Green 公式及其应用
专业： 机械设计制造及其自动化 班级： 机制111班 姓名： 王腊辉
摘 要 利用格林公式的相对物理意义及数学性质把二重积分化为曲线积分．
关键词 闭区域D ；格林公式；积分与路径的关系；曲线积分；二重积分；
引 言
格林公式是英国数学家格林发明，他通过这个公式来求关于面积、二重积分、第二类曲线积分与路径的关系等问题。其定义是：设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成，函数P （x,y ）及Q （x,y ）在D 上具有一阶连续偏导函数，则有
?
??+=
??-
??L
D
Qdy Pdx dxdy y
P x
Q ）（
，其中L 是D 的取正向边界曲线
格林公式转化的物理意义： 二重积分——第二类曲线积分 将一物体计算体积的值转化为计算绕该物体地面一周所做的功
１ 格林公式的内容
格林公式是高等教学中一个著名的计算公式,它建立了曲线积分与二重积分之间的联系．它的条件,结论叙述如下：
设D 是平面有界闭域,D ?是有限条封闭的彼此不相交的可求长曲线是并集,()()()D C y x Q y x P ',,,∈ 则
dxdy
y P x
Q Qdy dx P D
D
??
?????
????-??=
++
? ??
??
??=
D
dxdy Q
y P x 域,D ?是有限条封闭的彼此不相交的可求长曲线是并集,()()()D C y x Q y x P ',,,∈ 则
dxdy y P x Q Qdy dx P D
D
??
????
?
????-??=
++
? ??
??
??=
D
dxdy Q
y P x
２ 二重积分转化为曲线积分的一个定理及推论
下面给出关于二重积分转化为曲线积分的一个定理并对它进行讨论．
把二重积分??D
dxdy y x f ),(转化为曲线积分,关键是适当的选择具有一阶连续导数的二阶函数
),(),,(y x Q y x P ,使
),(y x f y
P x
Q =??-
??
在D 上恒成立．为此,我们有下面的
２.１定理 设闭区域D 由分段光滑曲线L 围成,函数),(y x f 在D 上具有一阶连续倒数且
),(321y x f k y
f y
k x f x
k =??+??,0321≠++k k k
则
))(,(1),(213
21ydx k xdy k y x f k k k dxdy y x f L
D
-++=
?
??
其中L 取D 的正向边界曲线．
证 令),(2y x yf k P -=,),(1y x xf k Q =,于是
y
f y
k y x f k y
P ??--=??22),(,
x
f x
k y x f k x
Q ??+=??11),(．
???
??
???+??++=??-??y f y k x f x k y x f k k y P
x
Q
2121),()( ),()(321y x f k k k ++=,D y x ∈),(． 由格林公式得
?
??++=-L
D
dxdy y x f k k k ydx k xdy k y x f ),()())(,(32121,
从而
?
??
-++=
L
D
ydx k xdy k y x f k k k dxdy y x f ))(,(1),(213
21．
２.２推论 设闭区域D 由分段光滑曲线L 围成,函数),(y x f 在D 上具
有一阶连续偏导数．则
（i ）当01),(≠+=??k y x kf x
f x
且时,
???
+=
L
D
dy y x xf k dxdy y x f ),(1
1
),(；
（ii ）当01),(≠+=??k y x kf y
f y
且时,
??
?+-
=D
L
dx y x yf k dxdy y x f ),(1
1
),(；
（iii ）当0=??+??y
f y
x
f x
时,
???
-=
L
D
ydx xdy y x f dxdy y x f ))(,(2
1
),(；
（iv ）当021=??+??y
f y
k x
f x
k 且021≠+k k 时,
?
??
-+=
L
D
ydx k xdy k y x f k k dxdy y x f ))(,(1),(212
1,
其中L 取D 的正方向边界曲线．
３ 格林公式的应用
３.１ 格林公式在流体力学及其他学科中有如下几种变型： ⑴ ?
??
-=????
????+??L
D
Qdx Pdy dxdy y Q x P
⑵
()()[]???
+=???
? ?
???+??L D
ds n x Q n x P dxdy y Q
x P
,sin ,cos
3.2 利用格林公式将曲线积分化为二重积分．
例１ 计算2
2
L
xy dy x yds -? ,其中L 为正向圆周222
x y R +=．
解 本题除了运用参数方程方法解外,还可如下求解,满足格林公式条件:
因为 2222
,,,P Q P x y Q xy x y y x ??=-==-=??
所以原积分22
()D
y x dxdy =+??,考虑极坐标算法: 0r R ≤≤,02θπ≤≤
所以原积分4
22
2
R
R d r rdr ππθ=
=
?
?
3.3 利用格林公式把二重积分化为曲线积分．
例
2 计算I
=
?
+-L
y
x ydx xdy 2
2
，其中L 为任一不包含原点的闭区域的边界．
解 格林公式条件满足，故
I
=?
+-L
y
x ydx xdy 2
2
=±
??
???
?
????-??D
d y P x Q σ=±
??
???
? ?????? ??+??-???? ??+-??
D
d y x x y y x y x σ2222
=±
??D
d σ
0=0.
4 曲线积分与积分路径的关系．
1） 与路无关：是G 为一开区域，),(),,(y x Q y x P 在G 内具有一阶连续偏导数，若G
内任意指定两点B A ,及G 内从A 到B 的任意两条曲线21,L L
?
?
+=
+2
1
L L Qdy
Pdx Qdy Pdx 恒成立，则称?+L
Qdy
Pdx 在G 内与路径无关.否则与
路径有关.
例1．
?
-++L
dy y x dx y x )()(1L
：从)1,1(到)3,2(的折线
2L 从)1,1(到)3,2(的直线
解：?+1
L
Qdy
Pdx =
25)1()2(2
1
3
1
=
++
-?
?
dx x dy y 3
2L ：)2(23-+=x y ,即 12-=x y
?
-++2
)()(L dy
y x dx y x =
25)]1(2)12[(2
1
=
-+-+?
dx x x x
定理：设),(y x P ，),(y x Q 在单连通区域D 内有连续的一阶偏
导数，则以下四个条件相互等价
（1）内任一闭曲线C ，?+C Qdy
Pdx =0.
（2）对内任一曲线L ，?+L
Qdy
Pdx 与路径无关
（3）在D 内存在某一函数),(y x μ使Qdy Pdx y x d +=),(μ在D 内成立. （4）x Q
y
P
??-
??，在D 内处处成立.
证明：（1）?（2） 在D 内任取两点B A ,，及连接B A ,的任意两条曲线?
AEB ，?
AGB
?
?
+=BGA AGB C 为D 内一闭曲线
∴?
+C
Qdy
Pdx ， 由（1）知
??
+A G B
Q d y P d x +??
+BEA
Qdy Pdx =0 即?
?
+AGB
Qdy
Pdx =??
+BEA
Qdy
Pdx
∴
（2）?（3）若?+L
Q d y
P d x 在D 内与路径无关.当起点固定在（00,y x ）点，终点为)
,(y x 后，则
?+)
,()
,(00y x y x Qdy
Pdx 是y x ,的函数，记为),(y x u .
下证：),(y x u =
?
+)
,()
,(00y x y x Qdy
Pdx 的全微分为),(y x du =Qdy Pdx +.
∵),(y x P ，),(y x Q 连续，只需证)
,(y x P x
u
=??， )
,(y x Q y
u
=??，
o
y
x
(2,3)
(1,1)
L2
L1
o
y
x
E B A
G
x ?y
M(x,y)
N(x+,y)
由定义=
??x
u
x
y x u x x u x ?-?+→?)
,()(lim 0
=
?+),(y x x u ?
?++)
,()
,(00y x x y x Qdy
Pdx =),(y x u +??++)
,()
,(y x x y x Qdy
Pdx
=),(y x u +??+x
x x
Pdx
∴-?+),(y x x u ),(y x u =??+x
x x
Pdx
=x P ?，),(y x x P P ?+=θ)10(≤≤θ 即)
,(y x P x
u =??， 同理)
,(y x Q y
u =??.
（3）?（4）若),(y x du =Qdy Pdx +，往证y P
??=x Q
??，=P x P
??，=Q y Q
?? y x P
y
P ???=
??，x y Q x
Q
???=
??， 由Q P ,具有连续的一阶偏导数=
???y
x u
2
x y u ???2
故y P
??=x Q
??
（4）?（1）设C 为D 内任一闭曲线，D 为C 所围成的区域.?+C
Qdy
Pdx =
dxdy
y
P x
Q D
??
??-
??)(
=0.
三角函数公式和相关证明 倒数关系： tanα ·cotα=1 sinα ·cscα=1 cosα ·secα=1 商的关系： sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα 平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 1+tan^2(α)=sec^2(α) 1+cot^2(α)=csc^2(α) 平常针对不同条件的常用的两个公式 sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan α *cot α=1 一个特殊公式 （sina+sinθ）*（sina-sinθ）=sin（a+θ）*sin（a-θ） 证明：（sina+sinθ）*（sina-sinθ）=2 sin[(θ+a)/2] cos[(a-θ)/2] *2 cos[(θ+a)/2] sin[(a-θ)/2] =sin（a+θ）*sin（a-θ） 坡度公式 我们通常半坡面的铅直高度h与水平高度l的比叫做坡度（也叫坡比），用字母i表示， 即i=h / l, 坡度的一般形式写成l : m 形式，如i=1:5.如果把坡面与水平面的夹角记作 a(叫做坡角），那么i=h/l=tan a. 锐角三角函数公式 正弦：sin α=∠α的对边/∠α 的斜边 余弦：cos α=∠α的邻边/∠α的斜边 正切：tan α=∠α的对边/∠α的邻边 余切：cot α=∠α的邻边/∠α的对边 二倍角公式 正弦 sin2A=2sinA·cosA 余弦 1.Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a) 2.Cos2a=1-2Sin^2(a) 3.Cos2a=2Cos^2(a)-1 即Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a)=2Cos^2(a)-1=1-2Sin^2(a) 正切 tan2A=（2tanA）/（1-tan^2(A)） 三倍角公式
高中三角函数公式大全 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π-a) 半角公式 sin(2A )=2 cos 1A - cos(2A )=2 cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot( 2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2 b a -
sina-sinb=2cos 2b a +sin 2 b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2 b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos )sin(+ 积化和差 sinasinb = -2 1[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 2 1[cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 2 1[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 2 1[sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin( 2 π-a) = cosa cos(2 π-a) = sina sin(2 π+a) = cosa cos(2 π+a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 万能公式 sina=2 )2 (tan 12tan 2a a + cosa=2 2 )2(tan 1)2(tan 1a a +-
三角函数公式及证明 （ 编辑整理 2013.5.3） 基本定义 1.任意角的三角函数值： 在此单位圆中，弧AB 的长度等于α； B 点的横坐标αcos =x ，纵坐标 αsin =y ； （由 三角形OBC 面积<弧形OAB 的面积<三角形OMA 的面积 可得： a a tan sin <<α （2 0πα<<）） 2.正切： α α αcos sin tan = 基本定理 1.勾股定理： 1cos sin 22=+αα 1.正弦定理： A a sin = B b sin =C c sin = 2R （R 为三角形外接圆半径） 2.余弦定理：a 2 =b 2 +c 2 -2bc A cos bc a c b A 2cos 2 22-+=? 3.诱导公试: απ ±k 2
cot tan cos sin ?? 奇变偶不变，符号看相线 4.正余弦和差公式: ①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos(μ=± 推导结论 1. 基本结论 ααα2sin 1)cos (sin 2+=+ α α2 2cos 1 1tan = + 2. 正切和差公式： β αβ αβαβαβ αβαβαβαβαtan tan 1tan tan sin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin() tan(μμ±= ??? ? ??±=±±=± 3.二倍角公式（包含万能公式）： θ θθθθθθθθ2 22tan 1tan 2cos sin cos sin 2cos sin 22sin +=??? ??+== θθ θθθθθθθθθ2222222 2 2 2 tan 1tan 1cos sin sin cos sin 211cos 2sin cos 2cos +-=??? ? ??+-=-=-=-= θ θ θθθ2tan 1tan 22cos 2sin 2tan -= = θ θ θθ222 tan 1tan 22cos 1sin +=-= 22cos 1cos 2θθ+= 4.半角公式：（符号的选择由2θ 所在的象限确定）
三角函数公式看似很多、很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律，就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。接下来分享三角函数万能公式及推导过程。 三角函数万能公式 (1)(sinα)^2+(cosα)^2=1 (2)1+(tanα)^2=(secα)^2 (3)1+(cotα)^2=(cscα)^2 (4)tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC（任意非直角三角形） 三角函数万能公式推导过程 由余弦定理：a^2+b^2-c^2-2abcosC=0 正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 得（sinA）^2+（sinB）^2-（sinC）^2-2sinAsinBcosC=0 转化1-(cosA）^2+1-(cosB）^2-[1-(cosC）^2]-2sinAsinBcosC=0 即(cosA）^2+(cosB）^2-(cosC）^2+2sinAsinBcosC-1=0 又cos（C）=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB 得(cosA）^2+(cosB）^2-(cosC）^2+2cosC[cos（C）+cosAcosB]-1=0 (cosA）^2+(cosB）^2+(cosC）^2=1-2cosAcosBcosC 得证（sinA）^2+（sinB）^2+（sinC）^2=2+2cosAcosBcosC 同角三角函数的关系公式 倒数关系公式 ①tanαcotα=1 ②sinαcscα=1 ③cosαsecα=1 商数关系公式 tanα=sinα/cosα
cotα=cosα/sinα平方关系公式 ①sin2α+cos2α=1 ②1+tan2α=sec2α ③1+cot2α=csc2α
诱导公式 目录2诱导公式 2诱导公式记忆口诀 2同角三角函数基本关系 2同角三角函数关系六角形记忆法 2两角和差公式 2倍角公式 2半角公式 2万能公式 2万能公式推导 2三倍角公式 2三倍角公式推导 2三倍角公式联想记忆 2和差化积公式 2积化和差公式 2和差化积公式推导 诱导公式 ★诱导公式★ 常用的诱导公式有以下几组： 公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα 公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα
公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα 公式六： π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinα tan（π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanα sin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinα tan（π/2－α）＝cotα cot（π/2－α）＝tanα sin（3π/2＋α）＝－cosα cos（3π/2＋α）＝sinα tan（3π/2＋α）＝－cotα cot（3π/2＋α）＝－tanα sin（3π/2－α）＝－cosα cos（3π/2－α）＝－sinα tan（3π/2－α）＝cotα cot（3π/2－α）＝tanα (以上k∈z) 诱导公式记忆口诀 ※规律总结※ 上面这些诱导公式可以概括为： 对于k2π/2±α(k∈z)的个三角函数值，
一、任意角的三角函数 在角α的终边上任取．． 一点),(y x P ，记：22y x r +=， 正弦：r y =αsin 余弦：r x =αcos 正切：x y =αtan 二、同角三角函数的基本关系式 商数关系：α ααcos sin tan =，平方关系：1cos sin 22=+αα，221cos 1tan αα=+ 三、诱导公式 公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin （2kπ＋α）= sinα cos（2kπ＋α）= cosα tan（2kπ＋α）= tanα 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin （π＋α）= -sinα cos（π＋α）= -cosα tan（π＋α）= tanα 公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin （-α）= -sinα cos （-α）= cosα tan（-α）= -tanα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （π-α）= sinα cos（π-α）= -cosα tan（π-α）= -tanα 公式五： 利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （2π-α）= -sinα cos（2π-α）= cosα tan（2π-α）= -tanα 公式六： 2 π±α及23π±α与α的三角函数值之间的关系： sin （2π-α）= cosα cos（2 π-α）= sinα sin （2π+α）= cosα cos（2 π+α）= -sinα
sin （ 23π-α）= -cosα cos（2 3π-α）= -sinα sin （23π+α）= -cosα cos（23π+α）= sinα 三、两角和差公式 βαβαβαsin cos cos sin )sin(?+?=+ βαβαβαsin cos cos sin )sin(?-?=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(?-?=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(?+?=- β αβαβαtan tan 1tan tan )tan(?-+=+ βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(?+-= - 四、二倍角公式 αααcos sin 22sin = ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=…)(* α αα2tan 1tan 22tan -= 二倍角的余弦公式)(*有以下常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角） αα2cos 22cos 1=+ αα2sin 22cos 1=- 2)cos (sin 2sin 1ααα+=+ 2)cos (sin 2sin 1ααα-=-其它公式 五、辅助角公式： )sin(cos sin 22?++=+x b a x b x a （其中a b =?tan ） 其中：角?的终边所在的象限与点),(b a 所在的象限相同，(以上k ∈Z) 六、其它公式： 1、正弦定理： R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 为ABC ?外接圆半径） 2、余弦定理 A bc c b a cos 2222?-+=
三角函数公式总结与推导 1. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）：{} Z k k ∈+?=,360|αββ ②终边在x 轴上的角的集合： { } Z k k ∈?=,180| ββ ③终边在y 轴上的角的集合：{} Z k k ∈+?=,90180 | ββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{} Z k k ∈?=,90| ββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{} Z k k ∈+?=,45180| ββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{} Z k k ∈-?=,45180| ββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k 360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+= 180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k 180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系： 90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式： 1rad ＝π 180°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝180 π≈0.01745（rad ） 3、弧长公式：r l ?=||α. 扇形面积公式：211||22 s lr r α==?扇形 4、三角函数：设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）P 与原点的距离为r ，则 r y =αsin ； r x =αcos ； x y =αtan ； y x =αcot ； x r =αsec ；. y r =αcsc . 5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦） 正切、余切 余弦、正割 正弦、余割 SIN \COS 1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域
格林公式及其应用 摘 要： 格林公式把二重积分化为曲线积分，从而简化了计算的过程。 在介绍格林公式之前先引入平面区域连通性概念。 设D 为一平面区域，如果区域D 内任意区域所围成的部分都属于D ，则称D 为平面单连通区域，否则称为复连通区域。 关键词 闭区域D ；格林公式；积分与路径的关系；曲线积分；二重积分； 引言 格林公式是英国数学家格林发明，他通过这个公式来求关于面积、二重积分、第二类曲线积分与路径的关系等问题。其定义是：设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成，函数P （x,y ）及Q （x,y ）在D 上具有一阶连续偏导函数，则有 ??? +=??-??L D Qdy Pdx dxdy y P x Q ）（ ，其中L 是D 的取正向边界曲线 格林公式转化的物理意义： 二重积分——第二类曲线积分 将一物体计算体积的值转化为计算绕该物体地面一周所做的功 定理1 设闭区域D 由分段光滑曲线L 围成，函数P （x ，y ）及函数Q （x ，y ） 在D 上具有一阶连续偏导数，则有 D D Q P Pdx Qdy dxdy x y +??? ??+=- ????????D y dxdy x P Q ???=??? 其中L 是D 的取正向的边界曲线，此公式即为格林公式 证明: (1)若区域D 既是-X 型又是-Y 型,即平行于坐标轴的直线和L 至多交于两 点. }),()(),{(21b x a x y x y x D ≤≤≤≤=??}),()(),{(21d y c y x y y x D ≤≤≤≤=ψψ dx x Q dy dxdy x Q y y d c D ??????=??)()(21ψψ ??-=d c d c dy y y Q dy y y Q )),(()),((12ψψ x x x
三角函数公式总结与推导(全) 1. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）：{} Z k k ∈+?=,360|αββ ②终边在x 轴上的角的集合： { } Z k k ∈?=,180| ββ ③终边在y 轴上的角的集合：{} Z k k ∈+?=,90180| ββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{} Z k k ∈?=,90| ββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{} Z k k ∈+?=,45180| ββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{} Z k k ∈-?=,45180| ββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k 360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+= 180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k 180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系： 90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式： 1rad ＝π 180°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝180 π≈0.01745（rad ） 3、弧长公式：r l ?=||α. 扇形面积公式：211 ||22 s lr r α= =?扇形 4、三角函数：设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）P 与原点的距离为r ，则 r y =αsin ； r x = α cos ； x y =αtan ； y x =αcot ； x r =αsec ；. y r =αcsc . 5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦） 正切、余切 余弦、正割 正弦、余割 SIN \COS 三角函数值大小关系图1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域
三角函数 1. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）： {} Z k k ∈+?=,360 |αββο ②终边在x 轴上的角的集合： {} Z k k ∈?=,180|οββ ③终边在y 轴上的角的集合：{} Z k k ∈+?=,90180|οοββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{} Z k k ∈?=,90|οββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{} Z k k ∈+?=,45180|οοββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{} Z k k ∈-?=,45180|οοββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k ο360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+=οο180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k ο180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系：οο90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°= 1=°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式： 1rad ＝π 180°≈°=57°18ˊ． 1°＝180 π≈（rad ） 3、弧长公式：r l ?=||α. 扇形面积公式：21 1||22 s lr r α==?扇形 4、三角函数：设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）P 与原点的距离为r ，则 r y =αsin ； r x =αcos ； x y =αtan ； y x =αcot ； x r =αsec ；. y r =αcsc . 5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦） 6、三角函数线 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT. 7. 三角函数的定义域：
三角函数公式大全及推导过程 一、任意角的三角函数 在角α的终边上任取．． 一点),(y x P ，记：22y x r +=， 正弦：r y =αsin 余弦：r x =αcos 正切：x y =αtan 二、同角三角函数的基本关系式 商数关系：α ααcos sin tan =，平方关系：1cos sin 22=+αα，221cos 1tan αα=+ 三、诱导公式 公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin （2kπ＋α）= sinα cos （2kπ＋α）= cosα tan （2kπ＋α）= tanα 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin （π＋α）= -sinα cos （π＋α）= -cosα tan （π＋α）= tanα 公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin （-α）= -sinα cos （-α）= cosα tan （-α）= -tanα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （π-α）= sinα cos （π-α）= -cosα tan （π-α）= -tanα 公式五： 利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （2π-α）= -sinα cos （2π-α）= cosα tan （2π-α）= -tanα 公式六： 2 π±α及23π±α与α的三角函数值之间的关系： sin （2π-α）= cosα cos （2 π-α）= sinα sin （2π+α）= cosα cos （2 π+α）= -sinα sin （23π-α）= -cosα cos （2 3π-α）= -sinα sin （23π+α）= -cosα cos （2 3π+α）= sinα 三、两角和差公式 βαβαβαsin cos cos sin )sin(?+?=+ βαβαβαsin cos cos sin )sin(?-?=-
三角函数公式大全及其推导 1. 三角函数的定义 由此，我们定义： 如Figure I, 在ΔABC 中 sin ( ) cos () tan ()11 cot () tan 11 sec () cos 11 csc () sin b c a c b a a b b a c a a c c b b c θθθθθθθθθθθθθθθ∠= ∠= ∠= ∠===∠===∠===对边 的正弦值：斜边邻边的余弦值：斜边对边的正切值：邻边 邻边 的余切值：对边斜边 的正割值：邻边 斜边 的余割值：对边 备注：当用一个字母或希腊字母表示角时，可略写∠符号，但用三个子母表示时，不能省略。在本文中，我们只研究sin 、cos 、tan 。 2. 额外的定义 222222sin (sin )cos (cos )tan (tan )θθθθθθ=== A c b θ C a B Figure I
3. 简便计算公式 22sin cos cos(90)cos sin sin(90) 111 tan tan tan(90)sin cos 1b A c c A b b a a A b θθθθθθθθ= ==-∠===-∠==== -∠+= 证明： 222 22 22222901sin sin 1 sin cos 1ABC ABC a b c a b c c B A θθ?∠=∴+=∴+=∴+=∴+= 在中, 证完 222 222sin tan cos sin cos 1tan 1cos cos cos b b c a a c θθθ θθθθθθ === +=+= 4. 任意三角形的面积公式 如Figure II , C a b h d e Figure II
任意角 直角三角形 三角函数 倒数关系： 商数关系：
平方关系： 诱导公式 公式一：设 为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 公式二：设 为任意角， 与的三角函数值之间的关系： 公式三：任意角 与的三角函数值之间的关系： 公式四： 与的三角函数值之间的关系： 公式五： 与的三角函数值之间的关系：
公式六： 及 与 的三角函数值之间的关系：
记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限．即形如（2k+1）90°±α，则函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。形如 2k×90°±α，则函数名称不变。 诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义： k×π/2±a(k∈z)的三角函数值．(1)当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号； (2)当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。 记忆方法一：奇变偶不变，符号看象限： 记忆方法二：无论α是多大的角，都将α看成锐角． 以诱导公式二为例： 若将α看成锐角（终边在第一象限），则π十α是第三象限的角（终边在第三象限），正弦函数的函数值在第三象限是负值，余弦函数的函数值在第三象限是负值，正切函数的函数值在第三象限是正值．这样，就得到了诱导公式二．以诱导公式四为例： 若将α看成锐角（终边在第一象限），则π-α是第二象限的角（终边在第二象限），正弦函数的三角函数值在第二象限是正值，余弦函数的三角函数值在第二象限是负值，正切函数的三角函数值在第二象限是负值．这样，就得到了诱导公式四． 诱导公式的应用：
锐角三角函数 锐角三角函数三角关系 倒数关系：tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 商的关系： 平方关系：
三角函数公式 2公式相关 编辑 两角和公式 cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ sin（α-β）=sinαcosβ -cosαsinβ tan（α+β）=(tanα+tanβ）/（1-tanαtanβ）tan（α-β）=(tanα-tanβ）/（1+tanαtanβ）cot(A+B) = (cotAcotB-1）/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1）/(cotB-cotA)
三角和公式 sin（α+β+γ）=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cos γ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos（α+β+γ）=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sin γ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ 诱导公式 三角函数的诱导公式（六公式）[1] 公式一： sin(α+k*2π)=sinα cos(α+k*2π)=cosα tan(α+k*π)=tanα 公式二： sin(π+α) = -sinα
精品文档cos(π+α) = -cosα tan(π+α）=tanα 公式三： sin(-α) = -sinα cos(-α) = cosα tan (-α)=-tanα 公式四： sin(π-α) = sinα cos(π-α) = -cosα tan(π-α) =-tanα 公式五： sin(π/2-α) = cosα cos(π/2-α) =sinα 由于π/2+α=π-（π/2-α），由公式四和公式五可得
三角函数公式及其推导 1. 三角函数的定义 由此，我们定义： 如Figure I, 在ΔABC 中 sin ( ) cos () tan ()11 cot () tan 11 sec () cos 11 csc () sin b c a c b a a b b a c a a c c b b c θθθθθθθθθθθθθθθ∠= ∠= ∠= ∠===∠===∠===对边 的正弦值：斜边邻边的余弦值：斜边对边的正切值：邻边 邻边 的余切值：对边斜边 的正割值：邻边 斜边 的余割值：对边 备注：当用一个字母或希腊字母表示角时，可略写∠符号，但用三个子母表示时，不能省略。在本文中，我们只研究sin 、cos 、tan 。 2. 额外的定义 222222sin (sin )cos (cos )tan (tan )θθθθθθ=== A c b θ C a B Figure I
3. 简便计算公式 22sin cos cos(90)cos sin sin(90) 111 tan tan tan(90)sin cos 1b A c c A b b a a A b θθθθθθθθ= ==-∠===-∠==== -∠+= 证明： 222 22 2222290 1sin sin 1 sin cos 1ABC ABC a b c a b c c B A θθ?∠=∴+=∴+=∴+=∴+ =在中, 证完 222 222sin tan cos sin cos 1tan 1cos cos cos b b c a a c θθθ θθθθθθ === +=+= 4. 任意三角形的面积公式 如Figure II , C a b h d e Figure II
三角函数推导及公式大全 三角函数推导 和差化积公式推导 首先,我们知道 sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb 我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb 所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2 同理,若把两式相减,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2 同样的,我们还知道 cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb 所以,把两式相加,我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb 所以我们就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2 同理,两式相减我们就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2
这样,我们就得到了积化和差的四个公式: sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2 cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2 cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2 sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2 好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式. 我们把上述四个公式中的a+b设为x,a-b设为y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2 把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式: sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2) sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2) cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
三角函数公式推导及应用 两角和的正弦与余弦公式： （1） sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ； （2） cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ； 教材的思路是在直角坐标系的单位圆中， 根据两点间的距离公式推导： cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ； 再用诱导公式证明： sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ； 如图所示：∠AOD=α，∠BOD=-β，∠AOC=β，∠DOC=β+α。 则B（cosβ，-sinβ）；D（1，0）；A（cosα，sinα）；C[cos（α+β），sin（α+β）]。∵ OA=OB=OC=OD=1 ∴ CD=AB。 ∵ CD2=[cos（α+β）-1] 2+[ sin（α+β）-0] 2； =cos2（α+β）- 2cos（α+β）+1 + sin2（α+β）； =2-2 cos（α+β）。 AB2=（cosα-cosβ）2+ （sinα+sinβ）2； =cos2α-2cosαcosβ+cos2β+sin2α+2sinαsinβ+sin2β； =2-2[cosαcosβ- sinαsinβ]。 ∴ 2-2 cos（α+β）=2-2[cosαcosβ- sinαsinβ]。 ∴ cos（α+β）=cosαcosβ- sinαsinβ ∴ sin（α+β）= cos（90°-α-β） =cos[（90°-α）+（-β）] =cos（90°-α）cos（-β）- sin（90°-α）sin（-β） =sinαcosβ+cosαsinβ
() () ()()()()()()()[ ] ()()()()[ ] ()1 cos 2cos 1cos sin 21sin sin 1sin cos sin 2/cos cos 2/sin 2/sin 2cos 22222222-=--=-=--=-=-----=--=ααααααααααπααπααπα 又tan(α-β) = sin(α-β)/cos(α-β) = （sinα·cosβ-cosα·sinβ）/（cosα·cosβ+sinα·sinβ） 同除cosα·cosβ,得tan (α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) 同理，tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) 正弦、余弦的和差化积公式 指三角函数中的一组恒等式 以上公式可用积化和差公式推导，也可以由和角公式得到，以下用和角公式证明之。 证明：由和角公式有， 两式相加、减便可得到上面的公式（1）、（2），同理可证明公式（3）、（4）。 正切的和差化积 （附证明)
三角函数公式及证明 （本文由hahacjh@https://www.doczj.com/doc/ba13652861.html, 编辑整理 2013.5.3） 基本定义 1.任意角的三角函数值： 在此单位圆中，弧AB 的长度等于α； B 点的横坐标αcos =x ，纵坐标αsin =y ； （由 三角形OBC 面积<弧形OAB 的面积<三角形OMA 的面积 可得： a a tan sin <<α （2 0π α< <）） 2.正切： α ααcos sin tan = 基本定理 1.勾股定理： 1cos sin 22=+αα 1.正弦定理： A a sin = B b sin = C c sin = 2R （R 为三角形外接圆半径） 2.余弦定理：a 2 =b 2 +c 2 -2bc A cos bc a c b A 2cos 2 22-+= ? 3.诱导公试: α π ±k 2
cot tan cos sin ?? 奇变偶不变，符号看相线 4.正余弦和差公式: ①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②β αβαβα sin sin cos cos )cos( =± 推导结论 1. 基本结论 ααα2sin 1) cos (sin 2 +=+ α α2 2 cos 11tan = + 2. 正切和差公式： β αβαβαβαβαβαβαβαβαtan tan 1tan tan sin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin()tan( ±= ???? ??±=±±=± 3.二倍角公式（包含万能公式）： θ θθθθθθθθ2 22tan 1tan 2cos sin cos sin 2cos sin 22sin +=??? ??+== θθθ θθ θθθθθθ2222222 2 2 2 tan 1tan 1cos sin sin cos sin 211cos 2sin cos 2cos +-= ??? ? ? ?+-=-=-=-= θ θθ θθ2 tan 1tan 22cos 2sin 2tan -= = θ θθ θ2 2 2 tan 1tan 2 2cos 1sin += -= 2 2cos 1cos 2 θ θ+= 4.半角公式：（符号的选择由 2 θ 所在的象限确定）
诱导公式 目录·诱导公式 ·诱导公式记忆口诀 ·同角三角函数基本关系 ·同角三角函数关系六角形记忆法 ·两角和差公式 ·倍角公式 ·半角公式 ·万能公式 ·万能公式推导 ·三倍角公式 ·三倍角公式推导 ·三倍角公式联想记忆 ·和差化积公式 ·积化和差公式 ·和差化积公式推导 诱导公式 ★诱导公式★ 常用的诱导公式有以下几组： 公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα 公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα
公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα 公式六： π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinα tan（π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanα sin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinα tan（π/2－α）＝cotα cot（π/2－α）＝tanα sin（3π/2＋α）＝－cosα cos（3π/2＋α）＝sinα tan（3π/2＋α）＝－cotα cot（3π/2＋α）＝－tanα sin（3π/2－α）＝－cosα cos（3π/2－α）＝－sinα tan（3π/2－α）＝cotα cot（3π/2－α）＝tanα (以上k∈z) 诱导公式记忆口诀 ※规律总结※ 上面这些诱导公式可以概括为： 对于k·π/2±α(k∈z)的个三角函数值，
三角函数公式推导及证明 推导公式:(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)=2R(其中，R为外接圆半径) 由正弦定理有 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 所以 a=2R*sinA b=2R*sinB c=2R*sinC 加起来a+b+c=2R*⑸nA+sinB+sinC)带入(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)=2R*(sinA+sinB+sinC)/⑸nA+sinB+sinC)=2R 对数的性质及推导 用八表示乘方，用log(a)(b)表示以a为底，b的对数 *表示乘号，/表示除号 定义式： 若a A n=b(a>0 且aHl) 则n=log(a)(b) 基本性质： 1.a A(log(a)(b))=b 2.log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N); 3.log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N); 4.log(a)(M A n)=nlog(a)(M) 推导 1?这个就不用推了吧，直接由定义式可得(把定义式屮的[n=log(a)(b)]帯入a A n=b) 2.MN=M*N 由基本性质1(换掉M和N) a A[log(a)(MN)]=a A[log(a)(M)]*a A[log(a)(N)] 由指数的性质 a A[log(a)(MN)]=a A{[log(a)(M) ]+[log(a)(N)]} 又因为指数函数是单调函数，所以 log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N) 3.与2类似处理 MN=M/N 由基木性质1(换掉M和N) a A[log(a)(M/N)]=a A[log(a)(M)]/a A[log(a)(N)] 由指数的性质 aA[log(a)(M/N)]=aA{[log(a)(M)]-[log(a)(N)]} 乂因为指数函数是单调函数，所以 log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N) 4.与2类似处理 M A n=M A n 由基本性质1(换掉M) a A[log(a)(M A n)]={a A[log(a)(M)]}A n