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高一数学必修1函数知识总结及例题

高一数学必修1函数知识总结及例题
高一数学必修1函数知识总结及例题

第一篇、复合函数问题

一、复合函数定义: 设y=f(u)的定义域为A ,u=g(x)的值域为B ,若A ?B ,则y 关于x 函数的y=f [g(x)]叫做函数f 与g 的复合函数,u 叫中间量.

二、复合函数定义域问题: (一)例题剖析:

(1)、已知f x ()的定义域,求[]f g x ()的定义域

思路:设函数f x ()的定义域为D ,即x D ∈,所以f 的作用范围为D ,又f 对g x ()作用,作用范围不变,所以D x g ∈)(,解得x E ∈,E 为[]f g x ()的定义域。

例1. 设函数f u ()的定义域为(0,1),则函数f x (ln )的定义域为_____________。 解析:函数f u ()的定义域为(0,1)即u ∈()01,,所以f 的作用范围为(0,1) 又f 对lnx 作用,作用范围不变,所以01<

例2. 若函数f x x ()=

+1

1

,则函数[]f f x ()的定义域为______________。 解析:先求f 的作用范围,由f x x ()=+1

1

,知x ≠-1

即f 的作用范围为{}x R x ∈≠-|1,又f 对f(x)作用 所以f x R f x ()()∈≠-且1,即[]f f x ()中x 应满足x f x ≠-≠-??

?

1

1()

即x x ≠-+≠-?????1

11

1,解得x x ≠-≠-12且

故函数[]f f x ()的定义域为{}

x R x x ∈≠-≠-|12且 (2)、已知[]f g x ()的定义域,求f x ()的定义域

思路:设[]f g x ()的定义域为D ,即x D ∈,由此得g x E ()∈,所以f 的作用范围为E ,又f 对x 作用,作用范围不变,所以x E E ∈,为f x ()的定义域。

例3. 已知f x ()32-的定义域为[]

x ∈-12,,则函数f x ()的定义域为_________。 解析:f x ()32-的定义域为[]-12,,即[]x ∈-12,,由此得[]

3215-∈-x , 所以f 的作用范围为[]-15,,又f 对x 作用,作用范围不变,所以[]

x ∈-15,

即函数f x ()的定义域为[]

-15,

例4. 已知f x x x ()lg 2

2

248

-=-,则函数f x ()的定义域为______________。

解析:先求f 的作用范围,由f x x x ()lg 2

2248-=-,知x x 2

2

8

0-> 解得x 2

44->,f 的作用范围为()4,+∞,又f 对x 作用,作用范围不变,所以

x ∈+∞()4,,即f x ()的定义域为()4,+∞

(3)、已知[]f g x ()的定义域,求[]f h x ()的定义域

思路:设[]f g x ()的定义域为D ,即x D ∈,由此得g x E ()∈,f 的作用范围为E ,又f 对h x ()作用,作用范围不变,所以h x E ()∈,解得x F ∈,F 为[]f h x ()的定义域。

例5. 若函数f x ()2的定义域为[]

-11,,则f x (log )2的定义域为____________。

解析:f x

()2的定义域为[]-11,,即[]

x ∈-11,,由此得21

22x

∈????

?

?,

f 的作用范围为122,????

?

?

又f 对log 2x 作用,所以log 21

22x ∈??

???

?,,解得[

]

x ∈

24,

即f x (log )2的定义域为

[

]

24,

评注:函数定义域是自变量x 的取值范围(用集合或区间表示)f 对谁作用,则谁的范围是f 的作用范围,f 的作用对象可以变,但f 的作用范围不会变。利用这种理念求此类定义域问题会有“得来全不费功夫”的感觉,值得大家探讨。

(二)同步练习:

1、 已知函数)x (f 的定义域为]1,0[,求函数)x (f 2

的定义域。

答案:]1,1[-

2、 已知函数)x 23(f -的定义域为]3,3[-,求)x (f 的定义域。

答案:]9,3[-

3、 已知函数)2x (f y +=的定义域为)0,1(-,求|)1x 2(|f -的定义域。

答案:)

23,1()0,2

1(?- 4、设()x x x f -+=22lg

,则??

?

??+??? ??x f x f 22的定义域为( )

A. ()()4,00,4 -

B. ()()4,11,4 --

C. ()()2,11,2 --

D. ()()4,22,4 --

解:选C.由

202x x +>-得,()f x 的定义域为{}|22x x -<<。故22,2

22 2.x

x

?

-<

??-<

?

??+??? ??x f x f 22的定义域为()()4,11,4--

5、已知函数)(x f 的定义域为)23

,21(-∈x ,求)0)(()()(>+=a a

x

f ax f x

g 的定义域。

[解析]由已知,有??????

?<<-<<-???????

?<<-<<-.232

,

2321,

232

1,232

1a x a a

x a a x ax (1)当1=a 时,定义域为}2

321|{<<-

x x ; (2)当a a 23

23>,即10<

21a a ->-,

定义域为}23

2|{a x a x <<-;

(3)当a a 2323<,即1>a 时,有2

21a

a -<-,

定义域为}23

21|{a

x a x <<-.

故当1≥a 时,定义域为}23

21|{a x a x <<-;

当10<

3

2|{a x a x <<-

[点评]对于含有参数的函数,求其定义域,必须对字母进行讨论,要注意思考讨论字母的方法。

三、复合函数单调性问题

(1)引理证明

已知函数))((x g f y =.若)(x g u =在区间b a ,( )上是减函数,其值域为(c ,d),又函数)(u f y =在区间(c,d)上是减函数,那么,原复合函数))((x g f y =在区间b a ,( )上是增函数.

证明:在区间b a ,()内任取两个数21,x x ,使b x x a <<<21

因为)(x g u =在区间b a ,()上是减函数,所以)()(21x g x g >,记)(11x g u =,

)(22x g u =即),(,21,21d c u u u u ∈>且

因为函数)(u f y =在区间(c,d)上是减函数,所以)()(21u f u f <,即

))(())((21x g f x g f <,

故函数))((x g f y =在区间b a ,()上是增函数. (2).复合函数单调性的判断

复合函数的单调性是由两个函数共同决定。为了记忆方便,我们把它们总结成一个图表:

以上规律还可总结为:“同向得增,异向得减”或“同增异减”. (3)、复合函数))((x g f y =的单调性判断步骤: ⅰ 确定函数的定义域;

ⅱ 将复合函数分解成两个简单函数:)(u f y =与)(x g u =。 ⅲ 分别确定分解成的两个函数的单调性;

ⅳ 若两个函数在对应的区间上的单调性相同(即都是增函数,或都是减函数),则复合后的函数))((x g f y =为增函数; 若两个函数在对应的区间上的单调性相异(即一个是增函数,而另一个是减函数),则复合后的函数))((x g f y =为减函数。

(4)例题演练

例1、 求函数)32(log 2

2

1--=x x y 的单调区间,并用单调定义给予证明

解:定义域 130322

-<>?>--x x x x 或

单调减区间是),3(+∞ 设2121),3(,x x x x <+∞∈且 则

)32(log 1212

11--=x x y )32(log 22

22

12--=x x y

---)32(121x x )32(22

2--x x =)2)((1212-+-x x x x

∵312>>x x ∴012>-x x 0212>-+x x ∴)32(121--x x >)32(22

2--x x 又底数12

1

0<< ∴012<-y y 即 12y y < ∴y 在),3(+∞上是减函数

同理可证:y 在)1,(--∞上是增函数

[例]2、讨论函数)123(log )(2--=x x x f a 的单调性. [解]由01232>--x x 得函数的定义域为

}.3

1

,1|{-<>x x x 或

则当1>a 时,若1>x ,∵1232--=x x u 为增函数,∴)123(log )(2--=x x x f a 为增函数.

若3

1

-

当10<x ,则)123(lo g )(2

--=x x x f a 为减函数,若3

1

-

23(lo g )(2--=x x x f a 为增函数. 例3、.已知y=a log (2-x

a )在[0,1]上是x 的减函数,求a 的取值范围. 解:∵a >0且a ≠1

当a >1时,函数t=2-x

a >0是减函数

由y=a log (2-x

a )在[0,1]上x 的减函数,知y=a log t 是增函数, ∴a >1

由x ∈[0,1]时,2-x

a ≥2-a >0,得a <2, ∴1<a <2

当0

a >0是增函数

由y=a log (2-x

a )在[0,1]上x 的减函数,知y=a log t 是减函数, ∴0

由x ∈[0,1]时,2-x

a ≥2-1>0, ∴0

例4、已知函数2)3()2(2-+--=-a x a ax x f (a 为负整数)的图象经过点

R m m ∈-),0,2(,设)()()()],([)(x f x pg x F x f f x g +==.问是否存在实数)0(

)(x F 在区间)]2(,(f -∞上是减函数,且在区间)0),2((f 上是减函数?并证明你的结论。

[解析]由已知0)2(=-m f ,得02)3(2=-+--a m a am , 其中.0,≠∈a R m ∴0≥?即09232≤--a a , 解得

.3

7

213721+≤≤-a ∵a 为负整数,∴.1-=a

∴1)2(34)2(2+--=-+-=-2x x x x f ,

即.1)(2+-=x x f 2

42221)1()]([)(x x x x f f x g +-=++-==,

∴.1)12()()()(24+-+-=+=x p px x f x pg x F

假设存在实数)0(

∴].12)()[()()(22

21222121-++--=-p x x p x x x F x F ∵3)2(-=f ,当)3,(,21--∞∈x x 时,)(x F 为减函数,

∴0)()(21>-x F x F ,∴.012)(,022212221>-++->-p x x p x x ∵3,321-<-

21>+x x , ∴11612)(22

21-->-++-p p x x p , ∴.0116≥--p ①

当)0,3(,21-∈x x 时,)(x F 增函数,∴.0)()(21<-x F x F

∵02221>-x x ,∴11612)(22

21--<-++-p p x x p , ∴0116≤--p . ②

由①、②可知161-

=p ,故存在.16

1-=p (5)同步练习:

1.函数y =2

1log (x 2-3x +2)的单调递减区间是( )

A .(-∞,1)

B .(2,+∞)

C .(-∞,

23

D .(

2

3

,+∞) 解析:先求函数定义域为(-o ,1)∪(2,+∞),令t (x )=x 2+3x +2,函数t (x )在(-∞,1)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,根据复合函数同增异减的原则,函数y =2

1log (x 2-3x +2)在(2,+∞)上单调递减.

答案:B

2找出下列函数的单调区间. (1))1(2

32>=++-a a y x x ;

(2).2

3

22++-=x x y

答案:(1)在]2

3,(-∞上是增函数,在),2

3[+∞上是减函数。 (2)单调增区间是]1,1[-,减区间是]3,1[。

3、讨论)0,0(),1(log ≠>-=a a a y x a 且的单调性。

答案:,1>a 时),0(+∞为增函数,01>>a 时,)0,(-∞为增函数。 4.求函数y =3

1log (x 2-5x +4)的定义域、值域和单调区间.

解:由μ(x )=x 2-5x +4>0,解得x >4或x <1,所以x ∈(-∞,1)∪(4,+∞),当x ∈(-∞,1)∪(4,+∞),{μ|μ=x 2-5x +4}=R +

,所以函数的值域是R +

.因

为函数y =3

1log (x 2-5x +4)是由y =3

1log μ(x )与μ(x )=x 2-5x +4复合而成,函

数y =3

1log μ(x )在其定义域上是单调递减的,函数μ(x )=x 2-5x +4在(-∞,

2

5

)上为减函数,在[

25

,+∞]上为增函数.考虑到函数的定义域及复合函数单调性,y =3

1log (x 2-5x +4)的增区间是定义域内使y =3

1log μ(x )为减函数、μ(x )=x 2-5x +4也为减函数的区间,即(-∞,1);y =3

1log (x 2-5x +4)的减区间是定义域内使y =3

1log μ

(x )为减函数、μ(x )=x 2-5x +4为增函数的区间,即(4,+∞).

变式练习 一、选择题

1.函数f (x )=)1(log 2

1-

x 的定义域是( ) A .(1,+∞) B .(2,+∞)

C .(-∞,2)

D .]21(,

解析:要保证真数大于0,还要保证偶次根式下的式子大于等于0,

所以???

??≥0)1(log 012

1

->-x x 解得1<x ≤2. 答案:D

2.函数y =2

1log (x 2-3x +2)的单调递减区间是( )

A .(-∞,1)

B .(2,+∞)

C .(-∞,

23

D .(

2

3

,+∞) 解析:先求函数定义域为(-o ,1)∪(2,+∞),令t (x )=x 2+3x +2,函数t (x )在(-∞,1)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,根据复合函数同增异减的原则,函数y =2

1log (x 2-3x +2)在(2,+∞)上单调递减.

答案:B

3.若2lg (x -2y )=lg x +lg y ,则x

y

的值为( ) A .4

B .1或41

C .1或4

D .4

1

错解:由2lg (x -2y )=lg x +lg y ,得(x -2y )2=xy ,解得x =4y 或x =y ,则有

x

y =

41或y

x

=1. 答案:选B

正解:上述解法忽略了真数大于0这个条件,即x -2y >0,所以x >2y .所以x =y 舍掉.只有x =4y . 答案:D

4.若定义在区间(-1,0)内的函数f (x )=a 2log (x +1)满足f (x )>0,则a 的取值范围为( )

A .(0,

2

1

) B .(0,

2

1

C .(

2

1

,+∞) D .(0,+∞)

解析:因为x ∈(-1,0),所以x +1∈(0,1).当f (x )>0时,根据图象只有0<2a <l ,解得0<a <2

1

(根据本节思维过程中第四条提到的性质). 答案:A 5.函数y =lg (x

-12

-1)的图象关于( ) A .y 轴对称 B .x 轴对称

C .原点对称

D .直线y =x 对称

解析:y =lg (

x -12-1)=x x -+11lg ,所以为奇函数.形如y =x x -+11lg 或y =x

x -+11lg 的函数都为奇函数. 答案:C 二、填空题

已知y =a log (2-ax )在[0,1]上是x 的减函数,则a 的取值范围是__________. 解析:a >0且a ≠1?μ(x )=2-ax 是减函数,要使y =a log (2-ax )是减函数,则a >1,又2-ax >0?a <3

2

(0<x <1)?a <2,所以a ∈(1,2). 答案:a ∈(1,2)

7.函数f (x )的图象与g (x )=(3

1)x

的图象关于直线y =x 对称,则f (2x -x 2)的单调递减区间为______.

解析:因为f (x )与g (x )互为反函数,所以f (x )=3

1log x

则f (2x -x 2)=3

1log (2x -x 2),令μ(x )=2x -x 2>0,解得0<x <2.

μ(x )=2x -x 2在(0,1)上单调递增,则f [μ(x )]在(0,1)上单调递减; μ(x )=2x -x 2在(1,2)上单调递减,则f [μ(x )]在[1,2)上单调递增. 所以f (2x -x 2)的单调递减区间为(0,1). 答案:(0,1)

8.已知定义域为R 的偶函数f (x )在[0,+∞]上是增函数,且f (2

1

)=0, 则不等式f (l og 4x )的解集是______.

解析:因为f (x )是偶函数,所以f (-21)=f (2

1

)=0.又f (x )在[0,+∞]上是增函数,所以f (x )在(-∞,0)上是减函数.所以f (l og 4x )>0?l og 4x >2

1

或l og 4x

<-2

1.

解得x >2或0<x <21

答案:x >2或0<x <2

1

三、解答题

9.求函数y =3

1log (x 2-5x +4)的定义域、值域和单调区间.

解:由μ(x )=x 2-5x +4>0,解得x >4或x <1,所以x ∈(-∞,1)∪(4,+∞),当x ∈(-∞,1)∪(4,+∞),{μ|μ=x 2-5x +4}=R +

,所以函数的值域是R

.因为函数y =3

1log (x 2-5x +4)是由y =3

1log μ(x )与μ(x )=x 2-5x +4复合而成,

函数y =3

1log μ(x )在其定义域上是单调递减的,函数μ(x )=x 2-5x +4在(-∞,2

5

上为减函数,在[

25

,+∞]上为增函数.考虑到函数的定义域及复合函数单调性,y =3

1log (x 2-5x +4)的增区间是定义域内使y =3

1log μ(x )为减函数、μ(x )=x 2-5x +4也为减函数的区间,即(-∞,1);y =3

1log (x 2-5x +4)的减区间是定义域内使y =3

1log μ

(x )为减函数、μ(x )=x 2-5x +4为增函数的区间,即(4,+∞). 10.设函数f (x )=

532+x +x

x

2323lg +-, (1)求函数f (x )的定义域;

(2)判断函数f (x )的单调性,并给出证明;

(3)已知函数f (x )的反函数f -

1(x ),问函数y =f -

1(x )的图象与x 轴有交点吗?

若有,求出交点坐标;若无交点,说明理由. 解:(1)由3x +5≠0且x x 2323+->0,解得x ≠-35且-23<x <23.取交集得-2

3

<x <

2

3

(2)令μ(x )=3x +5,随着x 增大,函数值减小,所以在定义域内是减函数;

x x 2323+-=-1+x

236

+随着x 增大,函数值减小,所以在定义域内是减函数. 又y =lg x 在定义域内是增函数,根据复合单调性可知,y =x

x

2323lg +-是减函数,所以f

(x )=532+x +x

x

2323lg +-是减函数.

(3)因为直接求f (x )的反函数非常复杂且不易求出,于是利用函数与其反函数之间定义域与值域的关系求解.

设函数f (x )的反函数f -

1(x )与工轴的交点为(x 0,0).根据函数与反函数之间定义

域与值域的关系可知,f (x )与y 轴的交点是(0,x 0),将(0,x 0)代入f (x ),解得x 0=52.所以函数y =f -

1(x )的图象与x 轴有交点,交点为(5

2,0)。

一.指数函数与对数函数

.同底的指数函数x y a =与对数函数log a y x =互为反函数;

(二)主要方法:

1.解决与对数函数有关的问题,要特别重视定义域;

2.指数函数、对数函数的单调性决定于底数大于1还是小于1,要注意对底数的讨论; 3.比较几个数的大小的常用方法有:①以0和1为桥梁;②利用函数的单调性;③作差. (三)例题分析:

例1.(1)若2

1a b a >>>,则log b

b

a

,log b a ,log a b 从小到大依次为 ; (2)若235x

y z ==,且x ,y ,z 都是正数,

则2x ,3y ,5z 从小到大依次为 ; (3)设0x >,且1x x

a b <<(0a >,0b >),则a 与b 的大小关系是 ( ) (A )1b a << (B )1a b << (C )1b a << (D )1a b <<

解:(1)由2

1a b a >>>得b a a <,故log b b a

(2)令235x y z

t ===,则1t >,lg lg 2t x =,lg lg 3t y =,lg lg5

t z =,

∴2lg 3lg lg (lg9lg8)

230lg 2lg3lg 2lg3

t t t x y ?--=

-=>?,∴23x y >; 同理可得:250x z -<,∴25x z <,∴325y x z <<.(3)取1x =,知选(B ).

例2.已知函数2()1

x

x f x a x -=++(1)a >,

求证:(1)函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数;(2)方程()0f x =没有负数根. 证明:(1)设121x x -<<,

则1212

121222()()11

x

x x x f x f x a a x x ---=+--++ 121212*********()

11(1)(1)

x x x x x x x x a a a a x x x x ---=-+-=-+

++++,

∵121x x -<<,∴110x +>,210x +>,120x x -<, ∴

12123()

0(1)(1)

x x x x -<++;

∵121x x -<<,且1a >,∴12x x

a a <,∴120x x a a -<,

∴12()()0f x f x -<,即12()()f x f x <,∴函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数; (2)假设0x 是方程()0f x =的负数根,且01x ≠-,则0002

01

x

x a x -+=+, 即0

0000023(1)3

1111

x x x a

x x x --+=

==-+++, ① 当010x -<<时,0011x <+<,∴0331x >+,∴03

121

x ->+,而由1a >知01x a <,

∴①式不成立;

当01x <-时,010x +<,∴

0301x <+,∴03111

x -<-+,而00x a >, ∴①式不成立.

综上所述,方程()0f x =没有负数根.

例3.已知函数()log (1)x a f x a =-(0a >且1a ≠).(《高考A 计划》考点15,例4). 求证:(1)函数()f x 的图象在y 轴的一侧;

(2)函数()f x 图象上任意两点连线的斜率都大于0.

证明:(1)由10x a ->得:1x a >,

∴当1a >时,0x >,即函数()f x 的定义域为(0,)+∞,此时函数()f x 的图象在y 轴的右侧;

当01a <<时,0x <,即函数()f x 的定义域为(,0)-∞,此时函数()f x 的图象在y 轴的左侧.

∴函数()f x 的图象在y 轴的一侧;

(2)设11(,)A x y 、22(,)B x y 是函数()f x 图象上任意两点,且12x x <,

则直线AB 的斜率1212

y y k x x -=-,112

2

121log (1)log (1)log 1x x x a a a x a y y a a a --=---=-,

当1a >时,由(1)知120x x <<,∴121x x a a <<,∴12011x x

a a <-<-,

∴121

011

x x

a a -<<-,∴120y y -<,又120x x -<,∴0k >; 当01a <<时,由(1)知120x x <<,∴121x x a a >>,∴12110x x

a a ->->, ∴12

1

11

x x

a a ->-,∴120y y -<,又120x x -<,∴0k >. ∴函数()f x 图象上任意两点连线的斜率都大于0.

人教版高中数学必修一至必修五知识点总结大全

高中数学必修一常用公式及结论归纳总结 1、集合的含义与表示 一般地,我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合。它具有三大特性:确定性、互异性、无序性。集合的表示有列举法、描述法。 描述法格式为:{元素|元素的特征},例如},5|{N x x x ∈<且 2、常用数集及其表示方法 (1)自然数集N (又称非负整数集):0、1、2、3、…… (2)正整数集N * 或N + :1、2、3、…… (3)整数集Z :-2、-1、0、1、…… (4)有理数集Q :包含分数、整数、有限小数等 (5)实数集R :全体实数的集合 (6)空集Ф:不含任何元素的集合 3、元素与集合的关系:属于∈,不属于? 例如:a 是集合A 的元素,就说a 属于A ,记作a ∈A 4、集合与集合的关系:子集、真子集、相等 (1)子集的概念 如果集合A 中的每一个元素都是集合B 中的元素,那么集合A 叫做集合B 的子集(如图1),记作 B A ?或A B ?. 若集合P 中存在元素不是集合Q 的元素,那么P 不包含于Q , 记作Q P ? (2)真子集的概念 若集合A 是集合B 的子集,且B 中至少有一个元素不属于A,那么集合A (如图2). A ≠?B 或B ≠?A . (3)集合相等:若集合A 中的元素与集合B 中的元素完全相同则称集合A 等于集合B,记作A=B. 5、重要结论(1)传递性:若B A ? ,C B ?,则C A ? (2 )空Ф集是任意集合的子集,是任意非空集合的真子集. 6、含有n 个元素的集合,它的子集个数共有2n 个;真子集有2n –1个;非空子集有2n –1个(即不计空集);非空的真子集有2n –2个. 7、集合的运算:交集、并集、补集 (1)一般地,由所有属于A 又属于B 的元素所组成的集合,叫做A,B 的交集. 记作A ∩B (读作"A 交B "),即A ∩B={x|x ∈A ,且x ∈B }. (2)一般地,对于给定的两个集合A,B 记作A ∪B (读作"A 并B "),即A ∪B={x|x ∈A ,或x ∈B }. 图1) 或 (图2)

高中数学必修五 知识点总结【经典】

《必修五 知识点总结》 第一章:解三角形知识要点 一、正弦定理和余弦定理 1、正弦定理:在C ?AB 中,a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边,,则有 2sin sin sin a b c R C ===A B (R 为C ?AB 的外接圆的半径) 2、正弦定理的变形公式: ①2sin a R =A ,2sin b R =B ,2sin c R C =; ②sin 2a R A = ,sin 2b R B =,sin 2c C R =; ③::sin :sin :sin a b c C =A B ; 3、三角形面积公式:111 sin sin sin 222 C S bc ab C ac ?AB = A == B . 4、余弦定理:在 C ?AB 中,有2 2 2 2cos a b c bc =+-A ,推论:bc a c b A 2cos 2 22-+= B ac c a b cos 2222-+=,推论: C ab b a c cos 22 2 2 -+=,推论:ab c b a C 2cos 2 22-+= 二、解三角形 处理三角形问题,必须结合三角形全等的判定定理理解斜三角形的四类基本可解型,特别要多角度(几何作图,三角函数定义,正、余弦定理,勾股定理等角度)去理解“边边角”型问题可能有两解、一解、无解的三种情况,根据已知条件判断解的情况,并能正确求解 1、三角形中的边角关系 (1)三角形内角和等于180°; (2)三角形中任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边; ac b c a B 2cos 2 22-+=

(3)三角形中大边对大角,小边对小角; (4)正弦定理中,a =2R ·sin A , b =2R ·sin B , c =2R ·sin C ,其中R 是△ABC 外接圆半径. (5)在余弦定理中:2bc cos A =222a c b -+. (6)三角形的面积公式有:S = 21ah , S =21ab sin C=21bc sin A=2 1 ac sinB , S =))(()(c P b P a P P --?-其中,h 是BC 边上高,P 是半周长. 2、利用正、余弦定理及三角形面积公式等解任意三角形 (1)已知两角及一边,求其它边角,常选用正弦定理. (2)已知两边及其中一边的对角,求另一边的对角,常选用正弦定理. (3)已知三边,求三个角,常选用余弦定理. (4)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角,常选用余弦定理. (5)已知两边和其中一边的对角,求第三边和其他两个角,常选用正弦定理. 3、利用正、余弦定理判断三角形的形状 常用方法是:①化边为角;②化角为边. 4、三角形中的三角变换 (1)角的变换 因为在△ABC 中,A+B+C=π,所以sin(A+B)=sinC ;cos(A+B)=-cosC ;tan(A+B)=-tanC 。 2 sin 2cos ,2cos 2sin C B A C B A =+=+; (2)三角形边、角关系定理及面积公式,正弦定理,余弦定理。 r 为三角形内切圆半径,p 为周长之半 (3)在△ABC 中,熟记并会证明:∠A ,∠B ,∠C 成等差数列的充分必要条件是∠B=60°;△ABC 是正三角形的充分必要条件是∠A ,∠B ,∠C 成等差数列且a ,b ,c 成等比数列.

高一数学必修一试卷与答案

1 2 高一数学必修一试卷 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的,请把正确答案的代号填入答题卡中) 1.已知全集 U 0,1,2,3,4 ,M 0,1.2 ,N 2?下列各组两个集合 A 和B,表示同一集合的是 A. A= ,B= 3.14159 D 、 2 0 3 9.三个数a 0.3 ,b log 2 0.3,c 2 .之间的大小关系是 2,3 ,则 C U M A. 2 B. 3 C. 2,3,4 D. 0。,2,3,4 C. A= 1, 3, ,B= ,1, D. A= X 1,x ,B= 1 3. 函数y 2 X 的单调递增区间为 ,0] [0,) C . (0,) 4. F 列函数是偶函数的是 A. B. 2x 2 3 C. D. x 2,x [0,1] 5.已知函数f X 1,X x 3,x 1 ,则 f(2)= 7.如果二次函数 x 2 mx (m 3)有两个不同的零点 ,则m 的取值范围是 A. (-2,6) B.[-2,6] C. 2,6 D. , 2 6. 8.若函数f (x) log a X(0 a 1)在区间a,2a 上的最大值是最小值的2倍,则 a 的值为( B. A= 2,3 ,B= (2,3) C 、 C.1 A.3 B,2 D.0 C A B D

A a c b. B. a b c C. b a c D. b c a 1 2

10.已知奇函数f(x)在x 0时的图象如图所示,则不等式 xf(x) 0的解集为 x a b a & ,则函数f (x )1 2x 的最大值为 三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (12 分)已知集合 A {x|2x 4 0} , B {x|0 x 5}, 全集 U R ,求: (I) AI B ; (n) (C U A)I B . 18.计算:(每小题6分,共12 分) A. (1, 2) B. ( 2, 1) C. (2, 1)U(1, 2) D. ( 1, 1) 11.设 3x 3x 8 ,用二分法求方程 3x 3x 0在x 1,2内近似解的过程中得 0, f 1.5 0, f 1.25 0,则方程的根落在区间 A. (1,1.25) 12.计算机成本不断降低 A.2400 元 C. (1.5,2) 1 ,若每隔三年计算机价格降低 ,则现在价格为 3 C.300 元 B. (1.25,1.5) D.不能确定 8100元的计算机9年后价格可降为 二、填空题 13.若幕函数 B.900 元 D.3600 兀 (每小题4分,共16分.) , . 1 y = f x 的图象经过点(9,一 ),则f(25)的值是 3 14.函数f x x 1 log 3 x 1的定义域是 15.给出下列结论(1) 4( 2)4 (2) (4) 其中正确的命题序号为 1 2 log 3 12 函数y=2x-1 1 函数y=2x log 3 2 的值域为 2 [1 , 4]的反函数的定义域为[1 , 7] (0,+ ) a 16 .定义运算a b b

高一数学必修1知识点总结

高中高一数学必修1各章知识点总结 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1、集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素 2、集合的中元素的三个特性: 1.元素的确定性; 2.元素的互异性; 3.元素的无序性 说明:(1)对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。 (2)任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入一个集合时,仅算一个元素。 (3)集合中的元素是平等的,没有先后顺序,因此判定两个集合是否一样,仅需比较它们的元素是否一样,不需考查排列顺序是否一样。 (4集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。 3、集合的表示:{ … } 如{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} 1. 用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} 2.集合的表示方法:列举法与描述法。

注意啊:常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集)记作:N 正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 关于“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如:a是集合A的元素,就说a属于集合A 记作a∈A ,相反,a不属于集合A 记作a?A 列举法:把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上。 描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 ①语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法:例:不等式x-3>2的解集是{x?R| x-3>2}或{x| x-3>2} 4、集合的分类: 1.有限集含有有限个元素的集合 2.无限集含有无限个元素的集合 3.空集不含任何元素的集合例:{x|x2=-5} 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集

人教版高一数学必修1测试题(含答案)

人教版数学必修I 测试题(含答案) 一、选择题 1、设集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,2,5U A B ===,则()U A C B =( ) A 、{}2 B 、{}2,3 C 、{}3 D 、{}1,3 2、已知集合{}{}0,1,2,2,M N x x a a M ===∈,则集合 M N ( ) A 、{}0 B 、{}0,1 C 、{}1,2 D 、{}0,2 3、函数()21log ,4y x x =+≥的值域是 ( ) A 、[)2,+∞ B 、()3,+∞ C 、[)3,+∞ D 、(),-∞+∞ 4、关于A 到B 的一一映射,下列叙述正确的是 ( ) ① 一一映射又叫一一对应 ② A 中不同元素的像不同 ③ B 中每个元素都有原像 ④ 像的集合就是集合B A 、①② B 、①②③ C 、②③④ D 、①②③④ 5、在221 ,2,,y y x y x x y x ===+=,幂函数有 ( ) A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 6、已知函数()213f x x x +=-+,那么()1f x -的表达式是 ( ) A 、259x x -+ B 、23x x -- C 、259x x +- D 、21x x -+ 7、若方程0x a x a --=有两个解,则a 的取值范围是 ( ) A 、()0,+∞ B 、()1,+∞ C 、()0,1 D 、? 8、若21025x =,则10x -等于 ( ) A 、15- B 、15 C 、150 D 、 1 625 9、若()2log 1log 20a a a a +<<,则a 的取值范围是 ( )

高一数学必修一的知识点总结介绍

高一数学必修一的知识点总结介绍 一:集合的含义与表示 1、集合的含义:集合为一些确定的、不同的东西的全体,人们 能意识到这些东西,并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。 把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫集合,简称为集。 2、集合的中元素的三个特性: (1)元素的确定性:集合确定,则一元素是否属于这个集合是确 定的:属于或不属于。 (2)元素的互异性:一个给定集合中的元素是唯一的,不可重复的。 (3)元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的,并且改变位置不影响集合 3、集合的表示:{…} (1)用大写字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法:列举法与描述法。 a、列举法:将集合中的元素一一列举出来{a,b,c……} b、描述法: ①区间法:将集合中元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合。 {x?R|x-3>2},{x|x-3>2} ②语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形} ③Venn图:画出一条封闭的曲线,曲线里面表示集合。

4、集合的分类: (1)有限集:含有有限个元素的集合 (2)无限集:含有无限个元素的集合 (3)空集:不含任何元素的集合 5、元素与集合的关系: (1)元素在集合里,则元素属于集合,即:a?A (2)元素不在集合里,则元素不属于集合,即:a¢A 注意:常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集)记作:N 正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 6、集合间的基本关系 (1).“包含”关系(1)—子集 定义:如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,我们说这两个集合有包含关系,称集合A是集合B的子集。 7、集合的运算 二、函数的概念 函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A---B为从集合A到集合B的一个函数.记作:y=f(x),x∈A. (1)其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;

重点高中数学必修必修知识点总结

精心整理 高中数学必修1知识点总结 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1、集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性: 1.元素的确定性; 2.元素的互异性; 3.元素的无序性 3、集合的表示:{…}如{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} 1.用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} 2a ∈A 4(1(2(31.反之2.B ②真子集:如果A ?B,且B ?A 那就说集合A 是集合B 的真子集,记作A ?B(或B ?A) ③如果A ?B,B ?C,那么A ?C ④如果A ?B 同时B ?A 那么A=B 3.不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ 规定:空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。 三、集合的运算 1.交集的定义:一般地,由所有属于A 且属于B 的元素所组成的集合,叫做A,B 的交集. 记作A ∩B(读作”A 交B ”),即A ∩B={x|x ∈A ,且x ∈B}. 2、并集的定义:一般地,由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合,叫做A,B 的并集。记作:A ∪B(读作”A 并B ”),即A ∪B={x|x ∈A ,或x ∈B}.

3、交集与并集的性质:A∩A=A,A∩φ=φ,A∩B=B∩A,A∪A=A, A∪φ=A,A∪B=B∪A. 4、全集与补集 (1)补集:设S是一个集合,A是S的一个子集(即),由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集(或余集) (2)全集:如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。 四、函数的有关概念 1.函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作:y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的 ( 数) )(见课本 (1) 域 3. (1) 点 集合 实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上.即记为C={P(x,y)|y=f(x),x∈A},图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。 (2)画法 A、描点法:根据函数解析式和定义域,求出x,y的一些对应值并列表,以(x,y)为坐标在坐标 系内描出相应的点P(x,y),最后用平滑的曲线将这些点连接起来. B、图象变换法(请参考必修4三角函数) 常用变换方法有三种,即平移变换、伸缩变换和对称变换 (3)作用: 1、直观的看出函数的性质; 2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解题的速度。发现 解题中的错误。 4.了解区间的概念

高一数学必修1试题附答案详解

1.已知全集I ={0,1,2},且满足C I (A ∪B )={2}的A 、B 共有组数 2.如果集合A ={x |x =2k π+π,k ∈Z},B ={x |x =4k π+π,k ∈Z},则集合A ,B 的关系 3.设A ={x ∈Z||x |≤2},B ={y |y =x 2 +1,x ∈A },则B 的元素个数是 4.若集合P ={x |30,则a 的取值范围是

人教版高中数学必修一知识点总结

高一数学必修1各章知识点总结 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性: (1)元素的确定性如:世界上最高的山 (2)元素的互异性如:由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性: 如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示:{ … } 如:{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰 洋} (1)用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法:列举法与描述法。 ◆注意:常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集)记作:N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1)列举法:{a,b,c……} 2)描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。 {x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3)语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形} 4)Venn图: 4、集合的分类: (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合例:{x|x2=-5} 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 A?有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是同一集合。 注意:B ?/B或B?/A 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A 2.“相等”关系:A=B (5≥5,且5≤5,则5=5) 实例:设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即:①任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且A≠B那就说集合A是集合B的真子集,记作A B(或B A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④如果A?B 同时 B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。 ◆有n个元素的集合,含有2n个子集,2n-1个真子集

高一数学必修1知识点总结

高中数学必修1知识点 第一章、集合综合应用题;单调性、奇偶性证明与应用; 第二章、指数幂与对数的运算;指数函数与对数函数性质的应用; 第三章、零点问题,尤其是二次函数的零点、二次函数根的分布。 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念: 1、集合的含义: 2、集合的中元素的三个特性: (1)元素的确定性;(2)元素的互异性;(3)元素的无序性 3、集合的表示: (Ⅰ)列举法: (Ⅱ)描述法: 4、常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集)N ;正整数集N*或N+ ;整数集Z;有理数集Q;实数集R 5、“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如:a是集合A的元素,就说a属于集合A 记作a∈A ,相反,a不属于集合A 记作a A 6、集合的分类: 1.有限集含有有限个元素的集合 2.无限集含有无限个元素的集合 3.空集不含任何元素的集合 二、集合间的基本关系 集合相等,子集,真子集,空集等定义 规定: 空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。 三、集合的运算 1.交集、并集、全集与补集的定义 2.性质:A∩A = A,A∩φ= φ, A∩B = B∩A,A∪A = A,A∪φ= A , A∪B = B∪A. ⑴C U(C U A)=A ⑵(C U A)∩A=Φ⑶(C U A)∪A=U (4)(C U A)∩(C U B)=C U(A∪B) (5)(C U A)∪(C U B)=C U(A∩B) 二、函数的有关概念 1.函数的概念:(看课本) 注意:1、如果只给出解析式y=f(x),而没有指明它的定义域,则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合; 2、函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式. 定义域补充: 能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域,求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:(1) 分式的分母不等于零;(2)偶次方根的被开方数不小于零;(3)对数式的真数必须大于零;(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是

高中数学必修一至必修五知识点总结

必修1 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1、集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性:1.元素的确定性;2.元素的互异性;3.元素的无序性 非负整数集(即自然数集)记作:N 正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 关于“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如:a是集合A的元素,就说a属于集合A 记作a∈A ,相反,a不属于集合A 记作a?A 二、集合间的基本关系 任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且B?A那就说集合A是集合B的真子集,记作A?B(或B?A) 3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。 三、集合的运算 1.交集的定义:一般地,由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.(即找公 共部分)记作A∩B(读作”A交B”),即A∩B={x|x∈A,且x∈B}. 2、并集的定义:一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集。(即A和B中所有的元素)记作:A∪B(读作”A并B”),即A∪B={x|x∈A,或x∈B}. 4、全集与补集 (1)补集:设S是一个集合,A是S的一个子集(即),由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集(或余集)(即除去A剩下的元素组成的集合) 四、函数的有关概念

定义域补充 能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域,求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:(1)分式的分母不等于零;(2)偶次方根的被开方数不小于零;(3)对数式的真数必须大于零;(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零(6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. (又注意:求出不等式组的解集即为函数的定义域。) 构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域 4.了解区间的概念 (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间;(2)无穷区间;(3)区间的数轴表示. 7.函数单调性 (1).增函数 设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量a,b,当a

高中数学必修知识点总结

高中数学必修知识点总结 必修一 一、集合有关概念 1、集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性: 1.元素的确定性; 2.元素的互异性; 3.元素的无序性 3.集合的表示方法:列举法与描述法。 非负整数集(即自然数集)记作:正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 二、集合间的基本关系 1.对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素,我们就说集合A等于集合B,即:A=B … 2、子集与真子集 3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。 三、集合的运算 1.交集的定义:一般地,由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集. 记作A∩B(读作”A交B”),即A∩B={x|x∈A,且x∈B}. 2、并集的定义:一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集。记作:A∪B(读作”A并B”),即A∪B={x|x∈A,或x∈B}. 3、交集与并集的性质:A∩A = A, A∩φ= φ, A∩B = B∩A,A∪A = A, A∪φ= A ,A∪B = B∪A. 4、全集与补集 > (1)补集:设S是一个集合,A是S的一个子集(即),由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集(或余集)

(2)全集:如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。 (3)性质: 二、函数的有关概念 1、函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作:y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域. ☆求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:(1)分式的分母不等于零;(2)偶次方根的被开方数不小于零;(3)对数式的真数必须大于零;(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零(6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. ☆构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域 2、补充一:分段函数 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情况.(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集. 补充二:复合函数 ' 如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则y=f[g(x)]=F(x),(x∈A) 称为f、g的复合函数。 补充三:抽象函数 3、函数的解析式的常用求法: 1、定义法; 2、换元法; 3、待定系数法; 4、函数方程法; 5、配方法 4、函数的值域的常用求法: 1、换元法; 2、配方法; 3、判别式法; 4、几何法; 5、不等式法; 6、单调性法 5、函数单调性

高一数学必修一试题(含答案)

高中数学必修1检测题 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知全集(}.7,5,3,1{},6,4,2{},7.6,5,4,3,2,1{ A B A U 则===B C U )等于 ( ) A .{2,4,6} B .{1,3,5} C .{2,4,5} D .{2,5} 2.已知集合}01|{2=-=x x A ,则下列式子表示正确的有( ) ①A ∈1 ②A ∈-}1{ ③A ?φ ④A ?-}1,1{ A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 3.若:f A B →能构成映射,下列说法正确的有 ( ) (1)A 中的任一元素在B 中必须有像且唯一; (2)A 中的多个元素可以在B 中有相同的像; (3)B 中的多个元素可以在A 中有相同的原像; (4)像的集合就是集合B . A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 4、如果函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(],4-∞上单调递减,那么实数a 的取值范围是 ( ) A 、3a -≤ B 、3a -≥ C 、a ≤5 D 、a ≥5 5、下列各组函数是同一函数的是 ( ) ①()f x =()g x =()f x x =与()g x =; ③0()f x x =与0 1()g x x = ;④2()21f x x x =--与2 ()21g t t t =--。 A 、①② B 、①③ C 、③④ D 、①④ 6.根据表格中的数据,可以断定方程02=--x e x 的一个根所在的区间是 ( ) A .(-1,0) B .(0,1) C .(1,2) D .(2,3) 7.若=-=-33)2 lg()2lg(,lg lg y x a y x 则 ( )

数学必修1知识点整理

新课标数学必修1知识点总结 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1、集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性: 1.元素的确定性; 2.元素的互异性; 3.元素的无序性 说明:(1)对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象是或者不是这个给定的集合的元素。 (2)任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入一个集合时,仅算一个元素。 (3)集合中的元素是平等的,没有先后顺序,因此判定两个集合是否一样,仅需比较它们的元素是否一样,不需考查排列顺序是否一样。 (4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。 3、集合的表示:{ … } 如{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} 1. 用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} 2.集合的表示方法:列举法与描述法。 注意啊:常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集)记作:N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 关于“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如:a是集合A的元素,就说a属于集合A 记作 a∈A ,相反,a不属于集合A 记作 aA 列举法:把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上。 描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 ①语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法:例:不等式x-3>2的解集是{xR| x-3>2}或{x| x-3>2} 4、集合的分类: 1.有限集含有有限个元素的集合 2.无限集含有无限个元素的集合 3.空集不含任何元素的集合例:{x|x2=-5} 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意:有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是同一集合。 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A 2.“相等”关系(5≥5,且5≤5,则5=5) 实例:设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同” 结论:对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素,我们就说集合A等于集合B,即:A=B ①任何一个集合是它本身的子集。AA ②真子集:如果AB,且A B那就说集合A是集合B的真子集,记作A B(或B A) ③如果 AB, BC ,那么 AC ④如果AB 同时 BA 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。 三、集合的运算 1.交集的定义:一般地,由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集. 记作A∩B(读作"A交B"),即A∩B={x|x∈A,且x∈B}. 2、并集的定义:一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集。记作:A

数学必修一定义域值域知识点总结

数学必修一定义域值域知识点总结 数学必修一定义域知识点 定义 (高中函数定义)设A,B是两个非空的数集,如果按某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A--B为集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x属于集合A。其中,x叫作自变量,x的取值范围A叫作函数的定义域; 常见题型 1,已知f(x)的定义域,求f(g(x))的定义域. 例1,已知f(x)的定义域为(-1,1),求f(2x-1)的定义域. 略解:由-1<2x-1<1有0<1 ∴f(2x-1)的定义域为(0,1) 2,已知f(g(x))的定义域,求f(x)的定义域. 例2,已知f(2x-1)的定义域为(0,1),求f(x)的定义域。 解:已知0<1,设t=2x-1 ∴x=(t+1)/2 ∴0<(t+1)/2<1 ∴-1<1 ∴f(x)的定义域为(-1,1) 注意比较例1与例2,加深理解定义域为x的取值范围的含义。 3,已知f(g(x))的定义域,求f(h(x))的定义域.

例3,已知f(2x-1)的定义域为(0,1),求f(x-1)的定义域。 略解:如例2,先求出f(x)的定义域为(-1,1),然后如例1有-1<1,即0<2 ∴f(x-1)的定义域为(0,2) 指使函数有意义的一切实数所组成的集合。 其主要根据: ①分式的分母不能为零 ②偶次方根的被开方数不小于零 ③对数函数的真数必须大于零 ④指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1 例4,已知f(x)=1/x+√(x+1),求f(x)的定义域。 略解:x≠0且x+1≧0, ∴f(x)的定义域为[-1,0)∪(0,+∞) 注意:答案一般用区间表示。 例5,已知f(x)=lg(-x2+x+2),求f(x)的定义域。 略解:由-x2+x+2>0有x2-x-2<0 即-1<2 ∴f(x)的定义域为(-1,2) 函数应用题的函数的定义域要根据实际情况求解。 例6,某工厂统计资料显示,产品次品率p与日产量 x(件)(x∈N,1≦x<99)的关系符合如下规律: 又知每生产一件正品盈利100元,每生产一件次品损失100元. 求该厂日盈利额T(元)关于日产量x(件)的函数;

高中数学必修知识点总结

高中数学必修知识点总 结 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】

必修 4 第一章三角函数 一、任意角和弧度制 1.任意角 (1)角的概念:平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角,射线的起始位置叫做角的始边,终止位置叫做角的终边.按逆时针方向旋转形成的角叫做正角,按顺时针方向旋转形成的角叫做负角,如果射线没有作任何旋转,则形成零角.在坐标系内,使角的顶点与原点重合,角的终边与x轴的正半轴重合,则角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角. (2)终边相同的角:所有与α终边相同的角,连同α在内,可构成一个集合 (3)坐标轴上的角: 2.弧度制 (1)定义:长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角. (2)计算:如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l,那么角α弧度数的绝对值是其中,α的正负由角α的终边的旋转方向决定.

注意:弧长公式:=l r α. 扇形面积公式:211 22 = =S lr r α. (3)换算:360°=2π 180°=π 说明:①1800=π是所有换算的关键,如ππ====,18018030456644;②πm n 形式的角当n =2,3,4,6时都是特殊角. 二、任意角的三角函数 1.任意角三角函数的定义 (1)定义:设P (x ,y )是角α终边上任意一点,=>OP r 0,则有 (2)三角函数值的符号: 口诀:一全二正弦,三切四余弦. 注:一二三四指象限,提到的函数为正值,未提到的为负值. 2.同角三角函数的基本关系 sin 2α+cos 2α=1 三、三角函数的诱导公式 1.诱导公式 口诀2:函数名改变,符号看象限. 四、三角函数的图象与性质 1.正、余弦函数的图象 2.正、余弦函数的性质 (2)最值 ①y =sin x :当22 =+ x k ππ时,取得最大值1,

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高一数学必修一试卷及答案 一、选择题: (每小题 3 分,共 30 分) 1 、已知全集 I {0,1,2,3,4} ,集合 M {1,2,3} , N {0,3,4} ,则 (C I M )I N 等于 ( ) A.{ 0, 4} B.{ 3,4} C.{1, 2} D. 2、设集合 M { x x 2 6 x 5 0},N { x x 2 5x 0},则M UN 等于 ( ) A.{ 0} B.{ 0, 5} C.{ 0,1, 5} D.{ 0,- 1,- 5} 3、计算: log 2 9 log 38 = ( ) A 12 B 10 C 8 D 6 4、函数 y a x 2(a 0且 a 1) 图象一定过点 ( ) A ( 0,1) B ( 0,3) C (1,0) D (3,0 ) 5、“龟兔赛跑”讲述了这样的故事:领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟,骄傲起来,睡了一 觉,当它醒来时,发现乌龟快到终点了,于是急忙追赶,但为时已晚,乌龟还是先到达了终 点 用 S 1 2 分别表示乌龟和兔子所行的路程, t 为时间,则与故事情节相吻合是 ( ) 、 S 6、函数 ylog 1 x 的定义域是( ) 2 A {x | x >0} B {x | x ≥ 1} C {x | x ≤ 1} D {x | 0< x ≤1} 7、把函数 y 1 2 个单位后, 所得函数的解析式 的图象向左平移 1 个单位, 再向上平移 x 应为 ( ) A 2x 3 B y 2x 1 2x 1 2x 3 y 1 x C y 1 Dy 1 x 1 x x 8、设 f (x ) lg x 1 ,g(x) e x 1 ,则 ( ) x 1 e x A f(x)与 g(x)都是奇函数 B f(x)是奇函数, g(x)是偶函数 C f(x)与 g(x)都是偶函数 D f(x)是偶函数, g(x)是奇函数

高中数学必修一第一章知识点总结

第一章 集合与函数概 念 〖1.1〗集合 【1.1.1】集合的含义与表示 (1)集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. (2)常用数集及其记法 N 表示自然数集,N *或N +表示正整数集,Z 表示整数集,Q 表示有理数集,R 表示实数集. (3)集合与元素间的关系 对象a 与集合M 的关系是a M ∈,或者a M ?,两者必居其一. (4)集合的表示法 ①自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合. ③描述法:{x |x 具有的性质},其中x 为集合的代表元素. ④图示法:用数轴或韦恩图来表示集合. (5)集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?). 【1.1.2】集合间的基本关系 (6)子集、真子集、集合相等 (7)已知集合A 有(1)n n ≥个元素,则它有2n 个子集,它有21n -个真子集,它有21n -个非空子集, 它有2 2n -非空真子集. (8)交集、并集、补集

【1.1.3】集合的基本运算 名称记号意义性质示意图 交集A B {|, x x A ∈且 } x B ∈ (1)A A A = (2)A?=? (3)A B A ? A B B ? B A 并集A B {|, x x A ∈或 } x B ∈ (1)A A A = (2)A A ?= (3)A B A ? A B B ? B A 补集U A {|,} x x U x A ∈? 且 1() U A A=? 2() U A A U = 【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法 (1)含绝对值的不等式的解法 不等式解集 ||(0) x a a <>{|} x a x a -<< ||(0) x a a >>|x x a <-或} x a > ||,||(0) ax b c ax b c c +<+>>把ax b +看成一个整体,化成||x a <,||(0) x a a >>型不等式来求解 (2)一元二次不等式的解法 判别式 24 b a c ?=- ?>0 ?=0 ?< 二次函数 2(0) y ax bx c a =++> 的图象 O 一元二次方程 20(0) ax bx c a ++=> 的根 2 1,2 4 2 b b ac x a -±- = (其中 12 ) x x < 122 b x x a ==-无实根 20(0) ax bx c a ++>> 的解集 1 {|x x x <或 2 } x x >{|x} 2 b x a ≠-R ()()() U U U A B A B = ()()() U U U A B A B =

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