如：函数的定义域是，，，则函数的定 ())()() [] - a a （答：，） 11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？ 12. 反函数存在的条件是什么？ （一一对应函数） 求反函数的步骤掌握了吗？ 高中数学知识点总结 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==. 3.包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦU C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+. 5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1 个；非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <- ? 11 ()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21 最全高中数学知识点总结（最全集） 引言 1.课程内容： 必修课程由5个模块组成： 必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数） 必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。 必修3：算法初步、统计、概率。 必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。 必修5：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列： 系列1：由2个模块组成。 选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。 选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图 系列2：由3个模块组成。 选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系的扩充与复数 选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列，统计案例。 系列3：由6个专题组成。 选修3—1：数学史选讲。 选修3—2：信息安全与密码。 选修3—3：球面上的几何。 选修3—4：对称与群。 选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。 选修3—6：三等分角与数域扩充。 系列4：由10个专题组成。 选修4—1：几何证明选讲。 选修4—2：矩阵与变换。 选修4—3：数列与差分。 选修4—4：坐标系与参数方程。 选修4—5：不等式选讲。 选修4—6：初等数论初步。 选修4—7：优选法与试验设计初步。 选修4—8：统筹法与图论初步。 选修4—9：风险与决策。 选修4—10：开关电路与布尔代数。 高三数学必考知识点汇总 一 1.等差数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示. 2.等差数列的通项公式 若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an=a1+n-1d. 3.等差中项 如果A=a+b/2，那么A叫做a与b的等差中项. 4.等差数列的常用性质 1通项公式的推广：an=am+n-mdn，m∈N_. 2若{an}为等差数列，且m+n=p+q， 则am+an=ap+aqm，n，p，q∈N_. 3若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak+m，ak+2m，…k，m∈N_是公差为md的等差数列. 4数列Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…也是等差数列. 5S2n-1=2n-1an. 6若n为偶数，则S偶-S奇=nd/2; 若n为奇数，则S奇-S偶=a中中间项. 注意： 一个推导 利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式： Sn=a1+a2+a3+…+an，① Sn=an+an-1+…+a1，② ①+②得：Sn=na1+an/2 两个技巧 已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元. 1若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…. 2若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元. 四种方法 等差数列的判断方法 1定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an-an-1为同一常数; 2等差中项法：验证2an-1=an+an-2n≥3，n∈N_都成立; 3通项公式法：验证an=pn+q; 4前n项和公式法：验证Sn=An2+Bn. 注：后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列. 二 1.不等式的定义 在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，叫做不等式. 2.比较两个实数的大小 两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的， 有a-b>0?;a-b=0?;a-b<0?. 另外，若b>0，则有>1?;=1?;<1?. 概括为：作差法，作商法，中间量法等. 3.不等式的性质 1对称性：a>b?; 2传递性：a>b，b>c?; 3可加性：a>b?a+cb+c，a>b，c>d?a+cb+d; 高一数学必修1知识网络 集合 123412n x A x B A B A B A n A ∈??? ????? ∈?∈?（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若 ，则，即是的子集。、若集合中有个元素，则集合的子集有个， 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n A A A B C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ?????????? ????????????≠∈?????=???=∈∈?=??=??=???真子集有个。、任何一个集合是它本身的子集，即 、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。 真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。集合相等：且 定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ????????=????=∈∈???=??=?=????????=???=+?=∈?=?=??==?=?，定义：或并集性质：，，，，， 定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ????? ?? ?? ?? ?? ?????????? ???????? ??????????????????????? ?????????????????????=??????? 高考数学知识点题型测试2 【高考考情解读】 高考对本讲知识的考查主要是以下两种形式：1.以选择题、填空题的形式考查，主要利用等差、等比数列的通项公式、前n 项和公式及其性质解决与项、和有关的计算问题，属于基础题；2.以解答题的形式考查，主要是等差、等比数列的定义、通项公式、前n 项和公式及其性质等知识交汇综合命题，考查用数列知识分析问题、解决问题的 能力，属低、中档题． 1．a n 与S n 的关系S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，a n ＝??? ?? S 1， n ＝1， S n －S n －1， n ≥2. 2．等差数列和等比数列 S n ＝ n a 1＋a n 2 ＝na 1＋ n n －1 2 d (1)q ≠1，S n ＝ a 11－q n 1－q ＝ a 1－a n q 1－q (2)q ＝1，S n ＝na 1 考点一 与等差数列有关的问题 例1 在等差数列{a n }中，满足3a 5＝5a 8，S n 是数列{a n }的前n 项和． (1)若a 1>0，当S n 取得最大值时，求n 的值； (2)若a 1＝－46，记b n ＝ S n －a n n ，求b n 的最小值． 解 (1)设{a n }的公差为d ，则 由3a 5＝5a 8，得3(a 1＋4d )＝5(a 1＋7d )，∴d ＝－2 23a 1. ∴S n ＝na 1＋ n n －1 2 ×? ?? ??－223a 1＝－123a 1n 2 ＋2423a 1n ＝－123a 1(n －12)2 ＋14423 a 1. ∵a 1>0，∴当n ＝12时，S n 取得最大值． (2)由(1)及a 1＝－46，得d ＝－2 23×(－46)＝4， ∴a n ＝－46＋(n －1)×4＝4n －50， S n ＝－46n ＋n n －12 ×4＝2n 2 －48n . ∴b n ＝S n －a n n ＝2n 2－52n ＋50n ＝2n ＋50 n －52≥2 2n ×50 n －52＝－32， 当且仅当2n ＝50 n ，即n ＝5时，等号成立． 故b n 的最小值为－32. (1)在等差数列问题中其最基本的量是首项和公差，只要根据已知条件求出这两个量，其他问题就可随之而解，这就是解决等差数列问题的基本方法，其中蕴含着方程思想的运用． (2)等差数列的性质 ①若m ，n ，p ，q ∈N * ，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ； ②S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…，仍成等差数列； ③a m －a n ＝(m －n )d ?d ＝a m －a n m －n (m ，n ∈N * )； ④a n b n ＝ A 2n －1 B 2n －1 (A 2n －1，B 2n －1分别为{a n }，{b n }的前2n －1项的和)． (3)数列{a n }是等差数列的充要条件是其前n 项和公式S n ＝f (n )是n 的二次函数或一次函 2019高考数学必考知识点总结归纳 1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示 什么？ 2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。?注重借助于数轴 和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 {} {}如：集合，A x x x B x ax =--===||22301 若，则实数的值构成的集合为 B A a ? （答：，，）-? ?? ???1013 3. 注意下列性质： {}（）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n （3）德摩根定律： ()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B ==， 4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 的取值范围。 5. 可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”，“且”和()()∨∧“非”().? 若为真，当且仅当、均为真p q p q ∧ 若为真，当且仅当、至少有一个为真p q p q ∨ 若为真，当且仅当为假 ?p p 6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题。） 原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。 7. 对映射的概念了解吗？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？ （一对一，多对一，允许B中有元素无原象。） 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域） 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？ 10. 如何求复合函数的定义域？ [] 0义域是_。 >->=+- 如：函数的定义域是，，，则函数的定 ())()() f x a b b a F(x f x f x [] a a - （答：，） 11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？ 12. 反函数存在的条件是什么？ （一一对应函数） 求反函数的步骤掌握了吗？ （①反解x；②互换x、y；③注明定义域） 河南省高中数学知识点总结 1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|l g |l g (,)|l g 中元素各表示什么？ 2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。? 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 { } {} 如：集合，A x x x B x a x =--===||2 2301 若，则实数的值构成的集合为B Aa ? （答：，，）-? ?? ? ?? 1013 3. 注意下列性质： {} （）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n （）若，；2A B A B A A B B ??== （3）德摩根定律： ()()()()()()C C C C C C U U UU U U A B A B A B A B ==， 4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 如：已知关于的不等式的解集为，若且，求实数x a x x a M M M a --<∈?5 0352 的取值范围。 ()（∵，∴·∵，∴·，，）335 30 555 50 15392522∈-- 高考前重点知识回顾 第一章-集合 （一）、集合：集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 1、集合的性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ?； ②空集是任何集合的子集，记为A ?φ； ③空集是任何非空集合的真子集； ①n 个元素的子集有2n 个. n 个元素的真子集有2n －1个. n 个元素的非空真子集有2n －2个. [注]①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.否命题?逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题?逆否命题. 2、集合运算：交、并、补.{|,} {|}{,} A B x x A x B A B x x A x B A x U x A ?∈∈?∈∈?∈?I U U 交：且并：或补：且C （三）简易逻辑 构成复合命题的形式：p 或q(记作“p ∨q ” )；p 且q(记作“p ∧q ” )；非p(记作“┑q ” ) 。 1、“或”、 “且”、 “非”的真假判断 4、四种命题的形式及相互关系： 原命题：若P 则q ； 逆命题：若q 则p ； 否命题：若┑P 则┑q ；逆否命题：若┑q 则┑p 。 ①、原命题为真，它的逆命题不一定为真。 ②、原命题为真，它的否命题不一定为真。 ③、原命题为真，它的逆否命题一定为真。 6、如果已知p ?q 那么我们说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。 若p ?q 且q ?p,则称p 是q 的充要条件，记为p ?q. 第二章-函数 一、函数的性质 （1）定义域： （2）值域： （3）奇偶性：（在整个定义域内考虑） ①定义：①偶函数：)()(x f x f =-，②奇函数：)()(x f x f -=- ②判断方法步骤：a.求出定义域；b.判断定义域是否关于原点对称；c.求)(x f -；d.比较)()(x f x f 与-或)()(x f x f --与的关系。 （4）函数的单调性 定义：对于函数f(x)的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1,x 2, ⑴若当x 1 2013高考数学（理科）知识点总结 1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么？ 2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。? 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 {} {}如：集合，A x x x B x ax =--===||22301 若，则实数的值构成的集合为 B A a ? （答：，，）-??? ??? 1013 3. 注意下列性质： {} （）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n （）若，；2A B A B A A B B ??==I Y （3）德摩根定律： ()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B Y I I Y = =， 4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 如：已知关于的不等式的解集为，若且，求实数x ax x a M M M a --<∈?5 0352 的取值范围。 ()（∵，∴ ·∵，∴ ·，，）335 30555 50 1539252 2∈-- 2020高考数学知识点归纳分享 高三数学是一个新的起点，高三一轮复习从零开始，完整涵盖高中所有的知识点，第一轮复习是高考复习的关键，是基础复习阶段。下面就是给大家带来的数学高考知识点总结，希望能帮助到大家! 数学高考知识点总结1 定义： 形如y=x^a(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。 定义域和值域： 当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数;如果a 为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：在x大于0时，函数的值域总是大于 0的实数。在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。而只有a为正数，0才进入函数的值域。 性质： 对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性： 首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号(x的p次方)，如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q 是偶数，函数的定义域是[0，+∞)。当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是(-∞，0)∪(0，+∞).因此可以看到x所受到的限制****于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道： 排除了为0与负数两种可能，即对于x0，则a可以是任意实数; 排除了为0这种可能，即对于x 排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。 数学高考知识点总结2 1.等差数列的定义 三角函数的主要考点是：三角函数的概念和性质（单调性，周期性，奇偶性，最值），三角函数的图象，三角恒等变换（主要是求值），三角函数模型的应用，正余弦定理及其应用，平面向量的基本问题及其应用． 题型1 三角函数的最值：最值是三角函数最为重要的内容之一，其主要方法是利用正余 ） ． 分析：待定系数求a ，b ；然后用倍角公式和降幂公式转化问题． 解析：函数)(x f 可化为()sin 2cos 2f x a x b x b =++． （1）由(0)8f = ，()126f π=可得(0)28f b == ，3 ()126 22 f a b π = += ，所以4b = ，a = （2 ）()24cos 24 f x x x π =++=故当226 2 x k π π π+ =+ 即(6 x k k π π=+ 点评： 结论sin cos a b θθ+= 解决三角函数的图象、单调性、最值、点内容． 题型2 三角函数的图象：三角函数图象从重点考查的问题之一． 例3．（2009只需将函数sin 2y x =的图象 B ．向右平移 5π 12个长度单位 D ．向右平移5π 6 个长度单位 552sin 2sin 232612x x x ππππ????? ?++=+=+ ? ? ??????? ， 5π 12 个长度单位，选择答案A ． 例4 （2008 图象是 分析解析：函数tan y x =点评题型3 用三角恒等变换求值：其主要方法是通过和与差的，二倍角的三角变换公式解决． 已知πcos sin 6αα? ?-+= ?? ?7πsin 6α??+ ?? ?的值C ．45 - D ． 45 )6 π α+，将已知条件分拆整合后解决． 34sin sin 6522565πααα? ??+=?+= ?? ?? ?，所以74sin sin 6 65ππαα??? ?+ =-+=- ? ? ? ?? ?． A 高考数学必考点总结 高中数学第一章-集合 考试内容：集合、子集、补集、交集、并集. 逻辑联结词.四种命题.充分条件和必要条件. 考试要求： （1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合. （2）理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、 必要条件及充要条件的意义. § 01.集合与简易逻辑知识要点 一、知识结构： 本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易 二、知识回顾： （一）集合 1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的 使用. 2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 集合的性质： ①任何一个集合是它本身的子集，记为 A A ； ②空集是任何集合的子集，记为 A ； ③空集是任何非空集合的真子集；如果 A B ，同时 B A ，那么A = B. 如果A B, B C,那么A C . ［注］:①Z= ｛整数｝(V) Z =｛全体整数｝(X) ②已知集合S中A的补集是一个有限集，贝y集合A也是有限集.(X) (例: S=N；A= N ,则C s A= ｛0｝) ③空集的补集是全集. ④若集合A=集合B,则C A二,C A B = C S (CB) =D (注：C B = ). 3. ①｛(x, y) | xy =0 , x€ R, y€ R｝坐标轴上的点集. ②｛(x, y) | xy< 0, x € R y € R二、四象限的点集. ③｛(x, y) |xy>0, x € R y € F｝一、三象限的点集. ［注］:①对方程组解的集合应是点集. 例：x y 3解的集合｛(2 ，1)｝. 2x 3y 1 ②点集与数集的交集是. (例： A =｛(x，y)| y=x+1｝ B=｛y|y=x2+1｝则 A n B =) 4. ①n个元素的子集有2n个.②n个元素的真子集有2n-1个. ③n个元素的非空真子集有2n-2个.高考数学必考知识点总结归纳
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