新北师大版八年级下第一章三角形的证明学案
§等腰三角形（1）
1-列举我们已知道的公理：
（1） ___________________________________________ 公理：同位角 ,两直线平行。
（2） ___________________________________ 公理：两直线 _______ ,同位角 o
（3） ___________________________________ 公理： __________________________ 的两个三角形全等。（简称 ,字母表示—
（4） _________________________________________________ 公理: _______ 的两个三角形全等。（简称 ，字母表示
（5） _________________________________________________ 公理： ______ 的两个三角形全等。（简称 ,字母表示.
（6） ___________________________________________________ 公理：全等三角形的对应边 ,对应角 -
2. __________________________________________________________ 什么叫做等腰三角形 三角形全等的判定
判定一般的三角形全等还有一种方法是什么
推论: _________________________________________________ （简写为
AAS ）
等腰三角形的性质定理
等腰三角形性质：等腰三角形的两个 ___________ 相等（简称：等 ________ 对等 ____ ）
探索二：已知：如图，在△ABC 中，AB=AC,求证：ZB=ZC
探索一：已知：在AABC 和ADEF 中, 求证：△ABC9ADEF
证明：
ZA=ZD, ZB 二ZE, AC=DF
探索三：在上图中，若取BC的中点D,并连接AD,那么线段AD是BC边上的中线外还具有怎
样的性质为什么山此你能得到什么结论
A 推论：_______________________________________________________________
简述为 ___________
归纳：
1、在等腰AABC中，若AD是ZA的平分线，则__________________________________
2、在等腰ZXABC中，若AD是BC边上的高，则_________________________________
3、在等腰AABC中，若AD是BC边上的中线，则_________________________________
知识反馈：如图，A ABC中，AB=AC, ZABC和ZACB的角平分线BD、CE相交于点0,求证:
Z0BC=Z0CB
§等腰三角形（2）
等腰三角形两底角的平分线 _________________
②等腰三角形的判定定理
有两个角相等的三角形是 _____________ 三角形
探索一：等腰三角形两底角的平分线相等吗
1.已知：如图，在AABC 中，AB=AC, BD, CE 是ZiABC 的角平分线 求证:BD=CEo
2、求证：等腰三角形两条腰上的中线相等吗
:我们知道等腰三角形的两个底角相等，反过来此命题成立吗山此得到什么结论
等腰三角形判定定理：有两个 ______ 相等的三角形是等腰三角形（简称：等 _________ 对 ） 在AABC 中，ZB=ZC,证明:AB=AC, A
四.知识反馈
1、已知：如图，ZCAE 是AABC 的外角，AD §等腰三角形（3）
等边三角形的判定定理
有一个角等于 ________ 的等腰三角形是等边三角形
②30。角所对的直角边与斜边关系定理
在直角三角形中，如果一个锐角是30°,那么它所对的直角边等于 _______________________ 探索一：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
￡>
证
等已 B
C
探索二：含30。角的直角三角形的性质
如图，在AABC 中，ZACB = 90° , ZA=30° , 求证：BC 二 1/2AB
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30；那么
__________________________________________________________________________________ 知识反馈
1、证明：三个角都相等的三角形是等边三角形
2、直角三角形的一个角等于30：斜边长为4,用四个这样的直角三角形拼成如图所示，求正 方形EFGH 的边长. *
3 ?如图所示，A ABC 中，ZACB 二 90。, CD 丄 AB,垂足是 D, ZA 二 60° ?求证：BD 二 3AD
C
§直角三角形（1）
1、 勾股定理的内容是： _________________
—
它的条件是： ___________________________________
结论是： _____________________________________
2、 每个命题都是由 ____________ , _________ 两部分组成。命题“对顶角相等”的条件
是 _________________ ，结论是 ____________________
3勾股定理的逆定理
如果三角形两边的平方和等于 ________________ ,那么这个三角形是直角三角形。
I 冬 I "7
②互逆命题
在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的___________ 和 ______ ,那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题
③互逆定理
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。
证明定理：如果三角形两边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形。已知：(如图)在△ ABC 中,AB'+AC2二BC1
求证：A ABC是直角三角形。
证明：
知识运用：1.如图，BA丄DA于A, AD二12, DC二9,
D
2：说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假。
(1).全等三角形面积相等
(2)、等边对等角;
(3)、平行四边形的两组对边相等;
3、命题：等腰三角形两腰上的高相等的逆命题是___________________________________
4、若一个直角三角形两直角边之比为3： 4,斜边长20cm,则两直角边为—-_
5、已知直角三角形两直角边长分别为6和8,则斜边长为_______________ ,斜边上的高为_= _
6、在AABC 中，已知AB二13cm, BC二10cm, BC 边上的中线AD二12cm 求证：AB二AC
§直角三角形(2)
在一般三角形中，我们已学过了哪些证明三角形全等的方法： _____________________________
那么在直角三角形中还多了一种方法是：_________________
①斜边,直角边(HL)定理
斜边和一条直角边______________ 的两个直角三角形全等
把这条定理写成推理格式如下：
知识反馈：1如图：已知ZACB 二ZBDA 二90° ?要使△ ACB^ABDA,还需要什么条件把他们分 别写出来，并说明理山。
2：在RtAABC 中，ZC 二90° ,且DE 丄AB, CD 二ED,求证：AD 是ZBAC 的角平分线
(2) 、斜边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等;
(3) 、两直角边对应相等的两个直角三角形全等；
5、如图，ZB =ZE 二 90° , AC 二 DF, BF 二 EC 。求证：BA 二 ED
§线段的垂直平分线(1)
1、 什么是线段的垂直平分线 __________________________________________
2、 线段垂直平分线的性质定理
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离 _____________
②线段垂直平分线的判定定理
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的 ____________________
探索一：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 已知：直线MN 丄
AB,垂足是C,且AC 二BC,点P 上MN 上的任意一点。 求证：
PA=PB
3：如图，AD 是ZBAC 的角平分线，DE 丄AB, DF 丄AC,
求证：EB 二FC AB 二 AC,
4、判断下列命题的真假，并说明理山
(1)、两个锐角对应相等的两个直角三角形全等
;
D
三角形的证明单元检测卷 1．（4分）（2013?钦州）等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是 （） A．80°B．80°或20°C．80°或50°D．20° 2．（4分）下列命题的逆命题是真命题的是（） A．如果a＞0，b＞0，则a+b＞0 B．直角都相等C．两直线平行，同位角相等D．若a=6，则|a|=|b| 3．△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，最小边BC=4 cm，最长边AB的长是 A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm 4．（4分）如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加 下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（） A．∠A=∠C B．AD=CB C．B E=DF D．A D∥BC 5．（4分）如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平 分线交AB于E，垂足为D．若ED=5，则CE的长为 （） A．10 B ． 8 C．5D．2.5 6.如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB， BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E， ∠A=∠ABE．若AC=5，BC=3，则BD的长为 （） A．2.5 B．1.5 C．2D．1 7．（4分）如图，AB=AC，BE⊥AC于点E，CF⊥AB 于点F，BE、CF相交于点D，则①△ABE≌△ACF； ②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上．以 上结论正确的是（）A．①B．②C．①②D．①②③8．（4分）如图所示，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点， ∠BAE=∠DEC=60°，AB=3，CE=4，则AD等于（） A．10 B．12 C．24 D．48 9．如图所示，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内两点，AD平分 ∠BAC．∠EBC=∠E=60°，若BE=6，DE=2，则BC的长度是（）A． 6 B．8 C．9 D．10 10．（4分）（2013?遂宁）如图，在△ABC中，∠C=90°， ∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于 点M和N，再分别以M、N 为圆心，大于MN的长为半径画 弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说 法中正确的个数是（） ①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的 中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3． A．1B．2C．3D．4 12．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0， 2），B（0，6），动点C在直线y=x上．若以A、B、C三 点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是 （） A．2B．3C．4D．5 13．（4分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D，E分别在AC，BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE，DF，EF．在此运动变化的过程中，下列结论： ①△DFE是等腰直角三角形； ②四边形CDFE不可能为正方形， ③DE长度的最小值为4；
第五章三角形单元复习题 一、选择题 1．一个钝角三角形的三条角平分线所在的直线一定交于一点，这交点一定在 ( ) A．三角形内部B．三角形的一边上 C．三角形外部D．三角形的某个顶点上 2．下列长度的各组线段中，能组成三角形的是 ( ) A．4、5、6 B．6、8、15 C．5、7、12 D．3、9、13 3．在锐角三角形中，最大角α的取值范围是 ( ) A．0°＜α＜90°B．60°＜α＜90° C．60°＜α＜180°D．60°≤α＜90° 4．下列判断正确的是 ( ) A．有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 B．有两边对应相等，且有一角为30°的两个等腰三角形全等 C．有一角和一条边对应相等的两个直角三角形全等 D．有两角和一边对应相等的两个三角形全等 5．等腰三角形的周长为24cm，腰长为xcm，则x的取值范围是( ) A．x＜6 B．6＜x＜12 C．0＜x＜12 D．x＞12 6．已知△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C满足关系式∠B＋∠C＝3∠A．则此三角形 ( ) A．一定有一个内角为45° B．一定有一个内角为60° C．一定是直角三角形 D．一定是钝角三角形 7．三角形内有一点，它到三边的距离相等，则这点是该三角形的 ( ) A．三条中线交点B．三条角平分线交点 C．三条高线交点D．三条高线所在直线交点 8．已知等腰三角形的一个角为75°，则其顶角为 ( ) A．30°B．75°
C．105°D．30°或75° 9．如图5—124，直线l、l'、l''表示三条相互交叉的公路，现计划建 一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有 ( ) A．一处B．二处 C．三处D．四处 10．三条线段长度分别为3、4、6，则以此三条线段为边所构成的三角 形按角分类是 ( ) A．锐角三角形B．直角三角形 C．钝角三角形D．根本无法确定 二、填空题 1．如果△ABC中，两边a＝7cm，b＝3cm，则c的取值范围是_________；第三边为奇数的所有可能值为_________；周长为偶数的所有可能值为_________． 2．四条线段的长分别是5cm，6cm，8cm，13cm，以其中任意三条线段为边可以构成______个三角形． 3．过△ABC的顶点C作边AB的垂线将∠ACB分为20°和40°的两个角，那么∠A，∠B 中较大的角的度数是____________． 4．在Rt△ABC中，锐角∠A的平分线与锐角∠B的平分线相交于点D，则∠ADB＝______．5．如图5—125，∠A＝∠D，AC＝DF，那么需要补充一个直接条件________(写出一个即可)，才能使△ABC≌△DEF． 6．三角形的一边上有一点，它到三个顶点的距离相等，则这个三角形是_______三角形．7．△ABC中，AB＝5，BC＝3，则中线BD的取值范围是_________． 8．如图5—126，△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，CM平分AB，CE平分∠DCM，则∠ACE 的度数是______．
三角形的证明 【知识点一：全等三角形的判定与性质】 1．判定和性质 一般三角形 直角三角形 判定 边角边（SAS ）、角边角（ASA ） 角角边（AAS ）、边边边（SSS ） 具备一般三角形的判定方法 斜边和一条直角边对应相等（HL ） 性质 对应边相等，对应角相等 对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等 2．证题的思路： ? ? ? ?? ??? ???? ? ???????? ?????????????? ??）找任意一边（）找两角的夹边（已知两角）找夹已知边的另一角（） 找已知边的对角（）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（） 找直角（）找夹角（已知两边AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS 【典型例题】 1．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC =∠BOC 的依据是（ ） A ．SSS B ．ASA C ．AAS D ．角平分线上的点到角两边距离相等 2．下列说法中，正确的是（ ） A ．两腰对应相等的两个等腰三角形全等 B ．两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 C ．两锐角对应相等的两个直角三角形全等 D ．面积相等的两个三角形全等 3．如图，△ABC ≌ΔAD E ，若∠B ＝80°，∠C ＝30°，∠DAC ＝35°， 则∠EAC 的度数为（ ） A ．40° B ．35° C ．30° D ．25° 4．已知：如图，在△MPN 中，H 是高MQ 和NR 的交点，且MQ ＝NQ ．求证：HN ＝PM .
5．用三角板可按下面方法画角平分线：在已知∠AOB的两边上，分别取OM＝ON（如图5－7），再分别过点M、N 作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB，请你说出其中的道理． 图5－7 【巩固练习】 1．下列说法正确的是（） A．一直角边对应相等的两个直角三角形全等B．斜边相等的两个直角三角形全等 C．斜边相等的两个等腰直角三角形全等D．一边长相等的两等腰直角三角形全等 2．如图，在△ABC中，D、E分别是边AC、BC上的点，若△ADB≌ △EDB≌△EDC，则∠C的度数为（） A．15°B．20°C．25°D．30° 3．如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的图形是（） A．甲和乙B．乙和丙C．只有乙D．只有丙 4．如图4－9，已知ΔABC≌ΔA'B'C'，AD、A'D'分别是ΔABC和ΔA'B'C'的角平分线． （1）请证明AD＝A'D'； （2）把上述结论用文字叙述出来； （3）你还能得出其他类似的结论吗? 图4－9
北师大版七年级数学下册《三角形》知识点 汇总 一、三角形及其有关概念 三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。 三角形的表示：三角形用符号“Δ”表示，顶点是A、B、c的三角形记作“ΔABc”，读作“三角形ABc”。 三角形的三边关系： 三角形任意两边之和大于第三边。 三角形任意两边之差小于第三边。 作用：判断三条已知线段能否组成三角形当已知两边时，可确定第三边的范围。证明线段不等关系。 一般地，对于三角形的某一条边a来说，一定有|b-c|＜a＜b+c成立；反之，只有|b-c|＜a＜b+c成立，a、b、c 三条线段才能构成三角形；特殊地，如果已知线段a最大，只要满足b+c＞a，那么a、b、c三条线段就能构成三角形；如果已知线段a最小，只要满足|b-c|＜a，那么这三条线段就能构成三角形。 三角形的内角的关系：
三角形三个内角和等于180°直角三角形的两个锐角互余。 三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。四边形具有不稳定性。 三角形的分类： 三角形按边分类： 不等边三角形 三角形底和腰不相等的等腰三角形 等腰三角形 等边三角形，也叫正三角形。 三角形按角分类： 直角三角形 三角形锐角三角形 斜三角形 钝角三角形 把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。 三角形的三种重要线段： 三角形的中线： 定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。 性质：三角形的三条中线交于一点，交点在三角形的内
第1题 第2题 第3题 启用前绝密 2017—2018学年度第二学期阶段性测试题 八年级下册数学（第一章） 出题人：分数： 注意事项 1. 本试卷满分150分，考试时间120分钟。 2. 请将密封线内的项目填写清楚。 一、选择题（每小题3分，共36分） 1、如图，在△ABC 和△DEF 中，已知AC=DF ，BC=EF ，要使△ABC ≌△ DEF ，还需要的条件是（ ） A.∠A=∠D B.∠ACB=∠F C.∠B=∠DEF D.∠ACB=∠D 2、如图，△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 边上，且BD=BC=AD ，则∠A 的度数为（ ） A.30° B.36° C.45° D.70° 3、如图，△ABC ≌△AEF ，AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，则对于结论 ①AC ＝AF ；②∠FAB ＝∠EAB ；③EF ＝BC ；④∠EAB ＝∠FAC ，其中正确结论的个数是（） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4、已知等腰三角形的两边长分别为5㎝、2㎝，则该等腰三角形 的周长是（ ） A ．7㎝ B ．9㎝ C ．12㎝或者9㎝ D ．12㎝ 5、一个等腰三角形的顶角是40°，则它的底角是（） A ．40° B ．50° C ．60° D ．70° 6、到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形（ ）的交点. A.三个内角平分线 B.三边垂直平分线 C.三条中线 D.三条高
第6题图 7、△ABC 中，AB = AC ，BD 平分∠ABC 交AC 边于点D ，∠BDC = 75°，则∠A 的度数为（ ） A 35° B 40° C 70° D 110° 8、如图，已知在△ABC 中，AB=AC ，D 为BC 上的一点BE=CD ，CF=BD ，那么∠EDF 等于（ ） A. 90°－∠Ａ B.90°－2 1 ∠Ａ C.45°－2 1∠Ａ D.180°－∠Ａ 9、如图，等边△ABC 中，BD=CE ，AD 与BE 相交于点P ，则∠APE 的度数是（ ） A 45° B 55° C 60° D 75° 10、如图，AB=CD ，AE ⊥BD 于E ，CF ⊥BD 于F ，AE=CF ，则下列结论错 误的是（） A. BC=AD 且BC ∥AD B. AB ∥CD C.AB=DE D. △ABD≌△CDB 11、如图，AB ∥CD ，AD ⊥CD 于D ，AE ⊥BC 于E ，∠DAC=35°，AD=AE ， 则∠B=（） A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 12、如图，等边△ABC 中，BD=CE ，AD 与BE 度数是（ ） A 45° B 55° C 60° D 75° 二、填空题。（每小题3分，共24分） 13、在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，延长BC 到D ，使CD ＝AC ，
等腰三角形（基础）知识讲解 【学习目标】 1. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念, 掌握等腰三角形的轴对称性； 2. 掌握等腰三角形、等边三角形的性质，会利用这些性质进行简单的推理、证明、计算和作图． 3. 理解并掌握等腰三角形、等边三角形的判定方法及其证明过程. 通过定理的证明和应用，初步了解转化思想，并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力. 4. 理解反证法并能用反证法推理证明简单几何题. 【要点梳理】 要点一、等腰三角形的定义 1.等腰三角形 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 2.等腰三角形的作法 已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a. 作法：1.作线段BC=a； 2.分别以B,C为圆心，以b为半径画弧，两弧 相交于点A; 3.连接AB,AC. △ABC为所求作的等腰三角形 3.等腰三角形的对称性 (1)等腰三角形是轴对称图形； (2)∠B＝∠C； (3)BD＝CD，AD为底边上的中线. (4)∠ADB＝∠ADC＝90°，AD为底边上的高线. 结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(底边上的高线或中线)所在的直线是它的对称轴. 4.等边三角形 三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴. 要点诠释：（1）等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为 钝角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝180 2 A ?-∠ . （2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形. 要点二、等腰三角形的性质 1.等腰三角形的性质
综合滚动练习：特殊的三角形 时间：45分钟分数：100分得分：________ 一、选择题(每小题4分，共32分) 1．已知一个等腰三角形底角的度数为80°，则这个等腰三角形顶角的度数为() A．20°B．70°C．80°D．100° 2．已知等腰三角形的一边长为6，一个内角为60°，则它的周长是() A．12 B．15 C．18 D．20 3．如图，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是() A．AC＝A′C′，BC＝B′C′ B．∠A＝∠A′，AB＝A′B′ C．AC＝A′C′，AB＝A′B′ D．∠B＝∠B′，BC＝B′C′ 第3题图第4题图4．如图，△ABC是等边三角形，P为BC上一点，在AC上取一点D，使AD＝AP，且∠APD＝70°，则∠P AB的度数是() A．10°B．15°C．20°D．25° 5．如图，AD⊥BC，D是BC的中点，那么下列结论错误的是() A．△ABD≌△ACD B．∠B＝∠C C．△ABC是等腰三角形 D．△ABC是等边三角形 第5题图第6题图 6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE 的平分线相交于点D，则∠D的度数为() A．15°B．17.5°C．20°D．22.5° 7．(2017·滨州中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且DA＝DC，BD ＝BA，则∠B的大小为【方法1②】() A．40°B．36°C．30°D．25°
第7题图第8题图 8．★如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝2.若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有() A．1个 B．2个 C．3个 D．3个以上 二、填空题(每小题4分，共24分) 9．如图，已知∠B＝∠C，从①BE＝CE，②AB＝DC，③∠BAE＝∠CDE这三个等式中选出一个作为条件，可以推出△AED是等腰三角形的有________(填序号)． 第9题图第11题图 10．若△ABC的三边a，b，c满足条件：a－3＋b－4＋c－5＝0，则△ABC是________三角形． 11．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，则∠DAC＋∠C＝________°. 12．如图，在三角形纸片ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°.折叠该纸片，使点C落在点E 处，折痕为AD.若CD＝3cm，则BD的长为________cm. 第12题图第13题图 13．如图，已知∠AOB＝60°，点P在OA上，OP＝8，点M、N在边OB上，PM＝PN.若MN＝2，则OM＝________． 14．(2017·淄博中考)如图，在边长为4的等边三角形ABC中，D为BC边上的任意一点，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，则DE＋DF＝________． 三、解答题(共44分)
北师大版小学四年级下册 《三角形的分类》教学设计 一、学情分析： 本班学生在学习此内容之前，已经学习了三角形的认识，能够在物体的面中找出三角形，学习了角的知识，认识了常见的角，为学生学习三角形的特征从角和边的不同角度对三角形进行分类做好了有力的知识支撑。 二、教学目标： （1）、让学生在给三角形分类的探索活动中发现和认识锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。 （2）、让学生在实际操作中加深对三角形的认识，体会探索图形特征的一些方法，发展空间观念。 （3）、激发学生的主动参与意识、自主探索意识和创新意识。 三、教学重难点： 1、通过思考、自主探索、合作交流，分别从三角形的角和边两个方面特征，对三角形准确地进行分类。 2、能够掌握各种三角形的特征以及各类三角形之间内在联系。 四、教学过程
1、列出认识过的角和三角形的一些特点 （直角、锐角、钝角、周角、平角） （三个角、三条边） 2、谈话导入，感受分类 3、揭示课题：三角形的分类 4、根据三角形的特点和所认识的角探究三角形按角分和按边分类情况 (1)小组合作学习，初步探究分类情况。 (2)全班交流，抓住三角形的特点深化学习分类。 5、认识三类三角形的关系 （1）、明确指出三类三角形的特点 (2)、锐角三角形里有几个锐角（3个）直角三角形有几个锐角（2个）钝角三角形有几个锐角（2个） 提问：所以一个三角形至少有几个锐角最多有几个锐角 6、认识三角形边的关系 （1）、介绍不等边三角形的基本特点 （2）、结合图形，向学生介绍等腰三角形的各部分的名称，分别指出等腰三角形各部分名称：腰、底、顶角、底角。 （3）、让同学们任意画一个等腰三角形，量一量各个角，通过测量，发现什么（等腰三角形的两个底角相等。） （4）结合图形，向学生说明等边三角形，也叫正三角形。并且三个内角都相等，都是60度。
北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明一．选择题（共12小题） 1．（2014?遂宁）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC 长是（） 2．（2014?台湾）如图，锐角三角形ABC中，直线L为BC的中垂线，直线M为∠ABC的角平分线，L与M相交于P点．若∠A=60°，∠ACP=24°，则∠ABP的度数为何？（） 3．（2014?安顺）已知等腰三角形的两边长分別为a、b，且a、b满足+（2a+3b﹣13）2=0，则此等腰三 4．（2014?宁波）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（） C D 5．（2014?甘井子区一模）如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，△ABD的周长为14cm，则△ABC 的周长为（）
6．（2014?本溪一模）如图，在△ABC，∠C=90°，∠B=15°，AB的中垂线DE交BC于D，E为垂足，若BD=10cm，则AC等于（） 7．（2013?西宁）如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．如果点M是OP的中点，则DM的长是（） C D 8．（2013?滨城区二模）如图，△ABC中，∠B=40°，AC的垂直平分线交AC于D，交BC于E，且∠EAB：∠CAE=3：1，则∠C等于（） 10．（2012?泰安）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为（） 11．（2011?成华区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，CD=4，BD平分∠ABC，交AC于点D，则点D到
1 八年级下第一章三角形的证明 【基础知识】 1、全等三角形 （1）定义： 能够完全 的三角形是全等三角形。 （2）性质：全等三角形的 、 相等。 （3）判定：“SAS ”、 、 、 、 。 三边 ：边边边（SSS ） 两边: 边角边（SAS ） 一边 边角边（ASA ） 角角边（AAS ） ※※注：SSA,AAA 不能作为判定三角形全等的方法，判定两个三角形全等时，必 须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角 ※※证题的思路： ? ? ? ?? ??? ???? ? ? ???????????????? ???????）找任意一边（）找两角的夹边（已知两角）找夹已知边的另一角（）找已知边的对角（ ）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（）找直角（） 找夹角（已知两边AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS 注意：公共边、公共角、对顶角、最长的边（或最大的角）、最短的边（或最小的 角） 2、等腰三角形 （1）定义：有两条 的三角形是等腰三角形。 （2）性质：①等腰三角形的 相等。（“等边对等角”） ②等腰三角形的顶角平分线、 、 互相重合。 （3）判定：①定义 ②“ ” 3、等边三角形 （1） 定义： 的三角形是等边三角形。 （2）性质：①三角都等于 ②具有等腰三角形的一切性质。 （3）判定：①定义 ②三个角都相等的三角形是等边三角形 ③有一个角 是等边三角形。 4、直角三角形 (1)定理：在直角三角形中，如果一个锐角是30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 (2)勾股定理及其逆定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 （3）“斜边、直角边”或“HL ” 直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 定理的作用：判定两个直角三角形全等
C B A 三角形 【学习课题】 5.1认识三角形（1） 合作探究： 1、三角形任意两边之差会怎样？ (1) 做一做：如右图，测量、计算、判断 AB-AC____BC, AC-BC____AB, AB-BC____AC 由上面得到结论：三角形任意_____________________________ 2、已知两边，求第三边的范围 （2）已知一个三角形有两条边长度分别是3cm、5cm，第三边长度可以为以下哪些数据？1cm, 2cm, 3cm, 4cm, 5cm, 6cm, 7cm, 8cm, 9cm,10cm. （3）下图是上题中的3cm的边保持不动，将5cm的边在旋转，请观察第三边（虚线）的变化范围，你认为要构成三角形，虚线长度最短接近_______cm，最长接近________cm。 图3 三、探究巩固 1、已知一个三角形有两条边长度分别是4cm、9cm，则第三边x的范围是________________. 2、下列三边长度一定能组成三角形的有（） （1）a+2，a+3，a+4（a > 0）；（2）比为2：3：5；（3）5；3、4；（4）3x，5x，2x+1。 四、当堂反馈 1、以下列各组线段为边，不能组成三角形的是（） （1）3cm，4cm，5cm（2）8cm，7cm，14cm（3）2cm，9cm，9cm（4）6cm，7cm，13cm。 2、三角形的两边长为2和5，则第三边长的取值范围是多少？若他的周长是偶数。则第三边长应为多少？
5.1.2认识三角形 （3）由拼合过程你能证明上面的结论吗？ 2、三角形内角和定理的应用 判断： （1）一个三角形的三个内角可以都小于60°； （ ） （2）一个三角形最多只能有一个内角是钝角或直角； （ ） 计算：在△ABC 中，（1）∠C=70°，∠A=50°，则∠B= 度； （3）∠B=100°，∠A=∠C ，则∠C= 度； （4）2∠A=∠B+∠C ，则∠A= 度。 二、猜一猜：（小组讨论） ★ 按三角形内角的大小把三角形分为三类 练习2： 1、一个三角形两个内角的度数分别如下，这个三角形是什么三角形？ （1）30°和60° （ ）三角形； （2）40°和70° （ ）三角形； （3）50°和30° （ ）三角形； （4）45°和45° （ ）三角形。 四、猜想结论： 请记忆：直角三角形ABC ，记作Rt △ABC 思考：直角三角形中的两个锐角有什么关系？ 结论： 练习3： 1、观察下列的直角三角形，分别写出符号表示直角边和斜边。 （图1） （图2）（1）图1中的直角三角形用符号写成 ，直角边是和 ， 斜边是 ； （2）图2中的直角三角形用符号写成 ，直角边是 和 ， B C D E F G
1.1 等腰三角形 1、将下面证明中每一步的理由写在括号内： 已知：如图，AB＝CD，AD＝CB．求证：∠A＝∠C． 证明：连接BD． 在△BAD和△DCB中， ∵AB＝CD( ) AD＝CB( ) BD＝DB( ) ∴△BAD≌△DCB( ) ∴∠A＝∠C( ) 2、已知：如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF． 求证：∠A=∠D． 3、如图，在△ABC中，∠BAC=108°，AB=AC,AD⊥BC,垂足为D，求∠BAD的度数。 4、如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，点E是AD上一点，连接BE,CE,请找出图中所有相等的角。 5、如图，在△ABC中，AB=BC,点D,E都在BC上，且AD=AE,证明BD=CE.
1、如图，在△ABC中，AB=AC,BD平分∠ABC,交AC于点D.若BD=BC,则∠A等于多少度？ 2、已知：如图，在△ABC中，AB=AC,D为BC中点，点E,F分别在AB和AC尚，并且AE=AF.求证：DE=DF 3、已知：如图，D，E分别是等边三角形ABC的两边AB,AC上的点，且AD=CE。求证：CD=BE 4、如图，在一个风筝ABCD中，AB=AD,BC=DC ⑴分别在AB,AD的中点E,F处拉两根彩线EC,FC.证明:这两根彩线的长度相等。 ⑵如果AE=1/3AB,AF=1/3AD,那麼彩线的长度相等吗?如果AE=1/4AB,AF=1/4AD呢?由此你能得到什麼结论?
1、已知：如图，∠CEA是△ABC的外角，AD平行BC，且∠1=∠2.求证：AB=AC. 2、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点E在CA的延长线上，EP垂直于BC，垂足为P，EP交AB于点F。求证：△AEF是等腰三角形。 3、如图，一艘船从A处出发，以18kn的速度向北航行，经过10h到处B处。分别从A，B望灯塔C，测得∠NAC＝42°，∠NBC＝84°．求从B处到灯塔C 的距离．
第一章新北师版《三角形证明》单元测试题 班级姓名 一、填空题（每小题3分） 1.直角三角形两直角边长分别为6和8，则斜边上的高为_________. 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，b=10，则c=_________.则a∶b∶c=_________. 11．如图，ED为△ABC的AC边的垂直平分线，且AB=5，△BCE的周长为8，则BC＝. (第11题图) (第12题图) 12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E，若DB＝10cm，则AC＝. 二、选择题（每小题3分） 13．以下各组数为三角形的三条边长，其中能作成直角三角形的是( ) A．2，3，4 B．4，5，6 C．1，2，3D．2，2，4 14．如图，△ABC与△BDE都是等边三角形，AB 三角形 1．认识三角形 1、它的三个顶点分别是 ，三条边分别 是 ，三个内角分别是 。 2、分别量出这三角形三边的长度，并计算任意两边 之和以及任意两边之差。你发现了什么？ 结论：三角形任意两边之和大于第三边 三角形任意两边之差小于第三边 例：有两根长度分别为5cm 和8cm 的木棒，用长度为2cm 的木棒与它们能摆成三角形吗？为什么？长度为13cm 的木棒呢？长度为7cm 的木棒呢？ 二、巩固练习： 1、下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形吗？为什么？（单位：cm ） （1） 1， 3， 3 （2） 3， 4， 7 （3） 5， 9， 13 （4） 11， 12， 22 （5） 14， 15， 30 2、已知一个三角形的两边长分别是3cm 和4cm ，则第三边长X 的取值范围 是 。若X 是奇数，则X 的值是 。这样的三角形有 个；若X 是偶数，则X 的值是 ， 这样的三角形又有 个 3、一个等腰三角形的一边是2cm ，另一边是9cm ,则这个三角形的周长是 cm 夯实基础 1、填空： （1）当0°＜α＜90°时，α是 角； （2）当α＝ °时，α是直角； （3）当90°＜α＜180°时，α是 角； （4）当α＝ °时，α是平角。 2、如右图， ∵AB ∥CE ，（已知） ∴∠A ＝ ，（ ） ∴∠B ＝ ，（ ） （第2题） 二、探索练习： 根据知道三角形的三个内角和等于180°，那么是否对其他的三角形也有这样的一个结 论呢？（提出问题，激发学生的兴趣） 结论：三角形三个内角和等于180°（几何表示） 练习1： 1、判断： （1）一个三角形的三个内角可以都小于60°； （ ） （2）一个三角形最多只能有一个内角是钝角或直角； （ ） 2、在△ABC 中， A B C a b c A B C D E 123 三角形的证明 1．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是（）A．SSS B．ASA C．AAS D．角平分线上的点到角两边距离相等 2．下列说法中，正确的是（） A．两腰对应相等的两个等腰三角形全等 B．两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 C．两锐角对应相等的两个直角三角形全等 D．面积相等的两个三角形全等 3．如图，△ABC≌ΔADE，若∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝35°， 则∠EAC的度数为（） A．40°B．35°C．30°D．25° 4．已知：如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ．求证：HN＝PM. 1．下列说法正确的是（）A．一直角边对应相等的两个直角三角形全等B．斜边相等的两个直角三角形全等C．斜边相等的两个等腰直角三角形全等D．一边长相等的两等腰直角三角形全等 2．如图，在△ABC中，D、E分别是边AC、BC上的点，若△ADB≌ △EDB≌△EDC，则∠C的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．30° 3．如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的图形是（） A．甲和乙B．乙和丙C．只有乙D．只有丙 5．如图4－10，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A、B两点分别作l的垂线AE、BF，E、F为垂足．（1）当直线l不与底边AB相交时，求证：EF＝AE＋BF． （2）如图4－11，将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边AB交于点D，请你探究直线l在如下位置时，EF、AE、BF之间的关系． ①AD＞BD；②AD＝BD；③AD＜BD． 1．等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（） A．12 B．15 C．12或15 D．18 2．等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（） A．80°B．80°或20°C．80°或50°D．20° 3．已知△ABC中，AB=AC=x，BC=6，则腰长x的取值范围是（） A．0＜x＜3 B．x＞3 C．3＜x＜6 D．x＞6 4．如图，∠MON=43°，点A在射线OM上，动点P在射线ON上滑动， 要使△AOP为等腰三角形，那么满足条件的点P共有（） 北师大版七年级数学下册《三角形》知识点汇总 一、三角形及其有关概念 三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。 三角形的表示：三角形用符号“Δ”表示，顶点是A、B、c的三角形记作“ΔABc”，读作“三角形ABc”。 三角形的三边关系： 三角形任意两边之和大于第三边。 三角形任意两边之差小于第三边。 作用：判断三条已知线段能否组成三角形当已知两边时，可确定第三边的范围。证明线段不等关系。 一般地，对于三角形的某一条边a来说，一定有|b-c|＜a ＜b+c成立；反之，只有|b-c|＜a＜b+c成立，a、b、c三条线段才能构成三角形；特殊地，如果已知线段a最大，只要满足b+c＞a，那么a、b、c三条线段就能构成三角形；如果已知线段a最小，只要满足|b-c|＜a，那么这三条线段就能构成三角形。 三角形的内角的关系： 三角形三个内角和等于180°直角三角形的两个锐角互余。 三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。四边形具有不稳定性。 三角形的分类： 三角形按边分类： 不等边三角形 三角形底和腰不相等的等腰三角形 等腰三角形 等边三角形，也叫正三角形。 三角形按角分类： 直角三角形 三角形锐角三角形 斜三角形 钝角三角形 把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。 三角形的三种重要线段： 三角形的中线： 定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。 性质：三角形的三条中线交于一点，交点在三角形的内 中考数学总复习专题基础知识回顾四三角形 一、单元知识网络： 二、考试目标要求： 1．了解三角形有关概念（内角、外角、中线、高、角平分线），会画出任意三角形的角平分线、中线和高，了解三角形的稳定性. 2．探索并掌握三角形中位线的性质. 3．了解全等三角形的概念，探索并掌握两个三角形全等的条件. 4．了解等腰三角形的有关概念，探索并掌握等腰三角形的性质和一个三角形是等腰三角形的条件； 了解等边三角形的概念并探索其性质. 5．了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质和一个三角形是直角三角形的条件. 6．体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定理判定直角三角形. 三、知识考点梳理 知识点一、三角形的概念及其性质 1．三角形的概念 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 2．三角形的分类 (1)按边分类： (2)按角分类： 3．三角形的内角和外角 (1)三角形的内角和等于180°. (2)三角形的任一个外角等于和它不相邻的两个内角之和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. 4．三角形三边之间的关系 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边. 5．三角形内角与对边对应关系 在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边；在同一三角形中，等边对等角，等角对等边. 6．三角形具有稳定性. 知识点二、三角形的“四心”和中位线 三角形中的四条特殊的线段是：高线、角平分线、中线、中位线. 1．内心：三角形角平分线的交点，是三角形内切圆的圆心，它到各边的距离相等. 2．外心：三角形三边垂直平分线的交点，是三角形外接圆的圆心，它到三个顶点的距离相等. 3．重心：三角形三条中线的交点，它到每个顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍. 4．垂心：三角形三条高线的交点. 5．三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段是三角形的中位线. 中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半. 要点诠释： (1)三角形的内心、重心都在三角形的内部. (2)钝角三角形的垂心、外心都在三角形的外部. (3)直角三角形的垂心为直角顶点，外心为直角三角形斜边的中点. (4)锐角三角形的垂心、外心都在三角形的内部. 知识点三、全等三角形 1．定义：能完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 2．性质：(1)对应边相等(2)对应角相等(3)对应角的平分线、对应边的中线和高相等 (4)周长、面积相等 3．判定：(1)边角边(SAS) (2)角边角(ASA) (3)角角边(AAS) (4)边边边(SSS) 《2 直角三角形》教案 第1课时 教学目标 1．掌握“直角三角形的两个锐角互余”定理． 2．掌握勾股定理和它的简单应用． 教学重难点 教学重点：探索、发现给定事物中隐含的勾股定理及其逆及理，并用它们解决生活实际问题．教学难点：利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题．教学过程 一．直角三角形的性质 1．在直角三角形中，有一个角为90°． 2．在直角三角形中，两锐角互余． 二．勾股定理的探索 做一做： 下面的三组数分别是一个三角形的三边a，b，c． 5、12、13 7、24、25 8、15、17 1．这三组数都满足a2+b2=c2吗？ 同学们在运算．交流形成共识后，教师要学生完成． 2．分别用每组数为三边作三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？同学们在形 成共识后板书： 如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．满足 a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数． 大家可以想这样的勾股数是很多的，今后我们可以利用“三角形三边a，b，c满足a2+b2=c2时，三角形为直角形”来判断三角形的形状，同时也可以用来判定两条直线是否垂直的方法．三．讲解例题 例1．一个零件的形状如图，按规定这个零件中∠A与∠BDC都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4，AB=3，DC =12，BC=13，这个零件符合要求吗？ A B C D 4 5 3 12 13 分析：要检验这个零件是否符合要求，只要判断△ADB和△DBC是否为直角三角形，这样 勾股定理的逆定理即可派上用场了． 解：在△ABD 中，2 22222516943BD AD AB 所以△ABD 为直角三角形，∠ A =90° 在△BDC 中，2 222221316914425125BC DC BD 所以△BDC 是直角三角形∠CDB =90° 因此这个零件符合要求． 例2．飞机在空中水平飞行， 某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每时飞行多少千米？ 分析：根据题意，可以先画出符合题意的图形．如右图，图中△ABC 的∠C ＝90°，AC = 4000 米，AB=5000米欲求飞机每时飞行多少千米，就要知道 20秒时间里飞行的路程，即图中的CB 的长，由于△ABC 的斜边AB=5000米，AC=4000米，这样BC 就可以通过勾股定理得出，这里一定要注意单位的换算． 解：由勾股定理得 BC 2=AB 2－AC 2=52－42=9（千米2） 即BC=3千米 飞机20秒飞行3千米．那么它l 小时飞行的距离为：203600 ×3=540（千米/时） 答：飞机每小时飞行 540千米．同学在议论交流形成共识后，老师总结． 勾股定理存在于直角三角形中，不是直角三角形就不能使用勾股定理． 四．随堂练习： 1．下列几组数能否作为直角三角形的三边长？说说你的理由． （1）9，12，15；（2）15，36，39；（3）12，35，36；（4）12，18，22． 2．已知?ABC 中BC=41，AC=40，AB=9，则此三角形为_______三角形，_____是最大角． 五．小结： 1．直角三角形判定定理：如果三角形的三边长 a ， b ，c 2．满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形． 教学反思：这是勾股定理的逆应用， 大部分的同学只要能正确掌握勾股定理的话，都不难理解，当然勾股定理的理解掌握是关键．北师大版七年级下册第三章三角形讲义
新北师大版八年级下册--《三角形的证明》
北师大版七年级数学下册三角形知识点汇总
(完整版)北师大版初中数学三角形中考真题练习概要
北师大版八年级数学下册直角三角形教案
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