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高三数学 5.1等差数列与等比数列复习学案

高三数学 5.1等差数列与等比数列复习学案
高三数学 5.1等差数列与等比数列复习学案

四川省古蔺县中学高三数学复习学案:5.1等差数列与等比数列

【知识特点】

(1)数列是高中数学的主要内容之一是高考的常考内容;

(2)数列具有函数特征,又能构成独特的递推关系,故使得数列与函数、方程、不等式等知识有较密切的联系,因此高考命题时常将数列与函数、不等式、向量等交汇,考查学生的逻辑思维能力、运算推理能力,呈现出综合性强、立意新的特点;

(3)数列、等差与等比数列的概念和性质、通项公式、前n项和公式等知识,突出了“小、巧、活”的特点,也提供了知三求二的理论依据;

(4)数列的规律性较强,学习时一定要从其规律入手来计算、分析、解决有关问题。

【重点关注】

(1)要正确理解数列、等差、等比数列的基本概念,掌握各公式之间的联系和内在规律,掌握公式的灵活运用,甚至要灵活地回归定义,巧用性质,使运算更简捷;

(2)要善于运用函数与方程、化归与转化、分类讨论等思想方法去分析问题、解决问题;(3)本章另一重点是由递推公式得出数列,以及数列的前n项和Sn与通项之间的关系。体现了由特殊到一般的思维规律;

(4)与数列有关的应用题也是高考考查的重点,特别是数列建模问题;

(5)数列证明问题与数学归纳法的联系。

【地位和作用】

数列是函数大家庭中的一员,其特殊性在于其定义域是正整数,它是按一定次序排列的一列数,数列在中学数学中既具有相对的独立性,又具有较强的综合性,它是初等数学与高等数学的一个重要衔接点,因此历年的高考中占有较大的比重,在选择、填空题中,突出“小、巧、活”的特点。

递推思想可以极大地激活人们探索与发现真理的能力,由给出的前若干项及an与an+1的关系式得到的数列叫递推数列,该关系式叫递推公式。

高考命题中数列善于占有重要一席,而运用递推式是解题的起点。

对于本章而言,从新课改近几年各省份的高考信息可以看出,高考命题呈现出以下几个特点:1、考查题型较为全面。选择、填空、解答均有所考查,一般一小一大,分值占10%,其中解答题难度较大;

2、重点考查等差数列、等比数列的定义,通项公式和前n项和公式,注重在知识的交汇处命题,如数列与函数、方程、不等式等知识的综合应用。注意对观察、转化与化归能力及数学归纳法的考查;

3、预计今后高考仍将以等差数列、等比数列的定义,通项公式和前n项和公式为考点,同时与其他章节结合命题将是数列解答题的命题方向。

第一节等差数列与等比数列

【高考目标导航】

一、数列的概念与简单表示法

1、考纲点击

(1)了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式);

(2)了解数列是自变量为正整数的一类函数。

2、热点提示

(1)已知数列的通项公式或递推关系,求数列的各项;

(2)以数列的前几项为背景,考查“归纳——推理”思想。

(3)由数列的递推关系式求数列的通项公式是本节重点,也是本节的难点。

二、等差数列及其前n项和

1、考纲点击

(1)理解等差数列的概念;

(2)掌握等差数列的通项公式与前n项和公式;

(3)能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用有关知识解决相应的问题;(4)了解等差数列与一次函数的关系。

2、热点提示

(1)等差数列的通项公式与前n项和公式是考查重点;

(2)归纳法、累加法、倒序相加法、方程思想、运用函数的性质解决等差数列问题是重点,也是难点;

(3)题型以选择题和填空题为主,与其他知识结合则以解答题为主。

三、等比数列及其前n项和

【考纲知识梳理】

一、数列的概念与简单表示法

1、数列的定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项。

2、数列的分类

分类原则类型满足条件

按项数分类有穷数列项数有限

无穷数列项数无限

按项与项间的大小关系分类递增数列

其中

递减数列

常数列

按其他标准分类有界数列存在正数M,使

摆动数列的符号正负相间,如1,-1,1,-1,……

3、数列的表示法:

数列有三种表示法,它们分别是列表法、图象法和解析法。

注:数列可以看作一个函数,其定义域是正整数集(或它的有限子集{1,2,3,……,n}),

可表示为。

4、数列的通项公式

如果数列{ }的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式。

注:数列的通项公式不唯一,如数列-1,1,-1,1,……通项公式可以为或,有的数列没有通项公式。

5、数列与函数的内在联系

从映射、函数的观点看,数列可以看作是一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数,即当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值,而数列的通项公式也就是相应函数的解析式。

6、递推公式

如果已知数列的第1项(或前几项),且从第二项(或某一项)开始的任一项与它的前一项(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。

二、等差数列及其前n项和

1、等差数列的定义

如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差,通常用d表示,其符号语言为:

2、等差数列的通项公式

若等差数列{ }的首项为,公差是d,则其通项公式为。

注:已知等差数列{ }的第m项为,公差为d,则其第n项可以表示为:。

3、等差中项

如果三个数a,A,b成等差数列,则A叫做a和b的等差中项,且有。

4、等差数列的前n项和公式

三、等比数列及其前n项和

等比数列的相关概念

相关名词等比数列{ }的有关概念及公式

定义

通项公式

前n项和公式

等比中项设a、b为任意两个同号的实数,则a、b的等比中项为:

注:是a,b,c成等比的必要不充分条件,∵当b=0,a,c至少有一个为零时,成立,但a,b,c 不成等比,反之,若a,b,c成等比,则必有

方法提示:

1、数列的项与集合中元素的区别:

把数列中的项与集合中的元素相比较,数列中的项具有确定性、有序性、可重复性,不具有互异性;集合中的元素具有确定性、无序性、互异性。

2、求通项公式的技艺:

根据数列的前几项写出数列的通项公式时,常用到“观察、归纳、猜想、验证”的数学思想方法,即先找出各项相同的部分(不变量),再找出不同的部分(可变量)与序号之间的关系,并用n表示出来,不是所有的数列都有通项公式,一个数列的通项公式在形式上可以不唯一。

【要点名师透析】

一、数列的概念与简单表示法

(一)由数列的前几项求数列的通项公式

※相关链接※

数列的通项公式

(1)据所给数列的前几项求其通项公式时,需仔细观察观察分析,抓住以下几方面的特征:

①分式中分子、分母的特征;

②相邻项的变化特征;

③拆项后的特征;

④各项符号特征等,并对此进行归纳、联想。

(2)观察、分析问题的特点是最重要的,观察要有目的,观察出项与项数之间的关系、规律,利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数列等)转换而使问题得到解决。(3)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法,它蕴含着从特殊到一般的思想,由不完全归纳提出的结果是不可靠的,要注意代值检验,对于正负符号变化,可用或来调整。

※例题解析※

〖例〗写出下列各数列的一个通项公式:

思路解析:由所给数列前几项的特点,归纳出其通项公式,注意项与项数的关系,项与前后项之间的关系,通项公式的形式并不唯一。

解答:(1)各项是从4开始的偶数,所以;

(2)每一项分子比分母少1,而分母可写成21,22,23,24,25,……,故所求数列的一个通项公式可定为;

(3)带有正负号,故每项中必须含有一个这个因式,而后去掉负号,观察可得。

将第二项-1写成。分母可化为3,5,7,9,11,13,……为正奇数,而分子可化为12+1,22+1,32+1,42+1,52+1,62+1,……故其一个通项公式可写为:;

(4)将数列各项写为分母都是3,而分子分别是10-1,102-1,103-1,104-1,……,所以

(二)由递推公式求数列通项公式

※相关链接※

1、由和递推关系求通项公式,可观察其特点,一般常利用化归法、累加法、累乘法等。(1)构造等比数列,已知首项,递推关系为,求数列的通项公式的关键是将转化为的形式,其中a的值可由待定系数法确定,即

(2)已知且可以用累加法,即,,……,,。

所有等式左右两边分别相加,得

即:

(3)已知且可以用累乘法,即,,……,,,所有等式左右两边分别相乘,得

注:并不是每一个数列都有通项公式,如果一个数列有通项公式,那么它的通项公式在形式

上也可以不止一个。

2、由与的关系求

由求时,要分n=1和n≥2两种情况讨论,然后验证两种情况可否用统一的解析式表示,若不能,则用分段函数的形式表示为。

※例题解析※

〖例〗(1)在数列{an}中,a1=1,an+1=(1+ )an+ 设求数列{bn}的通项公式;

(2)已知数列{an}中,a1=1,an+1=(n+1)an,求数列{an}的通项

公式.

思路分析:(1)首先由递推公式得到的关系式:再借助于累加的方法求出数列{bn}的通项公式;(2)由题设可得利用累乘的方法求解.

解析:(1)由已知可得b1=a1=1,且

即从而有

bn=b1+(b2-b1)+…+(bn-bn-1)= (n≥2),又因为b1=a1=1,故所求的通项公式为

(2)∵an+1=(n+1)an,

a1=1.

累乘可得,

an=n×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1=n!.

故an=n!.

(二)数列的单调性及其应用

〖例〗(12分)已知数列的前n项和为 ,并且满足

(1)求{ }的通项公式;

(2)令,问是否存在正整数m,对一切正整数n,总有,若存在,求m的值;若不存在,说明理由。

思路解析:(1)

(2)由已知得的表达式求最大项得结论.

解答:(1)令n=1,

(2)

注:(1)数列的单调性是高考常考内容之一,有关数列最大、最小项、数列有界性问题均可借助数列的单调性来解决,判断单调性时常用①作差法,②作商法,③结合函数图象等方法。(2)求最大项,则满足;若求最小项,则满足。

二、等差数列及其前n项和

(一)等差数列的基本运算

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1、等差数列的通项公式 = +(n-1)d及前n项和公式,共涉及五个量,,d,n, ,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想解决问题;

2、数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用,而和d是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法。

注:因为,故数列{ }是等差数列。

※例题解析※

〖例〗已知数列{ }的首项 =3,通项,且,,成等差数列。求:

(1)的值;

(2)数列{ }的前n项和的公式。

思路解析:(1)由 =3与,,成等差数列列出方程组即可求出;(2)通过利用条件分成两个可求和的数列分别求和。

解答:(1)由 =3得……………………………………①

又,得…………………②

由①②联立得。

(2)由(1)得,

(二)等差数列的判定

※相关链接※

1、等差数列的判定通常有两种方法:

第一种是利用定义,,第二种是利用等差中项,即。

2、解选择题、填空题时,亦可用通项或前n项和直接判断。

(1)通项法:若数列{ }的通项公式为n的一次函数,即 =An+B,则{ }是等差数列;(2)前n项和法:若数列{ }的前n项和是的形式(A,B是常数),则{ }是等差数列。注:若判断一个数列不是等差数列,则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。

※例题解析※

〖例〗已知数列{ }的前n项和为,且满足

(1)求证:{ }是等差数列;

(2)求的表达式。

思路解析:(1)与的关系结论;

(2)由的关系式的关系式

解答:(1)等式两边同除以得 - +2=0,即 - =2(n≥2).∴{ }是以 = =2为首项,以2为公差的等差数列。

(2)由(1)知 = +(n-1)d=2+(n-1)×2=2n,∴ = ,当n≥2时, =2 ? = 。又∵,不适合上式,故。

(三)等差数列的性质

※相关链接※

1、等差数列的单调性:

等差数列公差为d,若d>0,则数列递增;若d<0,则数列递减;若d=0,则数列为常数列。2、等差数列的简单性质:

已知数列{ }是等差数列,是其前n项和。

(1)若m+n=p+q,则 ,特别:若m+n=2p,则。

(2)仍是等差数列,公差为kd;

(3)数列也是等差数列;

(4);

(5)若n为偶数,则;若n为奇数,则;

(6)数列也是等差数列,其中均为常数,是等差数列。

3、等差数列的最值:

若是等差数列,求前n项和的最值时,

(1)若a1>0,d>0,且满足,前n项和最大;

(2)若a1<0,d>0,且满足,前n项和最小;

(3)除上面方法外,还可将的前n项和的最值问题看作关于n的二次函数最值问题,利用二次函数的图象或配方法求解,注意。

※例题解析※

〖例1〗(2011?如皋模拟)已知在等差数列{an}中,a1=31,Sn是它的前n项和,S10=S22,

(1)求Sn;

(2)这个数列的前多少项的和最大,并求出这个最大值.

思路解析:利用等差数列的性质求解第(1)题、第(2)题,解题关键是写出前n项和公式,利用函数思想解决.

(1)∵S10=a1+a2+…+a10,

S22=a1+a2+…+a22,又S10=S22

∴a11+a12+…+a22=0,

即a11+a22=2a1+31d=0,

又a1=31,∴d=-2,

∴Sn=na1+ =31n-n(n-1)=32n-n2.

(2)方法一:由(1)知Sn=32n-n2,

∴当n=16时,Sn有最大值,Sn的最大值是256.

方法二:由Sn=32n-n2=n(32-n),欲使Sn有最大值,应有1

从而

当且仅当n=32-n,即n=16时,Sn有最大值256.

〖例2〗已知数列是等差数列。

(1)若

(2)若

思路解析:(1)由通项公式或前n项和公式得和的关系,通过解方程组求得和,进而求得和。(2)利用等差数列数列的性质可使问题简化。

解答:设首项为,公差为,

(1)方法一:由,得解得

方法二:由,

(2)方法一:由已知可得解得

方法二:∵是等差数列,∴可设则

①-②得

方法三: =

注:(1)灵活运用性质,求等差数列中的量,可以简化运算,提高解题速度及准确性;(2)在应用性质:若则时,首先要找到项数和相等的条件,然后根据需要求解,解决此类问题要有整体代换的意识。

(四)等差数列的综合应用

〖例〗已知是正数组成的数列,,且点()在函数y=x2+1的图象上。

(1)求数列的通项公式;

(2)若数列满足b1=1,bn+1=bn+ ,求证:。

思路解析:(1)利用点在函数图象上代入即可得与的关系,易求得;(2)可先求,利用累加法或迭代法求得,而后作差比较即可,也可不用求而直接利用已知关系式迭代求证即可。

解答:方法一:(1)由已知得,即,又,所以数列是以1为首项,公差为1的等差数列。故 =1+(n-1)×1=n.

(3)由(1)知: = n,从而,

方法二:(1)同方法一;

(2)因为,所以

注:数列与函数、不等式、解析几何结合命题是高考考查的热点,以函数为载体,求解数列问题时要看清它们之间的关系,灵活应用它们是关键,在证明数列中不等问题时,要弄清题意,灵活采用证明不等式的常用方法,本例采用了求差比较法,也是高考常考方法之一,可适当变形以解决它们。

方法提示:

1.解决等差数列问题,熟练掌握等差数列的有关性质,寻找项与前n项和之间的关系是解题关键.

2.在等差数列{an}中,有关Sn的最值问题:

(1)a1>0,d<0时,满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm;

(2)当a1<0,d>0时,满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.

(3)关于最值问题,除上面介绍的方法外,还可利用等差数列与函数的关系来解决,等差数列的前n项和 Sn可看成关于n的二次函数式且常数项为0,利用二次函数的图象或配方法解决最值问题.

三、等比数列及其前n项和

(一)等比数列的的运算

※相关链接※

1.等比数列基本量的运算是等比数列中一类基本问题,数列中有五个量,,,,,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)所求问题可迎刃而解。

2.解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式,并灵活运用,在运算过程中,还应善于运用整体代换思想简化运算的过程。

3.在使用等比数列的前n项和公式时,应根据公比q的情况进行分类讨论,切不可忽视q 的取值而盲目用求和公式。

※例题解析※

〖例〗设数列的前n项和为,且 =2-2 ;数列为等差数列,且。

(1)求数列的通项公式;

(2)若,为数列的前n项和,求证:。

思路解析:(1)得结论;(2)放缩得结论。

解答:(1)由 =2-2 ,得,又 = ,所以 = ,由 =2-2 ……………………①得……………………………………………………②

②-①得,∴即,∴是以为首项,以为公比的等比数列,所以 = ?。

(2)∵为等差数列,∴,∴从而∴…………………………………………………………③

∴………………………………④

③-④得

〖例〗在数列中,。

(1)证明数列是等比数列;

(2)求数列的前n项和;

(3)证明不等式对任意皆成立。

思路解析:证明一个数列是等比数列常用定义法,即,对于本例(1)适当变形即可求证,证明不等问题常用作差法证明。

解答:(1)由题设得。又所以数列是首项为1,且公比为4的等比数列。

(2)由(1)可知,于是数列的通项公式为。所以数列的前n项和。

(3)对任意的,

,所以不等式对任意皆成立。

(三)等比数列性质的应用

※相关链接※

1.等比数列的性质可以分为三类:(1)通项公式的变形,(2)等比中项的变形,(3)前n项和公式的变形.根据题目条件,认真分析,发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.

2.等比数列的常用性质

(1)数列{an}是等比数列,则数列{pan}(p≠0,p是常数)也是等比数列;

(2)在等比数列{an}中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即an,an+k,an+2k,an+3k,…为等比数列,公比为qk.

(3)an=am?qn-m(n,m∈N+)

(4)若m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),则am?an=ap?aq;

(5)若等比数列{an}的前n项和为Sn,则Sk、S2k-Sk、

S3k-S2k、S4k-S3k是等比数列.

(6)等比数列的单调性

3. 由于数列和函数之间有着密切的联系,所以在解决许多数列问题时,可以借鉴函数的有关思想和方法,本例在求解过程中,就是先求导数,利用数列这一特殊函数的性质解决的,所以在解决数列问题时,应善于运用函数的思想方法解决问题.

注:等比数列中所有奇数项的符号相同,所有偶数项的符号也相同。

※例题解析※

〖例1〗已知等比数列前n项的和为2,其后2n的和为12,求再往后3n项的和。

思路解析:由已知条件,根据前n项和公式列出关于首项和公比及n的两个方程,应能解出和关于n的表达式,这样可能较繁琐又不便于求出结果,若采用整体处理的思想,问题就会变得简单,也可采用等比数列的性质问题简化。

解答:方法一:利用等比数列的性质。由已知,

.注意到

也成等比数列,其公比为 ,于是,问题转化为已知:

方法二:利用求和公式.

如果公比q=1,则由于,可知,与条件不符,∴q≠1,由求和公式,得…………………………………………①又……………………………………………………………………②

②式除以①式得,又再往后3n项的和为………………………………………………………………………………③

③式除以①式得。

〖例2〗(2011?青岛模拟)已知函数f(x)=ax2+bx(a≠0)的导函数f′(x)=-2x+7,数列{an}的前n项和为Sn,点Pn(n,Sn)(n∈N+)均在函数y=f(x)的图象上.

(1)求数列{an}的通项公式及Sn的最大值;

(2)令其中n∈N+,求{nbn}的前n项和Tn.

思路解析:对函数f(x)的字母系数通常用待定系数法确定,再把函数问题转化为数列问题求解.对{nbn}求和,若bn为等比数列可考虑用错位相减法求和.

解析:(1)由题意可知:

∵f(x)=ax2+bx(a≠0),∴f′(x)=2ax+b,由f′(x)=-2x+7对应相等可得:a=-1,b=7,所以可得f(x)=-x2+7x,又因为点Pn(n,Sn)(n∈N+)均在函数y=f(x)的图象上,所以有Sn=-n2+7n 当n=1时,a1=S1=6;

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-2n+8,a1=6适合上式,

∴an=-2n+8(n∈N+)

令an=-2n+8≥0得n≤4,当n=3或n=4时,Sn取得最大值12.

综上,an=-2n+8(n∈N+),当n=3或n=4时,Sn取得最大值12.

(2)由题意得

即数列{bn}是首项为8,公比为的等比数列,

故{nbn}的前n项和

Tn=1×23+2×22+…+n×2-n+4①

Tn=1×22+2×2+…+(n-1)×2-n+4+n×2-n+3②

所以①-②得: Tn=23+22+…+2-n+4-n×2-n+3

【感悟高考真题】

1. (2011?江西高考文科?T5)设为等差数列,公差 , 为其前n项和,若,则

A.18 B.20 C.22 D.24

【思路点拨】首先求出,再根据等差数列的通项公式求。

【精讲精析】选B.

2. (2011?陕西高考文科?T10)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一

棵,相邻两棵树相距10米,开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边,现将树坑从1到20依次编号,为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小,树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为()

(A)○1和○20 (B)○9和○10 (C) ○9和○11 (D) ○10和○11

【思路点拨】根据选项分别计算四种情形的路程和;或根据路程和的变化规律直接得出结论.【精讲精析】选D (方法一)

选项具体分析结论

A ○1和○20:

比较各个路程和可知D符合题意

B ○9:

○10: =2000

C ○11: =2000

D ○10和○11:路程和都是2000

(方法二)根据图形的对称性,树苗放在两端的树坑旁边,所得路程总和相同,取得一个最值;所以从两端的树坑向中间移动时,所得路程总和的变化相同,最后移到第10个和第11个树坑旁时,所得的路程总和达到另一个最值,所以计算两个路程和进行比较即可。树苗放在第一个树坑旁,则有路程总和是;树苗放在第10个(或第11个)树坑旁边时,路程总和是

所以路程总和最小为2000米.

3.(2011?广东高考文科?T11)已知是递增等比数列,a2=2,a4-a3=4,则此数列的公比q=?______

【思路点拨】由等比数列的通项公式,可得关于公比的方程,从而求出 .

【精讲精析】答案:2由得,即,解得或(由数列是递增数列,舍去)

4. (2011?辽宁高考理科?T24)(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲

已知函数f(x)=|x-2|-|x-5|.

(I)证明:-3≤f(x)≤3;

(II)求不等式f(x)≥x2-8x+15的解集.

【思路点拨】(I)将函数化为分段函数,分段考虑即可;(II)先分段求解,再将结果合并即得.

【精讲精析】(Ⅰ)

当时, .所以 . ……5分

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,

当时,的解集为空集;

当时,的解集为;

当时,的解集为;

综上,不等式的解集为 . ……10分

5. (2011?辽宁高考文科?T5)若等比数列满足,则公比为

(A)2 (B)4 (C)8 (D)16

【思路点拨】利用函数思想可快速求解.

【精讲精析】选B,因为等比数列满足,①

所以②

②①

得.又因为,所以.

6. (2010上海文数)21.(本题满分14分)本题共有2个小题,第一个小题满分6分,第2个小题满分8分。

已知数列的前项和为,且,

(1)证明:是等比数列;

(2)求数列的通项公式,并求出使得成立的最小正整数 .

解析:(1) 当时,;当n≥2时,,所以,又≠0,所以数列是等比数列;

(2) 由(1)知:,得,从而;

由,得,,最小正整数.

7. (2010江西理数)22. (本小题满分14分)

证明以下命题:

(1)对任一正整a,都存在整数b,c(b

(2)存在无穷多个互不相似的三角形△,其边长为正整数且成等差数列。

【解析】作为压轴题,考查数学综合分析问题的能力以及创新能力。

(1)考虑到结构要证,;类似勾股数进行拼凑。

证明:考虑到结构特征,取特值满足等差数列,只需取b=5a,c=7a,对一切正整数a均能成立。

结合第一问的特征,将等差数列分解,通过一个可做多种结构分解的因式说明构成三角形,再证明互不相似,且无穷。

证明:当成等差数列,则,

分解得:

选取关于n的一个多项式,做两种途径的分解

对比目标式,构造,由第一问结论得,等差数列成立,

考察三角形边长关系,可构成三角形的三边。

下证互不相似。

任取正整数m,n,若△m,△相似:则三边对应成比例,

由比例的性质得:,与约定不同的值矛盾,故互不相似。

【考点模拟精练】

一、选择题

1、设{an}(n∈N*)是等差数列,Sn是其前n项的和,且,,则下列结论错误的是()

A.d<0

B.a7=0

C.S9>S5

D.S6与S7均为Sn的最大值

解析:由S50,又S6=S7,∴a1+a2+…+a6=a1+a2+…+a6+a7,∴a7=0,由S7>S8,得a8<0,而C选项S9>S5,即a6+a7+a8+a9>0 2(a7+a8)>0,由题设a7=0,a8<0,显然C选项是错误的。

2、(2)等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为()

A.130

B.170

C.210

D.260

解析:由题意得方程组,

视m为已知数,解得,

3、(2011?福州模拟)把1,3,6,10,15,21,…这些数叫做三角形数,这是因为以这些数目的点可以排成一个正三角形(如图).

则第7个三角形数是( )

(A)27 (B)28 (C)29 (D)30

解析:根据三角形数的增长规律可知第七个三角形数是1+2+3+4+5+6+7=28.

4、对于数列{an},“an+1>|an|(n=1,2…)”是“{an}为递增数列”的( )

(A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件

(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件

解析:选B.当an+1>|an|(n=1,2,…)时,∵|an|≥an,∴an+1>an,∴{an}为递增数列.当{an}为递增数列时,若该数列为-2,0,1,则由a2>|a1|不成立,即知:an+1>|an|(n=1,2,…)不一定成立.综上知,“an+1>|an|(n=1,2,…)”是“{an}为递增数列”的充分不必要条件. 5、(2011?临沂模拟)数列{an}中,a3=2,a7=1,且数列是等差数列,则a11=_____.

【解析】设由2b7=b3+b11,可得

答案:

6、(2011?安庆模拟)在等差数列{an}中,a1+a2+a3+…+a50=200,a51+a52+…+a100=2 700,则a1=_____.

解析:根据题意可知a1+a2+a3+…+a50=200……………①

a51+a52+a53+…+a100=2 700…………………………………②

②-①可得50×50d=2 500,可得d=1.

由a1+a2+a3+…+a50=25×(a1+a50)=25(2a1+49d)=200.

解得a1=-20.5.

答案:-20.5

7、(2011?大连模拟)已知等比数列{an}的公比为正数,且a3?a9=2a52,a2=1,则a1=( )

解析:选B.由等比数列的定义,设公比为q,又有a3?a9=2a52,则a1q2?a1q8=2(a1q4)2,解得q=± .

又∵公比q为正数,∴q= .又a2=a1q,

∴ ,故选B.

8、如果数列是等差数列,则()

(A) (B) (C) (D)

答案:B

9、如果为各项都大于零的等差数列,公差,则()

(A) (B) (C) (D)

答案:B

10、(2011?青岛模拟)等比数列{an}中,a2=9,a5=243,则{an}的前4项和为( )

(A)81 (B)120 (C)168 (D)192

解析:选B.根据题意及等比数列的性质可知: =27=q3,q=3,a1= =3,则数列前4项和4= =120.

11、=(C)

(A) 2 (B) 4 (C) (D)0

答案:C

12、(2011?锦州模拟)正项等比数列{an}中,a5?a6=81,则log3a1+log3a2+…+log3a10=( )

(A)5 (B)10 (C)20 (D)40

解析:选 C.log3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1?a2?…?a10)=log3(a1?a10)5=log3(a5?a6)5=log3815

=log3320=20.

二、填空题

13、(2011?沈阳模拟)已知数列{an}中,则a16=_____.

解析:由题可知

∴此数列为循环数列,a1=a4=a7=a10=a13=a16= .

答案:

14、若{an}为等差数列,a15=8,a60=20,则a75=____.

方法一:{an}为等差数列,设公差为d,那么,即,

解得:a1= ,d= ,

所以a75=a1+74d= +74× =24.

方法二:{an}为等差数列,所以a15,a30,a45,a60,a75也成等差数列,设公差为d,则a60-a15=3d,所以d=4,a75=a60+d=20+4=24.

答案:24

15、设是公比为q的等比数列,是它的前n项和。若是等差数列,则q = 。

答案:1

16、(2011?济南模拟)等比数列{an}的公比q>0,已知a2=1,an+2+an+1=6an,则{an}的前4项和S4=_____.

解析:∵an+2+an+1=anq2+anq=an(q2+q)=6an

∴q2+q=6,得q=-3(舍)或q=2.

又∵a2=a1q=2a1=1,

∴a1=

∴S4=a1+a2+a3+a4=

答案:

三、解答题

1、 (本小题12分)已知等差数列的前项和为

(Ⅰ)求q的值;

(Ⅱ)若a1与a5的等差中项为18,bn满足,求数列的{bn}前n项和。

解析: (Ⅰ)解法一:当时, ,

当时, .

是等差数列, , ?4分

解法二:当时, ,

当时, .

当时, .

.

又 ,

所以 ,得 .??4分

(Ⅱ)解: , .

又 , , ?8分

又得 .

, ,即是等比数列。

所以数列的前项和 .

2、在等差数列{an}中,a16+a17+a18=a9=-36,其前n项和为Sn.

(1)求Sn的最小值,并求出Sn取得最小值时n的值;

(2)求Tn=|a1|+|a2|+…+|an|.

【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d,因为a16+a17+a18=-36,所以a17=-12,又因为a9=-36,所以

解得a1=-60,d=3,

方法一:Sn=na1+

所以当n=20或21时,Sn最小,最小值为-630;

方法二:an=-60+(n-1)×3=3n-63,

即当n≤21时,an≤0;当n≥20时,an≥0;所以a21=0.

所以当n=20或21时,Sn最小,

最小值为S20=S21=20×(-60)+ =-630;

(2)令an≤0,则n≤21,所以Tn=-(a1+a2+…+a21)+(a22+a23+…+an)

所以当n≤21时,Tn=-Sn=

当n>21时,Tn=Sn-2S21=

等差数列和等比数列的总结与联系

等差数列和等比数列的综合及其联系 课题设计背景: 数列是反映自然规律的基本数学模型之一。而等差数列和等比数列是学生必须掌握的两种基本数学模型,研究等差数列的通项、性质以及求和公式,并用类比的方法对等比数列进行研究是课程标准的教学要求。 课题设计目标: (1)掌握等差数列的通项公式及其前n项和公式; (2)掌握等差数列的通项公式及其前n项和公式;体验用类比的思想方法对等差数列和等比数列进行研究的活动。

例题分析: 1、已知(), f x = 利用课本推导等差数列前n 项和的公式的方法,求和: (5)(4)(3)...(5)f f f f f -+-+-+++的值 2、已知公差不为零的等差数列{n a }中,236,,a a a 组成等比数列的连续三项,求公比q 3、已知等差数列{}n a 的公差和等比数列{}n b 的公比都是11441010,1,,,;d d a b a b a b ≠=== (1)求1a 和d 的值;(2)16b 是不是数列{}n a 中的项,为什么? (二)等差数列和等比数列之间的转化 结论: (1){}n a 成等差数列,则{}(0,1)n a c c c >≠成等比数列; (2)正项数列{}n a 成等比数列,则{}log (0,1)c n a c c >≠成等差数列。类比可结合上述结论将等比数列转化为等差数列,再还原成等比数列写出有关结论。 例题分析: 1、 已知数列)}({* N n a n ∈是一个以(0)q q >为公比,以11(0)a a >为首项的等比数列,求 12lg lg ...lg n a a a +++ 2、 若数列)}({* N n a n ∈是等差数列,则有数列*123......,()n n a a a a b n N n ++++= ∈ 也是等差数列;类比上述性质,相应地:若数列)}({* N n c n ∈是等比数列,且0>n c ,则 有数列*_________________,()n d n N =∈也是等比数列。 3、 设)}({* N n a n ∈是等差数列,12n a n b ?? = ? ?? ,已知123123211 ,,88 b b b b b b ++= =求数列)}({*N n a n ∈的通项公式。 (三)学法总结: (四)课后反思:

高考数学之等比数列及函数

高考之等比数列及函数公式 一、等比数列求和公式 q≠1时Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-anq)/(1-q) q=1时Sn=na1 (a1为首项,an为第n项,d为公差,q 为等比) 二、等比数列求和公式推导 Sn=a1+a2+a3+...+an(公比为q) qSn=a1q + a2q + a3q +...+ anq = a2+ a3+ a4+...+ an+ a(n+1) Sn-qSn=(1-q)Sn=a1-a(n+1) a(n+1)=a1qn Sn=a1(1-qn)/(1-q)(q≠1) 三、倍角公式 Sin2A=2SinA?CosA Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=(2tanA)/(1-tanA^2) (注:SinA^2 是sinA的平方sin2(A)) 四、半角公式 sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)

cos(α/2)=±√((1+cosα)/2) tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cos α)/sinα 五、降幂公式 sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=vercos(2α)/2 tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) 六、辅助角公式 Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t),其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) 七、三角函数常用公式 正弦函数sinθ=y/r 余弦函数cosθ=x/r 正切函数tanθ=y/x 余切函数cotθ=x/y 正割函数secθ=r/x 余割函数cscθ=r/y

高考数学等差数列习题及答案 百度文库

一、等差数列选择题 1.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足() 12n n n S +=,则数列11n n a a +?????? 的前10项的和为( ) A . 89 B . 910 C .10 11 D . 1112 2.南宋数学家杨辉《详解九张算法》和《算法通变本末》中,提出垛积公式,所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,前后两项之差不相等,但是逐项差数之差或者高次成等差数列.在杨辉之后一般称为“块积术”.现有高阶等差数列,其前7项分别1,7,15,27,45,71,107,则该数列的第8项为( ) A .161 B .155 C .141 D .139 3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ,若S 2=8,38522a a a +=+,则a 1等于( ) A .1 B .2 C .3 D .4 4.等差数列{}n a 中,22a =,公差2d =,则10S =( ) A .200 B .100 C .90 D .80 5.中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题:“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤.问次一尺各重几何?” 意思是:“现有一根金锤,长五尺,一头粗一头细.在粗的一端截下一尺,重四斤;在细的一端截下一尺,重二斤.问依次每一尺各重几斤?”根据已知条件,若金箠由粗到细是均匀变化的,中间三尺的重量为( ) A .3斤 B .6斤 C .9斤 D .12斤 6.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,15a =,且满足 122527 n n a a n n +-=--,若p ,*q ∈N ,p q >,则p q S S -的最小值为( ) A .6- B .2- C .1- D .0 7.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,公差1d =,且62 10S S ,则34a a +=( ) A .2 B .3 C .4 D .5 8.定义 12n n p p p ++ +为n 个正数12,, ,n p p p 的“均倒数”,若已知数列{}n a 的前 n 项的“均倒数”为 12n ,又2n n a b =,则1223 910 111 b b b b b b +++ =( ) A . 8 17 B . 1021 C . 1123 D . 9 19 9.题目文件丢失! 10.为了参加学校的长跑比赛,省锡中高二年级小李同学制定了一个为期15天的训练计划.

等差、等比数列公式总结

一、等差数列 1.定义:)(1常数d a a n n =-+ 2.通项公式:d n a )1(a 1n -+= 3.变式:d m n a m n )(a -+= m n a a d m n --= 4.前n 项和:2 )(1n a a S n n += 或 d n n n a S n 2)1(1-+= 5.几何意义: ①d dn a d n a a n -+=-+=11)1(即q pn a n += 类似 q px y += ②n d a n d S n )2 (212-+= 即 Bn An S n +=2 类似 Bx Ax y +=2 6.}{n a 等差d a a a a a Bn An S q pn a n n n n n n n =-?+= ?+=?+=?++-11122 7.性质 ① q p n m +=+则 q p n m a a a a +=+ ② p n m 2=+ 则 p n m a a a 2=+ ③ =+=+=+--23121n n n a a a a a a ④ m S 、m -m 2S 、2m -m 3S 等差 ⑤ }{n a 等差,有12+n 项,则 n S S 1n +=偶奇 ⑥ 1212-= -n S a n n 二、等比数列 1.定义:常数)(a 1q a n n =+ 2.通项公式:11a -=n n q a 3.变式: m n m n q a -=a m n m n q a a -= 4. ?????≠--==)1( 1)1()1( 11q q q a q na S n n

前n 项和:n a S n 1= )1(=q 或 q q a S n n --=11() 1 )1(≠q 5.变式:m n m n q q S S --=11 )1(≠q 6.性质: ① r p n m +=+则 r p n m a a a a ?=? ② p n m 2=+ 则 2 p n m a a a =? ③ =?=?=?--23121n n n a a a a a a ④ m S 、m -m 2S 、2m -m 3S 等比 ⑤ }{n a 等比,有12+n 项 偶奇qS a a a a q a a a a S n n +=++++=++++=+1242112531)(a 三、等差与等比的类比 {}n a 等差 {}n b 等差 和 积 差 商 系数 指数 “0” “1” 四、数列求和 1.分组求和 本数列的和公式求和.进行拆分,分别利用基,则可或等比数列的和的形式数列,但通项是由等差通项虽不是等差或等比 项的和: 前如求n n n )}1({+ )2)(1(3 1 )1(21)12)(1(61 )321()321( ) ()22()11(] )1(22222222++=++++=++++++++=++++++=∴+=+n n n n n n n n n n n n S n n n n n 2.裂项相消法. ).11(11}{1 1 11+++-=??n n n n n n n a a d a a a n a a 为等差数列,项和,其中的前项为用于通 从而计算和的方法,适别裂开后,消去一部分把数列和式中的各项分

历年高考数学真题精选25 等比数列

历年高考数学真题精选(按考点分类) 专题25 等比数列(学生版) 一.选择题(共6小题) 1.(2014?全国)等比数列4x +,10x +,20x +的公比为( ) A . 1 2 B . 43 C . 32 D .53 2.(2014?大纲版)设等比数列{}n a 的前n 项和为n S .若23S =,415S =,则6(S = ) A .31 B .32 C .63 D .64 3.(2014?重庆)对任意等比数列{}n a ,下列说法一定正确的是( ) A .1a ,3a ,9a 成等比数列 B .2a ,3a ,6a 成等比数列 C .2a ,4a ,8a 成等比数列 D .3a ,6a ,9a 成等比数列 4.(2014?上海)如果数列{}n a 是一个以q 为公比的等比数列,*2()n n b a n N =-∈,那么数列{}n b 是( ) A .以q 为公比的等比数列 B .以q -为公比的等比数列 C .以2q 为公比的等比数列 D .以2q -为公比的等比数列 5.(2013?福建)已知等比数列{}n a 的公比为q ,记(1)1(1)2(1)n m n m n m n m b a a a -+-+-+=++?+,(1)1(1)2(1)n m n m n m n m a a a -+-+-+=?g g g e,*(,)m n N ∈,则以下结论一定正确的是( ) A .数列{}n b 为等差数列,公差为m q B .数列{}n b 为等比数列,公比为2m q C .数列{}n e为等比数列,公比为2 m q D .数列{}n e为等比数列,公比为m m q 6.(2012?北京)已知{}n a 为等比数列,下面结论中正确的是( ) A .1322a a a +… B .222 1322a a a +… C .若13a a =,则12a a = D .若31a a >,则42a a >

高考数学-等比数列和典型例题

高考数学-等比数列的前n 项和·例题解析 【例1】 设等比数列的首项为a(a >0),公比为q(q >0),前n 项和为80,其中最大的一项为54,又它的前2n 项和为6560,求a 和q . 解 由S n =80,S 2n =6560,故q ≠1 a q q a q q n n () ()11112----????? ???=80=6560 q =81n ① ②③ ∵a >0,q >1,等比数列为递增数列,故前n 项中最大项为a n . ∴a n =aq n-1=54 ④ 将③代入①化简得a=q -1 ⑤ ③ ④ 化简得⑥3a =2q 由⑤,⑥联立方程组解得a=2,q=3 【例2】求证:对于等比数列,有++.S S =S (S S )n 22n 2 n 2n 3n 证 ∵S n =a 1+a 1q +a 1q 2+…+a 1q n-1 S 2n =S n +(a 1q n +a 1q n+1+…+a 1q 2n-1) =S n +q n (a 1+a 1q +…+a 1q n-1) =S n +q n S n =S n (1+q n ) 类似地,可得S 3n =S n (1+q n +q 2n ) ∴++++S +S =S [S (1q )] =S (22q q ) n 22n 2n 2n n 2n 2n 2n S (S S )=S [S (1q )S (1q q )] =S (22q q ) S S =S (S S ) n 2n 3n n n n n n 2n n 2n 2n n 22n 2 n 2n 3n +++++++∴++ 【例3】 一个有穷的等比数列的首项为1,项数为偶数,其奇数项的和为85,偶数项的和为170,求这个数列的公比和项数.

等差数列与等比数列练习和解析(高考真题)

1.(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.已知S 4=0,a 5=5,则( ) A .a n =2n -5 B .a n =3n -10 C .S n =2n 2 -8n D .S n =12 n 2 -2n 2.(2019·长郡中学联考)已知数列{a n }满足,a n +1+2a n =0,且a 2 =2,则{a n }前10项的和等于( ) A.1-2103 B .-1-210 3 C .210-1 D .1-210 3.已知等比数列{a n }的首项为1,公比q ≠-1,且a 5+a 4=3(a 3 +a 2),则 9 a 1a 2a 3…a 9等于( ) A .-9 B .9 C .-81 D .81 4.(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若3S 3=S 2+S 4,a 1=2,则a 5=( ) A .-12 B .-10 C .10 D .12 5.(2019·山东省实验中学联考)已知等差数列{a n }的公差不为零,S n 为其前n 项和,S 3=9,且a 2-1,a 3-1,a 5-1构成等比数列,则S 5=( ) A .15 B .-15 C .30 D .25 二、填空题 6.(2019·北京卷)设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 2=-3,S 5=-10,则a 5=________,S n 的最小值为________. 7.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其意思为:“有一个人走378里路,

等差数列与等比数列的基本运算

一.课题:等差数列与等比数列的基本运算 二.教学目标:掌握等差数列和等比数列的定义,通项公式和前n 项和的公式,并能利用这些知识 解决有关问题,培养学生的化归能力. 三.教学重点:对等差数列和等比数列的判断,通项公式和前n 项和的公式的应用. 四.教学过程: (一)主要知识: 1.等差数列的概念及其通项公式,等差数列前n 项和公式; 2.等比数列的概念及其通项公式,等比数列前n 项和公式; 3.等差中项和等比中项的概念. (二)主要方法: 1.涉及等差(比)数列的基本概念的问题,常用基本量1,()a d q 来处理; 2.使用等比数列前n 项和公式时,必须弄清公比q 是否可能等于1还是必不等于1,如果不能确定则需要讨论; 3.若奇数个成等差数列且和为定值时,可设中间三项为,,a d a a d -+;若偶数个成等差数列且和为定值时,可设中间两项为,a d a d -+,其余各项再根据等差数列的定义进行对称设元.若干个数个成等比数列且积为定值时,设元方法与等差数列类似. 4.在求解数列问题时要注意运用函数思想,方程思想和整体消元思想,设而不求. (三)例题分析: 例1.(1)设数列{}n a 是递增等差数列,前三项的和为12,前三项的积为48,则它的首项为 2 . (2)已知等差数列{}n a 的公差0d ≠,且139,,a a a 成等比数列,则1392410a a a a a a ++++=1316 . 例2.有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个书的和是12,求这四个数. 解:设这四个数为:2 (),,,a d a d a a d a +-+,则2 ()16212a d a d a a d ?+-+=???+=? 解得:48a d =??=?或96a d =??=-?,所以所求的四个数为:4,4,12,36-;或15,9,3,1. 例3.由正数组成的等比数列{}n a ,若前2n 项之和等于它前2n 项中的偶数项之和的11倍,第3项与第4项之和为第2项与第4项之积的11倍,求数列{}n a 的通项公式. 解:当1q =时,得11211na na =不成立,∴1q ≠, ∴221122331111 (1)11(1)1111n n a q a q q q q a q a q a q a q ?--=?--??+=?? 由①得110 q =,代入②得110a =, ∴21()10 n n a -=. 说明:用等比数列前n 项和公式时,一定要注意讨论公比是否为1. 例4.已知等差数列110,116,122,, ① ②

高三数学等差数列测试题 百度文库

一、等差数列选择题 1.《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著,约成书于公元466-485年间.其中记载着这么一道“女子织布”问题:某女子善于织布,一天比一天织得快,且每日增加的数量相同.已知第一日织布4尺,20日共织布232尺,则该女子织布每日增加( )尺 A . 47 B . 1629 C . 815 D . 45 2.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,3518a S +=,633a a =+,则n a =( ) A .1n - B .n C .21n - D .2n 3.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,则下列判断错误的是( ) A .S 5,S 10-S 5,S 15-S 10必成等差数列 B .S 2,S 4-S 2,S 6-S 4必成等差数列 C .S 5,S 10,S 15+S 10有可能是等差数列 D .S 2,S 4+S 2,S 6+S 4必成等差数列 4.等差数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ,若231 n n a n b n =+,则2121S T 的值为( ) A . 13 15 B . 2335 C . 1117 D . 49 5.已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ,且351024a a a ++=,则13S 的值为( ) A .8 B .13 C .26 D .162 6.已知数列{}n a 为等差数列,2628a a +=,5943a a +=,则10a =( ) A .29 B .38 C .40 D .58 7.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若12a =,315S =,则8a =( ) A .11 B .12 C .23 D .24 8.若两个等差数列{}n a ,{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ,且3221n n S n T n +=+,则12 15 a b =( ) A . 3 2 B . 7059 C . 7159 D .85 9.南宋数学家杨辉《详解九张算法》和《算法通变本末》中,提出垛积公式,所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,前后两项之差不相等,但是逐项差数之差或者高次成等差数列.在杨辉之后一般称为“块积术”.现有高阶等差数列,其前7项分别1,7,15,27,45,71,107,则该数列的第8项为( ) A .161 B .155 C .141 D .139 10.已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足:21<,则n 的最大值为( ) A .2m B .21m + C .22m + D .23m + 11.已知等差数列{}n a ,且()()35710133248a a a a a ++++=,则数列{}n a 的前13项之

上海市2018届高三数学复习等差数列与等比数列(1)专题练习.docx

等差数列与等比数列一 一、填空题 1、已知a n为等差数列, S n为其前n项和,若 a16,a1a50 ,则 S6 2、在等差数列a n中,已知a49,a96,S n63,则n 3、已知等差数列a n前n项和 S n3n2p ,则p 4 、设数列a n是由正数组成的等比数列,公比q 2 ,且 a1 a2 a3a30 230,则 a3 a6 a9a 3 0 5、实数a, b, c满足b ac 是b为a, c等比中项的条件 6、某纯净水制造厂在精华水过程中,每增加一次过滤可减少说中杂质20% ,要使水中杂质减少到原来的5% 以下,则至少需过滤的次数为 7、若等差数列a n满足 a7a8a90, a7a100,则当 n时, a n的前 n 项和最大 8、等差数列a n中, a100, a110 且a11a 10,使前 n 项和S n0的最小正整数n 9、设a n2n, b n 5 n 1n N,S a,1a,..2,a 2015,1 b,..2,b2015 b ,则集合 S中元素 的个数为 10、等差数列a n, b n的前n项和分别为S n,T n,若S n 2n 2 ,则 a 7的值为T n n3b7 11、设三个数a log 2 3,a log 4 3, a log8 3 成等比数列,则其公比为 12、在正项等比数列a n中, a51 , a6a7 3 ,则满足a1a2... a n a1a2 a n的2 最大正整数 n 的值为 二。选择题 13、a1, a2, a3成等差数列, a2 , a3 , a4成等比数列, a3 , a4 , a5的倒数成等差数列,则 a1, a3 , a5() A. 成等差数列 B. 成等比数列 C.倒数成等比数列 D. 以上都不对 14、等差数列a n的前 n 项和记为S n,若a2a4a6的值是一个确定的常数,则数列中也为常数的项是() A. S7 B. S8 C.S13 D.S15

等差数列与等比数列十大例题

等差数列与等比数列十大例题 例1、已知等差数列{}n a 满足:37a =,5726a a +=,{}n a 的前n 项和为n S . (Ⅰ)求n a 及n S ; (Ⅱ)令b n = 2 1 1 n a -(n ∈N *),求数列{}n b 的前n 项和n T . 【解析】(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ,因为37a =,5726a a +=,所以有 11 27 21026a d a d +=?? +=?,解得13,2a d ==, 所以321)=2n+1n a n =+-(;n S =n(n-1) 3n+22 ?=2n +2n 。 (Ⅱ)由(Ⅰ)知2n+1n a =,所以b n = 2 1 1n a -=21=2n+1)1-(114n(n+1)?=111(-)4n n+1 ?, 所以n T = 111111(1-+++-)4223n n+1?- =11(1-)=4n+1?n 4(n+1) , 即数列{}n b 的前n 项和n T = n 4(n+1) 。 【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前n 项和公式的应用、裂项法求数列的和,熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。 例2、 设n S 为数列{}n a 的前n 项和,2n S kn n =+,* n N ∈,其中k 是常数. (I ) 求1a 及n a ; (II )若对于任意的* m N ∈,m a ,2m a ,4m a 成等比数列,求k 的值. 解(Ⅰ)当1,111+===k S a n , 12)]1()1([,2221+-=-+--+=-=≥-k kn n n k n kn S S a n n n n (*) 经验,,1=n (*)式成立, 12+-=∴k kn a n (Ⅱ)m m m a a a 42,, 成等比数列,m m m a a a 42 2.=∴, 即)18)(12()14(2 +-+-=+-k km k km k km ,整理得:0)1(=-k mk ,

(完整版)高中数学等差数列教案

等差数列 教学目的: 1.明确等差数列的定义,掌握等差数列的通项公式; 2.会解决知道n d a a n ,,,1中的三个,求另外一个的问题 教学重点:等差数列的概念,等差数列的通项公式 教学难点:等差数列的性质 教学过程: 引入:① 5,15,25,35,… 和 ② 3000,2995,2990,2985,… 请同学们仔细观察一下,看看以上两个数列有什么共同特征?? 共同特征:从第二项起,每一项与它前面一项的差等于同一个常数(即等差);(误:每相邻两项的差相等-----应指明作差的顺序是后项减前项),我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列 二、讲解新课: 1.等差数列:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的 差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,这个常数就叫做等差数列的公差(常用字母“d ”表示) ⑴.公差d 一定是由后项减前项所得,而不能用前项减后项来求; ⑵.对于数列{n a },若n a -1-n a =d (与n 无关的数或字母),n ≥2,n ∈N + ,则此数列是等差数列,d 为公差 2.等差数列的通项公式:d n a a n )1(1-+=【或=n a d m n a m )(-+】 等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得若一等差数列{}n a 的首项是1a ,公差是d ,则据其定义可 得:d a a =-12即:d a a +=12 d a a =-23即:d a d a a 2123+=+= d a a =-34即:d a d a a 3134+=+= …… 由此归纳等差数列的通项公式可得:d n a a n )1(1-+= ∴已知一数列为等差数列,则只要知其首项1a 和公差d ,便可求得其通项a 如数列①1,2,3,4,5,6; n n a n =?-+=1)1(1(1≤n ≤6) 数列②10,8,6,4,2,…; n n a n 212)2()1(10-=-?-+=(n ≥1) 数列③ ;,1,54 ;53,52;51Λ 5 51)1(51n n a n =?-+=(n ≥1) 由上述关系还可得:d m a a m )1(1-+= 即:d m a a m )1(1--= 则:=n a d n a )1(1-+=d m n a d n d m a m m )()1()1(-+=-+-- 即的第二通项公式 =n a d m n a m )(-+ ∴ d=n m a a n m -- 如:d a d a d a d a a 43212345+=+=+=+= 三、例题讲解 例1 ⑴求等差数列8,5,2…的第20项 ⑵ -401是不是等差数列-5,-9,-13…的项?如果是,是第几项?

等差数列与等比数列

等差数列与等比数列 一.选择题 (1)在等差数列{a n }中, a 7=9, a 13=-2, 则a 25= ( ) A -22 B -24 C 60 D 64 (2) 在等比数列{a n }中, 存在正整数m, 有a m =3, a m+5=24, 则, a m+15= ( ) A 864 B 1176 C 1440 D 1536 (3)已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则2a = ( ) A –4 B –6 C –8 D –10 (4)设数列{}n a 是等差数列,且n S a a ,6,682=-=是数列{}n a 的前n 项和,则 ( ) A S 4+><,则使前n 项和0n S >成 立的最大自然数n 是: ( ) A .4005 B .4006 C .4007 D .4008 (7) 数列{a n }的前n 项和S n =3n -c, 则c=1是数列{a n }为等比数列的 ( ) A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充分必要条件 D 既非充分又非必要条件 (8) 在等比数列{a n }中, a 1<0, 若对正整数n 都有a n 1 B 0

高考数学等比数列专题复习(专题训练)doc

一、等比数列选择题 1.已知q 为等比数列{}n a 的公比,且1212a a =-,31 4a =,则q =( ) A .1- B .4 C .12- D .12 ± 2.已知等比数列{a n }中,有a 3a 11=4a 7,数列{b n }是等差数列,且b 7=a 7,则b 5+b 9=( ) A .4 B .5 C .8 D .15 3.已知等比数列{}n a 中,1354a a a ??= ,公比q =,则456a a a ??=( ) A .32 B .16 C .16- D .32- 4.在等比数列{}n a 中,132a =,44a =.记12(1,2,)n n T a a a n ==……,则数列{}n T ( ) A .有最大项,有最小项 B .有最大项,无最小项 C .无最大项,有最小项 D .无最大项,无最小项 5.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”你的计算结果是( ) A .80里 B .86里 C .90里 D .96里 6.“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个 单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它前一个单音的频率的比都等于六个单音的频率为f ,则( ) A .第四个单音的频率为1 122f - B .第三个单音的频率为1 42f - C .第五个单音的频率为162f D .第八个单音的频率为112 2f 7.已知等比数列{}n a 满足12234,12a a a a +=+=,则5S 等于( ) A .40 B .81 C .121 D .242 8.已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为30,且53134a a a =+,则3a =( ) A .2 B .4 C .8 D .16 9.已知等比数列{}n a 的前n 项和为,n S 且63 9S S =,则42a a 的值为( ) A B .2 C .D .4 10.各项为正数的等比数列{}n a ,478a a ?=,则2122210log log log a a a +++=( )

高中数学必修等差数列知识点总结和题型归纳

二、题型选析: 题型一、计算求值(等差数列基本概念的应用) 1、.等差数列{a n }的前三项依次为 a-6 ,2a -5 , -3a +2 ,则 a A . -1 B . 1 C .-2 D. 2 2.在数列 {a n } 中, a 1=2,2a n+1=2a n +1,则 a 101的值为 ( ) A .49 B .50 C . 51 D .52 3.等差数列 1,- 1,- 3,?,- 89的项数是( ) 等差数列 一.等差数列知识点: 知识点 1、等差数列的定义 : ①如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列 就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母 d 表示 知识点 2、等差数列的判定方法 : ②定义法:对于数列 a n ,若a n 1 a n d (常数) ,则数列 a n 是等差数列 ③等差中项:对于数列 a n ,若2a n 1 a n a n 2,则数列 a n 是等差数列 知识点 3、等差数列的通项公式 : 的首项是 a 1 ,公差是 d ,则等差数列的通项为 该公式整理后是关于 n 的一次函数 n 项和 : n (n 1) ⑥ S n na 1 d 2 ④如果等差数列 a n a n a 1 (n 1)d 知识点 4、等差数列的前 ⑤ Sn n (a 1 a n ) 2 对于公式 2整理后是关于 n 的没有常数项的二次函数 知识点 5、等差中项 : ⑥如果 a , A , b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与b 的等差中项即: A a b 或2A a b 在一个等差数列中,从第 2 项起,每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项 与后一项的等差中项;事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项 知识点 6、等差数列的性质 : ⑦等差数列任意两项间的关系:如果 且 m n ,公差为 d ,则有 a n a m (n ⑧ 对于等差数列 a n ,若 n m p a n 是等差数列的第 n 项, a m 是等差数列的第 m 项, m )d q ,则 a n a m a p a q 也就是: a 1 a n a 2 a n 1 a 3 a n 2 ⑨若数列 a n 是等差数列, 等差数列如下图所示: S n 是其前 n 项的和, k N ,那么 S k , S 2k S k , S 3k S 2k 成 S 3k a 1 a 2 a 3 S k a k a k 1 S 2k a 2k S k a 2k 1 S 3k S 2k a 3k ①若项数为 2n n * , 则 S 2n n a n a n 1 , 且 S 偶 S 奇 S 奇 nd , 奇 an . ②若项数为 2n 1 n S 偶 a n 1 S 奇 n (其中 S 奇 na n , S 偶 n 1 a n ). S 偶 n 1 奇 等差数列的前 n 项和的性质: 10、 ,则 S 2n 1 2n 1 a n ,且 S 奇 S 偶 a n , 等于( )

专题10 等差数列与等比数列—三年高考(2015-2017)数学(文)真题汇编

1.【2017浙江,6】已知等差数列{a n }的公差为d ,前n 项和为S n ,则“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的 A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 【答案】C 【考点】 等差数列、充分必要性 【名师点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式,通过公式的套入与简单运算,可知 4652S S S d +-=, 结合充分必要性的判断,若q p ?,则p 是q 的充分条件,若q p ?, 则 p 是q 的必要条件,该题“0>d ”?“02564>-+S S S ”,故为充要条件. 2.【2015高考新课标1,文7】已知{}n a 是公差为1的等差数列,n S 为{}n a 的前n 项和,若 844S S =,则10a =( ) (A ) 172 (B )19 2 (C )10 (D )12 【答案】B 【解析】∵公差1d =,844S S =,∴11118874(443)2 2 a a +??=+??,解得1a =1 2 , ∴101119 9922 a a d =+= += ,故选B. 【考点定位】等差数列通项公式及前n 项和公式 【名师点睛】解等差数列问题关键在于熟记等差数列定义、性质、通项公式、前n 项和公式,利用方程思想和公式列出关于首项与公差的方程,解出首项与公差,利用等差数列性质可以简化计算. 3.【2014高考重庆文第2题】在等差数列{}n a 中,1 352,10a a a =+=,则7a =( ) .5A .8B .10C .14D 【答案】B

【解析】 试题分析:设等差数列{}n a的公差为d,由题设知,12610 a d +=,所以,1 102 1 6 a d - ==所以,716268 a a d =+=+=.故选B. 考点:等差数列通项公式. 【名师点睛】本题考查了等差数列的概念与通项公式,本题属于基础题,利用下标和相等的两项的和相等更能快速作答. 4.【2014天津,文5】设 {} n a是首项为 1 a,公差为1-的等差数列,n S为其前n项和,若, , , 4 2 1 S S S成等比数列,则 1 a=() A.2 B.-2 C. 2 1 D . 1 2 - 【答案】D 考点:等比数列 【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式,本题属于基础题,利用等差数列的前n项和公式表示出, , , 4 2 1 S S S然后依据, , , 4 2 1 S S S成等比数列,列出方程求出首项.这类问题考查等差数列和等比数列的基本知识,大多利用通项公式和前n项和公式通过列方程或方程组就可以解出. 5.【2014辽宁文9】设等差数列{}n a的公差为d,若数列1{2}n a a为递减数列,则()A.0 dC.10 a d 【答案】C 【解析】 试题分析:由已知得,111 22 n n a a a a- <,即 1 11 2 1 2 n n a a a a- <,1n1 (a) 21 n a a- -<,又n1 a n a d - -=,故121 a d<,从而10 a d<,选C. 【考点定位】1、等差数列的定义;2、数列的单调性. 【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式、数列的性质等,解答本题的关键,是写出等差

高考数学等比数列

第3节等比数列 【选题明细表】 基础对点练(时间:30分钟) 1.(2016·北京海淀模拟)在数列{a n}中,“a n=2a n-1,n=2,3,4,…”是“{a n}是公比为2的等比数列”的( B ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 解析:当a n=0时,满足a n=2a n-1,n=2,3,4,…,但{a n}是等差数列,不是等比数列,故充分性不成立;又当{a n}是公比为2的等比数列时,有错误!未找到引用源。=2,n=2,3,4,…,即a n=2a n-1,n=2,3,4,…,所以必要性成立,故选B. 2.(2016·湖北华师一附中3月联考)在等比数列{a n} 中,a2a3a4=8, a7=8,则a1等于( A )

(A)1 (B)±1 (C)2 (D)±2 解析:因为数列{a n}是等比数列,所以a2a3a4=错误!未找到引用源。=8,所以a3=2,所以a7=a3q4=2q4=8,所以q2=2,a1=错误!未找到引用源。=1,故选A. 3.(2016·河北衡水中学五调)已知等比数列{a n}的公比q=2,且2a4, a6,48成等差数列,则{a n}的前8项和为( B ) (A)127 (B)255 (C)511 (D)1 023 解析:因为2a4,a6,48成等差数列, 所以2a6=2a4+48, 所以2a1q5=2a1q3+48,又因为q=2, 所以a1=1, 所以S8=错误!未找到引用源。=255.故选B. 4.(2016·山东烟台一模)已知数列{a n}是等比数列,且每一项都是正数,若a1,a49是2x2-7x+6=0的两个根,则a1·a2·a25·a48·a49的值为( B ) (A)错误!未找到引用源。 (B)9错误!未找到引用源。 (C)±9错误!未找到引用源。(D)35 解析:因为{a n}是等比数列,且a1,a49是方程2x2-7x+6=0的两根,所以a1·a49=错误!未找到引用源。=3.而a n>0, 所以a25=错误!未找到引用源。. 所以a1·a2·a25·a48·a49=(a25)5=9错误!未找到引用源。.故选B.

等差数列与等比数列复习小结

山西省朔州市应县四中高二数学学案(十一) 等差数列与等比数列 编写人:朱强基 考纲要求 1理解数列的有关概念,了解递推公式是给出数列的一种方法,并能根据递推公式写出数列的前几项。 2掌握等差数列与等比数列的概念、通项公式、前n 项和的公式,并能够运用这些知识解决一些问题。 重点、难点归纳 1数列的有关概念 数列:按照一定的次序排列的一列数。 通项公式:数列的第n 项a n 与n 之间的函数关系如果能够用一个解析式来表示,则这个解析式就叫做这个数列的通项公式。 2数列的表示法 列举法:如a 1,a 2,a 3,…,a n ,… 图象法:用孤立的点(n ,a n )来表示 解析法:即用通项公式来表示 递推法:一个数列的各项可由它的前m 项的值以及与它相邻的m 项之间的关系来表示 3数列的分类 有穷数列与无穷数列 有界数列与无界数列 常数列、递增数列、递减数列、摆动数列 4a n 与S n 的关系 S n =a 1+a 2+a 3+…+a n ;a n =S 1(n =1时),a n =S n -S n -1(n ≥2时)。 前n 项和公式 等差数列{a n }前n 项的和为2111()(1)()2222 n n a a n n n d d S na d n a n +-= =+=+-。

Ⅰ.设数列{}n a 是等差数列,其奇数项之和为奇S 、偶数项之和为 偶S ,那么,当项数为偶数2n 时, 1, +=n n a a S S nd S S = -偶 奇奇偶;当项数为奇数2n +1时,11,n S n S S a S n ++-==奇奇偶 偶 Ⅱ.在等差数列{n a }中,有关S n 的最值问题:(1)当1a >0,d<0时,满足???≤≥+00 1 m m a a 的项数m 使得m s 取最大值. (2) 当1a <0,d>0时,满足???≥≤+0 1m m a a 的项数m 使得m s 取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应 用。 Ⅲ.121(21),{}2 n n n s a d s n a n n -=-是以为首项,为公差的等差数列. 等比数列{a n }前n 项的和为S n =na 1,(q =1时);S n =q q a a q q a n n --=--11)1(11,(q ≠1时)。 (1)正数等比数列各项的(同底)对数值,依次组成等差数列.即{ }为等比数列且 (i=1,2……,n,……) { }( 且 )为等差数列;若定义 = ,则{ }亦 为等差数列. (2)取一个不等于1的正数为底数,则以等差数列各项为指数的方幂依次组成等比数列.即设a>0且a≠1,则{ } 为等差数列 { }为等比数列. (3){ }既是等差数列,又是等比数列 { }是非零常数列.

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