四川省古蔺县中学高三数学复习学案:5.1等差数列与等比数列
【知识特点】
(1)数列是高中数学的主要内容之一是高考的常考内容;
(2)数列具有函数特征,又能构成独特的递推关系,故使得数列与函数、方程、不等式等知识有较密切的联系,因此高考命题时常将数列与函数、不等式、向量等交汇,考查学生的逻辑思维能力、运算推理能力,呈现出综合性强、立意新的特点;
(3)数列、等差与等比数列的概念和性质、通项公式、前n项和公式等知识,突出了“小、巧、活”的特点,也提供了知三求二的理论依据;
(4)数列的规律性较强,学习时一定要从其规律入手来计算、分析、解决有关问题。
【重点关注】
(1)要正确理解数列、等差、等比数列的基本概念,掌握各公式之间的联系和内在规律,掌握公式的灵活运用,甚至要灵活地回归定义,巧用性质,使运算更简捷;
(2)要善于运用函数与方程、化归与转化、分类讨论等思想方法去分析问题、解决问题;(3)本章另一重点是由递推公式得出数列,以及数列的前n项和Sn与通项之间的关系。体现了由特殊到一般的思维规律;
(4)与数列有关的应用题也是高考考查的重点,特别是数列建模问题;
(5)数列证明问题与数学归纳法的联系。
【地位和作用】
数列是函数大家庭中的一员,其特殊性在于其定义域是正整数,它是按一定次序排列的一列数,数列在中学数学中既具有相对的独立性,又具有较强的综合性,它是初等数学与高等数学的一个重要衔接点,因此历年的高考中占有较大的比重,在选择、填空题中,突出“小、巧、活”的特点。
递推思想可以极大地激活人们探索与发现真理的能力,由给出的前若干项及an与an+1的关系式得到的数列叫递推数列,该关系式叫递推公式。
高考命题中数列善于占有重要一席,而运用递推式是解题的起点。
对于本章而言,从新课改近几年各省份的高考信息可以看出,高考命题呈现出以下几个特点:1、考查题型较为全面。选择、填空、解答均有所考查,一般一小一大,分值占10%,其中解答题难度较大;
2、重点考查等差数列、等比数列的定义,通项公式和前n项和公式,注重在知识的交汇处命题,如数列与函数、方程、不等式等知识的综合应用。注意对观察、转化与化归能力及数学归纳法的考查;
3、预计今后高考仍将以等差数列、等比数列的定义,通项公式和前n项和公式为考点,同时与其他章节结合命题将是数列解答题的命题方向。
第一节等差数列与等比数列
【高考目标导航】
一、数列的概念与简单表示法
1、考纲点击
(1)了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式);
(2)了解数列是自变量为正整数的一类函数。
2、热点提示
(1)已知数列的通项公式或递推关系,求数列的各项;
(2)以数列的前几项为背景,考查“归纳——推理”思想。
(3)由数列的递推关系式求数列的通项公式是本节重点,也是本节的难点。
二、等差数列及其前n项和
1、考纲点击
(1)理解等差数列的概念;
(2)掌握等差数列的通项公式与前n项和公式;
(3)能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用有关知识解决相应的问题;(4)了解等差数列与一次函数的关系。
2、热点提示
(1)等差数列的通项公式与前n项和公式是考查重点;
(2)归纳法、累加法、倒序相加法、方程思想、运用函数的性质解决等差数列问题是重点,也是难点;
(3)题型以选择题和填空题为主,与其他知识结合则以解答题为主。
三、等比数列及其前n项和
【考纲知识梳理】
一、数列的概念与简单表示法
1、数列的定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项。
2、数列的分类
分类原则类型满足条件
按项数分类有穷数列项数有限
无穷数列项数无限
按项与项间的大小关系分类递增数列
其中
递减数列
常数列
按其他标准分类有界数列存在正数M,使
摆动数列的符号正负相间,如1,-1,1,-1,……
3、数列的表示法:
数列有三种表示法,它们分别是列表法、图象法和解析法。
注:数列可以看作一个函数,其定义域是正整数集(或它的有限子集{1,2,3,……,n}),
可表示为。
4、数列的通项公式
如果数列{ }的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式。
注:数列的通项公式不唯一,如数列-1,1,-1,1,……通项公式可以为或,有的数列没有通项公式。
5、数列与函数的内在联系
从映射、函数的观点看,数列可以看作是一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数,即当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值,而数列的通项公式也就是相应函数的解析式。
6、递推公式
如果已知数列的第1项(或前几项),且从第二项(或某一项)开始的任一项与它的前一项(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。
二、等差数列及其前n项和
1、等差数列的定义
如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差,通常用d表示,其符号语言为:
2、等差数列的通项公式
若等差数列{ }的首项为,公差是d,则其通项公式为。
注:已知等差数列{ }的第m项为,公差为d,则其第n项可以表示为:。
3、等差中项
如果三个数a,A,b成等差数列,则A叫做a和b的等差中项,且有。
4、等差数列的前n项和公式
三、等比数列及其前n项和
等比数列的相关概念
相关名词等比数列{ }的有关概念及公式
定义
通项公式
前n项和公式
等比中项设a、b为任意两个同号的实数,则a、b的等比中项为:
注:是a,b,c成等比的必要不充分条件,∵当b=0,a,c至少有一个为零时,成立,但a,b,c 不成等比,反之,若a,b,c成等比,则必有
方法提示:
1、数列的项与集合中元素的区别:
把数列中的项与集合中的元素相比较,数列中的项具有确定性、有序性、可重复性,不具有互异性;集合中的元素具有确定性、无序性、互异性。
2、求通项公式的技艺:
根据数列的前几项写出数列的通项公式时,常用到“观察、归纳、猜想、验证”的数学思想方法,即先找出各项相同的部分(不变量),再找出不同的部分(可变量)与序号之间的关系,并用n表示出来,不是所有的数列都有通项公式,一个数列的通项公式在形式上可以不唯一。
【要点名师透析】
一、数列的概念与简单表示法
(一)由数列的前几项求数列的通项公式
※相关链接※
数列的通项公式
(1)据所给数列的前几项求其通项公式时,需仔细观察观察分析,抓住以下几方面的特征:
①分式中分子、分母的特征;
②相邻项的变化特征;
③拆项后的特征;
④各项符号特征等,并对此进行归纳、联想。
(2)观察、分析问题的特点是最重要的,观察要有目的,观察出项与项数之间的关系、规律,利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数列等)转换而使问题得到解决。(3)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法,它蕴含着从特殊到一般的思想,由不完全归纳提出的结果是不可靠的,要注意代值检验,对于正负符号变化,可用或来调整。
※例题解析※
〖例〗写出下列各数列的一个通项公式:
思路解析:由所给数列前几项的特点,归纳出其通项公式,注意项与项数的关系,项与前后项之间的关系,通项公式的形式并不唯一。
解答:(1)各项是从4开始的偶数,所以;
(2)每一项分子比分母少1,而分母可写成21,22,23,24,25,……,故所求数列的一个通项公式可定为;
(3)带有正负号,故每项中必须含有一个这个因式,而后去掉负号,观察可得。
将第二项-1写成。分母可化为3,5,7,9,11,13,……为正奇数,而分子可化为12+1,22+1,32+1,42+1,52+1,62+1,……故其一个通项公式可写为:;
(4)将数列各项写为分母都是3,而分子分别是10-1,102-1,103-1,104-1,……,所以
(二)由递推公式求数列通项公式
※相关链接※
1、由和递推关系求通项公式,可观察其特点,一般常利用化归法、累加法、累乘法等。(1)构造等比数列,已知首项,递推关系为,求数列的通项公式的关键是将转化为的形式,其中a的值可由待定系数法确定,即
(2)已知且可以用累加法,即,,……,,。
所有等式左右两边分别相加,得
即:
(3)已知且可以用累乘法,即,,……,,,所有等式左右两边分别相乘,得
注:并不是每一个数列都有通项公式,如果一个数列有通项公式,那么它的通项公式在形式
上也可以不止一个。
2、由与的关系求
由求时,要分n=1和n≥2两种情况讨论,然后验证两种情况可否用统一的解析式表示,若不能,则用分段函数的形式表示为。
※例题解析※
〖例〗(1)在数列{an}中,a1=1,an+1=(1+ )an+ 设求数列{bn}的通项公式;
(2)已知数列{an}中,a1=1,an+1=(n+1)an,求数列{an}的通项
公式.
思路分析:(1)首先由递推公式得到的关系式:再借助于累加的方法求出数列{bn}的通项公式;(2)由题设可得利用累乘的方法求解.
解析:(1)由已知可得b1=a1=1,且
即从而有
bn=b1+(b2-b1)+…+(bn-bn-1)= (n≥2),又因为b1=a1=1,故所求的通项公式为
(2)∵an+1=(n+1)an,
a1=1.
累乘可得,
an=n×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1=n!.
故an=n!.
(二)数列的单调性及其应用
〖例〗(12分)已知数列的前n项和为 ,并且满足
(1)求{ }的通项公式;
(2)令,问是否存在正整数m,对一切正整数n,总有,若存在,求m的值;若不存在,说明理由。
思路解析:(1)
(2)由已知得的表达式求最大项得结论.
解答:(1)令n=1,
(2)
注:(1)数列的单调性是高考常考内容之一,有关数列最大、最小项、数列有界性问题均可借助数列的单调性来解决,判断单调性时常用①作差法,②作商法,③结合函数图象等方法。(2)求最大项,则满足;若求最小项,则满足。
二、等差数列及其前n项和
(一)等差数列的基本运算
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1、等差数列的通项公式 = +(n-1)d及前n项和公式,共涉及五个量,,d,n, ,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想解决问题;
2、数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用,而和d是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法。
注:因为,故数列{ }是等差数列。
※例题解析※
〖例〗已知数列{ }的首项 =3,通项,且,,成等差数列。求:
(1)的值;
(2)数列{ }的前n项和的公式。
思路解析:(1)由 =3与,,成等差数列列出方程组即可求出;(2)通过利用条件分成两个可求和的数列分别求和。
解答:(1)由 =3得……………………………………①
又,得…………………②
由①②联立得。
(2)由(1)得,
(二)等差数列的判定
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1、等差数列的判定通常有两种方法:
第一种是利用定义,,第二种是利用等差中项,即。
2、解选择题、填空题时,亦可用通项或前n项和直接判断。
(1)通项法:若数列{ }的通项公式为n的一次函数,即 =An+B,则{ }是等差数列;(2)前n项和法:若数列{ }的前n项和是的形式(A,B是常数),则{ }是等差数列。注:若判断一个数列不是等差数列,则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。
※例题解析※
〖例〗已知数列{ }的前n项和为,且满足
(1)求证:{ }是等差数列;
(2)求的表达式。
思路解析:(1)与的关系结论;
(2)由的关系式的关系式
解答:(1)等式两边同除以得 - +2=0,即 - =2(n≥2).∴{ }是以 = =2为首项,以2为公差的等差数列。
(2)由(1)知 = +(n-1)d=2+(n-1)×2=2n,∴ = ,当n≥2时, =2 ? = 。又∵,不适合上式,故。
(三)等差数列的性质
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1、等差数列的单调性:
等差数列公差为d,若d>0,则数列递增;若d<0,则数列递减;若d=0,则数列为常数列。2、等差数列的简单性质:
已知数列{ }是等差数列,是其前n项和。
(1)若m+n=p+q,则 ,特别:若m+n=2p,则。
(2)仍是等差数列,公差为kd;
(3)数列也是等差数列;
(4);
(5)若n为偶数,则;若n为奇数,则;
(6)数列也是等差数列,其中均为常数,是等差数列。
3、等差数列的最值:
若是等差数列,求前n项和的最值时,
(1)若a1>0,d>0,且满足,前n项和最大;
(2)若a1<0,d>0,且满足,前n项和最小;
(3)除上面方法外,还可将的前n项和的最值问题看作关于n的二次函数最值问题,利用二次函数的图象或配方法求解,注意。
※例题解析※
〖例1〗(2011?如皋模拟)已知在等差数列{an}中,a1=31,Sn是它的前n项和,S10=S22,
(1)求Sn;
(2)这个数列的前多少项的和最大,并求出这个最大值.
思路解析:利用等差数列的性质求解第(1)题、第(2)题,解题关键是写出前n项和公式,利用函数思想解决.
(1)∵S10=a1+a2+…+a10,
S22=a1+a2+…+a22,又S10=S22
∴a11+a12+…+a22=0,
即a11+a22=2a1+31d=0,
又a1=31,∴d=-2,
∴Sn=na1+ =31n-n(n-1)=32n-n2.
(2)方法一:由(1)知Sn=32n-n2,
∴当n=16时,Sn有最大值,Sn的最大值是256.
方法二:由Sn=32n-n2=n(32-n),欲使Sn有最大值,应有1 从而 当且仅当n=32-n,即n=16时,Sn有最大值256. 〖例2〗已知数列是等差数列。 (1)若 (2)若 思路解析:(1)由通项公式或前n项和公式得和的关系,通过解方程组求得和,进而求得和。(2)利用等差数列数列的性质可使问题简化。 解答:设首项为,公差为, (1)方法一:由,得解得 方法二:由, ∴ (2)方法一:由已知可得解得 方法二:∵是等差数列,∴可设则 ①-②得 方法三: = ∴ 注:(1)灵活运用性质,求等差数列中的量,可以简化运算,提高解题速度及准确性;(2)在应用性质:若则时,首先要找到项数和相等的条件,然后根据需要求解,解决此类问题要有整体代换的意识。 (四)等差数列的综合应用 〖例〗已知是正数组成的数列,,且点()在函数y=x2+1的图象上。 (1)求数列的通项公式; (2)若数列满足b1=1,bn+1=bn+ ,求证:。 思路解析:(1)利用点在函数图象上代入即可得与的关系,易求得;(2)可先求,利用累加法或迭代法求得,而后作差比较即可,也可不用求而直接利用已知关系式迭代求证即可。 解答:方法一:(1)由已知得,即,又,所以数列是以1为首项,公差为1的等差数列。故 =1+(n-1)×1=n. (3)由(1)知: = n,从而, 。 方法二:(1)同方法一; (2)因为,所以 注:数列与函数、不等式、解析几何结合命题是高考考查的热点,以函数为载体,求解数列问题时要看清它们之间的关系,灵活应用它们是关键,在证明数列中不等问题时,要弄清题意,灵活采用证明不等式的常用方法,本例采用了求差比较法,也是高考常考方法之一,可适当变形以解决它们。 方法提示: 1.解决等差数列问题,熟练掌握等差数列的有关性质,寻找项与前n项和之间的关系是解题关键. 2.在等差数列{an}中,有关Sn的最值问题: (1)a1>0,d<0时,满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm; (2)当a1<0,d>0时,满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm. (3)关于最值问题,除上面介绍的方法外,还可利用等差数列与函数的关系来解决,等差数列的前n项和 Sn可看成关于n的二次函数式且常数项为0,利用二次函数的图象或配方法解决最值问题. 三、等比数列及其前n项和 (一)等比数列的的运算 ※相关链接※ 1.等比数列基本量的运算是等比数列中一类基本问题,数列中有五个量,,,,,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)所求问题可迎刃而解。 2.解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式,并灵活运用,在运算过程中,还应善于运用整体代换思想简化运算的过程。 3.在使用等比数列的前n项和公式时,应根据公比q的情况进行分类讨论,切不可忽视q 的取值而盲目用求和公式。 ※例题解析※ 〖例〗设数列的前n项和为,且 =2-2 ;数列为等差数列,且。 (1)求数列的通项公式; (2)若,为数列的前n项和,求证:。 思路解析:(1)得结论;(2)放缩得结论。 解答:(1)由 =2-2 ,得,又 = ,所以 = ,由 =2-2 ……………………①得……………………………………………………② ②-①得,∴即,∴是以为首项,以为公比的等比数列,所以 = ?。 (2)∵为等差数列,∴,∴从而∴…………………………………………………………③ ∴………………………………④ ③-④得 〖例〗在数列中,。 (1)证明数列是等比数列; (2)求数列的前n项和; (3)证明不等式对任意皆成立。 思路解析:证明一个数列是等比数列常用定义法,即,对于本例(1)适当变形即可求证,证明不等问题常用作差法证明。 解答:(1)由题设得。又所以数列是首项为1,且公比为4的等比数列。 (2)由(1)可知,于是数列的通项公式为。所以数列的前n项和。 (3)对任意的, ,所以不等式对任意皆成立。 (三)等比数列性质的应用 ※相关链接※ 1.等比数列的性质可以分为三类:(1)通项公式的变形,(2)等比中项的变形,(3)前n项和公式的变形.根据题目条件,认真分析,发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口. 2.等比数列的常用性质 (1)数列{an}是等比数列,则数列{pan}(p≠0,p是常数)也是等比数列; (2)在等比数列{an}中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即an,an+k,an+2k,an+3k,…为等比数列,公比为qk. (3)an=am?qn-m(n,m∈N+) (4)若m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),则am?an=ap?aq; (5)若等比数列{an}的前n项和为Sn,则Sk、S2k-Sk、 S3k-S2k、S4k-S3k是等比数列. (6)等比数列的单调性 3. 由于数列和函数之间有着密切的联系,所以在解决许多数列问题时,可以借鉴函数的有关思想和方法,本例在求解过程中,就是先求导数,利用数列这一特殊函数的性质解决的,所以在解决数列问题时,应善于运用函数的思想方法解决问题. 注:等比数列中所有奇数项的符号相同,所有偶数项的符号也相同。 ※例题解析※ 〖例1〗已知等比数列前n项的和为2,其后2n的和为12,求再往后3n项的和。 思路解析:由已知条件,根据前n项和公式列出关于首项和公比及n的两个方程,应能解出和关于n的表达式,这样可能较繁琐又不便于求出结果,若采用整体处理的思想,问题就会变得简单,也可采用等比数列的性质问题简化。 解答:方法一:利用等比数列的性质。由已知, .注意到 也成等比数列,其公比为 ,于是,问题转化为已知: 方法二:利用求和公式. 如果公比q=1,则由于,可知,与条件不符,∴q≠1,由求和公式,得…………………………………………①又……………………………………………………………………② ②式除以①式得,又再往后3n项的和为………………………………………………………………………………③ ③式除以①式得。 〖例2〗(2011?青岛模拟)已知函数f(x)=ax2+bx(a≠0)的导函数f′(x)=-2x+7,数列{an}的前n项和为Sn,点Pn(n,Sn)(n∈N+)均在函数y=f(x)的图象上. (1)求数列{an}的通项公式及Sn的最大值; (2)令其中n∈N+,求{nbn}的前n项和Tn. 思路解析:对函数f(x)的字母系数通常用待定系数法确定,再把函数问题转化为数列问题求解.对{nbn}求和,若bn为等比数列可考虑用错位相减法求和. 解析:(1)由题意可知: ∵f(x)=ax2+bx(a≠0),∴f′(x)=2ax+b,由f′(x)=-2x+7对应相等可得:a=-1,b=7,所以可得f(x)=-x2+7x,又因为点Pn(n,Sn)(n∈N+)均在函数y=f(x)的图象上,所以有Sn=-n2+7n 当n=1时,a1=S1=6; 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-2n+8,a1=6适合上式, ∴an=-2n+8(n∈N+) 令an=-2n+8≥0得n≤4,当n=3或n=4时,Sn取得最大值12. 综上,an=-2n+8(n∈N+),当n=3或n=4时,Sn取得最大值12. (2)由题意得 即数列{bn}是首项为8,公比为的等比数列, 故{nbn}的前n项和 Tn=1×23+2×22+…+n×2-n+4① Tn=1×22+2×2+…+(n-1)×2-n+4+n×2-n+3② 所以①-②得: Tn=23+22+…+2-n+4-n×2-n+3 【感悟高考真题】 1. (2011?江西高考文科?T5)设为等差数列,公差 , 为其前n项和,若,则 A.18 B.20 C.22 D.24 【思路点拨】首先求出,再根据等差数列的通项公式求。 【精讲精析】选B. 2. (2011?陕西高考文科?T10)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一 棵,相邻两棵树相距10米,开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边,现将树坑从1到20依次编号,为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小,树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为() (A)○1和○20 (B)○9和○10 (C) ○9和○11 (D) ○10和○11 【思路点拨】根据选项分别计算四种情形的路程和;或根据路程和的变化规律直接得出结论.【精讲精析】选D (方法一) 选项具体分析结论 A ○1和○20: 比较各个路程和可知D符合题意 B ○9: ○10: =2000 C ○11: =2000 D ○10和○11:路程和都是2000 (方法二)根据图形的对称性,树苗放在两端的树坑旁边,所得路程总和相同,取得一个最值;所以从两端的树坑向中间移动时,所得路程总和的变化相同,最后移到第10个和第11个树坑旁时,所得的路程总和达到另一个最值,所以计算两个路程和进行比较即可。树苗放在第一个树坑旁,则有路程总和是;树苗放在第10个(或第11个)树坑旁边时,路程总和是 所以路程总和最小为2000米. 3.(2011?广东高考文科?T11)已知是递增等比数列,a2=2,a4-a3=4,则此数列的公比q=?______ 【思路点拨】由等比数列的通项公式,可得关于公比的方程,从而求出 . 【精讲精析】答案:2由得,即,解得或(由数列是递增数列,舍去) 4. (2011?辽宁高考理科?T24)(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 已知函数f(x)=|x-2|-|x-5|. (I)证明:-3≤f(x)≤3; (II)求不等式f(x)≥x2-8x+15的解集. 【思路点拨】(I)将函数化为分段函数,分段考虑即可;(II)先分段求解,再将结果合并即得. 【精讲精析】(Ⅰ) 当时, .所以 . ……5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知, 当时,的解集为空集; 当时,的解集为; 当时,的解集为; 综上,不等式的解集为 . ……10分 5. (2011?辽宁高考文科?T5)若等比数列满足,则公比为 (A)2 (B)4 (C)8 (D)16 【思路点拨】利用函数思想可快速求解. 【精讲精析】选B,因为等比数列满足,① 所以② ②① 得.又因为,所以. 6. (2010上海文数)21.(本题满分14分)本题共有2个小题,第一个小题满分6分,第2个小题满分8分。 已知数列的前项和为,且, (1)证明:是等比数列; (2)求数列的通项公式,并求出使得成立的最小正整数 . 解析:(1) 当时,;当n≥2时,,所以,又≠0,所以数列是等比数列; (2) 由(1)知:,得,从而; 由,得,,最小正整数. 7. (2010江西理数)22. (本小题满分14分) 证明以下命题: (1)对任一正整a,都存在整数b,c(b (2)存在无穷多个互不相似的三角形△,其边长为正整数且成等差数列。 【解析】作为压轴题,考查数学综合分析问题的能力以及创新能力。 (1)考虑到结构要证,;类似勾股数进行拼凑。 证明:考虑到结构特征,取特值满足等差数列,只需取b=5a,c=7a,对一切正整数a均能成立。 结合第一问的特征,将等差数列分解,通过一个可做多种结构分解的因式说明构成三角形,再证明互不相似,且无穷。 证明:当成等差数列,则, 分解得: 选取关于n的一个多项式,做两种途径的分解 对比目标式,构造,由第一问结论得,等差数列成立, 考察三角形边长关系,可构成三角形的三边。 下证互不相似。 任取正整数m,n,若△m,△相似:则三边对应成比例, 由比例的性质得:,与约定不同的值矛盾,故互不相似。 【考点模拟精练】 一、选择题 1、设{an}(n∈N*)是等差数列,Sn是其前n项的和,且,,则下列结论错误的是() A.d<0 B.a7=0 C.S9>S5 D.S6与S7均为Sn的最大值 解析:由S5 2、(2)等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为() A.130 B.170 C.210 D.260 解析:由题意得方程组, 视m为已知数,解得, ∴ 3、(2011?福州模拟)把1,3,6,10,15,21,…这些数叫做三角形数,这是因为以这些数目的点可以排成一个正三角形(如图). 则第7个三角形数是( ) (A)27 (B)28 (C)29 (D)30 解析:根据三角形数的增长规律可知第七个三角形数是1+2+3+4+5+6+7=28. 4、对于数列{an},“an+1>|an|(n=1,2…)”是“{an}为递增数列”的( ) (A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 解析:选B.当an+1>|an|(n=1,2,…)时,∵|an|≥an,∴an+1>an,∴{an}为递增数列.当{an}为递增数列时,若该数列为-2,0,1,则由a2>|a1|不成立,即知:an+1>|an|(n=1,2,…)不一定成立.综上知,“an+1>|an|(n=1,2,…)”是“{an}为递增数列”的充分不必要条件. 5、(2011?临沂模拟)数列{an}中,a3=2,a7=1,且数列是等差数列,则a11=_____. 【解析】设由2b7=b3+b11,可得 答案: 6、(2011?安庆模拟)在等差数列{an}中,a1+a2+a3+…+a50=200,a51+a52+…+a100=2 700,则a1=_____. 解析:根据题意可知a1+a2+a3+…+a50=200……………① a51+a52+a53+…+a100=2 700…………………………………② ②-①可得50×50d=2 500,可得d=1. 由a1+a2+a3+…+a50=25×(a1+a50)=25(2a1+49d)=200. 解得a1=-20.5. 答案:-20.5 7、(2011?大连模拟)已知等比数列{an}的公比为正数,且a3?a9=2a52,a2=1,则a1=( ) 解析:选B.由等比数列的定义,设公比为q,又有a3?a9=2a52,则a1q2?a1q8=2(a1q4)2,解得q=± . 又∵公比q为正数,∴q= .又a2=a1q, ∴ ,故选B. 8、如果数列是等差数列,则() (A) (B) (C) (D) 答案:B 9、如果为各项都大于零的等差数列,公差,则() (A) (B) (C) (D) 答案:B 10、(2011?青岛模拟)等比数列{an}中,a2=9,a5=243,则{an}的前4项和为( ) (A)81 (B)120 (C)168 (D)192 解析:选B.根据题意及等比数列的性质可知: =27=q3,q=3,a1= =3,则数列前4项和4= =120. 11、=(C) (A) 2 (B) 4 (C) (D)0 答案:C 12、(2011?锦州模拟)正项等比数列{an}中,a5?a6=81,则log3a1+log3a2+…+log3a10=( ) (A)5 (B)10 (C)20 (D)40 解析:选 C.log3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1?a2?…?a10)=log3(a1?a10)5=log3(a5?a6)5=log3815 =log3320=20. 二、填空题 13、(2011?沈阳模拟)已知数列{an}中,则a16=_____. 解析:由题可知 ∴此数列为循环数列,a1=a4=a7=a10=a13=a16= . 答案: 14、若{an}为等差数列,a15=8,a60=20,则a75=____. 方法一:{an}为等差数列,设公差为d,那么,即, 解得:a1= ,d= , 所以a75=a1+74d= +74× =24. 方法二:{an}为等差数列,所以a15,a30,a45,a60,a75也成等差数列,设公差为d,则a60-a15=3d,所以d=4,a75=a60+d=20+4=24. 答案:24 15、设是公比为q的等比数列,是它的前n项和。若是等差数列,则q = 。 答案:1 16、(2011?济南模拟)等比数列{an}的公比q>0,已知a2=1,an+2+an+1=6an,则{an}的前4项和S4=_____. 解析:∵an+2+an+1=anq2+anq=an(q2+q)=6an ∴q2+q=6,得q=-3(舍)或q=2. 又∵a2=a1q=2a1=1, ∴a1= ∴S4=a1+a2+a3+a4= 答案: 三、解答题 1、 (本小题12分)已知等差数列的前项和为 (Ⅰ)求q的值; (Ⅱ)若a1与a5的等差中项为18,bn满足,求数列的{bn}前n项和。 解析: (Ⅰ)解法一:当时, , 当时, . 是等差数列, , ?4分 解法二:当时, , 当时, . 当时, . . 又 , 所以 ,得 .??4分 (Ⅱ)解: , . 又 , , ?8分 又得 . , ,即是等比数列。 所以数列的前项和 . 2、在等差数列{an}中,a16+a17+a18=a9=-36,其前n项和为Sn. (1)求Sn的最小值,并求出Sn取得最小值时n的值; (2)求Tn=|a1|+|a2|+…+|an|. 【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d,因为a16+a17+a18=-36,所以a17=-12,又因为a9=-36,所以 解得a1=-60,d=3, 方法一:Sn=na1+ 所以当n=20或21时,Sn最小,最小值为-630; 方法二:an=-60+(n-1)×3=3n-63, 即当n≤21时,an≤0;当n≥20时,an≥0;所以a21=0. 所以当n=20或21时,Sn最小, 最小值为S20=S21=20×(-60)+ =-630; (2)令an≤0,则n≤21,所以Tn=-(a1+a2+…+a21)+(a22+a23+…+an) 所以当n≤21时,Tn=-Sn= 当n>21时,Tn=Sn-2S21= 等差数列和等比数列的综合及其联系 课题设计背景: 数列是反映自然规律的基本数学模型之一。而等差数列和等比数列是学生必须掌握的两种基本数学模型,研究等差数列的通项、性质以及求和公式,并用类比的方法对等比数列进行研究是课程标准的教学要求。 课题设计目标: (1)掌握等差数列的通项公式及其前n项和公式; (2)掌握等差数列的通项公式及其前n项和公式;体验用类比的思想方法对等差数列和等比数列进行研究的活动。 例题分析: 1、已知(), f x = 利用课本推导等差数列前n 项和的公式的方法,求和: (5)(4)(3)...(5)f f f f f -+-+-+++的值 2、已知公差不为零的等差数列{n a }中,236,,a a a 组成等比数列的连续三项,求公比q 3、已知等差数列{}n a 的公差和等比数列{}n b 的公比都是11441010,1,,,;d d a b a b a b ≠=== (1)求1a 和d 的值;(2)16b 是不是数列{}n a 中的项,为什么? (二)等差数列和等比数列之间的转化 结论: (1){}n a 成等差数列,则{}(0,1)n a c c c >≠成等比数列; (2)正项数列{}n a 成等比数列,则{}log (0,1)c n a c c >≠成等差数列。类比可结合上述结论将等比数列转化为等差数列,再还原成等比数列写出有关结论。 例题分析: 1、 已知数列)}({* N n a n ∈是一个以(0)q q >为公比,以11(0)a a >为首项的等比数列,求 12lg lg ...lg n a a a +++ 2、 若数列)}({* N n a n ∈是等差数列,则有数列*123......,()n n a a a a b n N n ++++= ∈ 也是等差数列;类比上述性质,相应地:若数列)}({* N n c n ∈是等比数列,且0>n c ,则 有数列*_________________,()n d n N =∈也是等比数列。 3、 设)}({* N n a n ∈是等差数列,12n a n b ?? = ? ?? ,已知123123211 ,,88 b b b b b b ++= =求数列)}({*N n a n ∈的通项公式。 (三)学法总结: (四)课后反思: 高考之等比数列及函数公式 一、等比数列求和公式 q≠1时Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-anq)/(1-q) q=1时Sn=na1 (a1为首项,an为第n项,d为公差,q 为等比) 二、等比数列求和公式推导 Sn=a1+a2+a3+...+an(公比为q) qSn=a1q + a2q + a3q +...+ anq = a2+ a3+ a4+...+ an+ a(n+1) Sn-qSn=(1-q)Sn=a1-a(n+1) a(n+1)=a1qn Sn=a1(1-qn)/(1-q)(q≠1) 三、倍角公式 Sin2A=2SinA?CosA Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=(2tanA)/(1-tanA^2) (注:SinA^2 是sinA的平方sin2(A)) 四、半角公式 sin(α/2)=±√((1-cosα)/2) cos(α/2)=±√((1+cosα)/2) tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cos α)/sinα 五、降幂公式 sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=vercos(2α)/2 tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) 六、辅助角公式 Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t),其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) 七、三角函数常用公式 正弦函数sinθ=y/r 余弦函数cosθ=x/r 正切函数tanθ=y/x 余切函数cotθ=x/y 正割函数secθ=r/x 余割函数cscθ=r/y 一、等差数列选择题 1.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足() 12n n n S +=,则数列11n n a a +?????? 的前10项的和为( ) A . 89 B . 910 C .10 11 D . 1112 2.南宋数学家杨辉《详解九张算法》和《算法通变本末》中,提出垛积公式,所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,前后两项之差不相等,但是逐项差数之差或者高次成等差数列.在杨辉之后一般称为“块积术”.现有高阶等差数列,其前7项分别1,7,15,27,45,71,107,则该数列的第8项为( ) A .161 B .155 C .141 D .139 3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ,若S 2=8,38522a a a +=+,则a 1等于( ) A .1 B .2 C .3 D .4 4.等差数列{}n a 中,22a =,公差2d =,则10S =( ) A .200 B .100 C .90 D .80 5.中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题:“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤.问次一尺各重几何?” 意思是:“现有一根金锤,长五尺,一头粗一头细.在粗的一端截下一尺,重四斤;在细的一端截下一尺,重二斤.问依次每一尺各重几斤?”根据已知条件,若金箠由粗到细是均匀变化的,中间三尺的重量为( ) A .3斤 B .6斤 C .9斤 D .12斤 6.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,15a =,且满足 122527 n n a a n n +-=--,若p ,*q ∈N ,p q >,则p q S S -的最小值为( ) A .6- B .2- C .1- D .0 7.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,公差1d =,且62 10S S ,则34a a +=( ) A .2 B .3 C .4 D .5 8.定义 12n n p p p ++ +为n 个正数12,, ,n p p p 的“均倒数”,若已知数列{}n a 的前 n 项的“均倒数”为 12n ,又2n n a b =,则1223 910 111 b b b b b b +++ =( ) A . 8 17 B . 1021 C . 1123 D . 9 19 9.题目文件丢失! 10.为了参加学校的长跑比赛,省锡中高二年级小李同学制定了一个为期15天的训练计划. 一、等差数列 1.定义:)(1常数d a a n n =-+ 2.通项公式:d n a )1(a 1n -+= 3.变式:d m n a m n )(a -+= m n a a d m n --= 4.前n 项和:2 )(1n a a S n n += 或 d n n n a S n 2)1(1-+= 5.几何意义: ①d dn a d n a a n -+=-+=11)1(即q pn a n += 类似 q px y += ②n d a n d S n )2 (212-+= 即 Bn An S n +=2 类似 Bx Ax y +=2 6.}{n a 等差d a a a a a Bn An S q pn a n n n n n n n =-?+= ?+=?+=?++-11122 7.性质 ① q p n m +=+则 q p n m a a a a +=+ ② p n m 2=+ 则 p n m a a a 2=+ ③ =+=+=+--23121n n n a a a a a a ④ m S 、m -m 2S 、2m -m 3S 等差 ⑤ }{n a 等差,有12+n 项,则 n S S 1n +=偶奇 ⑥ 1212-= -n S a n n 二、等比数列 1.定义:常数)(a 1q a n n =+ 2.通项公式:11a -=n n q a 3.变式: m n m n q a -=a m n m n q a a -= 4. ?????≠--==)1( 1)1()1( 11q q q a q na S n n 前n 项和:n a S n 1= )1(=q 或 q q a S n n --=11() 1 )1(≠q 5.变式:m n m n q q S S --=11 )1(≠q 6.性质: ① r p n m +=+则 r p n m a a a a ?=? ② p n m 2=+ 则 2 p n m a a a =? ③ =?=?=?--23121n n n a a a a a a ④ m S 、m -m 2S 、2m -m 3S 等比 ⑤ }{n a 等比,有12+n 项 偶奇qS a a a a q a a a a S n n +=++++=++++=+1242112531)(a 三、等差与等比的类比 {}n a 等差 {}n b 等差 和 积 差 商 系数 指数 “0” “1” 四、数列求和 1.分组求和 本数列的和公式求和.进行拆分,分别利用基,则可或等比数列的和的形式数列,但通项是由等差通项虽不是等差或等比 项的和: 前如求n n n )}1({+ )2)(1(3 1 )1(21)12)(1(61 )321()321( ) ()22()11(] )1(22222222++=++++=++++++++=++++++=∴+=+n n n n n n n n n n n n S n n n n n 2.裂项相消法. ).11(11}{1 1 11+++-=??n n n n n n n a a d a a a n a a 为等差数列,项和,其中的前项为用于通 从而计算和的方法,适别裂开后,消去一部分把数列和式中的各项分 历年高考数学真题精选(按考点分类) 专题25 等比数列(学生版) 一.选择题(共6小题) 1.(2014?全国)等比数列4x +,10x +,20x +的公比为( ) A . 1 2 B . 43 C . 32 D .53 2.(2014?大纲版)设等比数列{}n a 的前n 项和为n S .若23S =,415S =,则6(S = ) A .31 B .32 C .63 D .64 3.(2014?重庆)对任意等比数列{}n a ,下列说法一定正确的是( ) A .1a ,3a ,9a 成等比数列 B .2a ,3a ,6a 成等比数列 C .2a ,4a ,8a 成等比数列 D .3a ,6a ,9a 成等比数列 4.(2014?上海)如果数列{}n a 是一个以q 为公比的等比数列,*2()n n b a n N =-∈,那么数列{}n b 是( ) A .以q 为公比的等比数列 B .以q -为公比的等比数列 C .以2q 为公比的等比数列 D .以2q -为公比的等比数列 5.(2013?福建)已知等比数列{}n a 的公比为q ,记(1)1(1)2(1)n m n m n m n m b a a a -+-+-+=++?+,(1)1(1)2(1)n m n m n m n m a a a -+-+-+=?g g g e,*(,)m n N ∈,则以下结论一定正确的是( ) A .数列{}n b 为等差数列,公差为m q B .数列{}n b 为等比数列,公比为2m q C .数列{}n e为等比数列,公比为2 m q D .数列{}n e为等比数列,公比为m m q 6.(2012?北京)已知{}n a 为等比数列,下面结论中正确的是( ) A .1322a a a +… B .222 1322a a a +… C .若13a a =,则12a a = D .若31a a >,则42a a > 高考数学-等比数列的前n 项和·例题解析 【例1】 设等比数列的首项为a(a >0),公比为q(q >0),前n 项和为80,其中最大的一项为54,又它的前2n 项和为6560,求a 和q . 解 由S n =80,S 2n =6560,故q ≠1 a q q a q q n n () ()11112----????? ???=80=6560 q =81n ① ②③ ∵a >0,q >1,等比数列为递增数列,故前n 项中最大项为a n . ∴a n =aq n-1=54 ④ 将③代入①化简得a=q -1 ⑤ ③ ④ 化简得⑥3a =2q 由⑤,⑥联立方程组解得a=2,q=3 【例2】求证:对于等比数列,有++.S S =S (S S )n 22n 2 n 2n 3n 证 ∵S n =a 1+a 1q +a 1q 2+…+a 1q n-1 S 2n =S n +(a 1q n +a 1q n+1+…+a 1q 2n-1) =S n +q n (a 1+a 1q +…+a 1q n-1) =S n +q n S n =S n (1+q n ) 类似地,可得S 3n =S n (1+q n +q 2n ) ∴++++S +S =S [S (1q )] =S (22q q ) n 22n 2n 2n n 2n 2n 2n S (S S )=S [S (1q )S (1q q )] =S (22q q ) S S =S (S S ) n 2n 3n n n n n n 2n n 2n 2n n 22n 2 n 2n 3n +++++++∴++ 【例3】 一个有穷的等比数列的首项为1,项数为偶数,其奇数项的和为85,偶数项的和为170,求这个数列的公比和项数. 1.(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.已知S 4=0,a 5=5,则( ) A .a n =2n -5 B .a n =3n -10 C .S n =2n 2 -8n D .S n =12 n 2 -2n 2.(2019·长郡中学联考)已知数列{a n }满足,a n +1+2a n =0,且a 2 =2,则{a n }前10项的和等于( ) A.1-2103 B .-1-210 3 C .210-1 D .1-210 3.已知等比数列{a n }的首项为1,公比q ≠-1,且a 5+a 4=3(a 3 +a 2),则 9 a 1a 2a 3…a 9等于( ) A .-9 B .9 C .-81 D .81 4.(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若3S 3=S 2+S 4,a 1=2,则a 5=( ) A .-12 B .-10 C .10 D .12 5.(2019·山东省实验中学联考)已知等差数列{a n }的公差不为零,S n 为其前n 项和,S 3=9,且a 2-1,a 3-1,a 5-1构成等比数列,则S 5=( ) A .15 B .-15 C .30 D .25 二、填空题 6.(2019·北京卷)设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 2=-3,S 5=-10,则a 5=________,S n 的最小值为________. 7.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其意思为:“有一个人走378里路, 一.课题:等差数列与等比数列的基本运算 二.教学目标:掌握等差数列和等比数列的定义,通项公式和前n 项和的公式,并能利用这些知识 解决有关问题,培养学生的化归能力. 三.教学重点:对等差数列和等比数列的判断,通项公式和前n 项和的公式的应用. 四.教学过程: (一)主要知识: 1.等差数列的概念及其通项公式,等差数列前n 项和公式; 2.等比数列的概念及其通项公式,等比数列前n 项和公式; 3.等差中项和等比中项的概念. (二)主要方法: 1.涉及等差(比)数列的基本概念的问题,常用基本量1,()a d q 来处理; 2.使用等比数列前n 项和公式时,必须弄清公比q 是否可能等于1还是必不等于1,如果不能确定则需要讨论; 3.若奇数个成等差数列且和为定值时,可设中间三项为,,a d a a d -+;若偶数个成等差数列且和为定值时,可设中间两项为,a d a d -+,其余各项再根据等差数列的定义进行对称设元.若干个数个成等比数列且积为定值时,设元方法与等差数列类似. 4.在求解数列问题时要注意运用函数思想,方程思想和整体消元思想,设而不求. (三)例题分析: 例1.(1)设数列{}n a 是递增等差数列,前三项的和为12,前三项的积为48,则它的首项为 2 . (2)已知等差数列{}n a 的公差0d ≠,且139,,a a a 成等比数列,则1392410a a a a a a ++++=1316 . 例2.有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个书的和是12,求这四个数. 解:设这四个数为:2 (),,,a d a d a a d a +-+,则2 ()16212a d a d a a d ?+-+=???+=? 解得:48a d =??=?或96a d =??=-?,所以所求的四个数为:4,4,12,36-;或15,9,3,1. 例3.由正数组成的等比数列{}n a ,若前2n 项之和等于它前2n 项中的偶数项之和的11倍,第3项与第4项之和为第2项与第4项之积的11倍,求数列{}n a 的通项公式. 解:当1q =时,得11211na na =不成立,∴1q ≠, ∴221122331111 (1)11(1)1111n n a q a q q q q a q a q a q a q ?--=?--??+=?? 由①得110 q =,代入②得110a =, ∴21()10 n n a -=. 说明:用等比数列前n 项和公式时,一定要注意讨论公比是否为1. 例4.已知等差数列110,116,122,, ① ② 一、等差数列选择题 1.《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著,约成书于公元466-485年间.其中记载着这么一道“女子织布”问题:某女子善于织布,一天比一天织得快,且每日增加的数量相同.已知第一日织布4尺,20日共织布232尺,则该女子织布每日增加( )尺 A . 47 B . 1629 C . 815 D . 45 2.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,3518a S +=,633a a =+,则n a =( ) A .1n - B .n C .21n - D .2n 3.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,则下列判断错误的是( ) A .S 5,S 10-S 5,S 15-S 10必成等差数列 B .S 2,S 4-S 2,S 6-S 4必成等差数列 C .S 5,S 10,S 15+S 10有可能是等差数列 D .S 2,S 4+S 2,S 6+S 4必成等差数列 4.等差数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ,若231 n n a n b n =+,则2121S T 的值为( ) A . 13 15 B . 2335 C . 1117 D . 49 5.已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ,且351024a a a ++=,则13S 的值为( ) A .8 B .13 C .26 D .162 6.已知数列{}n a 为等差数列,2628a a +=,5943a a +=,则10a =( ) A .29 B .38 C .40 D .58 7.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若12a =,315S =,则8a =( ) A .11 B .12 C .23 D .24 8.若两个等差数列{}n a ,{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ,且3221n n S n T n +=+,则12 15 a b =( ) A . 3 2 B . 7059 C . 7159 D .85 9.南宋数学家杨辉《详解九张算法》和《算法通变本末》中,提出垛积公式,所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,前后两项之差不相等,但是逐项差数之差或者高次成等差数列.在杨辉之后一般称为“块积术”.现有高阶等差数列,其前7项分别1,7,15,27,45,71,107,则该数列的第8项为( ) A .161 B .155 C .141 D .139 10.已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足:21< 等差数列与等比数列一 一、填空题 1、已知a n为等差数列, S n为其前n项和,若 a16,a1a50 ,则 S6 2、在等差数列a n中,已知a49,a96,S n63,则n 3、已知等差数列a n前n项和 S n3n2p ,则p 4 、设数列a n是由正数组成的等比数列,公比q 2 ,且 a1 a2 a3a30 230,则 a3 a6 a9a 3 0 5、实数a, b, c满足b ac 是b为a, c等比中项的条件 6、某纯净水制造厂在精华水过程中,每增加一次过滤可减少说中杂质20% ,要使水中杂质减少到原来的5% 以下,则至少需过滤的次数为 7、若等差数列a n满足 a7a8a90, a7a100,则当 n时, a n的前 n 项和最大 8、等差数列a n中, a100, a110 且a11a 10,使前 n 项和S n0的最小正整数n 9、设a n2n, b n 5 n 1n N,S a,1a,..2,a 2015,1 b,..2,b2015 b ,则集合 S中元素 的个数为 10、等差数列a n, b n的前n项和分别为S n,T n,若S n 2n 2 ,则 a 7的值为T n n3b7 11、设三个数a log 2 3,a log 4 3, a log8 3 成等比数列,则其公比为 12、在正项等比数列a n中, a51 , a6a7 3 ,则满足a1a2... a n a1a2 a n的2 最大正整数 n 的值为 二。选择题 13、a1, a2, a3成等差数列, a2 , a3 , a4成等比数列, a3 , a4 , a5的倒数成等差数列,则 a1, a3 , a5() A. 成等差数列 B. 成等比数列 C.倒数成等比数列 D. 以上都不对 14、等差数列a n的前 n 项和记为S n,若a2a4a6的值是一个确定的常数,则数列中也为常数的项是() A. S7 B. S8 C.S13 D.S15 等差数列与等比数列十大例题 例1、已知等差数列{}n a 满足:37a =,5726a a +=,{}n a 的前n 项和为n S . (Ⅰ)求n a 及n S ; (Ⅱ)令b n = 2 1 1 n a -(n ∈N *),求数列{}n b 的前n 项和n T . 【解析】(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ,因为37a =,5726a a +=,所以有 11 27 21026a d a d +=?? +=?,解得13,2a d ==, 所以321)=2n+1n a n =+-(;n S =n(n-1) 3n+22 ?=2n +2n 。 (Ⅱ)由(Ⅰ)知2n+1n a =,所以b n = 2 1 1n a -=21=2n+1)1-(114n(n+1)?=111(-)4n n+1 ?, 所以n T = 111111(1-+++-)4223n n+1?- =11(1-)=4n+1?n 4(n+1) , 即数列{}n b 的前n 项和n T = n 4(n+1) 。 【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前n 项和公式的应用、裂项法求数列的和,熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。 例2、 设n S 为数列{}n a 的前n 项和,2n S kn n =+,* n N ∈,其中k 是常数. (I ) 求1a 及n a ; (II )若对于任意的* m N ∈,m a ,2m a ,4m a 成等比数列,求k 的值. 解(Ⅰ)当1,111+===k S a n , 12)]1()1([,2221+-=-+--+=-=≥-k kn n n k n kn S S a n n n n (*) 经验,,1=n (*)式成立, 12+-=∴k kn a n (Ⅱ)m m m a a a 42,, 成等比数列,m m m a a a 42 2.=∴, 即)18)(12()14(2 +-+-=+-k km k km k km ,整理得:0)1(=-k mk , 等差数列 教学目的: 1.明确等差数列的定义,掌握等差数列的通项公式; 2.会解决知道n d a a n ,,,1中的三个,求另外一个的问题 教学重点:等差数列的概念,等差数列的通项公式 教学难点:等差数列的性质 教学过程: 引入:① 5,15,25,35,… 和 ② 3000,2995,2990,2985,… 请同学们仔细观察一下,看看以上两个数列有什么共同特征?? 共同特征:从第二项起,每一项与它前面一项的差等于同一个常数(即等差);(误:每相邻两项的差相等-----应指明作差的顺序是后项减前项),我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列 二、讲解新课: 1.等差数列:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的 差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,这个常数就叫做等差数列的公差(常用字母“d ”表示) ⑴.公差d 一定是由后项减前项所得,而不能用前项减后项来求; ⑵.对于数列{n a },若n a -1-n a =d (与n 无关的数或字母),n ≥2,n ∈N + ,则此数列是等差数列,d 为公差 2.等差数列的通项公式:d n a a n )1(1-+=【或=n a d m n a m )(-+】 等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得若一等差数列{}n a 的首项是1a ,公差是d ,则据其定义可 得:d a a =-12即:d a a +=12 d a a =-23即:d a d a a 2123+=+= d a a =-34即:d a d a a 3134+=+= …… 由此归纳等差数列的通项公式可得:d n a a n )1(1-+= ∴已知一数列为等差数列,则只要知其首项1a 和公差d ,便可求得其通项a 如数列①1,2,3,4,5,6; n n a n =?-+=1)1(1(1≤n ≤6) 数列②10,8,6,4,2,…; n n a n 212)2()1(10-=-?-+=(n ≥1) 数列③ ;,1,54 ;53,52;51Λ 5 51)1(51n n a n =?-+=(n ≥1) 由上述关系还可得:d m a a m )1(1-+= 即:d m a a m )1(1--= 则:=n a d n a )1(1-+=d m n a d n d m a m m )()1()1(-+=-+-- 即的第二通项公式 =n a d m n a m )(-+ ∴ d=n m a a n m -- 如:d a d a d a d a a 43212345+=+=+=+= 三、例题讲解 例1 ⑴求等差数列8,5,2…的第20项 ⑵ -401是不是等差数列-5,-9,-13…的项?如果是,是第几项?等差数列和等比数列的总结与联系
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