2.1 二元一次方程
【教学目标】
知识目标： 1、通过观察，归纳二元一次方程的概念 ，会把二元一次方程化为用一个未 知数的代数式表示另一个未知数的形式.
2、二元一次方程解的不定性和相关性，即二元一次方程的解有无数个，但又不是任意两个数是它的解。
过程与方法：通过与一元一次方程的比较，加强学生的类比的思想方法。 【教学重点、难点】
重点：二元一次方程的意义及二元一次方程的解的概念。
难点：把一个二元一次方程变形成用关于一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，
其实质是解一个含有字母系数的方程。
【教学过程】 一、复习引入：
（1）方程的概念；一元一次方程的概念；什么是方程的解？一元一次方程的解如何表示？ （2）合作学习：
①小红到邮局寄挂号信，需要邮资3元8角。小红有票额为6角和8角的邮票若干张，问各需要多少张这两种面额的邮票？
这个问题中有几个未知数，能列一元一次方程求解吗？
如果设需要票额为6角的邮票x 张，需要票额为8角的邮票y 张，你能列出方程吗？ ②在高速公路上，一辆轿车行驶2时的路程比一辆卡车行驶3时的路程还多20千米，如果设轿车的速度是a 千米/小时，卡车的速度是b 千米/小时，你能列出方程吗？ 二、新课教学
这就是我们今天要学习的4、1二元一次方程（板书课题） 1，观察上述两个方程，归纳特点 2，讨论选择正确概念
（1）含有两个未知数的方程叫二元一次方程。
（2）含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是1次的方程叫二元一次方程。 做一做P86——1，2 例：已知方程3x+2y=10
用关于x 的代数式表示y （分析：只要把方程3x+2y=10看作未知数是y 的一元一次方程，解关于y 的方程）
求当x=-2，0，3时，对应的y 的值
（提问：把x=-2，y=8代入方程3x+2y=10，能否使其左右两边相等？
回忆方程解的概念，得出x=-2，y=8是二元一次方程3x+2y=10的一个解，记作???
=-=82y x 。
同理试写出该方程的两个解（注意写法格式） 思考：方程3x+2y=10的解有多少个？
师归纳：二元一次方程解具不定性和相关性 （1）练习：P88——课内练习1，2
（2）补充练习：P89---作业题4（说明：方程的解须是正整数）
已知??
?=-=a
y x 2，是方程2x+3y=5的一个解，那么由此可知道些什么？ （说明：1．本例是根据教科书P89---B 组第5题改编。原题要求a 的值，但学生常常有困
难，因此这里把原题改为开放式命题，看起来似乎比原题要求高了，其实有利于各类学生参与并寻求结论。） 三、课堂小结：
二元一次方程的意义及二元一次方程的解的概念（注意书写格式） 二元一次方程解的不定性和相关性
会把二元一次方程化为用一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式
2.2 二元一次方程组
【教学目标】
1 了解二元一次方程组的概念。
2 理解二元一次方程组的解的概念。
3 会用列表尝试的方法求二元一次方程组的解。 【教学重点 难点】
重点：归纳二元一次方程组及其解的概念。
难点：本节范例的问题情境比较复杂、并用列表的方法求出方程组的解。 【教学过程】
一 复习前课教学中的有关存在问题 二 引入课前预习：
1 在方程2x+3y=5中，如果x=y,则x=_____, y=_________.
2 如果x=2a,y=3a.则2x+3y=__________.
3 设第一个数是第二个数的2倍，第一个数与第二个数的2倍之和为20，求这个数？
（设第一个数为x ，第二个数为y ，则有??
?=+=2022y x y x ，所以?
??==510
y x ）
三 利用投影：一个苹果和一个梨的质量合计200克（如图4—1）这个苹果的质量加上一个
10克砝码恰好与这个梨的质量相等（如图4－2）问苹果和梨的质量各为多少克？
☆ 教师评语：在这个问题中如果设苹果和梨的质量分别为x 克和y 克，同学们能列出几个
方程，请同学们把它们写出来（x+y=200 y=x+10）
☆ 教师然后解释：方程x+y=200和方程y=x+10中，x ，y 都分别表示同一个未知数，也就
是说，X ，y 的值必须同时满足上述两个方程，因此可以把这两个方程合起来，写成
?
??+==+10200x y y x
☆ 教师归纳：像这样由两个一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组叫作二元一次方程组。
△ 课堂练习P 90练习1 （1）（2）（3）让学生填表格，然后教师将表中答案说明
2 分四个小组将①②③④个二元一次方程组的结果填入相应的位置 ☆ 教师归纳：同时满足二元一次方程组中各个方程的解叫作二元一次方程组的解。 例如??
?==105
95
y x 就是这个二元一次方程组???+==+10200x y y x 的解。
例：小聪全家外出旅游，估计需要胶卷底片120张，商店里有两种型号的胶卷：A 型每卷36
张底片，B 型每卷12张底片。小聪一共买了4卷胶卷，刚好有120张底片，如果两种胶卷分别买x 卷和y 卷，请根据问题中的条件列出关于x,y 的方程组，并且列表尝试的方法求两种胶卷的数量。 分析：（1）审题，该问题情境涉及哪些量？哪些是已知的，哪些是未知的？
所求的是哪两个量？问题情境中两种胶卷及底片的总数有什么要求？ （2）分析数量关系，该问题情境主要数量关系有： 每卷胶卷底片的张数×胶卷数＝底片总张数： A,B 两种胶卷的总卷数＝4
A,B 两种胶卷的底片总张数＝120
（3）建立数学模型，选择二元一次，则有??
?=+=+120
12364
y x y x
△ 课堂练习P 91 第1，第2题分组合作讨论完成。 四 归纳小结，反思提高
1 通过本课的探讨学习，你获得了哪些新知识，你认为有哪些方面的进步。
2 进一步让学生理解二元一次方程组（解）的概念。
3 让学生体验对于含有两个未知数的实际问题可以用方程组来解。
4 让学生列表尝试方法解二元一次方程组，注意审题、分析数量关系，让学生选择数学模型。 五 布置作业
2.3 解二元一次方程组(1)
【教学目标】
1.知识与能力：了解解方程组的概念，了解解方程组的基本思路是“消元”，会阐述用代入法解二元一次方程组的基本思路──通过“代入”达到“消元”的目的，从而把解二元一次方程组转化为解一元一次方程，掌握代入消元法解二元一次方程组的步骤。
2.过程与方法：通过浅显易懂并形象的“天平”实例，引入代入消元法，直观地揭示了代入消元的实质。通过例2的学习，让学生经历代入消元法解二元一次方程组的一般步骤，归纳出用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤。通过揭示解二元一次方程组本质思想——消元，让学生初步体验化“未知”为“已知”，化复杂问题为简单问题的化归思想，提高学生观察、归纳、猜想、验证的能力，不断增强解题能力。
3.情感态度与价值观：提供适当的情景，吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣；在合作学习中，学会交流与合作。 【教学重点、难点】
重点：了解解方程组的基本思路是“消元”，了解代入消元法的思想和操作方法，掌握代入消元法解二元一次方程组的步骤。
难点：例2要把其中一个方程变形后用含一个未知数的一次式来表示另一个未知数的形式时，方能代入。
【教学准备】电脑、投影 【教学过程】
(一)创设情景，提出问题
提问：1. 什么叫二元一次方程？什么叫二元一次方程组？什么叫二元一次方程组的解？
2. 下列哪些数对14x y =-??=?21x y =??=?10x y =??=?12
x y =??
=?是方程组31
x y x y +=??-=?的解。 3. 引导性材料：我国古代数学名著《孙子算经》上有这一一题：今有鸡兔同笼，上
有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几头？如果设鸡有x 头，兔有y 头，所得的式子怎样？
上节我们碰到过二元一次方程组20010
x y y x +=?
?=+?，可知95105
x y =??=?是方程组20010
x y y x +=??
=+?的解，但这是通过观察检验后得来的，那么，有没有一种一般解法？鸡兔同笼问题又如何解答？
(二)合作交流，探索新知
观察课本P93合作学习中图示，小组讨论下列问题：
1、观察图4－3,你得到什么启发？
2、如何解二元一次方程组20010
x y y x +=?
?
=+?，观察x+(x+10)=200与200(1)10(2)
x y y x +=??=+?有没有内在联系？有什么内在联系？（通过较短时间的观察，学生通常都能说出上面的二元一次方程组
与一元一次方程的内在联系──把方程①中的“y”用“x +10”去替换就可得到一元一次方程。）
问题 1 从上面的二元一次方程组与一元一次方程的内在联系的研究中，我们可以得到什么启发？
把方程①中的“y 用“x +10”去替换，就是把方程②代入方程①，于是我们就把一个新问题（解二元一次方程组）转化成熟悉的问题（解一元一次方程）。
解方程组200(1)10(2)
x y y x +=?
?
=+? 解：把②代人①，得x+（x+10）＝200， x ＝95
把x=95代入②，得y=105
∴方程组的解是95105
x y =??
=? 问题2 你认为解方程组200(1)10(2)
x y y x +=??=+?的关键是什么？那么解方程组231(1)1(2)
y x x y -=??
=-?的关键是什么？求出这个方程组的解。
上面两个二元一次方程组求解的基本思路是：通过“代入”，达到消去一个未知数(即消元)的目的，从而把解二元一次方程组转化为解一元一次方程，这种解二元一次方程组的方法叫“代入消元法”，简称“代入法”。代入法是解二元一次方程组常用的方法之一。
问题3 对于方程组278(1)38100(2)
x y x y -=??
--=?能否象解上述两个二元一次方程组一样，把方程组
中的一个方程直接代入另一个方程，从而消去一个未知数呢？应如何消元？
(说明：从学生熟悉的列一元一次方程求解两个未知数的问题入手来研究二元一次方程组的解法，有利于学生建立新旧知识的联系和培养良好的学习习惯，使学生逐步学会把一个还不会解决的问题转化为一个已经会解决的问题的思想方法，对后续的解三元一次方程组、一元二次方程、分式方程等，学生就有了求解的策略。) (三)指导应用，深化理解
例1 解方程组：231(1)1(2)
y x x y -=??
=-? 按课本讲解、板书。（组织学生口头回答例题的解答，注意检验的方法） 探究以下三个问题：
问题1: 上述解题过程什么思想方法？用什么方法解二元一次方程组？ 问题2：如何对方程组的解进行检验？ 问题3：完成P94做一做(板演)。
补充练习：用代入法将下列解二元一次方程组转化为解一元一次方程：
(1)()()
21(1)3(1)25325(2)x
x y y y x y =-?????→-+=?
+=?
由1代入消去 (2) ()()
15225.20(1)52(35)25.2035(2)
x y x x x y +-=?????→+--=?
-=?由2代入消去y
(3) ()()225(1)34(52)2342(2)x y x x x y +=??????→+-=?
+=?
由1得y=5-2x
代入消去y
(4) ()()223(1)32(23)8328(2)s t s s s t -=??????→+-=?+=?
由1得t=2s-3
代入消去t
例2:解方程278(1)38100(2)
x y x y -=??
--=?
教师引导学生讨论,完成解题过程．
探究活动1：解决这道题目的关键是什么？选择哪一个未知数表示另一个未知数？如何变形？方程组的解的表示要注意什么问题？
探究活动2:观察上例解题过程，小组讨论：解二元一次方程组的一般步骤怎样？ 结论：用代入法解二元一次方程组的一般步骤是：
(1)将方程组中的一个方程变形，使得一个未知数能用含另一个未知数的代数式表示； (2)用这个代数式代替另一个方程中相应的未知数，得到一个一元一次方程，求得一个未知数的值；
(3)把这个未知数的值代入代数式，求得另一个未知数的值； (4)写出方程组的解。
课堂反馈练习：P95练习(板演)。
探究与提高(视课堂教学实际选择使用或留作课外思考题)：
1.解方程组93(1)4()(4)8y x x x y x y
=--?
?
+-+=? 2.解方程组1
82y x y x ?=-??
=-??
3.已知23
x y =-??
=?是方程组4
19ax by bx ay -=-??+=?
的解，求(3a-6b)-(-13a-4b)的值。
4.已知x ＝2t ＋3，y ＝3t －1，用含x 的一次式表示y 。
5.已知2x ＋5y ＋4z ＝6，3x ＋y －7z ＝－4，求x ＋y －z 的值。
6.要使方程组216
20x ay x y +=??
-=?
有正整数解，那么自然数a 的值等于多少？ (四)归纳小结，反思提高
问题：通过本课的探讨学习，你获得了哪些新的知识，你认为有哪些方面的进步。（让
学生进行小结，经过学生个人回顾—同桌交流—给大家说说的过程，总结本节课的所做、所听、所感，让知识系统化、合理化。重视学生之间的相互补充，训练学生的归纳和表述能力，提高学生学习的积极性和主动性）
可以从以下三个方面归纳：
1.知识：解二元一次方程组的基本思想；代入消元法；解二元一次方程组的一般步骤。
2.方法：(1)用代入法解二元一次方程组的关键是“消元”，把新问题(解二元一次方程组)转化为用旧知识(解一元一次方程)来解决。
(2)用代入法解二元一次方程组，常常选用系数较简单的方程变形，这有利于正确、简捷的消元。
(3)用代入法解二元一次方程组，实质是数学中常用的重要的“换元”。
3.体验：感受生活中解二元一次方程组的存在与价值，数学来源于生活，通过探索与交流体验知识的形成过程。 (五)布置作业：
2.3 解二元一次方程组（2）
【教学目标】
1、学会用加减消元法解二元一次方程组。
2、使学生了解加减法是解方程组的一个基本方法
3、了解解二元一次方程组的消元思想，体会数学中“化未知为已知”的化归思想。 【教学重点、难点】
重点：用加减消元法解二元一次方程组。 难点：熟练掌握加减法的技巧。 【教学过程】 一、复习引入：
1、 解二元一次方程组的基本思想是什么？ 答：基本思想是“消元”；
2、用代入法解下列方程组：
??
?-=+=-2244)1(y x y x ?
??=-=+52313
23)2(y x y x 二、新课学习： 【比一比】：
通过刚才的练习，我们发现用代入法来解某些二元一次方程组比较简便，如练习（1），但在解另外一些二元一次方程组时，却显得比较繁琐，如练习（2），因此我们就提出了问题：解二元一次方程组的基本思想是“消元”，即把较复杂的“二元”方程转化为简单的“一元”方程，代入法是其中的一种消元方法，但它在解如练习（2）的方程组时显得比较繁，那么还有没有其他的消元方法，也可以变“二元”方程为“一元”方程呢？ 【看一看】：
现在请同学们观察练习（2）这个方程组，找出各个未知数系数的关系？ （x 的两个系数正好相等，y 的两个系数是一对相反数）。 【析一析】：
我们知道相反数的和是0而两个相同数的差也是0，从中你能否得到一些启发？
【想一想】：
为什么可以将方程组中的两个方程左边和左边相加、右边和右边相加，所得的仍旧是一个方程（等式），如何解释？
（根据等式性质1）
根据上述分析，如果对于y ，我们只要把两个方程相加，即可将之消去，而得到一个关于x 的一元一次方程，解出后，将其代入一个较简单的方程，即可求出y ，具体解法如下：
(1)+(2)，得，6x ＝18， 解得，x ＝3 把x ＝3代入(1)，得 9＋2y ＝13 y ＝2
现在请同学们，试着消去x ，想想看，如何做？
像这种将方程组中的两个方程相加或相减，消去其中的一个未知数，转化为一元一次方程，这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元方法，简称加减法。加减法也是解二元一次方程组常用的方法之一。 【做一做】：
解方程组 (2) 1756(1)
1976?
?
?=--=+y x y x
解：(1)－(2), 得 12y ＝－36 解得 y ＝－3 把y = －3代入(2), 得
31
,17
)3(56==-?-x x 解得
????
?-==∴3
31y x 例1． 解方程组 3x －2y ＝11 （1）
2x ＋3y ＝16 （2）
分析：先通过方程的变形，使得某个未知数的系数的绝对值相同，就可以把两个方程的两边相加或相减来消元。 解：（1）×3，得9x －6y ＝33 （3） （2）×2，得4x ＋6y ＝32 （4） （3）＋（4），得13x ＝65
∴x ＝5
把x ＝5代入（1）中，得y ＝2
∴ x ＝5 y ＝2
【试一试】：对于例1的方程组可以先消去x ，来解方程组吗？ 用加减法解二元一次方程组的一般步骤是：
1、 将其中一个未知数的系数化为相同（或互为相反数）；
2、 通过相减（或相加）消去这个未知数，得到一个一元一次方程；
3、 解这个一元一次方程，得到这个未知数的值；
4、将求得的未知数的值代入原方程中的任一方程，求得另一个未知数的值；
5、写出方程组的解。
三、课内练习：
1、下列方程组中，消去哪个未知数比较合理？方程两边同乘以什么数？怎样消？
（1） 2x－3y＝8 （2）2x＝3－3y (3) 3x＋5y＝25
7x－5y＝－5 3x＝4－5y 4x＋3y＝15
2、用加减法解下列方程组：
（1）2x＋y＝23 （2） 3x＋2y＝13
4x－y＝19 3x－2y＝5
（3） 3x－2y＝9 （4） 2x－3y＝1
x－y＝7 3x－2y＝2
四、课堂小结：
1、解二元一次方程组的基本思想是消元，代入法是一个基本方法，今天学习的加减法也是一个方法；
2、用加减法解二元一次方程组，如果有一个未知数的系数是相等的，则把这两个方程直接相减；若有一个未知数的系数是一结相反数，则把它们相加即可。
五、作业：
2.4 二元一次方程组的应用（1）
【教学目标】
1．掌握应用二元一次方程组解决有关实际问题的基本步骤．
2．会列二元一次方程组解应用题．
【教学重点、难点】
1．本节教学的重点是列二元一次方程组解应用题．
2．例l的问题情境比较复杂，不易列出方程，是本节教学的难点．
【教学过程】
一、创设情景，引入新课
从游泳池中的数学问题引入．
师：炎热的夏口，游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽．如果每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多1倍，你知道男孩与女孩各有多少人吗?
通过创设愉悦的问题情境，引起学生的学习兴趣，在轻松的气氛中探索问题．
师：你能用所学过的知识来解决这个问题吗?
(学生通过四人小组活动，观察分析，仔细审题，纷纷讲述了自己的方法．)
教师可以启发学生思考下面的问题：
(1)这个实际问题中有哪些等量关系?
(2)怎样设未知数?可以列出几个方程?
通过师生共同归纳得出：
女孩人数二男孩人数－1，
男孩人数：2×(女孩人数－1)
教师引导学生用列一元一次方程和列二元一次方程组两种不同方法求解，并比较两种解
法的繁简，让学生体会学习二元一次方程组的必要性．
学生可得出下列方法：
(1)如果设男孩有，人，可根据每位女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多1倍，得方程
x＝2(x－1)—1，解得x＝4．
(2)如果设女孩有y人，可根据每位男孩看到蓝色的游泳帽与红色的游泳帽一样多，得方程2(y－1)—1＝y，解得y=3．
(3)设男孩有x人，女孩有y人，由题意可列方程组x－1＝y 解得x＝4
x＝2（y－1）， y＝3 (4)列二元一次方程组求解，有什么优点?
把学生逐步引入问题情境中，对学生的思考有一定的引导和启发作用，激励了学生探索解决问题的欲望．
师生共同总结：当问题中所求的未知数有两个时，用两个字母来表示未知数往往比较容易列出方程，要注意的是必须寻找两个等量关系，列出两个不同的方程，组成二元一次方程组(这里不同的方程的真实含义是不等价的方程，但对学生不讲述不等价的概念)．如果当两个未知量之间的数量关系比较复杂隐蔽时，直接列一元—次方程就比较困难，这时列方程组解就显得优越．
二、典型例题分析
例1 用如课本图4-10中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如课本图4-11的竖式和横式两种无盖纸盒．现在仓库里有1000张正方形纸板和2000张长方形纸板，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存的纸板用完?
通过此例让学生感受到数学与数学应用的普遍性与科学性．
通过学生观察、思考、得到两个等量关系：
两种纸盒所用正方形纸板的张数的和＝1000(张)，
两种纸盒所用长方形纸板的张数的和＝2000(张)．
解：设做竖式纸盒x个，横式纸盒y个．根据题意，得x＋2 y ＝1000 解得x＝200
4x＋3y＝2000，y＝400 经检验，这个解满足方程组，且符合题意．
答：做竖式纸盒200个，横式纸盒400个，恰好将库存的纸板用完．
引申：如果有正方形纸板500张，长方形纸板100l张，那么能否做成若干只两种纸盒后，恰好把库存的纸板用完?说明理由．
解：设做竖式纸盒x 个，横式纸盒y 个，根据题意，得 x ＋2 y ＝500 解得 x ＝502
5
4x ＋3y ＝1001 y ＝999
5
可见x ，y 不是自然数，不符合题意．所以不能做成若干只纸盒，恰好把库存的纸板用完． 这里应该提醒学生注意：必须检验所求出的未知量的值是否符合实际意义． 上例属于配套问题，分析时应着重启发学生利用列表得到竖式、横式纸盒数与所需的正 方形与长方形纸板的张数之间的数量关系．
通过上面的例题，师生共同归纳应用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤： (1)理解问题(审题，搞清已知和未知，分析数量关系)．
这时要明确问题中的已知量是什么，未知量是什么．根据问题的不同，用“列表”“图示”“语言式子”揭示出问题中已知量和未知量之间的直接关系或间接的等量关系． (2)制订计划(考虑如何根据等量关系设元，列出方程组)．
设未知数的方法有两种：一种是设直接未知数，就是把问题中要求的未知量用x ，y 等表示；一种是设间接未知数，就是把与问题中要求的未知量相关的另一些未知量用x ，y 的代数式表示．哪一种设法便于列出方程组就选用哪一种．
在列方程组时，根据所设的未知数、已知量和未知量之间的等量关系列出方程组．要注意的是：方程组中每个方程之间应不等价；方程的个数和未知数的个数相等；方程两边所表示的量相同．
(3)执行计划(列出方程组并求解，得到答案)．
解方程组时，应根据所列方程的特点选择最简便的方法求出方程组的解． 回顾(检查和反思解题过程，检验答案的正确性以及是否符合题意)．
所设的未知数常常受到某些条件的限制，因此，要检验并判断方程的解是否符合题意，最后写出答案． 三、探究尝试
1．走路、骑车、乘车等是学生熟悉的事件，通过行程问题作为学生探究性学习的课题十分自然．
甲、乙两人从相距18km 的两地同时出发，相向而行，经过兰时相遇．如果甲比乙先出发导时，那么在乙出发后经过÷时两人相遇，求甲、乙两人的速度．
学生面对新问题，非常好奇兴奋，并积极思考，教师要抓住时机，要求学生通过讨论，动手实验，积极探索解题方法．
教师针对学生的讨论，通过多媒体动态演示：
如：设甲的速度为每时行xkm ，乙的速度为每时ykm ，通过分析和探究得 95 x ＋9
5 y ＝18 23 x ＋3
2
（x ＋y ）＝18
要使学生懂得对不同问题要辅以不同的教学工具来解决，比如行程问题用图示法，配套问题用列表法都十分适宜．
本题是行程问题，讲解时，应把问题分解成两个相遇问题，充分利用图示，引导学生找出两个等量关系．在讲解此例前，还应复习一下相遇问题的基本等量关系．
2．做课本课内练习第2题．
四、小结
本节课有哪些收获与感受?
五．作业．
2.4二元一次方程组的应用（2）
【教学目标】
1 会应用二元一次方程组解决简单的实际问题。
2 会综合运用二元一次方程以及统计等的相关知识解决实际问题。
【教学重点、难点】
重点：列二元一次方程组解应用题。
难点：例3的问题情境比较复杂，且涉及多方面的知识和技能，是本节教学的难点。
【教学过程】
一复习回顾温故知新
师：前面我们学习了应用二元一次方程组解决有关的实际问题，下面我们来回顾一下应用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤。
生：（1）理解问题（审题，搞清已知和未知，分析数量关系）
（2）制定计划（考虑如何根据等量关系设元，列出方程组）
（3）执行计划（列出方程组并求解，得到答案）
（4）回顾（检查和反思解题过程，检验答案的正确性以及是否符合题意）
二合作交流探求新知
1 利用投影：例
2 一根金属棒在0℃时的长度是qm，温度每升高1℃，它就伸长pm。当温度为t℃时，金属棒的长度L可用公式L＝pt+q计算，已测得当t=100℃时，L＝2.002m；当t=500℃时，L＝2.01m
（1）求p,q的值；
（2）若这根金属棒加热后长度伸长到2.016m，问这时金属棒的温度是多少？
师：问题中含有几个未知数？需列几个方程？要找出几个相等的关系？
生：问题中含有2个未知数？需列2个方程？要找出2个相等的关系？
师：从已知条件“当t=100℃时，L＝2.002m；当t=500℃时，L＝2.01m”你能得到怎样的相等关系？这两个相等关系从方程角度看是关于什么未知数的方程？
生：可得两个相等的关系式：100p+q=2.002；500p+q=2.01.
这两个相等的关系式从方程角度看是关于p,q两个未知数的方程。
（解题过程由四人小组合作完成，教师叫其中一组派代表到黑板上板演，然后请别组学生补充订正，充分体现新课程以学生为主体的思想）
变式拓展：教师改变已知条件中t,L的值，让学生求相应的p,q的值，以竞赛的形式比一比哪位学生的计算速度最快，从而从分调动学生学习的积极性，活跃课堂气氛。
归纳小结：回顾求解的全过程，使学生认识到二元一次方程组还可以用来求一个公式中的未知数，小结例2中的第一题解法的基本步骤，从而得出这种解法叫——待定系数法。课堂练习：P107 3
2 利用投影：例
3 通过对一份中学生营养快餐的检测，得到以下信息：
①快餐总质量为300克；
②快餐的成分：蛋白质、碳水化合物、脂肪、矿物质；
③蛋白质和脂肪含量占50％；矿物质的含量是脂肪含量的2倍；蛋白质和碳水化合物
含量占85％。
根据上述数据回答下面的问题：
1，分别求出营养快餐中蛋白质、碳水化合物、脂肪、矿物质的质量和所占的百分比；
2，根据计算结果制作扇形统计图表示营养快餐成分的信息。
例题分析：本题有多个未知量，因此如何设元是本题的关键，教师可作如下启发：（1）本题有哪些已知量？
（2）本题有哪些未知量？要求什么？
（3）蛋白质、碳水化合物、脂肪、矿物质这四个未知量中，哪两个与已知量和其他未知量都有已知的数量关系？
（可以让学生充分尝试，设某两个未知量分别为x克，y克看能否把其他相关的未知量用代数式表示出来，能否使列出的方程最简单。根据已知条件的第③条，学生能够发现设蛋白质与脂肪的质量为未知量比较合适）
小组合作：因本题有四个未知量分别为：蛋白质、碳水化合物、脂肪、矿物质，任选2个未知量就有6种不同的设法，教师可安排四人小组合作交流用6种不同的设法列出方程组，然后叫学生把这6种不同的方程组到上面写出来，全体学生讨论找出认为最适合最简单的一种设法。
三、小结
1 小结用二元一次方程组解实际问题的基本步骤。
2 如何设元。
3 评出本节课最活跃的学生和最优秀的四人小组。
四，作业
2.5 三元一次方程组及其解法
教学目标1．理解三元一次方程组的含义．
2．会解某个方程只有两元的简单的三元一次方程组．
3．掌握解三元一次方程组过程中化三元为二元或一元的思路．
学习重点：1．使学生会解简单的三元一次方程组．
2．通过本节学习，进一步体会“消元”的基本思想
学习难点：针对方程组的特点，灵活使用代入法、加减法等重要方法．
一、复习引入
1、上课前组织学生把课前参与题目中第1题板演复习代入消元法和加减消元法解二元一次方程组，课上由全体学生点评后，组织学生谈对选择适当方法解方程组的感想，顺势订正第
2、3两题。2、课前参与题目中第4题，小明手头有12张面额分别为1元，2元，5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍，求1元，2元，5元纸币各多少张．
（1）题目中有几个未知数，你如何去设？
（2）根据题意你能找到等量关系吗？
（3）根据等量关系你能列出方程组吗？ 二、合作交流探索新知 1、三元一次方程组的概念
方程组中含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组
2、探讨三元一次方程组12,2522,4.x y z x y z x y ++=??
++=??=?
的解法
思考：怎样解这个方程组呢？能不能类比二元一次方程组的解法，设法消去一个或两个未知数，把它化成二元一次方程组或一元一次方程呢？ （学生小组交流，探索如何消元．）
3、可以把③分别代入①②，便消去了x ，只包含y 和z 二元了：
8,
412,512,2,42522,6522. 2.
x y y z y z y y y z y z z =?++=+=???
=?
??++=+=???=?
即解得4、解三元一次方程组的基本思路：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程．
消元
二元一次方程组
消元
5、例1：解三元一次方程组347,239,5978.x z x y z x y z +=??
++=??-+=?
解：②×3+③，得11x+10z=35．
①与④组成方程组347,5,
111035. 2.x z x x z z +==????
+==-??
解得 把x=5，z=-2代入②，得y=
1
3
． 因此，三元一次方程组的解为5,1,32.
x y z =???
=??=-??
6、追踪练习（一）
解下列三元一次方程组：
29,34,(1)3,(2)2312,247; 6.22,2,:(1)15.5,(2)3,
12.5; 1.x y x y z y z x y z z x x y z x x y y z z -=--+=???
?
-=+-=????+=++=??
==????
==????==??
解
7、例2：在等式y=ax 2
+bx+c 中，当x=-1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60，求a ，b ，
?c 的值．
解：由题意，得三元一次方程组0,423,25560.a b c a b c a b c -+=??
++=??++=?
②-①，得a+b=1， ④ ③-①，得4a+b=10． ⑤ ④与⑤组成二元一次方程组1,
410.
a b a b +=??
+=?．
解得3,2a b =??=-? 把a=3，b=-2代入①，得c=-5． 因此3,
2,5.
a b c =??
=-??=-?
，
答：a=3，b=-2，c=-5． 8、追踪练习（二）
甲、乙、丙三个数的和是35，甲数的2倍比乙数大5，乙数的
13等于丙数的1
2
，求这三个数． 9、课堂小结
1．学会三元一次方程组的基本解法．
2．掌握代入法，加减法的灵活选择，体会“消元”思想．
3
消元
二元一次方程组
消元
1.1从自然数到有理数 一、教学目标 1 .理解有理数产生的必然性、合理性及有理数的分类； 2 .能辨别正、负数，感受规定正、负的相对性； 3 .体验中国古代在数的发展方面的贡献。 二、教学重点和难点 重点：有理数的概念 难点：建立正数、负数的概念对学生来说是数学抽象思维一次重大飞跃。 三、教学手段 现代课堂教学手段 四、教学方法 启发式教学 五、教学过程 （一）从学生原有的认知结构提出问题 大家知道，数学与数是分不开的，它是一门研究数的学问．现在我们一起来回忆一下，小学里已经学过哪些类型的数？ 学生答后，教师指出：小学里学过的数可以分为三类：自然数(正整数)、分数和零(小数包括在分数之中)，它们都是由于实际需要而产生的． 为了表示一个人、两只手、……，我们用到整数1，2，…… 4.87、…… 为了表示“没有人”、“没有羊”、……，我们要用到0． 但在实际生活中，还有许多量不能用上述所说的自然数，零或分数、小数表示． （二）师生共同研究形成正负数概念 某市某一天的最高温度是零上5℃，最低温度是零下5℃．要表示这两个温度，如果只用小学学过的数，都记作5℃，就不能把它们区别清楚．它们是具有相反意义的两个量． 现实生活中，像这样的相反意义的量还有很多． 例如，珠穆朗玛峰高于海平面8848米，吐鲁番盆地低于海平面155米，“高于”和“低于”其意义是相反的．“运进”和“运出”，其意义是相反的． 同学们能举例子吗？ 学生回答后，教师提出：怎样区别相反意义的量才好呢？ 待学生思考后，请学生回答、评议、补充． 教师小结：同学们成了发明家．甲同学说，用不同颜色来区分，比如，红色5℃表示零下5℃，黑色5℃表示零上5℃；乙同学说，在数字前面加不同符号来区分，比如，△5℃表示零上5℃，×5℃表示零下5℃……．其实，中国古代数学家就曾经采用不同的颜色来区分，古时叫做“正算黑，负算赤”．如今这种方法在记账的时候还使用．所谓“赤字”，就是这样来的． 现在，数学中采用符号来区分，规定零上5℃记作+5℃(读作正5℃)或5℃，把零下5℃记作-5℃(读作负5℃)．这样，只要在小学里学过的数前面加上“+”或“-”号，就把两个相反意义的量简明地表示出来了． 让学生用同样的方法表示出前面例子中具有相反意义的量： 高于海平面8848米，记作+8848米；低于海平面155米，记作-155米； 教师讲解：什么叫做正数？什么叫做负数？强调，数0既不是正数，也不是负数，它是正、负数的界限，表示“基准”的数，零不是表示“没有”，它表示一个实际存在的数量．并指出，正数，负数的“+”“-”的符号是表示性质相反的量，符号写在数字前面，这种符号叫做性质符号．（三）介绍有理数的有关概念。 1．给出新的整数、分数概念 引进负数后，数的范围扩大了．过去我们说整数只包括自然数和零，引进负数后，我们把自然数叫做正整数，自然数前加上负号的数叫做负整数，因而整数包括正整数(自然数)、负整数和零，同样分数包括正分数、负分数。 2．给出有理数概念
1.1 从自然数到有理数 学校:___________姓名：___________班级：___________ 一．选择题（共10小题） 1．在﹣1，1.2，﹣2，0中，负数的个数是（） A．2 B．3 C．4 D．5 2．向东走100米记作+100米，﹣80米表示（） A．向西走100米 B．向南走80米C．向西走﹣80米D．向西走80米 3．若规定收入为“+”，那么﹣100元表示（） A．收入了100元 B．支出了100元 C．没有收入也没有支出D．收入了200元 4．几个小球沿东西方向运动，规定向东为正，若A球走了﹣7千米，那么表示在A球西边的小球所对应的位置应该是下列中的（） A．﹣3千米B．+2千米C．0千米D．﹣9千米 5．质检员抽查零件的质量，超过尺寸的记为正数．不足的记为负数．抽查了四个零件，结果如下．质量最差的零件是（） A．+0.10mm B．﹣0.05 mm C．+0.15mm D．﹣0.11mm 6．下表是陕西四个城市今年二月份某一天的平均气温，其中平均气温最低的城市是（）城市西安宝鸡延安汉中 气温（℃）0﹣1﹣43 A．西安 B．宝鸡 C．延安 D．汉中 7．一种面粉的质量标识为“25±0.20千克”，下列面粉中合格的是（） A．25.30千克B．24.70千克C．25.51千克D．24.82千克 8．生产厂家检测4个篮球的质量，结果如图所示，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，其中最接近标准质量的篮球是（） A．+2.5 B．﹣0.6
C．+0.7 D．﹣3.5 9．下列说法正确的个数有（） ①负分数一定是负有理数 ②自然数一定是正数 ③﹣π是负分数 ④a一定是正数 ⑤0是整数 A．1个B．2个C．3个D．4个 10．李白出生于公元701年，我们记作+701，那么秦始皇出生于公元前259年，可记作（）A．259 B．﹣960 C．﹣259 D．442 二．填空题（共10小题） 11．在知识抢答中，如果用+10表示得10分，那么扣20分表示为． 12．向东行驶3km记作+3km，向西行驶2km记作． 13．一种零件的直径尺寸在图纸上是30±（单位：mm），它表示这种零件的标准尺寸是30mm，加工要求尺寸最大不超过mm． 14．在数1，2，3，4，5，6，7，8前添加“+”或“﹣”并依次计算，所得结果可能的最小非负数是． 15．如果+8%表示“增加8%”，那么“减少10%”可以记作． 16．某种零件，标明要求是φ：20±0.02 mm（φ表示直径，单位：毫米），经检查，一个零件的直径是19.9 mm，该零件（填“合格”或“不合格”）． 17．在数+8.5，﹣4，﹣0.8，﹣，0，90，﹣，﹣|﹣24|中，不是整数．18．某校办印刷厂今年四月份盈利6万元，记作+6万元，五月份亏损了2.5万元，应计作万元． 19．在，0，﹣0.010010001…，π四个数中，有理数有个． 20．一次考试中，老师采取一种记分制：得120分记为+20分，那么96分应记为，李明的成绩记为﹣12分，那么他的实际得分为．
八年级2016—2017学年度第一学期 数 学 教 案 第十三章：轴对称 2016年10月-11月 教师：李治民 第11章三角形
教学目标 〔知识与技能〕 1、理解三角形及有关概念，会画任意三角形的高、中线、角平分线； 2、了解三角形的稳定性，理解三角形两边的和大于第三边，会根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形； 3、会证明三角形内角和 等于1800 ，了解三角形外角的性质。4、了解多边形的有关概念，会运用多边形的内角和与外角和公式解决问题。5、理解平面镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面，并能运用它们进行简单的平面镶嵌设计。 〔过程与方法〕 1、在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养成数学推理的习惯； 2、在灵活运用知识解决有关问题的过程中，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培说理和进行简单推理的能力。 〔情感、态度与价值观〕 1、体会数学与现实生活的联系，增强克服困难的勇气和信心； 2、会应用数学知识解决一些简单的实际问题，增强应用意识； 3、使学生进一步形成数学来源于实践，反过来又服务于实践的辩证唯物主义观点。 重点难点 三角形三边关系、内角和，多边形的外角和与内角和公式，镶嵌是重点；三角形内角和等于1800 的证明，根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形及简单的平面镶嵌设计是难点 11.1.1三角形的边 [教学目标] 〔知识与技能〕 1了解三角形的意义,认识三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示三角形 ； 2理解三角形三边不等的关系，会判断三条线段能否构成一个三角形,并能运用它解决有关的问题. 〔过程与方法〕 在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养成数学推理的习惯； 〔情感、态度与价值观〕 体会数学与现实生活的联系，增强克服困难的勇气和信心 [重点难点]三角形的有关概念和符号表示，三角形三边间的不等关系是重点；用三角形三边不等关系判定三条线段可否组成三角形是难点。 [教学过程] 一、情景导入 三角形是一种最常见的几何图形， [投影1-6]如古埃及金字塔，香港中银大厦，交通标志，等等，处处都有三角形的形象。 那么什么叫做三角形呢？ 二、三角形及有关概念 不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。 注意：三条线段必须①不在一条直线上，②首尾顺次相接。 a b c (1) C B A
浙教版七年级数学下教案 全集 Revised by Liu Jing on January 12, 2021
平行线 教学目标： 1．理解平行线的意义，了解同一平面内两条直线的位置关系； 2．会根据几何语句画图，会用直尺和三角板画平行线； 3．了解“三线八角”并能在具体图形中找出同位角、内错角与同旁内角； 重点：平行线的概念与平行公理； 难点：对平行公理的理解． 教学过程： 一、新课导入： 1.相交线是如何定义的 2.平面内两条直线的位置关系除相交外，还有哪些呢 二、解决新知： 1.平行线概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．直线a与b平行，记作a∥b．（画出图形） 2.同一平面内两条直线的位置关系有两种：（1）；（2）． 3.对平行线概念的理解： 两个关键：一是“”（举例说明）；二是 “”． 一个前提：对直线而言． 4.平行线的画法:
平行线的画法是几何画图的基本技能之一，在以后的学习中，会经常遇到画平行线的问题．方法为： 一“落”（三角板的一边落在已知直线上）， 二“靠”（用直尺紧靠三角板的另一边）， 三“移”（沿直尺移动三角板，直至落在已知直线上的三角板的一边经过已知点）， 四“画”（沿三角板过已知点的边画直线）． 5.平行公理: 过点B画直线a的平行线，能画出几条再过点C画直线a的平行线，能画出几条 .C .B m 回忆垂线性质： 平行公 理： . 上图中过点C画直线a的平行线，它和前面过点B画出的直线平行吗 平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 即：如果b∥a，c∥a，那 么． c
b a 三.拓展应用 1.读下列语句，并画出图形： （1）点P是直线AB外一点，直线CD经过点P，且与直线AB平行； （2）直线AB,CD是相交直线，点P是直线AB，CD外的一点，直线EF经过点P 且与直线AB平行，与直线CD相交于点E ； 2.如图，直线a，b被直线c所截，形成的8个角中，其中同位角有对，内错角有对，同旁内角有对． 同位角内错角同旁内角 〖教学目标〗 ◆1、了解同位角、内错角、同旁内角的意义。 ◆2、会在简单的图形中辨认同位角、内错角、同旁内角。 ◆3、会在给定某个条件下进行有关同位角、内错角、同旁内角的判定和计算。 〖教学重点与难点〗 ◆教学重点：同位角、内错角、同旁内角的概念。 ◆教学难点：各对关系角的辨认，复杂图形的辨认是本节教学的难点。 〖教学过程〗 （三）教学过程：
教师：学生：时间：_ 2016 _年_ _月日段第__ 次课
A ．112x y =??-=?， B ．13x y x y +=??-=?， C ．2104x y xy +=??=? ， D ．21x y x y =??-=?， 3. 方程5x+4y=17的一个解是 ( ) A ．13x y =??=? ， B ．21x y =??=?， C ．32x y =??=?， D ．41x y =??=?， 4. 若关于x 、y 的方程2211a b a b x y -++-=是二元一次方程，那么a 、b 的值分别是( ) A ．1、0 B ．0、－1 C ．2、1 D ．2、－3 5. 若x ：y=3：2，且3x+2y=13，则x 、y 的值分别为 ( ) A ．3、2 B ．2、3 C ．4、1 D ．1、4 6. 某班共有学生49人．一天，该班某男生因事请假，当天的男生人数恰为女生人数的一半．若设该班男生人数为x ，女生人数为y ，则下列方程组中，能正确计算出x 、y 的是 ( ) A ．()4921x y y x -=???=+??， B ．()4921x y y x +=???=+??， C ．()4921x y y x -=???=-??， D ．()4921x y y x +=???=-?? ， 7. 已知21x y =?? =?是二元一次方程组71 ax by ax by +=??-=?的解，则a b -的值为（ ）． A ．1 B ．－1 C ． 2 D ．3 8. 若关于x ，y 的二元一次方程组? ??=-=+k y x , k y x 95的解也是二元一次方程632=+y x 的解，则k 的值为 A.4 3 - B. 43 C.3 4 D.3 4 - 9. 已知代数式1 33m x y --与5 2 n m n x y +是同类项，那么m n 、的值分别是（ ） A ．2 1 m n =?? =-? B ．2 1 m n =-?? =-? C ．2 1 m n =?? =? D ．2 1 m n =-?? =? 10.（2009年台湾） 动物园的门票售价：成人票每张50元，儿童票每张30元。某日动物园售出门票700张，共得29000元。设儿童票售出x 张，依题意可列出下列哪一个一元一次方程式（ ） (A) 30x 50(700x )=29000 (B) 50x 30(700x )=29000 (C) 30x 50(700 x )=29000 (D) 50x 30(700x )=29000 。 二、填空题 11. 在方程2x －y=1中，若x=－4，则y=________；若y=－3，则x=________． 12. 写出满足二元一次方程x+2y=9的非负整数解_____________．
浙教版八年级数学上学期教学计划 一、学情分析 八年级是初中学习过程中的关键时期，学生基础的好坏，直接影响到将来是否能升学。两班比较，83班优生多一些，但后进面却较大，学生非常活跃，有少数学生不上进，思维不紧跟老师。84班学生单纯，有大多数同学基础特差，问题较严重。要在本期获得理想成绩，老师和学生都要付出努力，查漏补缺，充分发挥学生是学习的主体，教师是教的主体作用，注重方法，培养能力。 二、教材分析 第一章平行线是在七年级上第七章提出平行线的概念、画法后的延续，这章将继续学习平行线的有关判定和性质；教学时把握证明难度，避免概念超前，加强形的建模。教学应注意以下几点：1、说理的过程仍以填空为主，注意避免综合性较强的说理出现。2、要避免证明、命题、定理、公理等词的口头出现，课本是以判定方法、性质、结论来描述。3、要注重现实生活中的实物情景抽象为相交线、平行线等数学图形的建模过程。4、还应注意画图、探究性题的教学。另外对教材中（1）P8 例2出现了添辅助线的说明方法，教师需根据实际情况，不要作深入展开，（2）P20 第5题：不是很明确其意图。 第二章特殊三角形是在七年级下册第一章三角形的基础知识和全等三角形的基础上学习等腰三角形、等边三角形、直角三角形的判定和性质，进一步熟练几何符号语言的表达、书写；教学时要控制证明的综合难度，侧重计算与形状的判定。本节与以往教材相比较，有以下特点：1、加强了对等边三角形的学习要求；2、强化了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质3、淡化了300角所对的直角边等于斜边的一半的性质。4、P28 等腰三角形的判定说明、P36 例3，教师可简单提出辅助线的作法、作用、要求，但不要藉此来提高难度。5、可以在勾股定理的知识上，让学生去研究探讨，增强数学人文性教育。另外教材中的（1）P24—4、5两题的难度较大，综合性较强，教师要作提示、作小结；（2）教师最好还是根据实际情况补充300角的直角三角形性质；（3）勾股定理这节中出现了不少“定理”一词，是否在教学时可改。 第三章直棱柱是从七年级上册提出立体图形概念后第一次对立体图形的研究，与原浙江版义务教材相比，是较新的一章（原教材有立体图形直观图的画法），主要是培养学生空间想像能力，也是为高中阶段立体几何中棱柱的学习
《因式分解》教案 教学目标： (一)教学知识点 使学生了解因式分解的意义，知道它与整式乘法在整式变形过程中的相反关系． (二)能力训练要求 通过观察，发现因式分解与整式乘法的关系，培养学生的观察能力和语言概括能力． (三)情感与价值观要求 通过观察，推导因式分解与整式乘法的关系，让学生了解事物间的因果联系． 教学重、难点： 教学重点： 1．理解因式分解的意义． 2．识别因式分解与整式乘法的关系． 教学难点： 通过观察，归纳因式分解与整式乘法的关系． 教学过程： 一、创设情境，导入新课 [师]大家会计算(a+b)(a-b)吗？ [生]会．(a+b)(a-b)=a2-b2． [师]对，这是大家学过的平方差公式，我们是在整式乘法中学习的．从式子(a+b)(a-b)= a2-b2中看，由等号左边可以推出等号右边，那么从等号右边能否推出等号左边呢？即a2-b2 =(a+b)(a-b)是否成立呢？ [生]能从等号右边推出等号左边，因为多项式a2-b2与(a+b)(a-b)既然相等，那么两个式子交换一下位置还成立． [师]很好，a2-b2=(a+b)(a-b)是成立的，那么如何去推导呢？这就是我们即将学习的内容：因式分解的问题． 二、明确目标，互助探究： 1?想一想 由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是什么运算？由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与这种运算有什么不同？你还能举一些类似的例子加以说明吗？ [生]由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是整式乘法，由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形是因式分解，这两种过程正好相反． [生]由(a+b)(a-b)=a2-b2可知，左边是整式乘法，右边是一个多项式；由a2-b2=(a+b)(a-b)
3.3～3.5 一、选择题(每小题3分，共21分) 1．计算(a ＋b )(－a ＋b )的结果是( ) A ．－a 2－2ab ＋b 2 B ．a 2－b 2 C ．b 2－a 2 D ．－a 2＋2ab ＋b 2 2．计算(x －1)(2x ＋3)的结果是( ) A ．2x 2＋x －3 B ．2x 2－x －3 C ．2x 2－x ＋3 D ．x 2－2x －3 3．计算(－a －2b )2的结果是( ) A ．a 2－4ab ＋4b 2 B ．－a 2＋4ab －4b 2 C ．－a 2－4ab －4b 2 D ．a 2＋4ab ＋4b 2 4．若(x 2－mx ＋1)(x －2)的积中x 的二次项系数为零，则m 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．－2 D ．2 5．已知x －y ＝5，(x ＋y )2＝49，则x 2＋y 2的值等于( ) A ．25 B ．27 C ．37 D ．44 6．如图G －4－1，图(1)是一个长为2m ，宽为2n (n
浙教版七年级数学教案 1.2数轴 一、教学目标 1.理解数轴、相反数的概念; 2.掌握数轴的画法、数轴上的点与有理数的关系; 3.会用数轴上的点表示相反数，探索他们的位置关系; 4.感受数形结合与转化。 二、教学重点和难点 重点：初步理解数形结合的思想方法，正确掌握数轴画法和用数轴上的点表示有理数.难点：正确理解有理数与数轴上点的对应关系. 三、教学手段 现代课堂教学手段 启发式教学 教学过程 (一)从学生原有认知结构提出问题 1.小学里曾用“射线”上的点来表示数，你能在射线上表示出1和2吗? 2.用“射线”能不能表示有理数?为什么? 3.你认为把“射线”做怎样的改动，才能用来表示有理数呢? 待学生回答后，教师指出，这就是我们本节课所要学习的内容——数轴.
(二)讲授新课 让学生观察挂图——放大的温度计，同时教师给予语言指导：利用温度计可以测量温度，在温度计上有刻度，刻度上标有读数，根 据温度计的液面的不同位置就可以读出不同的数，从而得到所测的 温度.在0上10个刻度，表示10℃;在0下5个刻度，表示-5℃. 与温度计类似，我们也可以在一条直线上画出刻度，标上读数，用直线上的点表示正数、负数和零.具体方法如下(边说边画)： 1.画一条水平的直线，在这条直线上任取一点作为原点(通常取 适中的位置，如果所需的都是正数，也可偏向左边)用这点表示 0(相当于温度计上的0℃); 2.规定直线上从原点向右为正方向(箭头所指的方向)，那么从原点向左为负方向(相当于温度计上0℃以上为正，0℃以下为负); 3.选取适当的长度作为单位长度，在直线上，从原点向右，每隔一个长度单位取一点，依次表示为1，2，3，…从原点向左，每隔一 个长度单位取一点，依次表示为-1，-2，-3，… 提问：我们能不能用这条直线表示任何有理数?(可列举几个数) 在此基础上，给出数轴的定义，即规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.进而提问学生：在数轴上，已知一点P表示数-5，如果数轴上的原点不选在原来位置，而改选在另一位置，那么P对 应的数是否还是-5?如果单位长度改变呢?如果直线的正方向改变呢? 通过上述提问，向学生指出：数轴的三要素——原点、正方向和单位长度，缺一不可. (三)运用举例变式练习 例1指出数轴上A，B，C，D，E各点分别表示什么数. 例2画一个数轴，并在数轴上画出表示下列各数的点：55(1)0.5，-，0，-0.5，-4，，1.4;22 (2)200，-150，-50，100，-100.
七年级数学（下）组别_____ 姓名_____ 主备人：沈美芳 日期：2013/05/ 审核人 批改 第二章 二元一次方程组 复习学案 【学习目标】1、学习二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念；掌握二元一次方程组的解法即代入消元法和加减消元法；体会二元一次方程组在解决生活和生产实际问题中的应用。 2、体会通过消元把多元化归为一元的思想方法。 【学习过程】一、知识梳理： 1、二元一次方程和它的解 （1）含有 未知数，并且未知数的指数都是 的 方程叫二元一次方程； （2）一般地，二元一次方程的解有 组。 2、二元一次方程组和它的解 （1）两个含有 个未知数的 次方程组合在一起就组成了一个二元一次方程组。（2）使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值叫做二元一次方程组的 。 3、二元一次方程组的解法解二元一次方程组的基本思想是 ，方法有 、 。*解三元一次方程组的基本思想是化三元为二元再化二元为一元。代入法的步骤： 1)将方程组里的一个方程变形,用含一个未知数的代数式表示另一个 2)用这个代数式代替另一个方程中相应的未知数,使解 元一次方程组转化为解 元一次方程,并求出一个未知数的值. 3)把求得的这个未知数的值代入变形后的方程或方程组中任何 一个方程,求得另一个未知数的值,从而得到方程组的解 加减法步骤; 1）在所解的方程组的两个方程中如果某个未知数的系数互为相反数,可把两个方程 ,即可消去这个未知数;如果某个未知数的系数相等,则可把两方程 消去这个未知数（2）如果方程组中不存在某个未知数的系数的绝对值相等,那么选取一组系数（最小公倍数最小的一组）,将两个方程分别乘以一个适当的数,使这两个系数的绝对值相等,再用加减消元. 三、复习练习 基础题： 1、下列方程是二元一次方程的是（ ） (A)x 2+x+1=0 (B)2x+3y-1=0 (C)x+y-z=0 (D)x+011=+y 2 已知是二元一次方程mx+y=10的一个解，则m 的值为 。 ???-==24y x 3、已知3x m-1-4y 2m-n+4=1是二元一次方程，则m= ，n= . 4、下列方程组中，属于二元一次方程组的是（）
浙教版数学七年级下册2.4《二元一次方程组的应用》 同步练习 一、选择题 1.我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知3匹小马能拉1片瓦，1匹大马能拉3片瓦，求小马，大马各有多少匹，若设小马有x匹，大马有y匹，则下列方程组中正确的是( ) A. B. C. D. 2.我校举行春季运动会系列赛中，九年级(1)班.(2)班的竞技实力相当，关于比赛结果， 甲同学说：(1)班与(2)班的得分为6:5； 乙同学说：(1)班的得分比(2)班的得分的2倍少40分； 若设(1)班的得分为x分，(2)班的得分为y分，根据题意所列方程组应为( ) A. B. C. D. 3.《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺.木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余 4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺.设木长为x尺，绳子长为y尺，则下列符合题意的方程组是( ) A. B. C. D. 4.我国元朝数学家朱世杰的数学著作《四元玉鉴》中有一个“二果问价”问题，原题如下：“九百九十九文钱，甜果.苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个？”其大意为：用999文钱，可以买甜果和苦果共1000个，买9个甜果需要11文钱，买7个苦果需要4文钱，问买甜果和苦果的数量各多少个？设买甜果.苦果的数量分别为x个.y个，则可列方程组为( ) A. B. C. D. 5.《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等.交易其一，金轻十三两.问金.银一枚各重几何？”.意思是：甲袋中装有黄金9枚(每枚黄金重量相同)，乙袋中装有白银11枚(每枚白银重量相同)，称重两袋相等.两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两(袋子重量忽略不计).问黄金.白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得( ) A. B. C. D. 6.已知长江比黄河长836千米，黄河长度的6倍比长江长度的5倍多1284千米.设长江.黄河的长分别是x千米，y千米，则下列方程组中正确的是 ( ) A. B. C. D.
1.1 同位角 内错角 同旁内角 〖教学目标〗 ◆1、了解同位角、内错角、同旁内角的意义。 ◆2、会在简单的图形中辨认同位角、内错角、同旁内角。 ◆3、会在给定某个条件下进行有关同位角、内错角、同旁内角的判定和计算。 〖教学重点与难点〗 ◆教学重点：同位角、内错角、同旁内角的概念。 ◆教学难点：各对关系角的辨认，复杂图形的辨认是本节教学的难点。 〖教学过程〗 一. 引入：中国最早的风筝据说是由古代哲学家墨翟制作的，风筝的骨架构成了多种关系的 角。 a1 a2 a387 6 5 4 32 1 这就是我们这节课要讨论的问题：两条直线和第三条直线相交的关系。 二．让我们接受新的挑战： ------讨论：两条直线和第三条直线相交的关系 如图：两条直线a1 , a2和第三条直线a3相交。 （或者说：直线a1 , a2 被直线a3 所截。）） a1 a2 a387 6 54 32 1 其中直线a1 与直线a3 相交构成四个角，直线a2 与直线a3 相交构成四个角。所以这个问题我们经常就叫它“三线八角”问题。 三.让我们来了解 “三线八角”： 如图：直线a1 , a2 被直线a3 所截，构成了八个角。 a1 a2 a3 8 76 54 321 a1a2 87 6 5 4 321
1. 观察∠ 1与∠5的位置：它们都在第三条直线a3 的同旁，并且分别位于直线a1 , a2 的相同一侧，这样的一对角叫做“同位角”。 类似位置关系的角在图中还有吗？如果有，请找出来？ 答： 有。 ∠2与∠6；∠4与∠8；∠3与∠7 2. 观察∠ 3与∠5的位置：它们都在第三条直线a3 的异侧，并且都位于两条直线a1 , a2 之间，这样的一对角叫做“内错角”。 类似位置关系的角在图中还有吗？如果有，请找出来？ 答： 有。 ∠2与∠8 3. 观察∠ 2与∠5的位置：它们都在第三条直线a3 的同旁，并且都位于两条直线a1 , a2 之间，这样的一对角叫做“同旁内角”。 答： 有。 ∠3与∠8 四. 知识整理（反思）： 问题1. 确定前提（三线）（八角）2：在下面同位角、内错角、同旁内角中任选一对，请你看看这对角的四条边与“前提”中的“三线”有什么关系？ 结论：两个角的在同一直线上的边所在直线就是前提中的第三线。 五.试试你的身手： 例1：如图：请指出图中的同旁内角。（提示：请仔细读题、认真看图。） 答： ∠1与∠5； ∠4与∠6；∠1与∠A ；∠5与∠A 合作学习：请找出以上各对关系角成立时的其余各对关系角。 1. 其中：∠1与∠5 ；∠4与∠6是直线和直线被直线所截得到的同旁内角。此时三线构成了个角。此时，同位角有：，内错角有：。 2.其中：∠1与∠A 是直线和直线被直线所截得到的同旁内角。此时三线构成了个角。此时，同位角有：，内错角有：。 3.其中：∠5与∠A 是直线和直线被直线所截得到的同旁内角。此时三线构成了个角。此时，同位角有：，内错角有：。 六.让我们自己来试一试：（练习）
关于变量之间关系试题选 1、小明某天上午9时骑自行车离开家，15时回家，他有意描绘离家的距离与时间的变化情况（如图所示）. (1）图象表示了哪两个变量的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2) 10时和13时，他分别离家多远？ (3）他到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？ (4) 11时到12时他行驶了多少千米？ (5）他由离家最远的地方返回的平均速度是多少？ 2、如图，下图是汽车行驶速度（千米／时）和时间（分） 的关系图，下列说法其中正确的个数为（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 （1）汽车行驶时间为40分钟； （2）AB 表示汽车匀速行驶； （3）在第30分钟时，汽车的速度是90千米／时； （4）第40分钟时，汽车停下来了 3、某人账户存款a 元，每月支出b 元，收入c 元（b < c)是下列图中的 4、如图，L 甲、L 乙分别表示甲、乙两名运动员在自行车 比赛 中所走路程与时间的关系，则它们的平均速度的关系是 A ．甲比乙快 B ．乙比甲快 C ．甲、乙同速 D ．不一定 5、“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓缓爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉。当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还时先到达了终点……。用S 1、S 2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t 为时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（ ） 6、. (12分)某房地产开发公司计划建A 、B 两种户型的住房80套,该公司所筹资金不少于2090,两种户型的建房的成本和售价如下表： A 型 B 型 成本(万元/套) 25 28 售价(万元/套) 30 34 (1)该公司对两种户型的住房有哪几种建房方案？ (2)该公司选用哪种建房方案获得利润最大？最大利润是多少？ (3)根据市场调查,每套B 型住房的售价不会改变,而每套A 型住房的售价将会提高m 万元(m ＞0),且所建的两种住房可完全售出,该公司又将选用哪种建房方案获得利润最大？ 7、．下表是我国的几个省（自治区）的年降水量以及纬度位置。
第二章 有理数的运算单元测试题 班级 ______________ 姓名 学号 一、选择题 1、下列叙述正确的是( ) (A)有理数中有最大的数. (B)零是整数中最小的数. (C)有理数中有绝对值最小的数. (D)若一个数的平方与立方结果相等，则这个数是0. 2、 下列近似数中，含有3个有效数字的是( ) (A)5 430. (B)5.430×10 6 (C)0.543 0. (D)5.43万. 3、已知两数相乘大与0,两数相加小于0,则这两数的符号为( ) (A) 同正. (B)同负. (C)一正一负. (D)无法确定. 4、若－2减去一个有理数的差是－5，则－2乘这个有理数的积是( ) (A)10. (B)－10. (C)6. (D)－6. 5、算式( 61－21－3 1)×24的值为( ) (A)－16. (B)16. (C)24. (D)－24. 6、已知不为零的a,b 两数互为相反数，则下列各数不是互为相反数的是( ) (A)5 a 与5 b . (B)a 3与b 3. (C) a 1与b 1 . (D)a 2与b 2. 7、按下面的按键顺序在某型号计算器上按键: 显示结果为( ) (A)56.25. (B)5.625. (C)0.562 5. (D)0.056 25. 8.某城市按以下规定收取每月煤气费，用煤气不超过60立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过60立方米， 超过部分按每立方米1.2元收费.已知甲用户某月份用煤气80每立方米，那么这个月甲用户应交煤气费 ( ) A.64元 B.66元 C.72元 D.96元 9. 3是3 31的近似值，其中33 1 叫做真值，若某数由四舍五入得到的近似数是27，则下列各数中不可能是27的真值的是 ( ) A.26.48 B.26.53 C.26.99 D.27.02 10.小华和小丽最近测了自己的身高，小华量得自己约1.6m ，小丽测得自己的身高约为1.60m ，下列关于她俩身高的说法正确的是 ( ) A.小华和小丽一样高 B.小华比小丽高 C.小华比小丽低 D.无法确定谁高 二、填空题 11. － 32的倒数是 ；－32的相反数是 ，－3 2 的绝对值是 ；
5.4 乘法公式（1）同步练习 【知识盘点】 1．用字母表示平方差公式为：___________． 2．计算： （1）（a+1）（a－1）=_________；（2）（－a+1）（－a－1）=________； （3）（－a+1）（a+1）=________；（4）（a+1）（－a－1）=_______． 3．下列计算对不对？若不对，请在横线上写出正确结果． （1）（x－3）（x+3）=x2－3（），__________； （2）（2x－3）（2x+3）=2x2－9（），_________； （3）（－x－3）（x－3）=x2－9（），_________； （4）（2xy－1）（2xy+1）=2xy2－1（），________． 4．（1）（3a－4b）（）=9a2－16b2；（2）（4+2x）（）=16－4x2；（3）（－7－x）（）=49－x2；（4）（－a－3b）（－3b+a）=_________．5．计算：50×49=_________． 【基础过关】 6．下列各式中，能用平方差公式计算的是（） （1）（a－2b）（－a+2b）；（2）（a－2b）（－a－2b）； （3）（a－2b）（a+2b）；（4）（a－2b）（2a+b）． A．（1）（2）B．（2）（3）C．（3）（4）D．（1）（4） 7．计算（－4x－5y）（5y－4x）的结果是（） A．16x2－25y2B．25y2－16x2C．－16x2－25y2D．16x2+25y2 8．下列计算错误的是（） A．（6a+1）（6a－1）=36a2－1 B．（－m－n）（m－n）=n2－m2 C．（a3－8）（－a3+8）=a9－64 D．（－a2+1）（－a2－1）=a4－1 9．下列计算正确的是（）
1.1从自然数到分数 一、教学内容 义务教育课程标准实验教科书《数学》（浙江版）七年级上册 二、教学目标 1、知识目标：使学生了解自然数的意义和用处；了解分数（小数）的意 义和形式；了解分数产生的必然性和合理性； 2、能力目标：通过自然数和分数的运算，解决一些简单实际问题。 3、情感目标：初步体验数的发展过程，体验数学来源于实践，又服务于 实践，增强学生用数学的意识。 三、教学重点 使学生了解自然数和分数的意义和应用。 四、教学难点 合作学习中的第2题的第⑵小题。 五、教学准备 多媒体课件 六、教学过程 ㈠创设情境 出示材料：（多媒体显示） 请阅读下面这段报道： 2004年8月13日到8月29日，第28届奥运会在雅典召开，我国体育代表团以32枚金牌，17枚银牌，14枚铜牌，获得奖牌榜的第二名，为国家争得 了荣誉。我国金牌数约占总金牌数的 1 10 。跨栏运动员刘翔在男子100米栏决 赛中以12秒91的成绩获得冠军，并打破奥运会纪录，平了世界纪录，刘翔是我国运动员在世界大赛中短距离竞赛项目获得冠军的第一人。 提问：你在这篇报道中看到了哪些数？请你把它们写下来，并指出它们分别属于哪一类数？如果将12秒91写成12.91秒，12.91又属于什么数？（由雅典奥运会有关报道引入，既合时事形势，又具有爱国主义教育，并使学生体验到生活中处处有数学） 提出课题：今天我们复习自然数、分数和小数及它们的应用 [板书课题]第1节从自然数到分数 ㈡提问复习 问题1：先请同学们回忆小学里学过的自然数，哪一些数属于自然数？你了解自然数最初是怎样出现的吗？ 注意：自然数从0开始。 问题2：你知道自然数有哪些作用？ （让学生思考、讨论后来回答，教师提示补充） 自然数的作用： ①计数如：32枚金牌，是自然数最初的作用； ②测量如：小明身高是168厘米； ③标号和排序如：2004年，金牌榜第二。 注意：基数和序数的区别。
浙教版七年级数学下册第二章二元一次方程组测试题 姓名：__________ 班级：__________考号：__________ 一、单选题（共12题；共24分） 1.篮球比赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得3分，负一场扣1分。某队在8场比赛中得到12分，若设该该队胜的场数为x，负的场数为y，则可列方程组为（） A. B. C. D. 2.我们规定：表示不超过的最大整数，例如：，，，则关于和 的二元一次方程组的解为（） A. B. C. D. 3.10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍，10年后，小明妈妈的年龄是小明的2倍，小明和他妈妈现在的年龄分别是多少岁？若设小明和他妈妈现在分别是x岁和y岁，根据题意可列方程组为（） A. B. C. D. 4.甲、乙两地相距360千米，一轮船往返于甲、乙两地之间，顺流用18小时，逆流用24小时，若设船在静水中的速度为x千米/时，水流速度为y千米/时，则下列方程组中正确的是( ) A. B. C. D. 5.下面是二元一次方程2x﹣y＝1的解的是（） A. B. C. D. 6.方程5x＋2y＝－9与下列方程构成的方程组的解为的是( ) A. x＋2y＝1 B. 3x＋2y＝－8 C. 5x＋4y＝－3 D. 3x－4y＝－8 7.某班共有学生49人，一天，该班某男生因事请假，当天的男生人数恰为女生人数的一半，若该班男生人数为x，女生人数为y，则所列方程组正确的是( ) A. B. C. D. 8.下列方程组中，是二元一次方程组的是( ) A. B. C. D.
9.如图，由七个完全一样的小长方形组成的大长方形ABCD，CD=7，长方形ABCD的周长为( ) A. 32 B. 33 C. 34 D. 35 10.下列各式是二元一次方程的是（） A. B. C. D. 11.我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容如下：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个，又问各该几个钱？若设买甜果x个，买苦果y个，则下列关于x，y的二元一次方程组中符合题意的是（） A. B. C. D. 12.《九章算术》中的方程问题：“五只雀、六只燕，共重斤（古代斤= 两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？”设每只雀、燕的重量各为两、两，下列方程组正确的为（） A. B. C. D. 二、填空题（共10题；共22分） 13.A、B、C三地在16同题一直线上，甲、乙两车分别从A，B两地相向匀速行驶，甲车先出发2小时，甲车到达B地后立即调头，并将速度提高10%后与乙车同向行驶，乙车到达A地后，继续保持原速向远离B 的方向行驶经过一段时间后两车同时到达C地，设两车之间的距离为y(千米)，甲行驶的时间x(小时)y与x 的关系如图所示，则B、C两地相距________千米。 14.已知关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，则k的值为________。 15.中国古代的数学专著《九章算术》有方程组问题“五只雀，六只燕，共重1斤(等于16两)，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．”设每只雀、燕的重量各为x两，y两，则根据题意，可得方程组为________． 16.若关于和的二元一次方程组，满足，那么的取值范围是________． 17.若关于x、y的二元一次方程组的解满足x+y＞0，则m 的取值范是________． 18.若a+b=3，a- b=7 ，则ab =________．
6.5频数直方图 一、选择题 1.小明对九（1）班全班同学“你最喜欢的球类项目是什么?（只选一项）”的问题进行了调 查，把所得数据绘制成如图所示的扇形统计图．由图可知，该班同学最喜欢的球类项目是() A.羽毛球 B.乒乓球 C.排球 D.篮球 2.某校九（1）班的全体同学最喜欢的球类运动用图所示的统计图来表示，下面说法正确的 是()． A.从图中可以直接看出喜欢各种球类的具体人数； B.从图中可以直接看出全班的总人数； C.从图中可以直接看出全班同学初中三年来喜欢各种球类的变化情况； D.从图中可以直接看出全班同学现在最喜欢各种球类的人数的大小关系． 3.某校学生参加体育兴趣小组情况的统计图如图所示．若参加人数最少的小组有25人，则 参加人数最多的小组有() A.25人 B.35人 C.40人 D.100人 4.如图是某班45名同学爱心捐款额的频数分布直方图（每组含前一个边界值，不含后一 个边界值），则捐款人数最多的一组是() A.5～10元 B.10～15元 C.15～20元 D.20～25元 5.“义乌·中国小商品城指数”简称“义乌指数”．下图是2007年3月19日至 2007年4月23日的”义乌指数”走势图，下面关于该指数图的说法正确的 是() A.4月2日的指数位图中的最高指数 B.4月23日的指数位图中的最低指数 C.3月19至4月23日指数节节攀升 D.4月9日的指数比3月26日的指数高 6.小红同学将自己5月份的各项消费情况制作成扇形统计图（如图），从图中可看出() A.各项消费金额占消费总金额的百分比 B.各项消费的金额 C.消费的总金额 D.各项消费金额的增减变化情况