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概率论与数理统计期末考试试卷答案

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《概率论与数理统计》

试卷A

(考试时间:90分钟; 考试形式:闭卷)

(注意:请将答案填写在答题专用纸上,并注明题号。答案填写在试卷和草稿纸上无效)

一、单项选择题(本大题共20小题,每小题2分,共40分) 1、A ,B 为二事件,则A B =

()

A 、A

B B 、A B

C 、A B

D 、A B 2、设A ,B ,C 表示三个事件,则ABC 表示(

)

A 、A ,

B ,

C 中有一个发生 B 、A ,B ,C 中恰有两个发生

C 、A ,B ,C 中不多于一个发生

D 、A ,B ,C 都不发生

3、A 、B 为两事件,若()0.8P A B = ,()0.2P A =,()0.4P B =,

则(

)成立

A 、()0.32P A

B = B 、()0.2P AB =

C 、()0.4P B A -=

D 、()0.48P B A = 4、设A ,B 为任二事件,则(

)

A 、()()()P A

B P A P B -=- B 、()()()P A B P A P B =+

C 、()()()P AB P A P B =

D 、()()()P A P AB P AB =+ 5、设事件A 与B 相互独立,则下列说法错误的是()

A 、A 与

B 独立 B 、A 与B 独立

C 、()()()P AB P A P B =

D 、A 与B 一定互斥 6、设离散型随机变量X 的分布列为

其分布函数为()F x ,则(3)F =()

A 、0

B 、0.3

C 、0.8

D 、1

7、设离散型随机变量X 的密度函数为4,[0,1]

()0,

cx x f x ?∈=??其它 ,则常数c =(

)

A 、15

B 、1

4

C 、4

D 、5

8、设X ~)1,0(N

,密度函数2

2

()x x ?-=,则()x ?的最大值是(

)

A 、0

B 、1 C

9、设随机变量X 可取无穷多个值0,1,2,…,其概率分布为3

3(;3),0,1,2,!

k p k e k k -== ,则下式成立的是()

A 、3EX DX ==

B 、1

3

EX DX == C 、13,3EX DX ==

D 、1

,93

EX DX == 10、设X 服从二项分布B(n,p),则有()

A 、(21)2E X np -=

B 、(21)4(1)1D X np p +=-+

C 、(21)41E X np +=+

D 、(21)4(1)D X np p -=-

11、独立随机变量,X Y ,若X ~N(1,4),Y ~N(3,16),下式中不成立的是(

)

A 、()4E X Y +=

B 、()3E XY =

C 、()12

D X Y -= D 、()216

E Y += 12、设随机变量X 的分布列为:

则常数c=(

)

A 、0

B 、1

C 、

14 D 、1

4

- 13、设X ~)1,0(N ,又常数c 满足{}{}P X c P X c ≥=<,则c 等于()

A 、1

B 、0

C 、1

2

D 、-1 14、已知1,3

EX DX =-=,则(

)2

32E X ??-?

?

=(

)

A 、9

B 、6

C 、30

D 、36 15、当X 服从( )分布时,EX DX =。

A 、指数

B 、泊松

C 、正态

D 、均匀 16、下列结论中,(

)不是随机变量X

与Y 不相关的充要条件。

A 、()()()E XY E X E Y =

B 、()D X Y DX DY +=+

C 、(),0Cov X Y =

D 、X 与Y 相互独立

A 、100.6n p ==,

B 、200.3n p ==,

C 、150.4n p ==,

D 、120.5n p ==, 18、设()()(),,,p x y p x p

y ξη

分别是二维随机变量(),ξη的联合密度函数及边缘密度函数,则()是ξ与

η独立的充要条件。

A 、()E E E ξηξη+=+

B 、()D D D ξηξη+=+

C 、ξ与η不相关

D 、对,,x y ?有()()(),p x y p x p y ξη= 19、设是二维离散型随机变量,则X 与Y 独立的充要条件是(

)

A 、()E XY EXEy =

B 、()D X Y DX DY +=+

C 、X 与Y 不相关

D 、对(),X Y 的任何可能取值()

,i j x y i j i j P P P = 20、设(),X Y 的联合密度为40()xy x p x y ≤≤?=?

?,,

y 1,0,

其它,

若()F x y ,

为分布函数,则(0.52)F =,()

A 、0

B 、

14 C 、1

2

D 、1

二、计算题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)

1、 若事件 A 与B 相互独立,()0.8P A = ()0.6P B =。求:()P A B +和{()}P A A B +

2、 设随机变量(24)X N ,

,且(1.65)0.95Φ=。求( 5.3)P X ≥

3、 已知连续型随机变量ξ的分布函数为0,0

()04414

x x F x x x ≤???

=<≤?

?>??

,,

,求ξE 和ξD 。

4、 设连续型随机变量X 的分布函数为()F x A Barctgx x =+-∞<<+∞

求: (1)常数A 和B ;

(2)X 落入(-1,1)的概率;

(3)X 的密度函数()f x

5、某射手有3发子弹,射一次命中的概率为

2

3

,如果命中了就停止射击, 否则一直独立射到子弹用尽。 求:(1)耗用子弹数X 的分布列;(2)EX ;(3)DX

6、设(),ξη的联合密度为40()xy x p x y ≤≤?=?

?

,,

y 1,0,其它, 求:(1)边际密度函数(),()p x p y ξη;(2),E E ξη;(3)ξ与η是否独立

三、解答题(本大题共2小题,每小题9分,共18分)

1、 设1X ,2X 是来自正态总体(1)N μ,

的样本,下列 三个估计量是不是参数μ 的无偏估计量,若是无偏 估计量,试判断哪一个较优?

121

2133X X μ=+ , 1211344X X μ=+, 1211122

X X μ=+。

2、设10~(,)(0)0x

e

x f x θξθθθ

-?>?=>???

其它

12,,...,n x x x 。为 ξ的一组观察值,求θ的极大似然估计。

概率论与数理统计试卷答案及评分标准

二、计算题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)

1、 解:∵A 与B 相互独立

∴()()()()P A B P A P B P AB +=+-………(1分)

()()()()P A P B P A P B =+- ………(1分) 0.80.60.8 =+-

0.92= ………(1分)

又[()]

()()

P A A B P A A B P A B ++=

+………(1分)

()()()

()()

P AB P A P B P A B P A B =

=

++………(2分) 0.13= ………(1分)

2、 解:( 5.3)1P X ??

≥=-

???

5.3-2Φ2 ………(5分)

1(1.65)10.950.05=-=-=Φ ………(2分)

3、解:由已知有()0,4U ξ ………(3分)

则:22

a b

E ξ+=

= ………(2分) ()2

4

12

3

b a D ξ-=

=

………(2分)

4、解:(1)由()0F -∞=,()1F +∞=

有:0212

A B A B ππ

?-=???+=?

解之有:12

A =,1

B π= ………(3分)

(2)1

(11)(1)(1)2

P X F F -<<=--= ………(2分) (3)2

1

()()(1)

f x F x x π'==

+ ………(2分) 5、解:(1)

………(3分)

(2)3

122113

1233999

i i

i EX x p

==

=?+?+?=∑ ………(2分)

(3) ∵3

2

22

221

221231233999i i

i EX x p ==

=?+?+?=∑ ∴2

2

2231338()()9981

DX EX EX =-=

-=………(2分) 6、解:(1) ∵10

()()42p x p x y dy xydy x ξ+∞-∞

=

==?

?,

∴20()x x p x ξ≤≤?=?

?,1

0,其它

同理:20()y y p x η≤≤?=??

,1

0,其它 ………(3分)

(2) 1

20

2

()23

E xp x dx x dx ξξ+∞-∞

=

==

?

? 同理:2

3

E η=

………(2分) (3) ∵()()()p x y p x p y ξη=,

∴ξ与η独立 ………(2分)

三、应用题(本大题共2小题,每小题9分,共18分)

1、 解:∵ 121

21

()33

E E X X μμ=+= 同理: 23

E E μμμ== ∴ 123

μμμ,,为参数μ 的无偏估计量………(3分) 又∵ 212121

21415()33999D D X X DX DX μσ=+=+= 同理: 221016D μσ=, 23

24D μσ= 且 D D D μμμ<<

∴ 3

μ较优 ………(6分) 2、 解:12,,...,n x x x 的似然函数为:

1

1

121

11

(,,...,)n

i

i

i x n

x

n n

i L x x x e

e

θθ

θθ

θ

=-

-=∑==

∏,………(3分)

11

()ln n

i i Ln L n x θθ

==--

2

1

()1

0n

i

i dLn L n x

d θθθ

==-+=∑

解之有: 1

1n

i

i x X n θ===∑ ………(6分)

一、(共30分,每题5分)

1、设事件A 与B 相互独立,8.0)(,5.0)(==B A P A P , 求)(A P .

解:因为事件A 与B 相互独立,所以

)()()(P A P A P =

)()()()()(B P A P B P A P B A P -+= …….2分 由8.0)(,5.0)(==B A P A P ,得6.0)(=B P …….2分 2.0)()()(==B P A P B A P …….1分

2、三人独立地去破译一份密码,他们译出的概率分别为41

,31,51.

求能将此密码译出的概率.

解:53

)411)(311)(511(1=----=P …….5分

3、设随机变量X 的分布律为

求12+=X Y 的分布律,并计算)31(<≤X P . 解:

4、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,且已知1)]2)(1[(=--X X E 求λ. 解:λ==)()(X D X E , …….2分

1

2)(3)]([)( )

23()]2)(1[(2

2=+-+=+-=--X E X E X D X X E X X E …….2分

所以0122=+-λλ,得1=λ. …….1分 5、为检查某食用动物含某种重金属的水平,假设重金属的水平服从正态分布

σμσμ,),,(~2N X 均未知,现抽取容量为25的一个样本,测得样本均值为186,样

本标准差为10,求μ的置信度为0.95 的置信区间. 解:总体均值 μ 的置信度为0.95 的置信区间为

))1((025.0-±n t n s X ……….2分

即 )0639.2510

186(?± …….2分

所求置信区间为(181.8722,190.1278) …….1分

6、某车间用一台包装机包装葡萄糖.包得的袋装糖重量),,(~2σμN X 当机器正常时,其均值5.0=μ公斤,标准差015.0=σ公斤.某日开工后为检验包装机是否正常,随机地抽取它所包装的糖9袋,称得平均重量为0.511公斤,问这天包装机工作是否正常?(取显著水平05.0=α)

解:由题意设 5.0:;5.0:10≠=μμH H ……….1分

拒绝域为 025.0|5

.0|

z n

X ≥-σ ……….1分

由于2.2|9

015.05

.0511.0||5.0|

=-=-n X σ ,,96.1025.0=z ……….2分 即2.2>1.96,拒绝原假设,认为这天包装机工作不正常. ……….1分

统计B 班级 姓名 学号 第 2 页

二、(共18分,每题6分)

1、设随机变量X 和Y 相互独立,概率密度分别为

???≤>=-.0 ,00 ,2)(2x x e x f x X , ???≤>=-.

0 ,0,

0 ,3)(3y y e y f y Y

求: (1) ;)32(Y X E -(2) );32(Y X D -(3)XY ρ. 解:(1) 0;3

13-2

12)(3)(2)32(=??=-=-Y E X E Y X E ….2分

(2) ;29

194

14)(9)(4)32(=?+?=+=-Y D X D Y X D ….2分

(3)因为量X 和Y 相互独立,所以0=XY ρ. ….2分

2、已知随机变量)36,2(~),25,1(~N Y N X ,4.0=XY ρ, 求:Y X U 23+= 与Y X V 3-=的协方差. 解:)3,23(),(Y X Y X Cov V U Cov -+=

)(6),(2),(9)(3Y D Y X Cov Y X Cov X D -+-=….3分

)(6)()(7)(3Y D Y D X D X D XY --=ρ

225366654.07253-=?-???-?= ….3分

3、设1321,,,X X X 是来自正态总体)1,0(N 的一个样本,且已知随机变量∑∑==+=13

5

24

1

2

)()(i i i i X b X a Y 服从自由度为2的2χ分布,

求b a ,的值.

解:因为)1,0(~N X i 且相互独立,13,,2,1 =i .

所以,)4,0(~4

1

N X i i ∑=,)9,0(~13

5

N X i i ∑=, ….2分

14

113

三、(共18分,每题6分)

1、设总体),6,52(~2N X 现随机抽取容量为36的一个样本,求样本均值X 落入(50.8,53.8)之间的概率.

解:)1,52(~N , ……….2分

}8.538.50{<

)2.1()8.1(-Φ-Φ==8849.019641.0+- ….3分 849.0= ……….1分

2、设随机变量X 的分布函数为 ??

?

??>-≤<≤=--.1 ,1,10 ,,

0 ,)()1(x Ae x B x Ae x F x x

求:(1)A , B 的值;(2)}3

1

{>X P .

解:(1)由连续型随机变量分布函数的连续性,得

)0()(lim 0

F x F x =-→,)1()(lim 1

F x F x =-

→, 即???-==A

B B

A 1 解得5.0==

B A ……….3分 (2)5.05.01)3

1

(1}31{=-=-=>F X P ……….3分

概率论与数理统计B 试题 班级 姓名 学 第 3 页

3、箱子中有一号袋1个,二号袋2个.一号袋中装1个红球,2个黄球,二号袋中装2个红球,1个黄球,今从箱子中任取一袋,从中任取一球,结果为红球,求这个红球是从一号袋中取得的概率. 解:设i A ={从箱子中取到i 号袋},2,1=i B ={抽出的是红球}

)|()()|()()(2211A B P A P A B P A P B P += ……….2分

9

5

32323131=?+?=

……….1分 )

|()()

|()()|(2

1111i i i A B P A P A B P A P B A P ∑==

5

1

= ……….3分 四、(8分) 设随机变量X 具有密度函数 ???<<=.

,010 , )(其它,

x Ax x f

求(1)常数A ;(2)X 的分布函数.

(1)因为 1)(?+∞

∞-=dx x f ……….2分

所以 11

0=?xdx A 得 2=A ……….2分

(2)?

????≥<≤<=?.

1 ,1,10 ,2,

0 ,0)(0x x xdx x x F x

=??

?

??≥<≤<.1 ,1,10 ,,0 ,02x x x x ……….4分

五、(8分)某箱装有100件产品,其中一、二、三等品分别为 60、30、10件,现从中随机抽取一件,记

. ,0 ,1???=等品没有抽到等品若抽到i i X i ,求21X X ,的联合分布律.

解:设321,,A A A 分别表示抽到一、二、三等品,

1.0)()0,0(321====A P X X P ,6.0)()0,1(121====A P X X P

3.0)()1,0(221====A P X X P ,0)1,1(21===X X P 21X X ,的联合分布律为

……….8分(每个2分)

六、(10分)设随机变量X 和Y 的联合概率密度为

???<<<=.

,0,

10 ,15),(2其它y x y x y x f

(1) 求边缘概率密度;(2)判断随机变量X 和Y 是否独立.

7、已知随机向量(X ,Y )的联合密度函数

?????≤≤≤≤=其他

,

010,20,

2

3

),(2y x xy y x f ,则

E (X )=3

4。

8、随机变量X 的数学期望μ=EX ,方差2σ=DX ,k 、b 为常数,则有)(b kX E += ,k b μ+;)(b kX D +=22k σ。

9、若随机变量X ~N (-2,4),Y ~N (3,9),且X 与Y 相互独立。设Z =2X -Y +5,则Z ~ N(-2, 25) 。

10、θθθ是常数21? ,?的两个 无偏 估计量,若)?()?(2

1θθD D <,则称1?θ比2?θ有效。 1、设A 、B 为随机事件,且P (A )=0.4, P (B )=0.3, P (A ∪B )=0.6,则P (B A )=_0.3__。 2、设X ~B (2,p ),Y ~B (3,p ),且P {X ≥ 1}=9

5,则P {Y ≥ 1}=27

19。

3、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布,且Y =3X -2, 则E (Y )=4 。

4、设随机变量X 服从[0,2]上的均匀分布,Y =2X +1,则D (Y )= 4/3 。

5、设随机变量X 的概率密度是:

?

?<<=其他

103)(2

x x x f ,且{}784.0=≥αX P ,则

α=0.6 。

6、利用正态分布的结论,有

?

+∞

---=+-dx e x x x 2

)2(22

)44(21

π

1 。

7、已知随机向量(X ,Y )的联合密度函数

?????≤≤≤≤=其他

,

010,20,

2

3

),(2y x xy y x f ,则

E (Y )= 3/4 。

8、设(X ,Y )为二维随机向量,D (X )、D (Y )均不为零。若有常数a >0与b 使

{}1=+-=b aX Y P ,则X 与Y 的相关系数=XY ρ-1 。

9、若随机变量X ~N (1,4),Y ~N (2,9),且X 与Y 相互独立。设Z =X -Y +3,则Z ~ N (2, 13) 。

10、设随机变量X ~N (1/2,2),以Y 表示对X 的三次独立重复观察中“2/1≤X ”出现的次数,则}2{=Y P = 3/8 。 1、设A ,B 为随机事件,且P (A)=0.7,P (A -B)=0.3,则=?)(B A P 0.6 。

2、四个人独立地破译一份密码,已知各人能译出的概率分别为6

1,31,41,51,则密码能被译出的概率是 11/24 。

5、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,且{}{}

423===X P X

P ,则λ= 6 。

6、设随机变量X ~ N (1, 4),已知Φ(0.5)=0.6915,Φ(1.5)=0.9332,则{}

=<2X P 0.6247 。

7、随机变量X 的概率密度函数1

22

1

)(-+-=

x x

e x

f π

,则E (X )= 1 。

8、已知总体X ~ N (0, 1),设X 1,X 2,…,X n 是来自总体X 的简单随机样本,则

∑=n

i i

X

1

2

~)(2

n x 。

9、设T 服从自由度为n 的t 分布,若{}

αλ=>T P ,则{}=

-<λT P 2

a

。 10、已知随机向量(X ,Y )的联合密度函数??

?≤≤≤≤=其他

,

010,20,),(y x xy y x f ,则E (X )= 4/3 。

1、设A ,B 为随机事件,且P (A)=0.6, P (AB)= P (B A ), 则P (B )= 0.4 。

2、设随机变量X 与Y 相互独立,且

5.05.011P X -,

5

.05.01

1P Y

-,则P (X =Y )=_ 0.5_。

3、设随机变量X 服从以n , p 为参数的二项分布,且EX =15,DX =10,则n = 45 。

4、设随机变量),(~2

σμN X ,其密度函数6

4421)(+--

=

x x e

x f ,则μ= 2 。

5、设随机变量X 的数学期望EX 和方差DX >0都存在,令DX

EX X Y

/)(-=,则D Y= 1 。

6、设随机变量X 服从区间[0,5]上的均匀分布,Y 服从5=λ的指数分布,且X ,Y 相互独立,则(X , Y )的联合密度函数f (x , y )=

???≥≤≤-其它

,505y x e y

7、随机变量X 与Y 相互独立,且D (X )=4,D (Y )=2,则D (3X -2Y )= 44。 8、设n X X X ,,,21 是来自总体X ~ N (0, 1)的简单随机样本,则

∑=-n

i i

X X

1

2)(服从的分布为)1(2-n x 。

9、三个人独立地向某一目标进行射击,已知各人能击中的概率分别为3

1

,41,

51,则目标能被击中的概率是3/5 。 10、已知随机向量(X , Y )的联合概率密度???>≤≤=-其它0

,10,4),(2y x xe y x f y ,

则E Y = 1/2 。

1、设A,B 为两个随机事件,且P(A)=0.7, P(A-B)=0.3,则P(AB )=__0.6 __。

2、设随机变量X 的分布律为

2

12

11

p

X ,且X 与Y 独立同分布,则随机变量Z =max{X ,Y }的分布律为4

34

110P

Z

3、设随机变量X ~N (2,2

σ),且P {2 < X <4}=0.3,则P {X < 0}=0.2 。

4、设随机变量X 服从2=λ泊松分布,则{}1≥X P =2

1--e 。

5、已知随机变量X 的概率密度为)(x f X ,令X Y 2-=,则Y 的概率密度)(y f Y 为

)2

(21y

f X -。 6、设X 是10次独立重复试验成功的次数,若每次试验成功的概率为0.4,则=)(X D 2.4 。

7、X 1,X 2,…,X n 是取自总体()2

,σμN

的样本,则

2

1

2

)(σ∑=-n

i i

X X

~)1(2

-n x 。

8、已知随机向量(X , Y )的联合概率密度???>≤≤=-其它0

,10,4),(2y x xe y x f y ,则E X = 2/3 。

9、称统计量θθ

为参数?的 无偏 估计量,如果)(θ

E =θ。 10、概率很小的事件在一次试验中几乎是不可能发生的,这个原理称为 小概率事件原理。 1、设A 、B 为两个随机事件,若P (A)=0.4,P (B)=0.3,6.0)(=?B A P ,则=)(B A P 0.3 。

2、设X 是10次独立重复试验成功的次数,若每次试验成功的概率为0.4,则=)(2X E 18.4 。

3、设随机变量X ~N (1/4,9),以Y 表示对X 的5次独立重复观察中“4/1≤X ”出现的次数,则}2{=Y P = 5/16 。

4、已知随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,且P(X =2)=P(X =4),则λ=32。

5、称统计量θθ为参数?的无偏估计量,如果)(θ

E =θ 。

6、设)(~),1,0(~2n x Y N X ,且X ,Y 相互独立,则

~n Y

X

t(n) 。

7、若随机变量X ~N (3,9),Y ~N (-1,5),且X 与Y 相互独立。设Z =X -2Y +2,则Z ~ N (7,29) 。 8、已知随机向量(X , Y )的联合概率密度?

?

?>≤≤=-其它

0,10,

6),(3y x xe

y x f y

,则E Y = 1/3 。

9、已知总体n X X X N X ,,,),,(~212 σμ是来自总体X 的样本,要检验2

02

σ

σ

=:o H ,则采用的统计量是

20

2

)1(σ

S n -。

10、设随机变量T 服从自由度为n 的t 分布,若{}

αλ=>T P ,则{}=<λT P 2

1a

-

。 1、设A 、B 为两个随机事件,P (A)=0.4, P (B)=0.5,7.0)(=B A P ,则=)(B A P 0.55 。 2、设随机变量X ~ B (5, 0.1),则D (1-2X )= 1.8 。 3、在三次独立重复射击中,若至少有一次击中目标的概率为

64

37

,则每次射击击中目标的概率为 1/4 。 4、设随机变量X 的概率分布为5.0)3(,3.0)2(,2.0)1(======X P X P X P ,则X 的期望E X = 2.3。 5、将一枚硬币重复掷n 次,以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数,则X 和Y 的相关系数等于-1。 6、设(X , Y )的联合概率分布列为

若X 、Y 相互独立,则a = 1/6 ,b = 1/9 。

7、设随机变量X 服从[1,5]上的均匀分布,则{}=≤≤42X P 1/2 。

8、三个人独立地破译一份密码,已知各人能译出的概率分别为3

1

,41,

51,则密码能被译出的概率是3/5 。 9、若n X X X N X ,,,),,(~2121 σμ是来自总体X 的样本,2,S X 分别为样本均值和样本方差,则

S

n

X )(μ-~ t (n-1) 。

10、θθθ是常数21?,?的两个无偏估计量,若)?()?(2

1θθD D <,则称1?θ比2?θ 有效 。 1、已知P (A)=0.8,P (A -B)=0.5,且A 与B 独立,则P (B) = 3/8 。 2、设随机变量X ~N (1,4),且P{ X ≥ a }= P{ X ≤ a },则a = 1 。 3、随机变量X 与Y 相互独立且同分布,21)1()1(=

-==-=Y P X P ,2

1

)1()1(====Y P X P ,则()0.5P X Y ==。 4、已知随机向量(X , Y )的联合分布密度?

??≤≤≤≤=其它01

0,104),(y x xy y x f ,则EY = 2/3 。

5、设随机变量X ~N (1,4),则{}

2>X P = 0.3753 。(已知Φ(0.5)=0.6915,Φ(1.5)=0.9332) 6、若随机变量X ~N (0,4),Y ~N (-1,5),且X 与Y 相互独立。设Z =X +Y -3,则Z ~ N (-4,9) 。 7、设总体X ~N (1,9),n X X X , , ,21 是来自总体X 的简单随机样本,2 ,S X 分别为样本均值与样本方差,则

∑=-n i i X X 12

~)(912(8)χ;;∑=-n i i X 1

2~)1(9129χ()。 8、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,且{}{}423===X P X P ,则λ= 6 。

9、袋中有大小相同的红球4只,黑球3只,从中随机一次抽取2只,则此两球颜色不同的概率为 4/7 。

10、在假设检验中,把符合H 0的总体判为不合格H 0加以拒绝,这类错误称为 一错误;把不符合H 0的总体当作符合H 0而接受。这

类错误称为 二 错误。

1、设A 、B 为两个随机事件,P (A)=0.8,P (AB)=0.4,则P (A -B)= 0.4 。

2、设X 是10次独立重复试验成功的次数,若每次试验成功的概率为0.4,则=)(X D 2.4 。

3、设随机变量X 的概率分布为

则{

}

12

≥X P = 0.7 。

4、设随机变量X 的概率密度函数1

22

1

)(-+-=

x x

e x

f π

,则)(X D =

2

1 。

5、袋中有大小相同的黑球7只,白球3只,每次从中任取一只,有放回抽取,记首次抽到黑球时抽取的次数为X ,则P {X =10}

= 0.39*0.7 。

6、某人投篮,每次命中率为0.7,现独立投篮5次,恰好命中4次的概率是144

53.07.0??C 。

7、设随机变量X 的密度函数2

)2(2

21

)(+-

=

x e x f π

,且{}{}c X P c X P ≤=≥,则c = -2 。

8、已知随机变量U = 4-9X ,V = 8+3Y ,且X 与Y 的相关系数XY ρ=1,则U 与V 的相关系数UV ρ=-1。 9、设)(~),1,0(~2

n x Y N X ,且X ,Y 相互独立,则

~n Y

X t (n)

10、概率很小的事件在一次试验中几乎是不可能发生的,这个原理称为 小概率事件原理 。 1、随机事件A 与B 独立,===)(5.0)(,7.0)(B P A P B A P 则, 0.4 。 2、设随机变量X 的概率分布为则X 2

的概率分布为

3、设随机变量X 服从[2,6]上的均匀分布,则{}=<<43X P 0.25 。

4、设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数,且每次命中率为0.4,则2

EX =_18.4__。

5、随机变量)4,(~μN X ,则~2

μ

-=

X Y

N(0,1) 。

6、四名射手独立地向一目标进行射击,已知各人能击中目标的概率分别为1/2、3/4、2/3、3/5,则目标能被击中的概率是 59/60 。

7、一袋中有2个黑球和若干个白球,现有放回地摸球4次,若至少摸到一个白球的概率是

81

80

,则袋中白球的个数是 4 。 8、已知随机变量U = 1+2X ,V = 2-3Y ,且X 与Y 的相关系数XY ρ =-1,则U 与V 的相关系数UV ρ = 1 。 9、设随机变量X ~N (2,9),且P{ X ≥ a }= P{ X ≤ a },则a = 2 。

10、称统计量θθ

为参数?的无偏估计量,如果)(θ

E = θ 二、选择题

1、设随机事件A 与B 互不相容,且0)()(>>B P A P ,则( D )。

2、将两封信随机地投入四个邮筒中,则未向前面两个邮筒投信的概率为( A )。

A. 2242

B. 241

2C C C. 2

4

!

2P D. !4!2 3、已知随机变量X 的概率密度为)(x f X ,令X Y 2-=,则Y 的概率密度)(y f Y 为( D )。 A. )2(2y f X - B. )2(y f X -

C. )2(21y f X --

D. )2

(21y

f X - 4、设随机变量)(~x f X ,满足)()(x f x f -=,)(x F 是x 的分布函数,则对任意实数a 有( B )。 A. ?

-

=-a

dx x f a F 0

)(1)( B. ?-=

-a dx x f a F 0

)(21

)( C. )()(a F a F =- D. 1)(2)(-=-a F a F 5、设)(x Φ为标准正态分布函数,

100, ,2, 1, 0A ,1 =?

??=i X i 否则;,发生;

事件且8.0)(=A P ,10021X X X ,,

, 相互独立。令∑==100

1i i X Y ,则由中心极限定理知Y 的分布函数)(y F 近似于( B )。 A. )(y Φ B .)4

80

(

-Φy C .)8016(+Φy D .)804(+Φy 1、设A ,B 为随机事件,0)(>B P ,1)|(=B A P ,则必有( A )。

A. )()(A P B A P =?

B. B A ?

C. )()(B P A P =

D. )()(A P AB P =

2、某人连续向一目标射击,每次命中目标的概率为43,他连续射击直到命中为止,则射击次数为3的概率是( C )。 A. 343)( B. 41432?)( C. 43412?)( D. 224

4

1C )( 3、设12, X X 是来自总体X 的一个简单随机样本,则最有效的无偏估计是( A )。 A. 121122X X μ=

+

B. 121233X X μ=+

C. 121344X X μ=+

D. 122

355

X X μ=+ 4、设)(x Φ为标准正态分布函数,

100, ,2, 1, 0A ,1 =???=i X i 否则。,

发生;

事件且()0.1P A =,10021X X X ,,

, 相互独立。令∑==100

1

i i

X

Y ,则由中心极限定理知Y

的分布函数)(y F 近似于( B )。 10

y -

全国历自学考试概率论与数理统计(二)试题与答案

全国2011年4月自学考试概率论与数理统计(二) 课程代码:02197 选择题和填空题详解 试题来自百度文库 答案由王馨磊导师提供 一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设A , B , C , 为随机事件, 则事件“A , B , C 都不发生”可表示为( A ) A .C B A B .C B A C .C B A D .C B A 2.设随机事件A 与B 相互独立, 且P (A )=5 1, P (B )=5 3, 则P (A ∪B )= ( B ) A .253 B .2517 C .5 4 D .2523 3.设随机变量X ~B (3, 0.4), 则P {X ≥1}= ( C ) A .0.352 B .0.432 C .0.784 D .0.936 解:P{X ≥1}=1- P{X=0}=1-(1-0.4)3=0.784,故选C. 4.已知随机变量X 的分布律为 , 则P {-2<X ≤4}= ( C ) A .0.2 B .0.35 C .0.55 D .0.8 解:P {-2<X ≤4}= P {X =-1}+ P {X =2}=0.2+0.35=0.55,故选C. 5.设随机变量X 的概率密度为4 )3(2 e 2 π21)(+-= x x f , 则E (X ), D (X )分别为 ( ) A .2,3- B .-3, 2 C .2,3 D .3, 2 与已知比较可知:E(X)=-3,D(X)=2,故选B. 6.设二维随机变量 (X , Y )的概率密度为? ??≤≤≤≤=,,0, 20,20,),(其他y x c y x f 则常数 c = ( A ) A .4 1 B .2 1 C .2 D .4 解:设D 为平面上的有界区域,其面积为S 且S>0,如果二维随机变量 (X ,Y )的概率密度为 则称 (X ,Y )服从区域D 上的均匀分布,

概率论与数理统计习题集及答案

* 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次,观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是:S= ; (2) 一枚硬币连丢3次,观察出现正面的次数. 样本空间是:S= ; 2.(1) 丢一颗骰子. A :出现奇数点,则A= ;B :数点大于2,则B= . (2) 一枚硬币连丢2次, A :第一次出现正面,则A= ; B :两次出现同一面,则= ; C :至少有一次出现正面,则C= . ? §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件,用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件: (1)A 、B 、C 都不发生表示为: .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为: . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为: .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为: . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为: .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为: . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S :则 (1)=?B A ,(2)=AB ,(3)=B A , (4)B A ?= ,(5)B A = 。 \ §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ,则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. — §1 .5 条件概率与乘法公式 1.丢甲、乙两颗均匀的骰子,已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签,其中2个“中”,第一人随机地抽一个签,不放回,第二人再随机地抽一个 签,说明两人抽“中‘的概率相同。

《概率论与数理统计》期末考试试题及解答

一、填空题(每小题3分,共15分) 1. 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3,且5.0)()(=+B P A P ,则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案:0.3 解: 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2. 设随机变量X 服从泊松分布,且)2(4)1(==≤X P X P ,则==)3(X P ______. 答案: 161-e 解答: λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ,故 16 1)3(-= =e X P 3. 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布,则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案: 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答:设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ,密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ,所以(0X F = ,即()Y X F y F = 故

《概率论与数理统计》讲义#(精选.)

第一章 随机事件和概率 第一节 基本概念 1、排列组合初步 (1)排列组合公式 )! (! n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。 )! (!! n m n m C n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。 例1.1:方程 x x x C C C 765107 11=-的解是 A . 4 B . 3 C . 2 D . 1 例1.2:有5个队伍参加了甲A 联赛,两两之间进行循环赛两场,试问总共的场次是多少? (2)加法原理(两种方法均能完成此事):m+n 某件事由两种方法来完成,第一种方法可由m 种方法完成,第二种方法可由n 种方法来完成,则这件事可由m+n 种方法来完成。 (3)乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事):m ×n 某件事由两个步骤来完成,第一个步骤可由m 种方法完成,第二个步骤可由n 种方法来完成,则这件事可由m ×n 种方法来完成。 例1.3:从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会,要求与会成员中既有男同学又有女同学,有几种不同的选法? 例1.4:6张同排连号的电影票,分给3名男生和3名女生,如欲男女相间而坐,则不同的分法数为多少? 例1.5:用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里,每一区域涂上一种颜

色,且相邻区域的颜色必须不同,则共有不同的涂法 A.120种B.140种 C.160种D.180种 (4)一些常见排列 ①特殊排列 ②相邻 ③彼此隔开 ④顺序一定和不可分辨 例1.6:晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目,问:分别按以下要求各可排出几种不同的节目单? ①3个舞蹈节目排在一起; ②3个舞蹈节目彼此隔开; ③3个舞蹈节目先后顺序一定。 例1.7:4幅大小不同的画,要求两幅最大的排在一起,问有多少种排法? 例1.8:5辆车排成1排,1辆黄色,1辆蓝色,3辆红色,且3辆红车不可分辨,问有多少种排法? ①重复排列和非重复排列(有序) 例1.9:5封不同的信,有6个信箱可供投递,共有多少种投信的方法? ②对立事件 例1.10:七人并坐,甲不坐首位,乙不坐末位,有几种不同的坐法? 例1.11:15人中取5人,有3个不能都取,有多少种取法? 例1.12:有4对人,组成一个3人小组,不能从任意一对中取2个,问有多少种可能性?

概率论与数理统计练习题

概率论与数理统计练习题 一、填空题 1、设A 、B 为随机事件,且P (A)=,P (B)=,P (B A)=,则P (A+B)=__ __。 2、θθθ是常数21? ,?的两个 无偏 估计量,若)? ()?(21θθD D <,则称1?θ比2?θ有效。 3、设A 、B 为随机事件,且P (A )=, P (B )=, P (A ∪B )=,则P (B A )=。 4. 设随机变量X 服从[0,2]上的均匀分布,Y =2X +1,则D (Y )= 4/3 。 5. 设随机变量X 的概率密度是: ?? ?<<=其他 103)(2 x x x f ,且{}784 .0=≥αX P ,则α= 。 6. 已知随机向量(X ,Y )的联合密度函数 ?????≤≤≤≤=其他 , 010,20, 2 3 ),(2y x xy y x f ,则 E (Y )= 3/4 。 7. 若随机变量X ~N (1,4),Y ~N (2,9),且X 与Y 相互独立。设Z =X -Y +3,则Z ~ N (2, 13) 。 * 8. 设A ,B 为随机事件,且P (A)=,P (A -B)=,则=?)(B A P 。 9. 设随机变量X ~ N (1, 4),已知Φ=,Φ=,则{}=<2X P 。 10. 随机变量X 的概率密度函数1 22 1 )(-+-= x x e x f π ,则E (X )= 1 。 11. 已知随机向量(X ,Y )的联合密度函数 ?? ?≤≤≤≤=其他 , 010,20, ),(y x xy y x f ,则 E (X )= 4/3 。 12. 设A ,B 为随机事件,且P (A)=, P (AB)= P (B A ), 则P (B )= 。 13. 设随机变量),(~2σμN X ,其密度函数6 4 4261)(+-- = x x e x f π ,则μ= 2 。 14. 设随机变量X 的数学期望EX 和方差DX >0都存在,令DX EX X Y /)(-=,则D Y= 1 。 15. 随机变量X 与Y 相互独立,且D (X )=4,D (Y )=2,则D (3X -2Y )= 44。 16. 三个人独立地向某一目标进行射击,已知各人能击中的概率分别为3 1 ,41,51,则目标能被击中 的概率是3/5 。 17. 设随机变量X ~N (2,2σ),且P {2 < X <4}=,则P {X < 0}= 。 ! 18. 设随机变量X 的概率分布为5.0)3(,3.0)2(,2.0)1(======X P X P X P ,则X 的期望

概率论与数理统计试题库

《概率论与数理统计》试题(1) 一 、 判断题(本题共15分,每小题3分。正确打“√”,错误打“×”) ⑴ 对任意事件A 和B ,必有P(AB)=P(A)P(B) ( ) ⑵ 设A 、B 是Ω中的随机事件,则(A ∪B )-B=A ( ) ⑶ 若X 服从参数为λ的普哇松分布,则EX=DX ( ) ⑷ 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理 ( ) ⑸ 样本方差2n S = n 121 )(X X n i i -∑=是母体方差DX 的无偏估计 ( ) 二 、(20分)设A 、B 、C 是Ω中的随机事件,将下列事件用A 、B 、C 表示出来 (1)仅A 发生,B 、C 都不发生; (2),,A B C 中至少有两个发生; (3),,A B C 中不多于两个发生; (4),,A B C 中恰有两个发生; (5),,A B C 中至多有一个发生。 三、(15分) 把长为a 的棒任意折成三段,求它们可以构成三角形的概率. 四、(10分) 已知离散型随机变量X 的分布列为 2101 31111115651530 X P -- 求2 Y X =的分布列. 五、(10分)设随机变量X 具有密度函数|| 1()2 x f x e -= ,∞< x <∞, 求X 的数学期望和方差. 六、(15分)某保险公司多年的资料表明,在索赔户中,被盗索赔户占20%,以X 表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数,求(1430)P X ≤≤. x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Ф(x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 七、(15分)设12,,,n X X X 是来自几何分布 1 ()(1) ,1,2,,01k P X k p p k p -==-=<< , 的样本,试求未知参数p 的极大似然估计.

概率论与数理统计习题及答案

习题二 3.设在15只同类型零件中有2只为次品,在其中取3次,每次任取1只,作不放回抽样,以X 表示取出的次品个数,求: (1) X 的分布律; (2) X 的分布函数并作图; (3) 133 {},{1},{1},{12}222 P X P X P X P X ≤<≤≤≤<<. 【解】 故X 的分布律为 (2) 当x <0时,F (x )=P (X ≤x )=0 当0≤x <1时,F (x )=P (X ≤x )=P (X =0)= 22 35 当1≤x <2时,F (x )=P (X ≤x )=P (X =0)+P (X =1)=3435 当x ≥2时,F (x )=P (X ≤x )=1 故X 的分布函数 (3) 4.射手向目标独立地进行了3次射击,每次击中率为0.8,求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数,并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】 设X 表示击中目标的次数.则X =0,1,2,3. 故X 的分布律为 分布函数 5.(1) 设随机变量X 的分布律为 P {X =k }=! k a k λ, 其中k =0,1,2,…,λ>0为常数,试确定常数a . (2) 设随机变量X 的分布律为 P {X =k }=a/N , k =1,2,…,N , 试确定常数a . 【解】(1) 由分布律的性质知 故 e a λ -= (2) 由分布律的性质知 即 1a =. 6.甲、乙两人投篮,投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次,求: (1) 两人投中次数相等的概率;

(2) 甲比乙投中次数多的概率. 【解】分别令X 、Y 表示甲、乙投中次数,则X~b (3,0.6),Y~b (3,0.7) (1) ()(0,0)(1,1)(2,2)P X Y P X Y P X Y P X Y ====+==+==+ 331212 33(0.4)(0.3)C 0.6(0.4)C 0.7(0.3)=++ (2) ()(1,0)(2,0)(3,0)P X Y P X Y P X Y P X Y >===+==+==+ =0.243 7.设某机场每天有200架飞机在此降落,任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02,且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道,才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)? 【解】设X 为某一时刻需立即降落的飞机数,则X ~b (200,0.02),设机场需配备N 条跑道,则有 即 200 2002001 C (0.02)(0.98) 0.01k k k k N -=+<∑ 利用泊松近似 查表得N ≥9.故机场至少应配备9条跑道. 8.已知在五重伯努利试验中成功的次数X 满足P {X =1}=P {X =2},求概率P {X =4}. 【解】设在每次试验中成功的概率为p ,则 故 1 3 p = 所以 4451210(4)C ()33243 P X === . 9.设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3,当A 发生不少于3次时,指示灯发出信号, (1) 进行了5次独立试验,试求指示灯发出信号的概率; (2) 进行了7次独立试验,试求指示灯发出信号的概率. 【解】(1) 设X 表示5次独立试验中A 发生的次数,则X ~6(5,0.3) (2) 令Y 表示7次独立试验中A 发生的次数,则Y~b (7,0.3) 10.某公安局在长度为t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为(1/2)t 的泊松分布,而与时间间 隔起点无关(时间以小时计). (1) 求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率; (2) 求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率. 【解】(1)32 (0)e P X -== (2) 52 (1)1(0)1e P X P X - ≥=-==- 11.设P {X =k }=k k k p p --22) 1(C , k =0,1,2 P {Y =m }=m m m p p --44) 1(C , m =0,1,2,3,4 分别为随机变量X ,Y 的概率分布,如果已知P {X ≥1}=5 9 ,试求P {Y ≥1}. 【解】因为5(1)9P X ≥= ,故4(1)9 P X <=. 而 2 (1)(0)(1)P X P X p <===-

《概率论与数理统计》在线作业

第一阶段在线作业 第1题 您的答案:B 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:对立不是独立。两个集合互补。第2题 您的答案:D 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:A发生,必然导致和事件发生。第3题

您的答案:B 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:分布函数的取值最大为1,最小为0. 第4题 您的答案:A 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:密度函数在【-1,1】区间积分。第5题

您的答案:A 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:A答案,包括了BC两种情况。 第6题 您的答案:A 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:古典概型,等可能概型,16种总共的投法。第7题

您的答案:C 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:几何概型,前两次没有命中,且第三次命中,三次相互独立,概率相乘。 第8题 您的答案:D 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:利用随机变量单调性函数的概率密度求解公式公式。中间有反函数求导数,加绝对值。第9题

您的答案:C 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:利用概率密度的性质,概率密度在相应范围上的积分值为1.验证四个区间。 第10题 您的答案:B 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:利用分布函数的性质,包括分布函数的值域[0,1]当自变量趋向无穷时,分布函数取值应该是1.排除答案。 第11题

您的答案:C 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:利用上分位点的定义。 第12题 您的答案:B 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:利用和事件的公式,还有概率小于等于1.P(AB)小于等于P(C)。第13题

概率论与数理统计模拟试题

模拟试题A 一.单项选择题(每小题3分,共9分) 1. 打靶3 发,事件表示“击中i发”,i = 0,1,2,3。那么事件 表示( )。 ( A ) 全部击中;( B ) 至少有一发击中; ( C ) 必然击中;( D ) 击中3 发 2.设离散型随机变量x 的分布律为则常数 A 应为 ( )。 ( A ) ;( B ) ;(C) ;(D) 3.设随机变量,服从二项分布B ( n,p ),其中0 < p < 1 ,n = 1,2,…,那么,对 于任一实数x,有等于( )。 ( A ) ; ( B ) ; ( C ) ; ( D ) 二、填空题(每小题3分,共12分) 1.设A , B为两个随机事件,且P(B)>0,则由乘法公式知P(AB) =__________ 2.设且有 ,,则 =___________。 3.某柜台有4个服务员,他们是否需用台秤是相互独立的,在1小时内每人需用台秤的概 率为,则4人中至多1人需用台秤的概率为:__________________。 4.从1,2,…,10共十个数字中任取一个,然后放回,先后取出5个数字,则所得5个数字全不相同的事件的概率等于___________。 三、(10分)已知,求证 四、(10分)5个零件中有一个次品,从中一个个取出进行检查,检查后不放回。直到查 到次品时为止,用x表示检查次数,求的分布函数: 五、(11分)设某地区成年居民中肥胖者占10% ,不胖不瘦者占82% ,瘦者占8% ,又知肥胖者患高血压的概率为20%,不胖不瘦者患高血压病的概率为10% ,瘦者患高血压病的概率为

5%, 试求: ( 1 ) 该地区居民患高血压病的概率; ( 2 ) 若知某人患高血压, 则他属于肥胖者的概率有多大? 六、(10分)从两家公司购得同一种元件,两公司元件的失效时间分别是随机变量和,其概率密度分别是: 如果与相互独立,写出的联合概率密度,并求下列事件的概率: ( 1 ) 到时刻两家的元件都失效(记为A), ( 2 ) 到时刻两家的元件都未失效(记为B), ( 3 ) 在时刻至少有一家元件还在工作(记为D)。 七、(7分)证明:事件在一次试验中发生次数x的方差一定不超过。 八、(10分)设和是相互独立的随机变量,其概率密度分别为 又知随机变量 , 试求w的分布律及其分布函数。 九、(11分)某厂生产的某种产品,由以往经验知其强力标准差为 7.5 kg且强力服从正态分布,改用新原料后,从新产品中抽取25 件作强力试验,算 得,问新产品的强力标准差是否有显著变化?( 分别 取和0.01,已知, ) 十、(11分)在考查硝酸钠的可溶性程度时,对一系列不同的温度观察它在100ml 的水中溶解的硝酸钠的重量,得观察结果如下:

概率论与数理统计考研复习资料

概率论与数理统计复习 第一章 概率论的基本概念 一.基本概念 随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 样本空间S: E 的所有可能结果组成的集合. 样本点(基本事件):E 的每个结果. 随机事件(事件):样本空间S 的子集. 必然事件(S):每次试验中一定发生的事件. 不可能事件(Φ):每次试验中一定不会发生的事件. 二. 事件间的关系和运算 1.A ?B(事件B 包含事件A )事件A 发生必然导致事件B 发生. 2.A ∪B(和事件)事件A 与B 至少有一个发生. 3. A ∩B=AB(积事件)事件A 与B 同时发生. 4. A -B(差事件)事件A 发生而B 不发生. 5. AB=Φ (A 与B 互不相容或互斥)事件A 与B 不能同时发生. 6. AB=Φ且A ∪B=S (A 与B 互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A 与B 必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B . 运算规则 交换律 结合律 分配律 德?摩根律 B A B A = B A B A = 三. 概率的定义与性质 1.定义 对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P(A),称为事件A 的概率. (1)非负性 P(A)≥0 ; (2)归一性或规范性 P(S)=1 ; (3)可列可加性 对于两两互不相容的事件A 1,A 2,…(A i A j =φ, i ≠j, i,j=1,2,…), P(A 1∪A 2∪…)=P( A 1)+P(A 2)+… 2.性质 (1) P(Φ) = 0 , 注意: A 为不可能事件 P(A)=0 . (2)有限可加性 对于n 个两两互不相容的事件A 1,A 2,…,A n , P(A 1∪A 2∪…∪A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n ) (有限可加性与可列可加性合称加法定理) (3)若A ?B, 则P(A)≤P(B), P(B -A)=P(B)-P(A) . (4)对于任一事件A, P(A)≤1, P(A)=1-P(A) . (5)广义加法定理 对于任意二事件A,B ,P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) . 对于任意n 个事件A 1,A 2,…,A n ()()() () +∑ + ∑ - ∑=≤<<≤≤<≤=n k j i k j i n j i j i n i i n A A A P A A P A P A A A P 111 21 …+(-1)n-1P(A 1A 2…A n ) 四.等可能(古典)概型 1.定义 如果试验E 满足:(1)样本空间的元素只有有限个,即S={e 1,e 2,…,e n };(2)每一个基本事件的概率相等,即P(e 1)=P(e 2)=…= P(e n ).则称试验E 所对应的概率模型为等可能(古典)概型. 2.计算公式 P(A)=k / n 其中k 是A 中包含的基本事件数, n 是S 中包含的基本事件总数. 五.条件概率 1.定义 事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率P(B|A)=P(AB) / P(A) ( P(A)>0). 2.乘法定理 P(AB)=P(A) P (B|A) (P(A)>0); P(AB)=P(B) P (A|B) (P(B)>0). P(A 1A 2…A n )=P(A 1)P(A 2|A 1)P(A 3|A 1A 2)…P(A n |A 1A 2…A n-1) (n ≥2, P(A 1A 2…A n-1) > 0) 3. B 1,B 2,…,B n 是样本空间S 的一个划分(B i B j =φ,i ≠j,i,j=1,2,…,n, B 1∪B 2∪…∪B n =S) ,则 当P(B i )>0时,有全概率公式 P(A)= ()()i n i i B A P B P ∑=1

概率论与数理统计习题解答

第一章随机事件及其概率 1. 写出下列随机试验的样本空间: (1)同时掷两颗骰子,记录两颗骰子的点数之和; (2)在单位圆内任意一点,记录它的坐标; (3)10件产品中有三件是次品,每次从其中取一件,取后不放回,直到三件次品都取出为止,记录抽取的次数; (4)测量一汽车通过给定点的速度. 解所求的样本空间如下 (1)S= {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} (2)S= {(x, y)| x2+y2<1} (3)S= {3,4,5,6,7,8,9,10} (4)S= {v |v>0} 2. 设A、B、C为三个事件,用A、B、C的运算关系表示下列事件: (1)A发生,B和C不发生; (2)A与B都发生,而C不发生; (3)A、B、C都发生;

(4)A、B、C都不发生; (5)A、B、C不都发生; (6)A、B、C至少有一个发生; (7)A、B、C不多于一个发生; (8)A、B、C至少有两个发生. 解所求的事件表示如下 3.在某小学的学生中任选一名,若事件A表示被选学生是男生,事件B表示该生是三年级学生,事件C表示该学生是运动员,则 (1)事件AB表示什么? (2)在什么条件下ABC=C成立? ?是正确的? (3)在什么条件下关系式C B (4)在什么条件下A B =成立? 解所求的事件表示如下 (1)事件AB表示该生是三年级男生,但不是运动员. (2)当全校运动员都是三年级男生时,ABC=C成立. ?是正确的. (3)当全校运动员都是三年级学生时,关系式C B

(4)当全校女生都在三年级,并且三年级学生都是女生时,A B =成立. 4.设P (A )=,P (A -B )=,试求()P AB 解 由于 A ?B = A – AB , P (A )= 所以 P (A ?B ) = P (A ?AB ) = P (A )??P (AB ) = , 所以 P (AB )=, 故 ()P AB = 1? = . 5. 对事件A 、B 和C ,已知P(A) = P(B)=P(C)=1 4 ,P(AB) = P(CB) = 0, P(AC)= 1 8 求A 、B 、C 中至少有一个发生的概率. 解 由于,()0,?=ABC AB P AB 故P(ABC) = 0 则P(A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C) –P(AB) –P(BC) –P(AC)+P(ABC) 6. 设盒中有α只红球和b 只白球,现从中随机地取出两只球,试求下列事件的概率: A ={两球颜色相同}, B ={两球颜色不同}. 解 由题意,基本事件总数为2a b A +,有利于A 的事件数为2 2a b A A +,有利于B 的事件数为111111 2a b b a a b A A A A A A +=, 则 2 2 11 2 22()()a b a b a b a b A A A A P A P B A A +++==

概率论与数理统计试题库及答案(考试必做)

<概率论>试题A 一、填空题 1.设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1)A 、B 、C 至少有一个发生 2)A 、B 、C 中恰有一个发生 3)A 、B 、C 不多于一个发生 2.设 A 、B 为随机事件, P (A)=0.5,P(B)=0.6,P(B A)=0.8。则P(B )A U = 3.若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3,P(A B)=0.7,U 则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行,那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和 0.5,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ? ?<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a =________ b =________ 8. 设X ~2(2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击,若至少命中一次的概率

为8081 ,则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在(1,6)上服从均匀分布,则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥=,4{0}{0}7 P X P Y ≥=≥=,则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用(,X Y )的联合分布函数F (x,y )表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用(,X Y )的联合分布函数F (x,y )表示P{X a,b}Y <<= 14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成,二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分布,则(x,y )关于X 的边缘概率密度在x = 1 处的值为 。 15.已知)4.0,2(~2-N X ,则2(3)E X += 16.设)2,1(~),6.0,10(~N Y N X ,且X 与Y 相互独立,则(3)D X Y -= 17.设X 的概率密度为2 ()x f x -=,则()D X = 18.设随机变量X 1,X 2,X 3相互独立,其中X 1在[0,6]上服从均匀分 布,X 2服从正态分布N (0,22),X 3服从参数为λ=3的泊松分布,记Y=X 1-2X 2+3X 3,则D (Y )= 19.设()()25,36,0.4xy D X D Y ρ===,则()D X Y += 20.设12,,,,n X X X ??????是独立同分布的随机变量序列,且均值为μ,方差为2σ,那么当n 充分大时,近似有X ~ 或 X ~ 。特别是,当同为正态分布时,对于任意的n ,都精确有 X ~ 或~ . 21.设12,,,,n X X X ??????是独立同分布的随机变量序列,且i EX μ=,

概率论与数理统计习题集及答案

概率论与数理统计习题 集及答案 Company number:【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

《概率论与数理统计》作业集及答 案 第1章概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次,观察正面H﹑反面T 出现的情形. 样本空间是: S= ; (2) 一枚硬币连丢3次,观察出现正面的次数. 样本空间是: S= ; 2.(1) 丢一颗骰子. A:出现奇数点,则A= ;B:数点大于2,则 B= . (2) 一枚硬币连丢2次, A:第一次出现正面,则A= ; B:两次出现同一面,则= ; C:至少有一次出现正面,则 C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A、B、C为三事件,用A、B、C的运算关系表示下列各事件: (1)A、B、C都不发生表示为: .(2)A与B都发生,而C不发生表示为: . (3)A与B都不发生,而C发生表示为: .(4)A、B、C中最多二个发生表示为: . (5)A、B、C中至少二个发生表示为: .(6)A、B、C中不多于一个发生表示为: . 2. 设}4 =x B = x ≤ ≤ x < S:则 x A x 2: 1: 3 }, { { }, = {≤< 0: 5 ≤

(1)=?B A ,(2)=AB ,(3) =B A , (4)B A ?= ,(5)B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ,则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知, 3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1.丢甲、乙两颗均匀的骰子,已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则 =?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签,其中2个“中”,第一人随机地抽一个签,不放回,第二人再随 机地抽一个签,说明两人抽“中‘的概率相同。

《概率论与数理统计》基本名词中英文对照表

《概率论与数理统计》基本名词中英文对照表英文中文 Probability theory 概率论 mathematical statistics 数理统计 deterministic phenomenon 确定性现象 random phenomenon 随机现象 sample space 样本空间 random occurrence 随机事件 fundamental event 基本事件 certain event 必然事件 impossible event 不可能事件 random test 随机试验 incompatible events 互不相容事件 frequency 频率 classical probabilistic model 古典概型 geometric probability 几何概率 conditional probability 条件概率 multiplication theorem 乘法定理 Bayes's formula 贝叶斯公式 Prior probability 先验概率 Posterior probability 后验概率 Independent events 相互独立事件 Bernoulli trials 贝努利试验 random variable 随机变量

probability distribution 概率分布 distribution function 分布函数 discrete random variable 离散随机变量distribution law 分布律hypergeometric distribution 超几何分布 random sampling model 随机抽样模型binomial distribution 二项分布 Poisson distribution 泊松分布 geometric distribution 几何分布 probability density 概率密度 continuous random variable 连续随机变量uniformly distribution 均匀分布exponential distribution 指数分布 numerical character 数字特征mathematical expectation 数学期望 variance 方差 moment 矩 central moment 中心矩 n-dimensional random variable n-维随机变量 two-dimensional random variable 二维离散随机变量joint probability distribution 联合概率分布 joint distribution law 联合分布律 joint distribution function 联合分布函数boundary distribution law 边缘分布律

概率论与数理统计习题答案

习题五 1.一颗骰子连续掷4次,点数总和记为X .估计P {10

【解】令1,,0,i i X ?? ?若第个产品是合格品其他情形. 而至少要生产n 件,则i =1,2,…,n ,且 X 1,X 2,…,X n 独立同分布,p =P {X i =1}=. 现要求n ,使得 1 {0.760.84}0.9.n i i X P n =≤ ≤≥∑ 即 0.80.9n i X n P -≤≤≥∑ 由中心极限定理得 0.9,Φ-Φ≥ 整理得0.95,Φ≥?? 查表 1.64,10≥ n ≥, 故取n =269. 3. 某车间有同型号机床200部,每部机床开动的概率为,假定各机床开动与否互不影响,开动时每部机床消耗电能15个单位.问至少供应多少单位电能 才可以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产. 【解】要确定最低的供应的电能量,应先确定此车间同时开动的机床数目最大值m ,而m 要满足200部机床中同时开动的机床数目不超过m 的概率为95%,

概率论与数理统计复习题--带答案

概率论与数理统计复习题--带答案

;第一章 一、填空题 1.若事件A?B且P(A)=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A -B)=(0.3 )。 2.甲、乙各自同时向一敌机炮击,已知甲击中敌 机的概率为0.7,乙击中敌机的概率为0.8.求 敌机被击中的概率为(0.94 )。 3.设A、B、C为三个事件,则事件A,B,C中 不少于二个发生可表示为(AB AC BC ++)。 4.三台机器相互独立运转,设第一,第二,第三 台机器不发生故障的概率依次为0.9,0.8,0.7,则这三台机器中至少有一台发生故障的概率 为(0.496 )。 5.某人进行射击,每次命中的概率为0.6 独立 射击4次,则击中二次的概率为 ( 0.3456 )。 6.设A、B、C为三个事件,则事件A,B与C都 不发生可表示为(ABC)。 7.设A、B、C为三个事件,则事件A,B,C中 不多于一个发生可表示为(AB AC BC I I); 8.若事件A与事件B相互独立,且P(A)=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A|B)=(0.5 );

9.甲、乙各自同时向一敌机炮击,已知甲击中敌机 的概率为0.6,乙击中敌机的概率为0.5.求敌机被击中的概率为(0.8 ); 10.若事件A与事件B互不相容,且P(A)=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A-)=(0.5 ) 11.三台机器相互独立运转,设第一,第二,第三 台机器不发生故障的概率依次为0.8,0.8,0.7,则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为(0.864 )。 12.若事件A?B且P(A)=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A)=(0.3 ); 13.若事件A与事件B互不相容,且P(A)=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A)=(0.5 ) 14.A、B为两互斥事件,则A B= U(S )15.A、B、C表示三个事件,则A、B、C恰 有一个发生可表示为 (ABC ABC ABC ++) 16.若()0.4 P AB A B= U P AB=0.1则(|) P B=,() P A=,()0.2 ( 0.2 ) 17.A、B为两互斥事件,则AB=(S ) 18.保险箱的号码锁定若由四位数字组成,则一次 )。 就能打开保险箱的概率为(1 10000

哈工大概率论与数理统计课后习题答案 一

·1· 习 题 一 1.写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点: (1)掷一颗骰子,记录出现的点数. A =‘出现奇数点’; (2)将一颗骰子掷两次,记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’,B =‘第一次的点数,比第二次的点数大2’; (3)一个口袋中有5只外形完全相同的球,编号分别为1,2,3,4,5;从中同时取出3只球,观察其结果,A =‘球的最小号码为1’; (4)将,a b 两个球,随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去,观察放球情况,A =‘甲盒中至少有一球’; (5)记录在一段时间内,通过某桥的汽车流量,A =‘通过汽车不足5台’,B =‘通过的汽车不少于3台’。 解 (1)123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’1,2,,6i = , 135{,,}A e e e =。 (2){(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}; {(4,6),(5,5),(6,4)}A =; {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 (3){(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = (4){(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---,其中‘-’表示空盒; {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 (5){0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B === 。 2.设,,A B C 是随机试验E 的三个事件,试用,,A B C 表示下列事件: (1)仅A 发生; (2),,A B C 中至少有两个发生;

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